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Séries de Fourier Matemática Aplicada Carlos Luz Revisto em 2004/2005

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Séries de Fourier

Matemática Aplicada

Carlos LuzRevisto em 2004/2005

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Conteúdo

1 Séries de Fourier 21.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Séries trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2.1 Séries de funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2.2 Definição de série trigonométrica . . . . . . . . . . . . 81.2.3 Cálculo dos coeficientes de uma série trigonométrica

uniformemente convergente . . . . . . . . . . . . . . . 111.3 Séries de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.3.1 Definição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.3.2 Convergência das séries de Fourier . . . . . . . . . . . . 191.3.3 Série de Fourier de uma função de período T . . . . . . 241.3.4 Séries de Fourier de funções importantes nas aplicações 27

1.4 Aplicações das séries de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . 301.4.1 Aplicação à resolução de equações diferenciais . . . . . 301.4.2 Aproximação de uma função por um polinómio tri-

gonométrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

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1 Séries de Fourier

1.1 Introdução

As séries de Fourier são séries cujos termos são funções sinusoidais. A sua im-portância prática deve-se a que uma função periódica (verificando condiçõesbastante gerais) pode ser representada por uma série de Fourier e, sobre-tudo, ao facto de ser possível obter facilmente em computador excelentesaproximações daquela série.

Historicamente, contudo, o aparecimento das séries de Fourier deveu-se,numa primeira fase, aos estudos realizados por Bernoulli1 por volta de 1750sobre a resolução da equação diferencial às derivadas parciais que regula ofenómeno da vibração de uma corda flexível. Foi porém Fourier2, 50 anosmais tarde, que ao estudar outra equação diferencial às derivadas parciais–aequação do calor (ver, para referências históricas, [3] e [9])–revelou definiti-vamente a importância teórica e prática das séries de Fourier.

No que se segue começaremos por rever algumas noções e propriedadesrelativas às séries de funções após o que daremos a definição de série trigono-métrica e veremos como calcular os seus coeficientes. Introduziremos depoisas séries de Fourier, estudaremos a sua convergência e apresentaremos váriosexemplos. Terminaremos com as aplicações das séries de Fourier à resoluçãode equações diferenciais e à teoria da aproximação de funções.

1.2 Séries trigonométricas

1.2.1 Séries de funções

Recordaremos nesta subsecção a definição de série de funções bem como asnoções de convergência pontual e uniforme (ver, por exemplo, [4] ou [8] paraum tratamento mais detalhado do tema).

Representemos então por fn, n = 0, 1, 2, . . . , uma sucessão de funçõesreais de variável real definidas num conjunto D ⊂ IR. Por exemplo, supondoque x ∈ [0, 1], a igualdade fn(x) = xn, n = 0, 1, 2, . . . , define uma sucessãode funções contínuas em [0, 1]3 (ver fig. 1).

Definição 1 Diz-se que fn converge num ponto x ∈ D se, uma vez fixado ovalor de x, o limite da sucessão numérica fn(x) é finito. Se fn converge em

1Daniel Bernoulli (1700—1782), físico e matemático suiço tendo-se notabilizado pelosseus trabalhos em dinâmica dos fluidos e na teoria cinética dos gases

2Jean-Baptiste Joseph Fourier (1768—1830), físico e matemático françês que se notabi-lizou pelo desenvolvimento da teoria da propagação do calor onde utilizou as séries quepassaram a ser conhecidas pelo seu nome.

3Estamos aqui a considerar f0(0) = 1.

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10.80.60.40.20

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0

x

1

2x

3x

10x

Figura 1: Funções 1, x, x2, x3 e x10

todos os pontos de D, a função definida por

f(x) = limn

fn(x), ∀x ∈ D,

designa-se por limite de fn em D. Diz-se também que fn converge pontual-mente para f em D.

Exemplo 1 A sucessão fn(x) = xn (fig. 1) converge nos pontos do intervalo[0, 1] pois limn→∞ xn é igual a 0 se x ∈ [0, 1[ e vale 1 se x = 1. Assim, afunção limite no referido intervalo é

f(x) =

{0, se 0 ≤ x < 11, se x = 1

.

A uma sucessão de funções fn, n = 0, 1, 2, . . . , definidas em D ⊂ IR podesempre associar-se a série

∞∑n=0

fn = f0 + f1 + · · ·+ fn + · · · ,

a qual se diz uma série de funções definida em D. A sucessão auxiliar

Sk =k∑

n=0

fn = f0 + f1 + · · ·+ fk, k = 0, 1, 2, . . . ,

3 1/Agosto/2005

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diz-se a sucessão das somas parciais da série de funções. Por exemplo,à sucessão de funções fn(x) = xn definidas em [0, 1] pode associar-se a sériede funções

∑∞n=0 x

n, conhecida por série geométrica. A correspondentesucessão das somas parciais é definida, para k = 0, 1, 2, . . . , por

Sk(x) =

{1 + x+ x2 + · · ·+ xk = 1−xk+1

1−x, se 0 ≤ x < 1

k, se x = 1. (1)

Definição 2 Diz-se que a série de funções∑∞

n=0 fn é convergente (respecti-vamente, absolutamente convergente, simplesmente convergente, divergente)num ponto x ∈ D se, uma vez fixado x, a série numérica

∑∞n=0 fn(x) é con-

vergente (resp. absolutamente convergente, simplesmente convergente, diver-gente); equivale a dizer que a sucessão das somas parciais Sk converge emx ∈ D.

Definição 3 Se a série de funções∑∞

n=0 fn é convergente para qualquer x ∈D, a função definida por

f(x) =∞∑n=0

fn(x), ∀x ∈ D,

diz-se a soma pontual da série em D.

Exemplo 2 Voltando a considerar a série geométrica∑∞

n=0 xn definida em

[0, 1] conclui-se que se trata de uma série convergente em [0, 1[ e divergentepara x = 1. Com efeito, de (1) sai

limk→∞

Sk(x) =

{1

1−x, se 0 ≤ x < 1

+∞, se x = 1,

donde a função 11−x

é a soma pontual da série geométrica em [0, 1[.

Vimos no exemplo 1 que, embora os termos da sucessão fn(x) = xn sejamfunções contínuas em [0, 1] a função limite é descontínua no ponto x = 1.Significa isto que uma sucessão de funcões contínuas pode não convergirpontualmente para uma função contínua. Este facto leva à consideração deoutras noções de convergência mais fortes como é o caso da convergênciauniforme de funções.

Definição 4 Diz-se que uma sucessão de funções fn definidas em D ⊂ IR,converge uniformemente em D para a função f, se, para todo o δ > 0,existe uma ordem p independente de x, a partir da qual se tem

|fn(x)− f(x)| < δ, ∀x ∈ D.

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Esta proposição equivale a afirmar que a sucessão numérica

supx∈D

|fn(x)− f(x)| → 0 quando n → ∞.

Exemplo 3 Para observar o significado geométrico da convergência uni-forme consideremos a sucessão de funções fn(x) =

√x+nxn

definidas em [0, 1].A fig. 2, onde estão representados os termos f1, f2 e f10 da sucessão, sugereque fn converge pontualmente para a função f(x) = x definida em [0, 1].

Com efeito, para x ∈ [0, 1], limn→∞ fn(x) = limn→∞(√

xn

+ x)

= x. Esta

convergência pontual é também uniforme pois

supx∈[0,1]

∣∣∣∣√x+ nx

n− x

∣∣∣∣ = supx∈[0,1]

√x

n=

1

n→ 0.

10.80.60.40.20

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0

xxxf +=)(1 2

2)(2

xxxf

+=

10

10)(10

xxxf

+=

xxf =)(

Figura 2: Funções f1(x), f2(x), f10(x) e f(x) = x

Assim, para qualquer δ > 0, tem-se∣∣∣∣√x+ nx

n− x

∣∣∣∣ ≤ supx∈[0,1]

∣∣∣∣√x+ nx

n− x

∣∣∣∣ = 1

n< δ

desde que n > 1δ. Consequentemente, a partir da ordem p, inteiro imediata-

mente superior a 1δ(independente de x), é válida a desigualdade

∣∣∣√x+nxn

− x∣∣∣ <

δ, ou seja,√x+nxn

∈]x− δ, x+ δ[, para todo o x ∈ [0, 1] (ver fig. 3 em que setomou δ = 0.25, valor para o qual todos os termos da sucessão se encontramem ]x− 0.25, x+ 0.25[ a partir da ordem p = 4).

A convergência uniforme de uma sucessão de funções permite natural-mente definir a noção de convergência uniforme de uma série de funções.

