Séries Temporais - Autenticação · Metodologia de análise de séries temporais; ... (Filtros lineares de médias móveis ... Cronograma de sucessão tendência linear Realização

Séries TemporaisSéries Temporais(Sucessões Cronológicas)(Sucessões Cronológicas)

Uma introduçãoUma introdução

Parcialmente adaptado de notas de Alex Trindade

Department of Statistics

University of Florida

www.stat.ufl.edu/~trindade/sta6934

Fernando de Oliveira Durão(Documento Provisório)

Sumário (1/2)1. Introdução

1.1 Definição. Exemplos de séries temporais reais

1.2 Padrões de séries temporais estacionárias

1.3 Padrões de séries temporais não estacionárias

1.4 Objectivos e Limitações do capítulo

1.5 Pré-requisitos

1.6. Metodologia de análise de séries temporais;

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Séries TemporaisSéries Temporais

Uma IntroduçãoUma Introdução

2

1.6. Metodologia de análise de séries temporais;

1.7. Processos Estocásticos (Funções Aleatórias) Estacionários;

1.8. As funções média, de autocovariância e de autocorrelação; Definições;

1.9. Estimadores e estimativas amostrais

2. Estimação e/ou remoção de Tendência e Sazonalidade.2.1. Estimação/remoção de tendência (Filtros lineares de médias móveis centradas;

Médias móveis pesadas exponencialmente (geometricamente); Exemplos;Regressão; Diferenciação (Operador atraso e operador diferença de ordem k;Exemplos)

2.2. Estimação/remoção de componente cíclica sazonal (Decomposição clássica; Exemplo; Diferenciação. Operador diferença sazonal. Exemplo);

2.3. Estimação/remoção das components de tendência e de sazonalidadeCombinação de métodos em 2.1 e 2.2

2.4. Teste da hipótese nula de série residual aleatória pura.Estatísticas teste

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Sumário (2/2)Sumário (2/2)

3. Introdução aos modelos lineares de processos estocásticos estacionários.3.1 Os modelos autoregressivos de ordem p (AR( p)). (3.1.1 Condições de estacionaridade e

causalidade; 3.1.2 A representação média móvel de ordem infinita (MA(∞)); 3.1.3 As funções de

autocovariância, autocorrelação e autocorrelação parcial.)

3.2 Os modelos médias móveis de ordem q (MA( q)). (3.2.1 Condições de invertibilidade;

3.2.2 A representação autoregressiva de ordem infinita (AR(∞)); 3.2.3 As funções de autocovariância,

autocorrelação e autocorrelação parcial.)

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal



3

autocorrelação e autocorrelação parcial.)

3.3. Os modelos mistos ARMA( p, q)

3.4. Métodos de estimação de parâmetros. (3.4.1. Método dos momentos. Estimadores de Yule-Walker

(caso AR); 3.4.2. Método dos Mínimos Quadrados. Lineares (caso AR); Não Lineares (Casos MA e

ARMA); Métodos numéricos de optimização; Distribuições (por amostragem) assimptóticas dos

estimadores de Mínimos Quadrados; 3.4.3. Referência ao Método da Máxima Verosimilhança)

3.5. Avaliação da qualidade estatística do modelo e da qualidade do ajustamento

(análise da sucessão residual)

4. Breve introdução ao problema da previsãoPreditores lineares não enviesados e de variância (do erro de previsão a um passo adiante)

mínima.

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

1. 1. IntroduIntroduçãoção

1.1 Definição: Série Temporal é um conjunto/colecção ordenado/a de valores de uma dada variável observados a intervalos regulares, representando-se por Xt , o valor observado da variável X no instante t (t=1,2,…,N)

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal



4

Exemplos de Séries/Sucessões

Examinar cronogramas (time plots) exibindo:� tendência no tempo;� componentes/movimentos/flutuações sazonal/cíclica/periódica;� variação da amplitude das oscilações (variância) ao longo do tempo;� outras características sistemáticas.

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Mortes por acidente nos E.U.A. (DEATHS.TSM)� Totais mensais: Janeiro de 1973 a Dezembro de 1978.� Forte padrão sazonal: alto em Julho, baixo em Fevereiro

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal



5

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

População dos E.U.A (USPOP.TSM)� Unidade de tempo: Intervalo de 10 anos (décadas) (1790 a 1990.)� Tendência exponencial.� Pouca ou nenhuma variabilidade errática/irregular/aleatória.

Am

bie

nta

lA

mb

ien

tal



6

Est

atí

stic

a

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Am

bie

nta

l

Índice Dow-Jones (DJAO2.TSM)� 251 dias úteis consecutivos (1 ano), terminando em 26/08/1994.� Um passeio aleatório ?

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal



7

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Nível do Lago Huron (LAKE.TSM)� Níveis anuais (pés): 1875-1972.

� Tendência (linear) decrescente.

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal



8

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Passageiros de linha aérea (AIRPASS.TSM)� Totais mensais: Janeiro de 1949 a Dezembro de 1960;� Forte efeito sazonal: alto no Verão, baixo no Inverno. � Tendência linear (?) crescente.

� Variabilidade (variância das flutuações) crescente.

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal



9

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Temperaturas Anuais Globais à Superfície da Terra� Médias anuais à superfície da Terra: 1856 a 2005.� Expressas como anomalias (desvios) da média do período de base/referência 1961-

1990, em graus Celsius. � Tendência complicada (Aquecimento global (mau agoiro)!).

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal



10

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal



11

1.2 Padrões de séries estacionárias1.2 Padrões de séries estacionárias

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal



Realização de processo estacionário{ } ( )0 1 2 00.50 0.24 , 1, 2,..., 2.60, 0, 2t t t t tX X X X w t X w N− −= + + + = = ∼

tX µ−

12

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

{ } 10tXµ = =E

( ) ( ) { } ( )1 20.50 0.24 , 1, 2,..., 10, 0, 2t t t t t

X X X w t w Nµ µ µ µ− −= + − + − + = = ∼

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal



Realização de processo estacionário{ } ( )1 20.50 0.24 , 1,2,..., 10, 0, 2t t t t tX w w w t w Nµ µ− −= + + + = = ∼

13

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal



14

1.3 Padrões de séries não estacionárias1.3 Padrões de séries não estacionárias

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal



Realização de processos não estacionáriosCronogramas

15

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal



Cronograma de sucessão com componente sazonal

Realização de processos não estacionários

16

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal



Cronograma de sucessão não estacionária em variânciaRealização de processos não estacionários

17

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal



Cronograma de sucessão tendência linear


18

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal



Sucessão com tendência linear e componente sazonal na forma aditiva


19

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal



Sucessão com tendência linear e componente sazonal na forma multiplicativa


20

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal



Sucessão com tendência linear e variância crescente com tendênciaRealização de processos não estacionários

21

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal



Sucessão com intervenção no momento igual a 48Realização de processos não estacionários

22

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal



Sucessões de entrada e saída de umprocesso de separação

Pro

cess

o de

Sep

araç

ão

Identificação de Sistemas

23

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Pro

cess

o de

Sep

araç

ão

Exemplo: Detecção de sinal (SIGNAL.TSM)O ficheiro contem 200 observações do modelo “sinal mais ruído”

cos( /10) , { } ~ (0,1/ 4)t t tX t w w IID N= +

O foco aqui é a estimação do sinal, por alisamento (amortecimento) (smoothing) da série. Este alisamento

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal



24

(amortecimento) (smoothing) da série. Este alisamento pode ser obtido exprimindo a sequência/sucessão {Xt} como uma soma de ondas simusoidais de várias frequências, e eliminando as ondas componentes de alta frequência (alisamento espectral - spectral smoothing). Retendo apenas uma fracção de 3.5 % das baixas frequências, parece resultar bem neste exemplo.

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal



cos( /10) , { } ~ (0,1/ 4)t t tX t w w IID N= +

Sinal + Ruído

25

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal



( , 3.5 /100)t tY smoothfo X f= =

Sinal filtrado

26

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal



t t tw X Y= −

Ruído estimado

27

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

1.4 Objectivos (Razão de ser deste capítulo)

Os valores observados de uma variável a intervalos de tempo mais ou menos

regulares estão usualmente autocorrelacionados. Esta característica exige

técnicas/metodologias de modelação mais complicadas do que as que são

utilizadas na análise de observações independentes. Muito importante: a

presença de autocorrelação pode e deve ser explorada na previsão de valores

futuros.

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal



28

As principais motivações para o estudo de séries temporias

Descrição: Representação gráfica das observações no tempo proporciona uma visão geral da

variável em estudo. Mostra que tipo de variações ocorrem no tempo, se existe tendência ousazonalidade, valores anómalos, pontos de viragem, etc.

Explicação: Construção de modelo matemático que explique a variabilidade observada nos dados.

Previsão: Baseado no modelo, prever, com algum grau de confiança, os valores das observações

futuras.

Controlo: Se os valores futuros previstos se afastam de valores de referência (metas), modificar

factores que influenciam a variável observada e assim corrigir trajectória futura.

