Séries de Fourier

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  • .Introduo s Sries de Fourier

    Fabiano J. Santos

    Julho de 2004

  • Sumrio

    Lista de Figuras iii

    1 Funes Peridicas e Sries de Fourier 1

    1.1 Funes Peridicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

    1.1.1 Problemas Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

    1.2 Relaes de Ortogonalidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

    1.2.1 Problemas Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

    1.3 Sries de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

    1.3.1 Determinao dos Coecientes de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

    1.3.2 Exemplos de Sries de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

    1.3.3 Problemas Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

    1.4 O Teorema de Fourier* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

    1.5 Simetria ondulatria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

    1.5.1 Propriedades das funes pares e mpares . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

    1.5.2 Sries de Fourier de funes pares e mpares . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

    1.5.3 Problemas Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

    1.6 Expanses peridicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

    1.6.1 Expanses em meio perodo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

    1.6.2 Problemas Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

    2 Sries de Fourier Complexa e Espectros Discretos 33

    2.1 Srie de Fourier Complexa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

    2.1.1 Interpretao Matemtica da Srie de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . 36

    2.1.2 Interpretao Conceitual da Srie de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

    2.1.3 Problemas Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

    2.2 Nmeros Complexos - Formas de Representao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

    2.2.1 Problemas Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

    2.3 Os espectros de Amplitude e de Fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

    2.3.1 Comentrios sobre os Espectros de Amplitudes e de Fases . . . . . . . . . 46

    i

  • 2.3.2 Problemas Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

    Formulrio 53

    Referncias Bibliogrcas 54

    ii

  • Lista de Figuras

    1.1 Uma funo peridica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

    1.2 Periodo e perodo fundamental. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

    1.3 Senides: sen(x) e cos(x). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.4 Onda Quadrada - Perodo 2pi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.5 Onda Triangular - Perodo 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.6 O conceito de funo seccionalmente contnua. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

    1.7 Uma funo par. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

    1.8 Uma funo mpar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

    1.9 Funo par e funo mpar no intervalo [L,L]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.10 Funo peridica f(x) = x2, 1 x < 1, Perodo 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.11 Onda Dente de Serra - Perodo 2pi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.12 Funo sobre o intervalo [0, a] e sua expanso peridica . . . . . . . . . . . . . . . . . 271.13 A funo f(x) = x no intervalo [0, pi] e sua expanso peridica. . . . . . . . . . . . . . 281.14 Expanses par e mpar de uma funo denida sobre o intervalo [0, a] . . . . . . . . . . 311.15 Expanso par da funo f(x) = x denida no intervalo [0, pi]. . . . . . . . . . . . . . . 32

    2.1 Representao do nmero complexo z = x+ iy no plano complexo. . . . . . . . . . . . 412.2 Alguns nmeros complexos e suas respectivas fases (argumentos). . . . . . . . . . . . . 43

    2.3 Alguns nmeros complexos - forma cartesiana e forma fasorial. . . . . . . . . . . . . . 44

    2.4 Espectro de amplitudes da onda dente de serra da Figura 1.11. . . . . . . . . . . . . . 47

    2.5 Espectro de fases da onda dente de serra da Figura 1.11. . . . . . . . . . . . . . . . . 47

    2.6 Espectro de amplitudes do Exemplo 2.5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

    2.7 Espectro de fases do Exemplo 2.5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

    2.8 Espectros do Problema 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

    2.9 Espectros do Problema 6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

    iii

  • Captulo 1

    Funes Peridicas e Sries de Fourier

    1.1 Funes Peridicas

    Uma funo f dita peridica se existe um nmero real positivo P , chamado perodo de f , talque

    f(x) = f(x+ P ), (1.1)

    para todo x no domnio de f . O grco de uma funo peridica obtido pela repetio dequalquer intervalo de comprimento P (Figura 1.1).

    -

    6

    P P P

    x

    f(x)

    Figura 1.1: Uma funo peridica.

    Observaes:

    O perodo P o comprimento do intervalo em x necessrio para a imagem da funo serepetir.

    Segue da equao (1.1) que se f peridica de perodo P ento para qualquer n inteiro

    1

  • positivo temos

    f(x) = f(x+ nP ),

    ou seja, qualquer mltiplo inteiro positivo nP de P tambm um periodo de f . O menorvalor de P que satisfaz a equao (1.1) chamado perodo fundamental de f e ser deno-tado por T . Qualquer outro perodo de f ser um mltiplo inteiro do perodo fundamental.A Figura 1.2 ilustra tal conceito.

    -

    6

    T

    Perodo fundamental

    P = 2T

    P = 3T

    x

    f(x)

    Figura 1.2: Periodo e perodo fundamental.

    a freqncia F de uma funo peridica denida como o inverso de seu perodo

    F =1P

    e nos d o nmero de repeties (ciclos) em cada intervalo unitrio em x. Se x medidoem segundos ento a freqncia F o nmero de ciclos por segundo (Hertz).

    Um outro tipo de freqncia, a qual utilizaremos no estudo das Sries de Fourier, afreqncia angular, denotada por , e denida como

    = 2piF =2piP.

    Se T o periodo fundamental de f , ento sua freqncia (angular) fundamental, denotadapor 0, dada por

    0 =2piT

    Exemplo 1.1 A funo f(x) = sen(x) peridica com perodo fundamental T = 2pi e freqnciafundamental 0 = 2pi2pi = 1 (Figura 1.3)

    2

  • Exemplo 1.2 A funo f(x) = cos(x) peridica com perodo fundamental T = 2pi e freqnciafundamental 0 = 2pi2pi = 1 (Figura 1.3)

    Exemplo 1.3 A funo constante f(x) = c tem como perodo qualquer nmero real P 6= 0 eno possui perodo fundamental.

    -

    6

    0 pi 2pi 3pi 4pipi2pi3pi4pi

    x

    sen(x)

    cos(x)

    Figura 1.3: Senides: sen(x) e cos(x).

    As duas proposies a seguir nos do duas propriedades importantes das funes peridicas.

    Proposio 1.1 : Seja f uma funo peridica de perodo P , ento:

    (i) f(ax), a 6= 0, peridica de perodo Pa ;(ii) f

    (xb

    ), b 6= 0, peridica de perodo bP .Provas:

    (i) Suponha que P o perodo de f(ax), de modo que f(ax) = f [a(x+ P )] = f(ax+ aP ).Fazendo u = ax, obtemos f(u) = f(u+ aP ). Logo pela hiptese de que f peridica deperodo P , conclumos que P = aP donde P = Pa .

    (ii) Suponha que P o perodo de f(xb

    ), de modo que f

    (xb

    )= f

    [1b (x + P

    )]= f

    [xb +

    P b

    ].

    Fazendo u = xb , obtemos f(u) = f(u + P

    b

    ). Logo pela hiptese de que f peridica de

    perodo P , conclumos que P = Pb donde P

    = bP .

    Proposio 1.2 : Sejam f1 e f2 duas funes peridicas de mesmo perodo P ; 1 e 2 duasconstantes reais quaisquer. A funo h denida por

    h(x) = 1f1(x) + 2f2(x),

    tambm peridica de perodo P (isto , a combinao linear de funes peridicas de mesmoperodo tambm peridica, com mesmo perodo das funes que foram combinadas).

    3

  • Aqui a prova muito simples e pode ser obtida diretamente:

    h(x+ P ) = 1f1(x+ P ) + 2f2(x+ P ) = 1f1(x) + 2f2(x) = h(x).

    Exemplo 1.4 Como as funes sen(x) e cos(x) possuem ambas perodo 2pi, pela Proposio 1.1observamos que:

    (i) sen(2x) e cos(2x) possuem perodo 2pi2 = pi;

    (ii) sen(x2

    )e cos

    (x2

    )possuem perodo 2 2pi = 4pi.(iii) sen(2pix) e cos(2pix) possuem perodo 2pi2pi = 1;

    (iv) sen(2pixT

    )e cos

    (2pixT

    )possuem perodo

    2pi2pi T = T .

    Alm disto, n Z, as funes

    sen(2npix

    T

    )e cos

    (2npixT

    )possuem perodo

    2pi2npi

    T =T

    n.

    Mas como qualquer mltiplo inteiro do perodo tambm perodo, conclumos que ambas tambm

    possuem perodo T . Finalmente, pela proposio 1.2, observamos que a funo

    h(x) = 1sen(2npixT

    )+ 2cos

    (2npixT

    )tambm peridica de perodo T .

    Proposio 1.3 : Sejam f1, f2, . . . , fn funes peridicas de perodo T . Ento a funo

    h(x) = 1f1(x) + 2f2(x) + . . .+ nfn(x),

    dada pela combinao linear de f1, f2, . . . , fn tambm peridica de perodo T . A prova anloga da proposio 1.2 e pode ser obtida pelo princpio da induo.

    Extrapolando a proposio 1.3, sejam f1, f2, . . . , fn, . . . funes peridicas de mesmo perodoT , a srie innita dada por

    1f1(x) + 2f2(x) + . . .+ nfn(x) + . . . ,

    dene, para os valores de x nos quais converge, uma funo peridica de perodo T . Assimpodemos denir a funo

    h(x) = 1f1(x) + 2f2(x) + . . .+ nfn(x) + . . . ,

    4

  • tal que h(x) = h(x + T ). Esta ltima armao de fundamental importncia, uma vez quetrabalharemos com sries innitas trigonomtricas da forma

    ancos

    (2npixT

    )+ bnsen

    (2npixT

    ). (1.2)

    Observe que cada termo desta srie possui perodo T . Desta forma, para os valores de x nosquais a srie converge ela dene uma funo peridica de perodo T .

    1.1.1 Problemas Propostos

    (1) Determine se cada uma das funes a seguir ou no perdica. Caso seja determine seu

    perodo fundamental e sua freqncia fundamental.

    (a) y = cos(pix)

    (b) y = tg(pix)

    (c) y = x2

    (d) y = sen(5x)

    (e) y = cos(3pix)

    (f) y = cos(nx)

    (g) y = sen(npix)

    (h) y = sen(pixT

    )(i) y = cos(3x) + sen(4x) + cos(5x)

    (j) y = sen(x3

    )+cos

    (x5

    )+sen

    (x7

    )+cos

    (x9

    )(2) Para cada funo a seguir esboce seu grco para alguns valores de n. Observando este gr-co determine se a funo ou no perdica. Caso seja determine seu perodo fundamental

    e sua freqncia fundamental.

    (a) y ={

    0 , 2n 1 x < 2n1 , 2n x < 2n+ 1 , n = 0, 1, 2, . . .

    (b) y ={

    (1)n , 2n 1 x < 2n1 , 2n x < 2n+ 1 , n = 0, 1, 2, . . .

    (3) Sejam f, g : R R funes peridicas de mesmo perodo T . Mostre que(a) (f + g)(x) = f(x) + g(x) peridica de perodo T (isto , a soma de duas funesperidicas de mesmo perodo tambm peridica);

    (b) (f g)(x) = f(x) g(x) peridica de perodo T (isto , a diferena de duas funesperidicas de mesmo perodo tambm peridica);

    (c) (fg)(x) = f(x)g(x) peridica de perodo T (isto , o produto de duas funesperidicas de mesmo perodo tambm peridica);

    5

  • (4) Seja f : R R uma funo peridica de perodo T e integrvel em toda a reta. Mostreque a+T

    af(x)dx =

    b+Tb

    f(x)dx

    (ou seja, independente do intervalo de integrao o valor da integral ser sempre o mesmo

    desde que o tamanho deste intervalo seja o prprio perodo da funo. Geometricamente

    isto bvio. Por qu?)

