“Séries de Fourier” - webx.ubi.ptwebx.ubi.pt/~felippe/texts2/analise_sinais_ppt07p.pdf · e as equações que definem ak e bk são conhecidas como as “ equação de análise

“Séries de Fourier”

Aula 7

Análise de Fourier (também chamada de Análise Harmónica), que diz respeito à representação de sinais como uma soma (ou melhor dizendo, uma combinação linear) de sinais básicos como senos e co-senos, ou exponenciais complexas.

A Análise de Fourier permite decompor um sinal nas suas componentes em frequência (harmónicos) e tem muitas aplicações no Processamento de sinal, no Processamento de imagem, na Física em várias aplicações, na Probabilidade e Estatística assim como em muitas outras áreas.

Antes de Fourier três físicos já tinham feito estudos preliminares em séries infinitas para resolverem problemas diversos da Física: suíçoLeonhard Euler (1707-1783), o francês Jean Le Rond d'Alembert(1717-1783) e o holandês Daniel Bernoulli (1700-1782).

Séries de Fourier______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Jean Baptiste Joseph Fourier(francês, 1768-1830)

Fourier foi o primeiro a fazer um estudo sistemático das séries infinitas para resolver a equação da propagação do calor na Física, na publicação “Mémoire sur lathéorie de la chaleur”, embora ele não tenha expresso os seus resultados com grande formalismo.

Somente uns anos mais tarde que dois matemáticos alemães: Dirichlet (1805-1859) e Riemann (1826-1866), expressaram os resultados de Fouriercom mais rigor e precisão.


Série de Fourier (sinal periódico da onda quadrada)


Série de Fourier trigonométricapara sinais contínuos


Série de Fourier trigonométrica para sinais contínuos

Considere um sinal periódico contínuo

x(t) ∈ R {conjunto dos números reais}, ∀ t.

T = período fundamental do sinal x(t)

ωo = frequência fundamental do sinal x(t)

( ) ( )[ ]∑

∑

∞

=

∞

=

ω⋅+ω⋅+=

=

⋅π⋅+

⋅π⋅+=

1k

okok0

1k

kk0

tksenbtkcosa2

a

tkT

2senbtk

T

2cosa

2

a)t(x

onde:

Este sinal x(t) pode ser expresso como:


T

2o

π=ω

( )∫

∫

ω⋅=

=

⋅π⋅=

T

o

T

k

dttkcos)t(xT

2

dttkT

2cos)t(x

T

2a

( )∫

∫

ω⋅=

=

⋅π⋅=

T

o

T

k

dttksen)t(xT

2

dttkT

2sen)t(x

T

2b

k = 0, 1, 2, …

k = 1, 2, …

onde as integrais acima são tomadas ao longo do intervalo do

período T do sinal periódico x(t).


Além disso, ao fazendo k = 0, pode ser reescrito de forma mais simplificada pois, como

( ) 0, k para,1tkcostkT

2cos o ==ω=

⋅π

então,

∫ ⋅=T

o dt)t(xT

2a

ou seja, ao de certa forma representa um valor médio do sinal x(t) no

intervalo de um período T.


( ) ( )[ ]∑

∑

∞

=

∞

=

ω⋅+ω⋅+=

=

⋅π⋅+

⋅π⋅+=

1k

okok0

1k

kk0

tksenbtkcosa2

a

tkT

2senbtk

T

2cosa

2

a)t(x

Esta série é conhecida como série trigonométrica de Fourier pois contém termos com senos e co-senos.

A equação acima, da série, é conhecida como a “equação de síntese”


e as equações que definem ak e bk são conhecidas como as “equação de

análise”.

( )∫

∫

ω⋅=

=

⋅π⋅=

T

o

T

k

dttkcos)t(xT

2

dttkT

2cos)t(x

T

2a

k = 0, 1, 2, …

k = 1, 2, … ( )∫

∫

ω⋅=

=

⋅π⋅=

T

o

T

k

dttksen)t(xT

2

dttkT

2sen)t(x

T

2b


x(t) é um sinal seccionalmente contínuo

(ou, também chamado de “contínuo por partes”)

x(t) é um sinal seccionalmente diferenciável se ambos x(t) e sua derivada

x’(t) forem sinais seccionalmente contínuos.

( quase todos, sinais de interesse prático são seccionalmente diferenciáveis )


se x(t) tem um número limitado de descontinuidades em qualquer intervalo limitado.

Se x(t) é um sinal periódico seccionalmente diferenciável e de período T,

então a série de Fourier converge em cada ponto t para:

Teorema de Fourier

a) x(t), se o sinal x(t) for contínuo no instante t;

b) ½ [ x(t+0+) + x(t+0-) ], se o sinal x(t) for descontínuo no instante t.

Um ponto positivo deste resultado é que a limitação do Teorema de Fourieracima é muito leve pois a grande maioria dos, ou quase todos, sinais de interesse prático são seccionalmente diferenciáveis.

