Sergio Vicente Alencar

Educação Matemática: Oficinas Didáticas com GeoGebra – 2012

Programa de Estudos PósGraduados em Educação Matemática – PUC / SP Sergio Vicente de Alencar - [email protected] Celina A. A. P.Abar (orientadora) – [email protected] 1

Sumário

A Interface do GeoGebra .......................................................................................................2

O menu do GeoGebra ............................................................................................................3

Ferramentas de construção ..................................................................................................4

LIÇÃO 1: Polígonos e ângulos ..............................................................................................7

LIÇÃO 2: Retas perpendiculares e paralelas......................................................................11

LIÇÃO 3: Construindo gráficos............................................................................................18

LIÇÃO 4: Construção de quadriláteros...............................................................................27

LIÇÃO 5: Transformações geométricas ...........................................................................28

LIÇÃO 6: Estudo da reta ......................................................................................................33

Elaborando atividades .........................................................................................................35



A interface do GeoGebra A interface básica do GeoGebra é dividida em três seções:

campo de entrada;

janela de álgebra;

janela gráfica.

JANELA GRÁFICA: Visualização e construção dos

objetos e gráficos de funções.

JANELA DE ÁLGEBRA: Visualização e edição de todos os objetos e funções criadas. São necessários apenas dois cliques na equação para editá-la.

CAMPO DE ENTRADA: Criação de novos objetos, equações e funções. Por exemplo: Construa o gráfico de y = -3x² + 2x + 3 Digite: “y=-3x^2+2x+3” ou “y=-3*x^2+2*x+3” e tecle “enter”.



O menu do GeoGebra

Arquivo: Exibir

Opções Editar:

Ferramentas:



Janela:

Ajuda

Ferramentas de construção

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0 1



2

3

4

5

6



7

8

9

10



1) Esconda os eixos, porque eles não serão necessários agora:

No menu Exibir, clique no botão Eixos.

2) Vá para as ferramentas de construção: selecione a ferramenta Polígono.

3) Na janela gráfica: criar um triângulo, selecionando três pontos que serão os vértices do

polígono. (Lembre-se de clicar no primeiro ponto novamente para fechar o polígono)

4) Meça os ângulos internos: Vá para as ferramentas de construção e selecione a ferramenta

Ângulo. Selecione os três vértices do sentido anti-horário (o vértice do ângulo medido deve

ser o segundo selecionado).

Lição 1: Polígonos e Ângulos

Construção de um triângulo e medição da soma dos ângulos internos



5) Calcular a soma dos ângulos internos

Vá para o campo de entrada e digite: + + (depois tecle “enter”)

Como não há , e no teclado, você tem que selecioná-los na lista do lado direito do

campo de entrada:

6) A soma dos ângulos (que é de 180°) aparecerá na janela de álgebra.



7) A pergunta que pode surgir é se este é um caso especial ou é sempre verdade?

Vá para as ferramentas de construção e selecione a Mover.

Arraste os vértices (A, B e C) do triângulo. O GeoGebra irá medir os ângulos de imediato e

também atualizar a soma dos ângulos internos. (É importante salientar que a simples

movimentação dos vértices não representa uma prova matemática para a soma dos ângulos

internos do triângulo)

8) Para salvar a construção: selecione o menu Arquivo e clique no botão Gravar.

Grave o arquivo da seguinte forma: polígono1_seunome.ggb

1) Esconda os eixos: No menu Exibir, clique no botão Eixos.

Construção de um polígono regular



2) Vá para as ferramentas de construção: selecione a ferramenta Polígono Regular.

3) Crie um triângulo equilátero, selecionando os dois pontos de base. Uma janela será aberta:

digite o número de vértices (triângulo 3, quadrado 4, pentágono regular 5) e tecle “enter”.

4) Meça os ângulos internos: Vá às ferramentas de construção e selecione a ferramenta

Ângulo. Selecione os três vértices do sentido anti-horário (o vértice do ângulo medido deve

ser o segundo selecionado).



5) Repita os passos 1 ao 4 para a construção de um quadrado, de um pentágono regular etc.

6) Grave o arquivo da seguinte forma: polígono2_seunome.ggb

1) Construa um segmento de reta: use a ferramenta segmento definido por Dois Pontos.

Lição 2: Retas Perpendiculares

e Paralelas

Construção do ponto médio de um segmento de reta



2) Construa o ponto médio do segmento de reta: use a ferramenta Ponto Médio ou Centro.

3) Grave o arquivo da seguinte forma: pontomedio_seunome.ggb


2) Construa um ponto que pertença ao segmento de reta: selecione a ferramenta Novo Ponto e

clique sobre o segmento de reta.

Construção de uma reta perpendicular a uma reta conhecida através de um determinado

ponto



3) Construa uma reta perpendicular: selecione a ferramenta Reta Perpendicular e clique no

ponto e no segmento de reta.