    1.2 Relaes de Ortogonalidade

    Antes de examinarmos com mais detalhes sries trigonomtricas da forma (1.2) investigaremos

    algumas propriedades importantes das funes que a denem. Comecemos relembrando, da

    trigonometria elementar, as frmulas para o seno e cosseno da soma e da diferena:

    seno da soma: sen( + ) = sen()cos() + cos()sen(), (1.3a)cosseno da soma: cos( + ) = cos()cos() sen()sen(), (1.3b)seno da diferena: sen( ) = sen()cos() cos()sen(), (1.3c)cosseno da diferena: cos( ) = cos()cos() + sen()sen(). (1.3d)A partir destas frmulas obtemos trs identidades que utilizaremos adiante no clculo de

    algumas integrais:

    por (1.3b) + (1.3d) obtemos: 2cos()cos() = cos( + ) + cos( ), (1.4a)por (1.3d) (1.3b) obtemos: 2sen()sen() = cos( ) cos( + ), (1.4b)por (1.3a) (1.3c) obtemos: 2cos()sen() = sen( + ) sen( ). (1.4c)Os resultados do Teorema 1.4 dado a seguir tambm ser importante para nosso trabalho

    futuro.

    Teorema 1.4 (Relaes de Ortogonalidade) : se m,n Z+ (inteiros positivos), ento: T0

    cos

    (2mpixT

    )cos

    (2npixT

    )dx =

    {0 , se m 6= nT2 , se m = n

    ; (1.5a) T0

    sen

    (2mpixT

    )sen

    (2npixT

    )dx =

    {0 , se m 6= nT2 , se m = n

    ; (1.5b) T0

    cos

    (2mpixT

    )sen

    (2npixT

    )dx = 0, m,n; (1.5c)

    As relaes (1.5a), (1.5b) e (1.5c) so chamadas relaes de ortogonalidade. Provaremos a

    equao (1.5a) e deixamos as provas das relaes (1.5b) e (1.5c) como exerccio para o leitor nos

    Problemas 1 (pgina 7) e 2 (pgina 7) respectivamente.

    6

  • Prova de (1.5a)

    Caso m 6= n. Utilizando a identidade (1.4a) podemos escrever:Z T

    0cos

    2mpix

    T

    cos

    2npix

    T

    dx =1

    2

    Z T

    0

    cos

    2mpix

    T+2npix

    T

    + cos

    2mpix

    T 2npix

    T

    =1

    2

    Z T

    0

    cos

    2(m+ n)pix

    T

    + cos

    2(m n)pixT

    =1

    2

    T

    2(m+ n)pisen

    2(m+ n)pix

    T

    T

    0

    +1

    2

    T

    2(m n)pi sen

    2(m n)pixT

    T

    0

    =T

    4pi(m+ n)

    sen

    2(m+ n)pi

    sen

    0

    +T

    4pi(m n)

    sen

    2(m n)pi

    sen

    0

    = 0;

    uma vez que m,n Z+, m 6= n, e o seno de mltiplos inteiros de pi zero. Caso m = n. Neste caso temos:Z T

    0cos

    2npix

    T

    cos

    2pix

    T

    dx =

    Z T

    0

    cos

    2npix

    T

    2

    dx

    =1

    2

    Z T

    0

    1 + cos

    4npix

    T

    dx

    =1

    2

    x+T

    4npisen

    4npix

    T

    T

    0

    =1

    2

    T +T

    4npisen(4npi) 0 T

    4npisen(0)

    =1

    2

    T

    =T

    2;

    uma vez que n Z+ e o seno de mltiplos inteiros de pi zero.

    1.2.1 Problemas Propostos

    (1) Seguindo o mesmo raciocnio do texto, utilize a identidade (1.4b) para provar a relao de

    ortogonalidade (1.5b).

    (2) Seguindo o mesmo raciocnio do texto, utilize a identidade (1.4c) para provar a relao de

    ortogonalidade (1.5c).

    1.3 Sries de Fourier

    Voltemos agora s sries trigonomtricas da forma

    a02+

    n=1

    ancos

    (2npixT

    )+ bnsen

    (2npixT

    ), (1.6)

    7

  • na qual observamos que todas as innitas parcelas so peridicas de perodo T . No conjunto devalores de x para os quais a srie (1.6) converge ela dene uma funo peridica f de perodo T .Dizemos ento que a srie (1.6) a Srie de Fourier

    1

    para f e escrevemos

    f(x) a02+

    n=1

    ancos

    (2npixT

    )+ bnsen

    (2npixT

    ), (1.7)

    onde os coecientes a0, an e bn (n Z+ ) so chamados Coecientes de Fourier. Como a funo fdenida por (1.7) possui perodo fundamental T, sua freqncia fundamental 0 = 2piT . Assimreescrevemos a srie (1.7) na forma mais conveniente

    f(x) a02+

    n=1

    ancos(n0x

    )+ bnsen

    (n0x

    ), (1.8)

    Raciocinando no sentido inverso, seja f uma funo peridica de perodo fundamental T efreqncia fundamental 0 = 2piT . Surgem duas questes:

    (i) como determinar os coecientes de Fourier a0, an e bn para que possamos representar fpor uma srie da forma (1.8)?

    (ii) quais as condies que devemos impor sobre f para que tal representao seja possvel?

    Abordaremos agora a primeira questo para a determinao dos coecientes de Fourier. A

    segunda, por se tratar de um assunto mais sutil, ser comentada mais adiante (seo 1.4) quando

    j estivermos familiarizados com as Sries de Fourier.

    1.3.1 Determinao dos Coecientes de Fourier

    Dada uma funo f peridica de perodo T nosso objetivo determinar os Coecientes de Fourierpara esta funo em particular. Em outras palavras, determinar os coecientes de Fourier da

    representao em Srie de Fourier para a dada funo. Para tal m lanaremos mo das relaes

    de ortogonalidade anteriormente discutidas.

    1

    Jean Baptiste Joseph Fourier, Fsico-Matemtico francs (1768 1830). Fourier utilizou sries da forma (1.6)em seu famoso trabalho Thorie Analytique de la Chaleur, onde estudou os fenmenos de conduo de calor.

    8

  • Determinao de a0: integramos2 ambos os membros de (1.8) sobre o intervalo [0, T ]:Z T

    0f(x)dx =

    Z T

    0

    a0

    2+

    X

    n=1

    ancos

    n0x

    + bnsen

    n0x

    dx

    =

    Z T

    0

    a0

    2dx+

    X

    n=1

    Z T

    0ancos

    n0x

    dx+

    Z T

    0bnsen

    n0x

    dx

    =

    a0

    2x

    T

    0

    +X

    n=1

    an

    n0sen

    n0x

    T

    0

    bn

    n0cos

    n0x

    T

    0

    =

    a0

    2T

    +X

    n=1

    an

    n0

    sen

    n0T sen0

    bnn0

    cos

    n0T cos0

    =

    a0

    2T

    +X

    n=1

    an

    n0

    sen

    2npi 0

    bnn0

    cos

    2npi 1

    =a0

    2T,

    uma vez que sen(2npi

    )= 0 e cos

    (2npi

    )= 1 n Z. Assim o coeciente a0 dado por

    a0 =2T

    T0

    f(x)dx. (1.9a)

    Determinao de an: multiplicamos ambos os membros de (1.8) por cos(m0x

    )e inte-

    gramos sobre o intervalo [0, T ]:Z T

    0f(x)cos

    m0x

    dx =

    Z T

    0

    a0

    2cos

    m0x

    +X

    n=1

    ancos

    n0x

    cos

    m0x

    + bnsen

    n0x

    cos

    m0x

    dx

    =

    Z T

    0

    a0

    2cos

    m0x

    dx+X

    n=1

    an

    Z T

    0cos

    n0x

    cos

    m0x

    dx+

    + bn

    Z T

    0sen

    n0x

    cos

    m0x

    dx.

    Pela equao (1.5c) a segunda integral do somatrio nula. Pela equao (1.5a) a segunda

    integral do somatrio nula para m 6= n e vale T2 para m = n. Assim temosZ T

    0f(x)cos

    n0x

    dx =a0

    2n0

    sen

    n0x

    T

    0

    + anT

    2

    =a0

    2n0

    sen

    n0T sen0

    + anT

    2

    =a0

    2n0

    sen

    2npi sen0

    + anT

    2= an

    T

    2,

    uma vez que sen(2npi

    )= 0 n Z. Assim o coeciente an dado por

    an =2T

    T0

    f(x)cos(n0x

    )dx. (1.9b)

    2

    Uma srie de funes pode ser derivada e integrada termo a termo somente se ela for uniformemente conver-

    gente. Este o caso das Sries de Fourier. Veja os Captulos 1 e 2 da referncia [3].

    9

  • Determinao de bn: multiplicamos ambos os membros de (1.8) por sen(m0x

    )e inte-

    gramos sobre o intervalo [0, T ]. Fica a cargo do leitor, Problema 7 da pgina 16, vericarque

    bn =2T

    T0

    f(x)sen(n0x

    )dx. (1.9c)

    As equaes (1.9a), (1.9b) e (1.9c) so chamadas Frmulas de Euler-Fourier e se destinam

    ao clculo dos Coecientes de Fourier da srie (1.8) para uma dada funo f peridica de perodoT . Na deduo destas Frmulas integramos sobre o intervalo [0, T ], mas como

    f, cos(n0x) e sen(n0x),

    onde 0 = 2piT , so todas peridicas de mesmo perodo T , os resultados dos Problemas 3 (pgina5) e 4 (pgina 6) nos mostram que tal integrao poderia se dar sobre qualquer intervalo de

    comprimento T . Assim, para o clculo dos coecientes a0, an e bn podemos integrar sobrequalquer intervalo de comprimento T ; evidentemente escolhemos o intervalo mais conveniente.

    1.3.2 Exemplos de Sries de Fourier

    Resumindo nossos resultados at o momento: se f : R R uma funo peridica de perodoT , ento f pode ser representada por uma Srie de Fourier da forma

    f(x) a02+

    n=1

    ancos(n0x) + bnsen(n0x) (1.10)

    onde 0 a freqncia fundamental de f (e tambm da Srie de Fourier), dada por 0 = 2piT . Oscoecientes a0, an e bn so dados pelas Frmulas de Euler-Fourier3

    a0 =2T

    Tf(x)dx, (1.11a)

    an =2T

    Tf(x)cos(n0x)dx, n = 1, 2, . . . (1.11b)

    bn =2T

    Tf(x)sen(n0x)dx, n = 1, 2, . . . (1.11c)

    Exemplo 1.5 Determine a representao em Srie de Fourier da onda quadrada mostrada na

    Figura 1.4.

    3

    A simbologia

    R

    T. . . dx signica integrao sobre um perodo de f .

    10

  • -6

    0 pi 2pi 3pipi2pi3pi

    1

    1

    x

    f(x)

    Figura 1.4: Onda Quadrada - Perodo 2pi.

    O perodo desta onda quadrada T = 2pi e sua freqncia fundamental 0 = 2piT = 1. Suaforma analtica pode ser dada por

    4

    f(x) ={ 1 , pi x < 0

    1 , 0 x < pi , f(x+ 2pi) = f(x).

    Passemos ento aos clculos dos coecientes de Fourier.

    Clculo de a0: usando a equao (1.11a) temos

    a0 =2

    2pi

    Z pi

    pif(x)dx =

    1

    pi

    Z 0

    pidx+

    Z pi

    0dx

    = 1pi

    x

    0

    pi+

    1

    pi

    x

    pi

    0

    = 1pi

    0 + pi

    +1

    pi

    pi 0

    = 1 + 1 = 0.