O Teorema de Fourier acima assegura que, para os sinais x(t) que forem aproximados pela série de Fourier, quanto mais termos da série (ou parcelas da soma) forem adicionados, melhor será a aproximação.


nos casos em que x(t) for um sinal contínuo no instante t; e

Ou seja, se chamarmos de xn(t) à série de Fourier com n termos, então:

)t(x)t(x n →

[ ]2

)0t(x)0t(x)t(x n

−+ +++→

nos casos em que x(t) não for um sinal contínuo no instante t.


Exemplo 7.1

Considere o sinal x(t) dado abaixo (onda quadrada), definido num intervalo

(de t = –1 até t = 1)

<<

<<−−=

1t0se,1

0t1se,1)t(x

Sinal da onda quadradaem um período (de

t = –1 até 1).


Agora x(t), sendo um sinal periódico ∀t (∞ < t < ∞) já pode ser aproximadopor uma série de Fourier

Repetindo-se (ou estendendo-se) este padrão para a direita de t = 1 e para

esquerda de t = –1, obtemos um sinal periódico para ∀t (∞ < t < ∞).

De forma semelhante podemos estender qualquer outro sinal definido em um determinado intervalo finito e torná-lo periódico de forma a podermos aproximá-lo por uma série de Fourier


Calculando-se agora os coeficientes de Fourier para o sinal da onda quadrada

definido acima temos, para ao primeiramente,

0dt)1(dt)1(dt)t(xT

2a

1

0

0

1T

o =+−=⋅= ∫∫∫ −

Como o período fundamental é T = 2, então ωo = 2π/T = π

e portanto,

( )

( ) ( )

( )[ ] ( )[ ]( )

... 2, 1, k ,0

tksentksenk

1

dttkcos1dttkcos)1(

dttkcos)t(xT

2a

1

0

0

1

1

0

0

1

1

1k

==

=π+π−π

=

=π⋅+π⋅−=

=π⋅=

−

−

−

∫∫

∫


Logo os ak’s são todos iguais a zero ∀ k = 0, 1, 2, …

Quanto aos bk’s, temos que:

( )

( ) ( )

( )[ ] ( )[ ]( )1

0

0

1

1

0

0

1

1

1k

tkcostkcosk

1

dttksen1dttksen)1(

dttksen)t(xT

2b

π−+ππ

=

=π⋅+π⋅−=

=π⋅=

−

−

−

∫∫

∫

e portanto,

π

=ímparékse

parékse

,k

4

,0

bk


ou seja,

π= 4

b1

0b2 =

π=

3

4b3

0b4 =

π=

5

4b5

0b6 =

π=

7

4b7

0b8 =

π=

9

4b9

0b10 =

π=

11

4b11

0b12 =

etc.


π=

13

4b13

0b14 =

π=

15

4b15

0b16 =

Logo, esta é uma série de Fourier só de senos e os 6 primeiros termos não nulos da série são:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ...t11sen11

4t9sen

9

4t7sen

7

4

t5sen5

4t3sen

3

4tsen

4)t(x

+ππ

+ππ

+ππ

+

+ππ

+ππ

+ππ

=

Vamos ver agora como fica o sinal x(t)aproximado pela série de Fourier


Primeiramente, com apenas um termo (isto é, apenas k = 1), quando x(t)é simplesmente o seno

x(t) = b1 sen(πt) = (4/π) sen(πt)

Sinal onda quadrada.

Aproximação por série de Fourier com apenas um termo (k = 1)

Sinal x(t) aproximado pela série de Fourier


Com 2 termos, os dois primeiros termos não nulos (até k = 3, pois b2 = 0)

temos a soma de 2 senos:

x(t) = b1 sen(πt) + b3 sen(πt)


Aproximação por série de Fourier com apenas dois termos (k = 1 e 3).

(e já se nota uma melhoria no sinal aproximado pela série)

[agora já se nota 2 picos no sinal aproximado pela série]


Depois, com 3 termos (os três primeiros termos não nulos, até k = 5, pois

b2 = 0 e b4 = 0) temos a soma de 3 senos:

x(t) = b1 sen(πt) + b3 sen(πt) + b5 sen(πt)


Aproximação por série de Fourier com apenas três termos (k = 1, 3 e 5).

(e já se nota uma melhoria no sinal aproximado pela série)

[agora já se nota 3 picos no sinal aproximado pela série]


Série até k = 11 (6 termos não nulos)

Série até k = 49 (25 termos não nulos).


Nota-se nitidamente que o sinal x(t) aproximado pela série de Fourier vai se tornando cada vez mais próximo do original, a onda quadrada.

Nos pontos t onde x(t) é um sinal contínuo esta série de Fourier converge para

o próprio valor de x(t).

Por exemplo, para t = 0,5, sabemos que x(0,5) = 1. Pela série de Fourier ,

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ...5,4sen9

45,3sen

7

45,2sen

5

45,1sen

3

45,0sen

4)5,0(x +π

π+π

π+π

π+π

π+π

π=

1,6977

0,8488

1,1035

1,0631

0,9216

que de facto converge para 1.


Por outro lado, nos pontos t onde x(t) apresenta uma descontinuidade, esta

série de Fourier converge para o valor médio de x(t), entre o imediatamente

antes e o imediatamente depois de t.