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10.80.60.40.20

1.2

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0

-0.2

)(10 xf

)(5 xf

x

25,0+x

25,0−x

Figura 3: Banda onde se encontram as funções fn(x) para n ≥ 4

Definição 5 Diz-se que a série de funções∑∞

n=0 fn, converge unifor-

memente em D quando a sucessão das somas parciais Sk =∑k

n=0 fn, k =0, 1, . . ., for uma sucessão de funções uniformemente convergente em D.

Exemplo 4 A série geométrica∑∞

n=0 xn é uniformemente convergente em[

0, 12

]para a função 1

1−x. De facto,

supx∈[0, 12 ]

∣∣∣∣Sk(x)− 1

1− x

∣∣∣∣ = supx∈[0, 12 ]

∣∣∣∣1− xk+1

1− x− 1

1− x

∣∣∣∣ = supx∈[0, 12 ]

xk+1

1− x

e como 0 ≤ supx∈[0, 12 ]xk+1

1−x≤ (

12

)kconclui-se que supx∈[0, 12 ]

∣∣Sk(x)− 11−x

∣∣ → 0

quando k → ∞. Assim, pode escrever-se

∞∑n=0

xn =1

1− xuniformemente em

[0,

1

2

].

Por outro lado, a mesma série, não é uniformemente convergente em [0, 1[

visto que supx∈[0,1]|x|k+1

1−xnão existe em [0, 1[, pois, para qualquer k, |x|k+1

1−x→

∞ quando x tende para 1 à esquerda.

Uma condição suficiente, muito útil na prática, para garantir a convergên-cia uniforme de uma série de funções é a seguinte:

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Teorema 1 (Critério de Weierstrass) Suponhamos que a série numérica∑∞n=0 an é uma série convergente de termos não negativos e que o termo geral

da série de funções∑∞

n=0 fn definida em D verifica a condição

|fn(x)| ≤ an, (2)

quaisquer que sejam a ordem n e o ponto x ∈ D. Então,∑∞

n=0 fn convergeuniformemente em D.

Dem. Observemos em primeiro lugar que a série∑∞

n=0 fn é absoluta-mente convergente em D atendendo a (2), à convergência de

∑∞n=0 an e a

um dos critérios de comparação de séries de termos não negativos (ver, porexemplo, [8]). Consequentemente,

∑∞n=0 fn é convergente em D. Designando

por f a sua soma e por Sk a correspondente sucessão das somas parciaistem-se

supx∈D

|Sk(x)− f(x)| = supx∈D

∣∣∣∣∣∞∑

n=k+1

fn(x)

∣∣∣∣∣ ≤∞∑

n=k+1

an → 0, quando k → ∞,

de novo atendendo a (2) e à convergência da série∑∞

n=0 an. Daqui concluimosque

∑∞n=0 fn é uniformemente convergente em D, como queríamos.

As séries uniformementes convergentes possuem um conjunto de proprie-dades notáveis. Apresentaremos, sem demonstração, três destas proprieda-des por serem importantes para os objectivos que temos em vista (para asrespectivas demonstrações ver, por exemplo, [4] ou [8]).

Teorema 2 (Continuidade da função soma) A soma de uma série uni-formemente convergente de funções contínuas é uma função contínua.

Teorema 3 (Integrabilidade de uma série de funções) Toda a série

∞∑n=0

fn

uniformemente convergente de funções contínuas definidas num intervalo real[a, b], é integrável termo a termo, isto é,

∫ b

a

f =∞∑n=0

∫ b

a

fn,

em que f designa a soma de∑∞

n=0 fn.

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Teorema 4 (Derivabilidade de uma série de funções) Seja fn uma su-cessão de funções com derivada contínua num intervalo [a, b] e suponhamosque

∑∞n=1 fn = f pontualmente em [a, b] e que

∑∞n=1 f

′n é uniformemente

convergente em [a, b]. Então f é derivável em [a, b] e tem-se

∞∑n=1

f ′n = f ′ em [a, b].

1.2.2 Definição de série trigonométrica

Muitos fenómenos (como por exemplo o movimento da corda vibrante, asondas electromagnéticas, a propagação do calor, etc.), são descritos porequações diferenciais que admitem soluções periódicas. Estas funções definem-se precisamente do seguinte modo:

Definição 6 Seja f uma função real definida em IR. Diz-se que f é umafunção periódica se existe um número real T = 0 tal que, para todo ox ∈ IR se tem

f(x+ T ) = f(x).

O número T diz-se um período de f .

Como exemplos amplamente conhecidos de funções periódicas citamos asfunções trigonométricas senx e cosx, que são periódicas de período 2π. Maisgeralmente, as funções sennx e cosnx, em que n é um inteiro positivo, sãoperiódicas de período 2π

npois

sen

[n

(x+

n

)]= sen (nx+ 2π) = sennx

e

cos

[n

(x+

n

)]= cos (nx+ 2π) = cosnx.

Na fig 4 estão representadas, no intervalo [0, 4π], as funções senx e sen 4x,periódicas de períodos 2π e π

2, respectivamente.

Duas propriedades das funções periódicas são imediatamente reconheci-das:

• Os múltiplos inteiros do período de uma função periódica são igual-mente períodos da função (tem-se assim em particular que 2π é períodode sennx e cosnx, qualquer que seja n = 1, 2, . . . , visto que é múltiplointeiro de 2π

n; além disto, 2π é o menor período positivo comum a todas

aquelas funções).

8 1/Agosto/2005

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4π3π2ππ

1

0.5

0

-0.5

-1

período

senx

1

0.5

0

-0.5

-1

período

π/2 π 3π/2 2π 7π/26π5π/2 4π

sen 4x

Figura 4: Funções periódicas

• A soma de duas funções periódicas de período T é também uma funçãoperiódica de período T (por exemplo, na fig.5 está representada a função12+ senx + sen 4x de período 2π dado que todas as funções têm este

mesmo período; esta afirmação resulta do que foi dito atrás e do factode qualquer número real não nulo poder ser tomado para período deuma função constante).

0

3

2

1

-1

2π 4ππ 3π

período

Figura 5: Função 12+ senx+ sen4x

As funções sennx e cosnx (n = 1, 2, . . .) desempenham um papel centralna teoria das séries de Fourier. Com efeito, elas estão na base da definiçãodos chamados polinómios trigonométricos, os quais são funções da forma

Sk(x) =a0

2+ (a1 cosx+ b1 senx) + · · ·+ (ak cos kx+ bk sen kx)

ou, abreviadamente, para k ≥ 1,

9 1/Agosto/2005

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Sk(x) =a0

2+

k∑n=1

(an cosnx+ bn sennx) , (3)

em que a0, a1, a2, . . . , b1, b2, . . . são números reais (o factor 12do primeiro

termo é introduzido por conveniência técnica como veremos adiante). Ointeiro k que ocorre em (3), toma valores não negativos e diz-se a ordem dopolinómio trigonométrico.

Os polinómios trigonométricos conduzem à definição seguinte:

Definição 7 Chama-se série trigonométrica à série

a0

2+

∞∑n=1

(an cosnx+ bn sennx) , (4)

em que a0, a1, a2, . . . , b1, b2, . . . são números reais que se designam por coefi-cientes da série. A expressão an cosnx + bn sennx, n = 1, 2, . . . , diz-se an-ésima harmónica da série, designando-se o polinómio trigonométricoSk(x) dado em (3) por soma parcial de ordem k da série (4).

A sucessão dos polinómios trigonométricos Sk(x), k = 0, 1, . . ., é cons-tituída por funções periódicas de período 2π. Consequentemente, se Sk(x)convergir o seu limite terá de ser necessariamente uma função de período 2π(demonstre!). O exemplo seguinte permite ilustrar graficamente este facto.

Exemplo 5 Consideremos a série trigonométrica

π2

3+ 4

∞∑n=1

(−1)ncosnx

n2=

π2

3− 4 cosx+

4 cos 2x

22− 4 cos 3x

32+ · · · , (5)

cujas somas parciais

S0(x) =π2

3

S1(x) = S0(x)− 4 cosx =π2

3− 4 cosx

S2(x) = S1(x) +4 cos 2x

22=

π2

3− 4 cosx+

4 cos 2x

22

S25(x) =π2

3+ 4

25∑n=1

(−1)ncosnx

n2

se encontram representadas gráficamente, na fig.6. Esta figura sugere que,no intervalo [−π, π], a sucessão das somas parciais Sk(x) tende para a função

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f(x) = x2. Com veremos adiante, Sk(x) converge para a função periódicade período 2π representada na fig.8 (de notar que esta função constitui oprolongamento, por períodos de 2π a toda a recta IR, da função f(x) = x2,

x ∈ [−π, π]).