    Clculo de an: usando a equao (1.11b), com 0 = 1, temos

    an =2

    2pi

    Z pi

    pif(x)cos(nx)dx

    =1

    pi

    Z 0

    picos(nx)dx+

    Z pi

    0cos(nx)dx

    = 1npi

    sen(nx)

    0

    pi+

    1

    npi

    sen(nx)

    pi

    0

    = 1npi

    sen(0) sen(npi)

    +1

    npi

    sen(npi) sen(0)

    = 1npi

    0 + sen(npi)

    +1

    npi

    sen(npi) 0

    = 0,

    pois o seno de mltiplos inteiros de pi zero.

    4

    Uma vez que a funo peridica, devemos express-la analiticamente em um intervalo do tamanho de seu

    perodo e a seguir indicar sua periodicidade. A escolha deste intervalo arbitrria e em muitos casos a mais

    conveniente o intervalo centrado na origem.

    11

  • Clculo de bn: usando a equao (1.11c), com 0 = 1, temos

    bn =2

    2pi

    Z pi

    pif(x)sen(nx)dx

    =1

    pi

    Z 0

    pisen(nx)dx+

    Z pi

    0sen(nx)dx

    =1

    npi

    cos(nx)

    0

    pi 1npi

    cos(nx)

    pi

    0

    =1

    npi

    cos(0) cos(npi)

    1npi

    cos(npi) cos(0)

    =1

    npi

    1 cos(npi)

    1npi

    cos(npi) 1)

    =2

    npi

    1 cos(npi)

    .

    pois sendo o cosseno par, cos(npi) = cos(npi).Substituindo a0 = 0, an = 0 e 0 = 1 na equao (1.10), a representao em Srie de Fourierdesta onda quadrada tem a forma

    f(x) n=1

    bnsen(nx),

    isto , a Srie s possui termos em senos

    5

    . Substituindo o valor encontrado para bn podemosescrever

    f(x) n=1

    2npi

    [1 cos(npi)

    ]sen(nx), (1.12a)

    que uma forma bastante desajeitada. Utilizando a equao (1) (Formulrio - pgina 53),

    podemos reescrever bn como

    bn ={

    0 , se n par4npi , se n mpar

    , (1.12b)

    isto , temos apenas termos para valores mpares de n. Assim, utilizando os valores de bn dadospela equao (1.12b) a expanso da Srie (1.12a) ca

    f(x) 4pisen(x) +

    43pi

    sen(3x) +45pi

    sen(5x) +47pi

    sen(7x) + . . .

    ou, reescrevendo-a na forma de somatrio (observe que temos apenas termos mpares)

    f(x) 4pi

    k=0

    12k + 1

    sen[(2k + 1)x

    ]. (1.12c)

    12

  • -6

    @

    @@@

    @

    @@

    @@@@

    @

    @@@

    0 1 2 3123

    1

    x

    f(x)

    Figura 1.5: Onda Triangular - Perodo 2.

    Exemplo 1.6 Determine a representao em Srie de Fourier da onda triangular mostrada na

    Figura 1.5.

    O perodo desta onda triangular T = 2 e sua freqncia fundamental 0 = 2piT = pi. Suaforma analtica pode ser dada por

    f(x) ={ x , 1 x < 0

    x , 0 x < 1 , f(x+ 2) = f(x).

    Passemos ento aos clculos dos coecientes de Fourier.

    Clculo de a0: usando a equao (1.11a) temos

    a0 =2

    2

    Z 1

    1f(x)dx =

    Z 0

    1xdx+Z 1

    0xdx =

    x2

    2

    0

    1+

    x2

    2

    1

    0

    =

    0 12

    +

    1

    2 0

    =1

    2+1

    2= 1.

    Clculo de an: usando a equao (1.11b), com 0 = pi, temosan =

    2

    2

    Z 1

    1f(x)cos(npix)dx

    =

    Z 0

    1x cos(npix)dx+Z 1

    0x cos(npix)dx

    Pela equao (4) (Formulrio - pgina 53), com 0 = pi, obtemos

    an =

    x

    npisen(npix) +

    1

    n2pi2cos(npix)

    0

    1+

    x

    npisen(npix) +

    1

    n2pi2cos(npix)

    1

    0

    =

    1

    n2pi2cos(0) +

    1

    npisen(npi) 1

    n2pi2cos(npi)

    +

    1

    npisen(npi) +

    1

    n2pi2cos(npi) 1

    n2pi2cos(0)

    =

    1

    n2pi2 1n2pi2

    cos(npi)

    +

    1

    n2pi2cos(npi) 1

    n2pi2

    =2

    n2pi2

    cos(npi) 1

    5

    Adiante, seo 1.5, veremos que isto no uma mera coincidncia.

    13

  • Clculo de bn: usando a equao (1.11c), com 0 = pi, temosbn =

    2

    2

    Z 1

    1f(x)sen(npix)dx

    =

    Z 0

    1x sen(npix)dx+Z 1

    0x sen(npix)dx

    Pela equao (3) (Formulrio - pgina 53), com 0 = pi, obtemos

    bn =

    xnpi

    cos(npix) +1

    n2pi2sen(npix)

    0

    1+

    xnpi

    cos(npix) +1

    n2pi2sen(npix)

    1

    0

    =

    1

    n2pi2sen(0) 1

    npicos(npi) 1

    n2pi2sen(npi)

    +

    1npi

    cos(npi) +1

    n2pi2sen(npi) 1

    n2pi2sen(0)

    =1

    npicos(npi) 1

    npicos(npi) = 0

    Substituindo bn = 0 e 0 = pi na equao (1.10), a representao em Srie de Fourier destaonda triangular tem a forma

    f(x) a02+

    n=1

    ancos(npix),

    isto , a Srie possui o termo constante

    a02 e termos em cossenos6

    . Substituindo o valores

    encontrados para a0 e an podemos escrever

    f(x) 12+

    n=1

    2n2pi2

    [cos(npi) 1

    ]cos(npix). (1.13a)

    Utilizando a equao (1) (Formulrio - pgina 53), podemos reescrever an como

    an ={

    0 , se n par 4n2pi2

    , se n mpar, (1.13b)

    isto , temos apenas termos para valores mpares de n. Assim, utilizando os valores de an dadospela equao (1.13b) a expanso da Srie (1.13a) ca

    f(x) 12 4pi2

    cos(pix) 49pi2

    cos(3pix) 425pi2

    cos(5pix) 449pi2

    cos(7pix) + . . .

    ou, reescrevendo-a na forma de somatrio

    f(x) 12 4pi2

    k=0

    1(2k 1)2 sen

    [(2k 1)pix]. (1.13c)1.3.3 Problemas Propostos

    (1) Refaa os clculos do Exemplo 1.5 (pgina 10) integrando sobre o intervalo

    6

    Adiante, seo 1.5, veremos que isto no uma mera coincidncia.

    14

  • (a) [0, 2pi] (b) [2pi, 0] (c) [2pi, 4pi]

    (2) Refaa os clculos do Exemplo 1.6 (pgina 13) integrando sobre o intervalo

    (a) [0, 2] (b) [2, 0] (c) [2, 4]

    (3) Determine a forma analtica e a representao em Srie de Fourier da funo peridica.

    -

    6

    0 1 2 3123

    1

    x

    f(x)

    (4) Determine a forma analtica e a representao em Srie de Fourier da funo peridica.

    -

    6

    0 pi 2pi 3pipi2pi3pi

    pi

    x

    f(x)

    (5) Para cada funo peridica a seguir esboce seu grco em um intervalo de trs perodos e

    encontre sua representao em Srie de Fourier.

    (a) f(x) ={

    0 , 1 x < 01 , 0 x < 1 , f(x) = f(x+ 2).

    (b) f(x) ={

    0 , pi x < 0x , 0 x < pi , f(x+ 2pi) = f(x).

    (c) f(x) ={ 3 x , 3 x < 0

    3 x , 0 x < 3 , f(x) = f(x+ 6).

    (d) (reticador de meia onda) f(x) ={

    0 , pi x < 0sen(x) , 0 x < pi , f(x) = f(x+ 2pi).

    (e) (reticador de onda completa) f(x) = sen(x), 0 x < pi, f(x) = f(x+ pi).

    15

  • (6) Use a representao em Srie de Fourier da onda triangular da Figura 1.5, dada pela

    equao (1.13c), para mostrar que

    pi2

    8= 1 1

    4+19 116

    +125 149

    + . . .

    (7) Verique a validade da equao (1.9c).

    1.4 O Teorema de Fourier*

    Nesta seo discutiremos brevemente as funes representveis por Sries de Fourier. Iniciamos

    denindo a seguinte notao para os limites laterais de uma funo:

    limite lateral esquerda:limxa

    f(x) = f(a 0);

    limite lateral direita:limxa+

    f(x) = f(a+ 0).

    Tambm de fundamental importncia o conceito de funo seccionalmente contnua (ou

    funo contnua por partes).

    Denio 1.5 (Funo seccionalmente contnua) Uma funo f seccionalmente contnuaem um intervalo [a, b] se pudermos subdividir o intervalo em um nmero nito de pontos

    a t0 < t1 < . . . < tn b

    de modo que f seja contnua em cada subintervalo aberto ti1 < x < ti, i = 1, . . . , n (Figura1.6(a)).

    Em outras palavras, f seccionalmente contnua no intervalo [a, b] se ela contnua em todo ointervalo, exceto em um nmero nito de pontos t0 < t1 < . . . < tn deste intervalo. importanteobservar que, pela continuidade em cada subintervalo, os limites laterais

    limxa+i

    f(x) = f(ai + 0) e limxai

    f(x) = f(ai 0),

    existem (so nitos).

    Obviamente toda funo contnua seccionalmente contnua. Um exemplo simples de funo

    que no seccionalmente contnua a funo f(x) = 1x , uma vez que os limites laterais em x = 0so innitos (Figura 1.6(b)).

    16

  • -6

    bb b

    a b x

    f(x)

    (a) Uma funo seccionalmente contnua.

    -

    6

    x

    f(x) = 1x

    (b) Uma funo no seccionalmente con-

    tnua.

    Figura 1.6: O conceito de funo seccionalmente contnua.

    Denio 1.6 (Funo seccionalmente diferencivel) Uma funo f dita seccionalmentediferencivel em um intervalo [a, b] se f e sua derivada f so seccionalmente contnuas em [a, b].

    Teorema 1.7 (Teorema de Fourier) Seja f : R R uma funo seccionalmente diferen-civel e peridica de perodo T . Ento a representao em Srie de Fourier de f , dada pelaequao (1.10), converge em cada x para 12

    [f(x 0) + f(x+ 0)]; isto

    a02+

    n=1

    ancos(n0x) + bnsen(n0x) =12[f(x 0) + f(x+ 0)]. (1.14)A demonstrao do Teorema de Fourier est alm do escopo deste texto introdutrio. Vamos

    simplesmente comentar sobre dois aspectos importantes do Teorema.

    Para ser representvel por uma Srie de Fourier uma funo f deve ser peridica e sec-cionalmente diferencivel. A condio de ser seccionalmente diferencivel uma condio

    suciente, mas no necessria, para que f possa ser expandida em Srie de Fourier. Emoutras palavras, toda funo peridica e seccionalmente contnua representvel por Srie

    de Fourier, mas existem funes representveis por Srie de Fourier que no so seccional-

    mente contnuas. Isto implica que poderamos enfraquecer as hipteses do Teorema de

    modo a cobrir um nmero mais amplo de funes

    7

    .

    Em termos de convergncia o Teorema arma que a representao em Srie de Fourierde uma funo f converge para o ponto mdio dos limites laterais de f para todo x.

    7

    Uma discusso bastante detalhada sobre as Sries de Fourier, incluindo a demonstrao do Teorema de Fourier,

    pode ser encontrada nos Captulos 1, 2 e 3 da referncia [3].

    17

  • Obviamente isto implica que, nos pontos onde f contnua a Srie de Fourier convergepara a prpria imagem de f ; onde f descontnua, por exemplo onde f apresenta umsalto, a Srie de Fourier converge para a mdia das imagens nos extremos do salto.

