Série e Transformada de Fourier

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Avaliao da Qualidade da Energia Eltrica

S.M.Deckmann e J. A.Pomilio

3. Anlise de Sinais no Domnio da FrequnciaComo se viu, pode-se extrair um grande nmero de informaes de sinais peridicos e aperidicos no domnio do tempo. A questo agora : quando se torna mais conveniente analisar um sinal no domnio da frequncia? Desde j se sabe que o domnio da frequncia pressupe periodicidade no tempo, isto , para existir um mapeamento entre os domnios do tempo e da frequncia deve-se assumir que os fenmenos no domnio do tempo se repetem em intervalos iguais a T, sendo T o perodo de tempo que contm um ciclo do sinal de frequncia f. Com isso se estabelece a regra bsica de mapeamento entre os dois domnios: 1 f = T Tudo se passa como se o domnio da frequncia enxergasse o domnio do tempo sob a tica de intervalos regulares de tempo. Para perceber melhor as vantagens que essa representao de sinais pode trazer, tome-se um sinal com representao simples nos dois domnios: a senide. 3.1 Representao no Domnio do Tempo No domnio do tempo precisa-se definir explicitamente a funo e os parmetros que a caracterizam, por exemplo:

x(t ) = A.sen(2ft )

Figura 3.1 Representao de senide no domnio do tempo. portanto, tem-se trs parmetros caractersticos (A, T, ): A= amplitude 1 2 T= = = perodo f = fase inicial No caso de sinal composto de k frequncias, so 3k parmetros alm da funo analtica (no caso a funo seno) para caracterizar a sucesso de valores no domnio do tempo.

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3.2 Representao no Domnio da Frequncia

No domnio da frequncia esse mesmo sinal representado apenas pelos seus parmetros, ficando subentendida a funo temporal escolhida como referncia na decomposio: x( f ) [ A, f , ]Amplitude

A

Fase

f 0 f 0

Figura 3.2 Representao de senide no domnio da frequncia. Uma vez que a funo peridica de referncia j est implcita no domnio da frequncia, a caracterizao do sinal decomposto em termos dessa referncia necessita apenas dos parmetros resultantes da decomposio.3.3 Representao de Sinais Peridicos Compostos: (ondas triangular, quadrada, etc.)

Um sinal peridico qualquer pode ser expresso como srie de senos e cossenos. Por exemplo a funo: 1 1 1 f 1 ( t ) = sen 1 t sen 2 1 t + sen 3 1 t sen 4 1 t + ... 2 3 4 produz uma onda dente de serra, com valor de pico

2

.

Figura 3.3 Primeiros 5 termos da srie da onda dente de serra. Por outro lado a funo:4 1 1 cos 1 t cos 3 1 t + cos 5 1 t ... 3 5 produz uma onda quadrada de amplitude unitria. f2( t ) =

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T/2 T

Figura 3.4 Primeiros 5 termos da srie de uma onda quadrada.

A funo correspondente a uma onda triangular dada por:f3( t ) = 4 1 1 sen 1 t 9 sen 3 1 t + 25 sen 5 1 t ...

T/2 T

Figura 3.5 Primeiros 3 termos da srie da onda triangular.

Os trs exemplos mostram algumas propriedades gerais importantes das denominadas sries de Fourier ou, como so tambm chamadas, as sries harmnicas:1 - as sries so formadas por mltiplos inteiros da frequncia fundamental ( f h =

1 ). 2

As frequncias mltiplas so chamadas harmnicas (fh = h.f1, h = 2,3,4...).2 - se a funo par [f(t) = f(-t)], a srie contm apenas termos em cosseno; se for mpar [f(t) = -f(-t)], contm apenas termos em seno. 3 - se a funo apresentar simetria de meia onda [ f (t ) = f (t + T )] ento a srie no 2 contm harmnicos pares, pois s as mpares satisfazem essa propriedade. 4 - se a srie for truncada, aparece o efeito Gibbs nas descontinuidades, devido falta dos termos de alta frequncia.

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3.4 Como aplicar a Anlise de Fourier

As propriedades anteriores ajudam a simplificar a anlise qualitativa, porm se necessita de uma tcnica para "quebrar" a funo em sua srie harmnica. Para isso recorre-se decomposio do sinal peridico atravs da combinao de funes cosseno e seno, resultando na chamada srie de Fourier:f (t ) = A0 + Ah cos(h1t ) + Bh sen(h 1t ) 2 1 = Th =1 h =1

A anlise pela srie de Fourier, no domnio da frequncia, para sinais peridicos, resume-se a determinar os valores dos coeficientes A e B da srie, uma vez que se conhece o perodo T da funo de referncia. Sabendo que as funes cosseno e seno so ortogonais, a decomposio de Fourier pode ser vista como uma operao de projeo em base de sinais ortogonais:fe

f1 fe

c12.f2

f2

Figura 3.6 Decomposio ortogonal do sinal f1. C12 a medida da projeo ortogonal da funo f1 sobre a funo f2. Para determinar C12 sobre um intervalo de tempo [ta,tb] pode-se utilizar a tcnica de erro quadrtico mdio mnimo para a funo de erro fe , dada por fe (t)= f1 (t)- C12. f2 (t), ou seja, f1 (t)= fe (t)+ C12. f2 (t)