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Limitações (do capítulo)

As metodologias apresentadas neste capítulo são aplicáveis à

análise, no domínio do tempo, de séries temporais:

(i) de variáveis que são quantitativas (uma medição);

(ii) com observações feitas a intervalos regularmente espaçados

(não existem lacunas (missing values));

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal



29

(não existem lacunas (missing values));

(iii) univariadas (séries de uma só variável).

1.5 Pré-requisitos

Disciplina de Probabilidades e EstatísticaEst

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

1.6 Metodologia de Análise de Séries Temporais

Passo 1: Modelar quaisquer componentes determinísticas de

tendência e/ou de sazonalidade que possam estar presentes,

e removê-las dos dados.

Passo 2: Escolher, de entre uma família de modelos de

probabilidade, aquele (o) que melhor representa os

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal



30

probabilidade, aquele (o) que melhor representa os

resíduos obtidos no Passo 1.

Passo 3: Estimar os parâmetros do modelo escolhido.

Passo 4: Avaliar qualidade do modelo e do ajustamento.

Passo 5: Modelo resultante:

� Constitui descrição compacta dos dados, e pode ser usado em

interpretação/descrição futuras em lugar dos dados

� Realizar inferências in-sample e.g. intervalos de confiança e

testes de hipóteses sobre os parâmetros do modelo (Passo 4);

� Realizar inferências out-of-sample i.e. previsão.

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal



{ }

1O conjunto ordenado , dos valores observados da variável no

intervalo de tempo , constitui, ou pode ser visto como, uma

(parcial) de , ou função aleatória,

t tx X,

T N t

=

= ∆

realização processo estocástico

N

,

1,2,...tX

t =

1.7 Processos estocásticos estacionários

31

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal



{ }

,

∞

= 0

Um processo estocástico , é uma família infinita de variáveis

aleatórias

t

t t

X

X

Va

riá

vel

ale

ató

ria

Xt, t

= 1

0

Va

riá

vel

ale

ató

ria

Xt(

x),

t =

80


32

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Va

riá

vel

ale

ató

ria

X

Va

riá

vel

ale

ató

ria

X

Outras realizações possíveis

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal



É, no mínimo, necessário , a partir de ,

a estrutura de covariância/correlação entre pares de variáveis

aleatórias que constituem a família.

inferir uma realização1.7 Processos estocásticos estacionários

33

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal



Para que se possa inferir, a partir dos dados disponíveis, a estrutura de correlação

entre pares de variáveis aleatórias, é necessário admitir a estacionaridade até ordem 2

da função aleatória. A estaci é sinónimo de invariância da função

distribuição conjunta de pares de variáveis aleatórias por translação dos seus pontos de

apoio.

onaridade de ordem 2

Fu

nçõ

es d

ensi

dad

e d

e p

rob

ab

ilid

ad

e d

e p

are

s d

e vari

ávei

s

ale

ató

rias

com

dif

eren

tes

coef

icie

nte

s d

e co

rrel

açã

o


34

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Fu

nçõ

es d

ensi

dad

e d

e p

rob

ab

ilid

ad

e d

e p

are

s d

e vari

ávei

s

ale

ató

rias

com

dif

eren

tes

coef

icie

nte

s d

e co

rrel

açã

o

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal



{ }tX µ=E


Se for uma função aleatória estacionária de ordem 2 então:tX

35

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

( )( ){ } ( ) ( ),t h tX X C t h t C hµ µ+ − − = + =E

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal




Se é estacionário, a (ACVF)

do define-se como:tX

k

função de autocovariância

desfasamento

= = +( ) ( ,0) ( , ) C k C k C t k t

36

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

( ) ( )ρ ρ≤ ≤

A ACF é uma verdadeira função de correlação; Mostra-se que,

para cada , -1 1. Notar que 0 =1. k k

e a sua (ACF) do desfasamento

como:

kfunção de autocorrelação

ρ += = ( ) ( ) / (0) ( , ).t k tk C k C Corr X X

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal



( ) ( )

≥

≤

A ACVF goza das seguintes propriedades básicas:

1. (0) 0,

2. 0 , para todo o ,

C

C k C k


37

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

( ) ( )≤

=

2. 0 , para todo o ,

3. ( ) (- ), para todo o .

C k C k

C k C k k

φ 1

Define-se também a noção de

(PACF) de { } para o

desfasamento , , como sendo a correlação entre e

X , ajustada para as observações intervenientes ,..., .

t

kk

X

k X

X X

função de autocorrelação parcial

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal




38

k+1 2X , ajustada para as observações intervenientes ,..., .

DefikX X

φ00nir = 1.

As funções ACF e PACF desempenham papel chave na

identificação das ordens dos modelos ARMA.

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal



{ }

{ }{ }

2 20

A sucessão { } é um processo (estocástico)

( ) se:

1. 0,

2. ,

3. 0, para k 0.t

t

t

k t k t

X

X

c X e

c X X

µ

σ

+

= =

= =

= = >

ruído branco

white noise

E

E

E

39

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

e escreve-se { }tX ∼ 2(0, ).

Os 's são não correlacionados.t

WN

X

σ

σ∼ 2

A sucessão { } é um processo ruído branco IID, se é

ruído branco, mas com os ' independentes.

Escreve-se

{ } (0, ).

Os ' são indepedentes.

t

t

t

t

X

X s

X IID

X s

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal



Dados observados{ } 1 21

, ,...,N

t Ntx x x x

==

Média amostral

1.9 Estimadores/Estimativas das funções Média, Autocovariância (ACVF), autocorrelação (ACF) eAutocorrelação parcial (PACF)

40

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

=

= ∑1

1

N

tt

x xN

Função de autocovariância (ACVF) amostral

1

1ˆ ( )( ) 0 1

N k

k t k tt

c x x x x , k NN

−

+=

= − − ≤ ≤ −∑

Função de autocorrelação (ACF) amostral

0ˆ , 0 1ˆk kc c k Nρ = ≤ ≤ −

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal



ρ

≥

∼

Se os dados são observações de ruído branco IID, então

(aprox.):

(0,1/ ),ˆ

para grande e para todo o 1. Isto significa que

k IID N N

N k

41

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

≥para grande e para todo o 1. Isto significa que

aproximadamente 95% dos valores amostrai

N k

φ

±

s da ACF

estarão contidos no intervalo com limites:

1.96

ˆConclusões similares valem para o estimador, , da

função PACF.kk

N

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal



Realização de 200 observações de processoruído branco Gaussiano Xt ~ WN(0,1).

42

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal



Função de Autocorrelação (ACF) estimada a partir deRealização de ruído branco Gaussiano Xt ~ WN(0,1).

43

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal



Função Autocorrelação Parcial (PACF) estimada a partirde realização de ruído branco Gaussiano Xt ~ WN(0,1).

44

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

2. Estimação e Remoção de Tendência e SazonalidadeNa Decomposição Clássica de uma Série Temporal

Xt = mt + st + Yt

� mt : componente Tendência (determinística, varia lentamente com t);� st : componente Sazonal (determinística, de período d bem definido);

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal



45

t

� Yt : componente Ruído/Resíduo (errática/aleatória, estacionária).

Objectivo: Numa das abordagens, dita de Box e Jenkins, extraircomponentes mt e st, e esperar que Yt seja estacionária, concentrando esforços na modelação de Yt.

NOTA: Poderão ser necessárias transformações preliminares se a variabilidade (variância) do Ruído/Resíduo ou a amplitude da flutuação sazonal pareça mudar com o tempo.

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal



Exemplo: transformação logarítmica da série em AIRPASS.TSM

para estabilizar as flutuações/oscilações sazonais.

46

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

∑ ∑1 1q q

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal



2.1 Estimação e Eliminação da Tendência

Modelo não sazonal com tendência:

(a) Amortecimento Média Móvel Centrada/Simétrica

Considere-se o filtro média móvel finita centrada:

, ( ) 0.t t t tX m Y Y= + =E

47

θ θ+ +=− =−

= = = − ≤ ≤+ +∑ ∑ ,

1 1,

2 1 2 1t t j t j

q q

j jj q j qW X X q j q

q q

( ) ( )1 1

02 1 2 1

q q

t t j t j tj q j qW m Y m

q q+ +=− =−

= + ≈ ++ +∑ ∑

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Se mt é aproximadamente linear em [t-q, t+q], obtem-se:

É um procedimento equivalente à aplicação de um filtro linear:

θ +=−

= ≈

∑ j

q

t t j tj q

Z x mFiltro Linear{ }tx

Escolhendo q demasiado pequeno (grande), resulta numa série que é demasiado errática (amortecida/alisada)

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal



Se a tendência é um polinómio de grau ≥ 2, outras escolhas dos pesos {θj} pode também ser usadas que atenuarão efectivamente o ruído e deixará passar a tendência sem distorção.

48

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

( )− + +

−+

=− += +∑

1

1

10.5 0.5

2t t q t j t q

q

j qW X X X

q

Nota: Quando, como se verá mais à frente, se lida com período d = 2q (período par), em vez de d=2q+1 (período ímpar), o filtro média móvel é modficado como se segue:

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal



Exemplo: alisamento da série em STRIKES.TSM comq = 2 e q = 4.

