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Capıtulo 3
Series de Fourier
3.1. Introducao
Neste capıtulo analisamos a serie de Fourier que e um caso especial de serie de potencias. A serie deFourier tem muitas aplicacoes na engenharia eletrica mas neste trabalho essas series sao usadas apenas pararesolver equacoes diferenciais parciais.
Uma serie formada por senos e cosenos e chamada de serie trigonometrica. Assim, uma serie trigonometricaassume a seguinte forma:
ao
2+
∞∑
m=1
(am Cos
(mπx
L
)+ bm Sen
(mπx
L
))(3.1)
A serie anterior e chamada de serie de Fourier de uma funcao f(x) desde que essa serie seja convergente.
As series de Fourier sao analogas as series de Taylor no sentido em que ambas series fornecem uma formade representar funcoes relativamente complicadas em termos de funcoes elementares e familiares.
Se a serie de Fourier converge entao ela representa uma funcao f(x) e podemos representar essa relacaoda seguinte forma:
f(x) =ao
2+
∞∑
m=1
(am Cos
(mπx
L
)+ bm Sen
(mπx
L
))(3.2)
Sabemos que para que uma funcao seja representavel por uma serie de potencias as condicoes sao asseguintes para um x real:
A funcao deve ser infinitamente derivavel.
O resto da formula de Taylor deve tender para zero.
Portanto, devemos observar que uma serie trigonometrica pode ser convergente ou divergente.
Exemplo 1: Series trigonometricas convergentes e divergentes:
Mostramos algumas series trigonometricas e suas caracterısticas de convergencia:
1
1. A serie trigonometrica com am = bm = 1m2 para m 6= 0 e ao = 0 assume a seguinte forma:
Cos(π
Lx) + Sen(
π
Lx) +
14Cos(
2π
Lx) +
14Sen(
2π
Lx) +
19Cos(
3π
Lx) +
19Sen(
3π
Lx) + . . .
Pode ser demonstrado que a serie anterior converge para todos os valores de x.
2. A serie trigonometrica com am = 0 e bm = 1m assume a seguinte forma:
Sen(π
Lx) +
12Sen(
2π
Lx) +
13Sen(
3π
Lx) + . . .
Pode ser demonstrado que a serie anterior converge para todos os valores de x exceto para x = L2 .
3. A serie trigonometrica com am = 1 e bm = 0 assume a seguinte forma:
12
+ Cos(π
Lx) + Cos(
2π
Lx) + Cos(
3π
Lx) + . . .
Pode ser demonstrado que a serie anterior diverge para todos os valores de x exceto para x = L2 .
As series de Fourier sao usadas em aplicacoes tais como no metodo de separacao de variaveis de equacoesdiferenciais, na resolucao de equacoes diferenciais parciais, na analise de circuitos eletricos em que os bipolosativos sao fontes de tensao e/ou corrente de tipo periodico nao senoidal, entre outras aplicacoes. Assim, porexemplo, uma fonte periodica nao senoidal pode ser substituıda por uma serie de Fourier (que esta formadoapenas por funcoes senoidais) e depois aplicar a teoria de corrente alternada para fontes de corrente alternadasenoidal e o teorema da superposicao para analisar essse tipo de circuito eletrico.
3.2. As series de Fourier
As series de Fourier podem representar uma grande variedade de funcoes incluindo algumas funcoesdiscontınuas. Entretanto, nao podemos esquecer que pela natureza da serie de Fourier, ela pode representarsomente funcoes periodicas com perıodo T (o perıodo T nao necessariamente e o perıodo original de f(x),isto e, pode ser menor mas um multiplo do perıodo original).
Periodicidade das funcoes seno e coseno:
Uma funcao f(x) e chamada de periodica com perıodo T > 0 se o domınio de f(x) contem, x+T sempreque contiver x e se adicionalmente
f(x + T ) = f(x) (3.3)
para todo valor de x. Chamamos o T de perıodo. A figura 1 mostra uma funcao periodica.
Observacao:
Se T e o perıodo de f(x) entao um multiplo inteiro de T tambem e um perıodo de T (2T, 3T, 4T, . . .).Assim, o menor valor do perıodo e chamado de perıodo fundamental de f(x). Tambem, a funcao constantee considerada periodica com qualquer perıodo e sem perıodo fundamental.
As funcoes Sen(
mπL x
)e Cos
(mπL x
)para m = 1, 2, 3, . . . sao periodicas com perıodo fundamental T = 2L
m .Para verificar essa caracterıstica lembremos que Sen x e Cos x tem como perıodo fundamental 2π e que
2
Figura 1: Uma funcao periodica
Sen αx e Cos αx tem perıodo fundamental 2πα . Assim, escolhendo α = mπ
L verificamos que o perıodo
fundamental T de Sen(
mπL x
)e Cos
(mπL x
)e dado por T =
2πmπL
=2L
m. Adicionalmente, como todo multiplo
inteiro de um perıodo tambem e um perıodo entao cada uma das funcoes Sen(
mπL x
)e Cos
(mπL x
)tem um
perıodo comum 2L.
Tambem provamos facilmente que T = 2Lm e um perıodo de Sen
(mπL x
)da seguinte forma:
f(x) = Sen
(mπ
Lx
)
f(x + T ) = Sen
[mπ
L(x +
2L
m)]
= Sen
[mπ
Lx + 2π
]= Sen
(mπ
Lx
)= f(x)
Ortogonalidade das funcoes seno e coseno:
As funcoes u e v sao chamadas de ortogonais no intervalo α ≤ x ≤ β se satisfazem a seguinte relacao:
∫ β
αu(x) v(x) dx = 0 (3.4)
Tambem, um conjunto de funcoes formam um conjunto ortogonal se cada par de funcoes diferentespertencentes ao conjunto e ortogonal. Assim, as funcoes Sen
(mπL x
)e Cos
(mπL x
)para m = 1, 2, 3, . . . formam
um conjunto ortogonal de funcoes no intervalo −L ≤ x ≤ L. Podemos provar facilmente a validade dasseguintes relacoes:
∫ L
−LCos
(mπ
Lx
)Cos
(nπ
Lx
)dx =
{0 se m 6= nL se m = n
(3.5)
∫ L
−LCos
(mπ
Lx
)Sen
(nπ
Lx
)dx =
{0 para todo m e n (3.6)
∫ L
−LSen
(mπ
Lx
)Sen
(nπ
Lx
)dx =
{0 se m 6= nL se m = n
(3.7)
3
A validade dessas relacoes podem ser obtidas por integracao direta. Na prova devemos usar as seguintesrelacoes trigonometricas:
Sen
(mπ
Lx
)Sen
(nπ
Lx
)=
12
{Cos
[(m− n)π
Lx
]− Cos
[(m + n)π
Lx
]}(3.8)
Cos
(mπ
Lx
)Cos
(nπ
Lx
)=
12
{Cos
[(m + n)π
Lx
]+ Cos
[(m− n)π
Lx
]}(3.9)
Cos
(mπ
Lx
)Sen
(nπ
Lx
)=
12
{Sen
[(m + n)π
Lx
]+ Sen
[(m− n)π
Lx
]}(3.10)
que usaremos quando m 6= n. Para o caso particular em que m = n as relacoes anteriores se reduzem asseguintes relacoes mais simples:
Sen2(
mπ
Lx
)=
12
{1− Cos
[2mπ
Lx
]}(3.11)
Cos2(
mπ
Lx
)=
12
{1 + Cos
[2mπ
Lx
]}(3.12)
Sen
(mπ
Lx
)Cos
(mπ
Lx
)=
12Sen
[2mπ
Lx
](3.13)
Exemplo 2: Provar as relacoes (3.5), (3.6) e (3.7).
A prova dessas relacoes matematicas e relativamente simples e sao apresentadas a seguir.
1. Provando a relacao (3.5):
Se m 6= n temos o seguinte:
P =∫ L
−LCos
(mπ
Lx
)Cos
(nπ
Lx
)dx =
12
{∫ L
−L
[Cos
[(m + n)π
Lx
]+ Cos
[(m− n)π
Lx
]]dx
}
P =12
[L
(m + n)πSen
[(m + n)π
Lx
]+
L
(m− n)πSen
[(m− n)π
Lx
]]L
−L
P =L
2π(m + n)
[Sen
[(m + n)π
Lx
]]L
−L+
L
2π(m− n)
[Sen
[(m− n)π
Lx
]]L
−L
P =L
2π
{1
(m + n)[Sen(m + n)π − Sen(−1)(m + n)π] +
1(m− n)
[Sen(m− n)π − Sen(−1)(m− n)π]}
P =L
π
[1
(m + n)Sen(m + n)π +
1(m− n)
Sen(m− n)π]
= 0
4
porque os multiplos de π sao tais que Sen(kπ) = 0 para k inteiro.