π0

−π

4.2

4

3.8

3.6

3.4

3.2

3

2.8

2.6

2.4

S0(x)

π0−π

7

6

5

4

3

2

1

S1(x)

π 0−π

8

7

6

5

4

3

2

1

S2(x)

π0−π

8

6

4

2

S25(x)

Figura 6: Gráficos das somas parciais

1.2.3 Cálculo dos coeficientes de uma série trigonométrica unifor-memente convergente

O critério de Weierstrass dado no teorema 1 fornece uma condição suficientede convergência para a série trigonométrica (4). Com efeito, para quaisquerx ∈ IR e n = 1, 2, . . . , tem-se

|an cosnx+ bn sennx| ≤ |an|+ |bn|,donde, se a série numérica

|a0|2

+∞∑n=1

(|an|+ |bn|)

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for convergente conclui-se que a série trigonométrica (4) é uniformementeconvergente em IR, para o que basta que as séries

∑∞n=1 an e

∑∞n=1 bn sejam

absolutamente convergentes.

Exemplo 6 A série∑∞

n=1sennxn2 é uniformemente convergente em IR pois

∣∣∣sennxn2

∣∣∣ ≤ 1

n2, ∀n = 1, 2, . . .

e∑∞

n=11n2 é uma série numérica convergente. Pelo teorema 2 fica então a

saber-se que a sua soma é uma função contínua (ver fig.7 na qual esta funçãose encontra representada). De referir que a série dada é também absolu-tamente convergente. De assinalar contudo que as noções de convergênciauniforme e convergência absoluta não estão relacionadas (ver [6, pág. 819]).

1050-5-10

1

0.5

-0.5

-1

Figura 7: Soma da série∑∞

n=1sennxn2

Quando uma série trigonométrica converge uniformemente para uma fun-ção torna-se possível deduzir fórmulas que permitem calcular os coeficientesa0, an e bn (n = 1, 2, . . .) à custa da referida função. Para obter estas fórmulasnecessitamos do seguinte resultado auxiliar:

Lema 5 As funções

1, cosx, senx, . . . , cosnx, sennx, . . .

12 1/Agosto/2005

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são ortogonais4 em [−π, π], isto é,∫ π

−π

cosnx cosmxdx = 0, n = m∫ π

−π

sennx senmxdx = 0, n = m∫ π

−π

cosnx senmxdx = 0, n,m = 0, 1, 2, . . . .

Além disto,∫ π

−π

1dx = 2π,

∫ π

−π

cos2 nxdx = π e

∫ π

−π

sen2nxdx = π, n = 1, 2, . . . .

Dem. Atendendo a que cosα + cosβ = 2 cos α+β2

cos α−β2

temos, paran = m,

∫ π

−π

cosnx cosmxdx =1

2

∫ π

−π

[cos(n−m)x+ cos(n+m)x] dx

=1

2

[sen(n−m)x

n−m+

sen(n+m)x

n+m

]π−π

= 0.

Analogamente se provaria (utilizando outras fórmulas de transformaçãologarítmica) que

∫ π

−πsennx senmxdx = 0, se n = m e que, para n,m =

0, 1, 2, . . . ,∫ π

−πcosnx senmxdx = 0.

Atendendo a que cos2 α = 1+cos 2α2

e sen2 α = 1−cos 2α2

, as últimas duasigualdades do lema provam-se como segue:∫ π

−π

cos2 nxdx =1

2

∫ π

−π

(1 + cos 2nx)dx = π

e ∫ π

−π

sen2nxdx =1

2

∫ π

−π

(1− cos 2nx)dx = π.

Podemos agora deduzir as fórmulas para o cálculo dos coeficientes de umasérie trigonométrica uniformemente convergente para uma função f definidaem [−π, π]. Com efeito, nesta situação, pode escrever-se

f(x) =a0

2+

∞∑n=1

(an cosnx+ bn sennx), ∀x ∈ [−π, π]. (6)

Tem-se então:4Duas funções contínuas f, g : [a, b] �−→ IR dizem-se ortogonais em [a, b] se e só se

∫b

af(x)g(x)dx = 0.

13 1/Agosto/2005

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Teorema 6 Suponhamos que é válida a igualdade (6) com convergência uni-forme. Então, tem-se

an =1

π

∫ π

−π

f(x) cosnxdx, n = 0, 1, 2, . . . (7)

e

bn =1

π

∫ π

−π

f(x) sennxdx, n = 1, 2, . . . . (8)

Dem. Como a série dada em (6) converge uniformemente em [−π, π] e osseus termos são funções contínuas, tem-se que a soma é contínua e é possívelintegrar a série termo a termo em [−π, π] se atendermos aos teoremas 2 e 3,respectivamente.

Assim, integrando ambos os membros de (6) obtém-se,

∫ π

−π

f(x)dx =

∫ π

−π

[a0

2+

∞∑n=1

(an cosnx+ bn sennx)

]dx

=a0

2

∫ π

−π

dx+∞∑k=1

an

∫ π

−π

cosnxdx+ bn

∫ π

−π

sennxdx = πa0

atendendo a que∫ π

−πcosnxdx =

∫ π

−πsennxdx = 0, qualquer que seja n =

1, 2, . . . . Da igualdade∫ π

−πf(x)dx = πa0 deduz-se então a fórmula para a0.

Fixando um inteiro positivo m e multiplicando cada termo da série dadaem (6) por cosmx, obtemos uma série uniformemente convergente em [−π, π],atendendo ao critério de Weierstrass (teorema 1). Consequentemente, é vá-lida a igualdade

f(x) cosmx =a0

2cosmx+

∞∑n=1

(an cosnx+ bn sennx) cosmx, ∀x ∈ [−π, π].

Integrando ambos os membros desta igualdade em [−π, π], obtém-se,

∫ π

−π

f(x) cosmxdx =a0

2

∫ π

−π

cosmxdx+∞∑n=1

an

∫ π

−π

cosnx cosmxdx+

+bn

∫ π

−π

sennx cosmxdx = am

∫ π

−π

cos2mxdx = πam,

atendendo ao lema 5. Desta expressão obtém-se a fórmula (7).Resta assinalar que a dedução de (8) se faz de modo análogo multiplicando

a série dada em (6) por senmx.

14 1/Agosto/2005

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Percebe-se agora a razão de se ter considerado o factor 12no 1o termo da

série trigonométrica (4). Com efeito, a multiplicação de a0 por 12possibilita

que a fórmula para an, n = 1, 2, . . . , seja igualmente válida para n = 0. Estefacto não teria lugar se o 1o termo da série fosse a0, pois neste caso ter-se-iaa0 =

12π

∫ π

−πf(x)dx.

1.3 Séries de Fourier

1.3.1 Definição

Vimos atrás que a uma série trigonométrica uniformemente convergente em[−π, π] corresponde uma função (que é a sua soma) que verifica as igualda-des (7) e (8). Inversamente, a cada função integrável5 em [−π, π] pode serassociada a série trigonométrica (4) com os coeficientes dados por (7) e (8).

Definição 8 Seja f uma função integrável em [−π, π]. A série trigonomé-trica (4) com os coeficientes an e bn dados por (7) e (8) diz-se a série deFourier de f. Escreve-se então

f(x) ∼ a0

2+

∞∑n=1

(an cosnx+ bn sennx)

em que o símbolo “∼” se lê “tem associada a série de Fourier”. Os coefi-cientes an e bn dizem-se os coeficientes de Fourier de f.

Surge assim o problema de saber se a série de Fourier de uma funçãof converge (e aqui há muitas noções de convergência!) e em caso afirma-tivo se converge para f. O assunto é delicado e a bibliografia enorme. Nasecção seguinte analisaremos apenas um caso de convergência pontual comuma hipótese simples sobre a função f. Por agora, e antes de passarmos aosexemplos, convém fazer as seguintes notas sobre a definição anterior:

Observação 1 Para uma função f periódica de período 2π, podemos natu-ralmente definir a série de Fourier de f como sendo a série trigonométrica(4) (com x ∈ IR), desde que existam os integrais (7) e (8).

Observação 2 Modificando f num número finito de pontos a função resul-tante tem a mesma série de Fourier. De facto, os integrais que definem oscoeficientes de Fourier não se alteram modificando f num número finito depontos (ver, por exemplo, [4, pág. 534]).

5No que se segue, a integrabilidade de uma função será sempre entendida no sentidode Riemman (para a definição deste integral ver, por exemplo, [8, pág. 170])

15 1/Agosto/2005

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Observação 3 No caso de f ser par ou ímpar o cálculo dos coeficientes deFourier simplifica-se. De facto, se f é par, tem-se{

an = 2π

∫ π

0f(x) cosnxdx, (n = 0, 1, 2, . . .)

bn = 0, (n = 1, 2, . . . .).