49

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal



(b) Amortecimento exponencial simples (SES)

( ) , 11 2, , (0 1)ˆ ˆt t tm X m t Nα α α−= + − = … ≤ ≤1 1m̂ X=

Máximo (mínimo) amortecimento obtido com α=0 (α=1).

Alternativamente

( ) , 1 1 2, , (0 1)ˆ ˆ ˆt t t tm m X m t Nα α− −= + − = … ≤ ≤

50

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

( )1

0

, com 1 ,ˆt

j

t j t j j

j

m Xθ θ α α−

−=

= = −∑

Por substituição recursiva, obtem-se a expressão de um filtro linear

O amortecimento exponencial simples é uma média móvel infinita não centrada cujos pesos θj constituem uma progressão geométrica de razão r (r = 1-α, α < 1).

Diz-se, por isto, que é uma média móvel pesada exponencialmente.(Os pesos decaem exponencialmente)

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal



( )

( )( )( )( )

1

0

1

0

, com 1 , 1

1 11

1 1

tj

j j

j

tt

j

j

S

S

θ θ α α α

α αα α

α

−

=

−

=

= = − <

− −= − =

− −

∑

∑

A soma dos pesos

51

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

( )

( )( )0 1 1

1 1lim lim 1

j

t

t tS

α

α α

α

=

→∞ →∞

− −

− −= =

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal



Exemplo: alisamento da série em STRIKES.TSM com

α = 0.4 e α = 0.2.

52

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

(c) Amortecimento espectral

Amortece por eliminação de uma fracção, 1-f, das componentes de alta frequência na expansão em série de Fourier de {Xt}.

Máximo (mínimo) amortecimento obtido com f = 0 (f = 1).

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal



53

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal



Exemplo: alisamento da série em STRIKES.TSM com

f = 0.4 e f = 0.2.

54

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal



(d) Regressão (Ajustamento) Polinomial

Pode modelar-se a componente tendência através de um polinómio de grau apropriado. Estimar os respectivos coeficientes pelo Método de Mínimos Quadrados(Regressão linear múltipla).

55

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal



Exemplo: Ajustamento de polinómio cúbico a dadosem STRIKES.TSM

56

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal



O ( ), , é definido por: Boperador atraso backshift operator

(e) Diferenciando k vezes para eliminar a tendência

Por aplicação recursiva da definição, a -ésima potência dok

-1t tBX X=

Definições

57

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

operador atraso é dada por

O , , é definido por: ∇operador diferença

( )( ) ( )1

( 1)

k k

t t t k t kB X B B X B X X−− − −= = =

( )

-1

1

t t t

t t

t

X X X

X BX

B X

∇ = −

= −

= −

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal



são definidas por Diferenças de ordem k


( )

onde podemos expandir, pelo Teorema Binomial, o operador

1- para valores inteiros de maiores que 1:k

B k

( )1kk

B∇ = −

Definições

58

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

( )1- para valores inteiros de maiores que 1:B k

Mais frequentemente, as diferenças de ordem são obtidas

por aplicação recursiva, isto é, , para = 2

k

p.ex. k

( ) ( )0 0

1 (1) ( 1)k k

k jk k j k j j

j j

j j

B C B C B−

= =

− = − = −∑ ∑

( ) ( ) ( )( ) ( )( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

22

1

1 1 1 2

1 1 2 1 2

2 22 2

0 0

1 = 1 1 1

1 1

2

1 1 1

t t t t t

t t t t t t

t t t t t t t

j jj

j t j t j

j j

X B X B B X B X X

B X B X X X X X

X X X X X X X

C B X C X t k

−

− − − −

− − − − −

−= =

∇ = − − − = − −

= − − − = − − −

= − − + = − +

= − = − ≥ +∑ ∑

Pode-se mostrar que uma tendência polinomial de grau kde uma sucessão cronológica será reduzida a uma constante

diferenciando-a k vezes, i.e., aplicando o operador diferença

de ordem k à sucessão cronológica. .


Uma IntroduçãoUma IntroduçãoE

statí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Se a sucessão cronológica exibe tendência linear, i.e.,


59

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

( )1 0 1 0 1 1

1 1 1

1

t t t t t

t t t

X X X a a t Y a a t Y

a Y Y a Y

− −

−

∇ = − = + + − − − −

= + − = + ∇

( )0 1 0 1 t t t t tX m Y a a t Y m a a t= + = + + = +

então

Se a sucessão cronológica exibe tendência linear, i.e.,



statí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

2

1 2

2 2 2

2t t t tX X X X− −∇ = − +

( )2 2

0 1 2 0 1 2

t t t t tX m Y a a t a t Y m a a t a t= + = + + + = + +

então

Se a sucessão cronológica exibe tendência quadrática, i.e.,


60

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )( )

2 2 2

1 2

0 0 0

2 2 2

1 2

0 0 0

22

0

0

2 1 2

2 1 2 2

2 1 2

2

j jj

j t j t j t

j j j

j jj

j j j t t t

j j j

j jj

j t

j

jj j k

j k

k

a t Y a t Y a t Y

a t a t a t Y Y Y

a t t t Y

a t C t

− −= = =

− −= = =

=

=

= + − − + + − +

= − − + − + − +

= − − + − + ∇

= −

∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑

∑

∑ ( ) ( )2

2

0 0

2

2

1 1 2

2

jj k j kj k j k

k t

j k

t

C t Y

a Y

− − −

= =

− + − + ∇

= + ∇

∑ ∑

Exemplo: remover tendência de série em STRIKES.TSM por aplicação do operador diferença de ordem 1



statí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

61

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal



{ }, 0,

, e

0

t t t t

t d t

d

X s Y Y

s s

s

+

= + =

=

=∑

E

Modelo sazonal (forma aditiva) sem tendência

2.2 Estimação e Eliminação da Sazonalidade

62

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

1

0t

t

s=

=∑

(a) Decomposição clássica (Método 1)

Os efeitos sazonais, sk, k = 1,…,d, são estimados seguindo os passos resumidos a seguir:

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal



Seja

extensão da série

período do ciclo

N

d

63

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

( ), 1

,

1

período do ciclo

/ , nº de ciclos na série ( múltiplo inteiro de )

, 1,2,..., , 1,2,...,

1, 1ˆ

c

k j ck d j

d

j k j

k

d

N N d N d

X X k d j N

m X jd

+ −

=

=

= = =

= =∑

( ),

1

, ,

,2,..., (média do ciclo )

1, 1,2,..., (Efeito médio da estação )ˆ

, 1,2,..., , 1,2,...,ˆ

c

c

N

k k j j

jc

k j k j j k c

N j

s X m k d kN

Y X m s k d j N

=

= − =

= − − = =

∑

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal



Exemplo: DEATHS.TSM, período d = 12, sem tendência

64

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

sk

Yt

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal



O define-se como se segue:d∇ Operador Diferença Sazonal

(b) Diferençiação sazonal de período d

Definição

=

d t t t d

d

t t

X X X

X B X

−∇ −

= −

65

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

( )

1

t t

d

t

X B X

B X

= −

= −

- -

Como

=(1- )

= 0, pois

diferenciando a (com) ( ) eliminar-se-á a

componente sazonal de período

d

d t t

t t d t t d

X B s

s s s s

d

∇

− = =

desfasamento lag

.d

Exemplo: diferença sazonal de periodo d = 12 da série em DEATHS.TSM

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal



66

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

2.3 Estimação e Eliminação de Tendência e SazonalidadeA estimação e eliminação das componentes de tendência e

sazonalidade numa série podem ser realizadas, usando combinações das técnicas (métodos) descritas em 2.1 e 2.2.

Os procedimentos mais comuns são resumidos como se segue.

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal



67

segue.

(a) Decomposição clássicaUsa, pela ordem, os métodos 2.1(a), 2.2(a), e 2.1(d).Exemplo: DEATHS.TSM, d=12 mais termo quadrático.

(b) DiferenciaçãoUsa, pela ordem, os métodos 2.2(b) e 2.1(e).Exemplo: DEATHS.TSM, aplicar operador (1-B)(1-B12)Xt.