    Exemplo 1.7 Considere a representao em Srie de Fourier da onda quadrada, mostrada na

    Figura 1.4 (pgina 11), obtida no Exemplo 1.5 (pgina 10). Pelo Teorema de Fourier temos que:

    (a) em x = pi2 a funo contnua e tem imagem f(pi2

    )= 1, logo sua representao emSrie de Fourier, dada pela equao (1.12c), converge para 1;

    (b) em x = pi a funo descontnua (apresenta um salto), logo sua representao em Sriede Fourier, dada pela equao (1.12c), converge para a mdia dos limites laterais em x = pi,logo converge para

    12 . Observe na Figura 1.4 que o mesmo comportamento de convergncia

    ocorre em x = 0,pi,2pi, . . ..

    1.5 Simetria ondulatria

    Denio 1.8 (Funo par) : uma funo f : R R dita par sef(x) = f(x), x no domnio de f.Geometricamente, se f par seu grco simtrico em relao ao eixo y (Figura 1.7). Observeque f(a) = f(a), f(b) = f(b) etc.

    -

    6

    x

    f(x)

    a

    f(a)

    a

    f(a)

    b

    f(b)

    b

    f(b)

    Figura 1.7: Uma funo par.

    Alguns exemplos de funes pares so f(x) = c (funo constante), f(x) = |x| (funomodular), f(x) = x2, f(x) = x4, f(x) = xn para n par. Um outro exemplo importante defuno par f(x) = cos(x) (Figura 1.3).

    Denio 1.9 (Funo mpar) : uma funo f : R R dita mpar sef(x) = f(x), x no domnio de f.

    18

  • Geometricamente, se f mpar seu grco simtrico em relao origem (Figura 1.8). Observeque f(a) = f(a), f(b) = f(b) etc.

    -

    6

    x

    f(x)

    a

    f(a)

    a

    f(a)

    b

    f(b)

    b

    f(b)

    Figura 1.8: Uma funo mpar.

    Alguns exemplos de funes mpares so f(x) = x, f(x) = x3, f(x) = xn para n mpar. Umoutro exemplo importante de funo par f(x) = sen(x) (Figura 1.3).

    Observaes

    (i) A nica funo que simultaneamente par e mpar a funo identicamente nula f(x) = 0,ou seja, a funo cuja imagem zero para todo o domnio;

    (ii) se f uma funo mpar que contenha 0 (zero) no domnio, ento obrigatoriamente teremosf(0) = 0;

    (iii) a grande maioria das funes que ocorrem no so nem pares nem mpares. Estamos

    particularmente interessados nas funes pares e mpares pois suas representaes em sries

    de Fourier aparecem na resoluo de equaes diferenciais parcias importantes da Fsica-

    Matemtica e Engenharia.

    1.5.1 Propriedades das funes pares e mpares

    A soma (diferena) e o produto (quociente) de funes pares e mpares possuem propriedades

    importantes, as quais listaremos a seguir. Tais propriedades simplicaro bastante nosso trabalho

    na representao em Sries de Fourier de funes pares e mpares.

    (S1) A soma (diferena) de duas funes pares par;

    (S2) a soma (diferena) de duas funes mpares mpar;

    (S3) a soma (diferena) de uma funo par e uma funo mpar no nem par nem mpar.

    19

  • (P1) O produto (quociente) de duas funes pares par.

    (P2) O produto (quociente) de duas funes mpares par.

    (P3) O produto (quociente) de uma funo par e uma funo mpar mpar

    As provas so bastante simples. Provaremos P2 e deixaremos as demais como exerccio para

    o leitor no Problema 4 (pgina 26).

    Prova de P4

    Sejam I1, I2 : R R duas funes mpares, isto I1(x) = I1(x) e I2(x) = I2(x). Dena o produto P (x) = I1(x)I2(x); logo temos:

    P (x) = I1(x)I2(x) =[I1(x)][I2(x)] = I1(x)I2(x) = P (x),isto , com a hiptese que I1 e I2 so mpares, mostramos que o produto P (x) = I1(x)I2(x)satisfaz P (x) = P (x), logo este produto par.

    Dena o quociente Q(x) = I1(x)I2(x) ; logo temos:

    Q(x) = I1(x)I2(x) =

    I1(x)I2(x) =

    I1(x)I2(x)

    = Q(x),

    isto , com a hiptese que I1 e I2 so mpares, mostramos que o quociente Q(x) =I1(x)I2(x)

    satisfaz Q(x) = Q(x), logo este quociente par.

    Proposio 1.10 : Se f uma funo par integrvel no intervalo [L,L] ento LL

    f(x)dx = 2 L0

    f(x)dx

    Geometricamente a proposio bvia, uma vez que sendo f par a rea sob a curva no intervalo[L, 0] igual rea sob a curva no intervalo [0, L], Figura 1.9(a). Formalmente temos: L

    Lf(x)dx =

    0L

    f(x)dx+ L0

    f(x)dx;

    fazendo x = t na primeira integral do membro direito, temos dx = dt; logo LL

    f(x)dx = 0Lf(t)dt+

    L0

    f(x)dx = L0

    f(t)dt+ L0

    f(x)dx = 2 L0

    f(x)dx.

    20

  • -6

    0x

    f(x)

    LL

    (a) Funo par: reas nos intervalos [L, 0] e [0, L] iguais com mesmo sinal.

    -

    6

    x

    f(x)

    L

    L

    (b) Funo mpar: reas nos intervalos [L, 0] e [0, L] iguais com sinais contrrios.

    Figura 1.9: Funo par e funo mpar no intervalo [L,L].

    Proposio 1.11 : Se f uma funo mpar integrvel no intervalo [L,L] ento LL

    f(x)dx = 0

    Geometricamente a proposio bvia, uma vez que sendo f mpar a rea sob a curva no intervalo[L, 0] igual rea sob a curva no intervalo [0, L], porm como tais reas tm sinais contrriosa soma se cancela, Figura 1.9(b). Formalmente temos: L

    Lf(x)dx =

    0L

    f(x)dx+ L0

    f(x)dx;

    fazendo x = t na primeira integral do membro direito, temos dx = dt; logo LL

    f(x)dx = 0Lf(t)dt+

    L0

    f(x)dx = L0

    f(t)dt+ L0

    f(x)dx = 0.

    21

  • 1.5.2 Sries de Fourier de funes pares e mpares

    Proposio 1.12 (Srie de Fourier de uma funo par) a Srie de Fourier de uma funo

    f , par, peridica de perodo T e freqncia fundamental 0 = 2piT , uma srie de cossenos, isto

    f(x) a02+

    n=1

    ancos(n0x). (1.15a)

    Para a vericao desta proposio suponhamos que f par e peridica de perodo T = 2L,onde L o meio perodo.

    Calculando a0, equao (1.11a), obtemos:

    a0 =2T

    T0

    f(x)dx =4T

    L0

    f(x)dx, (1.15b)

    uma vez que o integrando par e pela Proposio 1.10 podemos substituir a integral no

    intervalo [L,L] por duas vezes a integral no intervalo [0, L]. Calculando an, equao (1.11b), obtemos:

    an =2T

    T0

    f(x)cos(n0x

    )dx =

    4T

    L0

    f(x)cos(n0x

    )dx, (1.15c)

    uma vez que pela a propriedade P1 o integrando f(x)cos(n0x

    ) par e pela Proposio

    1.10 podemos substituir a integral no intervalo [L,L] por duas vezes a integral no intervalo[0, L].

    Calculando bn, equao (1.11c), obtemos:

    bn =2T

    T0

    f(x)sen(n0x

    )dx =

    2T

    LL

    f(x)sen(n0x

    )dx = 0,

    uma vez que pela a propriedade P3 o integrando f(x)sen(n0x

    ) mpar e pela Proposio

    1.11 a integral se anula.

    Logo, se f par e peridica de perodo T , sua expanso em Srie de Fourier da forma (1.15a)(veja a representao em Srie de Fourier da onda triangular do Exemplo 1.6 na pgina 13).

    Exemplo 1.8 Determine a expanso em Srie de Fourier da funo peridica

    f(x) = x2, 1 x < 1, f(x) = f(x+ 2),mostrada na Figura 1.10.

    O perodo da onda T = 2 e sua freqncia fundamental 0 = 2piT = pi. Neste caso, como aonda apresenta simetria par temos bn = 0 e devemos determinar apenas a0 e an.

    22

  • -6

    0 1 2 3 41234 x

    f(x)

    Figura 1.10: Funo peridica f(x) = x2, 1 x < 1, Perodo 2.

    Clculo de a0: substituindo T = 2, L = 1 e 0 = pi na equao (1.15b) obtemos

    a0 =42

    10x2dx = 2

    [x3

    3

    ]10

    =23.

    Clculo de an: substituindo T = 2, L = 1 e 0 = pi na equao (1.15c) obtemos

    an =42

    10x2cos(npix)dx.

    Usando a equao (7) (Formulrio - pgina 53), com 0 = pi, obtemos

    an =42

    [x2

    npisen(npix) +

    2xn2pi2

    cos(npix) 2n3pi3

    sen(npix)]10

    =42

    [1npi

    sen(npi) +2

    n2pi2cos(npi) 2

    n3pi3sen(npi) 0 0 2

    n3pi3sen(0)

    ]=

    4n2pi2

    cos(npi)

    Assim, pela equao (1.15a) com 0 = pi, a representao em Srie de Fourier da funo ca

    f(x) 13+

    4pi2

    n=1

    cos(npi)n2

    cos(npix), (1.16)

    ou, usando a equao (1) (Formulrio - pgina 53),

    f(x) 13+

    4pi2

    n=1

    (1)nn2

    cos(npix).

    23

  • Proposio 1.13 (Srie de Fourier de uma funo mpar) a Srie de Fourier de uma funo

    f , mpar, peridica de perodo T e freqncia fundamental 0 = 2piT , uma srie de senos, isto

    f(x) n=1

    bnsen(n0x). (1.17a)

    Para a vericao desta proposio suponhamos que f mpar e peridica de perodo T = 2L,onde L o meio perodo.

    Calculando a0, equao (1.11a), obtemos:

    a0 =2T

    T0

    f(x)dx =2T

    LL

    f(x)dx = 0,

    uma vez que o integrando mpar e pela Proposio 1.11 a integral se anula.

    Calculando an, equao (1.11b), obtemos:

    an =2T

    T0

    f(x)cos(n0x

    )dx =

    2T

    LL

    f(x)cos(n0x

    )dx = 0,

    uma vez que pela a propriedade P3 o integrando f(x)cos(n0x

    ) mpar e pela Proposio

    1.11 a integral se anula.

    Calculando bn, equao (1.11c), obtemos:

    bn =2T

    T0

    f(x)sen(n0x

    )dx =

    4T

    L0

    f(x)sen(n0x

    )dx, (1.17b)

    uma vez que pela a propriedade P2 o integrando f(x)sen(n0x

    ) par e pela Proposio

    1.10 podemos substituir a integral no intervalo [L,L] por duas vezes a integral no intervalo[0, L].

    Logo, se f mpar e peridica de perodo T , sua expanso em Srie de Fourier da forma(1.17a) (veja o a representao em Srie de Fourier da onda quadrada do Exemplo 1.5 na pgina

    10.)

    Exemplo 1.9 Determine a representao em Srie de Fourier da onda dente de serra mostrada

    na Figura 1.11.

    O perodo da onda T = 2pi e sua freqncia fundamental 0 = 2piT = 1. Sua forma analticapode ser dada por

    f(x) = x, se pi x < pi e f(x) = f(x+ 2pi).

    24

  • -6

    0 pi 2pi 3pipi2pi3pi

    pi

    pi

    x

    f(x)

    Figura 1.11: Onda Dente de Serra - Perodo 2pi.

