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Universidade Federal de Alfenas
Lucas Oliveira Quintino
Series de Fourier e Aplicacoes emEquacoes Diferenciais Parciais
Alfenas/MG2013
Lucas Oliveira Quintino
Series de Fourier e Aplicacoes emEquacoes Diferenciais Parciais
Trabalho de Conclusao de Cursoapresentado como parte dos requisitospara obtencao do Tıtulo de Licenciadoem Fısica pela Universidade Federalde Alfenas.Area de concentracao: Fısica-Matematica.Orientador: Prof. Dr. EvandroMonteiro.
Alfenas/MG2013
Resumo
O objetivo deste trabalho e a resolucao de algumas equacoes diferenciaisque aparecem em problemas da Fısica-Matematica, com o metodo de Fourier,dando enfase a aspectos matematicos da Fısica Teorica, visando enriquece-lacom maior rigor matematico. Para isso, e necessaria a utilizacao de cer-tos metodos, iniciando pelo Metodo de Fourier, cuja base e essencialmenteas Series de Fourier. As equacoes diferenciais modelam diversos problemasfısicos como: a equacao da onda, que descreve pequenas vibracoes trans-versais de uma corda flexıvel; a equacao do calor, empregada no estudo daconducao de calor em uma barra; e a equacao de Laplace, que deve ser satis-feita no estudo do equilıbrio de uma membrana sob a acao de certas forcas.Situacoes assim levam a um problema em que o valor da solucao em umavariavel espacial ou de suas derivadas e especificado na fronteira do conjunto.Para a obtencao de solucoes desses problemas de valores iniciais ou de fron-teira, sera utilizado o metodo de resolucao de Fourier.
Palavras-chave: Equacao das Ondas, Equacao do Calor, Equacao Dife-rencial Parcial, Problema de Dirichlet, Series de Fourier.
Abstract
The aim of this work is to solve, using the Fourier method, some differen-tial equations that appear in Mathematical Physics, emphasizing mathema-tical aspects of theoretical physics. For this, it is necessary the applicationof certain methods, beginning with the Fourier Method, whose base is essen-tially the Fourier series. The differential equations model several problemsin physics such as: the wave equation, which describes small transversal vi-brations in a flexible string; the heat equation, used to study the conductionof heat in a bar; and the Laplace’s equation, which must be satisfied in thestudy of equilibrium of a membrane under the action of certain forces. Si-tuations like these lead to a problem in which the value of a spatial variableor of its derivative is specified by boundary conditions. In order to find thesolutions of these boundary value problems, we will use the Fourier’s method.
Keywords: Dirichlet Problem, Fourier Series, Heat Equation, Partial Dif-ferential Equation, Wave Equation.
Sumario
1 Introducao 6
2 Conceitos Basicos 92.1 Produto escalar de funcoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.2 Funcoes ortonormais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.3 Conjunto Completo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.4 Series de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.5 Definicao da serie de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.6 Definicao da serie de Fourier trigonometrica . . . . . . . . . . 122.7 Convergencia pontual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.8 Convergencia uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3 Equacao das Ondas 213.1 Resolucao por series de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.2 Energia da corda vibrante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.3 Vibracoes forcadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.4 Harmonicos, frequencia, amplitude . . . . . . . . . . . . . . . 30
4 Equacao do Calor 344.1 Conducao do calor numa barra . . . . . . . . . . . . . . . . . 364.2 Barra com extremidades mantidas a 0o C . . . . . . . . . . . . 394.3 Barra sujeita a outras condicoes laterais . . . . . . . . . . . . 40
4.3.1 Barra isolada termicamente tambem nas extremidades 404.3.2 Barra com uma extremidade isolada termicamente e a
outra mantida a 0oC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414.3.3 Barra com uma extremidade mantida a 0oC e a outra
livre para fluxo de calor com o ambiente . . . . . . . . 43
5 Equacao de Laplace 455.1 Problema de Dirichlet para a equacao de Laplace . . . . . . . 465.2 Problema do Dirichlet no retangulo . . . . . . . . . . . . . . . 47
4
5.3 Problema de Dirichlet no disco . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
6 Conclusao 56
Referencias Bibliograficas 57
A Lema de Riemann-Lebesgue 58
B Lema de Dirichlet 63
C Desigualdade de Bessel 65
D Desigualdade de Cauchy-Schwarz 67
Capıtulo 1
Introducao
O principal objetivo deste trabalho e a resolucao de algumas equacoes di-ferenciais parciais, que aparecem em problemas da Fısica-Matematica, comseu respectivo significado e interpretacao fısica. O desenvolvimento dasequacoes diferenciais esta intimamente relacionado com o desenvolvimento damatematica. As equacoes diferenciais comecaram com o estudo do Calculopor Isaac Newton e Gottfried W. Leibniz no seculo XVII.[1] Apesar da poucacontribuicao de Newton na area das equacoes diferenciais, seu desenvolvi-mento do calculo e seu trabalho nos princıpios basicos da mecanica fornece-ram a base para a aplicacao das equacoes diferenciais no seculo XVII, espe-cialmente por Euler. Alem de ampliar o campo de aplicacao das equacoesdiferenciais, muito sobre o desenvolvimento de metodos para a resolucao deequacoes diferenciais e atribuıdo aos irmaos Jakob e Johann Bernoulli. Emseus estudos, Taylor, introduziu o uso de series na resolucao de equacoesdiferenciais. Este metodo de resolucao foi usado em outros problemas poralguns matematicos.
No inicio do seculo XVIII, Taylor, dentre outros matematicos, acumula-ram grandes conhecimentos a cerca de equacoes diferenciais, porem, aindanao era o bastante, uma vez que nao eram conhecidas as propriedades decertas equacoes e muitas delas nao possuıam solucao. Ainda nao havia umateoria geral, eram muitas descobertas em casos particulares e foi nesse con-texto que Leonard Euler, contribui para um grande avanco nesse estudo.Euler identificou a condicao para que as equacoes diferenciais de primeiraordem sejam exatas, desenvolveu a teoria de fatores integrantes no mesmoartigo e encontrou a solucao geral para equacoes lineares homogeneas comcoeficientes constantes, estendendo-se tambem o resultado para equacoes naohomogeneas. Utilizou tambem, em meados de 1750, com certa frequencia,series de potencias para resolver equacoes diferenciais. Propos tambem, umprocedimento numerico, fez contribuicoes importantes em equacoes diferen-
6
ciais parciais e deu o primeiro tratamento sistematico do calculo de variacoes.Tornando coeso o conhecimento acumulado ate entao.
Dentro da historia da evolucao das equacoes diferenciais Lagrange deusua contribuicao desenvolvendo completamente o metodo de variacao dosparametros e estendeu alguns resultados em mecanica, mais especificamente,em equacoes do movimento e energia potencial. No seculo XIX, a preo-cupacao em relacao a equacoes diferenciais ja nao e a procura por metodosde resolucao, uma vez que muitos destes ja tinham sido descobertos. Aatencao se voltou para questoes mais teoricas como existencia e unicidade,assim como o desenvolvimento de metodos menos elementares residentes noplano complexo.
A aplicacao das Series de Fourier para a resolucao de equacoes diferen-ciais nao surgiu de imediato. Jean Baptiste Fourier (1768-1830) fez grandescontribuicoes ao estudo e calculo da difusao de calor e a solucao de equacoesdiferenciais[2]. Theorie analytique de la chaleur (A Teoria Analıtica do Calor,1822)[3] contem uso extenso de series consistindo de funcoes trigonometricasque hoje chamamos de series de Fourier. Seu nome foi imortalizado pelasseries trigonometricas que introduziu em 1807 e ate hoje causam deslumbra-mentos em matematicos, fısicos, estatısticos e engenheiros. Essas series saouma dadiva para quem necessita descrever determinada funcao mais compli-cada em uma forma simples de visualizar e manipular.[2]
A historia das series de Fourier mostra como a solucao de um problemafısico acaba gerando novas fronteiras na matematica. Fourier desenvolveusuas series ao estudar a propagacao de calor em corpos solidos e para tal,a forma mais simples de uma onda e uma funcao senoidal, Fourier mostrouque qualquer funcao, por mais complicada que fosse, poderia ser decompostacomo uma soma de senos e cossenos.[2]
A utilizacao das Series de Fourier em equacoes diferenciais se deu pormeio do estudo da propagacao do calor. Por volta de 1756, surgiu a primeiradescricao do calor, por Joseph Black, como fluido, o calorico, capaz de escoaratraves da materia, produzindo um aumento da temperatura. Sai Carnot, em1824, estudou hidrodinamica do calorico que foi usado por William Thom-som, em 1848, para poder associar calor a uma energia mecanica, o que levoua primeira lei da Termodinamica. A formulacao matematica utilizada ate nosdias de hoje, incluindo um metodo para a solucao das equacoes, foi apresen-tada por Joseph Fourier[4] em 1822, em sua publicacao: Teoria analıticado calor[3], marcando tambem o inıcio do desenvolvimento dos metodos dafısica-matematica.
As equacoes diferenciais mais comuns que aparecem no estudo em questaodo presente texto, sao as equacoes das ondas e a equacao do calor. Entretantoa matematica que aprendemos nos cursos de Calculo Diferencial e Integral
7
e de Equacoes Diferenciais e insuficiente para responder a alguns problemasaqui tratados. Para obter tais solucoes e necessario um algo a mais, e nestetrabalho sera desenvolvido ferramentas matematicas para tal.
O instrumental matematico foi desenvolvido a proporcao em que se fa-zia necessario. No capıtulo 2 iniciamos com alguns conceitos basicos quepodem ser considerados como pre-requisitos para o completo entendimentodo texto. A seguir, o problema das equacoes das ondas e o problema daconducao de calor tratados nos capıtulos 3 e 4, respectivamente, sao estu-dados primeiramente como uma motivacao fısica e posteriormente com umaanalise mais cautelosa do problema, com enfase em aspectos matematicosda fısica teorica, visando enriquece-la com maior rigor matematico, clarezade raciocınio e limpeza de argumentos e premissas. Para a obtencao desolucoes desses problemas de valores iniciais ou de fronteira, sera utilizadoo metodo de resolucao de Fourier, o qual consiste em duas etapas. Na pri-meira utiliza-se a separacao de variaveis para que com isso possamos obterproblemas de autovalor para equacoes diferencias ordinarias que estao estrei-tamente relacionadas com as equacoes diferenciais parciais em estudo. Nessaetapa, obtem-se uma gama de solucoes da equacao diferencial parcial quesatisfazem parte das condicoes de fronteira. A segunda etapa, chamada deAnalise de Fourier, tem como ideia principal utilizar a solucao do problemacomo uma serie cujos termos sao produtos dessas solucoes por coeficientesadequadamente escolhidos. No proximo e ultimo capıtulo sera estudado oproblema de Dirichlet para a equacao de Laplace em certas regioes especiaisdo plano, para isso utilizaremos dos metodos da serie de Fourier. O objetivoneste capıtulo nao e discutir sobre a solubilidade do problema de Dirichlet,pois requer a teoria de Sturm-Liouville, a qual esta fora dos propositos destetrabalho.
A Fısica-Matematica esta presente em praticamente todas as areas daFısica, onde o objetivo principal e a melhor compreensao dos modelos e te-orias da Fısica. A historia das series de Fourier mostra como a solucao deum problema fısico acaba gerando novas fronteiras na matematica. Atual-mente, o metodo de Fourier constitui um procedimento para a resolucao deequacoes diferenciais parciais lineares homogeneas, do qual veio diretamentede alguns problemas de propagacao de calor a partir de superposicoes desolucoes particulares, levando as series de Fourier. [5]
8
Capıtulo 2
Conceitos Basicos
Esse capıtulo e dedicado a definir o espaco de funcoes e as series de Fou-rier, nos quais utilizaremos no decorrer do trabalho, para isso necessitamosdo seguinte conceito:
O salto de uma funcao f no ponto x0 e definido por
sal(f)(x) = f(x+0 )− f(x−0 ),
onde f(x+0 ) = lim
x→x+0f(x) e f(x−0 ) = lim
x→x−0f(x). Logo, se f e contınua em x0,
sal(f)(x0) = 0.
Figura 2.1: Salto de uma funcao
Podemos estender a nocao de funcao contınua para funcao contınua porpartes. Dizemos que f e contınua por partes se f tem um numero finito dedescontinuidade em qualquer intervalo limitado e sal(f)(x) e finito para todox ∈ R.
No caso em que no ponto onde a funcao e contınua, os limites lateraiscoincidem com o valor da funcao no ponto. Denotaremos o espaco de funcoescontınuas por partes por Cp(a, b).
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Iremos considerar as funcoes contınuas por partes em um intervalo (a, b),admitindo, caso houver, um numero finito de saltos finitos.
Em particular, no espaco de funcoes contınuas por partes, podemos defi-nir:
2.1 Produto escalar de funcoes
Definicao: Seja V um R-espaco vetorial. Um produto interno sobre Ve uma funcao que a cada par de vetores v1 e v2 associa-se um numero< v1, v2 >, satisfazendo:
< v1, v1 >≥ 0, para todo v1 ∈ V e < v1, v1 >= 0, se, e somente se v1 = 0;< αv1, v2 >= α < v1, v2 >, ∀α ∈ R;< v1 + v2, v3 >=< v1, v3 > + < v2, v3 >;< v1, v2 >=< v2, v1 >.