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Exemplos: Repetir (a) e (b) para a série transformadalogarítmica da série original em AIRPASS.TSM ou AIRPASS.DAT (Aula prática de problemas)

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal



68

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

2.4 Teste de aleatoriedade da sequência estimada de Ruído/Resíduo

Uma vez removidas as aparentes componentesdeterminísticas (tendência e sazonalidade), impõe-se avaliarse na série residual, Yt, (componente Ruído/Resíduo)resultante há evidência de dependência entre os termosdesta série. Se não há evidência, conclui-se que se trata de

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal



69

desta série. Se não há evidência, conclui-se que se trata desucessão que é realização de sequência de variáveisaleatórias independentes e identicamente distribuídas ou devariáveis aleatórias não correlacionadas, terminando oexercício de modelação matemática da série temporal.Vários métodos podem ser usados para testar ahipótese nula:

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

0 : { } tH Y IID∼

(a) ACF amostral

Avaliar desigualdade para todo o desfasamento , 1,2,...,

maxk k K=

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal



2.4 Teste de aleatoriedade da sequência estimada de

Ruído/Resíduo (Análise dos Resíduos)

70

0

| ˆ | 1.96 /

Rejectar se mais de 5% não satisfaz a desigualdade.

k n

H

ρ <

(Análise do correlograma)Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

0

(b) Testes Portmanteau

São baseados no facto, sob , de ˆ , ( 1,2,..., ) serem

variáveis aleatórias e aprox. distribuídas como (0,1), pelo

que estatística seguinte,

kH N k

IID N

ρ =

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal





71

que estatística seguinte,

( )

.2 2

1

2 2

ˆ . ( / 4, 15 30)

designa a distribuição de com graus de liberdade

Existem dois refinamentos deste teste, um por & ,

o outro

m aprox

j m

j

m

Q N m n m

m

Ljung Box

ρ χ

χ χ

=

= ≈ ≤ ≤∑ ∼

por & .McLeod Li

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal



(c) Teste do número de máximos e mínimos locais(Turning Point Test - Teste dos Pontos de Viragem)

Este teste baseia-se na ideia de que se a série {Yt} é puramente aleatória, então sequências de três valores sucessivos são igualmente



72

Se Yt-1< Yt e Yt > Yt+1 (Yt-1> Yt e Yt < Yt+1), então diz-se que a série tem um máximo local (mínimo local) no tempo t. Numa série de Nvariáveis aleatórias I.I.D., o número de máximos e mínimos locais (pontos de viragem) é uma variável aleatória aprox. N(mT, σT

2), onde mT = 2(n-2)/3, e σT

2=(16N - 29)/90.

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

aleatória, então sequências de três valores sucessivos são igualmenteprováveis de ocorrer em qualquer um dos seis padrões seguintes:

t-1 t t+1 t-1 t t+1

(d) Teste do Sinal da Diferença

Sob H0, o número, S, de pares de pontos onde yt > y t-1, é aprox. N(mS, σS

2), onde mS=(N-1)/2 e σS2=(N+1)/12. Um

grande valor positivo (negativo) de S-m implica a presença

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal





73

grande valor positivo (negativo) de S-mS implica a presença de uma tendência de crescimento (decrescimento).

(e) Teste do Rank

Sob H0, o número, P, de pares de pontos onde yt > ys, t > s, éaprox. N(mP,σP

2), com mP=N(N-1)/4 e σP2=N(N-1)(2N+5)/72.

Um grande valor positivo (negativo) de P-µP implica a presença de uma tendência de crescimento (decrescimento).

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Se se rejeitar H0 existe evidência de correlação na

sucessão {Yt}. A secção seguinte é dedicada à

apresentação de modelos lineares de processos

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal





74

estocásticos estacionários capazes de aproximar a

estrutura de autocorrelação presente na série

residual ou transformada Yt.

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Exemplos: Simular 100 valores de: WN(0,1); AR(1).

Exemplos: DEATHS.TSM, (1-B)(1-B12)Xt,

Os processos Mistos Autoregressivos e Médias Móveis, abreviado (ARMA), são uma classe importante de modelos lineares de séries temporais. Oferecem uma estrutura paramétrica flexível para aproximar o comportamento observado de processos estacionários, e prestam-se à formulação de uma teoria da previsão relativamente

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal



3. Modelos lineares ARMA

75

formulação de uma teoria da previsão relativamente simples e elegante.

Sem perda de generalidade, assume-se que {Xt} tem média 0, pois se {Yt} tem média µ, então Xt = Yt −µ tem média 0.E

statí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Uma das vias mais intuitiva de modelizar o comportamento de uma série temporal é a regressão de Xt sobre os últimos p valores passados da própria série, Xt-1 , Xt-2 ,…, Xt-p .

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal



3. Modelos lineares ARMA3.1 O modelo (processo) AR

76

O modelo resultante é dito ser Autoregressivo de ordem p

[AR(p)] :

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

2

1 -1 2 -2 -+ + , { } (0, ).t t t p t p t t w

X X X X w w WNφ φ φ σ= + +⋯ ∼

2

-

1

, { } (0, ).p

t j t j t t w

j

X X w w WNφ σ=

= +∑ ∼

Ou, mais compactamente

Factos principais

� O modelo (processo) é similar ao modelo de regressão linear múltipla, com a excepção de se estar a regredir sobre os valores passados, Xt-1,…,Xt-p da própria série.

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal




77

valores passados, Xt-1,…,Xt-p da própria série.

� O modelo é uma equação às diferenças de ordem p linear e de coeficientes constantes.

� Recorrendo ao operador atraso, B, o modelo AR(p) pode ser escrito como:

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

2 2

1 2 + + , { } (0, )p

t t t p t t t wX BX B X B X w w WNφ φ φ σ= + +⋯ ∼

Ou, transpondo para o 1º membro da equação, os termosque contém a variável ‘independente’ Xt :

2 2

1 2 , { } (0, )p

t t t p t t t wX BX B X B X w w WNφ φ φ σ− − − − =⋯ ∼

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal



3. Modelos lineares ARMA3.1 O modelo (processo) ARFactos principais (continuação)Factos principais

78

1 2 , { } (0, )t t t p t t t w

X BX B X B X w w WNφ φ φ σ− − − − =⋯ ∼

ou ainda como (pondo em evidência o factor comum):

( )2 2

1 21 , { } (0, )p

p t t t wB B B X w w WNφ φ φ σ− − − − =⋯ ∼

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

� Definindo o polinómio Autoregressivo AR(p) como:

2

1 2( ) 1 ,p

pz z z zφ φ φ φ= − − − −⋯

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal



3. Modelos lineares ARMA3.1 O modelo (processo) ARFactos principais (continuação)

79

De modo a assegurar que o processo estocástico {Xt}, representado/aproximado pelas equações (às diferenças) do modelo AR(p), é estacionário e causal (isto é, o presente depende só do passado), todas as raízes do polinómio φ(z)devem, em valor absoluto, ser maiores que 1.

pode-se escrever o modelo AR(p), concisamente, como:

( ) 2, { } (0, )t t t wB X w w WNφ σ= ∼

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

� Se o polinómio Autoregressivo φ(z), de grau p, tem raízes,em valor absoluto ou módulo maiores que 1, então a solução estacionária, Xt, da equação às diferenças

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal




Factos principais (continuação)

80

( ) 2, { } (0, ),t t t wB X w w WNφ σ= ∼

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

assume a forma

( )[ ]1

0 0

j

t t j t j t j

j j

X B w B w wφ ψ ψ∞ ∞

−

−= =

= = =∑ ∑onde

0

j

j

ψ∞

=

< ∞∑

� Para processos (modelos) AR estacionários e causais verificam-se as seguintes relações:

21. c c c cφ φ φ σ= + + + +⋯

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal




81

( )

2

0 1 1 2 2

22

1 1 2 2

1 1 2 2

1.

2. 1

3. , 1

p p w

wX

p p

k k k p k p

c c c c

k

φ φ φ σ

σσ

φ ρ φ ρ φ ρ

ρ φ ρ φ ρ φ ρ− − −

= + + + +

=− − − −

= + + + ≥

⋯

⋯

⋯

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal


Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal





21. + +c c c cφ φ φ σ= + +⋯

82

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

{ } { } { } { } { }

{ } { } { } { } { }2

2

1 -1 2 -2 -

2

1 1 2 2

2

1 1 2 2

0

+ + , { } (0, ).

X

t t t p t p t t w

t t t t t p t t p t t

t t t t t p t t p j t j t

j

X X X X w w WN

X X X X X X X X w

X X X X X X X w w

σ

φ φ φ σ

φ φ φ

φ φ φ ψ

− − −

∞

− − − −=

= + +

= + + + +

= + + + + ∑

⋯ ∼

⋯

⋯��

E E E E E

E E E E E

2

0 1 1 2 21. + +p p wc c c cφ φ φ σ= + +⋯


Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal





( )

222 . wa

σσ =

83

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

( )2

0 1 1 2 22 . 1w p pb cσ φ ρ φ ρ φ ρ= − − − −⋯2

0 1 1 2 2

2

0 1 0 1 2 0 2 0

+ +

=

p p w

p p w

c c c c

c c c c

φ φ φ σ

φ ρ φ ρ φ ρ σ

= + +

− − − −

⋯

⋯

( )2

1 1 2 2

2 . 1

wX

p p

a σφ ρ φ ρ φ ρ

=− − − −⋯

2

0 1 1 2 2

2

0 1 0 1 2 0 2 0

2 2 2 2 2

1 1 2 2

+ +

+ +

+ +

p p w

p p w

X X X p X p w

c c c c

c c c c

φ φ φ σ

φ ρ φ ρ φ ρ σ

σ φ σ ρ φ σ ρ φ σ ρ σ

= + +

= + +

= + +

⋯

⋯

⋯


Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal




1 1 2 23. , 1k k k p k p kρ φ ρ φ ρ φ ρ− − −= + + + ≥⋯

84

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

1 1 2 23. , 1k k k p k p kρ φ ρ φ ρ φ ρ− − −= + + + ≥⋯

{ } { } { } { } { }

{ } { } { }

2

1 -1 2 -2 -

-

- 1 1 2 2

- 1 1 2 2

+ + , { } (0, ).