Por exemplo,

para t = 0–, sabemos que x(0–) = –1, e t = 0–, e que x(0+) = 1. Logo, o ponto médio é:

02

11

2

)0(x)0(x =+−=+ −+

Pela série de Fourier,

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

00000

...0sen9

40sen

7

40sen

5

40sen

3

40sen

4)0(x

++++=

=+π

+π

+π

+π

+π

=

que de facto converge para 0.


Mais adiante, (nas Propriedades da Série de Fourier), veremos que:

Se x(t) é um sinal par,

então a série de Fourier para x(t) é uma série de co-senos.

Se x(t) é um sinal ímpar,

então a série de Fourier para x(t) é uma série de senos.

Isto pode ser visto pelas propriedades dos sinais pares e ímpares.

– A soma de 2 sinais pares é um sinal par.

– A soma de 2 sinais ímpares é um sinal ímpar.

– O produto de 2 sinais pares é um sinal par.

– O produto de 2 sinais ímpares é um sinal par.


Recorde-se que,

...,3,2,1k,0dttkT

2sen)t(x

T

2b

T

k ==

⋅π⋅= ∫

Logo, se x(t) é um sinal par, então os coeficientes bk da série de Fourier

para x(t) são todos iguais a zero:

e portanto, a série de Fourier é uma série de co-senos.

Mas se x(t) é um sinal ímpar, então os coeficientes ak da série de Fourier

para x(t) são todos iguais a zero (incluindo ao):

...,3,2,1,0k,0dttkT

2cos)t(x

T

2a

T

k ==

⋅π⋅= ∫

e portanto, a série de Fourier é uma série de senos.


Série de Fourier exponencialpara sinais contínuos


Série de Fourier exponencial para sinais contínuos

A “série de Fourier exponencial”, ou também chamada de

“série de Fourier complexa”.

Se o sinal x(t) ∈ R, então a série de Fourier exponencial é a mesma que a série trigonométrica escrita de uma forma diferente, em termos de exponenciais do tipo

tojωe

em vez de em termos de senos e co-senos.

então a série de Fourier exponencial permite-nos aproximar x(t), o que não era possível com a série trigonométrica.

Entretanto, se

ou seja, o sinal x(t) tem valores complexos, com parte real e parte

imaginária.


x(t) ∈ C = { conjunto dos números complexos }

Na série de Fourier exponencial (ou complexa) um sinal periódico x(t)pode ser expresso como:

∑

∑∞

−∞=

∞

−∞=

⋅ω

⋅π

⋅=

=⋅=

k

k

k

k

tkoj

tkT2

j

c

c)t(x

e

e

onde:

T = período fundamental do sinal x(t)


ωo = frequência fundamental do sinal x(t)

k = 0, ±1, ±2, … ∫

∫

⋅⋅=

=⋅⋅=

⋅ω−

⋅

π−

T

tkj

T

tkT

2j

k

dt)t(xT

1

dt)t(xT

1c

oe

e

Portanto, a série de Fourier exponencial (ou complexa) generaliza a série de Fourier trigonométrica e tem também a vantagem de ser mais compacta.

Os ck’s são chamados de coeficientes da série de Fourier exponencialou coeficientes espectrais.

e os coeficientes ck’s


Semelhantemente à série trigonométrica,


a equação da série é conhecida como a

equação de síntese

enquanto que a equação dos coeficientes ck é conhecida como a

equação de análise

da série de Fourier exponencial (ou complexa).

Exemplo 7.2

Tomemos novamente a onda quadrada x(t) em um período (de t = –1 até

t = 1).

<<

<<−−=

1t0se,1

0t1se,1)t(x


E, repetindo-se (ou estendendo-se) este padrão para a direita de t = 1 e

para esquerda de t = –1, obtemos um sinal periódico que pode ser aproximado pela série de Fourier exponencial (ou complexa).


Novamente, o período fundamental é T = 2, e

π=π=ωT

2o

( )

( ) ( )∫∫

∫π−

−

π−

−

π−

⋅+⋅−=

=⋅=

1

0

tkj0

1

tkj

1

1

tkj

k

dt12

1dt)1(

2

1

dt)t(xT

1c

ee

e

... 2, 1, ,0k ±±=

logo,


±±±=π−

±±=

=...,5,3,1kse,j

k

2

...,4,2,0kse,0

ck

Logo,

[ ]∑

∑

∑

∞

±±±=

∞

±±±=

π

∞

−∞=

ω

π⋅+π⋅

π−=

=

π−=

==

...,5,3,1k

...,5,3,1k

tkj

k

tkj

k

)tk(senj)tk(cosjk

2

jk

2

c)t(x o

e

e

e a série completa fica:


Como o seno é ímpar

[ sen (kπt) = –sen (–kπt), ∀k ]

...,5,3,1k ±±±=

...,5,3,1k =

∑∑

∑∑

∞

=

∞

=

∞

=

∞

=

π⋅

π−+π

π+

+π⋅

π−+π

π−=

...,5,3,1k...,5,3,1k

...,5,3,1k...,5,3,1k

)tk(senjk

j2)tk(cos

k

j2

)tk(senjk

j2)tk(cos

k

j2)t(x


e o co-seno é par

[ cos (kπt) = –cos(kπt) , ∀k ],

podemos desmembrar a soma para

em duas de

e portanto os dois termos com co-senos se cancelam um ao outro, enquanto que os dois termos com senos são idênticos, logo podem se juntar ficando:

∑

∑

∞

=

∞

=

π

π=

=

π⋅

π−⋅=

...,5,3,1k

...,5,3,1k

)tk(senk

4

)tk(senjk

j22)t(x

que é o mesmo resultado obtido no Exemplo 7.1 com a série de Fouriertrigonométrica, ou seja:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ...t11sen11

4t9sen

9

4t7sen

7

4

t5sen5

4t3sen

3

4tsen

4)t(x

+ππ

+ππ

+ππ

+

+ππ

+ππ

+ππ

=

Isso acontece porque as séries de Fourier trigonométricas e complexa (ou exponencial) são equivalentes.


Equivalência das séries de Fouriertrigonométrica e exponencial


Equivalência das séries de Fourier trigonométrica e exponencial

Se o sinal x(t) for de valores reais, então existe uma relação entre a série de Fourier trigonométrica e complexa (ou exponencial)

2

bjac kk

k

⋅−=para k = 0, 1, 2, …

2

bjac kk

k

⋅+=−para k = 1, 2, …

2

bjac kk

k−− ⋅+=

para k = –1, –2, …

Esta última equivale a


(assume-se que

bo = 0)

Embora o coeficiente bo não exista, pois não foi definido, na equação acima

assume-se que bo = 0.

2

ac o

o =

Note que enquanto os coeficientes aks e bks são definidos apenas para

k = 0, 1, 2, …, os coeficientes cks são definidos para k = 0, ±1, ±2, …

Sabemos, da série de Fourier trigonométrica, que não existe aks ou bks

para k negativos.

Por exemplo:

Portanto, o coeficiente co pode ser expresso como:


Entretanto os a-k e b-k nas equações acima estão bem definidos pois

nesta equação k = –1, –2, … e portanto os índices de a-k e b-k serão sempre positivos.

a-k para k = – 2 será o a2,ou

b-k para k = – 5 será o b5

Os termos ck para k positivos são os conjugados de ck para k negativos, e

vice-versa, isto é:

ck = (c –k)* , ∀ k = 0, ±1, ±2, ±3, …

As equações acima permitem que se transforme uma série trigonométrica em uma série exponencial.


oo c2a =

)cc(a kkk −+=

)cc(jb kkk −−⋅=

para k = 1, 2, …

para k = 1, 2, …

O inverso, ou seja, as equações que permitem transformar uma série exponencial em uma série trigonométrica são as seguintes:


Com as relações acima é fácil de se mostrar que,

quando x(t) é um sinal real, então:

( ) ( )[ ]∑

∑

∑∑

∞

=

∞

=

∞

−∞=

⋅ω∞

−∞=

⋅

π

ω+ω+=

=

⋅π+

⋅π+=

==

1k

okok0

1k

kk0

k

tkj

k

k

tkT

2j

k

tksenbtkcosa2

a

tkT

2senbtk

T

2cosa

2

a

cc)t(x oee

ou seja, as duas séries de Fourier, ‘trigonométrica’ e ‘exponencial’, são equivalentes (isto é, são as mesmas).


Propriedades das séries de Fourierpara sinais contínuos



Linearidade:

x1(t) é um sinal com período T e tem coeficientes de Fourier ck’

x2(t) é um sinal com período T e tem coeficientes de Fourier ck’’

)t(x)t(x)t(y 21 β+α=

então,

y(t) tem período T

y(t) tem frequência fundamental T

2o

π=ω

e y(t) tem coeficientes de Fourier

kkk ccc ′′β+′α=

ou seja,


Translação no tempo (“time shifting”)

x(t) é um sinal com período T e tem coeficientes de Fourier ck

)tt(x)t(yo

−= y(t) é o sinal x(t) com uma

translação (shift) no tempo de to.

então,

ou seja,

y(t) tem período T

y(t) tem frequência fundamental T

2o

π=ω


k

kk

c

cc~

otT

2kj

tokj o

⋅=

=⋅=

π−

ω−

e

eNota

como

tem-se que

θ∀=θ ,1je

kk cc~ =


Sinal refletido/reversão no tempo (“time reversal”)


)t(x)t(y −=então,

ou seja,

y(t) tem período T

y(t) tem frequência fundamentalT

2o

π=ω


kk cc −=

Se x(t) é um sinal par ⇒ os

coeficientes de Fourier ck são, eles próprios, pares; i.e.,

kk cc −=

Se x(t) é um sinal ímpar ⇒ os

coeficientes de Fourier ck são, eles próprios, ímpares; i.e.,

kk cc −−=

logo,


Escalonamento no tempo (“time scaling”)


(portanto x(t) tem frequência fundamental )T

2o

π=ω

)t(x)t(y α=então,

ou seja,

y(t) tem período T/α


2ˆ

oo

απ=ωα=ω


tT

2kj

tokj

k

k

k

k

c

c)t(y

∞

−∞=

∞

−∞=

πα−

ωα−

∑

∑

=

==

e

eNote que a série de Fourier muda por causa da mudança da frequência fundamental(e do período). Entretanto os coeficientes

ck não mudam.


