“Séries de Fourier” - webx.ubi. felippe/texts2/analise_sinais_  · e as equações que

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  • Sries de Fourier

    Aula 7

  • Anlise de Fourier (tambm chamada de Anlise Harmnica), que diz respeito representao de sinais como uma soma (ou melhor dizendo, uma combinao linear) de sinais bsicos como senos e co-senos, ou exponenciais complexas.

    A Anlise de Fourier permite decompor um sinal nas suas componentes em frequncia (harmnicos) e tem muitas aplicaes no Processamento de sinal, no Processamento de imagem, na Fsica em vrias aplicaes, na Probabilidade e Estatstica assim como em muitas outras reas.

    Antes de Fourier trs fsicos j tinham feito estudos preliminares em sries infinitas para resolverem problemas diversos da Fsica: suoLeonhard Euler (1707-1783), o francs Jean Le Rond d'Alembert(1717-1783) e o holands Daniel Bernoulli (1700-1782).

    Sries de Fourier______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

  • Jean Baptiste Joseph Fourier(francs, 1768-1830)

    Fourier foi o primeiro a fazer um estudo sistemtico das sries infinitas para resolver a equao da propagao do calor na Fsica, na publicao Mmoire sur lathorie de la chaleur, embora ele no tenha expresso os seus resultados com grande formalismo.

    Somente uns anos mais tarde que dois matemticos alemes: Dirichlet (1805-1859) e Riemann (1826-1866), expressaram os resultados de Fouriercom mais rigor e preciso.

    Sries de Fourier______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

  • Srie de Fourier (sinal peridico da onda quadrada)

    Sries de Fourier______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

  • Srie de Fourier trigonomtricapara sinais contnuos

    Sries de Fourier______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

  • Srie de Fourier trigonomtrica para sinais contnuos

    Considere um sinal peridico contnuo

    x(t) R {conjunto dos nmeros reais}, t.

    T = perodo fundamental do sinal x(t)

    o = frequncia fundamental do sinal x(t)

    ( ) ( )[ ]

    =

    =

    ++=

    =

    +

    +=

    1k

    okok0

    1k

    kk0

    tksenbtkcosa2

    a

    tkT

    2senbtk

    T

    2cosa

    2

    a)t(x

    onde:

    Este sinal x(t) pode ser expresso como:

    Sries de Fourier______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

    T

    2o

    =

  • ( )

    =

    =

    =

    T

    o

    T

    k

    dttkcos)t(xT

    2

    dttkT

    2cos)t(x

    T

    2a

    ( )

    =

    =

    =

    T

    o

    T

    k

    dttksen)t(xT

    2

    dttkT

    2sen)t(x

    T

    2b

    k = 0, 1, 2,

    k = 1, 2,

    onde as integrais acima so tomadas ao longo do intervalo do

    perodo T do sinal peridico x(t).

    Sries de Fourier______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

  • Alm disso, ao fazendo k = 0, pode ser reescrito de forma mais simplificada pois, como

    ( ) 0, k para,1tkcostkT

    2cos o ===

    ento,

    =T

    o dt)t(xT

    2a

    ou seja, ao de certa forma representa um valor mdio do sinal x(t) no

    intervalo de um perodo T.

    Sries de Fourier______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

  • ( ) ( )[ ]

    =

    =

    ++=

    =

    +

    +=

    1k

    okok0

    1k

    kk0

    tksenbtkcosa2

    a

    tkT

    2senbtk

    T

    2cosa

    2

    a)t(x

    Esta srie conhecida como srie trigonomtrica de Fourier pois contm termos com senos e co-senos.

    A equao acima, da srie, conhecida como a equao de sntese

    Sries de Fourier______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

  • e as equaes que definem ak e bk so conhecidas como as equao de anlise.