    Neste caso, como a onda apresenta simetria mpar temos a0 = an = 0 e devemos determinarapenas bn. Substituindo T = 2pi, L = pi e 0 = 1 na equao (1.17b) obtemos

    bn =42pi

    pi0xsen(nx)dx =

    2pi

    pi0xsen(nx)dx,

    e pela equao (3) (Formulrio - pgina 53)

    bn =2pi

    [xncos(nx) +

    1n2

    sen(nx)]pi0

    = 2ncos(npi).

    Usando a equao (1) (Formulrio - pgina 53) bn pode ser reescrito como

    bn = 2(1)n

    n.

    Assim, pela equao (1.17a) com 0 = 1, a representao em Srie de Fourier da onda dentede serra ca

    f(x) 2n=1

    (1)nn

    sen(nx), (1.18)

    ou na forma expandida

    f(x) 21sen(x) 2

    2sen(2x) +

    23sen(3x) 2

    4sen(4x) +

    25sen(5x) . . .

    1.5.3 Problemas Propostos

    (1) Determine se as seguintes funes so pares, mpares ou nenhum dos dois (explique).

    25

  • (a) y = x3

    (b) y = x3 2x(c) y = x3 2x+ 1(d) y = tg(2x)

    (e) y = sec(x)

    (f) y = |x|3

    (2) Usando as propriedades das funes pares e mpares calcule as integrais dadas.

    (a)

    11 xdx

    (b)

    11 x

    4dx

    (c)

    pipi xsen(nx)dx

    (d)

    T2

    T2

    cos(2npixT

    )sen(2npixT

    )dx

    (e)

    pipi x

    4sen(nx)dx

    (f)

    pipi xcos(nx)dx

    (3) Nos problemas a seguir determine a representao em Srie de Fourier pedida para a funo

    dada. Esquematize o grco desta representao utilizando 3 perodos.

    (a) f(x) ={

    1 , 0 x < pi0 , pi x < 2pi , srie de cossenos, T = 4pi.

    (b) f(x) ={

    1 , 0 x < pi0 , pi x < 2pi , srie de senos, T = 4pi.

    (c) f(x) ={

    x , 0 x < 11 , 1 x < 2 , srie de cossenos, T = 4.

    (d) f(x) ={

    x , 0 x < 11 , 1 x < 2 , srie de senos, T = 4.

    (e) f(x) = x, 0 x < pi, srie de cossenos, T = 2pi. (Compare com o Exemplo 1.6 napgina 13.)

    (f) f(x) = x, 0 x < pi, srie de senos, T = 2pi. (Compare com o Exemplo 1.9 napgina 24.)

    (4) Prove as propriedades S1, S2, S3, P1 e P3 da soma (diferena) e produto (quociente) de

    funes pares e mpares da pgina 19 do texto. (Sugesto: veja a prova de P2 na pgina

    20).

    1.6 Expanses peridicas

    Muitas vezes surge a necessidade de representarmos por uma Srie de Fourier uma funo

    f : [0, a] R,

    isto , uma funo denida apenas no intervalo [0, a], Figura 1.12(a). Obviamente tal represen-tao no possvel, uma vez que f no peridica.

    26

  • Para contornar tal situao expandimos f periodicamente x R, Figura 1.12(b), e a seguirdeterminamos a Srie de Fourier desta expanso (observe que a expanso tem perodo a). ASrie de Fourier assim obtida, restrita ao intervalo [0, a], a representao procurada para f8.

    -

    6

    0 a x

    f(x)

    (a) f denida no intervalo [0, a].

    -

    6

    0 a 2a 3aa2a3a x

    f(x)

    (b) Expanso peridica de f .

    Figura 1.12: Funo sobre o intervalo [0, a] e sua expanso peridica

    Exemplo 1.10 Determine a representao em Srie de Fourier da funo

    f(x) = x, 0 x < pi,

    mostrada na Figura 1.13(a).

    Neste caso vamos determinar a Srie de Fourier da expanso peridica de f , mostrada naFigura 1.13(b), para a qual T = pi e 0 = 2.

    Clculo de a0: usando a equao (1.11a) temos

    a0 =2

    pi

    Z pi

    0xdx =

    2

    pi

    x2

    2

    pi

    0

    =

    pi2

    2 0

    = pi.

    Clculo de an: usando a equao (1.11b), com 0 = 2, temos

    an =2

    pi

    Z pi

    0xcos(2nx)dx =

    2

    pi

    x

    2nsen(2nx) +

    1

    4n2cos(2nx)

    pi

    0

    = 0

    Clculo de bn: usando a equao (1.11c), com 0 = 2, temos

    bn =2

    pi

    Z pi

    0xsen(2nx)dx =

    2

    pi

    x2n

    cos(2nx) +1

    4n2sen(2nx)

    pi

    0

    = 1ncos(2npi) = 1

    n

    8

    evidente que a Srie de Fourier da expanso peridica dene uma outra funo que no f , acontece queno intervalo de interesse [0, a] essa funo idntica a f .

    27

  • Assim, pela equao (1.10) com 0 = 2, a representao em Srie de Fourier da expansoperidica de f ca

    f(x) pi2

    n=1

    1nsen(2nx),

    ou na forma expandida

    f(x) pi2 11sen(2x) 1

    2sen(4x) 1

    3sen(6x) 1

    4sen(8x) 1

    5sen(10x) . . .

    -

    6

    0 pi

    x

    f(x)

    (a) f(x) = x no intervalo [0, pi].

    -

    6

    0 pi 2pi 3pipi2pi3pi

    x

    f(x)

    (b) Expanso peridica de f(x) = x.

    Figura 1.13: A funo f(x) = x no intervalo [0, pi] e sua expanso peridica.

    1.6.1 Expanses em meio perodo

    Nas sees 1.5 e 1.5.2 estudamos as funes peridicas com simetrias par e mpar e suas repre-

    sentaes em Sries de Fourier. Vimos que:

    se f par e peridica, ento pode ser expandida em uma Srie de Fourier de cossenos; se f mpar e peridica, ento pode ser expandida em uma Srie de Fourier de senos;Vimos tambm que nestes casos as Frmulas de Euler-Fourier que calculam os coecientes da

    Srie de Fourier, equaes (1.15b) e (1.15c) na srie de cossenos, equao (1.17b) na srie de

    senos, empregam a integrao em apenas meio perodo.

    Estes fatos nos sugere outras abordagens, conhecidas como expanses em meio perodo, para

    a representao em Srie de Fourier de uma funo f denida apenas no intervalo [0, a]:

    expanso par: a partir de f denimos uma nova funo com simetria par sobre o intervalo[a, a]. Estendemos esta nova funo periodicamente x R, Figura 1.14(b), e a seguirdeterminamos a Srie de Fourier desta expanso peridica (observe que a expanso tem

    perodo 2a). Uma vez que tal expanso peridica tem simetria par sua Srie de Fourierser uma srie de cossenos da forma (1.15a).

    28

  • expanso mpar: a partir de f denimos uma nova funo com simetria mpar sobre ointervalo [a, a]. Estendemos esta nova funo periodicamente x R, Figura 1.14(c), e aseguir determinamos a Srie de Fourier desta expanso peridica (observe que a expanso

    tem perodo 2a). Uma vez que tal expanso peridica tem simetria mpar sua Srie deFourier ser uma srie de senos da forma (1.17a).

    Nas expanses em meio perodo (par ou mpar) s necessitamos conhecer a denio da

    funo em meio perodo, ou seja, no intervalo [0, a], uma vez que o clculos dos coecientes deuma srie de cossenos ou de uma srie de senos empregam integrao em apenas meio perodo,

    conforme observamos nas equaes (1.15b) e (1.15c) para a srie de cossenos e (1.17b) para a

    srie de senos.

    Exemplo 1.11 Determine a expanso par em meio perodo da funo

    f(x) = x, 0 x < pi,mostrada na Figura 1.13(a).

    A expanso par de f mostrada na Figura 1.15. Observamos que para esta expanso temosT = 2pi e 0 = 1.

    Clculo de a0: usando a equao (1.15b) temos

    a0 =42pi

    pi0xdx =

    2pi

    [x2

    2

    ]pi0

    =[pi2

    2 0

    ]= pi.

    Clculo de an: usando a equao (1.15c), com 0 = 1, temos

    an =42pi

    pi0

    xcos(nx)dx =2pi

    [x

    nsen(nx) +

    1n2

    cos(nx)]pi0

    =2n2pi

    [cos(npi) 1

    ]Utilizando a equao (1) (Formulrio - pgina 53), podemos reescrever an como

    an ={

    0 , se n par 4n2pi

    , se n mpar,

    Assim, pela equao (1.15a) com 0 = 1, a representao em Srie de Fourier da expansopar de f ca

    f(x) pi2 4

    k=1

    1pi(2k 1)2 cos

    [(2k 1)x],ou na forma expandida

    f(x) pi2 4picos(x) 4

    9picos(3x) 4

    25picos(5x) 4

    49picos(7x) 4

    81pisen(9x) . . .

    29

  • Exemplo 1.12 Determine a expanso mpar em meio perodo da funo

    f(x) = x, 0 x < pi,

    mostrada na Figura 1.13(a).

    A expanso mpar de f exatamente a onda dente de serra mostrada na Figura 1.11 dapgina 25. Logo sua Srie de Fourier dada pela equao (1.18) da pgina 25.

    1.6.2 Problemas Propostos

    (1) Dada a funo f(x) ={

    x , 0 x < pipi , pi x < 2pi ,

    (a) esboce o grco de sua expanso peridica (perodo T = 2pi) no intervalo [6pi, 6pi] eencontre sua representao em Srie de Fourier;

    (b) esboce o grco de sua expanso peridica par (perodo T = 4pi) no intervalo [6pi, 6pi]e encontre sua representao em Srie de Fourier;

    (c) esboce o grco de sua expanso peridica mpar (perodo T = 4pi) no intervalo[6pi, 6pi] e encontre sua representao em Srie de Fourier.

    (2) Dada a funo f(x) ={

    1 , 0 x < 12 x , 1 x < 2 ,

    (a) esboce o grco de sua expanso peridica (perodo T = 2) no intervalo [6, 6] eencontre sua representao em Srie de Fourier;

    (b) esboce o grco de sua expanso peridica par (perodo T = 4) no intervalo [6, 6] eencontre sua representao em Srie de Fourier;

    (c) esboce o grco de sua expanso peridica mpar (perodo T = 4) no intervalo [6, 6]e encontre sua representao em Srie de Fourier.

    30

  • -6

    0 a x

    f(x)

    (a) Funo f denida apenas no intervalo [0, a].

    -

    6

    0 a 2a 3aa2a3a x

    f(x)

    (b) Expanso par de f .

    -

    6

    0 a 2a 3aa2a3a

    x

    f(x)

    (c) Expanso mpar de f .

    Figura 1.14: Expanses par e mpar de uma funo denida sobre o intervalo [0, a]

    31

  • -6

    0 pi 2pi 3pipi2pi3pi

    @

    @@@

    @@@@

    @@@@

    x

    f(x)

    Figura 1.15: Expanso par da funo f(x) = x denida no intervalo [0, pi].

    32

  • Captulo 2

    Sries de Fourier Complexa e Espectros

    Discretos

    2.1 Srie de Fourier Complexa

    Conforme vimos no Teorema de Fourier (pgina 17), se f : R R uma funo seccionalmentediferencivel e peridica de perodo T , ento f pode ser representada por uma Srie de Fourierda forma

    f(x) a02+

    n=1

    ancos(n0x) + bnsen(n0x) (2.1)

    onde 0 a freqncia fundamental de f (e tambm da Srie de Fourier), dada por

    0 =2piT.