Multiplicação

)t(x)t(x)t(y 21 ⋅=então, ou seja,

y(t) tem período T y(t) tem frequência fundamentalT

2o

π=ωe y(t) tem coeficientes de Fourier

[ ] [ ]kckc

ccc ik

i

ik

′′∗′=

=′′⋅′= −

∞

∞−=∑



ou seja, ck é a convolução entre os sinais discretos

[ ]kcc k′=′ [ ]kcck

′′=′′e

L+′′⋅′+′′⋅′+′′⋅′+′′⋅′+′′⋅′=

=′′⋅′=

+−−+−−

−

∞

∞−=∑

2k22k21k11k1ko

ik

j,i

ik

cccccccccc

cccou seja,


Conjugação


)t(x)t(y ∗=então,

ou seja,

y(t) tem período T


2o

π=ω


∗−= kk cc

Logo, se x(t) ∈ R, então, os coeficientes de Fourier∗

− = kk cc

co ∈ R e kk cc −=

y(t) é o conjugado de x(t)


Além disso, as relações acima permitem mais uma vez concluir que:

Se x(t) ∈ R é um sinal par ( x(t) = x(–t) ) ⇒

os coeficientes de Fourier ∗= kk cc e

kk cc −= (os coeficientes de Fourier são eles próprios “pares”).

Se x(t) ∈ R é um sinal ímpar ( x(t) = –x(–t) ) ⇒

os coeficientes de Fourier ck são imaginários puros,

0co = e

kk cc −−= (os coeficientes de Fourier são eles próprios “ímpares”).


Translação na frequência (“frequency shifting”)


)t(x)t(ytmj o ⋅= ω

e

então y(t) tem coeficientes de Fourier

mkk cc −= que são os coeficientes

ck desfasados de m.

Nota:Esta propriedade é dual da translação no tempo (“time shifting”).

Agora a translação (shift) foi aplicada aos ck e não no tempo t.

Outro detalhe, como θ∀=θ,1

je então,

kk cc = k = 0, ±1, ± 2, …

k = 0, ±1, ± 2, …

y(t) é x(t) multiplicado por exponencial


Convolução no período

∫ ττ⋅τ−=

∗=

T

21

21

d)(x)t(x

)t(x)t(x)t(y


kkk ccTc~~ ′′⋅′⋅=



y(t) é a convolução

(tomada no período T)

então,

ou seja,

y(t) tem período T


2o

π=ω


Derivadax(t) é um sinal com período T e tem coeficientes de Fourier ck

então, ou seja, y(t) tem período T y(t) tem frequência fundamental

T

2o

π=ω


kkok cT

2kjckjc

π=ω=′

dt

dx)t(y =

Nota:Para o caso de derivadas de ordem 2 ou mais, pode-se aplicar esta regra sucessivas vezes. Por exemplo, no caso da segunda derivada, se

2

2

dt

xd)t(y =

k

2

2

k

22

k

222

kok cT

2kckckjckjc

oo

π−=ω−=ω=′ω=′′

y(t) tem coeficientes de Fourier


Integral


∫ ∞−=

t

dt)t(x)t(y

então, ou seja,

y(t) tem período T y(t) tem frequência fundamentalT

2o

π=ω


kk

o

k c

T

2kj

1c

kj

1c ⋅

π=⋅

ω=(

Nota:

No caso de co = 0, esta propriedade só é válida para sinais x(t) periódicose com valores finitos.

Para o caso de integrais duplas, triplas, etc., pode-se aplicar esta regrasucessivas vezes.


Relação de Parseval


então,

a potência média do sinal no

intervalo de um período T

∑

∫

∞

−∞=

=

==

k

2

k

T

2

c

dt)t(xT

1P

Série de Fourier exponencialpara sinais discretos


Série de Fourier exponencial para sinais discretos

Sinais discretos periódicos

[ ] [ ]Nnxnx += N = período fundamental

N

2o

π=ω = frequência fundamental

Os sinais discretos (no tempo) do tipo exponenciais complexas que são periódicos (com período N) é dado por

[ ]n

N2

jknojk

nk

πω ==φ ee k = 0, 1, 2, …

Estes sinais têm frequência fundamental que são múltiplas de N

2π

e portanto são harmonicamente relacionados.


Existem apenas N sinais distintos no conjunto de funções φk[n]definido pela acima.

Isto é uma consequência do facto de que: sinais discretos (no tempo) do tipo exponenciais complexas que

diferem na frequência por um múltiplo de 2π são idênticos.

[ ] [ ]

[ ] [ ]

[ ] [ ]

[ ] [ ]

MM

MM

nn

nn

nn

nn

Nkk

2N2

1N1

No

+

+

+

φ=φ

φ=φ

φ=φ

φ=φ


Ou seja, após N consecutivos, estes termos começam a repetir-se.

Esta situação é diferente do caso contínuo pois os coeficientes que aparecem na equação de síntese da série de Fourier para sinais contínuos:

tT2

kjtokj

)t(k

πω ==φ ee k = 0, 1, 2, … ,

são todos diferentes uns dos outros.