Se f, g ∈ Cp(a, b), o produto escalar de funcoes e definido por
< f, g >ρ =
∫ b
a
ρ(x)f(x)g(x)dx, (2.1)
em que ρ(x) e uma funcao positiva em (a, b), denominada peso do produtoescalar.
Tomando g = f , obtemos a norma desta funcao,
‖f‖2 = < f, f >ρ =
∫ b
a
ρ(x)f(x)2dx.
Sendo ρ(x) > 0, entao < f, f >ρ ≥ 0, podendo ser zero caso f = 0. Logo,a expressao (2.1) define o produto escalar em Cp(a, b), que e dependente daescolha da funcao ρ(x).
Observacao: No decorrer deste trabalho iremos considerar ρ(x) sempreigual a 1.
Podemos relacionar as funcoes de Cp(a, b), com esse produto escalar, comalgumas propriedades analogas as dos de R3:
A ”distancia”entre duas funcoes f e g e dada pela norma da diferencaf − g
‖f − g‖ =√< f − g, f − g > (2.2)
O angulo θ entre duas funcoes e
cos(θ) =< f, g >
‖f‖‖g‖(2.3)
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As funcoes f e g serao ortogonais em (a, b) caso
< f, g >=
∫ b
a
f(x)g(x)dx = 0 (2.4)
2.2 Funcoes ortonormais
Um conjunto de funcoes en(x) em Cp(a.b), diz-se ortonormal com relacaoao produto interno (2.1) no intervalo (a, b) se elas possuem norma 1 e saoortogonais entre si. Isso ocorre, quando
< em, en >=
∫ b
a
em(x)en(x)dx = δmn =
0, se m 6= n1, se m = n
(2.5)
No espaco vetorial com um produto escalar, a ortonormalidade do conjuntode vetores tem como caracterıstica a independencia linear. Isso se aplica,particularmente, as funcoes trigonometricas.
2.3 Conjunto Completo
Dado um conjunto de funcoes en, esse conjunto sera completo se naoexistir no mesmo conjunto uma funcao que seja ortogonal a todas en.
< f, en >=
∫ b
a
f(x)en(x)dx = 0. ∀ en
Neste trabalho, iremos supor o caso mais geral de uma grande infinidadede funcoes ortogonais que ocorrem comumente nos problemas de contorno.
2.4 Series de Fourier
Dado um conjunto completo de funcoes ortogonais en em Cp(a, b) euma serie convergente para uma funcao f(x)
f(x) =∞∑n=0
cnen(x), (2.6)
se esta serie e integravel, pode-se determinar os coeficientes cn com um pro-cedimento analogo ao do calculo vetorial em R3 :
cn =< f, en >=
∫ b
a
f(x)en(x)dx (2.7)
11
A serie acima deve ser convergente, diferenciando assim com o caso doR3, que e composta por infinitos vetores como base do espaco. Com isso,segue a definicao.
2.5 Definicao da serie de Fourier
Dada uma funcao f(x) e um conjunto en de funcoes ortonormais emCp(a, b), a serie de Fourier de f referente a en e
∞∑n=0
cnen, (2.8)
onde
cn ≡< f, en >=
∫ b
a
ρ(x)f(x)en(x)dx (2.9)
Esta definicao nao exige que a serie seja convergente. Se a serie for in-tegravel e houver convergencia, entao a expressao de cn e a mesma que (2.7).Sao chamados de coeficientes de Fourier de f os coeficientes cn.
2.6 Definicao da serie de Fourier trigonometrica
Dadas as funcoes ortonormais
ψm =sen(nπx/c)√
c/2, n = 1, 2, 3... (2.10)
e
φn =cos(nπx/c)√
c/2, n = 1, 2, 3... (2.11)
analisaremos o comportamento para um intervalo simetrico (−c, c). Comoos produtos ψnψm e φnφm sao funcoes pares, temos que∫ c
−cψn(x)ψm(x)dx = 2
∫ c
0
ψn(x)ψm(x)dx = 0
e ∫ c
−cφn(x)φm(x)dx = 2
∫ c
0
φn(x)φm(x)dx = 0
Deve-se atentar que nesse intervalo, estas funcoes nao possuem norma 1.Assumindo m = n, resulta
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∫ c
−cψn(x)ψn(x)dx = 2
∫ c
0
ψn(x)ψn(x)dx = 2
e ∫ c
−cφn(x)φn(x)dx = 2
∫ c
0
φn(x)φn(x)dx = 2
A vista disso, dividindo estas funcoes por√
2, obtemos dois conjuntos defuncoes ortonormais em (−c.c):
cos(nπxc
)√c
,
sen(nπx
c)
√c
n = 0, 1, 2... (2.12)
E facil verificar que os conjuntos nao sao completos. Basta que cada funcaode um destes conjuntos seja ortogonal a todas as funcoes do outro, ou seja∫ c
−c
sen(nπxc
)√c
cos(nπxc
)√c
dx = 0, ∀m,n
Alem disso, tambem existe uma funcao constante K que e tambem ortogonala todas estas funcoes, como decorre∫ c
−cKcos(nπx
c)
√c
dx =K√c
c
nπsen
nπx
c|c−c = 0
e ∫ c
−cKsen(mπx
c)
√c
dx =−K√c
c
nπcos
nπx
c|c−c = 0
O modulo de uma funcao constante K em (−c, c) referente ao nosso pro-duto escalar e
||K||2 =
∫ c
−cK2dx = 2K2c
Entao, tomando K = 1√2c
, obtemos ||K||2 = 1 e concluımos que o conjuntode funcoes ortonormais
en =
1√2c,cosnπx
c√c
,sennπx
c√c
(2.13)
e ”mais completo”do que os conjuntos de funcoes em (2.12), no intervalo(−c, c).
Escreveremos a serie de Fourier, pela definicao (2.8), de uma funcao f comrelacao ao conjunto ortonormal (2.13) usando a notacao en = e′0, e′n, e′′n,sendo
13
e′0 =1√2c, e′n =
cosnπxc√c
, e′′n =sennπx
c√c
, n = 1, 2, 3...
Temos
∞∑n=0
cnen = a′0e′0+
∞∑n=1
a′ne′n+
∞∑n=1
b′ne′′n =
a′0√2c
+∞∑n=1
a′n√ccos
nπx
c+∞∑n=1
b′n√csen
nπx
c,
(2.14)os coeficientes de Fourier sao calculados por
a′0 =< f, e′0 >=1√2c
∫ c
−cf(x)dx
a′n =< f, e′n >=1√c
∫ c
−cf(x)cos
nπx
cdx (2.15)
b′n =< f, e′′n >=1√c
∫ c
−cf(x)sen
nπx
cdx
Podemos definir novos coeficientes que sao equivalentes
a0 =2√2ca′0 =
1
c
∫ c
−cf(x)dx
a′n =1
c
∫ c
−cf(x)cos
nπx
cdx (2.16)
b′n =1√cb′n =
1
c
∫ c
−cf(x)sen
nπx
cdx
e substituindo em (2.14), obtemos a expressao mais familiar para a seriede Fourier de uma funcao f de perıodo 2c referente ao conjunto (2.13) nointervalo (−c, c)
∞∑n=0
cnen =1
2a0 +
∞∑n=1
ancosnπx
c+∞∑n=1
bnsennπx
c
Por motivos historicos, a serie de Fourier Trigonometrica e denominadasimplesmente por serie de Fourier. Usaremos essa mesma designacao sempreque nao houver confusao com o conceito mais geral de serie de Fourier dadefinicao (2.8).
14
2.7 Convergencia pontual
Uma serie de funcoes definidas em um subconjunto I de R do tipo∞∑n=1
un(x),
onde un : I → R, convergira pontualmente se, para cada x0 ∈ I fixado, a
serie numerica∞∑n=1
un(x) convergir. Ou seja, dados ε > 0 e x0 ∈ I, existe
N ∈ Z que e dependente de ε e de x0 de tal forma que∣∣∣∣∣m∑j=n
uj(x0)
∣∣∣∣∣ < ε ∀n < m,
tais que n ≥ N .
Teorema 2.7.1. Seja u : R→ R, periodica com perıodo 2π e u ∈ C℘, ondeC℘ designa o espaco vetorial dos polinomios com coeficientes reais. Entaoem todo ponto x onde existem e sao finitos os limites
limh→o+
u(x+ h)− u(x+)
he lim
h→o−
u(x+ h)− u(x−)
h
a serie de Fourier da u converge para
1
2
u(x+) + u(x−)
Demonstracao. Seja x ∈ R tal que as derivadas laterais existam, ou seja,supondo que
u′
+(x) = limh→0+
u(x+ h)− u(x+)
h< +∞
e
u′
−(x) = limh→0−
u(x+ h)− u(x−)
h< +∞
Consideremos a sequencia das somas parciais da serie de Fourier da u
a0
2+
n∑κ=1
[aκcos(κx) + bκsen(κx)]
sendo aκ e bκ os coeficientes de Fourier dados como em (2.16).De acordocom a observacao apos o Lema de Dirichlet, vide apendice B, a soma dos nprimeiros termos da serie, a sequencia das reduzidas e dada por
Sn(x) =1
π
∫ π
−πu(t)Dn(t− x)dt
15
Consideremos entao, a mudanca de variaveis, a saber
s = t− x→ t = s+ x
Logo,para t = −π entao s = −π − xpata t = π entao s = π − xEntao
Sn(x) =1
π
∫ π
−πu(s+ x)Dn(s)ds
Sendo u periodica, podemos ainda escrever que
Sn(x) =1
π
∫ π
−πvu(x+ s)Dn(s)ds
ou ainda,
Sn(x) =1
π
∫ 0
−πu(x+ s)Dn(s)ds+
∫ π
0
u(x+ s)Dn(s)ds
Resulta daı, que para provarmos o Teorema em questao, e suficiente pro-
varmos que quando n → +∞ a primeira parcela de Sn(x) converge parau(x−)/2 e a segunda parcel converge para u(x+)/2. Contudo, antes de pro-varmos isto, observemos que pelo fato de
1
2+
n∑κ=1
cos(κs) = Dn(s)
segue-se que Dn e uma funcao par e alem disso∫ π
−π
(1
2+
n∑κ=1
)ds =
∫ π
−πDn(s)ds
e1
2[π − (−π)] +
n∑κ=1
∫ π
−πcos(κs) =
∫ π
−πDn(s)ds
donde, ∫ π
−πDn(s)ds = π. (2.17)
Contudo, face a paridade de Dn, segue-se de (2.17) que∫ π
0
Dn(s)ds =π
2e
∫ 0
−πDn(s)dx =
π
2(2.18)
16
Retornando-se entao, a convergencia anterior, segue-se de (2.18) que
1
π
∫ π
0
u(x+ s)Dn(s)ds− 1
2u(x+) =
1
π
∫ π
0
u(x+ s)Dn(s)ds− 1
π
∫ π
0
u(x+)Dn(s)ds
=1
π
∫ π
0
[u(x+ s)− u(x+)]Dn(s)ds (2.19)
=1
π
∫ π
0
[u(x+ s)− u(x+)]sen
[(n+ 1
2)s]
2sen s2
ds
=1
π
∫ π
0
[u(x+ s)− u(x+)]
2sen s2
.sen[(n+1
2)s]ds
Aplicando agora o Lema de Riemann-Lebesgue, vide apendice A, podemosconcluir que a integral em (2.19) converge para zero.Para isso, e necessario provarmos que a funcao
v :]0, π]→ R
s 7→ v(s) =u(x+ s)− u(x+)
2sen(s2
)e contınua por partes em ]0, π] . Embora v nao esteja definida no zero,devemos provar que lim
s→0+v(s) < +∞. De fato,
lims→0+
u(x+ s)− u(x+)
2sen s2
= lims→0+
(u(x+ s)− u(x+)
s2
)(s/2
2sen s2
)= lim
s→0+
(u(x+ s)− u(x+)
s2
)(s/2
sen s2
)
Por hipotese, o lims→0+
(u(x+ s)− u(x+)
s
)< +∞ e como lim
s→
sen(s/2
s/2= 1,
segue-se quelims→0
v(s) < +∞
Analogamente, prova-se que
∫ 0
−πu(x+s)Dn(s)ds = u(x−) conforme querıamos
demonstrar.
Corolario 2.7.2. Em particular, se f e derivavel entao a sua serie de Fourierconvergente pontualmente para f(x) em todo ponto.
Teorema 2.7.3. O desenvolvimento em serie de Fourier de uma funcaocontinuamente diferenciavel por partes f em C℘([−π, π]) converge pontual-mente na reta inteira. Alem disso, se F designa a extensao periodica f ,
17
entao o valor da serie e F (x0) quando x0 e um ponto de continuidade de F
eF (x+
0 )− F (x−0 )
2quando x0 e um ponto de descontinuidade de F .