4) Grave o arquivo da seguinte forma: perpendicular_seunome.ggb


Construção de uma reta paralela a uma reta conhecida através de um determinado ponto



2) Construa um ponto que não pertença ao segmento de reta: selecione a ferramenta Novo

Ponto e clique sobre o segmento de reta.

3) Construa uma reta paralela: selecione a ferramenta Reta Paralela e clique no ponto e no

segmento de reta.



4) Grave o arquivo da seguinte forma: paralela_seunome.ggb


Construção da mediatriz de um segmento de reta



2) Construa a mediatriz do segmento de reta: selecione a ferramenta Mediatriz e clique nos dois

pontos extremos do segmento de reta.

3) Grave o arquivo da seguinte forma: mediatriz_seunome.ggb

1) Construa dois segmentos de reta consecutivos: use a ferramenta segmento definido por

Dois Pontos.

Construção da bissetriz de um ângulo



2) Construa a bissetriz: selecione a ferramenta Bissetriz e clique nos três pontos do ângulo

formado pelos dois segmentos de reta.

4) Grave o arquivo da seguinte forma: bissetriz_seunome.ggb



É possível criar e modificar coordenadas e equações algébricas usando o campo de entrada na parte inferior da janela do GeoGebra.

1) Clique no campo de entrada na parte inferior da janela do GeoGebra.

2) Use o teclado e os menus (ao lado do campo de entrada) para digitar as equações. Tecle

“enter” ao final de cada equação digitada.

Lição 3: Construindo Gráficos

Construção dos gráficos de:

a) 623 yx

b) 643 2 xxy

c) 25323 22 yyxx

d) 32

3

xy

e) 13.2 2 xy



É possível criar e modificar as equações trigonométricas usando o campo de entrada na parte

inferior da janela do GeoGebra. Você pode usar medida em radianos ou graus. O modo padrão é

medida em radianos.

3) Grave o arquivo da seguinte forma: graficco1_seunome.ggb

1) Deixe os eixos aparecerem na janela gráfica.

2) Clique no campo de entrada na parte inferior da janela do GeoGebra.

3) Use o teclado e os menus (ao lado do campo de entrada) para digitar as equações. Tecle

“enter” ao final de cada equação digitada.

Para obter o gráfico de y = sen x, digite:

Construção de um gráfico trigonométrico (medidas em radianos)



4) Grave o arquivo da seguinte forma: gráfico2_seunome.ggb

1) Deixe os eixos aparecerem na janela gráfica.

2) Posicione o cursor sobre o eixo x. Aperte o botão direito do mouse e selecione a opção

Propriedades.

Construção de um gráfico trigonométrico (medidas em graus)



3) A seguinte janela de visualização será exibida:

Na opção Unidade selecione Graus (°):

Ajuste o mínimo e o máximo valores de x:

Altere a distância entre os valores do eixo x:



4) Feche a janela de visualização e clique no campo de entrada na parte inferior da janela do

GeoGebra.

5) Use o teclado e os menus (ao lado do campo de entrada) para digitar a equação y=sen x,

com x em graus:

6) Tecle “enter”.

7) É possível modificar a aparência do gráfico: Clique com o botão direito do mouse sobre o

gráfico e selecione Propriedades.



Uma nova janela será exibida:

Clique na guia Cor e escolha qualquer cor.



Clique na guia Estilo e selecione a espessura da linha e o estilo.



8) Feche a janela.


10) Inicie um novo arquivo e faça os procedimentos anteriores para construir os gráficos

trigonométricos, com x em graus, de:

a) 1cos2)( xxf b) )30()( xtgxg

Atenção no momento de digitar as funções no campo de entrada:



10) Para adicionar uma malha no fundo como na imagem anterior, clique com o botão direito do

mouse na tela e selecione Malha.




Usando Cursores para Transformar os Gráficos

1) Abaixo estão os passos necessários para a construção de quadrado:

I – Construir um segmento AB.

II – Construir a reta perpendicular ao segmento AB pelo ponto A.

III – Construir o círculo com centro em A passando pelo ponto B.

IV – Construir o ponto de intersecção da reta perpendicular e o círculo.

V – Nomear os pontos obtidos, I (inferior) e D (superior).

VI – Construir a paralela ao segmento AB pelo ponto S.

VII – Construir o círculo com centro em S passando pelo ponto A.

VIII – Nomear os dois pontos obtidos, E (esquerda) e C (direita).

IX – Construir os segmentos AD, BC e CD.

X – Destacar o quadrado com uma linha mais espessa.

XI – Esconder todas as linhas de construção.

Construa um quadrado utilizando os passos acima.

2) Movimente o quadrado e reflita:

Quais pontos podem ser movimentados? Por quê?

A figura construída é realmente um quadrado? Qual justificativa geométrica de construção

garante isso?

3) Grave o arquivo da seguinte forma: quadrado_seunome.ggb

Lição 4: Construção de

quadriláteros

Quadrado



ATIVIDADES:

1) Construa um paralelogramo, sendo que, ao movimentar a figura construída os lados opostos

permaneçam paralelos, mas os ângulos internos do quadrilátero não sejam necessariamente ângulos

retos.

