19
UNIVERSIDADE ESTÁCIO DE SÁ CURSO DE ENGENHARIA CIVIL MAURY DA CUNHA CARVALHO JUNIOR SÉRIES DE FOURIER 1

séries de fourier

Embed Size (px)

Citation preview

UNIVERSIDADE ESTCIO DE SCURSO DE ENGENHARIA CIVIL

MAURY DA CUNHA CARVALHO JUNIOR

SRIES DE FOURIER

RIO DE JANEIRO - RJ2012MAURY DA CUNHA CARVALHO JUNIOR

SRIES DE FOURIER

[Trabalho acadmico sobre as sriesde Fourier, que visa ser somado como valor da nota da prova AV2 da Universidade Estcio de S CampusNorte Shopping]

RIO DE JANEIRO RJ2012

SUMRIOIntroduo ................................................................................................ 4A vida de Fourier ......................................................................................4O trabalho de Fourier (Sries) ..................................................................5Desenvolvimento da Srie ........................................................................8Aplicao da Srie de Fourier ...................................................................12Concluso ..................................................................................................15Bibliografia ................................................................................................16INTRODUOEmbora a srie de Fourier tenha sido desenvolvida como subsdio matemtico ao estudo da transferncia do calor (Thorie de la Chaleur), a aplicao desta soma de senos e cossenos estendeu-se todos os ramos da Fsica, Engenharia e Matemtica. como hoje em dia encontrarmos o uso desta srie nos mais diversos artigos publicados sobre o conhecimento humano: da Biologia Lingustica, da Ciberntica Paleontologia defrontamos com o emprego desta srie.De modo geral, pode-se dizer que a srie desenvolvida por Fourier tem permitido engenheiros e cientistas escreverem eficientemente os mais diversos tipos de funes. Com estas podem controlar, prever e admirar o mundo que os circunda.A VIDA DE FOURIEROito anos aps a Revoluo Industrial, a 21 de maro de 1768, na cidade francesa de Auxerre, nasceu Jean Baptiste Joseph Fourier, filho de um humilde alfaiate, que tinha dificuldades em proporcionar famlia uma vida modesta. Com oito anos de idade, seu pai veio a falecer e sua me passou a ter srias complicaes de sade. Diante deste quadro familiar, ingressa na Academia Militar de Auxerre, dirigida pelos padres beneditinos, que procuravam levar Religio, Matemtica, Literatura e Arte Militar aos seus alunos. Aos doze anos, devido ao seu destacado talento literrio, despertou a ateno dos seus professores que o incentivaram a escrever sermes religiosos, alguns dos quais obtiveram grande xito em Paris. Com estes abastecia financeiramente sua famlia.Um ano mais tarde, em 1781, manifestou exagerado interesse pela matemtica, explorando todos os livros da biblioteca dos beneitinos. Em dois anos de incansvel estudo obteve um razovel conhecimento em Fsica e Matemtica. Apesar de sua dedicao e do apoio de seu professor Legendre, foi impedido de realizar seus estudos profissionais em cincias exatas na Escola Militar, devido sua origem. Bastante triste com a perseguio e o preconceito social que assolavam a Frana nesse perodo, Fourier coloca a hbito de novio no mosteiro beneditino de Saint Bernit sur Loire. Em 1789, no suportando mais a vida religiosa, abandona a carreira de sacerdote e ingressa na recm-criada cole Polytechnique como professor de Engenharia Civil e posteriormente professor de Anlise Matemtica. Em 1798, o Imperador Napoleo Bonaparte convida-o a participar de sua campanha no Egito. O imperador ficou impressionado com a capacidade de trabalho daquele jovem professor da polytechnique, nomeando-o Governador Geral do Baixo Egito. Nesta poca, a principal preocupao de Fourier era os assuntos polticos e tudo que escrevia referia-se sempre a Napoleo Bonaparte. No entanto continuava a se interessar pela Fsica e pela Matemtica. Chegou mesmo a influenciar Napoleo para criar na cidade do Cairo um Instituto que deveria incumbir-se de divulgar em todo Egito o conhecimento fsico-matemtico do povo francs. Aps a tomada o Egito pelos ingleses, voltou Frana, recebendo o cargo de Prefeito da cidade de Grenoble, retomando seus estudos, em especial, o da transferncia de calor. Em 1822, publicou aquela que seria sua obra prima. Therie Analitique de la Chaleur, assunto abordado anos depois por Poisson. O ponto mximo deste livro est no sexto captulo, onde Fourier no mediu esforos na resoluo das equaes diferenciais que regem o problema da transferncia de calor. tambm neste captulo que Fourier desenvolve uma funo geral em sries de senos e cossenos (Srie de Fourier). Estas srie, juntamente com o desenvolvimento de Taylor e Maclaurin e o mtodo de Frobenius, contribuiram de maneira indispensvel para o conhecimento da estrutura do Clculo Diferencial e Integral. Fourier, citado por Hamilton vrios vazes, como o principal filsofo matemtico francs, acreditava que a matemtica deveria desenvolver-se para ser de utilidade pblica. Into , s teria sentido pesquisar tcnicas dentro do clculo que poderiam ajudar o homem no seu engrandecimento tecnolgico. Em 1872, ingressa na Academie Franaise, sendo nomeado, neste mesmo ano, Secretrio perptuo das sees de Fsica e Matemtica. Com a restaurao dos Bourbons e aps o exlio de Napoleo, seu protetor e amigo pessoal, Fourier cai em desgraa, no aparecendo mais a Academia de Cincias, na cole Polytechnique ou mesmo em qualquer lugar onde comprometesse sua imagem fiel a Napoleo. O principal matemtco francs deste perodo tornou-se um mendingo, um andarilho pelas ruas parisienses, morrendo em 16 de maio de 1830, em completo abandono.