Para m = n temos o seguinte:
P =∫ L
−LCos2
(mπ
Lx
)dx =
12
{∫ L
−L
[1 + Cos
(2mπ
Lx
)]dx
}
P =12
[x + Sen
(2mπ
Lx
)L
2mπ
]L
−L
P =12
[L− (−L) +
L
2mπSen(2mπ)− L
2mπSen[(−1)(2mπ)]
]
P = L +L
2mπSen(2mπ) = L
ja que cada funcao do tipo Sen(2mπ) = 0 para m inteiro.
2. Provando a relacao (3.6):
Se m 6= n temos o seguinte:
P =∫ L
−LCos
(mπ
Lx
)Sen
(nπ
Lx
)dx =
12
{∫ L
−L
[Sen
[(m + n)π
Lx
]+ Sen
[(m− n)π
Lx
]]dx
}
P =12
[− L
(m + n)πCos
[(m + n)π
Lx
]− L
(m− n)πCos
[(m− n)π
Lx
]]L
−L
P =12
{− L
(m + n)π[Cos [(m + n)(π)]− Cos [(m + n)(−π)]] +
− L
(m− n)π[Cos [(m− n)(π)]− Cos [(m− n)(−π)]]
}
P =L
2π
{− 1
(m + n)[Cos [(m + n)(π)]− Cos [(m + n)(π)]] +
− 1(m− n)
[Cos [(m− n)(π)]− Cos [(m− n)(π)]]}
= 0
Para m = n temos o seguinte:
P =∫ L
−LSen
(mπ
Lx
)Cos
(mπ
Lx
)dx =
12
{∫ L
−LSen
(2mπ
Lx
)dx
}
P =12
[− L
2mπCos
(2mπ
Lx
)]L
−L= − L
4mπ[Cos(2mπ)− Cos(−2mπ)]
P = − L
4mπ[Cos(2mπ)− Cos(2mπ)] = 0
5
3. Provando a relacao (3.7):
Se m 6= n temos o seguinte:
P =∫ L
−LSen
(mπ
Lx
)Sen
(nπ
Lx
)dx =
12
{∫ L
−L
[Cos
[(m− n)π
Lx
]− Cos
[(m + n)π
Lx
]]dx
}
P =12
[L
(m− n)πSen
[(m− n)π
Lx
]− L
(m + n)πSen
[(m + n)π
Lx
]]L
−L
P =L
2π
[1
(m− n)Sen
[(m− n)π
Lx
]− 1
(m + n)Sen
[(m + n)π
Lx
]]L
−L
P =L
2π
{1
(m− n)[Sen [(m− n)π]− Sen [(−1)(m− n)π]] +
− 1(m + n)
[Sen [(m + n)π]− Sen [(−1)(m + n)π]]}
P =L
2π
{1
(m− n)[Sen [(m− n)π] + Sen [(m− n)π]] +
− 1(m + n)
[Sen [(m + n)π] + Sen [(m + n)π]]}
P =L
π
{1
(m− n)Sen [(m− n)π]− 1
(m + n)Sen [(m + n)π]
}= 0
porque em todos os casos temos multiplos de π sao tais que Sen(kπ) = 0 para k inteiro.
Para m = n temos o seguinte:
P =∫ L
−LSen2
(mπ
Lx
)dx =
12
{∫ L
−L
[1− Cos
(2mπ
Lx
)]dx
}
P =12
[x− L
2mπSen
(2mπ
Lx
)]L
−L
P =12
[L− (−L)− L
2mπSen(2mπ) +
L
2mπSen[(−1)(2mπ)]
]
P = L− L
4mπSen(2mπ)− L
4mπSen(2mπ) = L− L
2mπSen(2mπ) = L
ja que cada funcao do tipo Sen(2mπ) = 0 para m inteiro.
6
3.3. Encontrando os coeficientes da serie de Fourier
Supor que a serie de Fourier na forma (3.2) converge e, portanto, representamos a soma da serie pelafuncao f(x) da seguinte forma:
f(x) =ao
2+
∞∑
m=1
(am Cos
(mπx
L
)+ bm Sen
(mπx
L
))(3.14)
Nesse contexto, pretendemos encontrar os coeficientes de am e bm para uma funcao f(x) especificada.
3.3.1. Encontrando os coeficientes am
Multiplicamos (3.14) por Cos(
nπL x
)para um n fixo inteiro (n > 0) e integramos em relacao a x de −L
a L:
∫ L
−Lf(x) Cos
(nπ
Lx
)dx =
ao
2
∫ L
−LCos
(nπ
Lx
)dx +
∞∑
m=1
am
∫ L
−LCos
(mπ
Lx
)Cos
(nπ
Lx
)dx +
∞∑
m=1
bm
∫ L
−LSen
(mπ
Lx
)Cos
(nπ
Lx
)dx (3.15)
Para n fixo e diferente de zero e para m variando assim como das relacoes de ortogonalidade (3.5) e(3.6) verificamos que o primeiro e o ultimo termo do lado direito de (3.15) e sempre igual a zero e o segundotermo apresenta uma integral diferente apenas quando m = n e, nesse caso, essa parcela da integral e iguala L. Assim, temos o seguinte:
∫ L
−Lf(x) Cos
(nπ
Lx
)dx = L an para n = 1, 2, 3, . . . (3.16)
que permite encontrar os coeficientes an para n 6= 0.
Para encontrar ao integramos (3.14) para x variando de −L a L da seguinte forma:
∫ L
−Lf(x) dx =
ao
2
∫ L
−Ldx +
∞∑
m=1
am
∫ L
−LCos
(mπ
Lx
)dx +
∞∑
m=1
bm
∫ L
−LSen
(mπ
Lx
)dx
∫ L
−Lf(x) dx =
ao
2[x]L−L +
∞∑
m=1
amL
mπ
[Sen(
mπx
L)]L
−L+
∞∑
m=1
bmL
mπ
[−Cos(
mπx
L)]L
−L
∫ L
−Lf(x) dx =
ao
2[L− (−L)] +
∞∑
m=1
amL
mπ[Sen(mπ)− Sen(−mπ)]−
∞∑
m=1
bmL
mπ[Cos(mπ)− Cos(−mπ)]
∫ L
−Lf(x) dx = aoL +
∞∑
m=1
2amL
mπSen(mπ)−
∞∑
m=1
bmL
mπ[Cos(mπ)− Cos(mπ)]
7
∫ L
−Lf(x) dx = aoL =⇒ ao =
1L
∫ L
−Lf(x) dx (3.17)
De (3.16) encontramos a forma generica de an que assume a seguinte forma:
an =1L
∫ L
−Lf(x) Cos
(nπx
L
)dx para n = 1, 2, 3, . . . (3.18)
As relacoes (3.17) e (3.18) podem ser juntadas da seguinte forma:
an =1L
∫ L
−Lf(x) Cos
(nπx
L
)dx para n = 0, 1, 2, 3, . . . (3.19)
3.3.2. Encontrando os coeficientes bm
Multiplicamos (3.14) por Sen(
nπL x
)para um n fixo inteiro (n > 0) e integramos em relacao a x de −L
a L temos o seguinte:
∫ L
−Lf(x) Sen
(nπ
Lx
)dx =
ao
2
∫ L
−LSen
(nπ
Lx
)dx +
∞∑
m=1
am
∫ L
−LCos
(mπ
Lx
)Sen
(nπ
Lx
)dx +
∞∑
m=1
bm
∫ L
−LSen
(mπ
Lx
)Sen
(nπ
Lx
)dx (3.20)
Para n fixo e diferente de zero e para m variando assim como das relacoes de ortogonalidade (3.6) e(3.7) verificamos que o segundo termo do lado direito de (3.20) e sempre igual a zero. A integral do primeirotermo e zero porque e uma funcao senoidal. O terceiro termo tem uma integral diferente de zero apenaspara m = n. Assim, (3.20) assume a seguinte forma:
∫ L
−Lf(x) Sen
(nπ
Lx
)dx = L bn para n = 1, 2, 3, . . . (3.21)
que e valida para qualquer n inteiro e positivo. Assim temos a relacao que nos permite encontrar bn daseguinte forma:
bn =1L
∫ L
−Lf(x) Sen
(nπx
L
)dx para n = 1, 2, 3, . . . (3.22)
Portanto, se a serie de Fourier converge e, dessa forma, representa adequadamente uma funcao f(x)conhecida entao os coeficientes da serie de Fourier podem ser encontrados usando as relacoes (3.19) e (3.22).