Portanto, a série de Fourier para sinais discretos terá apenas N termos,

para N consecutivos valores de k,

de atél=k 1Nk −+= l

e, semelhantemente, apenas N coeficientes ck.


Logo, a série de Fourier para sinais discretos tem a expressão:

∑

∑

−+

+=

−+

+=

ω

π

⋅=

=⋅=

)1N(

),1(,k

k

)1N(

),1(,k

k

nokj

nN2kj

c

c[n]x

l

Kll

l

Kll

e

e

onde,

N = período fundamental do sinal x[n].

ωo = frequência fundamental do sinal x[n].

Esta equação acima é conhecida como a “equação de síntese” da série de Fourier discreta.


Os coeficientes ck’s no caso discreto são definidos por

[ ]

[ ]∑

∑

−+

+=

−+

+=

π−

ω−

⋅⋅=

=⋅⋅=

)1N(

),1(,n

)1N(

),1(,n

k

nN2kj

nokj

nxN

1

nxN

1c

l

Kll

l

Kll

e

e

k = 0, ±1, ±2, …

Os ck’s são chamados de “coeficientes” da série Fourier discreta ou “coeficientes espectrais”.

Esta equação acima é conhecida como a “equação de análise” da série de Fourier discreta.


Exemplo 7.3

Considere a seguinte onda quadrada x[n] discreta no tempo

Onda quadrada discreta de período N = 9.

==

=diantepor assim e

6 5, 4, 3,n0,

2 1, 0, 1,- 2,- n 1,

[n]x

Neste caso os coeficientes espectrais ck ficam:

∑−=

π−⋅=

2

2n

9

k

n2kj

9

1c e


Note que este somatório deveria ter mais 4 termos, mas eles são

nulos (pois x[n] = 0 para

n = 3, 4, 5 e 6)

ou seja, os coeficientes espectrais ck da onda quadrada discreta

deste exemplo são:

±±=

±±≠

π

π

⋅=

L

L

,81 9, 0, k se,5,2

,81 9, 0, k se,

9

ksen

k9

5sen

9

1

ck


e após calculados pela expressão acima, os coeficientes ck são:

3199,0c

5556,0c

3199,0c

0591,0c

1111,0c

0725,0c

1

o

1

2

3

4

=

=

=

−=

−=

=

−

−

−

−

M

3199,0c

0591,0c

1111,0c

0725,0c

0725,0c

1111,0c

0591,0c

8

7

6

5

4

3

2

=

−=

−=

=

=

−=

−=

1111,0c

0725,0c

0725,0c

1111,0c

0591,0c

3199,0c

5556,0c

15

14

13

12

11

10

9

−=

=

=

−=

−=

=

=

M

1111,0c

0591,0c

3199,0c

5556,0c

3199,0c

0591,0c

21

20

19

18

17

16

−=

−=

=

=

=

−=

Observe que a cada 9 coeficientes eles se repetem.

M

L

L

L

L

L

L

L

M

0591,0ccc

3199,0ccc

5556,0ccc

3199,0ccc

0591,0ccc

1111,0ccc

0725,0ccc

20112

19101

189o

1781

1672

1563

1454

−====

====

====

====

−====

−====

====

−

−

−

−

e assim por diante.


Isto é, a cada 9 ck eles voltam a ser os mesmos valores.

Agora, com os valores dos coeficientes ck, podemos escrever a série de Fourier

Ao contrário do caso contínuo, em que tínhamos que acrescentar mais e mais termos para obter uma aproximação melhor, aqui no caso discreto

é possível uma aproximação exata com N = 9 termos consecutivos.

∑+

+=

π⋅=

)8(

),1(,k

k

n9

2kj

c[n]xl

Kll

e


Se tomarmos primeiramente apenas 3 termos consecutivos,

∑−=

π

⋅=1

1k

k3

n9

2kj

c[n]x e

que nos dá uma primeira aproximação, ainda muito grosseira, do sinal x[n],


k = –1, 0 e 1,

teremos

Se entretanto tomarmos 5 termos consecutivos,

que nos dá uma aproximação um pouco melhor, mas ainda nada perfeita, do

sinal x[n],

∑−=

π

⋅=2

2k

k5

n9

2kj

c[n]x e


k = –2, –1, 0, 1 e 2,

teremos então:

Se agora tomarmos 7 termos consecutivos,

que nos dá uma aproximação um bem melhor, mas ainda não perfeita, do

sinal x[n],

∑−=

π

⋅=3

3k

k7

n9

2kj

c[n]x e


k = –3, –2, –1, 0, 1, 2 e 3,

teremos então:

Finalmente, se agora tomarmos 9 termos consecutivos,

que nos dá a aproximação exata do sinal x[n] pois N = 9.

∑−=

π

⋅==4

4k

k9

n9

2kj

c[n]x[n]x e

[n]x[n]x 9 =


k = –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2 , 3 e 4,

Ou seja,

teremos então:

Esta onda quadrada x[n] discreta no tempo pode ser generalizada

Onda quadrada discreta de período N.

