Sequências numéricas: Sequências de número com uma lógica entre elas. Exemplos:

P.A. P.G. Sequência Fibonacci (1;1;2;3;5;8;13;...)

Uma sequência pode ser

Convergente: tem um limite bem definido. Divergente: se oscila ou tende ao infinto.

Critérios de convergência:

1. Sendo termo geral da sequência, ela converge se e somente se:an (real e finito). L lim

n→∞an = ∈ R

Exemplo:

2. Se for crescente e limitada superiormente.an Crescente: se an > m⇔ n > am

Limitada superiormente se existe um número real M tal que para qualquer n, an < M

Exemplo:

Cálculo do L:

Coisas que você tem que saber:

Limite fundamental: limn→0 n

sen n = 1

Relações do número de Euler: 1( + n

1)n ⇒ ( nn+1)n ⇒ e

( nn+1)⇒ e

1 ( n

n+α)n ⇒ eα

Séries numéricas: Soma de uma quantidade infinita de termos que tem um resultado finito.

Se é uma sequência numérica, , dizemosan | S ..an ∈ R n = a1 + a2 + . + an

que a série é convergente se . Escrevemos∑∞

n=1an L (L )lim

n→∞Sn = ∈ R

.∑∞

n=1an = L

Lembrar das fórmulas de P.G.!

Termo geral: an = a1 * qn−1 Soma de até : (não é utilizada nos exercícios) an a1 Sn = 1−q

a (1−q )1* n

Soma de TODOS os termos, quando : (IMPORTANTE!)q| | < 1 S∞ =a11−q

Teorema: Se é convergente, então , mas a recíproca não∑∞

n=1an lim

n→∞an = 0

é verdadeira.

O teorema acima serve simplesmente para demonstrar divergência (usar em

séries cujo limite do termo geral é “obviamente” diferente de zero).

Séries harmônicas (decora essa porra):

Do tipo , sendo que:∑∞

n=1

1nα

iverge (harmônica)α = 1 ⇒ d iverge (todos os termos são 1, soma de valor inf inito)α = 0 ⇒ d iverge (expoente negativo, inverte a f ração, soma vai ao inf inito)α < 0 ⇒ d iverge (pelo crit. da comparação, maior que harmônica)0 < α < 1 ⇒ d ONV ERGEα > 1 ⇒ C

Critérios de convergência:

1. Critério da Comparação

, sequências numéricas, com . Então:an bn ≤0 ≤ an bn

converge converge∑∞

n=1bn ⇒ ∑

∞

n=1an

diverge diverge∑∞

n=1an ⇒ ∑

∞

n=1bn

A idea por trás desse critério é que se uma série é menor que outra “limitada” (convergente), ela só pode também ser limitada e portanto convergente. Já caso ela seja maior que outra “infinita” (divergente), ela também deve ser infinita.

2. Critério da Comparação no Limite

, sequências numéricas, com e . Fazendo :an bn 0 < an 0 < bn limn→∞ bn

an = L

, então0 < L < ∞ : u ambas convergem ou ambas divergemo

, entãoL = ∞ :

converge converge∑∞

n=1an ⇒ ∑

∞

n=1bn

diverge diverge∑∞

n=1bn ⇒ ∑

∞

n=1an

, entãoL = 0 :

converge converge∑∞

n=1bn ⇒ ∑

∞

n=1an

A ideia desse critério é parecida com a do da comparação simples.Embora a

explicação a seguir não tenha nenhum rigor matemático, ajuda na compreensão. Basta fazer uma comparação com o cálculo de limite do quociente de 2 funções. Se o valor do limite da razão for um número natural, é porque ou tanto numerador quanto denominador são naturais, ou seja, as séries convergem para determinado valor, ou porque ambas tendem a infinito e portanto divergem (lembrem de L’Hospital).

Já se L tende a infinito e o numerador converge (ou seja, é “um número natural”), o denominador deve tender a zero (e portanto converge). Já se o denominador diverge (tende ao infinito), o numerador tem que ser ainda maior para a razão também tender ao infinito e portanto ele diverge também.

No caso que o limite da razão tende a zero e o denominador converge, ou seja, é um número natural, então o numerador deve tender a zero e portanto converge também.

3. Critério da Integral

Sendo , e considerando uma função contínua , num∑∞

n=0an (x) | f (x)f = an

intervalo onde todo , que obedece os seguintes critérios:p; [[ ∞ n ≥ p

positiva ( (x) )f > 0 decrescente f (x)lim

x→∞ = 0

Então, se (e se uma divergir, a outra(x) dx converge ∫∞

pf ⇔ converge∑

∞

n=0an

diverge também).

A seguinte imagem ilustra a ideia do critério da integral. Se a soma da área

embaixo da função (ou seja, a integral da função) convergir, a soma das barrinhas (ou seja, o valor da série) também converge pois é menor.