Observacoes: As seguintes observacoes sao importantes;
Se a funcao e periodica entao o intervalo de integracao pode ser mudado de −L ≤ x ≤ L para0 ≤ x ≤ 2L = T .
Cada elemento am e bm pode ser encontrado de forma independente e a dificuldade para encontraresses valores depende da forma matematica de f(x).
8
Exemplo 3: Supor que existe uma serie de Fourier convergindo para a funcao f(x) definida por:
f(x) =
−x se −2 ≤ x ≤ 0f(x + 4) = f(x)
x se 0 ≤ x ≤ 2
Determine os coeficientes dessa serie de Fourier.
f(x) e mostrada na figura 2. Devemos observar que a funcao f(x) e triangular e periodica com perıodoT = 2L = 4 =⇒ L = 2.
6
-
@@
@@
@@
@@
¡¡
¡¡
@@
@@
¡¡
¡¡
¡¡
¡¡
L = 2
2 4 6 8 10−2
2
f(x)
x
Figura 2: Grafico de f(x) do exemplo 3.
Encontrando ao:
ao =1L
∫ L
−Lf(x) dx =
12
{∫ 0
−2−x dx +
∫ 2
0x dx
}=
12
[−x2
2
]0
−2
+
[x2
2
]2
0
=
12{2 + 2} = 2
Encontrando am para m > 1:
am =1L
∫ L
−Lf(x) Cos
(mπx
L
)dx =
12
{∫ 0
−2−x Cos
(mπx
2
)dx +
∫ 2
0x Cos
(mπx
2
)dx
}
Precisamos encontrar a seguinte integral:
∫x Cos
(mπx
2
)dx
Usamos a integracao por partes da seguinte forma:
u = x du = dx
dv = Cos(
mπx2
)dx v = 2
mπSen(
mπx2
)
Substituindo na integral temos o seguinte:
∫x Cos
(mπx
2
)dx =
2mπ
x Sen
(mπx
2
)−
∫ 2mπ
Sen
(mπx
2
)dx
9
∫x Cos
(mπx
2
)dx =
2mπ
x Sen
(mπx
2
)+
(2
mπ
)2
Cos
(mπx
2
)
Usamos a relacao anterior para calcular am:
am =12
[− 2
mπx Sen
(mπx
2
)−
(2
mπ
)2
Cos
(mπx
2
)]0
−2
+
[2
mπx Sen
(mπx
2
)+
(2
mπ
)2
Cos
(mπx
2
)]2
0
am =12
{−0 + 0−
(2
mπ
)2
[Cos 0o − Cos(−mπ)] + 0− 0 +(
2mπ
)2
[Cos(mπ)− Cos 0o]
}
am =12
(2
mπ
)2
[2Cos(mπ)− 2] =(
2mπ
)2
[Cos(mπ)− 1] m = 1, 2, 3, . . .
Quando m e impar =⇒ Cos(mπ) = −1 =⇒ (Cos(mπ)− 1) = −2.
Quando m e par =⇒ Cos(mπ) = 1 =⇒ (Cos(mπ)− 1) = 0.
Portanto os coeficientes am assumem a seguinte forma:
am =
− 8(mπ)2
para m impar
0 para m par
Encontrando bm:
bm =1L
∫ L
−Lf(x) Sen
(mπx
L
)dx =
12
{∫ 0
−2−x Sen
(mπx
2
)dx +
∫ 2
0x Sen
(mπx
2
)dx
}
Precisamos encontrar a seguinte integral:
∫x Sen
(mπx
2
)dx
Usamos a integracao por partes da seguinte forma:
u = x du = dx
dv = Sen(
mπx2
)dx v = − 2
mπCos(
mπx2
)
Substituindo na integral temos o seguinte:
10
∫x Sen
(mπx
2
)dx = − 2
mπx Cos
(mπx
2
)+
∫ 2mπ
Cos
(mπx
2
)dx
∫x Sen
(mπx
2
)dx = − 2
mπx Cos
(mπx
2
)+
(2
mπ
)2
Sen
(mπx
2
)
Usamos a relacao anterior para calcular bm:
bm =12
[2
mπx Cos
(mπx
2
)−
(2
mπ
)2
Sen
(mπx
2
)]0
−2
+
[− 2
mπx Cos
(mπx
2
)+
(2
mπ
)2
Sen
(mπx
2
)]2
0
bm =12
{0− 0− 2
mπ(−2)Cos(−mπ) +
(2
mπ
)2
Sen(−mπ)− 2mπ
(2)Cos(mπ) + 0 + 0− 0
}
bm =12
[4
mπCos(mπ)− 4
mπCos(mπ)
]= 0 m = 1, 2, 3, . . .
Portanto, f(x) assume a seguinte forma:
f(x) = 1− 8π2
[Cos
(πx
2
)+
132
Cos
(3πx
2
)+
152
Cos
(5πx
2
)+
172
Cos
(7πx
2
)+ . . .
1m2
Cos
(mπx
2
)+ . . .
]
para m impar.
f(x) = 1− 8π2
∞∑
k=0
1(2k + 1)2
Cos
[(2k + 1)πx
2
]
Exemplo 4: Resolvendo o exemplo anterior mas com outra estrutura:
Supor que existe uma serie de Fourier convergindo para a funcao f(x) definida por:
f(x) =
x se 0 ≤ x ≤ 2f(x + 4) = f(x)
−x + 4 se 2 ≤ x ≤ 4
Determine os coeficientes dessa serie de Fourier.
O grafico de f(x) e mostrada na figura 3. Devemos observar que a funcao f(x) e triangular e periodicacom perıodo T = 2L = 4 =⇒ L = 2. Neste caso integramos no intervalo de 0 a 2L = T = 4 que tambeme possıvel.
11
6
-
@@
@@
¡¡
¡¡
@@
@@
¡¡
¡¡
@@
@@
¡¡
¡¡
L = 2
2 4 6 8 10 12
2
f(x)
x
Figura 3: Grafico de f(x) do exemplo 4.
Encontrando ao:
ao =1L
∫ 2L
0f(x) dx =
12
{∫ 2
0x dx +
∫ 4
2(−x + 4) dx
}=
12
[x2
2
]2
0
+
[−x2
2+ 4x
]4
2
ao =12{[2 + 0] + [−8 + 16 + 2− 8]} = 2
Encontrando am para m > 1:
am =1L
∫ 2L
0f(x) Cos
(mπx
L
)dx =
12
{∫ 2
0x Cos
(mπx
2
)dx +
∫ 4
2(4− x) Cos
(mπx
2
)dx
}
am =12
{∫ 2
0x Cos
(mπx
2
)dx +
∫ 4
24 Cos
(mπx
2
)dx−
∫ 4
2x Cos
(mπx
2
)dx
}
Precisamos encontrar a seguinte integral:
∫x Cos
(mπx
2
)dx
Mas esse tipo de integral ja foi encontrado no exemplo anterior e assume a seguinte forma:
∫x Cos
(mπx
2
)dx =
2mπ
x Sen
(mπx
2
)+
(2
mπ
)2
Cos
(mπx
2
)
Usamos a relacao anterior para calcular am:
12
am =12
[2
mπx Sen
(mπx
2
)+
(2
mπ
)2
Cos
(mπx
2
)]2
0
+ 4[
2mπ
Sen
(mπx
2
)]4
2−
[2
mπx Sen
(mπx
2
)+
(2
mπ
)2
Cos
(mπx
2
)]4
2
am =12
{[0 +
(2
mπ
)2
Cos(mπ)− 0−(
2mπ
)2]
+ 0−[0 +
(2
mπ
)2
Cos(2mπ)− 0−(
2mπ
)2
Cos(mπ)
]}
am =12
(2
mπ
)2
[Cos(mπ)− 1] (2) =(
2mπ
)2
[Cos(mπ)− 1] m = 1, 2, 3, . . .
Quando m e impar =⇒ Cos(mπ) = −1 =⇒ (Cos(mπ)− 1) = −2.