2.8 Convergencia uniforme
Se para uma serie de funcoes∞∑n=1
un(x), dado ε > 0, existir um numero
inteiro N , que dependa unicamente de ε, tal que∣∣∣∣∣m∑j=n
uj(x0)
∣∣∣∣∣ < ε ∀ m > n, n ≥ N.
dizemos que esta convergira uniformemente.
Teorema 2.8.1. Seja u : R → R uma funcao contınua, periodica comperıodo 2π, com derivada contınua por partes. Entao a serie de Fourierda u converge para u uniforme e absolutamente em [−π, π].
Demonstracao. De acordo com a convergencia pontual, podemos escrever∀x ∈ R
u(x) =a0
2+
+∞∑κ=1
[aκcos(κx) + bκsen(κx)]
sendo aκ e bκ coeficientes de Fourier da u. Assim, a serie de Fourier dau, converge pontualmente para u. Mostraremos que, na verdade, tal serieconverge uniformemente lancando mao do ”criterio de Weiestrass”ficandoprovado o teorema. Suponhamos
fκ(x) = aκcos(κx) + bκsen(κx)
Provaremos que ∀x ∈ [−π, π]e ∀κ ∈ N, ∃Mκ ≥ 0 tal que |fκ(x)| ≤ Mκ e+∞∑κ=1
Mκ < +∞. De fato, seja a serie de Fourier de u′. Logo
ακ =1
π
∫ π
−πu′(x)cosκxdx e βκ =
1
π
∫ π
−πu′(x)senκxdx (2.20)
18
Integrando-se a primeira integral por partes, obtemos
ακ =1
π
u(x)cos(κx)|π−π +
∫ π
−πu(x)κsen(κx)dx
(2.21)
=1
π
[u(π)cos(κπ)− u(−π)cos(−κπ)] + κ
∫ π
−πu(x)sen(κx)dx
=
1
π
[u(π)− u(−π)]cos(κπ) + κ
∫ π
−πu(x)sen(κx)dx
Pela periodicidade de u, isto e, como u(x) = u(x+ 2π) ∀x ∈ R, temos em
particular que u(−π) = u(π). Logo, de (2.21) obtemos
ακ = βκ (2.22)
Analogamente, de (2.20) integrando-se por partes a segunda integralprova-se que
βκ = −κaκ (2.23)
Agora, tomemos x ∈ [−π, π] e κ ∈ N, genericos. Entao, por Cauchy-Schwarz,vide apendice D,
|fκ(x)| = |aκcos(κx) + bκsen(κx)| ≤≤ (a2
κ + b2κ)
12 [cos2(κx) + sen2(κx)]
12
= (a2κ + b2
κ)12
Resta-nos provar que+∞∑κ=1
(a2κ + b2
κ)12 < +∞
Com efeito de (2.22) e (2.23), temos
(a2κ + b2
κ)12 =
(β2κ
κ2+α2κ
κ2
) 12
=1
κ(α2
κ + β2κ)
12
Assim, por Cauchy-Schwarzn∑κ=1
(a2κ + b2
κ)12 =
n∑κ=1
(α2κ + β2
κ)12 ≤
≤
(n∑κ=1
1
κ2
) 12(
n∑κ=1
(α2κ + β2
κ)
) 12
≤
(+∞∑κ=1
1
κ2
) 12(
+∞∑κ=1
(α2κ + β2
κ)
) 12
19
De acordo com a Desigualdade de Bessel, vide apendice C, temos(+∞∑κ=1
(α2κ + β2
κ)
) 12
< +∞,
e tambem (+∞∑κ=1
1
κ2
) 12
< +∞
posto que esta e uma serie geometrica.
Concluindo, temos que Sn =n∑κ=1
(α2κ + β2
κ)1/2 e uma sequencia crescente
e limitada superiormente, portanto convergente. Consequentemente a serie+∞∑κ=1
(a2κ+b2
κ) < +∞, o que encerra a demonstracao da convergencia uniforme.
20
Capıtulo 3
Equacao das Ondas
Considere uma corda elastica com dimensoes pequenas em relacao aoseu comprimento e presa em suas extremidades. Para o instante t = 0 acorda esta completamente em repouso, estendida entre dois ponto fixos 0e c. A partir desse instante, por algum estımulo externo, a corda passa aoscilar. Para simplificar, iremos supor que a corda permaneca sempre noplano xy. Devido ao seu movimento, a corda fica sujeita a uma tensaode restauracao ~ϑ. Essa tensao aparece como uma forca tangente a corda,possuindo uma componente horizontal ~h e uma vertical ~v, tal que: ~ϑ = ~v+~h.Em um dado instante t e em um ponto x, a amplitude da oscilacao dacorda e dada por y(x, t) e o angulo alfa entre a tangente e a horizontal e
tanα = |~v|/|~h| = v(x, t)/h(x, t) = ∂y/∂x. Denotaremos a derivada parcialde y em relacao x por yx, logo podemos escrever v(x, t) = hyx.
Considere um elemento infinitesimal da corda de comprimento ∆c. Su-pondo que os deslocamentos infinitesimais sao muito menores que a extensaoda corda, y(x, t) c, uma variacao no comprimento da corda sera propor-cional a uma variacao no eixo x. Sendo ρ a densidade linear da corda, entaoa massa do elemento sera ρ∆c ≈ ρ∆x. Aplicando a segunda lei de Newton,obtemos:
ρ∆x~γ = ~F (x, t) = ~ϑ(x+ ∆x, t)− ~ϑ(x, t), (3.1)
sendo desprezada qualquer forca externa. ~F (x, t) representa a forca resul-tante das tensoes no elemento e ~γ o vetor aceleracao que possui a mesmadirecao e sentido que ~F (x, t). Da hipotese que ~h da tensao e constante, omovimento de oscilacao da corda ocorre somente na direcao vertical. Issosignifica que ~γ tera direcao vertical e sera igual a ∂2y/∂x2. Comparando ascomponentes verticais, temos
21
ρ∆xytt = v(x+ ∆x, at)− v(x, t) = hyx(x+ ∆x, t)− hyx(x, t). (3.2)
Ou seja,
ytt =h
ρ
(yx(x+ ∆x, t)− yx(x, t)
∆x
)Tomando o limite para quando ∆x→ 0, pela definicao de derivada, obtemos
ytt(x, t) = a2yxx(x, t) (3.3)
sendo h/ρ = a2 > 0. Esta equacao e uma equacao diferencial linear, desegunda ordem, com derivadas parciais e descreve as oscilacoes da cordaelastica para as condicoes adotadas. Como por hipotese, quando em posicaode repouso, a corda esta com as extremidades fixas, temos duas condicoesbasicas
y(0, t) = 0, y(c, t) = 0
Adicionaremos tambem uma velocidade inicial, obtendo o problema de con-torno
ytt = a2yxx
y(0, t) = 0
y(c, t) = 0
yt(x, 0) = g(x)
(3.4)
onde g(x) e uma funcao dada.
3.1 Resolucao por series de Fourier
O metodo de separacao de variaveis e a teoria das series de Fourier saoutilizados para resolver o problema de contorno da corda vibrante com ex-tremidades fixas:
ytt = a2yxx, em R,y(0, t) = y(c, t) = 0, para t ≥ 0,
y(x, 0) = f(x), yt(x, 0) = g(x), para 0 ≤ x ≤ c.
(3.5)
Inicialmente, iremos usar a separacao das variaveis para determinar asfuncoes y(x, t) = F (x)G(t) que satisfacam a equacao das ondas e as condicoesde fronteira, e usar essas funcoes para compor uma funcao que satisfacatambem as condicoes iniciais. Substituindo na equacao das ondas temos
F ′′
F=
G′′
a2G. (3.6)
22
Podemos observar em (3.6) que o lado esquerdo depende somente de x, e olado direito somente de t. Implicando em um parametro σ ( independentede x e de t), o qual e determinado de modo que satisfaca as condicoes defronteira por y(x, t) = F (x)G(t). Logo, de (3.6), temos:
F ′′ − σF = 0, (3.7)
G′′ = σa2G. (3.8)
As condicoes de fronteira implicam F (0) = F (c) = 0, pois de outro modo,G(t) = 0, ∀ t. Para essas condicoes, acarretaria y(x, t) = 0, para todo xe t, o que nao interessa. Dessa forma, chegamos ao seguinte problema deautovalores: determinar os valores σ, para os quais o problema
F ′′ − σF = 0, 0 < x < c,
F (0) = F (c) = 0,(3.9)
tenha solucoes F (x) 6= 0Antes de seguirmos em frente, agora procedemos no sentido de analisar
quais os valores de σ que conduzem a solucoes F (x) do problema dado em(3.9). Nao estamos interessados em obter y ≡ 0, portanto queremos apenassolucoes F nao identicamente nula. Ha tres possibilidades para σ, conformesegue.
i) Para σ > 0,a solucao geral de (3.9) e
F (x) = k1e√σx + k2e
−√σx.
Portanto, o par (k1, k2) de constantes devera ser solucao do sistemak1 + k2 = 0
k1e√σc + k2e
−√σc = 0.
A unica solucao desse sistema e k1 = k2 = 0. Implicando F ≡ 0, o que naointeressa.
ii) Se σ = 0, a solucao de (3.9) e da forma
F (x) = k1x+ k2,
e, para satisfazer as condicoes, devemos ter
k2 = 0 e k1c+ k2 = 0,
implicando k1 = k2 = 0 e, portanto, F ≡ 0.
23
iii) Se σ < 0, fazemos σ = −λ2, e a solucao geral de (3.9) sera da forma
F (x) = k1 cos(λx) + k2sen(λx).
Tal que, devemos ter
k1 = 0 e k2sen(λc) = 0.
Nao queremos k2 = 0, portanto sin(λc) = 0, o que implica λc = nπ, onde ne um inteiro nao-nulo (n = ±1,±2, ...). Os valores de −σ = λ2:
λ2n =
n2π2
c2(3.10)
sao denominados os valores proprios ou autovalores do problema dado em(3.9), e as funcoes
Fn(x) = sen(nπx
c
)(3.11)
sao chamadas as funcoes proprias ou autofuncoes do problema dado em (3.9).Nao e necessario considerar os valores negativos de λn, pois assim conduziriaapenas a uma autofuncao diferindo apenas no sinal de outra obtida para umλn positivo.
Temos que, para cada σn, a solucao geral de (3.8) e
Gn(t) = ancosnπat
c+ bnsen
nπat
c,
onde an e bn sao constantes arbitrarias. Portanto, as funcoes
yn(x, t) = ansennπx
ccos
nπat
c+ bnsen
nπx
csen
nπat
c(3.12)
satisfazem as condicoes de fronteira e sao solucoes para a equacao da onda.Prosseguindo com o metodo de Fourier, o proximo passo e a determinacaodas constantes an e bn, de forma que a solucao y(x, t) do problema de valorinicial e de fronteira (3.5) seja
y(x, t) =∞∑n=1
(ansen
nπx
ccos
nπat
c+ bnsen
nπx
csen
nπat
c
)(3.13)
Implicando, primeiramente, que
f(x) =∞∑n=1
ansennπx
c(3.14)
24
e, para que isso ocorra, e necessario que
an =2
c
∫ c
0
f(x)sennπx
cdx (3.15)
Derivando a serie (3.13) termo a termo, podemos determinar os bn de modoformal. Utilizando-se entao, da segunda condicional inicial
g(x) =∞∑n=1
nπa
cbnsen
nπx
c(3.16)
Logo,nπa
cbn =
2
c
∫ c
0
g(x)sennπx
cdx
de onde obtemos
bn =2
nπa
∫ c
0
g(x)sennπx
cdx (3.17)
E importante salientar que nenhuma hipotese fora feita sobre f e g. Ometodo utilizado foi elegante, porem incauto em relacao ao rigor. Prossegui-remos nesta secao colocando e demonstrando as seguintes questoes:i) a serie (3.13) converge?;ii) (3.13) e definida como uma funcao contınua em R?;iii) define ela uma funcao de classe C2 em R, que seja solucao do problemade valor inicial e de fronteira?;iv) quais as condicoes sobre f para ocorrer (3.14)?v) quais as condicoes sobre g para que (3.16) ocorra?
Teorema 3.1.1. Supondo f e g funcoes dadas em [0, c] tais que f , f ′, f ′′,g, g′, sejam contınuas e f ′′′ e g′′ sao seccionalmente contınuas. Iremos suportambem que f(0) = f(c) = f ′′(0) = f ′′(c) = g(0) = g(c) = 0. A vista disso:i) an e bn estao bem definidas por (3.15) e (3.17), respectivamente;ii) as igualdades (3.14) e (3.16) ocorrem;iii) (3.13) define uma funcao contınua e de classe C2 em R, satisfazendo aequacao das ondas.
Demonstracao. i) e consequencia direta do fato de f e g serem contınuas em[0, c], implicando que as integrais em (3.15) e (3.17) existem. A parte ii)deriva das hipoteses de f e g serem de classe C1 em [0, c] e de que f(0) =f(c) = g(0) = g(c) = 0. Assim, f e g podem ser estendidas continuamentea toda a reta de modo a serem ımpares e periodicas de perıodo 2c. Antesde seguirmos em frente com as demonstracoes, introduziremos o Teorema deFourier.