∀

≤≤−=

somaçãodeintervalononoutros,0

1Nn

1Nse,1

[n]x

Neste caso os coeficientes espectrais ckficam sendo:

∑−=

π−⋅=

1

1

N

Nn

k

nN2

kj

N

1c e


Note que aqui novamente, este somatório deveria ter mais termos, mas eles são nulos

(pois x[n] = 0 para

n ∉ {-N1≤ n ≤ N1} )

os coeficientes espectrais ck da onda quadrada discreta deste exemplo

±±=+

±±≠

π

+π

⋅

=

L

L

2N, N, 0, k se,N

1N2

2N, N, 0, k se,

N

ksen

2

1Nk

N

2sen

N

1

c

1

1

k

O caso particular que vimos acima foi de N = 9 e N1 = 2, logo:


representa o número de pontos que é igual a 0 (zero) em cada período.

representa o número de pontos que assumem o valor 1 em cada períodoe consequentemente,

N – (2N1 + 1) = 9 – 5 = 4

(2N1 + 1) = 5

Considere agora o sinal sinusoidal discreto

Exemplo 7.4

)n(sen[n]x oω=

Este sinal é periódico quando o

2

ωπ

é um inteiro ou a razão de dois inteiros.

Se e x[n] é então um sinal periódico

com período fundamental N.

N2

o

=ω

π

N

2o

π=ωentão

Usando-se a equação de Euler podemos expandir este sinal x[n] como a

soma de 2 termos exponenciais complexos, obtendo-se

nN2

jnN2

j

j2

1

j2

1[n]x

π−π

−= ee


e vemos então que:

=

−=−=

=−=−

,0c

j2

1

j2

1c

j2

1

j2

1c

k

1

1

Por exemplo, no caso particular de N = 5, então

π= n5

2sen[n]x


para ∀ outros valores de k no intervalo de somação

e os coeficientes de Fourier serão:

M

M

0c

0c

j2

1

j2

1c

0c

j2

1

j2

1c

0c

0c

3

2

1

o

1

2

3

=

=

−==

=

=−=

=

=

−

−

−

M

M

j2

1

j2

1c

0c

j2

1

j2

1c

0c

0c

j2

1

j2

1c

16

15

14

13

12

11

−==

=

=−=

=

=

−==

M

M

0c

j2

1

j2

1c

0c

0c

j2

1

j2

1c

0c

j2

1

j2

1c

10

9

8

7

6

5

4

=

=−=

=

=

−==

=

=−=

e assim por diante.


Ou seja, a cada 5 coeficientes ck, eles se repetem, i.e., voltam a ter os mesmos valores

M

L

L

L

M

j5,0ccc

0ccc

0ccc

941

832

723

============

−

−

−

M

L

L

L

M

0ccc

j5,0ccc

0ccc

1272

1161

105o

====−========

e assim por diante.

de k = –1 até k = 3, ou

de k = 0 até k = 4, ou



etc. etc.


O intervalo de somação pode ser quaisquer 5 coeficientes ck consecutivos,

como por exemplo:

Se tomarmos apenas 3 termos consecutivos, como por exemplo:

k = 1, 2 e 3, teremos

que nos dá uma aproximação do sinal x[n].

∑=

π

⋅=3

1k

n5

2kj

k3 c[n]x e

Entretanto, se tomarmos 5 termos consecutivos, como por exemplo:

k = 1, 2, 3, 4 e 5, teremos então

que nos dá a aproximação exata do sinal x[n] pois N = 5.

∑=

π

⋅=5

1k

n5

2kj

k5 c[n]x e

π== n5

2sen[n]x[n]x 5


Ou seja,

Propriedades das séries de Fourierpara sinais discretos



Linearidade:

x1[n] é um sinal com período N e tem coeficientes de Fourier ck’

x2[n] é um sinal com período N e tem coeficientes de Fourier ck’’

[ ] [ ] [ ]nxnxny 21 β+α=

então,

y[n] tem período N

y[n] tem frequência fundamental N

2o

π=ω

e y[n] tem coeficientes de Fourier

kkk ccc ′′β+′α=

ou seja,


Translação no tempo (“time shifting”)

[ ] [ ]onnxny −= translação (shift) no tempo de no.

então,

ou seja,

y[n] tem período N


2o

π=ω


k

kk

c

cc~

onN

2kj

onokj

π−

ω−

=

==

e

e

Nota

como

tem-se que

θ∀=θ ,1je

kk cc~ =

x[n] é um sinal com período N e tem coeficientes de Fourier ck


Sinal refletido/reversão no tempo (“time reversal”)


]n[x]n[y −=então,

ou seja,

y[n] tem período N

y[n] tem frequência fundamentalN

2o

π=ω


kk cc −=

Se x[n] é um sinal par ⇒ os

coeficientes de Fourier ck são, eles próprios, pares; i.e.,

kk cc −=

Se x[n] é um sinal ímpar ⇒ os

coeficientes de Fourier ck são, eles próprios, ímpares; i.e.,

kk cc −−=

logo,


Escalonamento no tempo (“time scaling”)


(portanto x[n] tem frequência fundamental )N

2o

π=ω

[ ]

=mdemúltiploénãonse,0

mdemúltiploénse,m

nx

ny

então, ou seja,

y[n] tem período m·N

y[n] tem frequência fundamental

Nm

2

nˆ o

o ⋅π=ω=ω


[ ]

∑

∑

−+

+=

−+

+=

⋅π−

ω−

⋅=

=⋅=

)1N(

),1(,k

k

)1N(

),1(,k

k

nNm

2kj

nm

okj

c

cny

l

Kll

l

Kll

e

eNote que a série de Fourier muda por causa da mudança da frequência fundamental(e do período). Entretanto os coeficientes

ck não mudam.


