Séries de Fourier Matemática Aplicada - ltodi.est.ips.· 1 Séries de Fourier 1.1 Introdução As

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  • Sries de Fourier

    Matemtica Aplicada

    Carlos LuzRevisto em 2004/2005

  • Contedo

    1 Sries de Fourier 21.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Sries trigonomtricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

    1.2.1 Sries de funes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2.2 Definio de srie trigonomtrica . . . . . . . . . . . . 81.2.3 Clculo dos coeficientes de uma srie trigonomtrica

    uniformemente convergente . . . . . . . . . . . . . . . 111.3 Sries de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

    1.3.1 Definio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.3.2 Convergncia das sries de Fourier . . . . . . . . . . . . 191.3.3 Srie de Fourier de uma funo de perodo T . . . . . . 241.3.4 Sries de Fourier de funes importantes nas aplicaes 27

    1.4 Aplicaes das sries de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . 301.4.1 Aplicao resoluo de equaes diferenciais . . . . . 301.4.2 Aproximao de uma funo por um polinmio tri-

    gonomtrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

    1 1/Agosto/2005

  • 1 Sries de Fourier

    1.1 Introduo

    As sries de Fourier so sries cujos termos so funes sinusoidais. A sua im-portncia prtica deve-se a que uma funo peridica (verificando condiesbastante gerais) pode ser representada por uma srie de Fourier e, sobre-tudo, ao facto de ser possvel obter facilmente em computador excelentesaproximaes daquela srie.

    Historicamente, contudo, o aparecimento das sries de Fourier deveu-se,numa primeira fase, aos estudos realizados por Bernoulli1 por volta de 1750sobre a resoluo da equao diferencial s derivadas parciais que regula ofenmeno da vibrao de uma corda flexvel. Foi porm Fourier2, 50 anosmais tarde, que ao estudar outra equao diferencial s derivadas parciaisaequao do calor (ver, para referncias histricas, [3] e [9])revelou definiti-vamente a importncia terica e prtica das sries de Fourier.

    No que se segue comearemos por rever algumas noes e propriedadesrelativas s sries de funes aps o que daremos a definio de srie trigono-mtrica e veremos como calcular os seus coeficientes. Introduziremos depoisas sries de Fourier, estudaremos a sua convergncia e apresentaremos vriosexemplos. Terminaremos com as aplicaes das sries de Fourier resoluode equaes diferenciais e teoria da aproximao de funes.

    1.2 Sries trigonomtricas

    1.2.1 Sries de funes

    Recordaremos nesta subseco a definio de srie de funes bem como asnoes de convergncia pontual e uniforme (ver, por exemplo, [4] ou [8] paraum tratamento mais detalhado do tema).

    Representemos ento por fn, n = 0, 1, 2, . . . , uma sucesso de funesreais de varivel real definidas num conjunto D IR. Por exemplo, supondoque x [0, 1], a igualdade fn(x) = xn, n = 0, 1, 2, . . . , define uma sucessode funes contnuas em [0, 1]3 (ver fig. 1).

    Definio 1 Diz-se que fn converge num ponto x D se, uma vez fixado ovalor de x, o limite da sucesso numrica fn(x) finito. Se fn converge em

    1Daniel Bernoulli (17001782), fsico e matemtico suio tendo-se notabilizado pelosseus trabalhos em dinmica dos fluidos e na teoria cintica dos gases

    2Jean-Baptiste Joseph Fourier (17681830), fsico e matemtico frans que se notabi-lizou pelo desenvolvimento da teoria da propagao do calor onde utilizou as sries quepassaram a ser conhecidas pelo seu nome.

    3Estamos aqui a considerar f0(0) = 1.

    2 1/Agosto/2005

  • 10.80.60.40.20

    1

    0.8

    0.6

    0.4

    0.2

    0

    x

    1

    2x

    3x

    10x

    Figura 1: Funes 1, x, x2, x3 e x10

    todos os pontos de D, a funo definida por

    f(x) = limn

    fn(x), x D,

    designa-se por limite de fn em D. Diz-se tambm que fn converge pontual-mente para f em D.

    Exemplo 1 A sucesso fn(x) = xn (fig. 1) converge nos pontos do intervalo

    [0, 1] pois limn xn igual a 0 se x [0, 1[ e vale 1 se x = 1. Assim, afuno limite no referido intervalo

    f(x) =

    {0, se 0 x < 11, se x = 1

    .