Se f é ímpar, tem-se{an = 0, (n = 0, 1, 2, . . .)bn = 2

π

∫ π

0f(x) sennxdx, (n = 1, 2, . . .)

.

Basta observar que o produto de duas funções pares ou o produto de duasfunções ímpares é uma função par, que o produto de uma função ímpar poruma função par é ímpar, que cosnx é par e sennx é ímpar e que, paraqualquer função f integrável em [−a, a], se f é par, então∫ a

−a

f(x)dx = 2

∫ a

0

f(x)dx

e se f é ímpar, então ∫ a

−a

f(x)dx = 0.

Exemplo 7 Determinar a série de Fourier da função f de período 2π definidaem [−π, π[ por

f(x) =

{1 se −π ≤ x < 02 se 0 ≤ x < π

.

Tem-se então,

a0 =1

π

∫ π

−π

f(x)dx =1

π

∫ 0

−π

1dx+1

π

∫ π

0

2dx = 1 + 2 = 3

e, para n = 1, 2, . . . ,

an =1

π

∫ π

−π

f(x) cosnxdx =1

π

∫ 0

−π

cosnxdx+2

π

∫ π

0

cosnxdx

=1

π

[sennxn

]0−π

+2

π

[sennxn

]π0= 0

e

bn =1

π

∫ π

−π

f(x) sennxdx =1

π

∫ 0

−π

sennxdx+1

π

∫ π

0

2 sennxdx

=1

π

[−cosnx

n

]0−π

+2

π

[−cosnx

n

]π0

=1

π

(−1

n+

cosnπ

n

)+

2

π

(−cosnπ

n+

1

n

)

=1− cosnπ

nπ=

{2nπ

se n é impar0 se n é par

.

16 1/Agosto/2005

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Consequentemente, f(x) ∼ 32+ 2

π

(senx+ sen 3x

3+ · · ·+ sen(2n−1)x

2n−1+ · · ·

).

Exemplo 8 Determinar a série de Fourier da função f de período 2π definidano intervalo [−π, π] por f(x) = x2 (fig. 8).

10

8

6

4

2

−2π −π π 2π 3π0

Figura 8: f(x) = x2

Como f é par, bn = 0, n = 1, 2, . . . . Por outro lado,

a0 =2

π

∫ π

0

x2dx =2

3π2

e, para n = 1, 2, . . . ,

an =2

π

∫ π

0

x2 cosnxdx

=2

π

[x2 sennx

n

]π0− 4

∫ π

0

x sennxdx

=4

[xcosnx

n

]π0− 4

n2π

∫ π

0

cosnxdx = (−1)n4

n2.

Consequentemente, a série de Fourier de f é

π2

3+ 4

∞∑n=1

(−1)ncosnx

n2.

Recorde-se que esta é a série considerada no exemplo 5.

Vejamos agora como escrever a série de Fourier na forma complexa. Con-sideremos então as igualdades

cosnx =1

2

(einx + e−inx

)e sennx =

1

2i

(einx − e−inx

),

17 1/Agosto/2005

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as quais se deduzem facilmente da fórmula de Euler eix = cosx + i senx.Substituindo aquelas igualdades na série de Fourier obtém-se

a0

2+

∞∑n=1

(an cosnx+ bn sennx)

=a0

2+

∞∑n=1

[an

1

2

(einx + e−inx

)+ bn

1

2i

(einx − e−inx

)]

=a0

2+

∞∑n=1

[(an

2+

bn

2i

)einx +

(an

2− bn

2i

)e−inx

]

=a0

2+

∞∑n=1

[1

2(an − ibn) e

inx +1

2(an + ibn) e

−inx

](9)

Pondo

c0 =a0

2, cn =

1

2(an − ibn) e c−n =

1

2(an + ibn) (10)

a expressão (9) pode escrever-se na forma

+∞∑n=−∞

cneinx,

a qual se diz a forma complexa da série de Fourier. Os coeficientescn, n = 0,±1,±2, . . . , dizem-se os coeficientes complexos de Fourier. Afórmula para o seu cálculo obtém-se imediatamente a partir da fórmula deEuler, de (7) e de (8):

cn =1

∫ π

−π

f(x) e−inxdx, n = 0,±1,±2, . . . . (11)

Exemplo 9 Escrever na forma complexa a série de Fourier do exemplo an-terior.

Visto que a0 = 2π2

3, an = (−1)n 4

n2 e bn = 0, deduz-se imediatamente dasfórmulas (10) que

cn =

{(−1)n 2

n2 , se n = 0π2

3, se n = 0

.

Então, a série de Fourier do exemplo anterior escreve-se na forma complexado seguinte modo:

π2

3+ 2

∞∑n=−∞n�=0

(−1)n

n2einx.

18 1/Agosto/2005

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Vejamos agora como obter os coeficientes cn directamente a partir de (11).Com efeito, se n = 0,

c0 =1

∫ π

−π

x2dx =π2

3

e, se n = 0, tem-se

cn =1

∫ π

−π

x2e−inxdx =1

{[x2e−inx

−in

]π−π

+2

in

∫ π

−π

xe−inxdx

}

=1

inπ

∫ π

−π

xe−inxdx =1

inπ

{[xe−inx

−in

]π−π

−∫ π

−π

xe−inx

−indx

}

=1

inπ

{2π cosnπ

−in+

1

in

[e−inx

−in

]π−π

}= (−1)n

2

n2.

1.3.2 Convergência das séries de Fourier

O problema fundamental da teoria das séries de Fourier consiste em sabersob que condições a série de Fourier de uma função f é convergente para essafunção. Trata-se, como referimos acima, de um assunto delicado que tem ori-ginado a publicação de numerosos resultados estabelecendo condições para aconvergência da série de Fourier (a exposição de vários destes resultados podeser vista em [1], [2], [5],[7], [9] ou [10]). Nesta secção, demonstraremos apenasuma condição suficiente de convergência pontual supondo que a função f éseccionalmente suave no sentido da seguinte definição:

Definição 9 Seja f uma função real definida no intervalo [a, b] ⊂ IR (ex-cepto eventualmente num número finito de pontos) e representemos respecti-vamente por f(x+) e f(x−) os seus limites laterais direito e esquerdo numponto x. Então:

1. Diz-se que f é seccionalmente contínua em [a, b] se existe uma par-tição de [a, b], a = x0 < x1 < x2 < . . . < xN = b, tal que:

(a) f é contínua em cada intervalo ]xi−1, xi[,∀i ∈ {1, . . . , N};(b) existem os limites f(x−

i ), para i = 1, . . . , N bem como f(x+i ), para

i = 0, . . . , N − 1.

2. Diz-se que f é seccionalmente suave em [a, b] se f for seccionalmentecontínua em [a, b] e a sua função derivada f ′ for também uma funçãoseccionalmente contínua em [a, b].

19 1/Agosto/2005

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Em linguagem mais sugestiva podemos dizer que uma função f é seccio-nalmente suave em [a, b] se f e a sua derivada são contínuas em [a, b], ouentão ambas as funções têm somente um número finito de descontinuidadesem [a, b] onde todavia os respectivos limites laterais existem.

Para a demonstração da referida condição suficiente de convergência pon-tual necessitamos dos seguintes resultados auxiliares.

Lema 7 Seja f uma função periódica de período 2l. Então, se f é integrávelno intervalo [−l, l], tem-se para qualquer número real λ:∫ l

−l

f(x)dx =

∫ l+λ

−l+λ

f(x)dx.

Dem. Notemos em primeiro lugar que é válida a igualdade∫ b

a

f(x)dx =

∫ b+2l

a+2l

f(x)dx, (12)

para o que é suficiente fazer a mudança de variável y = x+2l no integral daesquerda. De (12) e das propriedades dos integrais resulta então∫ l+λ

−l+λ

f =

∫ −l

−l+λ

f +

∫ −l+2l

−l

f +

∫ −l+λ+2l

−l+2l

f

=

∫ −l

−l+λ

f +

∫ l

−l

f +

∫ −l+λ

−l

f =

∫ l

−l

f.

Lema 8 (Integral de Dirichelet) Seja f uma função periódica de período2π integrável em [−π, π]. Então, a soma parcial, Sk, da série de Fourier def é dada por

Sk(x) =1

∫ π

−π

f(x+ u)Dk(u)du, (13)

em que Dk(u) = 1 + 2∑k

n=1 cosnu (a função Dk(u) designa-se por núcleode Dirichelet).