Quando m e par =⇒ Cos(mπ) = 1 =⇒ (Cos(mπ)− 1) = 0.
Portanto os coeficientes am assumem a seguinte forma:
am =
− 8(mπ)2
para m impar
0 para m par
Encontrando bm:
bm =1L
∫ 2L
0f(x) Sen
(mπx
L
)dx =
12
{∫ 2
0x Sen
(mπx
2
)dx +
∫ 4
2(4− x) Sen
(mπx
2
)dx
}
bm =12
{∫ 2
0x Sen
(mπx
2
)dx +
∫ 4
24 Sen
(mπx
2
)dx−
∫ 4
2x Sen
(mπx
2
)dx
}
Precisamos encontrar a seguinte integral:
∫x Sen
(mπx
2
)dx
Esse tipo de integral ja foi encontrado no exemplo anterior e assume a seguinte forma:
∫x Sen
(mπx
2
)dx = − 2
mπx Cos
(mπx
2
)+
(2
mπ
)2
Sen
(mπx
2
)
Usamos a relacao anterior para calcular bm:
13
bm =12
[− 2
mπx Cos
(mπx
2
)+
(2
mπ
)2
Sen
(mπx
2
)]2
0
− 8mπ
[Cos
(mπx
2
)]4
2−
[− 2
mπx Cos
(mπx
2
)+
(2
mπ
)2
Sen
(mπx
2
)]4
2
bm =12
{[− 4
mπCos(mπ) + 0 + 0− 0
]− 8
mπ[Cos(2mπ)− Cos(mπ)]−
[− 8
mπCos(2mπ) + 0 +
4mπ
Cos(mπ)− 0]}
bm =12
[− 4
mπCos(mπ)− 8
mπCos(2mπ) +
8mπ
Cos(mπ) +8
mπCos(2mπ)− 4
mπCos(mπ)
]= 0
bm = 0 m = 1, 2, 3, . . .
Portanto, f(x) assume a seguinte forma:
f(x) = 1− 8π2
[Cos
(πx
2
)+
132
Cos
(3πx
2
)+
152
Cos
(5πx
2
)+
172
Cos
(7πx
2
)+ . . .
1m2
Cos
(mπx
2
)+ . . .
]
para m impar.
f(x) = 1− 8π2
∞∑
k=0
1(2k + 1)2
Cos
[(2k + 1)πx
2
]
Deve-se observar que o resultado obtido e o mesmo do exemplo 3 ja que estamos resolvendo o mesmoproblema. Apenas mudamos a faixa escolhida para a integracao.
3.4. O Teorema de Convergencia de Fourier
Neste caso vamos supor que conhecemos uma funcao f(x). Se f(x) e uma funcao periodica com perıodoT = 2L e integravel no intervalo [−L,L] entao podemos calcular os coeficientes am e bm da seguinte forma:
am =1L
∫ L
−Lf(x) Cos
(mπx
L
)dx m = 1, 2, 3, . . . (3.23)
bm =1L
∫ L
−Lf(x) Sen
(mπx
L
)dx m = 1, 2, 3, . . . (3.24)
14
e montar a serie de Fourier correspondente:
ao
2+
∞∑
m=1
(am Cos
(mπx
L
)+ bm Sen
(mπx
L
))(3.25)
Nesse contexto estamos interessados em conhecer se a serie (3.25) converge para algum valor de x e, serealmente converge, queremos saber se converge para o valor de f(x).
Os matematicos descobriram que existem casos em que a serie de Fourier encontrada para uma funcaof(x) pode nao convergir para f(x) e ainda existem casos em que a serie pode divergir. E relativamentesimples identificar funcoes f(x) cujas series de Fourier nao convergem para pontos isolados. Por outrolado, as funcoes cuja serie de Fourier divergem em um ou mais pontos sao mais difıceis de construir e saoconsideradas patologicas.
As hipoteses de garantia de convergencia de uma serie de Fourier para a funcao f(x) e mostrada noTeorema 1.
Teorema 1: Sobre convergencia da serie de Fourier
Supor que f(x) e f′(x) sao funcoes seccionalmente contınuas no intervalo −L ≤ x ≤ L. Adicionalmente
f(x) esta definida no intervalo −L ≤ x ≤ L de forma que seja periodica e com perıodo 2L. Nesse contextof(x) tem uma serie de Fourier dada pela relacao:
f(x) =ao
2+
∞∑
m=1
(am Cos
(mπx
L
)+ bm Sen
(mπx
L
))(3.26)
e cujos coeficientes sao dados por (3.23) e (3.24). Entao a serie de Fourier converge para f(x) em todosos pontos onde f(x) e continua e converge para 1
2 [f(x+) + f(x−)] em todos os pontos em que f(x)e descontınua.
Observacoes: As seguintes observacoes sao importantes:
1. Devemos observar que 12 [f(x+) + f(x−)] e o valor medio dos limites a direita e a esquerda no ponto
de descontinuidade x e em pontos em que f(x) e contınua esse valor representa o proprio valor def(x). f(x+
o ) e usado para denotar o limite de f(x) quando x −→ xo pela direita e f(x−o ) e usado paradenotar o limite de f(x) quando x −→ xo pela esquerda.
2. As condicoes dadas no Teorema 1 sao suficientes para a convergencia de uma serie de Fourier e essascondicoes nao sao necessarias.
3. Uma funcao e seccionalmente contınua no intervalo a ≤ x ≤ b se o intervalo pode ser particionado emum numero finito de pontos a = xo < x1 < . . . < xn = b de modo que seja verdadeiro o seguinte:
a) f(x) e contınua em cada subintervalo aberto xi−1 < x < xi.
b) f(x) tende a um limite finito nas extremidades de cada subintervalo quando aproximadas dointerior do intervalo. Nao e necessario que a funcao se encontre definida nos pontos de particaoxi. Tambem nao e essencial que o intervalo seja fechado (pode ser aberto ou fechado em cadaextremidade). A figura 4 mostra uma funcao seccionalmente contınua.
4. Existem muitas funcoes que satisfazem as condicoes do Teorema 1 (praticamente todas as que interes-sam na Engenharia Eletrica). Funcoes que nao satisfazem as exigencias do Teorema 1 sao aquelas quetem descontinuidades infinitas no intervalo [−L, L] como 1
x2 quando x → 0 ou Ln|x−L| quando x → L.
15
Figura 4: Uma funcao f(x) seccionalmente contınua.
Entretanto, existem funcoes que nao satisfazem as exigencias do Teorema 1 mas a serie correspondenteconverge para f(x).
Exemplo 5: Serie de Fourier de uma onda quadrada:
Encontrar a serie de Fourier de f(x) definida da seguinte forma:
f(x) =
0 se −L ≤ x ≤ 0f(x + 2L) = f(x)
L se 0 ≤ x ≤ L
A onda quadrada e mostrada na figura 5.
6
-
L 2L 3L−L−2L−3L
L
f(x)
x..........
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
Figura 5: Uma onda quadrada
Encontrando ao:
ao =1L
∫ L
−Lf(x) dx =
1L
∫ L
0L dx = [x]L0 = L
Encontrando am para m > 1:
16
am =1L
∫ L
−Lf(x) Cos
(mπx
L
)dx =
1L
∫ L
0L Cos
(mπx
L
)dx =
∫ L
0Cos
(mπx
L
)dx
am =L
mπ
[Sen
(mπx
L
)]L
0= 0 =⇒ am = 0 m = 1, 2, 3, . . .
Encontrando bm:
bm =1L
∫ L
−Lf(x) Sen
(mπx
L
)dx =
1L
∫ L
0L Sen
(mπx
L
)dx =
∫ L
0Sen
(mπx
L
)dx
bm = − L
mπ
[Cos
(mπx
L
)]L
0= − L
mπ[Cos(mπ)− 1] =
L
mπ[1− Cos(mπ)]
Se m e impar entao bm = 2Lmπ e se m for par entao bm = 0. Assim, bm assume a seguinte forma:
bm =
2Lmπ para m impar
0 para m par
Portanto, f(x) assume a seguinte forma:
f(x) =L
2+
2L
π
[Sen
(πx
L
)+
13Sen
(3πx
L
)+
15Sen
(5πx
L
)+ . . .