    Os coecientes a0, an e bn so dados pelas Frmulas de Euler-Fourier

    a0 =2T

    Tf(x)dx, (2.2a)

    an =2T

    Tf(x)cos(n0x)dx, n = 1, 2, . . . (2.2b)

    bn =2T

    Tf(x)sen(n0x)dx, n = 1, 2, . . . (2.2c)

    Nosso objetivo obter uma representao em Srie de Fourier em termos de funes expo-

    nenciais complexas da forma

    ein0x, 0 =2piT, n Z,

    33

  • ao invs dos termos trigonomtricos da equao (2.1). Pela denio da funo exponencial

    complexa

    ex+iy = ex[cos(y) + isen(x)],

    temos que

    ein0x = cos(n0x) + isen(n0x), (2.3a)ein0x = cos(n0x) isen(n0x), (2.3b)uma vez que o cosseno par, cos() = cos(), e o seno mpar, sen() = sen(). Assim,por (2.3a)+ (2.3b), obtemos

    cos(n0x) =12

    (ein0x + ein0x

    ); (2.4a)

    e por (2.3a) (2.3b), lembrando que 1i = i, obtemos

    sen(n0x) = 12 i(ein0x ein0x

    ). (2.4b)

    Substituindo as equaes (2.4a) e (2.4b) no somatrio da equao (2.1) obtemos

    n=0

    ancos(n0x) + bnsen(n0x) =n=0

    12an

    (ein0x + ein0x

    ) 12i bn

    (ein0x ein0x

    )

    =n=0

    12(an ibn

    )ein0x +

    12(an + ibn

    )ein0x. (2.5)

    Agora denimos o coeciente cn como

    cn =12(an ibn

    ), (2.6)

    e observamos que

    cn =12(an + ibn

    ),

    de modo que a equao (2.5) pode ser reescrita como

    n=0

    ancos(n0x) + bnsen(n0x) =n=0

    cnein0x + cnein0x. (2.7)

    Pelas equaes (2.2b) e (2.2c) observamos que

    an =2T

    Tf(x)cos(n0x)dx =

    2T

    Tf(x)cos(n0x)dx = an,

    bn =2T

    Tf(x)sen(n0x)dx = 2

    T

    Tf(x)sen(n0x)dx = bn.

    34

  • Assim

    cn =12(an + ibn

    )=

    12(an ibn

    )= cn,

    e o somatrio em (2.7) pode ser reescrito como

    n=0

    ancos(n0x) + bnsen(n0x) =n=0

    cnein0x + cnein0x,

    ou simplesmente (fazendo n variar em todos os inteiros, exceto zero)

    n=0

    ancos(n0x) + bnsen(n0x) =nZ

    cnein0x. (2.8)

    Pelas equaes (2.2b) e (2.2c) o coeciente cn, denido pela equao (2.6), ca

    cn =12(an ibn

    )=

    12

    [2T

    Tf(x)cos(n0x)dx i 2

    T

    Tf(x)sen(n0x)dx

    ]=

    1T

    Tf(x)

    [cos(n0x) isen(n0x)

    ]dx

    =1T

    Tf(x)ein0x, n Z (2.9)

    Denimos tambm c0 = a02 , isto ,

    c0 =a02=

    122T

    Tf(x)dx =

    1T

    Tf(x)dx. (2.10)

    Usando as equaes (2.8) e (2.10) a expanso de f em Srie de Fourier Trigonomtrica, dadapela equao (2.1), pode ser reescrita como

    f(x) c0 +nZ

    cnein0x

    ou simplesmente (fazendo n variar em todos os inteiros, inclusive zero, e lembrando que e0 = 1)

    f(x) nZ

    cnein0x, (2.11)

    chamada de expanso em Srie de Fourier Complexa (ou Exponencial) de f . Fazendo n variarem todos os inteiros, inclusive zero, e observando que (2.10) um caso particular de (2.9) para

    n = 0, os coecientes da Srie (2.11) so dados pela equao (2.9), isto

    cn =1T

    Tf(x)ein0x, n Z (2.12)

    35

  • 2.1.1 Interpretao Matemtica da Srie de Fourier

    Do ponto de vista matemtico, as Sries de Fourier nos mostram que o conjunto{ein0x, 0 =

    2piT, n Z

    }forma uma base ortonormal, de dimenso innita, para o espao das funes seccionalmente

    diferencivies e peridicas de perodo T . A equao (2.11) exatamente a representao de umafuno deste espao nesta base. Os coecientes cn de cada funo base so dados pelos produtosinternos da equao (2.12). Demonstraes detalhadas destes breves comentrios podem ser en-

    contradas em diversas referncias na literatura; os leitores interessados encontraro um excelente

    material nos Captulos 1 e 2 da referncia [3].

    2.1.2 Interpretao Conceitual da Srie de Fourier

    Qualquer funo seccionalmente diferencivel e peridica de perodo T pode ser representada poruma soma (innita) de funes da forma

    ein0x, 0 = 2pi/T, n Z.

    Neste contexto denominamos as funes ein0x de harmnicos, ou seja, os constituintes fun-damentais de uma onda qualquer. Dizemos que ei0x o primeiro harmnico (ou harmnicofundamental, pois possui a mesma freqncia de f); ei20x o segundo harmnico (sua freqn-cia o dobro da freqncia de f); ei30x o terceiro harmnico (sua freqncia o triplo dafreqncia de f); e assim por diante. A equao (2.11), chamada equao de sntese, nos dizque f pode ser sintetizada pela soma de innitos harmnicos cujas freqncias so mltiplosinteiros de sua freqncia fundamental. Nesta soma, a contribuio de harmnico ponderada

    pelo respectivo coeciente cn, dado pela equao (2.12), chamada equao equao de anlise.Conforme veremos adiante, o coeciente cn nos informa a amplitude e o ngulo de fase de cadaum dos harmnicos constituintes de f .

    Exemplo 2.1 Determine a representao em Srie de Fourier Complexa da onda quadrada do

    Exemplo 1.5 (pgina 10) mostrada na Figura 1.4 (pgina 11).

    Conforme vimos no Exemplo 1.5 esta onda quadrada tem perodo T = 2pi, freqncia funda-mental 0 = 1 e forma analtica

    f(x) ={ 1 , pi x < 0

    1 , 0 x < pi , f(x+ 2pi) = f(x).

    36

  • Substituindo 0 = 1 na equao (2.12), cn ca

    cn =12pi

    pipi

    f(x)einxdx

    =12pi

    [ 0pieinxdx+

    pi0einxdx

    ]=

    12pi

    [1ineinx

    0pi 1ineinx

    pi0

    ]=

    12pi

    [1in

    (1 einpi

    ) 1in

    (einpi 1

    )]=

    12pi

    [2in 1in

    (einpi + einpi

    )]=

    12pi

    [2in 2incos(npi)

    ]=

    1inpi

    [1 cos(npi)

    ]=

    i

    npi

    [cos(npi) 1

    ]. (2.13a)

    Observe que c0 no pode ser calculado pela equao (2.13a), pois resultaria em diviso por zero.Logo devemos calcul-lo separadamente:

    c0 =12pi

    pipi

    f(x)dx =12pi

    [ 0pidx+

    pi0dx

    ]=

    12pi

    [pi + pi

    ]= 0 (2.13b)

    Utilizando a equao (1) (Formulrio - pgina 53), podemos reescrever a equao (2.13a) como

    cn ={

    0 , se n par 2inpi , se n mpar

    . (2.13c)

    Assim, substituindo 0 = 1 na equo (2.11), a representao em Srie de Fourier Complexa daonda quadrada da Figura 1.4 dada por

    f(x) 2ipi

    kZ

    12k + 1

    ei(2k+1)x.

    ou, na forma expandida

    f(x) . . . 2i5pi

    e5ix 2i3pi

    e3ix 2ipieix 2i

    pieix 2i

    3pie3ix 2i

    pie5ix . . .

    Exemplo 2.2 A partir dos coecientes complexos cn do Exemplo 2.1 determine os coecientestrigonomtricos a0, an e bn.

    37

  • Como c0 = a02 , equao (2.10), pelo resultado da equao (2.13b) temos a0 = 0. Paradeterminarmos an e bn observamos, pela equao (2.6), que

    cn =12(an ibn

    ), (2.14a)

    cn =12(an + ibn

    ); (2.14b)

    donde

    fazendo (2.14a)+(2.14b) : an = cn + cn, (2.14c)fazendo (2.14b)(2.14a) : ibn = cn cn. (2.14d)

    Usando a equao (2.14c) e o resultado da equao (2.13a), obtemos

    an =i

    npi

    [cos(npi) 1

    ]+(i)npi

    [cos(npi) 1

    ]= 0.

    Usando a equao (2.14d) e o resultado da equao (2.13a), obtemos

    ibn =i

    npi

    [cos(npi) 1

    ] (i)

    npi

    [cos(npi) 1

    ]=

    2inpi

    [cos(npi) 1

    ],

    logo

    bn =2npi

    [cos(npi) 1

    ],

    e usando a equao (1) (Formulrio - pgina 53), obtemos

    bn ={

    0 , se n par4npi , se n mpar

    .

    Observe que os resultados a0 = an = 0 j eram esperados, uma vez que a onda quadrada emquesto possui simetria mpar. Compare este resultado com o Exemplo 1.5 na pgina 10.

    Exemplo 2.3 Determine a representao em Srie de Fourier Complexa da onda triangular do

    Exemplo 1.6 (pgina 13) mostrada na Figura 1.5 (pgina 13).

    Conforme vimos no Exemplo 1.6 esta onda triangular tem perodo T = 2, freqncia funda-mental 0 = pi e forma analtica

    f(x) ={ x , 1 x < 0

    x , 0 x < 1 , f(x+ 2) = f(x).

    38

  • Substituindo 0 = pi na equao (2.12), cn ca

    cn =12

    11

    f(x)einpixdx

    =12

    [ 01xeinpixdx+

    10xeinpixdx

    ]. (2.15a)

    Pela equao (5) (Formulrio - pgina 53) com 0 = pi, a equao (2.15a) torna-se

    cn =12

    [(ix

    npi+

    1n2pi2

    )einpix

    01 +

    (ix

    npi+

    1n2pi2

    )einpix

    10

    ]=

    12

    [ 1n2pi2

    +( inpi

    +1

    n2pi2

    )einpi +

    (i

    npi+

    1n2pi2

    )einpi 1

    n2pi2

    ],

    e como, para n Z, einpi = cos(npi) = cos(npi) = einpi, obtemos

    cn =12

    [ 2n2pi2

    +2

    n2pi2cos(npi)

    ]=

    1n2pi2

    [cos(npi) 1

    ]. (2.15b)

    Observe que c0 no pode ser calculado pela equao (2.15b), pois resultaria em diviso por zero.Logo devemos calcul-lo separadamente:

    c0 =12

    11

    f(x)dx =12

    [ 01xdx+

    10xdx

    ]=

    12pi

    [x

    2

    2

    01 +

    x2

    2

    10

    ]=

    12

    (12+12

    )=

    12

    Usando a equao (1), a equao (2.15b) torna-se

    cn ={

    0 , se n par 2n2pi2

    , se n mpar.

    Assim, substituindo 0 = pi na equo (2.11), a representao em Srie de Fourier Complexa daonda triangular da Figura 1.5 dada por

    f(x) 12 2pi2

    kZ

    1(2k + 1)2

    ei(2k+1)pix. (2.15c)

    ou, na forma expandida

    f(x) . . . 225pi2

    e5ipix 29pi2

    e3ipix 2pi2

    eipix +12 2pi2

    eipix 29pi2

    e3ipix 2pi2

    e5ipix . . .

