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Sries de Fourier
Aula 7
Anlise de Fourier (tambm chamada de Anlise Harmnica), que diz respeito representao de sinais como uma soma (ou melhor dizendo, uma combinao linear) de sinais bsicos como senos e co-senos, ou exponenciais complexas.
A Anlise de Fourier permite decompor um sinal nas suas componentes em frequncia (harmnicos) e tem muitas aplicaes no Processamento de sinal, no Processamento de imagem, na Fsica em vrias aplicaes, na Probabilidade e Estatstica assim como em muitas outras reas.
Antes de Fourier trs fsicos j tinham feito estudos preliminares em sries infinitas para resolverem problemas diversos da Fsica: suoLeonhard Euler (1707-1783), o francs Jean Le Rond d'Alembert(1717-1783) e o holands Daniel Bernoulli (1700-1782).
Sries de Fourier______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Jean Baptiste Joseph Fourier(francs, 1768-1830)
Fourier foi o primeiro a fazer um estudo sistemtico das sries infinitas para resolver a equao da propagao do calor na Fsica, na publicao Mmoire sur lathorie de la chaleur, embora ele no tenha expresso os seus resultados com grande formalismo.
Somente uns anos mais tarde que dois matemticos alemes: Dirichlet (1805-1859) e Riemann (1826-1866), expressaram os resultados de Fouriercom mais rigor e preciso.
Sries de Fourier______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Srie de Fourier (sinal peridico da onda quadrada)
Sries de Fourier______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Srie de Fourier trigonomtricapara sinais contnuos
Sries de Fourier______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Srie de Fourier trigonomtrica para sinais contnuos
Considere um sinal peridico contnuo
x(t) R {conjunto dos nmeros reais}, t.
T = perodo fundamental do sinal x(t)
o = frequncia fundamental do sinal x(t)
( ) ( )[ ]
=
=
++=
=
+
+=
1k
okok0
1k
kk0
tksenbtkcosa2
a
tkT
2senbtk
T
2cosa
2
a)t(x
onde:
Este sinal x(t) pode ser expresso como:
Sries de Fourier______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
T
2o
=
( )
=
=
=
T
o
T
k
dttkcos)t(xT
2
dttkT
2cos)t(x
T
2a
( )
=
=
=
T
o
T
k
dttksen)t(xT
2
dttkT
2sen)t(x
T
2b
k = 0, 1, 2,
k = 1, 2,
onde as integrais acima so tomadas ao longo do intervalo do
perodo T do sinal peridico x(t).
Sries de Fourier______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Alm disso, ao fazendo k = 0, pode ser reescrito de forma mais simplificada pois, como
( ) 0, k para,1tkcostkT
2cos o ===
ento,
=T
o dt)t(xT
2a
ou seja, ao de certa forma representa um valor mdio do sinal x(t) no
intervalo de um perodo T.
Sries de Fourier______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
( ) ( )[ ]
=
=
++=
=
+
+=
1k
okok0
1k
kk0
tksenbtkcosa2
a
tkT
2senbtk
T
2cosa
2
a)t(x
Esta srie conhecida como srie trigonomtrica de Fourier pois contm termos com senos e co-senos.
A equao acima, da srie, conhecida como a equao de sntese
Sries de Fourier______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
e as equaes que definem ak e bk so conhecidas como as equao de anlise.
( )
=
=
=
T
o
T
k
dttkcos)t(xT
2
dttkT
2cos)t(x
T
2a
k = 0, 1, 2,
k = 1, 2, ( )
=
=
=
T
o
T
k
dttksen)t(xT
2
dttkT
2sen)t(x
T
2b
Sries de Fourier______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
x(t) um sinal seccionalmente contnuo(ou, tambm chamado de contnuo por partes)
x(t) um sinal seccionalmente diferencivel se ambos x(t) e sua derivada
x(t) forem sinais seccionalmente contnuos.
( quase todos, sinais de interesse prtico so seccionalmente diferenciveis )
Sries de Fourier______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
se x(t) tem um nmero limitado de descontinuidades em qualquer intervalo limitado.
Se x(t) um sinal peridico seccionalmente diferencivel e de perodo T,
ento a srie de Fourier converge em cada ponto t para:
Teorema de Fourier
a) x(t), se o sinal x(t) for contnuo no instante t;
b) [ x(t+0+) + x(t+0-) ], se o sinal x(t) for descontnuo no instante t.
Um ponto positivo deste resultado que a limitao do Teorema de Fourieracima muito leve pois a grande maioria dos, ou quase todos, sinais de interesse prtico so seccionalmente diferenciveis.
O Teorema de Fourier acima assegura que, para os sinais x(t) que forem aproximados pela srie de Fourier, quanto mais termos da srie (ou parcelas da soma) forem adicionados, melhor ser a aproximao.
Sries de Fourier______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
nos casos em que x(t) for um sinal contnuo no instante t; e
Ou seja, se chamarmos de xn(t) srie de Fourier com n termos, ento:
)t(x)t(x n
[ ]2
)0t(x)0t(x)t(x n
+ +++
nos casos em que x(t) no for um sinal contnuo no instante t.
Sries de Fourier______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Exemplo 7.1
Considere o sinal x(t) dado abaixo (onda quadrada), definido num intervalo
(de t = 1 at t = 1)
Agora x(t), sendo um sinal peridico t ( < t < ) j pode ser aproximadopor uma srie de Fourier
Repetindo-se (ou estendendo-se) este padro para a direita de t = 1 e para
esquerda de t = 1, obtemos um sinal peridico para t ( < t < ).
De forma semelhante podemos estender qualquer outro sinal definido em um determinado intervalo finito e torn-lo peridico de forma a podermos aproxim-lo por uma srie de Fourier
Sries de Fourier______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Calculando-se agora os coeficientes de Fourier para o sinal da onda quadrada
definido acima temos, para ao primeiramente,
0dt)1(dt)1(dt)t(xT
2a
1
0
0
1T
o =+==
Como o perodo fundamental T = 2, ento o = 2/T =
e portanto,
( )
( ) ( )
( )[ ] ( )[ ]( )
... 2, 1, k ,0
tksentksenk
1
dttkcos1dttkcos)1(
dttkcos)t(xT
2a
1
0
0
1
1
0
0
1
1
1k
==
=+
=
=+=
==
Sries de Fourier______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Logo os aks so todos iguais a zero k = 0, 1, 2,
Quanto aos bks, temos que:
( )
( ) ( )
( )[ ] ( )[ ]( )10
0
1
1
0
0
1
1
1k
tkcostkcosk
1
dttksen1dttksen)1(
dttksen)t(xT
2b
+
=
=+=
==
e portanto,
=mparkse
parkse
,k
4
,0
bk
Sries de Fourier______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
ou seja,
= 4b1
0b2 =
=
3
4b3
0b4 =
=
5
4b5
0b6 =
=
7
4b7
0b8 =
=
9
4b9
0b10 =
=
11
4b11
0b12 =
etc.
Sries de Fourier______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
=
13
4b13
0b14 =
=
1