]
f(x) =L
2+
2L
π
∞∑
n=0
Sen[
(2n+1)πxL
]
(2n + 1)
3.5. Funcoes pares e impares e as series de Fourier em senos e cosenos
Em algumas aplicacoes e necessario expandir uma funcao f(x), definida originalmente para o intervalo[0, L] em uma serie de Fourier de perıodo 2L. Essa expansao pode ser realizada de varias formas e cada tipode expansao e valida apenas para o intervalo [0, L]. Para apresentar esse tipo de expansao precisamos definire usar as propriedades das funcoes pares e impares.
Uma funcao e par se seu domınio contem o ponto −x sempre que contiver o ponto x e se satisfaz arelacao:
f(−x) = f(x) (3.27)
Sao exemplos de funcoes pares: x2, Cos(nx), |x|, etc.
Uma funcao e impar se seu domınio contem −x sempre que contiver x e se satisfaz a relacao:
17
Figura 6: Funcao par e impar.
f(−x) = −f(x) (3.28)
Sao exemplos de funcoes pares: x, x3, Sen(nx), etc. A figura 6 mostra uma funcao par e uma funcaoimpar.
Observacao: A maioria das funcoes nao sao pares nem impares. De (3.28) concluimos que se x = 0 fazparte do domınio de f(x) entao f(0) = 0. Tambem a funcao identicamente nula e a unica que e ao mesmotempo par e impar.
Propriedades das funcoes pares e impares: As seguintes propriedades relacionadas com funcoes parese impares sao muito importantes:
1. A soma (ou diferenca) e o produto (ou quocente) de duas funcoes pares e uma funcao par.
2. A soma (ou diferenca) de duas funcoes impares e uma funcao impar mas o produto (ou quocente) deduas funcoes impares e uma funcao par.
3. A soma (ou diferenca) de uma funcao par e uma funcao impar nao e uma funcao par nem uma funcaoimpar mas o produto dessas funcoes e uma funcao impar.
4. Se f(x) e uma funcao par entao temos o seguinte:
∫ L
−Lf(x) dx = 2
∫ L
0f(x) dx (3.29)
5. Se f(x) e uma funcao impar entao temos o seguinte:
∫ L
−Lf(x) dx = 0 (3.30)
A demonstracao dessas propriedades e relativamente simples e sao realizados abaixo.
1. Prova da primeira propriedade: Sejam f1(x) e f2(x) funcoes pares:
Seja g(x) = f1(x) + f2(x). Nesse contexto temos o seguinte:
18
g(−x) = f1(−x) + f2(−x) = f1(x) + f2(x) = g(x) =⇒ g(x) e uma funcao par
Seja h(x) = f1(x)f2(x). Nesse contexto temos o seguinte:
h(−x) = f1(−x)f2(−x) = f1(x)f2(x) = h(x) =⇒ h(x) e uma funcao par
2. Prova da segunda propriedade: Sejam f1(x) e f2(x) funcoes impares:
Seja g(x) = f1(x) + f2(x). Nesse contexto temos o seguinte:
g(−x) = f1(−x)+f2(−x) = −f1(x)−f2(x) = −[f1(x)+f2(x)] = −g(x) =⇒ g(x) e uma funcao impar
Seja h(x) = f1(x)f2(x). Nesse contexto temos o seguinte:
h(−x) = f1(−x)f2(−x) = (−1)(−1)f1(x)f2(x) = f1(x)f2(x) = h(x) =⇒ h(x) e uma funcao par
3. Prova da terceira propriedade: Seja f1(x) uma funcao par e f2(x) uma funcao impar:
Seja g(x) = f1(x) + f2(x). Nesse contexto temos o seguinte:
g(−x) = f1(−x) + f2(−x) = f1(x)− f2(x) =⇒ g(x) e uma funcao que nao e par nem impar
Seja h(x) = f1(x)f2(x). Nesse contexto temos o seguinte:
h(−x) = f1(−x)f2(−x) = (−1)f1(x)f2(x) = −h(x) =⇒ h(x) e uma funcao impar
4. Prova da quarta propriedade: Seja f(x) uma funcao par. Nesse contexto temos o seguinte:
∫ L
−Lf(x)dx =
∫ 0
−Lf(x)dx +
∫ L
0f(x)dx (3.31)
Trabalhamos com a primeira integral do lado direito da equacao da seguinte forma:
Fazemos: x = −s =⇒: Se x = 0 =⇒ s = 0 e se x = −L =⇒ −L = −s =⇒ s = L. Tambemf(x) = f(−s) = f(s) (funcao par) e dx = −ds. Substituindo as relacoes anteriores na primeiraintegral do lado direito de (3.31) temos o seguinte:
∫ 0
−Lf(x)dx =
∫ 0
Lf(s)(−ds) = −
∫ 0
Lf(s)ds =
∫ L
0f(s)ds
Substituindo a relacao anterior em (3.31) temos o seguinte:
∫ L
−Lf(x)dx =
∫ L
0f(s)ds +
∫ L
0f(x)dx = 2
∫ L
0f(x)dx
19
5. Prova da quinta propriedade: Seja f(x) uma funcao impar. Nesse contexto temos o seguinte:
∫ L
−Lf(x)dx =
∫ 0
−Lf(x)dx +
∫ L
0f(x)dx (3.32)
Trabalhamos com a primeira integral do lado direito da equacao da seguinte forma:
Fazemos: x = −s =⇒: Se x = 0 =⇒ s = 0 e se x = −L =⇒ −L = −s =⇒ s = L. Tambemf(x) = f(−s) = −f(s) (funcao impar) e dx = −ds. Substituindo as relacoes anteriores na primeiraintegral do lado direito de (3.32) temos o seguinte:
∫ 0
−Lf(x)dx =
∫ 0
L−f(s)(−ds) =
∫ 0
Lf(s)ds = −
∫ L
0f(s)ds
Substituindo a relacao anterior em (3.32) temos o seguinte:
∫ L
−Lf(x)dx = −
∫ L
0f(s)ds +
∫ L
0f(x)dx = −
∫ L
0f(x)dx +
∫ L
0f(x)dx = 0
3.5.1. Series (de Fourier) em Cosenos
Neste caso provamos que se f(x) e uma funcao par entao a serie de Fourier correspondente e representadoapenas por funcoes coseno, isto e, todos os bn = 0.
Supor que f(x) e f ′(x) sao seccionalmente contınuas no intervalo −L ≤ x ≤ L e que f(x) e uma funcaoperıodica par com perıodo 2L. Nesse contexto a funcao f(x)Cos
(nπxL
)e uma funcao par e f(x)Sen
(nπxL
)
e uma funcao impar. Portanto, de (3.29) e (3.30) temos o seguinte:
an =1L
∫ L
−Lf(x) Cos
(nπx
L
)dx =
2L
∫ L
0f(x) Cos
(nπx
L
)dx n = 1, 2, 3, . . . (3.33)
bn =1L
∫ L
−Lf(x) Sen
(nπx
L
)dx = 0 n = 1, 2, 3, . . . (3.34)
Assim, a serie de Fourier de uma funcao f(x) que e par assume a seguinte forma:
f(x) =ao
2+
∞∑
n=1
an Cos
(nπx
L
)dx (3.35)
Portanto, a serie de Fourier de uma funcao par e formado pelo termo constante e pelas funcoes trigo-nometricas pares da forma Cos
(nπxL
). Esse tipo de serie e chamado de serie de Fourier em cosenos.
3.5.2. Series (de Fourier) em Senos
Neste caso provamos que se f(x) e uma funcao impar entao a serie de Fourier correspondente e repre-sentado apenas por funcoes seno, isto e, todos os an = 0.
Supor que f(x) e f ′(x) sao seccionalmente contınuas no intervalo −L ≤ x ≤ L e que f(x) e umafuncao perıodica impar com perıodo 2L. Nesse contexto a funcao f(x)Cos
(nπxL
)e uma funcao impar e
f(x)Sen(
nπxL
)e uma funcao par. Portanto, de (3.29) e (3.30) temos o seguinte:
20
an =1L
∫ L
−Lf(x) Cos
(nπx
L
)dx = 0 n = 1, 2, 3, . . . (3.36)
bn =1L
∫ L
−Lf(x) Sen
(nπx
L
)dx =
2L
∫ L
0f(x) Sen
(nπx
L
)dx n = 1, 2, 3, . . . (3.37)
Assim, a serie de Fourier de uma funcao f(x) que e impar assume a seguinte forma:
f(x) =∞∑
n=1
bn Sen
(nπx
L
)dx (3.38)
Portanto, a serie de Fourier de uma funcao impar e formado apenas pelas funcoes trigonometricas ımparesda forma Sen
(nπxL
). Esse tipo de serie e chamado de serie de Fourier em senos.