Dem. Da definição de soma parcial e das fórmulas (7) e (8) sai que

Sk(x) =1

∫ π

−π

f(t)dt+

+k∑

n=1

[(cosnx)

1

π

∫ π

−π

f(t) cosntdt+ (sennx)1

π

∫ π

−π

f(t) senntdt

]

=1

π

∫ π

−π

f(t)

[1

2+

k∑n=1

cosn(t− x)

]dt,

20 1/Agosto/2005

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atendendo a que cos(α−β) = cosα cosβ+senα senβ. Fazendo neste últimointegral a substituição t− x = u, vem

Sk(x) =1

∫ π−x

−π−x

f(x+ u)

[1 + 2

k∑n=1

cosnu

]du.

Como a função integranda é periódica de período 2π, o lema 7 garante queesta igualdade é equivalente a (13).

Lema 9 O núcleo de Dirichelet, Dk(u), verifica as seguintes igualdades:

Dk(u) = 1 + 2k∑

n=1

cosnu =

{sen(k+1

2)usen 1

2u

se u = 2mπ (m inteiro)

1 + 2k se u = 2mπ (m inteiro)

e1

π

∫ π

0

Dk(u)du = 1.

Dem. Se u = 2mπ (m inteiro), cosnu = 1 e, portanto, 1+2∑k

n=1 cosnu =1 + 2k. Caso u = 2mπ, a fórmula da soma duma progressão geométrica e aigualdade eix = cosx+ i senx permitem concluir que

Dk(u) = 1 + 2k∑

n=1

cosnu =k∑

n=−k

einu =[(e−iu

)k+ · · ·+ (

e−iu)2

+ e−iu]+

+[1 + eiu +

(eiu

)2+ · · ·+ (

eiu)k]

=e−iu − e−i(k+1)u

1− e−iu+

1− ei(k+1)u

1− eiu

=eiu/2

eiu/2e−iu − e−i(k+1)u

1− e−iu+

e−iu/2

e−iu/2

1− ei(k+1)u

1− eiu

=ei(k+

1

2)u − e−i(k+ 1

2)u

eiu/2 − e−iu/2=

sen(k + 1

2

)u

sen 12u

.

Para provar a última parte do lema basta notar que∫ π

0cosnudu = 0. Tem-se

então

1

π

∫ π

0

Dk(u)du =1

π

∫ π

0

(1 + 2

k∑n=1

cosnu

)du

=1

π

∫ π

0

1du+2

π

k∑n=1

∫ π

0

cosnudu = 1.

O próximo resultado auxiliar é apresentado sem demonstração. Esta podecontudo ser vista em [5].

21 1/Agosto/2005

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Lema 10 (de Riemann-Lebesgue) Seja f uma função integrável num in-tervalo [a, b]. Então

limλ→∞

∫ b

a

f(x) cosλxdx = 0 e limλ→∞

∫ b

a

f(x) senλxdx = 0.

Podemos finalmente provar a anunciada condição suficiente de convergên-cia pontual da série de Fourier:

Teorema 11 Seja f uma função seccionalmente suave no intervalo [−π, π].Então a sua série de Fourier converge em cada ponto x do intervalo ]−π, π[para 1

2[f(x+) + f(x−)] . Nos pontos x = −π e x = π a série converge para o

valor 12[f(−π) + f(π)] .

Dem. Consideremos a extensão de período 2π da função f : [−π, π[→ IRe designemos esta extensão também por f. Então, atendendo ao lema 9 tem-se:

1

π

∫ π

0

f(x+ u)Dk(u)du− f(x+)

=1

π

∫ π

0

f(x+ u)Dk(u)du− 1

π

∫ π

0

f(x+)Dk(u)du

=1

π

∫ π

0

[f(x+ u)− f(x+)

]Dk(u)du

=1

π

∫ π

0

[f(x+ u)− f(x+)

] sen (k + 12

)u

sen 12u

du

=1

π

∫ π

0

f(x+ u)− f(x+)

u

u

sen 12usen

(k +

1

2

)udu. (14)

Como f(x) é seccionalmente suave, tem-se que limu→0+f(x+u)−f(x+)

ué fi-

nito dado ser igual a f ′(x+).Consequentemente, o limite de f(x+u)−f(x+)u

usen 1

2u

quando u → 0+ é finito, donde se conclui que esta função é seccionalmentecontínua em [0, π] e, portanto, integrável neste intervalo. A aplicação do lemade Riemann-Lebesgue permite concluir que (14) tende para zero e assim

limk→∞

1

π

∫ π

0

f(x+ u)Dk(u)du = f(x+).

Analogamente se veria que

limk→∞

1

π

∫ 0

−π

f(x+ u)Dk(u)du = f(x−).

22 1/Agosto/2005

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Somando as duas últimas igualdades e aplicando (13) obtémos

limk→∞

Sk(x) =1

2

[f(x+) + f(x−)

],

como era desejado.A fórmula dada para os casos em que x = −π e x = π deduz-se imedia-

tamente se atendermos a que, para a extensão de f atrás definida, se temf(−π−) = f(π) e f(π+) = f(−π).

O teorema anterior estende-se de forma evidente às funções periódicas deperíodo 2π seccionalmente suaves:

Corolário 12 Seja f uma função definida em IR, periódica de período 2π eseccionalmente suave em [−π, π]. Então, a série de Fourier de f é conver-gente para cada x ∈ IR, sendo a sua soma igual a 1

2[f(x+) + f(x−)] .

Observação 4 Se, além de verificar as hipóteses deste corolário, a função f

for contínua em IR então f(x) é a soma da sua série de Fourier, qualquer queseja x ∈ IR. Este facto resulta de nestas condições se ter f(x+) = f(x−) =f(x) o que implica que 1

2[f(x+) + f(x−)] = f(x).

Exemplo 10 Mostrar que a série do exemplo 5 tem por soma a funçãorepresentada na fig.8 e deduzir daí que

∑∞n=1

1n2 = π2

6.

Vimos no exemplo 8 que a série do exemplo 5 é a série de Fourier da funçãoda fig.8. Como esta função é contínua em IR, periódica de período 2π eseccionalmente suave em [−π, π], conclui-se da nota anterior que a sua sériede Fourier converge para f(x), qualquer que seja x ∈ IR. Portanto,

f(x) =π2

3+ 4

∞∑n=1

(−1)ncosnx

n2,

donde, fazendo em ambos os membros x = π, obtemos a igualdade

π2 =π2

3+ 4

∞∑n=1

(−1)ncosnπ

n2.

Assim, 2π2

3= 4

∑∞n=1(−1)n (−1)n

n2 , ou seja,

∞∑n=1

1

n2=

π2

6.

23 1/Agosto/2005

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1.3.3 Série de Fourier de uma função de período T

Seja f uma função periódica definida em IR de período T integrável numintervalo [c, c+T ] (c ∈ IR). Então, como a função g(y) = f

(T2πy)é periódica

de período 2π, é simples obter a série de Fourier de f . Com efeito,

f

(T

2πy

)= g(y) ∼ a0

2+

∞∑n=1

an cosny + bn senny (15)

e, portanto, fazendo a mudança de variável x = T2πy e pondo ω = 2π

Ttem-se

f (x) ∼ a0

2+

∞∑n=1

an cosnωx+ bn sennωx, (16)

em que

an =2

T

∫ c+T

c

f (x) cosnωxdx (n = 0, 1, 2, . . .) (17)

e

bn =2

T

∫ c+T

c

f (x) sennωxdx (n = 1, 2, . . .). (18)

Vejamos como se deduz a expressão de bn (a fórmula para an, n =0, 1, 2, . . . , obtém-se de modo análogo). Ora, tendo em conta (15) e (8) tem-se que bn = 1

π

∫ π

−πf(

T2πy)sennydy. Então, a mudança de variável x = T

2πy e

o lema 7 conduzem a

bn =1

π

∫ π

−π

f

(T

2πy

)sennydy =

2

T

∫ T

2

−T

2

f(x) sen

(n2π

Tx

)dx

=2

T

∫ T

2+c+T

2

−T

2+c+T

2

f(x) sen

(n2π

Tx

)dx =

2

T

∫ c+T

c

f(x) sen

(n2π

Tx

)dx.

Finalmente, fazendo ω = 2πT

obtém-se (18) como se queria.De notar que tudo o que atrás foi dito sobre as séries de Fourier para

funções de período 2π mantém-se em vigor para funções periódicas de períodoT qualquer. Em particular, no caso da função f ser par ou ímpar os cálculosdos coeficientes também agora se simplificam. De facto, se f é par, tem-se{

an = 4T

∫ T

2

0f(x) cosnωxdx, (n = 0, 1, 2, . . .)

bn = 0, (n = 1, 2, . . . .).