Multiplicando, ambos os membros da eqaução, por

t t t p t p t t w

t k

t k t t k t t k t p t k t p t k t

t k t t k t t k t p t k t

X X X X w w WN

X

X X X X X X X X X w

X X X X X X X X

φ φ φ σ

φ φ φ

φ φ φ

− − − − − − −

− − − − − −

= + +

= + + + +

= + + +

⋯ ∼

⋯

⋯

E E E E E

E E E E { }

{ } { } { } { } { }

{ }

0

- 1 1 2 2

0

como 0, , vem

p j t k j t

j

t k t t k t t k t p t k t p j t k j t

j

t k j t

w w

X X X X X X X X w w

w w j

ψ

φ φ φ ψ

∞

− −=

∞

− − − − − − − −=

− −

+

= + + + +

= ∀

∑

∑⋯

E

E E E E E

E

( ) 1 1 ( ) 2 2 ( ) ( )

1 1 2 2 , 1

t t k t t k t t k p t p t k

k k k p k p

c c c c

c c c c k

φ φ φ

φ φ φ

− − − − − − − − − − −

− − −

= + + +

= + + + ≥

⋯

⋯

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal





85

1 21 2

0 0 0 0

1 1 2 2

, 1

, 1

k pk k kp

k k k p k p

cc c ck

c c c c

k

φ φ φ

ρ φ ρ φ ρ φ ρ

−− −

− − −

= + + + ≥

= + + + ≥

⋯

⋯

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

� Para um processo AR(p), os coeficientes de autocorrelação parcial φkk são iguais a 0 for k > p, i.e. a PACF anula-se para desfasamentos maiores que p. (Este facto será usado mais adiante quando se tenta identificar um modelo apropriado para

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal




86

adiante quando se tenta identificar um modelo apropriado para os dados).

�A função de autocorrelação (ACF) de um processo AR(p) decai exponencialmente.

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

( )−= + ∼1

Realização do processo Autoregressivo

Simulação do modelo AR(1) : 0.9 , 0,1t t t tX X w w WN

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal




87

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal


Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal



( )−= + ∼1

Funções de Autocorrelação (ACF) e de Autocorrelação Parcial (PACF) do modelo

0.9 , 0,1t t t tX X w w WN

88

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal


Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal



Funções de Autocorrelação (ACF) e de Autocorrelação Parcial (PACF) Estimadas

a partir de realização de 200 observações do processo AR(1)

89

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

( )−= − + ∼1

Realização de processo Autoregressivo

Simulação do modelo AR(1): 0.9 , 0,1t t t tX X w w WN

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal




90

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

( )−= − + ∼1


0.9 , 0,1t t t tX X w w WN

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal




91

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal


a partir de realização de 200 observações do processo AR(1)

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal




92

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal



Analogamente ao processo AR, o processo Média Móvelde ordem q, abreviado MA(q), regride {Xt} sobre valoresatrasados do processo Ruído Branco (WhiteNoise), {wt}:

3.2 O modelo (processo) MA

2

1 -1 2 -2 -+ + + , { } (0, ).θ θ θ σ= + ⋯ ∼t t t t q t q t wX w w w w w WN

3. Modelos lineares ARMA

93

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

1 -1 2 -2 -+ + + , { } (0, ).θ θ θ σ= + ⋯ ∼t t t t q t q t wX w w w w w WN

Recorrendo ao operador atraso, B, o modelo MA(q) pode ser escrito como:

2 2

1 2+ + + , { } (0, ).q

t t t t q t t wX w Bw B w B w w WNθ θ θ σ= + ⋯ ∼

ou ainda como (pondo em evidência o factor comum):

( )2 2

1 21 + + + , { } (0, ).t q t t wX B B w w WNθ θ θ σ= + ⋯ ∼

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal



3. Modelos lineares ARMA3.2 O modelo (processo) MAFactos principais (continuação)

� Definindo o polinómio Média Móvel MA(q) como:2

1 2( ) 1θ θ θ θ= + + + +⋯ q

qz z z z

pode escrever-se o modelo MA(q), concisamente, como:

94

� Por razões de identificabilidade dos parâmetros do modelo, e em analogia com o conceito de causalidade para os processos AR, é necessário impor uma condição adicional: que todas as raizes do polinómio θ(z) sejam, em valor absoluto ou módulo, maiores que 1. O processo resultante é dito ser invertível.

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

pode escrever-se o modelo MA(q), concisamente, como:( ) θ=t tX B w

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal




� Para um processo (modelo) Média Móvel (MA), são válidos os seguintes resultados:

{ } { } ( )1. 0 1q

X wθ θ= = =∑E E

3. Modelos lineares ARMA3.2 O modelo (processo) MA

95

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

{ } { } ( )

{ } { }

{ }

- 0

0

2 2 2 2 2

- - - -

0 0 0 0 0 0

2

0

1. 0 1

2.

0,

3. , 0,1,2,...,

4

t j t j

j

q q q q q q

t j t j k t k j k t j t k j w w j

j k j k j j

q kk t t k

w j j k

j

X w

X w w w w

k q

c X Xk q

θ θ

θ θ θ θ θ σ σ θ

σ θ θ

=

= = = = = =

−−

+=

= = =

= = = =

>

= = =

∑

∑ ∑ ∑∑ ∑ ∑

∑

E E

E E E

E

00

0,

. , 0,1,2,...,

k q kk

j j k

j

k qc

k qcρ

θ θ−

+=

>

= = =

∑


� Para um processo MA(q), ρk = 0, para k > q, i.e., a ACF anula-se para desfasamentos maiores que q. ((Este facto será usado mais adiante quando se tenta identificar um modelo apropriado

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal




96

mais adiante quando se tenta identificar um modelo apropriado para os dados).

� A função de Autocorrelação Parcial (PACF) do processo MA(q) decai exponencialmente.

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal




( )1

Realização de processo Média Móvel

Simulação do Modelo MA(1) : 0.9 , 0,1t t t tX w w w WN−= + ∼

97

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal




( )−= + ∼1


0.9 , 0,1t t t tX w w w WN

98

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal





a partir de realização de 200 observações do processo MA(1)

99

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal




( )−= − ∼1

Realização de processo Média Móvel

Simulação do Modelo MA(1) : 0.9 , 0,1t t t tX w w w WN

100

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal




( )−= − ∼1


0.9 , 0,1t t t tX w w w WN

101

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal





a partir de realização de 200 observações do processo MA(1)

102

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal



3. Modelos lineares ARMA3.3 O modelo (processo) ARMA

Embora um modelo AR(p) possa modelar/aproximarqualquer estrutura de correlação, nos casos em que a ordem p adequada é elevada, um modelo ARMA(p,q) deordem (p+q) relativamente baixa pode bastar para aproximar

103

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

ordem (p+q) relativamente baixa pode bastar para aproximara estrutura de correlação (Princípio da parcimónia).

Pode combinar-se os modelos dos processos AR(p) e MA(q),

formando-se um processo mais geral, abreviado processo

ARMA(p,q):2

1 -1 2 -2 - 1 -1 2 -2 - + + , { } (0, )t t t p t p t t t q t q t wX X X X w w w w w WNφ φ φ θ θ θ σ− − − − = + +⋯ ⋯ ∼

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal



3. Modelos lineares ARMA3.3 processo ARMA

�Usando a notação polinomial compacta AR e MA,pode-se escrever o modelo ARMA(p,q) como se segue:

Factos principais

2( ) ( ) , { } (0, ),B X B w w WNφ θ σ= ∼

104

� Em ordem a conferir ao modelo ARMA as propriedades da causalidade e da invertibilidade, é necessário que todas as raízes dos polinómios φ(z) e θ(z) sejam, em valor absoluto ou módulo, maiores que 1.

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

2( ) ( ) , { } (0, ),t t t wB X B w w WNφ θ σ= ∼

∏onde, se assume, que os polinómios φ(z) e θ(z) não∏tem factores ou raízes comuns.

� os modelo AR e MA são casos especiais: um AR(p)=ARMA(p,0), e um MA(q)=ARMA(0,q).

Factos principais

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal




105

� as funções de autocorrelação (ACF) e de autocorrelação parcial (PACF) decaem ambas exponencialmente.