Exemplo 6: Serie de Fourier de uma funcao impar:
Seja f(x) = x para −L ≤ x ≤ L e seja f(−L) = f(L) = 0 (para que a funcao seja impar). Seja f(x)definida no intervalo restante de forma que seja periodica com perıodo 2L. Essa funcao e chamada de dentede serra. Encontre a serie de Fourier dessa funcao.
A figura 7 mostra a forma grafica de f(x).
6
-
¡¡
¡¡
¡¡
¡¡
¡¡
¡¡
¡¡
¡¡
¡¡
¡¡
¡¡
¡¡
u u u
L
−L
−L L
f(x)
x
Figura 7: Uma funcao dente de serra.
Pode-se verificar que f(x) e uma funcao impar e seus coeficientes de Fourier assumem a seguinte forma:
an = 0 n = 0, 1, 2, 3, . . .
bn =2L
∫ L
0f(x) Sen
(nπx
L
)dx =
2L
∫ L
0x Sen
(nπx
L
)dx
Precisamos encontrar a integral da seguinte forma:
∫ L
0x Sen
(nπx
L
)dx
21
Esse tipo de integral pode ser integrada por partes como ja foi realizada anteriormente. Assim, temos oseguinte:
u = x du = dx
dv = Sen(
nπxL
)dx v = − L
nπCos(
nπxL
)
Assim, a integral procurada assume a seguinte forma:
∫x Sen
(nπx
L
)dx = − L
nπx Cos
(nπx
L
)+
L
nπ
∫Cos
(nπx
L
)dx
∫x Sen
(nπx
L
)dx = − L
nπx Cos
(nπx
L
)+
(L
nπ
)2
Sen
(nπx
L
)(3.39)
A relacao (3.39) aparece com frequencia em problemas de series de Fourier e merece ser lembrado.Substituındo essa relacao na integral para calcular bn temos o seguinte:
bn =2L
[− L
nπx Cos
(nπx
L
)+
(L
nπ
)2
Sen
(nπx
L
)]L
0
bn =2L
[−L2
nπCos(nπ) + 0 + 0− 0
]=
2L
nπ[−Cos(nπ)]
Para n impar −Cos(nπ) = 1 e para n par −Cos(nπ) = −1. Portanto, bn assume a seguinte forma:
bn =2L
nπ(−1)n+1 n = 1, 2, 3, . . .
A serie de Fourier de f(x) assume a seguinte forma:
f(x) =2L
π
∞∑
n=1
(−1)n+1
nSen
(nπx
L
)(3.40)
Para o caso particular em que L = 2 a serie assume a seguinte forma:
f(x) =4π
∞∑
n=1
(−1)n+1
nSen
(nπx
2
)
3.6. Representacao de uma funcao por uma serie em senos ou cosenos
Sempre e possıvel representar uma funcao periodica por uma serie com elementos apenas em senosou cosenos. Para verificar este fato observemos que a forma matematica de f(x) nos exemplos 3 e 6 saoexatamente iguais no intervalo 0 ≤ x ≤ 2 para L = 2. Portanto, as series encontradas para as funcoes dosexemplos 3 e 6 representam de forma adequada a funcao periodica f(x) = x para 0 ≤ x ≤ 2. Assim, a funcaoperiodica f(x):
22
f(x) = x 0 ≤ x ≤ 2 f(x + 2) = f(x) (3.41)
pode ser representada por uma serie de Fourier (provavelmente com elementos seno e coseno) considerandoo perıodo T = 2 (L = 1). Entretanto, f(x) pode ser transformado na funcao f(x) do exemplo 3 com L = 2e a serie de Fourier dessa funcao modificada representa de forma adequada a funcao f(x) de (3.41) parao intervalo 0 ≤ x ≤ 2 (para −2 ≤ x ≤ 0 essa serie obviamente nao representa de forma adequada f(x)em (3.41) nesse intervalo). Da mesma forma f(x) pode ser transformado na funcao f(x) do exemplo 6 comL = 2 e a serie de Fourier dessa funcao modificada representa de forma adequada a funcao f(x) de (3.41)para o intervalo 0 ≤ x ≤ 2. Portanto, a funcao periodica f(x) para 0 ≤ x ≤ 2 pode ser representado por 3tipos de series diferentes (um tipo de serie com funcoes seno e coseno, um tipo de serie apenas com funcoescoseno e um tipo de serie apenas com funcoes seno).
Para que uma funcao periodica seja representada apenas por senos ou cosenos entao essa funcao f(x)deve ser adequadamente extendida. Assim, seja f(x) uma funcao periodica definida em 0 ≤ x ≤ L.
Para representar f(x) no intervalo 0 ≤ x ≤ L por uma serie de Fourier em cosenos devemos extenderf(x) para o intervalo −L ≤ x ≤ L de forma que se transforme em uma funcao par. De forma semelhante,para representar f(x) no intervalo 0 ≤ x ≤ L por uma serie de Fourier em senos devemos extender f(x)para o intervalo −L ≤ x ≤ L de forma que se transforme em uma funcao impar. Se f(x) for extendida deoutra forma entao a serie de Fourier converge para f(x) no intervalo 0 ≤ x ≤ L mas deve ter termos emsenos e cosenos.
Em resumo, se pretendemos expandir uma funcao f(x), originalmente definida no intervalo [0, L], emuma serie de Fourier de perıodo 2L entao existem as seguintes alternativas:
1. Definir uma funcao g(x) de perıodo 2L tal que:
g(x) =
f(x) 0 ≤ x ≤ L
f(−x) −L ≤ x ≤ 0(3.42)
A funcao g(x) e uma extensao periodica par de f(x). Assim, a serie de Fourier de g(x) representaadequadamente f(x) no intervalo [0, L].
2. Definir uma funcao h(x) de perıodo 2L tal que:
h(x) =
f(x) 0 < x < L
0 x = 0 e x = L
−f(−x) −L < x < 0
(3.43)
A funcao h(x) e uma extensao periodica impar de f(x). Assim, a serie de Fourier de h(x) representaadequadamente f(x) no intervalo [0, L].
3. Definir uma funcao p(x) de perıodo 2L tal que:
p(x) = f(x) 0 ≤ x ≤ L (3.44)
e defina p(x) em (−L, 0) de qualquer forma desde que seja consistente com o Teorema de convergenciade Fourier. Assim, existem muitas formas de series e todas convergindo para f(x) no intervalo original.
23
Essas series envolvem termos em senos e cosenos. Uma forma trivial seria com p(x) = 0 para −L ≤x ≤ 0.
Exemplo 7: Serie de Fourier de uma funcao f(x):
Seja f(x) = x definida da seguinte forma:
f(x) =
1− x 0 < x ≤ 1f(x + 2) = f(x)
0 1 < x ≤ 2
Encontre a serie de Fourier dessa funcao.
O grafico de f(x) e mostrada na figura 8.
6
-
@@
@@
@@
@@
@@
@@1 2
1
f(x)
x..........
..
..
..
..
..
Figura 8: Funcao original do exemplo 7.
A funcao f(x) e expandida em series de Fourier de 3 formas diferentes:
1. Extendendo f(x) para uma funcao par: A figura 9 mostra a funcao extendida.
Encontrando ao:
ao =2L
∫ L
0f(x) dx =
22
∫ 1
0(1− x) dx =
[x− x2
2
]1
0
= [1− 12] =
12
Encontrando an:
an =2L
∫ L
0f(x) Cos
(nπx
L
)dx =
22
∫ 1
0(1− x) Cos
(nπx
2
)dx
an =∫ 1
0Cos
(nπx
2
)dx−
∫ 1
0x Cos
(nπx
2
)dx
Neste capıtulo ja foi encontrada a forma matematica da seguinte integral:
∫x Cos
(nπx
2
)dx =
2nπ
xSen
(nπx
2
)+
(2
nπ
)2
Cos
(nπx
2
)
24
6
-
@@
@@
¡¡
¡¡
@@
@@
¡¡
¡¡
L = 2
1 2 3−1−2−3
1
f(x)
x
Figura 9: Extensao par da funcao do exemplo 7.