25
Teorema 3.1.2. TEOREMA DE FOURIER. Seja f : R → R uma funcaoseccionalmente diferenciavel e de perıodo 2c. Entao a serie de Fourier dafuncao f dada, converge em cada ponto x para
1
2[f(x+ 0) + f(x− 0)] =
1
2a0 +
∞∑n=1
(ancos
nπx
c+ bnsen
nπx
c
)Demonstracao. Para provar que (3.13) define uma funcao contınua em R,
basta mostrar que a serie∞∑n=1
(|an|+ |bn|) converge, pois esta e uma majorante
da serie (3.13). Sendo assim, a integracao por partes, tres vezes, e as hipotesesf(0) = f(c) = f ′′(0) = f ′′(c) = 0 nos dao
an = − 2c2
n3π3
∫ c
0
f ′′′(x)cosnπx
cdx. (3.18)
Analogamente,
nπa
cbn = − 2c
n2π2
∫ c
0
g′′(x)sennπx
cdx (3.19)
De (3.18) e (3.19) segue
|an| ≤k
n3e |bn| ≤
k′
n3
onde k e k′ sao constantes. Dessa forma, as series∑
(|an|+|bn|) e∑
(n|an|+n|bn|) convergem, mostrando que y e contınua em R e de classe C1 em RFoi mostrado, tambem, que as derivadas primeiras de y podem ser obtidasderivando-se (3.13) termo a termo:
∂y
∂x=∞∑n=1
(annπ
ccos
nπx
ccos
nπat
c+ bn
nπ
ccos
nπx
csen
nπat
c
), (3.20)
∂y
∂t=∞∑n=1
(−an
nπa
csen
nπx
csen
nπat
c+ bn
nπa
csen
nπx
ccos
nπat
c
)(3.21)
De (3.18) e (3.19), obtemos
|an| ≤k′′
n3|cn|, |bn| ≤
k′′′
n3|dn|, (3.22)
26
sendo cn e dn denominados coeficientes de Fourier de f ′′′ e g′′, respectiva-mente. Logo, utilizando a desigualdade ab ≤ 1
2(a2 + b2) em (3.22), tem-se
n2|an| ≤k′′
2
(1
n2+ |cn|2
), n2|bn| ≤
k′′′
2
(1
n2+ |dn|2
)e
∞∑n=1
(n2|an|+ n2|bn|) ≤k′′ + k′′′
2
(∞∑n=1
1
n2+∞∑n=1
|cn|2 +∞∑n=1
|dn|2)
(3.23)
Em virtude da Desigualdade Bessel, vide apendice C, as duas ultimas seriesem (3.23) convergem. Logo, a convergencia do primeiro membro de (3.23),implica que y seja de classe C2 em R e as derivadas segundas de y podem serobtidas derivando (3.20) e (3.21), termo a termo. A vista disso, verificar-se-a,que y satisfaz a equacao da onda.
3.2 Energia da corda vibrante
Seja y(x, t) uma solucao da equacao
ρ(x)ytt = τytt + h1(x, t, y) (3.24)
onde fora designado por h1(x, t, y) a densidade linear de forcas externas aolongo da corda. Adicionaremos a hipotese de que τ(t) = t seja independentedo tempo. Fazendo a suposicao de que y satisfaca a equacao da onda em R,e seja uma funcao de classe C1 em R e de classe C2 em R. Multiplicando(3.24) por yt e integrando com relacao a x entre 0 e c, temos∫ c
0
ρ(x)yttytdx =
∫ c
0
τyttytdx+
∫ c
0
h1(x, t, y)dx. (3.25)
Atentando-se ao fato de que yttyt = 12(y2t )t e realizando integracao por partes
na segunda integral de (3.25), tem-se
1
2
d
dt
∫ c
0
ρ(x)y2t dx = τyxyt|c0 −
∫ c
0
τyxytxdx+
∫ c
o
h1(x, t, y)ytdx
que pode ser reescrito da seguinte forma
d
dt
[1
2
∫ c
0
ρ(x)y2t dx+
1
2
∫ c
0
τy2xdx
]= τyxyt|c0 +
∫h1(x, t, y)ytdx. (3.26)
27
A expressao dada pela equacao (3.26) e chamada equacao da energia. Arelacao abaixo
K(t) =1
2
∫ c
0
ρ(x)y2t dx (3.27)
e a energia cinetica da corda e
V (t) =1
2
∫ c
0
τy2xdx (3.28)
representa a energia potencial da corda e E(t) = K(t) + V (t) e a energiatotal da corda. Supondo que y seja solucao de (3.5); nesse caso, h1 = 0 eyt(0, t) = yt(c, t) = 0. Desse modo, (3.26) reduz-se a
∂
∂t
[1
2
∫ c
0
ρ(x)y2t dx+
1
2
∫ c
0
τy2xdx
], (3.29)
implicando que a energia E(t) seja constante no tempo. Portanto, sem aacao de forcas externas, tem-se o princıpio da conservacao da energia para ofenomeno de vibracao da corda com extremidades fixas. Quando isso ocorre,diz-se que o sistema e conservativo. Para o caso de vibracao da corda, semacao de forcas externas, com condicoes de fronteira semelhante, pode-se tirarigual conclusao. A energia inicial de corda vibrante e
E(0) =1
2
∫ c
0
ρ(x)g(x)2dx+1
2
∫ c
0
τf ′(x)2dx, (3.30)
e o princıpio de conservacao de energia nas condicoes dadas em (3.5) diz queessa energia e mantida.
Teorema 3.2.1. TEOREMA DE UNICIDADE. A solucao do problema devalor inicial e de fronteira, caso exista, e unica
ρ(x)ytt = τyxx + k1(t, x), em Ry(0, t) = h1(t), y(c, t) = h2(t), t > 0
y(x, 0) = f(x), yt(x, 0) = g(x), 0 < x < c.
(3.31)
Demonstracao. Suponha que (3.31) tenha duas solucoes y1 e y2, de classe C2
em R e contınua em R. A vista disso, as seguintes relacoes de compatibilidadeentre os dados iniciais e os de fronteira serao: h1(0) = f(0), h2(0) = g(c). Afuncao y = y1− y2 e de classe C2 em R, contınua em R e satisfaz ao seguinteproblema de valor incial e de fronteira:
28
ρ(x)ytt = τyxx,
y(0, t) = y(c, t) = 0,
y(x, 0) = yt(x, 0) = 0
(3.32)
A energia incial E(0) e 0. Entao, de (3.29), concluı-se
1
2
∫ c
0
ρ(x)y2t dx+
1
2
∫ c
0
τy2xdx = 0,
implicando yt(x, t) = yx(x, t) = 0, constante, para (x, t) em R. Utilizando-seda continuidade de y em R, e as condicoes iniciais, podemos concluir quey = 0 em R, ou seja, y1 = y2. Tem-se assim, a unicidade de solucao para(3.31).
3.3 Vibracoes forcadas
Estudaremos agora o problema de vibracao de uma corda com extremi-dades fixas e sujeita a forcas externas. O deslocamento y(x, t) e a solucaopara o problema de valor inicial e de fronteira:
ytt = a2yxx + g(x, t), em R,y(0, t) = y(c, t) = 0, para t > 0,
y(x, 0) = fo(x), para 0 ≤ x ≤ c,
yt(x, 0) = f1(x), para 0 ≤ x ≤ c,
(3.33)
Procederemos informalmente, como feito anteriormente, para descobrirum candidato a solucao na forma
y(x, t) =∞∑n=1
an(t)sennπx
c, (3.34)
com coeficientes cn(t) a determinar. Para cada t, iremos supor que a funcaog(x, t) possa ser escrita como uma serie de Fourier
g(x, t) =∞∑n=1
gn(t)sennπx
c(3.35)
Utilizando-se da derivacao termo a termo, obtemos
∞∑n=1
a′′
nsennπx
c= −a2
∞∑n=1
n2π2
c2ansen
nπx
c+∞∑n=1
gn(t)sennπx
c
29
Segue-se entao, que
a′′
n +n2π2a2
c2= gn(t),
ou seja,a′′
n + (2πωn)2an = gn, ∀ t > 0 (3.36)
onde ωn = na/2c e a frequencia do n-esimo harmonico da corda livre, con-forme veremos na proxima seccao. Usando as condicoes iniciais de (3.33),pode-se concluir que
f0(x) =∞∑n=1
an(0)sennπx
c, (3.37)
f1(x) =∞∑n=1
a′
n(0)sennπx
c, (3.38)
portanto, devemos ter
an(0) =2
c
∫ c
0
f0sennπx
cdx, (3.39)
a′
n(0) =2
c
∫ c
0
f1sennπx
cdx, (3.40)
Logo, cn(t) sera solucao de um problema de valor inicial para a equacao dadaem (3.36), (3.39) e (3.40). A solucao geral de (3.36) e da seguinte forma
an(t) = K1cos2πωnt+K2sen2πωnt+ an(t)
onde an(t) e uma solucao particular de (3.36) e K1 e K2 sao constantesarbitrarias que podem ser encontradas de acordo com as condicoes iniciais,satisfazendo (3.39) e (3.40).
Omitiremos a discussao das hipoteses sobre a diferenciabilidade de g, f0
e f1, para provar que a serie (3.34) converge e que define uma solucao (3.33),pois ja fora feito argumentos semelhantes anteriormente.
3.4 Harmonicos, frequencia, amplitude
Na resolucao de (3.5) pelo metodo de Fourier, encontramos funcoes
y(x, t) = ansennπx
ccos
nπat
c+ bnsen
nπx
csen
nπat
c
que sao solucoes e satisfazem as condicoes de fronteira da equacaoytt = a2yxx. Essas funcoes representam ondas estacionarias, pela razao de
30
que para x, tal que nπx/c = kπ, isto e, x = kc/n, k = 0, 1, 2...n, tem-sesen(nπx/c) = 0. Entao esses pontos, e somente esses, permanecem para-dos se a vibracao da corda dor descrita pela funcao yn, correspondendo aocaso de vibracao com as extremidades da corda fixas e condicoes iniciaisy(x, 0) = ansen(nπx/c) e yt(x, 0) = (nπa/c)bnsen(nπx/c). Esses pontossao denominados de nos da onda estacionaria. Os pontos medios entre osnos consecutivos sao os ventres ou antinos. O dobro da distancia entre doisnos e o comprimento de onda, dessa forma o comprimento de onda da ondaestacionaria yn e 2c/n. A figura a seguir ilustra tais conceitos.
Figura 3.1: Onda estacionaria
A funcao yn e tambem chamada de o n-esimo harmonico ou a n-esimatonica. A primeira tonica recebe a nomenclatura de tonica principal ouharmonico fundamental, e as sucessoras sao as supertonicas. Fazendo αn =√a2n + b2
n e θn = arctg(an/bn), tem-se yn da seguinte forma
yn(x, t) = αnsen
(nπat
c+ θn
)sen
nπx
c(3.41)
sendo θ denominado fase. A corda possui uma configuracao descrita poruma senoide para cada t fixo. Para valores de t tais que (nπat/c) + θn = kπ,k = 0, 1, 2..., a corda passa pela posicao de equilıbrio, e nesses momentosa velocidade e maxima. A velocidade sera nula para os valores de t taisque sen[(nπat/c) + θn] = ±1, onde a corda tem seus desvios maximos daposicao de equilıbrio. O movimento de cada ponto x da corda e regidopela lei senoidal de amplitude αsen(nπx/c), perıodo Tn(2c/na) e frequenciaωn = T−n 1 = (na/2c). A vista disso, todos os elementos da corda oscilamcom a mesma frequencia de vibracao e constante de fase, ou seja, tem amesma dependencia temporal, caracterizando-se como os modos normais devibracao. Entao
ωn =na
2ce
αnsennπx
c
31
recebem o nome de, respectivamente, frequencia ou frequencia natural e am-plitude do n-esimo harmonico. Pode-se concluir tambem que as frequenciasdas supertonicas sao multiplos da frequencia da tonica.
Figura 3.2: Modos normais de vibracao
A energia do n-esimo harmonico. Consideremos o n-esimo harmonico yn, deuma corda vibrante com suas extremidades fixas. Da expressao (3.41), segue
∂yn∂t
(x, t) = αnnπa
ccos
(nπat
c+ θn
)sen
nπx
c,
∂yn∂t
(x, t) = αnnπ
csen
(nπat
c+ θn
)cos
nπx
c.
Usaremos as expressao (3.27) e (3.28) para calcularmos a energia de yn
En =1
2
∫ c
0
ρ(x)α2n
n2π2a2
c2cos2βsen2
(nπxc
)dx
+1
2
∫ c
0
τ(x)α2n
n2π2
c2sen2βcos2
(nπxc
)dx,
onde βn = nπac−1t + θn. Fazendo a suposicao de que ρ e τ sao constantes,temos
En =n2π2
4cα2n(ρa2cos2βn + τsen2βn)
fazendo c2 = τρ−1, temos que
En =n2π2
4cρa2α2
n = Mπ2α2nω
2n, (3.42)
32
onde M = cρ e a massa da corda, ωn e q frequencia do n-esimo harmonico eαn e a amplitude maxima desse harmonico.