    2.1.3 Problemas Propostos

    (1) Refaa os clculos do Exemplo 2.1 (pgina 36) integrando sobre o intervalo

    39

  • (a) [0, 2pi] (b) [2pi, 0] (c) [2pi, 4pi]

    (2) Refaa os clculos do Exemplo 2.3 (pgina 38) integrando sobre o intervalo

    (a) [0, 2] (b) [2, 0] (c) [2, 4]

    (3) A partir dos coecientes complexos cn do Exemplo 2.3 determine os coecientes trigono-mtricos a0, an e bn. Compare o resultado com o Exemplo 1.6 na pgina 13.

    (4) Para cada funo peridica a seguir esboce seu grco em um intervalo de trs perodos e

    encontre sua representao em Srie de Fourier Complexa.

    (a) f(x) ={

    0 , 1 x < 01 , 0 x < 1 , f(x) = f(x+ 2).

    (b) f(x) ={

    0 , pi x < 0x , 0 x < pi , f(x+ 2pi) = f(x).

    (c) f(x) ={ 3 x , 3 x < 0

    3 x , 0 x < 3 , f(x) = f(x+ 6).

    (d) (reticador de meia onda) f(x) ={

    0 , pi x < 0sen(x) , 0 x < pi , f(x) = f(x+ 2pi).

    (e) (reticador de onda completa) f(x) = sen(x), 0 x < pi, f(x) = f(x+ pi).

    (5) Obtenha a representao em Srie de Fourier Complexa da funo peridica do Problema

    3 da pgina 15 a partir de sua representao em Srie de Fourier Trigonomtrica.

    (6) Obtenha a representao em Srie de Fourier Complexa da funo peridica do Problema

    4 da pgina 15 a partir de sua representao em Srie de Fourier Trigonomtrica.

    (7) Obtenha a representao em Srie de Fourier Complexa da funo peridica do Exemplo

    1.8 da pgina 22 a partir de sua representao em Srie de Fourier Trigonomtrica.

    (8) Analise as equaes (2.6) e (2.10) para se convencer que:

    (a) Se f possui simetria par ento os coecientes cn de sua expanso em Srie de FourierComplexa so nmeros reais puros;

    (b) Se f possui simetria mpar ento os coecientes cn de sua expanso em Srie de FourierComplexa so nmeros imaginrios puros;

    40

  • 2.2 Nmeros Complexos - Formas de Representao

    Antes de abordarmos os espectros discretos relembramos rapidamente alguns resultados funda-

    mentais sobre os nmeros complexos. O leitor que se sente confortvel com a lgebra elementar

    e as diversas formas de representao dos nmeros complexos pode passar diretamente para a

    Seo 2.3.

    Nmeros Complexos - Forma Cartesiana

    Um nmero complexo um nmero da forma z = x+ iy, onde

    x a parte real de z, e escrevemos x = Re[z], y a parte imaginria de z, e escrevemos y = Im[z].Os nmeros complexos podem ser representados por pontos em um plano cartesiano. Este plano

    denominado plano complexo, ou diagrama de Argand

    1

    . Dado um nmero complexo, grafamos

    sua parte real no eixo horizontal (chamado eixo real) e sua parte imaginria no eixo vertical

    (chamado eixo imaginrio). A Figura 2.1 ilustra tal representao.

    -

    6

    y

    x

    z = x+ iy = (x, y)

    |z|

    eixo real

    eixo imaginrio

    b

    Figura 2.1: Representao do nmero complexo z = x+ iy no plano complexo.

    Assim, cada nmero complexo z = x + iy est associado biunivocamente2 ao ponto (x, y)do plano complexo. Por esta razo, uma outra maneira de se denotar um nmero complexo

    z = x+ iy atravs do par ordenado (x, y), isto ,

    z = x+ iy = (x, y),1

    Jean Robert Argand (1768-1822), Matemtico francs. Seu artigo sobre o plano complexo apareceu em 1806.

    2

    A cada nmero complexo est associado um nico ponto do plano, e a cada ponto do plano est associado

    um nico nmero complexo.

    41

  • chamada forma cartesiana do nmero complexo. Na forma cartesiana ca implcito que a primeira

    componente do par ordenado a parte real do nmero complexo e a segunda componente sua

    parte imaginria.

    A amplitude (mdulo) e a fase (argumento) de um nmero complexo

    Dado um nmero complexo z = x + iy, sua amplitude (ou mdulo, ou valor absoluto, ou mag-nitude), denotada |z|, dada por

    |z| =x2 + y2, (2.16)

    isto , a amplitude de um nmero complexo a raiz quadrada da soma do quadrado da parte real

    com o quadrado da parte imaginria. Geometricamente a amplitude de um nmero complexo

    nos d a distncia do ponto que o representa origem do plano complexo. Para ver isto basta

    aplicar o Teorema de Pitgoras na Figura 2.1.

    A fase (ou argumento) de z = x + iy, a qual denotaremos por arg(z) ou pela letra , ongulo formado entre o semi-eixo real positivo e o segmento que representa |z| (Figura 2.1), epode ser obtida pela expresso

    = arctg(y

    x

    ), x 6= 0, y 6= 0. (2.17)

    Se a parte real x ou a parte imaginria y de um nmero complexo z = x + iy for nula, adeterminao de sua fase torna-se um pouco mais sutil. Vejamos as possibilidades

    (a) Se x = 0 nosso nmero complexo da forma z = 0 + iy = iy, ou seja um nmeroimaginrio puro e o ponto que o representa est sobre o eixo imaginrio. O valor de sua

    fase depende do sinal da parte imaginria y:

    (i) se y > 0, ento arg(z) = = pi2 (veja o nmero z1 na Figura 2.2);(ii) se y < 0, ento arg(z) = = pi2 (veja o nmero z2 na Figura 2.2).(b) Se y = 0 nosso nmero complexo da forma z = x+ i0 = x, ou seja um nmero real puroe o ponto que o representa est sobre o eixo real. O valor de sua fase depende do sinal da

    parte real x:

    (i) se x > 0, ento arg(z) = = 0 (veja o nmero z3 na Figura 2.2);(ii) se x < 0, ento arg(z) = = pi (veja o nmero z4 na Figura 2.2).Agrupando estes resultados com a equao (2.17), a fase de um nmero complexo z = x+ iy dada por:

    =

    arctg

    ( yx

    ), se x 6= 0 e y 6= 0

    pi2 , se x = 0 e y > 0pi2 , se x = 0 e y < 00 , se y = 0 e x > 0pi , se y = 0 e x < 0

    . (2.18)

    42

  • -6

    eixo real

    eixo imaginrio

    bz1 = i, = pi2

    bz2 = 2i, = pi2bz3 = 4, = 0bz4 = 7, = pi

    Figura 2.2: Alguns nmeros complexos e suas respectivas fases (argumentos).

    Nmeros Complexos - Forma Polar (ou Trigonomtrica)

    Na Figura 2.1 observamos que x = |z|cos() e y = |z|sen(), de modo que o nmero complexoz = x+ iy pode ser reescrito na forma

    z = x+ iy = |z|cos() + i |z|sen(),

    ou seja

    z = |z|[cos() + isen()], (2.19)chamada forma polar ou trigonomtrica de z.

    Nmeros Complexos - Forma Exponencial

    Pela denio da exponencial complexa ex+iy = ex[cos(y) + isen(x)], observamos que

    cos() + isen() = ei,

    de modo que a forma polar dada pela equao (2.19) pode ser reescrita como

    z = |z|ei, (2.20)

    chamada forma exponencial de z.

    Nmeros Complexos - Forma Fasorial

    Uma outra maneira de se representar um nmero complexo atravs de sua forma fasorial

    z =(|z|, ), (2.21)43

  • isto , atravs de um par ordenado onde a primeira componente nos d a amplitude do nmero

    complexo e a segunda componente nos d sua fase. A Figura 2.3 ilustra alguns exemplos onde o

    primeiro par ordenado representa o nmero complexo na forma cartesiana e o segundo representa

    o nmero complexo na forma fasorial.

    -

    6

    eixo real

    eixo imaginrio

    b (2, 2) 22, pi4

    b(2,2) 22, 3pi4

    b(0, 1) 1, pi

    2

    b(0,1) 1,pi

    2

    b(3, 0) (3, 0)b(3, 0) (3, pi)

    Figura 2.3: Alguns nmeros complexos - forma cartesiana e forma fasorial.

    2.2.1 Problemas Propostos

    (1) Represente cada nmero complexo a seguir em um mesmo plano complexo. A seguir

    determine sua amplitude e sua fase e reescreva-o nas formas cartesiana, polar, exponencial

    e fasorial.

    (a) z = 2 + 2i

    (b) z = 3 3i(c) z = 1 i(d) z = 2 +

    3i

    (e) z = 2 +3i(f) z = 13i(g) z = 13i(h) z = 2 + 2i

    (i) z = 3

    (j) z = 5(k) z = 2i

    (l) z = 4i

    44

  • 2.3 Os espectros de Amplitude e de Fase

    Os coecientes cn da expanso de uma funo em Srie de Fourier Complexa so nmeros com-plexos. Na verdade devemos entender cn como uma funo complexa de domnio discreto Z, isto, uma funo da forma

    cn : Z C,que associa a cada inteiro n Z um nmero complexo cn C.Por se tratar de uma funo, gostaramos de representar cn na forma grca cnn. Aconteceque tal representao no possvel, uma vez que as imagens cn so complexas. Para represen-tarmos gracamente uma funo complexa discreta f : Z C temos duas possibilidades.(a) Decompomos as imagens f(n) em suas partes real e imaginria, isto ,

    f(n) = Re[f(n)] + i Im[f(n)]

    e a seguir os traamos os grcos Re[f(n)] n e Im[f(n)] n separadamente. Tal repre-sentao, apesar de perfeitamente plausvel, possui pouca utilidade, pois geralmente no

    estamos interessados nos comportamentos de Re[f(n)] e Im[f(n)] de forma isolada.

    (b) Uma segunda possibilidade reescrevermos f(n) na forma fasorial

    f(n) =(|f(n)|, n)e a seguir traamos os grcos |f(n)| n e n n separadamente.Usando o segundo raciocnio podemos representar cn atravs de dois diagramas [4]: um paraas amplitudes (conhecido como espectro de amplitudes) e outro para as fases (conhecido como

    espectro de fases):

    Espectro de amplitudes: um diagrama onde grafamos os valores das amplitudes |cn|dos coecientes de Fourier versus n0, isto , um grco da forma3

    |cn| n0.

    Espectro de fase: um diagrama onde grafamos os valores das fases n dos coecientesde Fourier versus n0, isto , um grco da forma

    n n0.

    O prximo Exemplo ilustra a construo destes espectros.

    3

    Observamos que nos espectros de amplitudes e de fases utilizamos n0 (isto , mltiplos inteiros da freqnciafundamental) como varivel independente, e no simplesmente n. O motivo simples: n0 so exatamente asfreqncias dos (innitos) harmnicos que ocorrem na expanso em Srie de Fourier.

    45

  • Exemplo 2.4 Determine os espectros de amplitudes e de fases da onda dente de serra do Exem-

    plo 1.9 (pgina 24) mostrada na Figura 1.11 (pgina 25).

    Conforme vimos no Exemplo 1.9 esta onda quadrada tem perodo T = 2pi, freqncia funda-mental 0 = 1 e forma analtica

    f(x) = x, se pi x < pi e f(x) = f(x+ 2pi).

    Vimos tambm que os coecientes trigonomtricos so a0 = an = 0 e

    bn = 2ncos(npi).