Usando a relacao anterior temos o seguinte:
an =[
2nπ
Sen
(nπx
2
)]1
0−
[2
nπx Sen
(nπx
2
)+
(2
nπ
)2
Cos
(nπx
2
)]1
0
an =[
2nπ
Sen
(nπ
2
)− 0
]−
[2
nπSen
(nπ
2
)− 0 +
(2
nπ
)2
[Cos
(nπ
2
)− 1]
]
an =(
2nπ
)2 [1− Cos
(nπ
2
)]
Quando n e impar entao Cos(
nπ2
)= 0 entao temos o seguinte:
an =(
2nπ
)2
n = 1, 3, 5, . . .
Quando n e par entao Cos(
nπ2
)= −1 para n = 2, 6, 10, . . . e Cos
(nπ2
)= 1 para n = 4, 8, 12, . . . e,
portanto, temos o seguinte:
an = 2(
2nπ
)2
n = 2, 6, 10, . . .
an = 0 n = 4, 8, 12, . . .
Obviamente como foi realizada uma extensao de f(x) para uma funcao par entao todos os coeficientesbn = 0 para n = 1, 2, 3, . . .. Portanto, f(x) pode ser representada pela seguinte serie de Fourier:
f(x) =14
+4π2
{Cos
(πx
2
)+
19Cos
(3πx
2
)+
125
Cos
(5πx
2
)+ . . .
}+
8π2
{14Cos (πx) +
136
Cos (3πx) +1
100Cos (5πx) + . . .
}
f(x) =14
+4π2
∞∑
k=0
Cos[
(2k+1)πx2
]
(2k + 1)2+
2π2
∞∑
k=0
Cos [(2k + 1)πx](2k + 1)2
25
2. Extendendo f(x) para uma funcao impar: A figura 10 mostra a funcao extendida.
Neste caso temos que todos os an = 0 para n = 1, 2, 3, . . . ja que estamos realizando uma extensaoimpar da funcao f(x).
6
-
@@
@@@
@@@
@@
@@@
@@@
v v
L = 2
1 2 3 4 5 6−1−2−3
1
f(x)
x
Figura 10: Extensao impar da funcao do exemplo 7.
Encontrando bn:
bn =2L
∫ L
0f(x) Sen
(nπx
L
)dx =
22
∫ 1
0(1− x) Sen
(nπx
2
)dx
bn =∫ 1
0Sen
(nπx
2
)dx−
∫ 1
0x Sen
(nπx
2
)dx
Neste capıtulo ja foi encontrada a forma matematica da seguinte integral:
∫x Sen
(nπx
2
)dx = − 2
nπxCos
(nπx
2
)+
(2
nπ
)2
Sen
(nπx
2
)
Usando a relacao anterior temos o seguinte:
bn =[− 2
nπCos
(nπx
2
)]1
0+
[2
nπx Cos
(nπx
2
)−
(2
nπ
)2
Sen
(nπx
2
)]1
0
bn =[
2nπ
− 2nπ
Cos
(nπ
2
)]+
2nπ
[Cos
(nπ
2
)− 0
]−
(2
nπ
)2 (Sen
(nπ
2
)− 0
)
bn =2
nπ−
(2
nπ
)2
Sen
(nπ
2
)
Quando n e impar entao Sen(
nπ2
)= 1 para n = 1, 5, 9, 13, . . . e Sen
(nπ2
)= −1 para n = 3, 7, 11, 15, . . .
e, portanto, temos o seguinte:
bn =2
nπ−
(2
nπ
)2
=2
nπ
(1− 2
nπ
)n = 1, 5, 9, 13, . . .
26
bn =2
nπ+
(2
nπ
)2
=2
nπ
(1 +
2nπ
)n = 3, 7, 11, 15, . . .
Quando n e par entao Sen(
nπ2
)= 0 para n = 2, 4, 6, 8, . . . e, portanto, temos o seguinte:
bn =2
nπn = 2, 4, 6, 8, . . .
A serie de Fourier da funcao f(x) expandida assume a seguinte forma:
f(x) =
(2π−
(2π
)2)
Sen
(πx
2
)+
(25π
−(
25π
)2)
Sen
(5πx
2
)+ . . .+
1π
Sen(πx)+12π
Sen(2πx) . . . +
(23π
+(
23π
)2)
Sen
(3πx
2
)+
(27π
+(
27π
)2)
Sen
(7πx
2
)+ . . .
f(x) =2π
{ ∞∑
k=0
[1
4k + 1− 2
(4k + 1)2π
]Sen
(4k + 1
2πx
)+
∞∑
k=1
[1
4k − 1+
2(4k − 1)2π
]Sen
((4k − 1)πx
2
)+
∞∑
k=1
12k
Sen (kπx)
}
3. Extendendo f(x) fazendo p(x) = 0 para −L ≤ x < 0:
Neste caso a funcao extendida nao e par nem impar e, portanto, a serie de Fourier da funcao extendidapode ter termos em senos e cosenos. A grafica da funcao extendida e mostrada na figura 11.
6
-
@@
@@
@@
@@
L = 2
1 2 3 4 5 6−1−2−3
1
f(x)
x
Figura 11: Extensao da funcao do exemplo 7.
Encontrando ao:
ao =1L
∫ L
−Lf(x) dx =
12
∫ 1
0(1− x) dx =
12
[x− x2
2
]1
0
=14
27
Encontrando an para n ≥ 1:
an =1L
∫ L
−Lf(x) Cos
(nπx
L
)dx =
12
∫ 1
0(1− x) Cos
(nπx
2
)dx
an =12
[2
nπSen
(nπx
2
)]1
0−
[2
nπx Sen
(nπx
2
)+
(2
nπ
)2
Cos
(nπx
2
)]1
0
an =2
(nπ)2
[1− Cos
(nπ
2
)]
Quando n e impar entao Cos(
nπ2
)= 0 e temos o seguinte:
an =2
(nπ)2n = 1, 3, 5, . . .
Quando n e par entao Cos(
nπ2
)= −1 para n = 2, 6, 10, . . . e Cos
(nπ2
)= 1 para n = 4, 8, 12, . . ..
Portanto, para n par temos o seguinte:
an =(
2nπ
)2
n = 2, 6, 10, . . .
an = 0 n = 4, 8, 12, . . .
Encontrando bn:
bn =1L
∫ L
−Lf(x) Sen
(nπx
L
)dx =
12
∫ 1
0(1− x) Sen
(nπx
2
)dx
bn =12
[− 2
nπCos
(nπx
2
)]1
0+
[2
nπx Cos
(nπx
2
)−
(2
nπ
)2
Sen
(nπx
2
)]1
0
bn =1
nπ− 2
(nπ)2Sen
(nπ
2
)
Quando n e impar entao Sen(
nπ2
)= 1 para n = 1, 5, 9, 13, . . . e Sen
(nπ2
)= −1 para n = 3, 7, 11, 15, . . .
e, portanto, temos o seguinte:
bn =1
nπ− 2
(nπ)2n = 1, 5, 9, 13, . . .
bn =1
nπ+
2(nπ)2
n = 3, 7, 11, 15, . . .
28
Quando n e par entao Sen(
nπ2
)= 0 para n = 2, 4, 6, 8, . . . e, portanto, temos o seguinte:
bn =1
nπn = 2, 4, 6, 8, . . .
A serie de Fourier da funcao f(x) expandida assume a seguinte forma:
f(x) =18
+2π2
∞∑
k=0
Cos[
(2k+1)πx2
]
(2k + 1)2+
4π2
∞∑
k=0
Cos [(2k + 1)πx][2(2k + 1)]2
+ . . . +12π
∞∑
k=1
1kSen(kπx)+
1π
{ ∞∑
k=0
(1
4k + 1− 2
(4k + 1)2π
)Sen
[(4k + 1)πx
2
]+
∞∑
k=1
(1
4k − 1+
2(4k − 1)2π
)Sen
[(4k − 1)πx
2
]}
4. Encontrando a serie de Fourier sem extensao:
Neste caso encontramos a serie de Fourier de f(x) sem extensao o que tambem e possıvel. Devemosobservar que neste caso temos L = 1. A grafica e mostrada na figura 12 que e a mesma da figura 8onde apenas foi adicionada a informacao de que L = 1.
6
-
@@
@@
@@
@@
@@
@@1 2
1
f(x)
x..........
..
..
..
..
..
L = 1
Figura 12: Funcao original sem extensao.