A energia da corda e a soma das energias dos varios harmonicos. A energiaE da corda e calculada por
E =1
2
∫ c
0
ρ[g(x)]2dx+1
2
∫ c
0
τ [f ′(x)]2dx.
Utilizando as expressoes (3.14) e (3.16) juntamente com as relacoes de orto-gonalidade, tem-se
E =1
2
∞∑n=1
ρn2π2a2
c2b2n
c
2+
1
2
∞∑n=1
τn2π2
c2a2n
c
2,
ou seja,
E =1
2
∞∑n=1
n2π2
4cρ2a2α2
n,
mostrando que
E =∑
En.
Entao, como foi mostrado, basta calcular a energia no instante t = 0,uma vez que a corda vibrante, com extremidades fixas, forma um sistemaconservativo.
33
Capıtulo 4
Equacao do Calor
A deducao sera apresentada de modo classico, utilizando-se de algunsconceitos que sao herancas de quando se pensava no calor como fluido: ca-pacidade e fluxo de calor.
Considere um solido de formato qualquer ocupando uma regiao do espacoproximamente a uma fonte de calor. A capacidade calorıfica especıfica, quedenominaremos por C0, do corpo e a quantidade de calor necessaria paraelevar uma unidade de volume do corpo em uma unidade de temperatura.Supomos que C0 e uma constante, mas e trivial concluir que a capacidadecalorıfica especıfica depende do material de que o corpo e feito.
Imaginando uma superfıcie fechada S de volume V totalmente contida nointerior do solido. Denotaremos a temperatura em um instante t no ponto Pde coordenada (x, y, z) pela funcao τ(x, y, z). Desta forma, a quantidade decalor acumulado nessa superfıcie fechada necessaria para atingir uma tempe-ratura τ em P , em um intervalo de tempo t, pode ser expressada por∫ ∫ ∫
V
C0τ(x, y, z)dv
Logo, a derivada dessa integral nos fornece a velocidade do aquecimento comrelacao a t, que denominaremos por υ e
υ =
∫ ∫ ∫V
C0∂τ
∂tdv
Pode-se expressar tambem esse aquecimento por meio de uma integral desuperfıcie. Definiremos o fluxo de calor ϕS atraves da superfıcie S, pontual-mente, pela quantidade de calor por unidade de area e por unidade de tempo,medida na direcao ortogonal a S. Desta forma, naquele ponto, o fluxo decalor realiza uma variacao de temperatura na direcao normal a S, que deno-taremos por ~n o vetor unitario ortogonal a S. A variacao da temperatura na
34
direcao ~n e proporcional ao fluxo de calor e dado por
ϕ = −κdτd~n
(4.1)
sendo κ a condutividade termica do solido. A equacao (4.1) e tambem conhe-cida como Lei de Fourier e o sinal de (−) e apenas uma convencao, indicandoque o fluxo de calor ocorre na direcao inversa de ~n.
A derivada direcional em (4.1) pode ser escrita como
dτ
d~n=< ∇τ, ~n >
e a expressao do fluxo
ϕS = −κdτd~n
= −κ < ∇τ, ~n >
onde
~grad =
(∂
∂x,∂
∂y,∂
∂z
)= ∇
Como ~n denota o vetor unitario normal a superfıcie fechada e orientadopara fora, a quantidade de calor que passa pelo elemento da superfıcie dspor unidade de tempo e ϕSds. A vista disso, o calor acumulado na superfıciefechada e
υA = −∫ ∫
S
ϕSds,
Substituindo ϕS pelo valor dado em (4.1) e utilizando o Teorema daDivergencia, obtemos∫ ∫
S
< ∇τ, ~n > ds =
∫ ∫ ∫V
∇2τdv
onde denotaremos
∇2τ = div(∇τ) =∂2τ
∂x2+∂2τ
∂y2+∂2τ
∂z2.
Comparando as duas velocidades de aquecimento, obtemos para o volume dasuperfıcie ∫ ∫ ∫
V
(C0∂τ
∂t− κ∇2τ
)dv = 0. (4.2)
Logo,∂τ
∂t= K∇2τ, (4.3)
35
sendo K = κ/C0. Pois, como V representa uma regiao fechada e arbitraria,a equacao (4.2) implica que o integrando e nulo, supondo que a τ e contınuae tem derivadas contınuas.
Em particular, se a temperatura nao depender explicitamente de t, maspodendo ter dependencia implıcita das coordenadas espaciais, a equacao (4.3)torna-se
∇2τ = 0.
Para o caso em que exista uma fonte de calor interna ao corpo, especifi-cada por f como a quantidade de calor por unidade de volume e por unidadede tempo. Entao, a expressao da velocidade de aquecimento, passa a ser
υ =
∫ ∫ ∫V
(C0∂τ
∂t+ f
)dv,
e repetindo os mesmo passos anteriores, obtemos a equacao nao homogenaque descreve a evolucao do calor com fonte interna
∂τ
∂t= K∇2τ − f
C0
4.1 Conducao do calor numa barra
Seja uma barra de comprimento L, de seccao transversal com area A efeita de um material condutor uniforme de calor. Suponhamos a existenciade um isolamento termico na superfıcie lateral da barra, permitindo entao,que haja transferencias de calor apenas atraves das extremidades da barra,conforme a figura 4.1.
Figura 4.1: Barra com isolamento termico na superfıcie lateral.[1]
O isolamento termico e a uniformidade do material que compoe a barraimplicam no problema de conducao de calor em uma unica dimensao, poiso fluxo ocorre somente na direcao longitudinal. Logo, as variaveis fısicasem cada seccao transversal sao constantes, entretanto podem variar de umaseccao para outra.
36
A lei que utilizaremos para o estudo da conducao de calor em um barrae a lei de resfriamento de Fourier, que prediz: considere duas placas, P1
e P2, ambas com areas iguais a A, estando a temperaturas constantes T1
e T2 com T2 > T1. Havera entao, a transferencia de calor da placa commaior temperatura para a de menor temperatura, e a variacao temporal daquantidade de calor que sera transferida, se estiverem paralelas e a umadistancia d, e
Q =kA(T2 − T1)
d, (4.4)
sendo k a condutibilidade termica do material entre as placas. Sua unidadeno sistema CGS tem dimensoes de cal/cm.s.oC.
Seja u(x, t) a representacao da temperatura em um ponto da abcissa xno tempo t, como representado na figura abaixo. Note a independencia dascoordenadas espaciais y e z.
Figura 4.2: Sistema de coordenadas espaciais.[1]
Consideremos duas seccoes transversais da barra em x e x+ d, nas quaisaplicaremos a Lei de Fourier. A dificuldade, no entanto, esta no fato dastemperaturas nas seccoes nao serem contınuas no tempo, como requer a Leide Fourier. Essa dificuldade e facilmente superada com a introducao dagrandeza fluxo de calor atraves da seccao x no instante t, da seguinte maneira:fixemos t em (4.4), procederemos com T2 = u(x + d, t) e T1 = u(x, t) epassemos o limite quando d tende a zero. Tal limite sera kA|ux(x, t)|. Logo,o fluxo de calor na direcao positiva do eixo da abcissa como funcao q(x, t) edefinido como
q(x, t) = −kAux(x, t). (4.5)
O sinal de menos em (4.5) possui a seguinte interpretacao fısica: se a tempe-ratura u crescesse com x, ux deveria ser positivo, mas, dessa forma, o calor
37
deveria fluir para a esquerda, entao q deveria ser negativo. Por conseguinte,se diminuir u implicasse na diminuicao de x, ux seria negativo, mas, como ocalor deveria fluir para a direita, q seria positivo.
Utilizando-se do fluxo de calor q(x, t), em um elemento da barra entre x0
e x0 + δ, notamos que
q =
∫ t0+τ
t0
q(x0, t)dt−∫ t0+τ
t0
q(x0 + δ, t)dt
ou seja,
q =
∫ t0+τ
t0
k[ux(x0 + δ, t)− ux(x0, t)]Adt. (4.6)
O calor especıfico, C, de uma substancia e a quantidade de calor ne-cessaria para elevar em 1oC a temperatura de uma grama dessa determinadasubstancia. A vista disso, q pode ser escrito como
q =
∫ t0+τ
t0
∫ x0+δ
x0
Cut(x, t)dtρAdx, (4.7)
sendo ρ a densidade da substancia a ser utilizada.Aplicando o Teorema Fundamental do Calculo em (4.6) e igualando com
o valor de q obtido em (4.7), temos∫ t0+τ
t0
∫ x0+δ
x0
kuxxdxdt =
∫ t0+τ
t0
∫ x0+δ
x0
Cρut(x, t)dxdt. (4.8)
A expressao (4.8) e valida ∀ t0 > 0, 0 < x0 < L, todos τ > 0 e δ > 0,com isso conclui-se que
kuxx(x, t) = Cρut(x, t),
ou seja,ut = Kuxx (4.9)
sendo K a difusibilidade termica, que possui dimensao, no sistema CGS, decm2/s. A expressao obtida em (4.9) descreve a variacao da temperaturau(x, t) numa barra uniforme com a superfıcie lateral isolada termicamente,conforme as hipoteses iniciais, e e denominada como equacao do calor.
38
4.2 Barra com extremidades mantidas a 0o C
O problema consiste, matematicamente, em encontrar uma funcao u(x, t)para t ≥ 0 e 0 ≤ x ≤ L, de tal forma que
ut = Kuxx, t > 0, 0 < x < L;
u(0, t) = u(L, t) = 0, t > 0;
u(x, 0) = f(x), 0 ≤ x ≤ L,
(4.10)
sendo dadas a constante K e a funcao f . Analogamente ao procedimentorealizado para encontrar (3.11), uma expressao razoavel a ser candidato asolucao de (4.10) e
∞∑n=1
cne−n2π2Kt/L2
sennπx
L, (4.11)
em que os coeficientes cn sao escolhidos de forma que
f(x) =∞∑n=1
sennπx
L. (4.12)
A vista disso, os cn devem ser os coeficientes de Fourier da funcao dada noseu respectivo intervalo, e estendida para R de modo a ser ımpar e periodicade perıodo 2L. Logo
cn =2
L
∫ L
0
f(x)sennπx
Ldx. (4.13)
Vale salientar que que a igualdade (4.12) nao se verifica para uma funcaoqualquer. Pelo Teorema 3.1.2 ve-se que a temperatura deve satisfazer algu-mas condicoes, para todo x em [0, L], sendo f contınua, f(0) = f(L) = 0 ef ′ seja seccionalmente contınua.
Prosseguiremos agora com o intuito de demonstrar que a expressao (4.11),onde os coeficientes sao dados em (4.13), seja solucao para o problema devalores inicial e de fronteira (4.10). Contudo, antes de seguir com as demons-tracoes, faz-se necessario definir exatamente o que e uma solucao para (4.10).Os valores da funcao u(x, t), na regiao
R = (x.t) ∈ R : 0 < x < L, t > 0
estao, obviamente, ligados com os dados inicial e de fronteira. Assim sendo,utilizaremos a seguinte notacao para designar a aderencia de R
R = (x.t) ∈ R : 0 ≤ x ≤ L, t ≥ 0
39
4.3 Barra sujeita a outras condicoes laterais
O objetivo desta secao e o estudo de tres problemas de valores iniciais ede fronteira, em que as condicoes de fronteira sao diferentes das descritas noinıcio deste capıtulo. A tecnica de resolucao, no entanto, e semelhante aocaso da barra com extremidades a 0o, sendo assim o estudo sera realizado deforma sucinta.
4.3.1 Barra isolada termicamente tambem nas extre-midades
Matematicamente o problema consiste em encontrar uma funcao u(x, t)em R que satisfaz as condicoes
ut = Kuxx,
ux(0, t) = ux(L, t), ∀ t > 0,
u(x, 0) = f(x),∀ 0 ≤ x ≤ L.
(4.14)
Atraves do metodo de separacao de variaveis, onde u(x, t) = F (x)G(t),obtem-se
G′(t) = σKG(t), t ≥ 0, (4.15)
F ′′(x)− σF (x) = 0, 0 ≤ x ≤ L. (4.16)
sendo σ um parametro a determinar, de tal forma que as solucoes de (4.16)sejam satisfeitas na fronteira
F ′(0) = F ′(L) = 0, (4.17)
das quais sao obtidas das condicoes de fronteira de (4.14). Os problemas(4.16) e (4.17) sao problema de autovalores com σn = −n2π2/L2 com n ∈N. Para cada valor de σn, obtem-se uma autofuncao Fn(x) = cos(nπx/L).A cada σn encontramos uma solucao correspondente para (4.15), dada porGn(t) = e−n
2π2Kt/L.Prosseguiremos no sentido de obter os coeficientes cn tais que
f(x) =∞∑n=0
cncosnπx
L, (4.18)
devem ser os coeficientes de Fourier da f , dada em [0, L] e estendida a
c0 =1
L
∫ L
0
f(x)dx, (4.19)
40
cn =2
L
∫ L
0
f(x)cosnπx
Ldx, n ∈ N. (4.20)
Ou seja, f sera estendida de modo a ser uma funcao par e periodica deperıodo 2L. Logo, a solucao de (4.14) deve ser dada por
∞∑n=0
cne−n2π2Kt/Lcos
nπx
L, (4.21)
note que os coeficientes cn sao dados em (4.19)e (4.20). A funcao determinadapara u em (4.21) satisfaz a equacao do calor e as condicoes de fronteira. Alemdisso define uma funcao u infinitamente diferenciavel em R e contınua em(x, t) ∈ R2 : 0 ≤ x ≤ L, t > 0. Exigindo continuidade e existencia daderivada f ′(x) como funcao seccionalmente contınua, pode-se provar, usandointegracao por partes, que
cn =−Lnπdn
, n ∈ N
onde
dn =2
L∫ L
0f ′(x)sennπx
Ldx
. Portanto
∞∑n=1
|cn| ≤L2
2π2
∞∑n=1
1
n2+
1
2
∑d2n <∞, (4.22)
que devido a Desigualdade de Bessel, vide apendice C, a ultima serie con-verge. Logo, (4.22) implica que a funcao u em (4.21) e contınua em R esatisfaz tambem a condicao inicial.
