Embed Size (px)
Citation preview
Séries de FourierSéries de Fourier
Análise de Fourier
SériesSéries IntegralIntegral
Transformadadiscreta
Transformadadiscreta
TransformadaTransformadaTransformadarápida
Transformadarápida
Discretos Contínuos
Uma revisão
Funções periódicas
Séries de Fourier de senos e consenos
Funções periódicas com período 2L
Funções pares e ímpares
Séries em senos e cosenos de médio rango
Notação complexa da série de Fourier
Fourier, Joseph
Fourier, Joseph 1768-1830
Fourier, Joseph
Em 1807, Fourier submeteu um trabalho á Academia de Ciências de Paris. Neste trabalho apresentou a modelagem da equação de calor e o método de separação de variáveis. O trabalho, avaliado por Laplace, Lagrange e Lagendre foi rejeitado por falta de rigor matemático. Entretanto, o resultado foi considerado promissório e a academia colocou premio para sua resolução. Em 1822, Fourier finalmente publicou sua clássico Theorie analytique de la chaleur, estabelecendo os fundamentos do método de separação de variáveis e as séries, integral e transformada de Fourier.
Funções Periódicas
Definição: Função Periódica
Uma função f(x) é dita periódica com período T se para todo x
)()( xfTxf =+
T
f(x)
x
Funções Periódicas
f(x+p)=f(x), f(x+np)=f(x)Se f(x) e g(x) têm período p, então a função H(x)=af(x)+bg(x) , também tem período p.O menor período de uma função f(x), p(p >0), é chamado como períodofundamental de f(x)
Funções Periódicas
ExemplosFunções co-senos: cosx, cos2x, cos3x, …
Funções senos: sinx, sin2x, sin3x, …
eix, ei2x, ei3x, …
e-ix, e-i2x, e-i3x, …
Séries de Fourier de senos e co-senos
Lema: Um base de funções Trigonométricas é Ortogonal se
)( ,0coscos nmnxdxmx ≠=∫−π
π
)( ,0sinsin nmnxdxmx ≠=∫−π
π
),( ,0sincos nmanynxdxmx =∫−π
π
Séries de Fourier de senos e co-senos
A representação de uma função f(x) (com período 2π) em senos e co-senos:
[ ][ ]
( )∑∞
=
++=
++++++++=
10
321
3210
sincos
3sin2sinsin 3cos2coscos)(
nnn nxbnxaa
xbxbxbxaxaxaaxf
Fórmulas de Euler
∫ −=π
ππdxxfa )(
21
0
∫−=π
ππnxdxxfa n cos)(1
∫−=π
ππnxdxxfb n sin)(1
Séries de Fourier de senos e co-senos
Prova:
( )
n
n
n
n
nnn
a
a
xdxnnxdxnna
nxdxnxa
nxdxnxbnxaa
nxdxxf
=
=
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −++=
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡++=
∫ ∫
∫
∫ ∑
∫
− −
−
−
∞
=
−
ππ
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
221.
)cos(21)cos(
21
coscos1
cossincos1
cos)(1
10
Séries de Fourier de senos e co-senos
Exemplo 1: Achar os coeficientes de Fourier para a função
Solução:
0)(2
10 == ∫ −
π
ππdxxfa
)()2(0 ,
0 ,)(
xfxfxk
xkxf
=+⎩⎨⎧
<<<<−−
=
ππ
π
Solução:
0
sinsin
coscos)(1
cos)(1
0
0
0
0
=⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡+
−=
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +−=
=
−
−
−
∫∫
∫
π
π
π
π
π
π
π
π
π
nnx
nnxk
nxdxknxdxk
nxdxxfa n
Solução:
[ ]
⎩⎨⎧
==
=−
−=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ −+=
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +−=
=
−
−
−
∫∫
∫
2,4,6,n ,01,3,5,n ,2
cos1
cos12
coscos
sinsin)(1
sin)(1
0
0
0
0
π
ππ
π
π
π
π
π
π
π
π
π
n
nn
k
nnx
nnxk
nxdxknxdxk
nxdxxfbn
Funções periódicas com período 2L
Uma função periódica f(x) com período 2L
2L
f(x)
x
∑∞
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++=
10 sincos)(
nnn L
xnbL
xnaaxf ππ
Logo
∫ −=L
Ldxxf
La )(
21
0
∫−=L
Ln dxL
xnxfL
a πcos)(1
∫−=L
Ln dxL
xnxfL
b πsin)(1
Onda quadrada periódica
Onda quadrada
2,221,0
11 ,12 ,0
)(
==
⎪⎩
⎪⎨⎧
<<<<−
−<<−=
LLpx
xkx
xf
Funções pares e ímpares
Dizemos que uma função f(x) é par se
Dizemos que uma função f(x) é ímpar se
)()( xfxf =−
)()( xfxf −=−
A extensão periódica de f
)()( xfxf =− )()( xfxf −=−
f(x)
x
f(x)
x
Par Ímpar
Propriedades
O produto de uma função para com uma ímpar é ímpar.
evenisxfifdxxfdxxfLL
L )( ,)(2)(
0∫∫− =
oddisxfifdxxfL
L )( ,0)(∫− =
se
se
for par
for ímpar
Série de Fourier de Co-senos
Série de Fourier de Senos
∑∞
=
+=1
0 )( ,cos)(n
n evenisxfifL
xnaaxf π
∑∞
=
=1
)( ,sin)(n
n oddisxfifL
xnbxf π
se é par
se é ímpar
Combinações de funções
Os coeficientes da soma de f1+f2 são a soma dos correspondentes coeficientes de Fourier de f1 e de f2.
Os coeficientes de Fourier de cf são cvezes os correspondentes coeficientes de Fourier de f.
Teorema de convergência de Fourier
Seja f(x) periódica de período 2L com primeiras derivada contínua em [-L,L], exceto possivelmente em um número finito de pontos. Então, para qualquer x em (-L,L) onde f(x) e f’(x) são contínuas temos que
)sincos(lim2
)(1
0 ∑=
∞→⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛+=
n
kkkn L
xkbL
xkaa
xf ππ
)sincos(2
)(1
0 ∑∞
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛+=
kkk L
xkbL
xkaa
xf ππ
ou
Exemplo: obter a SF de:
Como f é ímpar também e então a0 =0 e
Para n≥1
Assim temos que
ímparpar
exemplos
degrau unitário : f(x)=1 sempre que -1<x<1 , senão f(x)=0
6 termos 15 termos
dente de serra:
onda quadrada:
onda triangular:
Forma complexa para a Série de Fourier
inx
nn ecxf ∑
∞
−∞=
=)(
∫−−=
π
ππdxexfc inx
n )(21
( )∑∞
=
++=1
0 sincos)(n
nn nxbnxaaxf
E para uma função periódica f(x) com período 2L
Lxin
nn ecxf
π
∑∞
−∞=
=)(
∫−−
=L
LL
xin
n dxexfL
cπ
)(21
![Transformada Discreta de Fourier. Análise espectral no ... · Transformada Discreta de Fourier - DFT onde e (3) Sendo conhecido o sinal [𝑛], os coeficientes de Fourier podem ser](https://img.document.onl/doc/110x75/60c6af669080ba62d8513fce/transformada-discreta-de-fourier-anlise-espectral-no-transformada-discreta.jpg)