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal




( )-1 -1

Realização de processo ARMA-Simulação do modelo ARMA(1,1)

0.5 0.4 , 0,1t t t t tX X w w w WN− = + ∼

106

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal




( )1 1


0.5 0.4 , 0,1t t t t tX X w w w WN− −− = + ∼

107

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal




( )1 1

Funções de Autocorrelação (ACF) e de Autocorrelação Parcial (PACF) estimadas

a partir da realização de 200 observações do processo 0.5 0.4 , 0,1t t t t tX X w w w WN− −− = + ∼

108

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal



( )-1 -2 -1

Realização de processo ARMA-Simulação do modelo ARMA(2,1)

0.75 0.56 = 0.9 , 0,1t t t t t tX X X w w w WN− + + ∼


109

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal



( )-1 -2 -1


0.75 0.56 = 0.9 , 0,1t t t t t tX X X w w w WN− + + ∼


110

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal



( )-1 -2 -1

Funções de Autocorrelação (ACF) e de Autocorrelação Parcial (PACF) estimadas

a partir da realização de 200 observações do processo

0.75 0.56 = 0.9 , 0,1t t t t t t

X X X w w w WN− + + ∼


111

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal



3.4 Métodos de estimação de parâmetros

1. / .

Escolha de e .

Selecção das ordens identificação do modelo

p q

A formulação/construção de um modelo ARMA(p,q)apropriado para representar uma série temporal estacionáriaobservada, processa-se segundo etapas interrelacionadas:

112

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

2

1 1

Escolha de e .

2.

Estimação de: , , ,..., , ,..., .

3.

w p q

p q

Estimação de parâmetros.

Teste de qualidade estatística do modelo e de

quali

µ σ φ φ θ θ

dade do ajustamento.

Estimação de parâmetros nos modelos AR(p)

a) Método dos momentos

1 -1 2 -2 -Substituindo nas primeiras relações , 1,2,...,k k k p k pp k pρ φ ρ φ ρ φ ρ= + + + =⋯

1 1 0 2 1 3 2 1 1 2 1 3 2 1

2 1 1 2 0 3 1 2 1 1 2 3 1 2

p p p p

p p p p

ρ φ ρ φ ρ φ ρ φ ρ φ φ ρ φ ρ φ ρ

ρ φ ρ φ ρ φ ρ φ ρ φ ρ φ φ ρ φ ρ

− − − −

− − −

= + + + + = + + + +

= + + + + = + + + +

⋯ ⋯

⋯ ⋯

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal



3.4 Métodos de estimação de parâmetros (p e q especificadas)

113

1 1 2

p p pρ φ ρ φ ρ− −= +

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮

2 3 3 0 1 1 2 2 3 3 p p p p p pφ ρ φ ρ φ ρ φ ρ φ ρ φ− − − −+ + + = + + + +⋯ ⋯

1 2

âs autocorrelações teóricas pelas autocorrelações estimadas , obtem-se um sistema de

ˆ ˆ ˆ equações lineares (independentes) em ordem aos estimadores, , , , , de Yule-Walker

dos parâmetros,

k k

pp

p

ρ ρ

φ φ φ

φ

…

1 2, , , , do modelo:

pφ φ…

1 1 2 1 3 2 1

2 1 1 2 3 1 2

1 1 2 2 3 3

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ



p p

p p

p p p p p

ρ φ φ ρ φ ρ φ ρ

ρ φ ρ φ φ ρ φ ρ

ρ φ ρ φ ρ φ ρ φ

−

−

− − −

= + + + +

= + + + +

= + + + +

⋯

⋯

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮

⋯

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal


Em notação matricial vectorial

ˆˆ ˆ=R rφφφφ


Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal




114

11 2 1 1

1 1 2 2 2

2 1 3 33

1 2 3

ˆˆ ˆ ˆ ˆ1

ˆˆ ˆ ˆ ˆ 1

ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ1 ; e

ˆ ˆ ˆ ˆ1 ˆ

p

p

p

p p p pp

φρ ρ ρ ρ

ρ ρ ρ φ ρ

ρ ρ ρ ρφ

ρ ρ ρ ρφ

−

−

−

− − −

= = =

⋯

⋯

⋯

⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮⋮

⋯

R rφφφφ

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

( )2

0 1 1 2 2

O estimador da variância do ruído branco é dado por

ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆˆ ˆ 1w p pcσ φ ρ φ ρ φ ρ= − − − −⋯



Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal




( )

( ) 1 2 1

Pode demonstrar-se que a distribuição por amostragem

ˆdo estimador, , de Yule-Walker é ssimptótica/

ˆcom média e variância-covariância :w p

A Normal AN

V N σ− −=

φ φ φ φ

φ φ Γφ φ Γφ φ Γφ φ Γ

115

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

( ) w p

( )( )

{ } 2

, 1

ˆ ˆ~ , .

onde , matrix, , das autocovariâncias , e

são dadas assimptoticamente por

ˆ

N

p i j wi j

p

AN V

p p c σ− =×

≃

φ φ φφ φ φφ φ φφ φ φ

ΓΓΓΓ

Γ Γ Γ Γ R

2 2ˆ w wσ σ≃


b) Método dos Mínimos Quadrados (Lineares)

-1 -2 -

O modelo ( ) é formalmente um modelo de regressão linear múltipla de

sobre , ,..., ,t t t t p

AR p

X X X X

1 -1 2 -2 - ,t t t p t p tX X X X wφ φ φ= + + + +⋯

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal




116

1 -1 2 -2 - ,t t t p t p tX X X X wφ φ φ= + + + +⋯

Estimadores dos parâmetros podem obter-se pelo Método dos Mínimos

Quadrados, i.e., por minimização da soma de quadrados condicional

Sc

( ) ( )

{ } { }

2

1 2 1 -1 2 -2 -

1

1 1

, , ,

com os valores observados das variáveis aleatórias

N

c p t t t p t p

t p

N N

t tt t

S x x x x

x X

φ φ φ φ φ φ= +

= =

= − − − −∑… ⋯

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal



Estimadores dos parâmetros podem obter-se pelo Método dos Mínimos

Quadrados, i.e., por minimização da soma de quadrados condicional Sc

( )2

2 -cS =φ φφ φφ φφ φA b

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal




117

( )( ) ( )

1 2 1 1 1

1 1 2 2 2

2 1 3 3 3

1 2 3 1

; ;

p p p p

p p p p

p p p p

N N N N p p NN p p p

x x x x x

x x x x x

x x x x x

x x x x x

φ

φ

φ

φ

− − +

+ − +

+ + +

− − − − − × ×

= = =

⋯

⋯

⋯

⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮

⋯

φφφφA b

( )( )N p−

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal



Equivalente a minimizar a soma de quadrados condicional Sc dos erros

de previsão, w, a um passo adiante

( )2

2,

com

cS =φφφφ w

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal




118

( )( )( )1 2 3 1

com

, (função linear do vector dos parâmetros)

; T

p p p N N pw w w w+ + + × −

= ⋯

φ − φ φ − φ φ − φ φ − φ w = A b

w

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

c) Método da Máxima Verosimilhança (Maximum Likelihood)

A variância dos resíduos é estimada por

( )2

ˆ

ˆc MQ

w

S

N p pσ =

− −

φφφφ



Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal




( )

( ) 1 2 1

ˆPode demonstrar-se que a distribuição por amostragem do estimador, ,

de Mínimos Quadrados é ssimptóticamente com

ˆmédia e variância-covariância w p

A Normal AN

V N σ− −=

φφφφ

φ φ Γφ φ Γφ φ Γφ φ Γ

119

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

( )( )

{ }

( )

2

, 1

1

2 2

ˆ ˆ ~ ,

onde ,matriz, , de autocovariâncias e

são dadas assimptoticamente por

,

ˆ

N

p q i j wi j

T

p

w w

AN V

p p c

N

σ

σ σ

+ − =

−

×

≃

≃

φ φ φφ φ φφ φ φφ φ φ

ΓΓΓΓ

Γ Γ Γ Γ A A



Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal




( )

( )� ( )

( )�( )( )

1 2 2

1

ˆSubstituindo por e por , obtém-se a seguinte

ˆ êstimativa de

ˆ

T

p w wN

V V

σ σ−

−

ΓΓΓΓ

β ββ ββ ββ β

A A

120

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

( )�( )( )

( )

11 2 1

11 2

ˆ ˆ

ˆ

T

w

T

w

V N N

N N

σ

σ

−− −

−−

=

=

β β β β A A

A A

( )1

2ˆ T

wσ

−

= A A

Estimação de parâmetros nos modelos MA(q) e ARMA(p, q)


A aplicação do método dos momentos aos modelos MA e ARMA

conduz a sistemas de equações que são não lineares nos parâmetros a

estimar. As questões da existência e unicidade das soluções exigem

particular atenção.

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal




121

particular atenção.

Generalizando o procedimento desenvolvido para os modelos AR, as

p+q+1 equações a resolver em ordem a p+q+1 incógnitas φ1,φ2,...,φp,

θ1,θ2,...,θq e σ2 são

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

( )

2

1 1 2 2

1

ˆ ˆ ˆ ˆ , 0

onde os são os coeficientes da representação do modelo

, que podem ser calculados pela relação seguinte (com 0)

q

k k k p k p w j j k

j k

j k

q

c c c c k p q

MA

ARMA

φ φ φ σ θ ψ

ψ

θ

− − − −=

−

+

− − − − = ≤ ≤ +

∞

=

∑⋯

( )

( )

0

min ,

min , 11

1

,, 1,2,...

que mostra que os coeficientes são funções dos parâmetros a estimar

r p

r k r kr qk

r

ψ

ψ θ φ ψ

ψ

−+=

=

= + =

∑


a) Método dos momentos (continuação)

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal




122

( )1 2 1 2 0 0

que mostra que os coeficientes são funções dos parâmetros a estimar

, ,..., , , ,..., 1, 1 .