    ( )

    =

    =

    =

    T

    o

    T

    k

    dttkcos)t(xT

    2

    dttkT

    2cos)t(x

    T

    2a

    k = 0, 1, 2,

    k = 1, 2, ( )

    =

    =

    =

    T

    o

    T

    k

    dttksen)t(xT

    2

    dttkT

    2sen)t(x

    T

    2b

    Sries de Fourier______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

  • x(t) um sinal seccionalmente contnuo(ou, tambm chamado de contnuo por partes)

    x(t) um sinal seccionalmente diferencivel se ambos x(t) e sua derivada

    x(t) forem sinais seccionalmente contnuos.

    ( quase todos, sinais de interesse prtico so seccionalmente diferenciveis )

    Sries de Fourier______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

    se x(t) tem um nmero limitado de descontinuidades em qualquer intervalo limitado.

  • Se x(t) um sinal peridico seccionalmente diferencivel e de perodo T,

    ento a srie de Fourier converge em cada ponto t para:

    Teorema de Fourier

    a) x(t), se o sinal x(t) for contnuo no instante t;

    b) [ x(t+0+) + x(t+0-) ], se o sinal x(t) for descontnuo no instante t.

    Um ponto positivo deste resultado que a limitao do Teorema de Fourieracima muito leve pois a grande maioria dos, ou quase todos, sinais de interesse prtico so seccionalmente diferenciveis.

    O Teorema de Fourier acima assegura que, para os sinais x(t) que forem aproximados pela srie de Fourier, quanto mais termos da srie (ou parcelas da soma) forem adicionados, melhor ser a aproximao.

    Sries de Fourier______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

  • nos casos em que x(t) for um sinal contnuo no instante t; e

    Ou seja, se chamarmos de xn(t) srie de Fourier com n termos, ento:

    )t(x)t(x n

    [ ]2

    )0t(x)0t(x)t(x n

    + +++

    nos casos em que x(t) no for um sinal contnuo no instante t.

    Sries de Fourier______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

  • Exemplo 7.1

    Considere o sinal x(t) dado abaixo (onda quadrada), definido num intervalo

    (de t = 1 at t = 1)

  • Agora x(t), sendo um sinal peridico t ( < t < ) j pode ser aproximadopor uma srie de Fourier

    Repetindo-se (ou estendendo-se) este padro para a direita de t = 1 e para

    esquerda de t = 1, obtemos um sinal peridico para t ( < t < ).

    De forma semelhante podemos estender qualquer outro sinal definido em um determinado intervalo finito e torn-lo peridico de forma a podermos aproxim-lo por uma srie de Fourier

    Sries de Fourier______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

  • Calculando-se agora os coeficientes de Fourier para o sinal da onda quadrada

    definido acima temos, para ao primeiramente,

    0dt)1(dt)1(dt)t(xT

    2a

    1

    0

    0

    1T

    o =+==

    Como o perodo fundamental T = 2, ento o = 2/T =

    e portanto,

    ( )

    ( ) ( )

    ( )[ ] ( )[ ]( )

    ... 2, 1, k ,0

    tksentksenk

    1

    dttkcos1dttkcos)1(

    dttkcos)t(xT

    2a

    1

    0

    0

    1

    1

    0

    0

    1

    1

    1k

    ==

    =+

    =

    =+=

    ==

    Sries de Fourier______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

  • Logo os aks so todos iguais a zero k = 0, 1, 2,

    Quanto aos bks, temos que:

    ( )

    ( ) ( )

    ( )[ ] ( )[ ]( )10

    0

    1

    1

    0

    0

    1

    1

    1k

    tkcostkcosk

    1

    dttksen1dttksen)1(

    dttksen)t(xT

    2b

    +

    =

    =+=

    ==

    e portanto,

    =mparkse

    parkse

    ,k

    4

    ,0

    bk

    Sries de Fourier______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

  • ou seja,

    = 4b1

    0b2 =

    =

    3

    4b3

    0b4 =

    =

    5

    4b5

    0b6 =

    =

    7

    4b7

    0b8 =

    =

    9

    4b9

    0b10 =

    =

    11

    4b11

    0b12 =

    etc.

    Sries de Fourier______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

    =

    13

    4b13

    0b14 =

    =

    1