Para o caso em que f nao e contınua, sob a hipotese de f ser quadradointegravel, pode-se mostrar que (4.21) satisfaz a condicao inicial
limt→0
∫ L
0
u(x, t)ϕ(x)dx =
∫ L
0
f(x)ϕ(x)dx
para toda funcao seccionalmente contınua ϕ.
4.3.2 Barra com uma extremidade isolada termicamentee a outra mantida a 0oC
O problema agora consiste em determinar uma funcao u(x, t) definida emR tal que
41
ut = Kuxx,
u(0, t) = ux(L, t), ∀ t > 0,
u(x, 0) = f(x),∀ 0 ≤ x ≤ L.
(4.23)
Atraves do metodo de separacao de variaveis, onde u(x, t) = F (x)G(t),obtem-se o problema de autovalores
F ′′(x)− σF (x) = 0
F (0) = F ′(L) (4.24)
para 0 ≤ x ≤ L, com autovalores sao σn = −(2n− 1)2π2/4L2 ∀n ∈ N, cujasautofuncoes sao sen(2n− 1)πx/2L. A vista disso, a solucao de (4.23) e
u(x, t) =∞∑n=1
cne−(2n−1)2π2Kt/(4L2)sen
sen(2n− 1)πx
2L(4.25)
sendo cn, coeficientes de Fourier, tais que
f(x) =∞∑n=1
cnsensen(2n− 1)πx
2L(4.26)
Seguiremos com o intuito de verificar se f pode ser escrita na forma de(4.26). Note que f deve ser escrita como uma series de senos, definida assimde modo a ser uma funcao ımpar. A ideia utilizada em 4.3.1 de definir fcomo periodica de perıodo 2L nao funciona neste caso. Entao, definiremosf a ser periodica de perıodo 4L. Entretanto f nao esta definida em todareta, logo deve-se preceituar os valores de f no trecho [L, 2L]. Se a f naohouver nenhuma imposicao, a serie de f conteria todos os senos da formasen(jπx/2L), j = 1, 2, 3.... Como tais senos nao e do nosso interesse, bastadefinir f(x) = f(2L − x),∀x ∈ [L, 2L]. Pode-se comprovar a afirmacaoanterior, mostrando que, com tal f , tem-se∫ 2
0
Lf(x)sen
(jπx
2L
)dx = 0, (4.27)
para j = 2m e m ∈ N∗. Ou seja, ∀x ∈ [0, L], sendo f contınua em [0, L] e f ′
seccionalmente contınua, f(0) = 0 e estendida da forma como descrevemos,os coeficientes cn sao dados por
cn =2
2L
∫ 2
0
Lf(x)sen
((2n− 1)πx
2L
)dx, (4.28)
42
ou ainda como
cn =2
L
∫ L
0
f(x)sen
((2n− 1)πx
2L
)dx. (4.29)
Utilizando-se da integracao por partes, pode-se notar que
cn =2L
(2n− 1)πdn, dn =
2
L
∫ L
0
f ′(x)cos
((2n− 1)πx
2L
)dx
mostrando que a serie∞∑n=1
|cn| converge, utilizando ideias analogas aos dos
problemas anteriores. Logo, pode-se concluir que (4.25) define uma funcaoque e contınua em R, infinitamente diferenciavel em R e que e solucao de(4.23). Sendo f quadrado integravel em [0, L], (4.25) caracteriza uma funcaoinfinitamente diferenciavel em R, contınua em (x, t) ∈ R2 : 0 ≤ x ≤ L, t >0 e satisfazendo a equacao do calor juntamente com as condicoes laterais.A condicao inicial e satisfeita no sentido medio.
4.3.3 Barra com uma extremidade mantida a 0oC e aoutra livre para fluxo de calor com o ambiente
O problema consiste em verificar uma lei que estabelece que o fluxo sejaproporcional a diferenca de temperatura entre o meio e a barra, quandoesta mantem uma extremidade fixa no 0oC. Matematicamente, temos quedeterminar uma funcao u(x, t) em R tal que
ut = Kuxx,∈ R,ux(0, t) + ku(0, t), u(L, t) = 0, ∀t > 0
u(x, 0) = f(x),∀ 0 ≤ x ≤ L.
(4.30)
Utilizando o metodo de separacao de variaveis, chegamos no seguinte pro-blema de autovalores
F ′′(x)− σF (x) = 0
F ′′(0) + kF (0) = F (L) = 0. (4.31)
As autofuncoes em questao sao Fn(x) = ancos(λnx)+bnsen(λnx). As solucoesdo sistema linear abaixo fornecem an e bn
kan + λnbn = 0
an + (tgλnL)bn = 0.
43
Assim como foi feito nos casos anteriores, o candidato a solucao do problemade valor inicial e de fronteira e
∞∑n=1
cne−λ2nKt(ancosλnx+ bnsenλnx),
sendo os cn determinados de modo que
f(x) =∞∑n=1
cn(ancosλnx+ bnsenλnx).
Note que esta serie nao e uma serie de Fourier, pois os λn nao sao da formapπ/qL com p e q unicamente inteiros. A matematica que fora desenvolvidaate aqui nao e suficiente para a resolucao deste problema. Para tal problemae necessario uma elegante teoria, denominada de Teoria de Sturm-Liouville.Esta teoria, no entanto, nao esta nos objetivos deste trabalho.
44
Capıtulo 5
Equacao de Laplace
Seja Ω uma regiao do plano, os dois tipos de regiao considerados aqui sao:i) o disco de raio R e centrado na origem
DR = (x, y) ∈ R2 : x2 + y2 < R2;
ii) um retangulo
< = (x, y) ∈ R2 : 0 < x < a, 0 < y < b
Denominaremos por Ω a aderencia de Ω e por ∂Ω a fronteira de Ω.Uma funcao contınua u : Ω → R sera harmonica se esta satisfazer a
equacao de Laplace
div(∇u) = ∇2u ≡ ∂2u
∂x2+∂2u
∂y2+∂2u
∂z2= 0 (5.1)
O operador ∇2 e conhecido como Laplaciano.
Laplaciano em coordenadas polares: Utilizando-se da mudanca de variaveisentre coordenadas cartesianas e polares, em duas dimensoes
x = rcosθ, y = rsenθ,
obtemos que o Laplaciano, em coordenadas polares, e
∇2u = vrr +1
rvr +
1
r2vθθ (5.2)
onde v(r, θ) = u(rcosθ, rsenθ).
45
5.1 Problema de Dirichlet para a equacao de
Laplace
O problema de Dirichlet consiste em dada uma funcao contınua f : ∂Ω→R, determinar uma funcao u : Ω→ R satisfazendo as seguintes condicoesi) u e contınua em Ω,ii) u e harmonica em Ω,iii) u = f em ∂Ω.
A resolucao deste problema para uma regiao arbitraria Ω nao e trivial.
Unicidade do problema do Dirichlet. Utilizaremos o princıpio do maximo,para mostrar que se caso o problema de Dirichlet seja soluvel, a solucao seraunica.
Teorema 5.1.1. Seja Ω uma regiao limitada do plano e u : Ω → R umafuncao contınua em Ω e harmonica em Ω. Entao o maximo de u e atingidona fronteira.
Demonstracao. Considerando Ω limitada, implica diretamente que Ω e ∂Ωsao conjuntos fechados e limitados do plano. Como toda funcao real contınuag : K → R, em um conjunto compacto K, tem um valor maximo µ e existe(x, y) ∈ K tal que f(x, y) ≤ f(x, y) = µ, para todo (x, y) em K. Sejam
M = maxΩ
u(x, y) e m = max∂Ω
u(x, y)
e por contradicao, suponhamos m < M , u assume seu maximo em (x0, y0)que deve estar em Ω e nao em Ω. Iremos definir a seguinte funcao
v(x, y) = u(x, y) +M −m
2d2[(x− x0)2 + (y − y0)2] (5.3)
denominando por d o diametro da regiao Ω e d e o supremo das distanciasentre pares de pontos de Ω. A vista de que
v(x0, y0) = u(x0, y0) = M
e
v(x, y) ≤ m+M −m
2d2d2 =
M +m
2< M, (x, y) ∈ ∂Ω
pode-se concluir que a funcao v assume seu maximo em um ponto (x1, y1) deΩ, e nao de ∂Ω. Logo, neste ponto vxx(x1, y1) ≤ 0 e vyy(x1, y1) ≤ 0, o quenos fornece
∇2v(x1, y1) ≤ 0. (5.4)
46
Por outro lado, a partir de (5.3) temos
∇2v =M −md2
> 0, (5.5)
para todos os pontos de Ω. Como pode-se observar, as desigualdades (5.4) e(5.5) sao contraditorias.
Corolario 5.1.2. Seja u como nas hipoteses no Teorema anterior. Entao uassume seu mınimo em ∂Ω. Para a demonstracao, basta aplicar o teoremaanterior a funcao −u.
Teorema 5.1.3. Sejam u1 e u2 solucoes do problema de Dirichlet para ummesmo f . Entao u1 ≡ u2.
Demonstracao. A funcao u = u1 − u2 e harmonica em Ω, contınua em Ωe resulta em zero em ∂Ω. Portanto, pelo corolario 1, u(x, y) ≥ 0 e peloprincıpio do maximo u(x, y) ≤ 0 ∀ (x, y) ∈ Ω. Daı, conclui-se que u ≡ 0.
Teorema 5.1.4. Sejam Ω uma regiao do plano, (x0, y0) um ponto de Ω e u :Ω\ (x0, y0) → R uma funcao harmonica, limitada em uma vizinhanca aoredor do ponto supracitado. Entao, existe u0 tal que u(x, y)→ u0, e a funcaou : Ω → R e harmonica e definida por u(x0, y0) = u0 e u(x, y) = u(x, y),sendo (x, y) 6= (x0, y0).
A demonstracao para o Teorema 5.1.4 sera omitida, pois nao faz partedos objetivos deste trabalho.
5.2 Problema do Dirichlet no retangulo
Consideremos agora o problema de encontrar a solucao u(x, y), com domınio< = (x, y) ∈ R2 : 0 < x < a, 0 < y < b restrito em um retangulo doplano-xy, como mostra a figura 5.1
Consideremos a equacao
uxx + uyy = 0, 0 < x < a, 0 < y < b, (5.6)
sujeita as condicoes de contorno
u(x, 0) = 0;u(x, b) = 0; 0 < x < a, (5.7)
eu(0, y) = 0;u(a, y) = f(y); 0 ≤ y ≤ b (5.8)
47
Figura 5.1: Regiao retangular - Problema de Dirichlet
Figura 5.2: Condicoes de contorno para o problema de Dirichlet
onde f : [a, b]→ R, conforme a figura 5.2A ideia que seguiremos para a resolucao do problema de Dirichlet sera
construir um conjunto fundamental de solucoes de (5.6) que satisfaca ascondicoes de contorno (5.7), com relacao a variavel y. Logo apos, sera uti-lizado o princıpio da superposicao de modo a satisfazer as demais condicoesde contorno em x. Assim, temos
u(x, y) = X(x)Y (y) (5.9)
ou simplesmente u = XY . Logo
ux = X ′Y e uxx = X ′′Y (5.10)
euy = XY ′ e uyy = XY ′′ (5.11)
Substituindo (5.10) e (5.11) na equacao de Laplace, obtemos
X ′′Y +XY ′′ = 0,
48
implicandoX ′′
X= −Y
′′
Y= σ (5.12)
sendo σ a constante de separacao. Desta forma, podemos escrever
X ′′ − σX = 0, (5.13)
Y ′′ + σY = 0. (5.14)
Aplicando as condicoes de contorno (5.7) em (5.9), obtemos
u(x, 0) = X(x)Y (0) = 0 e u(x, b) = X(x)Y (b) = 0. (5.15)
Tem-se que a funcao X(x) nao pode ser identicamente nula, logo deve-seescolher
Y (0) = 0 e Y (b) = 0. (5.16)
Determinaremos agora a solucao de (5.14) sujeita as condicoes de contorno(5.16). Uma solucao nao-trivial existe se e somente se a constante de se-paracao de for
σ =n2π2
b2(5.17)
entao a solucao sera
Yn(y) = Knsennπy
b(5.18)
sendo Kn constantes dependentes e n.Prosseguiremos agora com a resolucao de (5.13). Por (5.17) a expressao
(5.13) torna-se
X ′′ − n2π2
b2X = 0. (5.19)
Cuja solucao geral eXn(x) = k1
nenπxb + k2
ne−nπx
b (5.20)
Da condicao de contorno u(0, y) = 0 em (5.8)
u(0, y) = X(0)Y (y) = 0,
donde X(0) = 0. Aplicando esta ultima solucao, obtemos
k1n = −k2
n
e, desta forma, (5.20) pode ser escrita como
Xn(x) = k1n
(enπxb − e−
nπxb
)49
ouXn(x) = knsenh
(nπxb
). (5.21)
Por (5.9), temos que a solucao de (5.6) e encontrada pela produto de (5.18)e (5.21). Agrupando as constantes, pode-se escrever as solucoes fundamentais
un(x, y) = Cnsen(nπy
b
)senh
(nπxb
),
sendo Cn uma constante dependente de n. A solucao geral, pelo princıpio dasuperposicao, de (5.6) e
u(x, y) =∞∑n=1
Cnsen(nπy
b
)senh
(nπxb
), (5.22)
tal que satisfaz as duas condicoes de contorno homogeneas em y por (5.7) eem x por (5.8). Para encontrar o valor das constantes Cn, a solucao de (5.22)deve satisfazer a condicao nao homogenea em (5.8), dada por u(a, y) = f(y).Dessa forma, temos
u(a, y) =∞∑n=1
Cnsen(nπy
b
)senh
(nπab
)= f(y).