Se f é ímpar, tem-se

24 1/Agosto/2005

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{an = 0, (n = 0, 1, 2, . . .)

bn = 4T

∫ T

2

0f(x) sennωxdx, (n = 1, 2, . . .)

.

Por outro lado, a série de Fourier (16) pode igualmente ser escrita na formacomplexa por

+∞∑n=−∞

cneinωx,

onde

cn =1

T

∫ c+T

c

f(x) e−inωxdx, n = 0,±1,±2, . . . . (19)

Exemplo 11 Calcular a série de Fourier da função periódica de período 2definida em [0, 2[ por

f(x) =

{1 se x ∈ [0, 1[0 se x ∈ [1, 2[

.

Como T = 2 e a função é integrável em [0, 2] vem,

a0 =2

2

∫ 2

0

f(x)dx =

∫ 1

0

1dx+

∫ 2

1

0dx = 1

e, para n = 1, 2, . . . ,

an =2

2

∫ 2

0

f(x) cos(nπx)dx =

∫ 1

0

cos(nπx)dx =

[sen(nπx)

]10

= 0

e

bn =2

2

∫ 2

0

f(x) sen(nπx)dx =

∫ 1

0

sen(nπx)dx =

[−cos(nπx)

]10

=1− (−1)n

nπ=

{0 se n é par2nπ

se n é ímpar.

Assim, a série de Fourier de f é

1

2+

2

π

[sen 1πx

1+

sen 3πx

3+ · · ·+ sen(2k + 1)πx

2k + 1+ · · ·

],

ou seja,

f(x) ∼ 1

2+

2

π

∞∑k=0

sen(2k + 1)πx

2k + 1.

25 1/Agosto/2005

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Uma vez que a função f verifica trivialmente as condições dadas no corolário12, conclui-se que a série converge para f(x) se x é um valor não inteiro epara 1

2se x é inteiro.

Suponhamos agora que a função f, periódica de período T e integrávelnum intervalo [c, c+ T ], é a soma da sua série de Fourier (16), isto é,

f(x) =a0

2+

∞∑n=1

an cosnωx+ bn sennωx (20)

com an e bn dados por (17) e (18), respectivamente. Então, pode considerar-se f como a soma de:

• um termo constante a02igual ao valor médio de f em qualquer intervalo

de amplitude T ;

• uma infinidade numerável de harmónicas de períodos T, T2, . . . , T

n, . . . .

Em Física e Engenharia, a harmónica de período T , isto é, a primeiraharmónica da série de Fourier, é conhecida por harmónica fundamentalsendo as restantes designadas simplesmente por harmónicas. Uma vez que,qualquer que seja o valor de n, é válida a igualdade

an cosnωx+ bn sennωx = An cos(nωx− ϕn)

em que {An =

√a2n + b2n

tanϕn = bnan

,

a série (20) pode escrever-se na forma

f(x) =a0

2+

∞∑n=1

An cos(nωx− ϕn).

A quantidade An diz-se a amplitude da harmónica de ordem n, nω a pul-sação e ϕn a fase. Se, para cada harmónica de ordem n, associarmos aovalor da pulsação nω a amplitude An obtemos o chamado espectro de fre-quência da função f, que se representa graficamente por um diagrama debarras. Habitualmente diz-se que se realiza a análise de Fourier de umafunção quando se determina o seu espectro de frequências.

Exemplo 12 Determinar o espectro de frequências da função do exemploanterior.

26 1/Agosto/2005

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Dado que T = 2, tem-se ω = 2πT

= π e, portanto, as pulsações nω tomam osvalores π, 2π, . . . , nπ, . . . . Por outro lado, como an = 0, para n = 1, 2, . . . ,obtemos

An =

{0, se n é par|bn| = 2

nπ, se n é ímpar

.

Esta sucessão constitui o espectro de frequência da função do exemplo ante-rior, o qual se encontra representado na fig. 9. De notar que limn→∞An = 0,facto que mais geralmente se observa em todas as séries de Fourier. Comefeito, pelo lema de Riemann-Lebesgue, tem-se limn→∞ an = limn→∞ bn = 0o que implica que limn→∞An = limn→∞

√a2n + b2n = 0.

π 2π 3π 4π 5π 6π

0.5

1

nA

Figura 9: Espectro de frequência

1.3.4 Séries de Fourier de funções importantes nas aplicações

Vamos agora ver as séries de Fourier de algumas funções que aparecem ha-bitualmente nas aplicações.

Exemplo 13 (Onda quadrada) Desenvolver em série de Fourier a funçãode período T definida em

[−T2, T2

[por (ver fig. 10)

f(x) =

{ −1 se x ∈ [−T2, 0[

1 se x ∈ [0, T2[

.

Como f é ímpar tem-se an = 0. Pondo ω = 2πT

tem-se,

bn =4

T

∫ T

2

0

f(x) sennωxdx =4

T

[− cosnωx

]T

2

0

=4

nωT

(1− cosnω

T

2

)=

4

2nπ[1− (−1)n] .

Assim, como a função f verifica as condições do corolário 12 conclui-se que

f(x) =4

π

∞∑k=0

sen(2k + 1)ωx

2k + 1, ∀x = m

T

2(m ∈ ZZ).

27 1/Agosto/2005

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0-T/2

1

T/2 T

-1

Figura 10: Onda quadrada

Para x = mT2(m ∈ ZZ) a série tem soma nula.

Exemplo 14 (Onda triangular ) Desenvolver em série de Fourier a fun-ção de período T definida em

[−T2, T2

]por f(x) = |x| (ver fig. 11).

0 -T/2 T/2 T-T

Figura 11: Onda Triangular

Como f é par tem-se bn = 0. Por outro lado, continuando a considerar ω = 2πT

tem-se,

a0 =4

T

∫ T

2

0

|x| dx =4

T

∫ T

2

0

xdx =T

2

e

an =4

T

∫ T

2

0

x cosnωxdx =4

T

[xsennωx

]T

2

0− 4

T

∫ T

2

0

sennωx

nωdx

= − 4

nωT

[− cosnωx

]T

2

0

=

{ − 4πωn2 se n é impar

0 se n é par.

28 1/Agosto/2005

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Assim, dado que a função f verifica as condições da nota 4 é válida a igual-dade

f(x) =T

4− 4

πω

∞∑k=0

cos(2k + 1)ωx

(2k + 1)2, ∀x ∈ IR.

Exemplo 15 (Onda dente de serra) Desenvolver em série de Fourier afunção de período T definida em

[−T2, T2

[por f(x) = x (ver fig. 12).

0 -T/2 T/2 T-T

Figura 12: Onda dente de serra

Como f é ímpar tem-se an = 0. Pondo ω = 2πT

tem-se,

bn =4

T

∫ T

2

0

x sennωxdx =4

T

[x− cosnωx

]T

2

0

− 4

T

∫ T

2

0

− cosnωx

nωdx

= − 2

nωcosnπ +

4

Tnω

[sennωxnω

]T

2

0= (−1)n+1 2

nω.

Uma vez mais, como a função f verifica as condições do corolário 12 é válidaa igualdade

f(x) =2

ω

∞∑n=1

(−1)n+1 sennωx

n, ∀x = T

2+mT (m ∈ ZZ).

Para x = T2+mT (m ∈ ZZ) a série tem soma nula.

Exemplo 16 (Onda sinusoidal rectificada) Desenvolver em série de Fou-rier a função de período T definida por f(x) =

∣∣sen πTx∣∣ (ver fig. 13).

Neste caso é cómodo utilizar a fórmula (19). Fazendo então r = πT(a pulsação

ω será portanto igual a 2r) e tendo em conta que sen rx = 12i(eirx − e−irx)

29 1/Agosto/2005

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0-T

1

2TT

Figura 13: Onda sinusoidal rectificada

tem-se

cn =1

T

∫ T

0

f(x) e−inωxdx =1

T

∫ T

0

(sen rx) e−2inrxdx

=1

2iT

∫ T

0

[ei(1−2n)rx − e−i(1+2n)rx

]dx

=1

2iT

[ei(1−2n)rx

i(1− 2n)r− e−i(1+2n)rx

i(1 + 2n)r

]T0

=1

2iT

[ −2

i(1− 2n)r+

2

i(1 + 2n)r

]

=2

π

1

1− 4n2,

atendendo a que ei(1−2n)rT = e−i(1+2n)rT = −1. Como cn é um número realsegue-se, por (10), que an = 2cn = 4

π1

1−4n2 , para n = 0, 1, 2, . . . e que bn = 0,para todo o n. Assim, recordando de novo a nota 4, conclui-se que

f(x) =2

π+

4

π

∞∑n=1

cosnωx

1− 4n2, ∀x ∈ IR.