4. Critério da Razão

Considere uma série . Calculando an > 0 limn→∞ an

an+1 = L :

L < 1 ⇒ converge∑∞

n=1an

L > 1 ⇒ diverge∑∞

n=1an

ada se concluiL = 1 ⇒ n

Caso L for menor que 1 significa que para n grande o suficiente a sequência se

torna uma P.G. de razão menor que 1 e portanto converge.

5. Critério da Raiz

Considere uma série . Calculando an > 0 limn→∞√

n an = L :

L < 1 ⇒ converge∑∞

n=1an

L > 1 ⇒ diverge∑∞

n=1an

ada se concluiL = 1 ⇒ n

Se a raiz “infinita” for menor que 1, ao elevarmos ela ao infinito para retornarmos ao valor original ela vai tender a zero. Portanto, para n grande o suficiente, todos os termos são 0 e portanto a sequência converge.

6. Critério da Leibniz (para séries alternadas somente)

Considere uma série alternada do tipo . Se:a∑∞

n=0(− )1 n

n

an > 0 lim

n→∞an = 0

decrescentean

Então é convergente.a∑∞

n=0(− )1 n

n

A seguinte imagem ilustra e exemplifica a ideia por trás desse critério.

Convergência absoluta e condicional (para séries alternadas):

converge absolutamente se converge.∑

an a |∑

| n

converge condicionalmente se converge mas diverge∑

an ∑

an a |∑

| n

Erro de aproximação (para séries alternadas): Considere uma série alternada. Sendo L o valor “verdadeiro” da soma da série, e um Sn valor aproximado dessa soma após k passos, o erro da aproximação é dado por | |L − Sn. Mas, como a cada passo o sinal é invertido, o erro após k passos é sempre menor que o valor do termo após k+1 passos. Basta então fazermos .rro ak+1 ≤ e

Resolução de provas Nos últimos anos, as provas de cálculo tem seguido um certo padrão. Questão 1:

Pergunta se algumas sequências são convergentes ou não e, em caso positivo, para você definir o valor para que convergem. Muitas vezes, pergunta de 2 sequências: uma ele dá o termo geral e você prova que converge/ diverge fazendo o limite. Nesse tipo de questão, vale lembrar de 2 sacadas meio “clássicas”:

Qualquer coisa do tipo pode ser transformada em uma potência de e. ( nα+βn)n

Expoentes “estranhos”, presença de ln substituir o termo geral por⇒ , calcular o limite do expoente, elevar e a esse limite e achar o limiteeln termo geral

pedido. Sempre lembre da possibilidade de usar L’Hospital no cálculo dos limites!

Na outra sequência, te dá a “logica”, e não um termo geral propriamente dito.

Nesses casos, é mais fácil provar convergência mostrando que ela é limitada inferiormente (muitas vezes >0, pois é positiva) e decrescente. Para provar a decrescência, pode­se calcular a razão de 2 termos gerais consecutivos, , quean

an+1 deve ser < 1, ou provar que é sempre negativo. Para achar o valor para o qual an+1 − an ela converge nesse caso, substitua tanto quanto por L na equação que os an+1 an relaciona e achar o valor de L. Questão 2 Pede para analisar a convergência de 3 sequências. Algumas dicas são:

Fatorial? Critério da razão Algo isolado elevado a n? Critério da raiz 1/ln n * n e suas variações, funções aparentemente meio bizarras? Pode ser

critério da integral Quociente de polinômios de graus diferentes? Comparação no limite com

harmônica de grau = diferença dos graus dos polinômios, para igualar os graus.

Algo que lembre mais ou menos um harmônica? Tente analisar se é possível usar comparação/ comparação no limite

Alternada? Leibniz! Depois verificar a convergência do módulo para saber se é absoluta ou condicional

Questão 3 Pede para achar o valor de determinada variável para qual uma sequência converge. De forma geral, essa variável pode aparecer como numa série alternada (série (x )− α n de potência) ou como parte de um expoente. No primeiro caso, utilizar critérios da raiz ou razão no módulo para achar os valores que satisfazem a relação de ser < 1, onde portanto a sequência converge absolutamente. Para os valores no limite, onde a razão/ raiz = 1, analisar isoladamente (provavelmente em um dos casos deve­se utilizar Leibniz). No segundo caso, tentar comparar com alguma harmônica, achando então os valor do expoente para qual a sequência converge. Lembre­se sempre de explicitar da maneira mais clara possível os valores para que a sequência diverge, converge absolutamente e converge condicionalmente. Para não ter erro em séries de potência, sempre fazer:

Converge absolutamente dentro do intervalo Diverge fora do intervalo O que acontece no limite inferior do intervalo? O que acontece no limite superior do intervaço?