Note que os coeficientes Cn devem ser coeficientes da series de senos deFourier, com perıodo T = 2b para f(y), dados por
bn = Cnsenh(nπa
b
)=
2
b
∫ b
0
f(y)sen(nπy
b
)dy,
e entao
Cn =1
senh(nπab
) 2
b
∫ b
0
f(y)sen(nπy
b
)dy.
Substituindo Cn na solucao (5.22), obtemos a solucao de (5.7) que satisfaztodas as condicoes de contorno.
5.3 Problema de Dirichlet no disco
Dada uma funcao contınua f(θ), utilizando coordenadas polares, com θvariando entre 0 ≤ θ ≤ 2π, e sendo f(0) = f(2π), o problema pode serformulado em determinar v(r, θ) para 0 ≤ r ≤ R e 0 ≤ θ ≤ 2π, tal quei) v(r, 0) = v(r, 2π) e v contınua,
50
ii) v seja de classe C2 em 0 < r < R e satisfaca a equacao de Laplace,iii) v(R, θ) = f(θ).
Buscaremos solucoes do tipo v(r, θ) = A(r)B(θ), utilizando a separacaode variaveis e as series de Fourier. Obtem-se duas equacoes diferenciais or-dinarias substituindo em (5.2)
r2A′′ + rA′ − σA = 0 (5.23)
B′′ + σB = 0, (5.24)
sendo σ um parametro independente de R e θ. Como B e uma funcaoperiodica de perıodo 2π, conclui-se que σ = n2, n ≥ 0 e
Bn(θ) = ancos(nθ) + bnsen(nθ)
e a solucao geral de (5.24). A equacao (5.23) possui um par de solucoeslinearmente independentes, para cada n, dadas por
1 e lnr, se n = 0,
rn e r−n, se n ≥ 1.
As solucoes lnr e r−n nao sao interessantes, pois estas dariam um v(r, θ)descontınuo na origem. Entao, an(r) = rn, ∀ n ≥ 0. Para cada n ≥ 0, afuncao
vn(r, θ) = rn[ancos(nθ) + bnsen(nθ)]
sendo an e bn constantes quaisquer que satisfazem as condicoes (i) e (ii).Seguiremos em descobrir uma funcao v que satisfaca tambem (iii). Natural-mente, o candidato e
v(r, θ) =∞∑n=0
rn[ancos(nθ) + bnsen(nθ)] (5.25)
Escolhendo os coeficientes an e bn convenientemente, a serie (5.25) conver-gira, e definira uma funcao satisfazendo (i), (ii) e (iii). Como queremosv(R, θ) = f(θ), seria conveniente que
f(θ) = a0 +∞∑n=1
[anRncos(nθ) + bnR
nsen(nθ)] (5.26)
o que exigiria
a0 =1
2π
∫ 2π
0
f(θ)dθ, (5.27)
51
an =1
πRn
∫ 2π
0
f(θ)cos(nθ)dθ e bn =1
πRn
∫ 2π
0
f(θ)sen(nθ)dθ. (5.28)
Vale observar que (5.26) ocorreria se f fosse seccionalmente derivavel, mas,em geral, isso nos nao temos. Contudo o procedimento anterior nos leva acrer que (5.25), com os coeficientes dados em (5.27) e (5.28), seja solucaopara o problema de Dirichlet. E, de fato, e.
Teorema 5.3.1. Seja f(θ) com θ variando entre 0 e 2π, uma funcao contınua,com f(0) = f(2π). Entao (5.25), com os coeficientes an e bn definidos em(5.27) e (5.28), e uma funcao harmonica no disco DR e
v(r, θ)→ f(θ0) quando (r, θ)→ (R, θ0).
A demonstracao deste teorema sera dada na forma de uma serie de lemas.
Lema 5.3.2. As condicoes do Teorema 5.3.1, a equacao (5.25) define umafuncao harmonica em DR
Demonstracao. (1) A serie (5.25) converge para r < R. Pode-se concluir de(5.28) que
|an| ≤ KR−n e |bn| ≤ KR−n,
sendo K uma constante independente de n, e, logo, a serie (5.25) e dominadapor
2K∞∑n=0
( rR
)n,
a qual e convergente se r < R.(2) A serie encontrada em (5.25) define uma funcao contınua no disco DR.Logo, para tal serie, basta mostrar que (5.25) converge uniformemente nosdiscos r ≤ r0, ∀ r0 < R. Segue-se entao do teste M de Weierstrass, pois(5.25) e majorada uniformemente pela serie convergente
2K∞∑n=0
(r0
R
)n,
no disco r ≤ r0.(3) A serie (5.25) e uma funcao de classe C2 em DR. Para tal, basta que asseries resultantes de (5.25) por derivacao termo a termo convergem unifor-memente em discos r ≤ r0, ∀ r0 < R. As series obtidas pelas derivadas saomajoradas uniformemente no disco, por series numericas da forma
∞∑n=0
n(r0
R
)n,
∞∑n=0
n2(r0
R
)n,
52
que convergem.(4) A serie (5.25) define a funcao v(r, θ) como harmonica, pois cada termoda serie, obtidos pela derivacao termo a termo, e uma funcao harmonica.
Lema 5.3.3. Pode-se expressar a funcao v(r, θ), definida por (5.25), parar < R e 0 ≤ θ ≤ 2π, por
v(r, θ) =1
2π
∫ 2π
0
R2 − r2
R2 + r2 − 2Rrcos(θ − α)f(α)dα (5.29)
que e conhecida como a Formula de Poisson.
Demonstracao. Utilizando-se das expressoes dos coeficientes, dadas em (5.27)e (5.28), e sabendo que a serie converge uniformemente em α, temos
v(r, θ) =
∫ 2π
0
[1
2π+
1
π+∞∑n=1
( rR
)ncos(nθ − nα)
]f(α)dα.
Para calcular tal soma da serie acima, observamos que
∞∑n=1
λncos(nθ) = Re∞∑n=1
λneinθ
e que∞∑n=1
λneinθ =λeiθ
1− λeiθ=
λeiθ − λ2
|1− λeiθ|2, |λ| < 1.
Logo, a Formula de Poisson se segue atraves de alguns calculos.
Lema 5.3.4. Vamos supor agora que alem das hipoteses feitas no Teorema5.3.1, f seja de classe C1. Logo, a serie (5.25) define uma funcao v(r, θ)contınua em DR, harmonica em DR, e que v(r, θ) = f(θ).
Demonstracao. Para isso, basta mostrar que (5.25) converge uniformementeem DR. Somos conduzidos, pela integracao por partes em (5.28), a
an = − 1
nRnβn, bn =
1
nRnαn,
sendo αn e βn os coeficientes de Fourier de f ′(θ). Entao, a serie dada por(5.25) e majorada pela serie numerica em DR que se segue abaixo
∞∑n=1
1
n(|αn|+ |βn|),
53
na qual e majorada por
∞∑n=1
1
n2+
1
2
∞∑n=1
(|αn|+ |βn|),
que em virtude da Desigualdade de Bessel, vide apendice C, tambem e umaserie convergente. Portanto, o teste M de Weierstrass garante a convergenciada serie (5.25) em DR
Lema 5.3.5. Tem-se que
1
2π
∫ 2π
0
R2 − r2
R2 + r2 − 2Rrcos(θ − α)f(α)dα = 1 (5.30)
para r < R e 0 ≤ θ ≤ 2π
Demonstracao. Considerando o problema de Dirichlet no disco com f(θ) = 1.A unica para esse problema e v(r, θ) ≡ 1, pelo Teorema 5.1.3. Mas, v(r, θ)tambem e dada pela serie (5.25), em DR, pois o lema 5.3.4 pode ser aplicadoa dados de fronteira constantes. E tambem, no disco DR, v(r, θ), e dada pelaFormula de Poisson. Segue-se entao (5.30).
Lema 5.3.6. Suponha as hipoteses feitas no Teorema 5.3.1 e seja θ0 definidoentre 0 e 2π. Entao, v(r, θ) definido em (5.29) tende a f(θ0) quando (r, θ)→(R, θ0).
Demonstracao. Utilizando (5.29) e (5.30), temos
v(r, θ)− f(θ0) =1
2π
∫ 2π
0
R2 − r2
R2 + r2 − 2Rrcos(θ − α)[f(α)− f(θ0)]dα (5.31)
Mostraremos que, dado ε > 0, ∃ δ > 0, tal que, |R − r| < δ e |θ − θ0| < δ,entao |v(r, θ)−f(θ0)| < ε. Para um η > 0, no qual fixaremos posteriormente,decompomos a integral (5.31) na soma
I1 + I2 =
∫|α−θ0|≤η
+
∫α−θ0|>η
Pode-se majorar a primeira integral da seguinte forma
|I1| ≤1
2π
∫|α−θ0|≤η
R2 − r2
R2 + r2 − 2Rrcos(θ − α)[|f(α)− f(θ0)|]dα ≤ ω(η),
sendo ω(η) o modulo de continuidade de f , e onde fora usado o Lema 5.3.5.Para majorar a outra integral, tomamos δ < η/2, dai,
|θ − α| > η
2
54
se|θ − θ0| < δ,
para os α tais que |α − θ0| > η. Definindo M como o maximo de |f(θ)|,obtemos entao
|I2| ≤ 2MR2 − r2
R2 + r2 − 2Rrcos(η/2)≤ 2M
2R(R− r)[R− rcos(η/2)]2
e, se r > R/2, temos
|I2| ≤4MR(R− r)
r2[1− cos(η/2)]2≤ 16M
[R(1− cos(η/2)]2(R− r).
Tomando η tal que ω(η) < ε/2; a seguir, com esse η fixo, tomamos δ tal queδ < η/2 e
16M
[R(1− cos(η/2)]2<ε
2.
Para essas condicoes, [I1] e [I2] sao menores do que ε/2.
A demonstracao do Teorema 5.3.1 decorre do Lema 5.3.2, do qual provaque v(r, θ) e uma funcao harmonica em DR e alem disso o Lema 5.3.6 de-monstra que a funcao v(r, θ) converge para f(θ0) quando (r, θ) convergempara (R, θ0).
55
Capıtulo 6
Conclusao
A Fısica Matematica se estende a praticamente todas as areas da Fısica,se fazendo presente nas atividades cuja principal finalidade e a compreensaodos conteudos fısicos de modelos e teorias estudadas, gerando assim umaaproximacao maior da Matematica com a Fısica.
As Series de Fourier permitem a representacao matematica de funcoesperiodicas e e uma ferramenta matematica essencial para a resolucao de pro-blemas fısicos. A vista disso, se tornou uma tecnica muito poderosa com umavasta aplicacao em todos os campos da ciencia.
Tomando como base o Metodo de Fourier, resolvemos com exito os pro-blemas nos quais propusemos a estudar, exibindo a utilidade das teoriasmatematicas aplicadas em problemas fısicos, como e por que foram criadas.Tal analise mostrou-se de grande valia para melhor compreensao do estudoda equacao da onda, da conducao de calor e do problema de Dirichlet, poisutilizamos um certo grau de rigor matematico implicando diretamente naclareza de raciocınio, limpeza de premissas e argumentos.
56
Referencias Bibliograficas
[1] De Figueiredo, D.G. Analise de Fourier e Equacoes Diferenciais Parciais.Rio de Janeiro, IMPA, Projeto Euclides, 1977.
[2] AS SERIES DE FOURIER, Disponıvel em<http://www.seara.ufc.br/tintim/matematica/fourier/fourier1.htm>.Acesso em dezembro de 2013.
[3] Joseph Fourier, J.B. Theorie analytique de la chaleur, A Paris, 1822.
[4] Maia, M.D. Introducao aos Metodos da Fısica-Matematica,. UnB, 2000.