O erro quadrtico mdio no intervalo ser, portanto:

eab = eab =0 c12

1 tb t a

tb

ta

f e2 (t ).dt

O mnimo dessa funo ser encontrado impondo:

Por essa tcnica chega-se relao seguinte (ver demonstrao no final do captulo): i

C 12 =

b

a

f 1 ( t ). f 2 ( t ) dt

b

a

f 22 ( t ). dt

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Se f1 e f2 forem ortogonais, ento C12 nulo no intervalo dado. No caso da srie de Fourier obtm-se, por analogia, que:

A0

f ( t ).1.d t = 1 f ( t ) .d t = valor mdio no perodo = 2 1 .d t

Ah

=

f (t ) . cos(h1t ).dt

cos 2 (h1t ).dt

=

1 f (t ). cos(h1t ).dt

Bh

=

f (1t ) . sen(h1t ) . d t

sen 2 (h1t ) . dt

=

1 f (t ) . sen(h1t ) . dt

Cada coeficiente pode ser interpretado como sendo o dobro do valor mdio da funo, ponderado pela respectiva base harmnica. Notar que os coeficientes (das funes seno ou cosseno) sero nmeros reais, podendo ser positivos ou negativos. Uma vez obtidos os coeficientes, pode-se dispor o espectro na forma seguinte:A 1 1/3 1/5 2f1 f1 -1/2 3f1 1/4 4f1 5f1 f

Figura 3.7 Espectro de amplitude da onda dente de serra. Como se pode notar, coeficientes negativos correspondem fase de 180.3.5 Representao da Srie de Fourier na Forma Exponencial

Existem vantagens, na hora de generalizar a anlise de Fourier, em usar a representao pela srie exponencial complexa, ao invs de usar funes seno e cosseno:

f (t ) =

h =

a .eh

jh1t

h = 0, 1, 2,...

onde: ah = coeficiente complexo Notar que para h = 0 resulta o termo mdio (CC) e para h = 1 resulta a onda fundamental. Isso pode ser verificado impondo-se as condies de simetria par e mpar: se a h = a -h resulta termo cosseno se a.h = -a -h resulta termo seno para verificar, basta considerar que:

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e jt + e jt = cos t 2

e jt e jt = sen t 2j

e jt e jt = 2 j sen t

resultando a forma de Euler: e j..t = cos t + j.sent Uma vez que k pode assumir valores positivos e negativos, diz-se que essa srie bilateral.3.5.1 Srie Exponencial Complexa Unilateral Pode-se rearranjar a soma bilateral na forma de srie exponencial unilateral:

f (t ) = a 0 + a h eh =1

[

j h 1 t

+ ah e

j h 1 t

]

h=1, 2, 3....

Para sinais reais, a condio de simetria complexa tem que ser satisfeita, ou seja, ah = ah , devido ao teorema de Parseval (a energia deve se manter tanto no domnio do tempo como no da frequncia). Portanto: f (t ) = a0 + ah .e jh1t + ah .e jh1t h =1

[

]

(I)

Assumindo ainda que cada coeficiente complexo formado pelas partes real e imaginria na forma: 1 ah = ( Ah j Bh ) h > 0, 2

de modo que:

1 ( Ah + jBh ) 2 resulta que a equao (I) pode ser escrita como: ah = ah =

f (t ) = a0 + [Ah cos(h1t ) + Bh sen(h1t )]h =1

que a prpria srie de Fourier de cossenos e senos formulada inicialmente. Portanto, as trs formas de representao da srie de Fourier: srie de senos e cossenos; srie exponencial complexa bilateral; srie exponencial complexa unilateral, so equivalentes e intercambiveis. Com os coeficientes de uma srie pode-se determinar os coeficientes da outra.3.6. Da Srie de Fourier Transformada de Fourier

Existe uma relao direta entre a forma exponencial complexa e a forma em termos de senos e cossenos da srie de Fourier. Devido relao entre os coeficientes das duas formas, ou seja, para h > 0: 1 1 ah = ( Ah jBh ) ah = ( Ah + jBh ) 2 2 Pode-se obter os coeficientes complexos ah a partir dos coeficientes reais Ah e Bh:

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Ah =resultando:

1 f (t ) cos(h1t ). dt

Bh =

1 f (t ).sen(h1t ). dt

ah = ah =

1 f (t )[cos(h1t ) j.sen(h1t )]. dt 2 1 jh t f (t ) .e 1 . dt 2 jh t

h = 0, 1, 2....

1 um operador de rotao cuja amplitude 1. Portanto, cada Notar que e coeficiente ah corresponde ao valor mdio da funo f(t), ponderada pelo operador que gira com velocidade h1, a qual define a periodicidade harmnica.

3.6.1 Anlise de um Sinal com Especial Interesse: O Trem de Pulsosf(x) 2/k 1

-

x=0

T1

2

x=1t

Figura 3.8 Trem de pulsos unitrios. Esse sinal importante para se chegar Transformada de Fourier. Por convenincia, 2 2 tome-se o sinal com perodo T1 = , o pulso com amplitude 1 e