O TRABALHO DE FOURIER

A SRIE DE FOURIER foi desenvolvida em 1822 por Jean Baptiste Joseph Fourier, que acreditavaser possvel atravs da SOMA DE FUNES SENO e COSSENO representar os mais diferentes tipos de funes.Para ilustrarmos a idia de Fourier podemos reunir diversas funes trigonomtricas e atribuir-lhes valores.

Observe a variedade de curvas que obtemos com este procedimento.Exemplo Af(x) = senx + cosx

Exemplo Bf(x) = sen2x cos3x

Exemplo Cf(x) = 2 senx 3cosx

Exemplo Df(x) = senx cos2x + 2cos3x

Exemplo Ef(x) = senx cos2x + cosx + cos2x

Exemplo Ff(x) = 1 + senx + 3sen2x + cosx 2cosx

Exemplo Gf(x) = 2 + senx + 3sen2x 2sen3x + cosx + 2cos2x cos3x

Atravs destes exemplos o engenheiro Fourier observou que uma funo gentica f(x), pode ser representada por uma soma dos senos e cossenos.Isto :f(x) = A + a1cos1x + a2cos2x + a3cos3x + b1sen1x + b2sen2x + b3sen3x + ...ou seja:f(x) = A + k k 1a coskx+b senkxkNeste ponto do estudo natural questionarmos:

Dada uma funo f(x), definida em um certo intervalo,quais so os valores dos coeficientes A, ak e bk de modoque a soma de senos e cossenos represente?ou seja:

1 + x2 = A + kk=1a coskx + bxsenkx A = ?, ak = ?, bk = ?x ex = A + kk=1a coskx + bxsenkx A = ?, ak = ?, bk = ?x3 x4 = A + kk=1a coskx + bxsenkx A = ?, ak = ?, bk = ?

Ento, pode-se dizer que Fourier concentrou seus esforos no desenvolvimento de uma metodologia matemtica que lhe permitisse responder a esta pergunta.

DESENVOLVIMENTO DA SRIEOs valores A, ak e bk de certa funo f(x) definido no intervalo de a foram encontradas por Fourier em seu livro Theorie Analytique de la Chaleur, quando ocorreu o auge de sua criatividade matemtica.Observe:Clculo de ASeja uma funo representada de dois modos:

Representao Descartes

Representao Fourier

Como as reas sob as curvas so idnticas, tm-se:

Do Apndice A:sen(-x) = -senx funo mparcos(-x) = cosx funo parEnto:

Clculo de aKPara obtermos o valor aK basta multiplicarmos a soma de funes senos e cossenos por(coskxdx) e integrarmos de a .

Do Apndice B tm-se:

Clculo de bkEste valor obtido da multiplicao da soma de senos e cossenos por senkxdx e posterior integrao de

Assim, conclumos que a srie de Fourier de uma funo f(x) definida de dada por:

Onde:

A Srie de Fourier tem sido muito utilizada no estudo da Transferncia de Calor

APLICAO DA SRIE DE FOURIERConsidere a funo f(x) definida por:

Do Apndice B, tm-se:

Ficamos com:

Podemos visualizar o desenvolvimento da srie atribuindo valores para k.

CONCLUSOFourier foi o primeiro a estudar sistematicamente taissries infinitas, aps investigaes preliminares deEuler,D'Alembert, eDaniel Bernoulli. Ele aplicou estas sries soluo daequao do calor, publicando os seus resultados iniciais em1807e1811, e publicando a suaThorie analytique de la chaleurem 1822. De um ponto de vista moderno, os resultados de Fourier so algo informais, em boa parte devido falta de uma notao concisa de funes eintegraisnos incios dosculo XIX. Mais tarde,DirichleteRiemannexpressaram os resultados de Fourier com grande preciso e rigor formal.Muitas outrastransformadas de Fourierforam definidas desde ento, estendendo a outras aplicaes a ideia inicial de representar qualquer funo peridica pela sobreposio de harmnicas. A rea genrica destes estudos hoje por vezes definida como aanlise harmnica.

As Sries de Fourier so formas de representar funes como soma de exponenciais ou senides.

BIBLIOGRAFIAhttp://cognicaoeeducacaomatematica.files.wordpress.com/2011/01/livro-laplace-e-fourier-original.pdfhttp://pt.wikipedia.org/wiki/S%C3%A9rie_de_Fourierhttp://www.searadaciencia.ufc.br/tintim/matematica/fourier/fourier1.htmhttp://www.univasf.edu.br/~edmar.nascimento/analise/analise_aula08.pdf

3