Neste caso vamos encontrar relacoes matematicas alternativas para encontrar an e bn que aparecemna maioria dos livros da engenharia eletrica. Neste material a forma matematica de an e bn assumema seguinte forma:
an =1L
∫ L
−Lf(x) Cos
(nπx
L
)(3.45)
bn =1L
∫ L
−Lf(x) Sen
(nπx
L
)(3.46)
As duas relacoes anteriores realizam uma integracao para um perıodo completo e a escolha dos lımitesde −L a L = T
2 e arbitraria e escolhida pelos matematicos para facilitar o processo de integracao.Assim, podemos escolher outros limites desde que a integracao seja para um perıodo completo. Assim,as relacoes anteriores podem ser escritas da seguinte forma
an =1L
∫ 2L=T
0f(x) Cos
(nπx
L
)(3.47)
29
bn =1L
∫ 2L
0f(x) Sen
(nπx
L
)(3.48)
Vamos trabalhar apenas com a relacao (3.47). Sabendo que L = T2 temos o seguinte:
an =1T2
∫ T
0f(x) Cos
(nπx
T2
)
an =2T
∫ T
0f(x) Cos
(2π
Tnx
)
Finalmente, lembrando que 2πT = w entao temos o seguinte:
an =2T
∫ T
0f(x) Cos (nwx) (3.49)
Da mesma forma podemos encontrar uma forma matematica para bn que assume a seguinte forma:
bn =2T
∫ T
0f(x) Sen (nwx) (3.50)
Portanto, encontramos a serie de Fourier da funcao original usando as relacoes (3.49) (3.50) sendo queT = 2L = 2.
Encontrando ao:
ao =2T
∫ T
0f(x) dx =
22
∫ 1
0(1− x) dx =
[x− x2
2
]1
0
=12
Encontrando an para n ≥ 1:
an =2T
∫ T
0f(x) Cos (nwx) dx =
22
∫ 1
0(1− x) Cos (nwx) dx
an =∫ 1
0Cos (nwx) dx−
∫ 1
0x Cos (nwx) dx
an =[
1nw
Sen(nwx)]1
0−
[1
nwx Sen(nwx) +
1(nw)2
Cos(nwx)]1
0
Sabendo que w = 2πT = 2π
2 = π temos o seguinte:
an =[
1nπ
Sen(nπx)]1
0−
[1
nπx Sen(nπx) +
1(nπ)2
Cos(nπx)]1
0
an =1
nπSen(nπ)−
[1
nπ[Sen(nπ)− 0] +
1(nπ)2
[Cos(nπ)− 1]]
=1
(nπ)2[1− Cos(nπ)]
30
Quando n e impar entao Cos(nπ) = −1 e quando n e par entao Cos(nπ) = 0 e, portanto, temos oseguinte:
an =2
(nπ)2n = 1, 3, 5, . . .
an = 0 n = 2, 4, 6, . . .
Encontrando bn:
bn =2T
∫ T
0f(x) Sen (nwx) dx =
22
∫ 1
0(1− x) Sen (nwx) dx
bn =∫ 1
0Sen (nwx) dx−
∫ 1
0x Sen (nwx) dx
Podemos deduzir facilmente a seguinte relacao:
∫x Sen (nwx) dx = − 1
nwx Cos(nwx) +
1(nw)2
Sen(nwx)
Usando a relacao anterior bn assume a seguinte forma:
bn =[− 1
nwCos(nwx)
]1
0+
[1
nwx Cos(nwx)− 1
(nw)2Sen(nwx)
]1
0
Sabendo que w = 2πT = 2π
2 = π temos o seguinte:
bn =[
1nπ
[1− Cos(nπ)] +[
1nπ
[Cos(nπ)− 0]− 1
(nπ)2[Sen(nπ)− 0]
]
bn =1
nπn = 1, 2, 3, . . .
Portanto, f(x) assume a seguinte forma:
f(x) =14
+2π2
{Cos(πx) +
19Cos(3πx) +
125
Cos(5πx) + . . .
}+
1π
{Sen(πx) +
12Sen(2πx) +
13Sen(3πx) + . . .
}
f(x) =14
+2π2
∞∑
k=0
Cos[(2k + 1)πx](2k + 1)2
+1π
∞∑
k=1
Sen[kπx]k
31
3.7. Problemas propostos
1. Determine se a funcao dada e periodica. Se for encontre o perıodo fundamental:
(a) f(x) = sen 5x (b) f(x) = cos 2π x (c) f(x) = senh 2x
(d) f(x) = sen π xL (e) f(x) = tg π x (f) f(x) = x2
(g) f(x) =
0 2n− 1 ≤ x ≤ 2nn = 0, 1, 2, . . .
1 2n ≤ x < 2n + 1
(h) f(x) =
(−1)n 2n− 1 ≤ x < 2nn = 0, 1, 2, . . .
1 2n ≤ x < 2n + 1
2. Nas funcoes mostradas: (a) Esboce o grafico da funcao para 3 perıodos e, (b) Encontre a serie deFourier da funcao.
(a) f(x) = −x − L ≤ x < L f(x + 2L) = f(x)
(b) f(x) =
1 −L ≤ x < 0f(x + 2L) = f(x)
0 0 ≤ x < L
(c) f(x) =
x −π ≤ x < 0f(x + 2π) = f(x)
0 0 ≤ x < π
(d) f(x) =
x + 1 −1 ≤ x < 0f(x + 2) = f(x)
1− x 0 ≤ x < 1
(e) f(x) =
x + L −L ≤ x ≤ 0f(x + 2L) = f(x)
L 0 < x < L
(f) f(x) =
0 −2 ≤ x ≤ −1x −1 < x < 1 f(x + 4) = f(x)0 1 ≤ x < 2
(g) f(x) =
−1 −2 ≤ x ≤ 0f(x + 4) = f(x)
1 0 ≤ x < 2
(h) f(x) = x − 1 ≤ x < 1 f(x + 2) = f(x)
(i) f(x) =(
x2
2
)− 2 ≤ x ≤ 2 f(x + 4) = f(x)
(j) f(x) =
0 −3 ≤ x ≤ 0f(x + 6) = f(x)
x2(3− x) 0 < x < 3
(k) f(x) =
−12x −2 ≤ x < 0
f(x + 4) = f(x)2x− 1
2x2 0 ≤ x < 2
32
3. Para cada funcao mostrada determine se a funcao e par, impar ou nenhuma delas:
(a) f(x) = x3 − 2x (b) f(x) = x3 − 2x + 1 (c) f(x) = tg(2x)
(d) f(x) = sec x (e) f(x) = e−x
4. A continuacao sao mostradas funcoes f(x) para um intervalo de comprimento L. Em cada caso, mostreas extensoes par e impar de f(x) para um perıodo igual a 2L:
(a) f(x) =
x 0 ≤ x < 2
1 2 ≤ x < 3(b) f(x) =
0 0 ≤ x < 1
x− 1 1 ≤ x < 2
(c) f(x) = 2− x 0 < x < 2 (d) f(x) = x− 3 0 < x < 4
(e) f(x) =
0 0 ≤ x < 1
1 1 ≤ x < 2(f) f(x) = 4− x2 0 < x < 1
5. Para as funcoes indicadas encontre a serie de Fourier de f(x) ou de f(x) extendida na forma indicada.
a) Encontre a serie de Fourier em cosenos com perıdo 4 para a funcao: f(x) =
1 0 < x < 1
0 1 < x < 2
b) Encontre a serie de Fourier em senos com perıdo 4 para a funcao: f(x) =
x 0 ≤ x < 1
1 1 ≤ x < 2
c) Encontre a serie de Fourier de f(x) = x 0 ≤ x < 1 com perıodo 1.
d) Encontre a serie de Fourier em cosenos de f(x) = L− x 0 ≤ x ≤ L com perıodo 2L.
e) Encontre a serie de Fourier em senos de f(x) = L− x 0 < x < L com perıodo 2L.
f ) Encontre a serie de Fourier em senos de f(x) = 2− x2 0 < x < 2 com perıodo 4.
g) Encontre a serie de Fourier em cosenos de f(x) = x2 − 2x 0 < x < 4 com perıodo 8.
33
![ejω xne jωn −∞ Processamento Digital de Sinais ω€¦ · S´erie e Transformada Discreta de Fourier 15 Amostragem da DTFT Logo, ao se tomar N amostrasda DTFT de um sinal x[n],](https://img.document.onl/doc/110x75/5fd2a9dd036037074d2cfbf9/ej-xne-jn-aa-processamento-digital-de-sinais-serie-e-transformada-discreta.jpg)