[5] Butkov, E. Mathematical Physics. Facsimile edition Addison Wesley Re-ading, MA. 1968.
57
Apendice A
Lema de Riemann-Lebesgue
Se u e uma aplicacao contınua por partes em [a, b], entao
limκ→+∞
∫ b
a
u(x)cos(κx)dx = limκ→+∞
∫ b
a
u(x)sen(κx)dx = 0
Demonstracao. a) Suponhamos inicialmente que u ∈ Cp([a, b]) e considere-mos κ0 suficientemente grande de modo que
a < a+π
κ0
< b− π
κ0
< b.
Fixemos, entao, κ ≥ κ0 . Dessa forma, podemos escrever que∫ b
a
u(x)cos(κx)dx =
∫ a+πκ
a
u(x)cos(κx)dx+
∫ b
a+πκ
u(x)cos(κx)dx
Consideremos na segunda integral a direita da igualdade a mudanca devariaveis, a saber: x = s + π
κ, ou seja, s = x − π
κ. Entao, se x = a + π
κ,
s = a e se x = b, s = b− πκ. A vista disso∫ b
a+πκ
u(x)cos(κx)dx =
∫ b−πκ
a
u(s+π
κ)cosκ(s+
π
κ)ds
Mascos(κs+ π) = cos(κs)cos(π)− sen(κs)sen(π) = −cos(κs)
Portanto ∫ b
a+πκ
u(x)cos(κx)dx = −∫ b−π
κ
a
u(x+
π
κ
)cos(κx)dx
58
Desta forma∫ b
a
u(x)cos(κx)dx =
∫ a+πκ
a
u(x)cos(κx)dx−∫ b−π
κ
a
u(x+
π
κ
)cos(κx)dx
(A.1)Tambem∫ b
a
u(x)cos(κx)dx =
∫ b−πκ
a
u(x)cos(κx)dx+
∫ b
b−πκ
u(x)cos(κx)dx (A.2)
Somando-se (A.1) e (A.2) chegamos a
2
∫ b
a
u(x)cos(κx)dx =
∫ a+πκ
a
u(x)cos(κx)dx
+
∫ b−πκ
a
[u(x)− u
(x+
π
κ
)]cos(κx)dx
+
∫ b
b−πκ
u(x)cos(κx)dx
Logo∫ b
a
u(x)cos(κx)dx =1
2
∫ a+πκ
a
u(x)cos(κx)dx
+1
2
∫ b−πκ
a
[u(x)− u
(x+
π
κ
)]cos(κx)dx
+1
2
∫ b
b−πκ
u(x)cos(κx)dx
Portanto∣∣∣∣∫ b
a
u(x)cos(κx)dx
∣∣∣∣ ≤ 1
2
∫ a+πκ
a
|u(x)||cos(κx)|dx
+1
2
∫ b−πκ
a
∣∣∣u(x)− u(x+
π
κ
)∣∣∣ |cos(κx)|dx
+1
2
∫ b
b−πκ
|u(x)||cos(κx)|dx
Pondo-se M = maximo |u(x)| com x ∈ [a, b] obtemos∣∣∣∣∫ b
a
u(x)cos(κx)dx
∣∣∣∣ ≤ Mπ
2κ+
1
2
∫ b−πκ
a
∣∣∣u(x)− u(x+
π
κ
)∣∣∣ dx+Mπ
2κ
≤ Mπ
κ+
1
2
∫ b
a
∣∣∣u(x)− u(x+
π
κ
)∣∣∣ dx (A.3)
59
Por outro lado, sendo u contınua no compacto [a, b], segue-se que u euniformemente contınua. Logo, dado ε > 0, ∃ δ > 0 ( que so depende de ε)tal que se x, y ∈ [a, b] com |x− y| < δ, entao tem-se |u(x)− u(y)| < ε.
Tomemos, entao, ε > 0 arbitrario. A distancia entre os pontos x e x+π/κe precisamente π/κ. Dessa forma, escolhendo-se κ suficientemente grande (ainda maior que κ0 tal que π/κ < δ temos∣∣∣u(x)− u
(x+
π
κ
)∣∣∣ < ε
b− ae de (A.3) vem que ∣∣∣∣∫ b
a
u(x)cos(κx)dx
∣∣∣∣ ≤ Mπ
κ+ε
2(A.4)
Alem disso, comoMπ
κ→ 0 quando κ→ +∞ segue-se que para o ε > 0 dado
anteriormente ∃ κ0 tal queMπ
κ<ε
2. Assim, se considerarmos κ∗0 o maximo
entre os κ′s0 envolvidos, obtemos de (A.4) que∣∣∣∣∫ b
a
u(x)cos(κx)dx
∣∣∣∣ ≤ ε
2+ε
2= ε ∀ κ ≥ κ∗0
o que prova que limκ→+∞
∫ b
a
u(x)cos(κx)dx = 0.
b) Consideraremos agora, u ∈ Cp(]a, b[) ∩ C℘(]a, b[), onde C℘ e o espacovetorial constituıdo por todos os polinomios com coeficientes reais e pode serconsiderado um subespaco de Cp([a, b]) para qualquer par de numeros reaisa < b. Neste caso, nao podemos aplicar a continuidade uniforme, como naprimeira parte da demonstracao. Acontece, entretanto, que sendo u contınuapor partes, ela possui limites laterais finitos em a e em b, ou seja, u(a+) < +∞e u(b−) < +∞.
Definamos entao
u(x) =
u(a+); se x = a
u(x); se a < x < b
u(b−); se x = b
E trivial a observacao de que u e contınua em [a, b]. Logo, pela primeiraparte da demonstracao vale o lema para u. Entretanto, como as integrais∫ b
a
u(x)cos(κx)dx e
∫ b
a
u(x)cos(κx)dx sao iguais, conclui-se o lema para u.
60
c) Finalmente, para concluir a demonstracao, suponhamos que u sejacontınua por partes em [a, b].
Sejam a = x0 < x1 < ... < xi < xi+1 < ... < xn = b pontos de desconti-nuidade de u. A restricao de ui de u a cada um desses intervalos [ui + ui+1]esta nas condicoes da segunda demonstracao do lema. Resulta entao que olema e valido para as u
′si = u|[xi,xi+1], isto e
limκ→∞
∫ xi+1
xi
ui(x)cos(κx)dx = 0 para i = 0, 1, ..., n.
Mas
limκ→+∞
∫ b
a
u(x)cos(κx)dx = limκ→+∞
n−1∑i=0
∫ xi+1
xi
ui(x)cos(κx)dx
=n−1∑i=0
limκ→+∞
∫ xi+1
xi
ui(x)cos(κx)dx = 0
Lema 2
Para todo x ∈ R, tem-se
1
2+
n∑κ=1
cos(κx) =
sen(n+ 1
2)x
2senx2
;x 6= 0;±2π;±4π; etc...
1
2+ n;x = 0;±2π;±4π; etc...
Demonstracao. Sabemos que
2senpcosq = sen(p+ q) + sen(p− q)
Fazendo-se q =x
2e p = kx, obtem-se
Para k = 1 ⇒ 2cosxsenx
2= sen
3
2x− senx
2
Para k = 2 ⇒ 2cos2xsenx
2= sen
5
2x− sen3
2x
Para k = n ⇒ 2cosnxsenx
2= sen
(n+
1
2
)x− sen
(n− 1
2
)x
Somando-sen∑κ=1
2cosκxsenx
2= sen
(n+
1
2
)x− senx
2
61
Donde
2senx
2
n∑κ=1
cosκx+1
2
= sen
(n+
1
2
)x
Portanto, para x 6= 0; ±2π; ±4π;... temos
n∑κ=1
cosκx+1
2=sen
(n+ 1
2
)x
2senx2
e para x = 0, 2π, 4π, etc...
n∑κ=1
cosκx+1
2=
1
2+ n
62
Apendice B
Lema de Dirichlet
Seja u : [−π, π] → R; u ∈ C℘([−π, π]). Entao, a soma dos n primeirostermos Sn(x) da serie de Fourier da u sera dada por
Sn(x) =
1
π
∫ π
−πu(t)
sen(n+ 12(t− x))
2sen t−x2
dt; t 6= 0
1
π
∫ π
−πu(t)
(1
2+ n
)dt; t = x
Demonstracao. Temos,
Sn(x) =a0
2+
n∑κ=1
(aκcosκx+ bκsenκx)
onde
aκ =1
π
∫ π
−πu(x)cosκxdx e bκ =
1
π
∫ π
−πu(x)senκxdx
Portanto
Sn =1
2π
∫ π
−πu(t)dt
=n∑κ=1
[(1
π
∫ π
−πu(t)cosκtdt
)cosκx+
(1
π
∫ π
−πsenκtdt
)senκx
]
=1
π
1
2
∫ π
−πu(t)dt+
n∑κ=1
∫ π
−πu(t) [cosκtcosκx+ senκtsenκx] dt
=1
π
∫ π
−πu(t)
[1
2+
n∑κ=1
cos(κ(t− x))
]dt
63
De acordo com o Lema 2
Sn(x) =
1
π
∫ π
−πu(t)
sen(n+ 12(t− x)
2sen t−x2
dt; t 6= 0
1
π
∫ π
−πu(t)
(1
2+ n
)dt; t = x
como querıamos demonstrar.
64
Apendice C
Desigualdade de Bessel
Para estabelecer a desigualdade abaixo, conhecida como Desigualdade deBessel, nota-se que en ≥ 0, para qualquer escolha dos coeficientes cn e dn.Entao
0 ≤ en =
∫ c
−c|f(x)2|dx− cq0a0 − 2c
n∑k=1
(qkak + bkdk). (C.1)
Como essa desigualdade vale para todo n
q20
2+∞∑k=1
(q2k + b2
k) ≤1
c
∫ c
−c|f(x)|2dx. (C.2)
Chama-se de quadrado integravel uma funcao f : [a, b] → R se f e |f |2forem integraveis. A nomenclatura que utilizaremos para designar tal funcaosera =.Observacoes:
1) Se f for limitada e integravel a Riemann, entao f sera de quadradointegravel, e ∫ b
a
|f(x)|2dx ≤M2(b− a),
onde M = sup|f(x)| : x ∈ [a, b].2) Se f nao for limitada, existe a possibilidade de f ser =1, mas nao =2.3) Se f for =2, entao f e necessariamente =1
Em um intervalo [a, b], uma sucessao (fn) de funcoes de quadrado in-tegraveis, converge em media quadratica, para uma funcao f de quadradointegravel, se
limn→∞
∫ b
a
|fn(x)− f(x)|2dx = 0.
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A expressao ∫ b
a
|fn(x)− f(x)|2dx
e chamada de erro medio quadratico, na aproximacao de f por fn.Seguiremos agora com o intuito de mostrar que as reduzidas sn(x) da
serie de Fourier de uma funcao f de quadrado integravel sao polinomiostrigonometricos, que melhor aproximam f em media quadratica. Considereum polinomio trigonometrico de ordem n:
tn(x) =a0
2+
n∑k=1
(akcos
kπx
c+ dksen
kπx
c
)e designemos por
en =
∫ c
−c|sn(x)− f(x)|2dx
e
en =
∫ c
−c|tn(x)− f(x)|2dx
O que iremos provar een ≤ en
Para calcular en usaremos as relacoes de ortogonalidade abaixo∫ c
−ccos
nπx
csen
mπx
cdx = 0, se n,m ≥ 1;∫ c
−ccos
nπx
csen
mπx
cdx =
c, se n = m ≥ 1,0, se n 6= m,n,m ≥ 1
e as expressoes dos coeficientes de Fourier. Com isso obtemos
en =c
2a2
0 + c
n∑k=1
(a2k + d2
k) +
∫ c
−c|f(x)2|dx− cq0a0 − 2c
n∑k=1
(qkak + bkdk).
Completando quadrados, temos
en =c
2(a0 − q0)2 + c
n∑k=1
(ak − qk)2 + cn∑k=1
(dk − bk)2
+
∫ c
−c|f(x)|2dx− cq2
0
2− c
n∑k=1
(q2k + b2
k)
O menor valor de en e obtido quando a0 = q0, ak = qk, dk = bk quandok = 1...n. Para este caso, conclui-se que en coincide com en. Entao, temosen ≤ en.
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Apendice D
Desigualdade deCauchy-Schwarz
Dados dois vetores, u e v, de um espaco vetorial com produto interno
|< ~u,~v >|≤|| ~u || || ~v ||
possui igualdade valida se e somente se u e v forem linearmente dependentes.
Demonstracao. Seja a funcao f(t) =|| ~u−t~v ||2 ∀t ∈ R. Observe que f(t) ≥ 0para qualquer valor de t. Devido a propriedade do produto interno, temos
f(t) = (~u− t~v) · (~u− t~v) =|| ~u ||2 −2~u · ~vt+ || ~v ||2 t2 ≥ 0
A vista de que f(t) e uma funcao quadratica e nao negativa, segue-se que odiscriminante ∆ ≤ 0, ou seja,
∆ = (2 < ~u,~v >)2 − 4 || ~u ||2 || ~v ||2≤ 0.
Logo|< ~u,~v >|≤|| ~u || || ~v ||,
conforme querıamos demonstrar.
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