Multiplicação

]n[x]n[x]n[y 21 ⋅=então, ou seja,

y[n] tem período N y[n] tem frequência fundamentalN

2o

π=ωe y[n] tem coeficientesde Fourier ∑

−+

+=−′′⋅′=

)1N(

),1(,j

jkjk cccl

Kll



)1Nk(1N2k21k1ko

)1N(

),1(,j

jkjk

cccccccc

ccc

+−−−−

−+

+=−

′′⋅′++′′⋅′+′′⋅′+′′⋅′=

=′′⋅′= ∑

L

l

Kll

ou seja,

etcetcetcetc

)Nk(N3k32k21k1 ccccccccMMMM

L −−−− ′′⋅′++′′⋅′+′′⋅′+′′⋅′=

k = 0, ±1, ± 2, …


Conjugação


]n[x]n[y ∗=então,

ou seja,

y[n] tem período N


2o

π=ω


∗−= kk cc

Logo, se x[n] ∈ R, então, os coeficientes de Fourier∗

− = kk cc

co ∈ R e kk cc −=

y[n] é o conjugado de x[n]


Além disso, as relações acima permitem, mais uma vez, concluir que:

Se x[n] ∈ R é um sinal par ( x[n] = x[–n] ) ⇒

os coeficientes de Fourier ∗= kk cc e

kk cc −= (os coeficientes de Fourier são eles próprios “pares”).

Se x[n] ∈ R é um sinal ímpar ( x[n] = –x[–n] ) ⇒

os coeficientes de Fourier ck são imaginários puros,

0co = e

kk cc −−= (os coeficientes de Fourier são eles próprios “ímpares”).

α


Translação na frequência (“frequency shifting”)


]n[x]n[ynmj o ⋅= ω

e

y[n] tem coeficientes de Fourier

mkk cc −= que são os coeficientes

ck desfasados de m.

Nota:Esta propriedade é dual da translação no tempo (“time shifting”).

Agora a translação (shift) foi aplicada aos ck e não no tempo n.

Outro detalhe, como θ∀=θ,1

je então,

kk cc = k = 0, ±1, ± 2, …

k = 0, ±1, ± 2, …

y[n] é x[n] multiplicadopor exponencial

então,


Convolução no período

[ ] [ ] [ ]

[ ] [ ]∑−+

+=

⋅−=

=∗=

)1N(

),1(,k

21

21

kxknx

nxnxny

l

Kll


kkk ccNc~~ ′′⋅′⋅=



y[n] é a convolução

(tomada no período N)

então,

ou seja,

y[n] tem período N

y[n] tem frequência fundamentalN

2o

π=ω


Primeira diferençax[n] é um sinal com período N e tem coeficientes de Fourier ck

então, ou seja,


2o

π=ωe y[n] tem coeficientes de Fourier

( ) kN

2kj

k

kj

k ce1ce1c o ⋅

−=⋅−=′

π

ω

[ ] [ ] [ ]1nxnxny −−=

Nota:Esta propriedade corresponde, no caso discreto, à propriedade para a “derivada” no caso contínuo.Para o caso de diferenças de ordem 2 ou maior, pode-se aplicar esta regra sucessivas vezes. Por exemplo, no caso da segunda diferença, se

[ ] [ ] [ ]2nxnxny −−=

( ) k

2

N

2kj

k

2kj

k ce1ce1c o ⋅

−=⋅−=′′

π

ω

y[n] tem coeficientes de Fourier


Soma acumulada


[ ]∑−∞=

=n

k

kx)t(y

então, ou seja,


2o

π=ωe y[n] tem coeficientes de Fourier

( ) k

N

2kj

kkjk c

e1

1c

e1

1c

o

⋅

−

=⋅−

=

πω

(

Nota:

No caso de co = 0, esta propriedade só é válida para sinais x[n] periódicose com valores finitos.

Esta propriedade corresponde, no caso discreto, à propriedade para a integral no caso contínuo.

Para o caso de somatórios duplos, triplos, etc., pode-se aplicar esta regrasucessivas vezes.


Relação de Parseval


então,

a potência média do sinal no

intervalo de um período N

[ ]

∑

∑

−+

+=

−+

+=

=

=⋅=

)1N(

),1(,k

2

k

)1N(

),1(,n

2

c

nxN

1P

l

Kll

l

Kll

Obrigado!

Felippe de Souza

[email protected]

Departamento de Engenharia Eletromecânica

Documents

“Séries de Fourier” - webx.ubi.ptwebx.ubi.pt/~felippe/texts2/analise_sinais_ppt07p.pdf · e as equações que definem ak e bk são conhecidas como as “ equação de análise