Insira um texto na janela gráfica com os passos utilizados para a construção.

Grave o arquivo da seguinte forma: paralelogramo_seunome.ggb

2) Construa um retângulo, sendo que, ao movimentar a figura construída os ângulos internos do

quadrilátero sejam necessariamente ângulos retos.

Insira um texto na janela gráfica com os passos utilizados para a construção.

Grave o arquivo da seguinte forma: retangulo_seunome.ggb

É possível fazer todas as transformações geométricas básicas no GeoGebra. É possível encontrar

todas as funções de transformação ao clicar no terceiro ícone da esquerda nas ferramentas de

construção.

Lição 5: Transformações

Geométricas

Construção de uma reflexão no eixo x



Exemplo: Determinar as coordenadas da imagem de A (3, 2) se A é refletido no eixo x.

1) Selecione Exibir Malha, a fim de mostrar a malha.

2) Digite: (3,2) no campo de entrada e tecle “enter”.

3) Selecione Reflexão com Relação a uma Reta.

4) Clique no ponto (3, 2) e no eixo x. O GeoGebra informará as instruções necessárias ao lado

direito da caixa de ferramentas.



5) Grave o arquivo da seguinte forma: reflexao1_seunome.ggb

Exemplo: Determinar as coordenadas da imagem de A (3, 2) se A for rotacionado em relação

à origem no sentido anti-horário em 90°.

1) Selecione Exibir Malha, a fim de mostrar a malha.



Rotação de um ponto



4) Selecione Reflexão com Relação a um Ponto. Siga as instruções da mensagem que

aparecerão ao lado direito da caixa de ferramentas.

A seguinte janela será exibida:

5) Digite 90 e selecione o sinal de grau (°). Selecione anti-horário e tecle “enter”.



6) Grave o arquivo da seguinte forma: rotacao_seunome.ggb

ATIVIDADE:

1) Construa um polígono qualquer no 1º quadrante.

Faça um polígono simétrico em relação ao eixo y.

Faça uma rotação do polígono em relação à origem, com um giro de 270° no sentido horário.

Movimento os vértices do polígono inicial e verifique o que ocorre.

Modifique o quadrante do polígono inicial e verifique o que ocorre.

Altere as propriedades dos polígonos (cores e espessuras distintas).

Grave o arquivo da seguinte forma: simetria_seunome.ggb



1) Exiba os eixos e a malha.

2) Selecione a opção Seletor nas ferramentas de construção e clique na janela geométrica.

Nomeie como “a” e defina o intervalo de -15 a +15.

3) Faça um novo seletor, nomeando-o de “b” e defina o intervalo de -15 a +15.

4) Digite o seguinte no campo de entrada: y=a*x+b

5) Movimente os seletores “a” e “b”, explorando os diferentes tipos de gráficos.

ATIVIDADE:

Responda as questões abaixo no próprio arquivo do GeoGebra. Para isso utilize a ferramenta

“INSERIR TEXTO”.

1) Quais são os pontos de intersecção da reta com os eixos x e y?

2) Movimente apenas o seletor “a” e explique seu papel na função “y = a*x + b”.

3) Movimente apenas o seletor “b” explique seu papel na função “y = a*x + b”.

Grave o arquivo da seguinte forma: afim_seunome.ggb

Lição 6: Estudo da reta

Ferramenta seletor e a função afim



1) Exiba os eixos e a malha.

2) Digite o seguinte no campo de entrada: f(x) = 2x + 1

3) Modifique a cor e a espessura do gráfico de f(x) = 2x + 1

4) Digite o seguinte no campo de entrada: g(x) = -3x + 11

5) Modifique a cor e a espessura do gráfico de g(x) = -3x + 11

ATIVIDADE:

Responda as questões abaixo no próprio arquivo do GeoGebra. Para isso utilize a ferramenta

“INSERIR TEXTO”.

1) Qual é o ponto de intersecção das duas retas?

2) Apenas observando o gráfico, determine os valores de x que satisfazem:

a) 2x + 1 = 0

b) -3x + 11 = 0

c) 2x + 1 = -3x + 11

d) 2x + 1 > -3x + 11

e) 2x + 1 < -3x + 11

Grave o arquivo da seguinte forma: inequacao_seunome.ggb

Resolução gráfica de inequações



Elabore duas atividades que utilizem o GeoGebra.

No arquivo do “Word” faça o seguinte:

Defina a série/ano de aplicação de cada atividade;

Defina o conteúdo matemático de cada atividade;

Defina os objetivos de cada atividade.

Grave os arquivos da seguinte forma: atividade1_seunome.doc atividade2_seunome.doc

Desenvolva as atividades no GeoGebra.

Grave os arquivos da seguinte forma: atividade1_seunome.ggb atividade2_seunome.ggb

Elaborando atividades

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