1.4 Aplicações das séries de Fourier

As séries de Fourier aplicam-se à resolução de numerosos problemas oriundosda Física, da Engenharia e da própria Matemática. Referiremos seguida-mente algumas aplicações.

1.4.1 Aplicação à resolução de equações diferenciais

Veremos nesta subsecção a aplicação das séries de Fourier à resolução deuma equação diferencial ordinária. Para outras aplicações deste tipo ver, porexemplo, [1] ou [6].

30 1/Agosto/2005

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0

)(tx

Figura 14: Sistema massa-mola-amortecedor

Consideremos o sistema constituído por uma mola vertical, com extremi-dade inferior fixa e um corpo de massa m preso à extremidade superior damola e ligado a um amortecedor (fig.14). Supondo que o sistema é excitadopor uma força f(t) em cada instante t (força de excitação), o desloca-mento vertical do corpo, x(t) (isto é, a resposta do sistema medida noeixo vertical x em cada instante t), é governado pela equação diferencial

mx′′ + cx′ + kx = f(t), (21)

em que c e k são constantes positivas que caracterizam o amortecimento dosistema e a rigidez da mola, respectivamente (para a dedução desta equaçãodiferencial ver [6] ou [8]). Se f é uma força periódica sinusoidal (isto é,f(t) = a cosωt + b senωt, em que a e b são constantes e ω é a pulsação daforça), a solução geral de (21) é dada por

x(t) = xh(t) + xp(t),

onde xh(t) é a solução da equação homogénea associada e xp(t) é uma soluçãoparticular da forma

x(t) = A cosωt+B senωt, (22)

com A e B constantes reais. Quando t tende para infinito (na prática, aofim de um intervalo de tempo suficientemente longo) tem-se que xh(t) → 0(verifique!). Consequentemente, a solução geral x(t) tende para a soluçãoparticular xp(t) quando t → ∞, dizendo-se então que esta última é a respostado sistema em regime permanente. Pode assim afirmar-se que, em regimepermanente, a resposta do sistema a uma excitação sinusoidal é uma oscilaçãoharmónica de período igual ao da excitação.

31 1/Agosto/2005

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O caso que nos interessa agora é aquele em que f é uma qualquer funçãoperiódica que coincide com a soma da sua série de Fourier. O exemplo se-guinte mostra-nos, para uma destas funções, que a resposta do sistema emregime permanente é a soma de uma infinidade de oscilações harmónicas deperíodos iguais ao período de f e a submúltiplos deste.

Exemplo 17 Para o sistema de massa-mola-amortecedor descrito acima con-sideremos m = 1 Kg, c = 0, 02 Ns/m e k = 25 N/m. Então (21) escreve-sena forma:

x′′ + 0, 02x′ + 25x = f(t). (23)

Supondo que f é a onda triangular de período 2π dada em [−π, π] por

f(t) =

{ −t− π2

se − π ≤ t < 0t− π

2se 0 ≤ t ≤ π

,

pretende-se determinar a resposta do sistema em regime permanente.

Designando por g(t) a função do exemplo 14 com T = 2π (e portanto ω = 1)tem-se

g(t) =π

2− 4

π

∞∑k=0

cos(2k + 1)t

(2k + 1)2, ∀t ∈ IR.

Notando que f(t) = g(t)− π2vem

f(t) = −4

π

(cos t+

1

32cos 3t+

1

52cos 5t+ · · ·

). (24)

Consideremos então a equação diferencial

x′′ + 0, 02x′ + 25x = − 4

n2πcosnt (n = 1, 3, 5, . . .) (25)

cujo lado direito é o termo geral da série de Fourier (24). Atendendo a (22),a solução desta equação em regime permanente é da forma

xn(t) = An cosnt+Bn sennt. (26)

Calculando x′n(t) e x′′

n(t) e substituindo em (25) obtém-se

An = −4(25− n2)

n2πDe Bn = − 0, 08

nπD, (27)

em queD = (25− n2)2 + (0, 02n)2. Seja

x(t) = x1(t) + x3(t) + x5(t) + · · · =∞∑k=0

x2k+1(t) (28)

32 1/Agosto/2005

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a série de Fourier cujos termos são dados por (26). De (27) e do crité-rio de Weierstrass (teorema 1) conclui-se que esta série bem como as séries∑∞

k=0 x′2k+1(t) e

∑∞k=0 x

′′2k+1(t) são uniformemente convergentes. Consequen-

temente, pelo teorema 4,∑∞

k=0 x′2k+1(t) = x′(t) e

∑∞k=0 x

′′2k+1 = x′′(t). Então,

substituindo em (23) x(t), x′(t) e x′′(t) pelas respectivas séries de Fourierobtém-se uma proposição verdadeira concluindo-se, portanto, que a primeiradaquelas séries é solução da equação (23) em regime permanente.

De referir finalmente que o procedimento utilizado no exemplo anteriorpara mostrar que (28) é solução de (23) constitui uma aplicação do impor-tante princípio da sobreposição que, para este caso, se enuncia comosegue: Se x1 e x2 são soluções da equação (23) com f = f1 e f = f2, respec-tivamente, então x = x1 + x2 é solução da mesma equação com f = f1 + f2.

1.4.2 Aproximação de uma função por um polinómio trigonomé-trico

Vimos atrás que uma função periódica f seccionalmente suave pode ser de-composta na soma de uma infinidade de harmónicas que constituem a suasérie de Fourier. Considerando a soma parcial de ordem k desta série,

Sk(x) =a0

2+

k∑n=1

(an cosnx+ bn sennx), (29)

passamos então a dispor de um polinómio trigonométrico de ordem k queaproxima a função f . Supondo que f é periódica de período 2π, a questãoque se põe agora é a de saber se (29) é a “melhor” aproximação de f por umpolinómio trigonométrico de ordem k, no intervalo [−π, π]. Considerandoo conjunto dos polinómios trigonométricos, Tk, de ordem k, entende-se por“melhor” polinómio que aproxima f em [−π, π] aquele que minimiza o valorde

E =

∫ π

−π

[f(x)− Tk(x)]2dx, (30)

quantidade que mede o erro da aproximação de Tk a f no intervalo [−π, π].E designa-se habitualmente por erro quadrático total de Tk relativo a f

em [−π, π]. Então, o problema anterior consiste em determinar o polinómiotrigonométrico Tk para o qual E tem o menor valor possível. Este polinómioé precisamente a soma parcial da série de Fourier (29) como se mostra noteorema seguinte:

Teorema 13 (Propriedade mínima dos coeficientes de Fourier) Sejaf uma função de periódica de período 2π integrável em [−π, π]. Então, para

33 1/Agosto/2005

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qualquer valor de k fixo, o erro quadrático total (30) é mínimo se e só se oscoeficientes de Tk forem os coeficientes de Fourier de f . O valor mínimo doerro é dado por

Emin =

∫ π

−π

f2(x)dx− π

[a202

+k∑

n=1

(a2n + b2n)

], (31)

sendo an e bn os coeficientes de Fourier de f.

Dem. Seja

Tk(x) =A0

2+

k∑n=1

(An cosnx+Bn sennx).

34 1/Agosto/2005

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Então, pela ortogonalidade das funções trigonométricas (lema 5) tem-se

E =

∫ π

−π

[f(x)− Tk(x)]2dx

=

∫ π

−π

[f2(x)− 2f(x)Tk(x) + T 2

k (x)]dx

=

∫ π

−π

f2(x)dx− 2

∫ π

−π

f(x)Tk(x)dx+

∫ π

−π

T 2k (x)dx

=

∫ π

−π

f2(x)dx− 2A0

2

∫ π

−π

f(x)dx−

−2k∑

n=1

[An

∫ π

−π

f(x) cosnxdx−Bn

∫ π

−π

f(x) sennxdx

]+

+

∫ π

−π

A20

4dx+

k∑n=1

A2n

∫ π

−π

cos2 nxdx+B2m

∫ π

−π

sen2 nxdx+

+2k∑

n,m=1n�=m

AnBm

∫ π

−π

cosnx sennxdx

=

∫ π

−π

f2(x)dx− 2π

[A0a0

2+

k∑n=1

(Anan +Bnbn)

]+

A20

2+

[k∑

n=1

(A2

n +B2n

)]

=

∫ π

−π

f2(x)dx+ π(A0 − a0)

2

2+ π

k∑n=1

[(An − an)

2 + (Bn − bn)2]−

−π

[a202

+k∑

n=1

(a2k + b2k)

],

em que an e bn são os coeficientes de Fourier. Então∫ π

−π[f(x)− Tk(x)]

2dx é

mínimo quando An = an, n = 0, 1, . . . , n e Bn = bn, n = 1, 2, . . . , n, isto é,quando Tk(x) = Sk(x). O valor mínimo de E, Emin, obtém-se imediatamentesubstituindo na expressão acima An e Bn por an e bn, respectivamente.

