SÉRIE: Estatística Básica - Enfoque: viali/sociais/mat02280/material/apostilas/... · E1: Joga-se

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  • S R I E : E s t a t s t i c a B s i c a - E n f o q u e : S o c i a i s

    T e x t o S I I : E L E M E N T O S D E P R O B A B I L I D A D E

    Prof. Lor Viali, Dr. viali@mat.ufrgs.br - http://www.mat.pucrs.br/~viali/

    SS UU MM RR II OO 1. INTRODUO ................................................................................................................................................................... 2

    1.1. MODELOS ....................................................................................................................................................................... 2 1.2. EXPERIMENTO ALEATRIO (NO-DETERMINSTICO)....................................................................................................... 2 1.3. O ESPAO AMOSTRAL..................................................................................................................................................... 3 1.4. EVENTOS ........................................................................................................................................................................ 4 1.5. COMBINAO DE EVENTOS............................................................................................................................................. 4 1.6. EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUDENTES ......................................................................................................................... 5

    2. CONCEITOS DE PROBABILIDADE.............................................................................................................................. 6 2.1. CLSSICO ........................................................................................................................................................................ 6 2.2. FREQENCIAL................................................................................................................................................................. 6

    2.2.1. Freqncia relativa de um evento ......................................................................................................................... 6 2.2.2. Propriedades da freqncia relativa..................................................................................................................... 7 2.2.3. Crtica definio freqencial.............................................................................................................................. 7

    2.3. AXIOMTICO................................................................................................................................................................... 7 2.4. PROBABILIDADE CONDICIONADA E INDEPENDNCIA...................................................................................................... 8

    2.4.1. Teorema da multiplicao..................................................................................................................................... 8 2.4.2. Independncia de dois eventos .............................................................................................................................. 8

    3. VARIVEIS ALEATRIAS ............................................................................................................................................. 9 3.1. INTRODUO .................................................................................................................................................................. 9 3.2. VARIVEL ALEATRIA DISCRETA ................................................................................................................................... 9

    3.2.1. A funo de probabilidade..................................................................................................................................... 9 3.2.2. Representao da funo de probabilidade ........................................................................................................ 10 3.2.3. A funo de distribuio acumulada................................................................................................................... 11

    3.3. VARIVEL ALEATRIA DISCRETA (CARACTERIZAO) ................................................................................................ 12 3.4. DISTRIBUIES ESPECIAIS DE PROBABILIDADE DISCRETAS .......................................................................................... 13

    3.4.1. A distribuio binomial ....................................................................................................................................... 13 3.4.2. Propriedades da distribuio binomial............................................................................................................... 15

    4. VARIVEIS ALEATRIAS CONTNUAS .................................................................................................................. 17 4.1. CLCULO DE PROBABILIDADE COM UMA VAC............................................................................................................. 17 4.2. A FUNO DE DISTRIBUIO ACUMULADA................................................................................................................... 18 4.3. VARIVEL ALEATRIA CONTNUA (CARACTERIZAO) ............................................................................................... 18 4.4. DISTRIBUIES ESPECIAIS CONTNUAS......................................................................................................................... 19

    4.4.1. A distribuio normal.......................................................................................................................................... 19 4.4.2. Propriedades da distribuio normal.................................................................................................................. 19 4.4.3. Outras propriedades............................................................................................................................................ 20 4.4.4. Tabelas................................................................................................................................................................. 20 4.4.5. Relao entre as distribuies Binomial e Normal ............................................................................................. 21

    5. EXERCCIOS.................................................................................................................................................................... 23

    6. RESPOSTAS DOS EXERCCIOS .................................................................................................................................. 29

    7. REFERNCIAS ................................................................................................................................................................ 32

  • S R I E : E s t a t s t i c a B s i c a - E n f o q u e : S o c i a i s

    T e x t o S I I : E L E M E N T O S D E P R O B A B I L I D A D E

    Prof. Lor Viali, Dr. viali@mat.ufrgs.br - http://www.mat.pucrs.br/~viali/

    1. INTRODUO A cincia manteve-se at pouco tempo atrs, firmemente apegada lei da causa e efeito.

    Quando o efeito esperado no se concretizava, atribua-se o fato ou a uma falha na experincia ou a uma falha na identificao da causa. No poderia haver quebra da cadeia lgica. Segundo Laplace (Pierre Simon) uma vez conhecidas a vizinhana, a velocidade e a direo de cada tomo no universo, poder-se-ia, a partir da, predizer com certeza, o futuro at a eternidade.

    Sabe-se hoje, atravs do princpio da incerteza , que no bem assim. Que no existem meios que permitam determinar os movimentos dos eltrons individuais se conhecido a sua velocidade, con-forme o estabelecido em 1927, pelo fsico alemo W. Heinsenberg.

    1.1. MODELOS Conforme J. Neymann, toda a vez que se emprega Matemtica com a finalidade de estudar

    algum fenmeno deve-se comear por construir um modelo matemtico. Este modelo pode ser: de-terminstico ou ento probabilstico.

    Modelo determnistico Neste modelo as condies sob as quais o experimento executado, determinam o resultado

    do experimento. Tome-se, por exemplo, a lei de Ohm, V = I.R. Se R e I forem conhecidos, ento V es-tar precisamente determinado.

    Modelo no-determinstico ou probabilstico um modelo em que de antemo no possvel explicitar ou definir um resultado particular.

    Este modelo especificado atravs de uma distribuio de probabilidade. utilizado quando se tem um grande nmero de variveis influenciando o resultado e estas variveis no podem ser controladas. Tome-se por exemplo, o lanamento de um dado onde se tenta prever o nmero da face que ir sair, a retirada de uma carta de um baralho, etc.

    O modelo estocstico caracterizado como um modelo probabilstico que depende ou varia com o tempo.

    1.2. EXPERIMENTO ALEATRIO (NO-DETERMINSTICO) No existe uma definio satisfatria de Experimento Aleatrio. Por isto necessrio ilustrar

    o conceito um grande nmero de vezes para que a idia fique bem clara. Convm lembrar que os e-xemplos dados so de fenmenos para os quais modelos probabilsticos so adequados e que por sim-plicidade, so denominados de experimentos aleatrios, quando, de fato, o que deveria ser dito mo-delo no-determinstico aplicado a um experimento.

    Ao descrever um experimento aleatrio deve-se especificar no somente que operao ou procedimento deva ser realizado, mas tambm o que que dever ser observado. Note-se a diferena entre E2 e E3.

    E1: Joga-se um dado e observa-se o nmero obtido na face superior. E2: Joga-se uma moeda 4 vezes e o observa-se o nmero de caras obtido. E3: Joga-se uma moeda 4 vezes e observa-se a seqncia de caras e coroas. E4: Um lote de 10 peas contm 3 defeituosas. As peas so retiradas uma a uma (sem reposi-