    A partir dos coecientes trigonomtricos usamos as equaes (2.6) e (2.10) para determinar-

    mos cn. Pela equao (2.6) temos

    cn =12(an ibn

    )=

    12

    [0 + i

    2ncos(npi)

    ]= i

    cos(npi)n

    , (2.22)

    e pela equao (2.10) temos c0 = 0. Usando a equao (1) (Formulrio - pgina 53) podemosreescrever a equao (2.22) como

    cn =

    0 , se n = 0;in , se n > 0 e n par ou se n < 0 e n mpar,

    in , se n > 0 e n mpar ou se n < 0 e n par,ou na forma fasorial

    cn =(|cn|, n) =

    (0, 0) , se n = 0;(1n ,

    pi2

    ), se n > 0 e n par ou se n < 0 e n mpar,(

    1n ,pi2

    ), se n > 0 e n mpar ou se n < 0 e n par,

    Para obtermos o espectro de amplitudes grafamos |cn| (a primeira componente de cada parordenado da forma fasorial) em funo de n0, neste caso, em funo de npi. A Figura 2.4ilustra o espectro obtido.

    Para obtermos o espectro de fases grafamos n (a segunda componente de cada par ordenadoda forma fasorial) em funo de n0, neste caso, em funo de npi. A Figura 2.5 ilustra oespectro obtido.

    2.3.1 Comentrios sobre os Espectros de Amplitudes e de Fases

    (i) Geralmente um sinal dado no domnio do tempo. Os espectros representam exatamente

    o sinal no domnio da freqncia.

    46

  • -6

    0b

    pi

    b1

    2pi

    b 12

    3pi

    b 13

    4pi

    b 14

    5pi

    b 15

    pi

    b1

    2pi

    b12

    3pi

    b13

    4pi

    b14

    5pi

    b15

    n0

    |cn|

    Figura 2.4: Espectro de amplitudes da onda dente de serra da Figura 1.11.

    -

    6

    0b pi

    bpi22pi

    b pi2

    3pi

    bpi24pi

    b pi2

    5pi

    bpi2pi

    bpi2

    2pi

    bpi23pi

    bpi2

    4pi

    bpi25pi

    bpi2

    n0

    n

    Figura 2.5: Espectro de fases da onda dente de serra da Figura 1.11.

    (ii) Sendo o sinal peridico no domnio do tempo os espectros de amplitudes e de fases so

    espectros discretos, uma vez que apenas os harmnicos cujas freqncias so mltiplos

    inteiros da freqncia do sinal (ou seja, mltiplos inteiros da freqncia fundamental) so

    necessrios para sua sntese.

    (iii) O espectro de amplitudes possui simetria par (veja a Figura 2.4) e o espectro de fases

    possui simetria mpar (veja Figura 2.4). A vericao destes resultados ca a cargo do

    leitor (Problema 4). Devido a tais simetrias, algumas vezes os espectros so traados

    apenas para n 0.(iv) Para interpretarmos o signicado dos espectros inicialmente observamos que cada har-

    47

  • mnico exponencial consitudo de uma soma de harmnicos senoidais:

    ein0x = cos(n0x) + i sen(n0x).

    Usando a equao (2.20) podemos reescrever os coecientes cn na forma

    cn = |cn|ei n .

    Assim, cada termo na Srie Complexa dada pela equao (2.11) pode ser reescrito como

    cnein0x = |cn|ei nein0x

    = |cn|ei(n0x+n)= |cn|

    [cos(n0x+ n) + i sen(n0x+ n)

    ]= |cn|

    [cos[n0(x+

    nn0

    )]+ i sen

    [n0(x+

    nn0

    )]]. (2.23)

    Pela equao (2.23), a interpretao do espectro de amplitudes imediata: nos mostraa amplitude de cada harmnico em cada uma das freqncias que constituem o sinal.

    Por exemplo, na Figura 2.4 o ponto

    (3pi, 13

    )signica que o harmnico de freqncia

    3pi, isto , o harmnico ei3pix, possui amplitude 13 .

    A interpretao do espectro de fases mais sutil: pela equao (2.23) observamos quea translao horizontal (avano ou atraso) de cada harmnico que constitue o sinal

    dada por

    nn0. Assim, como o espectro de fases nos d a fase dos coecientes cn,para obtermos a translao horizontal de cada harmnico devemos dividir n (a fasedo coeciente) por n0 (a freqncia do harmnico). Por exemplo, na Figura 2.5 oponto

    (3pi,pi2

    )signica que o harmnico de freqncia 3pi, isto , o harmnico ei3pix,deve ter sua fase atrasada (deslocada para a direita) de

    pi/23pi =

    16 radianos na sntese

    do sinal.

    De posse dos espectros de amplitudes e de fases do sinal possvel obtermos sua representao

    em Srie de Fourier, bastando reescrever os coecientes cn na forma exponencial dada pelaequao (2.20). Assim

    cn = |cn|ei n , (2.24)onde |cn| obtido a partir dos espectros de amplitudes e n obtido a partir do espectro defases. O prximo Exemplo ilustra este procedimento.

    Exemplo 2.5 Obtenha a representao em Srie de Fourier do sinal cujos espectros so dados

    nas Figuras 2.6 e 2.7

    48

  • -614b

    pi

    b 2pi2

    2pi

    b3pi

    b 29pi2

    4pi

    b5pi

    b 125pi2

    6pi

    b7pi

    b 149pi2

    pi

    b

    2pib

    3pi

    b

    4pib

    5pi

    b6pib

    7pi

    bn0

    |cn|

    Figura 2.6: Espectro de amplitudes do Exemplo 2.5.

    Pelo espectro de amplitudes (Figura 2.6) observamos que

    |cn| =

    14 , se n = 00 , se n par2

    n2pi2, se n mpar

    ; (2.25a)

    e pelo espectro de fases (Figura 2.7)

    n ={

    0 , se n parpi , se n mpar

    . (2.25b)

    Usando a equao (2.24), as equaes (2.25a) e (2.25b) podem ser combinadas para obtermos

    (lembrando-se que eipi = cos(pi) + isen(pi) = 1)

    cn =

    14 , se n = 00 , se n par

    2n2pi2

    , se n mpar. (2.25c)

    Assim, de acordo com a equao (2.11), observando nos espectros que 0 = pi), a represen-tao em Srie de Fourier complexa deste sinal dada por

    4

    f(x) 14 2pi2

    kZ

    1(2k + 1)2

    ei(2k+1)pix.

    4

    Compare com a equao (2.15c).

    49

  • -6

    7pi 6pi 5pi 4pi 3pi 2pi pi pi 2pi 3pi 4pi 5pi 6pi 7pi

    b b b b b b b b

    b b b b b b b

    pi

    n0

    n

    Figura 2.7: Espectro de fases do Exemplo 2.5.

    ou, na forma expandida

    f(x) . . . 225pi2

    e5ipix 29pi2

    e3ipix 2pi2

    eipix +14 2pi2

    eipix 29pi2

    e3ipix 225pi2

    e5ipix . . .

    Para obtermos os coecientes trigonomtricos inicialmente observamos, pela equao (2.25c),

    que cn = cn. Assim, pela equao (2.14c) temos

    an = cn + cn ={

    0 , se n par 4n2pi2

    , se n mpar,

    e pela equao (2.14d)

    ibn = cn cn = 0, donde bn = 0.Finalmente, pela equao (2.10), temos a0 = 12 . Assim, de acordo com a equao (2.1), arepresentao em Srie de Fourier trigonomtrica deste sinal dada por

    5

    f(x) 14 4pi2

    k=1

    1(2k 1)2 cos [(2k 1)pix] .

    ou, na forma expandida

    f(x) 12 4pi2

    cos(pix) 49pi2

    cos(3pix) 425pi2

    cos(5pix) + . . .

    5

    Compare com a equao (1.13c).

    50

  • 2.3.2 Problemas Propostos

    (1) A partir dos coecientes complexos obtidos no Exemplo 2.1 (pgina 36), trace os espectros

    de amplitudes e de fases da onda quadrada da Figura 1.4 (pgina 11).

    (2) A partir dos coecientes complexos obtidos no Exemplo 2.3 (pgina 38), trace os espectros

    de amplitudes e de fases da onda triangular da Figura 1.5 (pgina 13).

    (3) A partir dos coecientes complexos obtidos no Problema 7 (pgina 40), trace os espectros

    de amplitudes e de fases da onda da Figura 1.10 (pgina 23).

    (4) Mostre que os espectros de amplitudes sempre possui simetria par e o espectro de fases

    sempre possui simetria mpar.

    -

    6

    n0

    |cn|

    a 12a 2pi

    pi

    a2pi

    a 23pi

    3pi

    a4pi

    a 25pi5pi

    a6pi

    a 27pi7pi

    a8pi

    (a) Espectros de amplitudes do Problema 5.

    -

    6

    n0

    n a pi2

    pi

    a2pi

    a

    3pi

    a4pi

    a

    5pi

    a6pi

    a

    7pi

    a8pi

    (b) Espectros de fases do Problema 5.

    Figura 2.8: Espectros do Problema 5.

    (5) Obtenha a representao em Srie de Fourier (Complexa e Trigonomtrica) do sinal cujos

    espectros so dados na Figura 2.8.

    (6) Obtenha a representao em Srie de Fourier (Complexa e Trigonomtrica) do sinal cujos

    espectros so dados na Figura 2.9.

    (7) Mostre que para uma funo peridica um atraso no tempo no tem nenhum efeito sobreo espectros de amplitudes mas altera o espectro de fases por n0 , isto , gera um atrasode n0 para a componenete de freqncia n0.

    51

  • -6

    n0

    |cn|

    a

    a 1

    1

    a 12

    2

    a 13

    3

    a 14

    4

    a 15

    5

    (a) Espectros de amplitudes do Problema 6.

    -

    6

    n0

    n a pi4

    1

    api4

    2

    a

    3

    a

    4

    a

    5

    (b) Espectros de fases do Problema 6.

    Figura 2.9: Espectros do Problema 6.

    52

  • Formulrio

    Resumimos aqui alguns resultados e algumas primitivas correntemente utilizadas quando tra-

    balhamos com Sries de Fourier. Sugerimos ao leitor vericar a veracidade de cada um destes

    resultados quando utiliz-los pela primeira vez.

    (1) cos(npi) = (1)n ={

    1 , se n par1 , se n mpar , n Z.

    (2) sen(npi) = 0, n Z.(3)

    xsen(n0x)dx = xn0 cos(n0x) + 1n220 sen(n0x).

    (4)

    xcos(n0x)dx = xn0 sen(n0x) +

    1n220

    cos(n0x).

    (5)

    xein0xdx =

    (ixn0

    + 1n220

    )ein0x.

    (6)

    x2sen(n0x)dx = x2n0 cos(n0x) + 2xn220 sen(n0x) +

    2n330

    cos(n0x).

    (7)

    x2cos(n0x)dx = x

    2

    n0sen(n0x) + 2xn220

    cos(n0x) 2n330 sen(n0x).

    53

  • Referncias Bibliogrcas

    [1] [Boyce1990] Boyce, Willian E.; Diprima, Richard C. Equaes Diferenciais Elementares

    e Problemas de Valores de Contorno. Terceira Edio. Editora Guanabara Koogan S.A.

    Rio de Janeiro, RJ, 1990.

    [2] [Edwards1995] Edwards Jr, C.H.; Penney, D. E. Equaes Diferenciais Elementares e

    Problemas de Valores de Contorno. Terceira Edio. Editora Prentice-Hall do Brasil.

    Rio de Janeiro, RJ, 1995.

    [3] [Djairo1977] Figueiredo, Djairo Guedes. Anlise de Fourier e Equaes Diferenciais

    Parciais. Rio de Janeiro, Instituto de Matemtica Pura e Aplicada, CNPq, 1977 (Projeto

    Euclides).

    [4] [Hsu1970] Hsu, Hwei P. Anlise de Fourier. Livros Tcnicos e Cientcos Ltda. Rio de

    Janeiro, Guanabara, 1970.

    54