Corolário 14 (Desigualdade de Bessel) Os coeficientes de Fourier de umafunção f periódica de período 2π integrável em [−π, π] verificam a desigual-dade de Bessel:

a202

+∞∑n=1

(a2n + b2n) ≤1

π

∫ π

−π

f2(x)dx.

35 1/Agosto/2005

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Dem. Como o erro quadrático total é não negativo, segue-se da fórmula(31) que ∫ π

−π

f2(x)dx− π

[a202

+k∑

n=1

(a2n + b2n)

]≥ 0.

Passando ao limite esta desigualdade quando k tende para infinito, obtemosa desigualdade de Bessel.

Apresentamos agora sem demonstração (ver, por exemplo, [5]) um outroresultado que provém da aplicação da teoria das séries de Fourier à aproxi-mação de funções.

Teorema 15 Seja f uma função periódica de período 2π contínua em IR.Então para cada ε > 0 existe um polinómio trigonométrico

Tk(x) =a0

2+

k∑n=1

(an cosnx+ bn sennx)

tal que para qualquer x ∈ IR,

|f(x)− Tk(x)| < ε.

Os dois teoremas anteriores permitem provar a seguinte igualdade:

Teorema 16 (Identidade de Parseval) Seja f uma função contínua pe-riódica de período 2π. Então, os coeficientes de Fourier da função f verificama igualdade de Parseval:

1

π

∫ π

−π

f2(x)dx =a202

+∞∑n=1

(a2n + b2n).

Dem. Pelo teorema 15 para cada ε > 0 existe um polinómio trigonomé-trico Tk de ordem k tal que |f(x)− Tk(x)| < ε. Esta desigualdade, o teorema13 e o corolário 14 implicam que

0 ≤ 1

π

∫ π

−π

f2(x)dx−[a202

+∞∑n=1

(a2n + b2n)

]

≤ 1

π

∫ π

−π

f2(x)dx−[a202

+k∑

n=1

(a2n + b2n)

]

=1

π

∫ π

−π

[f(x)− Sk(x)]2dx ≤ 1

π

∫ π

−π

[f(x)− Tk(x)]2dx

<1

π

∫ π

−π

ε2dx = 2ε2.

Fazendo ε → 0+ o teorema fica demonstrado.

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Referências

[1] Broman, A., Introduction to Partial Differential Equations—from Fou-rier Series to Boundary-value Problems, Dover Publications, New York,1989.

[2] Bugrov, I. S. e Nikolski, S. M., Matemática para Engenharia, Volume 3,Editora Mir, Moscovo, 1987.

[3] Davis, P. J. e Hersh, R., A Experiência Matemática, Gradiva, Lisboa,1995.

[4] Ferreira, J. C., Introdução à Análise Matemática, Fundação CalousteGulbenkian, Lisboa, 1987.

[5] Figueira, M. S. R., Fundamentos de Análise Infinitesimal, Departa-mento de Matemática da Faculdade de Ciências de Lisboa, 1996.

[6] Kreyszig, E., Advanced Engineering Mathematics, John Wiley & Sons,New York, 1993.

[7] Piskounov, N., Cálculo Diferencial e Integral, Volume II, Lopes da SilvaEditora, Porto, 1987.

[8] Sarrico, C., Análise Matemática—Leituras e Exercícios, Gradiva, Lisboa,1997.

[9] Strichartz, R. S., The Way of Analysis, Jones and Bartlett Publishers,Boston, 1995.

[10] Tolstov, G. P., Fourier Series, Dover Publications, New York, 1976.

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Exercícios propostos

1. Mostre, considerando n,m ∈ ZZ, que:

(a)∫ π

−πsin (mx) dx = 0;

(b)∫ π

−πcos (mx) dx =

{2π, se m = 00, se m = 0

;

(c)∫ π

−πsin (nx) cos (mx) dx = 0;

(d)∫ π

−πcos (nx) cos (mx) dx =

{π, se m = n

0, se m = n;

(e)∫ π

−πsin (nx) sin (mx) dx =

{π, se m = n

0, se m = n;

2. Suponha que f é representável em série de Fourier. Mostre que:

(a) Se f é ímpar, então

an =1

π

∫ π

−π

f (x) cos (nx) dx = 0, para n = 0, 1, 2, . . . , etc

(b) Se f é par, então

bn =1

π

∫ π

−π

f (x) sin (nx) dx = 0, para n = 1, 2, . . . , etc

3. Justifique a verdade ou falsidade das seguintes afirmações:

(a) A série de Fourier de f (x) = x2 ,x ∈ [−π, π] é

f (x) ∼∞∑n=1

bn sinnx.

(b) Se f periódica de período 2π é ímpar, então g(x) = f(x) sinxdefinida em [−π, π] é par.

(c) A série de Fourier associada a f (x) = x, x ∈ I =[−π

2, π2

], con-

verge uniformemente para f .

(d) A série de Fourier associada à função h (t) = 5−3 cos (x)−2 sin (x)tem somente 3 coeficientes não nulos.

4. Determine a série de Fourier associada à função periódica:

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(a) f (x) = x, x ∈ [−π, π].

(b) f (x) =

{1 , x ∈ [0, π]−1 , x ∈ [−π, 0[

.

(c) f (x) = x2, x ∈ [−π, π].

5. Considere a função periódica de período T = 2 definida em [−1, 1[ porf(x) = 1 + x2.

(a) Determine a série de Fourier associada a f em [−1, 1[ .

(b) Diga, justificando, qual a soma da série anterior.

6. Considere a função periódica f de período T = 2a, definida por f (x) =|x| no intervalo −a < x < a, sendo a uma constante real.

(a) Determine a série de Fourier associada a f.

(b) Calcule justificando, a soma da série.

7. Considere a função

f (x) =

{1 se x ∈ [k, k + 1[ com k inteiro par.

0 se x ∈ [k, k + 1[ com k inteiro ímpar.

(a) Indique o seu período e represente-a graficamente no intervalo[0, 4].

(b) Determine a série de Fourier associada a f .

8. Considere a função f periódica de período 2π, definida no intervalo]0, 2π] por

f (x) =π − x

2

(a) Determine a série de Fourier associada a f .

(b) Utilizando a série obtida em (a), mostre, justificando, que

π

4= 1− 1

3+

1

5− 1

7+ ...

9. Considere a função periódica f de período T = 2π com a seguinterepresentação geométrica

(a) Determine a série de Fourier associada a f em [−π, π[ .

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x0

y

-π π 3π -3π

π

Figura 15: Função com período T = 2π.

(b) Diga, justificando, qual a soma da série anterior e mostre que

π2 = 8∞∑n=1

1

(2n− 1)2.

10. Considere a função periódica f de período T = 3 com a seguinte repre-sentação geométrica

x0

y

3 6

3

- 3

Figura 16: Função com período T = 3.

(a) Determine a série de Fourier associada a f em [0, 3[ .

(b) Diga, justificando, qual a soma da série anterior.

Soluções

3a) Falso; 3b) Verdadeiro; 3c) Falso; 3d) Verdadeiro; 4a)

f(x) ∼∞∑n=1

2

n(−1)n+1 sin (nx) ;

4b) f(x) ∼ ∑∞m=0

4(2m+1)π

sin [(2m+ 1)x]; 4c)

f(x) ∼ π2

3+ 4

∞∑n=1

(−1)n

n2cos (nx) ;

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5a) f(x) ∼ 43+∑∞

n=1

(2nπ

)2(−1)n cos (nπx); 5b)

f(x) =4

3+

∞∑n=1

(2

)2

(−1)n cos (nπx) ;

6a) f (x) ∼ π2− 4

π

∑∞n=1

1(2n−1)2

cos ((2n− 1)x); 7a) T = 2; 7b) f(x) ∼12+ 1

∑∞n=1

[1 + (−1)n+1] sin (nπx); 8a) f(x) ∼ ∑∞

n=11nsin (nx); 9a) f(x) ∼

π2+∑∞

k=14

(2k−1)2πcos [(2k − 1)x]; 10a) f(x) ∼ 3

2− 3

π

∑∞k=1

1nsin

(2πnx3

); 10b)

g (x) =

{x se x ∈ ]0, 3[

32se x = 0 ∨ x = 3

.

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