    A uma sucesso de funes fn, n = 0, 1, 2, . . . , definidas em D IR podesempre associar-se a srie

    n=0

    fn = f0 + f1 + + fn + ,

    a qual se diz uma srie de funes definida em D. A sucesso auxiliar

    Sk =k

    n=0

    fn = f0 + f1 + + fk, k = 0, 1, 2, . . . ,

    3 1/Agosto/2005

  • diz-se a sucesso das somas parciais da srie de funes. Por exemplo, sucesso de funes fn(x) = x

    n definidas em [0, 1] pode associar-se a sriede funes

    n=0 x

    n, conhecida por srie geomtrica. A correspondentesucesso das somas parciais definida, para k = 0, 1, 2, . . . , por

    Sk(x) =

    {1 + x+ x2 + + xk = 1xk+1

    1x , se 0 x < 1k, se x = 1

    . (1)

    Definio 2 Diz-se que a srie de funes

    n=0 fn convergente (respecti-vamente, absolutamente convergente, simplesmente convergente, divergente)num ponto x D se, uma vez fixado x, a srie numrica n=0 fn(x) con-vergente (resp. absolutamente convergente, simplesmente convergente, diver-gente); equivale a dizer que a sucesso das somas parciais Sk converge emx D.Definio 3 Se a srie de funes

    n=0 fn convergente para qualquer x

    D, a funo definida por

    f(x) =n=0

    fn(x), x D,

    diz-se a soma pontual da srie em D.

    Exemplo 2 Voltando a considerar a srie geomtrica

    n=0 xn definida em

    [0, 1] conclui-se que se trata de uma srie convergente em [0, 1[ e divergentepara x = 1. Com efeito, de (1) sai

    limk

    Sk(x) =

    {1

    1x , se 0 x < 1+, se x = 1 ,

    donde a funo 11x a soma pontual da srie geomtrica em [0, 1[.

    Vimos no exemplo 1 que, embora os termos da sucesso fn(x) = xn sejam

    funes contnuas em [0, 1] a funo limite descontnua no ponto x = 1.Significa isto que uma sucesso de funces contnuas pode no convergirpontualmente para uma funo contnua. Este facto leva considerao deoutras noes de convergncia mais fortes como o caso da convergnciauniforme de funes.

    Definio 4 Diz-se que uma sucesso de funes fn definidas em D IR,converge uniformemente em D para a funo f, se, para todo o > 0,existe uma ordem p independente de x, a partir da qual se tem

    |fn(x) f(x)| < , x D.

    4 1/Agosto/2005

  • Esta proposio equivale a afirmar que a sucesso numrica

    supxD

    |fn(x) f(x)| 0 quando n .

    Exemplo 3 Para observar o significado geomtrico da convergncia uni-forme consideremos a sucesso de funes fn(x) =

    x+nxn

    definidas em [0, 1].A fig. 2, onde esto representados os termos f1, f2 e f10 da sucesso, sugereque fn converge pontualmente para a funo f(x) = x definida em [0, 1].

    Com efeito, para x [0, 1], limn fn(x) = limn(

    xn

    + x)

    = x. Esta

    convergncia pontual tambm uniforme pois

    supx[0,1]

    x+ nx

    n x

    = supx[0,1]

    x

    n=

    1

    n 0.

    10.80.60.40.20

    1

    0.8

    0.6

    0.4

    0.2

    0

    xxxf +=)(1 22

    )(2xx

    xf+=

    10

    10)(10

    xxxf

    +=

    xxf =)(

    Figura 2: Funes f1(x), f2(x), f10(x) e f(x) = x

    Assim, para qualquer > 0, tem-sex+ nx

    n x

    supx[0,1]

    x+ nx

    n x

    = 1n < desde que n > 1

    . Consequentemente, a partir da ordem p, inteiro imediata-

    mente superior a 1(independente de x), vlida a desigualdade

    x+nxn x 0 existe um polinmio trigonomtrico

    Tk(x) =a0

    2+

    kn=1

    (an cosnx+ bn sennx)

    tal que para qualquer x IR,|f(x) Tk(x)| < .

    Os dois teoremas anteriores permitem provar a seguinte igualdade:

    Teorema 16 (Identidade de Parseval) Seja f uma funo contnua pe-ridica de perodo 2. Ento, os coeficientes de Fourier da funo f verificama igualdade de Parseval:

    1

    f2(x)dx =a202

    +n=1

    (a2n + b2n).

    Dem. Pelo teorema 15 para cada > 0 existe um polinmio trigonom-trico Tk de ordem k tal que |f(x) Tk(x)| < . Esta desigualdade, o teorema13 e o corolrio 14 implicam que

    0 1

    f2(x)dx[a202

    +n=1

    (a2n + b2n)

    ]

    1

    f2(x)dx[a202

    +k

    n=1

    (a2n + b2n)

    ]

    =1

    [f(x) Sk(x)]2 dx 1

    [f(x) Tk(x)]2 dx