A título ilustrativo, o sistema de e

j k

p q

ψ

φ φ φ θ θ θ φ θ

−

= =

( ) ( )( )

2 2 2 2 2

0 0 1 1

2 2

1 1

0 1 1

quações para o modelo (1) ( 1, 0)

são:

ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ 1

ˆ ˆ

tendo presente que os coeficientes são 1 e ( 0, 2,3,...).

w w

w

r r

MA q p

c

c

r

σ θ θ σ θ

σ θ

ψ ψ ψ θ ψ

= =

= + = +

=

= = = =

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal


b) Método dos Mínimos Quadrados (Não Lineares)

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal



ˆNos modelos ( , ), os erros de previsão estimados, , a um passo adiante

são definidos como se segue:

1º Os valores observados , das variáveis aleatórias , são em função dos

valor

t

t t

ARMA p q w

x X previstos

-es passados ( 1,2,..., ) e dos valores estimados (nunca observados) dost jx j p=


123

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

valor -

1 -1 2 -2 - 1 1 2 2

es passados ( 1,2,..., ) e dos valores estimados (nunca observados) dos

ˆ termos ruído (branco) ( 0,1,2,..., )

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ

2º

t j

t j

t t t p t p t t t q t q

x j p

w j q

x x x x w w w wφ φ φ θ θ θ

−

− − −

=

=

= + + + + + + + +

C

⋯ ⋯

1 2

1 1 ( 1)

aos primeiros valores observados , ,..., , e tomando

ˆ ˆ ˆ ˆ os valores estimados , ,..., ( ) iguais a 0, os erros de

ˆ previsão estimados a um passo à frente

p

p p p q q p

p x x x

w w w w− + − − − −

ondicionado

1

, 1, 2,..., são calculados

ˆ sequencialmente, começando com :

t

p

w t p p N

w

+

= + +

1 1 1 2 1 1

2 2 1 1 2 2 1 1

3 3 1 2 2 1 3 1 2 2 1

ˆ ˆ ˆˆ

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ

p p p p p

p p p p p p

p p p p p p p

w x x x x

w x x x x w

w x x x x w w

φ φ φ

φ φ φ θ

φ φ φ θ θ

+ + −

+ + + +

+ + + + + +

= − − − −

= − − − − −

= − − − − − −

⋯

⋯

⋯

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮



Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal




124

⋮ ⋮ ⋮ ⋮

1 1 2 2 1 1 2 2 1 1

1 -1 2 -2 - 1 1 2 2

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ,

p q p q p q p q p q p q p q q p

t t t t p t p t t q t q

w x x x x w w w

w x x x x w w w

φ φ φ θ θ θ

φ φ φ θ θ θ

+ + + − + − + − + − − +

− − −

= − − − − − − − −

= − − − − − − − −

⋮ ⋮ ⋮

⋯ ⋯

⋯ ⋯

1,...,t p q N= + +

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

{ }( )2

ˆ ˆ,1

O método dos Mínimos Quadrados consiste em resolver o seguinte problema

de optimização não linear (Mínimos Quadrados Não Lineares):

ˆ ˆˆ min ,N

c t

t p

S w= +

= ∑φ θφ θφ θφ θ

φ θφ θφ θφ θ

c) Método da Máxima Verosimilhança (Maximum Likelihood)

1 1 1 2 1 1

Para perceber porque o problema é agora não linear nos parâmetros a estimar,

basta substituir

ˆ ˆ ˆˆ ,

na segunda equação

p p p p pw x x x xφ φ φ+ + −= − − − −⋯



Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal




125

2 2 1 1 2 2 1 1

2 1

na segunda equação

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ

ˆ

p p p p p p

p

w x x x x w

x x

φ φ φ θ

φ

+ + + +

+

= − − − − −

= −

⋯

( )1 2 2 1 1 1 2 1 1

2 1 1 2 2 1 1 1 1 1 2 1 1 1

1

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ =

para vermos surgir coeficientes das observações ,( 1,..., ), que são

funçõ

p p p p p p p

p p p p p p p p

p j

x x x x x x

x x x x x x x x

x j p

φ φ θ φ φ φ

φ φ φ θ θ φ θ φ θ φ

+ + −

+ + + −

+ −

− − − − − − − −

− − − − − + + +

=

⋯ ⋯

⋯

es não lineares (produtos) dos parâmeros a estimar.

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal



Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal




( ) ( )

( )

Seja , , o vector dos parâmetros, de dimensão 1.

ˆPode demonstrar-se que a distribuição por amostragem do estimador, ,


p q

A Normal AN

ΤΤ Τ= + ×β φ θβ φ θβ φ θβ φ θ

ββββ

126

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

( )

{ }


ˆ = e variância-

A Normal AN

β β β β β β β β E ( ) ( )( ){ }( )( )

( ) ( )

1 2 1

2

ˆ ˆ ˆcovariância :

ˆ ˆ ~ ,

onde , matriz, , de autocovariâncias e covariâncias

cruzadas, e são assimptoticamente dadas por

T

w p q

p q

w

V N

AN V

p q p q

σ

σ

− −+

+

= =

+ × +

β β − β β − β Γβ β − β β − β Γβ β − β β − β Γβ β − β β − β Γ

β β ββ β ββ β ββ β β

ΓΓΓΓ

E

( )1

2 2ˆ

T

p q

w w

N

σ σ

−+ ≃

≃

Γ Γ Γ Γ J J



Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal




( )

( ) ( )

1

2 2ˆ

onde , matriz - é a matriz Jacobiana dos resíduos

T

p q

w w

N

N p p q

σ σ

−

+

× +

≃

≃

Γ Γ Γ Γ J J

J

127

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

( ){ }1

ˆ , i.e., a matrizdas primeiras derivadasN

t t pw

= +ββββ

( )*

,

,

*

ˆ

parciais dos resíduos

em ordem aos parâmetros a estimar, com elemento genérico, ,

definido como

ˆ , 1,2,..., , 1,2,..., .

ˆcom a estimativa de Mínimos Qu

i j

ii j

j

J

wJ i N p j p q

β

∂= = − = +

∂ ββββ

ββββ

( )

adrados.

importante: Se a média do processo, , for também um parâmetro

a estimar, então o número de pârametros a estimar é igual a 1 .p q

µ

+ +

NOTA



Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal




( )

( )� ( )

( )�( )( )

1 2 2

1

ˆSubstituindo por e por , obtém-se a seguinte

ˆ êstimativa de

ˆ

T

p q w wN

V V

σ σ−

+

−

ΓΓΓΓ

β ββ ββ ββ β

J J

128

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

( )�( )( )

( )

11 2 1

11 2

ˆ ˆ

ˆ

T

w

T

w

V N N

N N

σ

σ

−− −

−−

=

=

β β β β J J

J J

( )1

2ˆ T

wσ

−

= J J

Questão

“Como seleccionar um modelo estatístico apropriado/adequado para um dado conjunto de dados ?.

O melhor modelo estatístico, de entre os modelos adequados, é aquele que é um compromisso de dois requisitos antagónicos:

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal




Selecção das ordens/especificação do modelo (Escolha de p e q)

129

é um compromisso de dois requisitos antagónicos:

(1) Explicar a maior fracção possível da variabilidade dos dados. Este requisito tende a favorecer os modelos com maior número de parâmetros (modelos de maior complexidade);

(2) Ser um modelo simples, isto é, modelo com reduzido número de parâmetros, observando o princípio da parcimónia,

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Algumas soluções

Validação Cruzada

O conjunto dos dados é dividido em dois subconjuntos. O subconjunto dos dados

de treino ou calibração, utilizado na fase de estimação de parâmetros do modelo

e o subconjunto dos dados de teste utilizados na fase de previsão. Esta solução é

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal





130

e o subconjunto dos dados de teste utilizados na fase de previsão. Esta solução é

aplicável quando em presença de séries com um grande número de observações.

Critérios de Informação

Usando ideias da teoria da informação, o estatístico matemático japonês Akaike

descobriu, nos princípios da década de 1970, uma forma de medir a distância de

um modelo candidato ao “verdadeiro” modelo. De acordo com esta solução, o

melhor, ou o mais adequado, modelo ARMA(p,q) é aquele que minimiza o

critério AIC (Akaike’s Information Criterion) ou variantes tais como AICc (AIC

corrigido), BIC (Bayesian Information Criterion).

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal





( ) 12 2

Critério

ˆ2 1

ˆ ˆ ln , com

N

i

i p

wN p q

AIC σ σ = ++ + += + =

∑

Critérios de Informação

AIC

131

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

( )

( )( )

12 2

2

2 1ˆ ˆ ln , com

2

Critério

1ˆ ln

1 2

Critério

i p

w w

w

N p qAIC

N N p q

N p qAICc

N p q

σ σ

σ

= ++ + += + =

− −

+ + += +

− + + −

AICc

BIC

( )21 ln

ˆ ln w

p q NBIC

Nσ

+ += +

3.5 Avaliação da qualidade estatística do modelo e da

qualidade do ajustamento (Análise da série residual)

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal



A avaliação da contempla os tópicos:

1. mediante a realização

de ensaios/testes da :

qualidade estatística do modelo

Significância estatística dos parâmetros estimados

hipótese da nulidade

0 : 0

: 0

iH

H

β

β

=

≠

132

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

1

0

: 0

Em termos aproximados e para um nível de significância, , de 5% (0.05),

aceitando

iH

H H

β

α

≠

rejeitar ( )

( )

( )

ˆ

ˆ

1

, 1 / 2

ˆ

,0.975

se o valor absoluto da ,

ˆ ˆ0,

onde, para 0.05, 1.96 para graus de liberdade grande.

e

ii

i

i i

df

df

t

t ts s

t df N

s

φ

φ

α

φ

β β

α

−

−= = ≥

= ≈ ≈

estatística teste

( ),ˆˆ é o desvio padrão estimado do estimador do parâmetro ,

caso em que se considera o parâmetro significativo e deve manter-se no modelo.

i i iv β= ββββ



Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal



A avaliação da (continuação)

2. mediante o cálculo das raízes

dos polinómios autoregressivo ( ) e de média móvel (AR MA


Causalidade e Invertibilidade do modelo estimado

). Estas condições

podem ser consideradas na fase de estimação de parâmetros mediante a introdução

133

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

podem ser consideradas na fase de estimação de parâmetros mediante a introdução

de restrições no correspondente problema de optimização

( ).

U

Optimização Constrangida

m aspecto importante relaciona-se com as raízes do polinómio , em

especial com as (iguais a 1). Uma raiz, , unitária significa

que o operador autoregressivo (1- ) é idênti

i

i

AR

z

z B

raízes unitárias

co a (1- ) , sugerindo

que a série deve ser diferenciada.

B = ∇



Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal




3. , isto é, se os polinómios e partilham

factores (raízes) comuns. Por exemplo, o modelo (2,1) aju

AR MA

ARMA


Redundância entre estimativas

( ) ( )

stado

134

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

( ) ( )

( )( ) ( )

2 1-1.3 0.4 1 0.5

após factorização do polinómio

1 0.5 1 0.8 1 0.5 ,

é equivalente ao modelo (1)

t t

t t

B B X B w

AR

B B X B w

AR

+ = −

− − = −

( ) 1 0.8 .t tB X w− =



Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal




4. via análise da matriz de correlação

entre os estimadores dos parâmetros (matriz facilmente obtida da


Estabilidade do modelo estimado

correspondente matriz de covariância). Regra geral, estimadores altamente

135

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

correspondente matriz de covariância). Regra geral, estimadores altamente

correlacionados sugerem a má qualidade dos mesmos, pelo que, na medida

do possível, se devem procurar modelos alternativos.



Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal



A avaliação da de um modelo ajustado faz-se

através da análise dos correspondentes resíduos ( ). Se o modelo

linear ajustado for adequado, e à medida que o númer

qualidade do ajustamento

análise residual

{ }

( )1

o de observações aumenta,

â sucessão dos resíduos, , simbolicamenteN

t tw

=

136

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

( )( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

1

1

1

ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ , 1,2,..., , com 1 e

ˆ

ˆ ˆ ˆ1 , aproxima-se do processo estocástico estacioná

t t t p

q

Bw X B B X t N B B B

B

B B B

φθ φ φ φ φ

θ

θ θ θ

−= = = = − − −

= − − −

⋯

⋯ rio

.

Se a sucessão/série residual tem análogo a uma sucessão ruído branco,

pode admitir-se que o modelo estimado descreve bem a sucessão em estudo.

Para os testes de aleatorieda

comportamento

ruído branco

de (ruído branco) rever o . ponto 2.4

4. Previsão

1 2

: Uma série cronológica que foi observada até ao momento

, ( , , , );

: Prever o valor, , da série num momento futuro

, com 1,2,..., ( -Horizonte de previsão).

N

N h

p p

t N X X X

X

t N h h H H

+

= …

= + =

Dados

Problema

ˆ

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal



137

Designando

( )

( )

|

| 1 2

ˆpor o preditor de com base em observações

até ao instante , tem-se

ˆ , , ,

.e.,o preditor é uma função . dos valores observados da série.

A escolha

N h N N h

N h N N

X X

N

X f X X X

i f

+ +

+ = …

( ){ }|

2

|

da função de previsão assenta na

êntre e , pelo critério do ( )

ˆ

N h N h N

N h N h N

X X EQM

X X

+ +

+ +−

qualidade da aproximação

medida erro quadrático médio

E

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

4. Previsão (continuação)

( )

1 2

O problema da procura do melhor preditor resume-se à determinação

da função . que minimiza esse erro (quadrático médio).

A solução do problema é dada no Teorema seguinte:

Seja , , , ,N h N N N

f

X X X X+ − −

Teorema

( )um conjunto de variáveis aleatórias e . umaf…

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal



138

( )( ){ }( )

2

1 2

função tal que

, , ,... (1)

existe. Então o mínimo de (1) entre todas as funções . é dado por,

N h N N NX f X X X

f

+ − −−E

( ) { }1 2 1 2

|

, , ,... | , , ,... , (2)

îsto é, o , , de , em termos do

, é a da variável aleatória

N N N N h N N N

N h N N h

N h

f X X X X X X X

X X

X

− − + − −

+ +

+

=

melhor preditor erro quadrático

médio esperança condicional

E

{ }| 1 2ˆ | , , ,... .N h N N h N N NX X X X X+ + − −=E

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

4. Previsão

1 2

A aplicação do Teorema pressupõe que se conhece a

de , , , , . Como na maioria

das situações esta distribuição não é conhecida, a do

prob

N h N N NX X X X+ − − …

distribuição de

probabilidade conjunta

simplificação

1 2

lema de previsão restringe-se a preditores que são funções lineares

de , , ,N N N

X X X− − …

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal



139

| 0 1 2 1 3 2

0

ˆ

e procuram-se os valores dos coeficientes/ponderadores ,

N h N N N NX a a X a X a X

a a

+ − −= + + + +⋯

1 2, ,

que minimizam o erro quadrático médio ( ).

a

EQM

⋯

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

1X

X

3X

1NX −

NX

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal



4. PrevisãoO problema (esquematização)

140

Tempo t

1 3 N2 ... ... N+mN-1

2X

|ˆ ?N h NX +

Passado Futuro

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

1X

2X

3X

1NX −

NX

ˆ ?X

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal



4. PrevisãoO problema (esquematização)

141Tempo t

1 3 N2 ... ... N+hN-1

2

| ˆ ?N h NX +

Passado Futuro

h

N+h-2

N+h-1 N+h-3

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

1X

X

3X

1NX −

NX

ˆ

( )Na

( )1Na −

( )2Na −

( )2a

( )1a

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal



4. Previsão

{ }1

Associação de ponderadores, , aos valores observados da sérieN

i ia

=

142

Tempo t

1 3 N2 ... ... N+hN-1

2X

|ˆ ?N h NX +

Passado Futuro

h

N+h-2

N+h-1 N+h-3

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

ˆN

= +∑

Previsor (preditor) linear

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal



4. Previsão

143

| 0 1

1

ˆN

N h N i N i

i

X a a X+ + −=

= +∑

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal



4. Previsão

{ } { }( )

( 2ª )

0

t t

t t

X Y

Y X

µ

µ

µ

= +

= ⇒ =

Processo Estocático Estacionário até ordem de Média conhecida

E E

{ } ( )( ){ }( )

,

(Função de autocovariância para desfasamento )

t k t t k tY Y X X

c t k t

c k

µ µ+ += − − =

= +

=

E E

144

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

(Função de autocovariância para desfasamento )kc k=

Previsor lin

| 0 1

1

| |

ˆ

ˆ

N

N h N i N i

i

N h N N h N h N

X a a X

w X X

+ + −=

+ + +

= +

= −

∑

ear

Erro de Previsão

{ }

{ } { }

| 0 1

1

0 1

1

ˆ 0 0

0

N

N h N h N N h i N i

i

N

N h i N i

i

X X X a a X

X a a X

+ + + + −=

+ + −=

− = ⇒ − − =

⇒ − − =

∑

∑

1- Condição de não enviesamento (Esperança do erro igual a 0)

E E

E E

0N

a aµ µ⇒ − − =∑

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal



4. Previsão

145

0

1

0

1

0

1

i

i

N

i

i

a a

a a

µ µ

µ

=

=

⇒ − − =

⇒ = −

∑

∑

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

{ }

( ){ }

( )

2

01

22

2

0 | 0 1

1

2

1

1 1 1

:

ˆ

1

N

i i

N

N h N h N N h i N i

i

N N N

N h i i N i N h i

i i i

a

X X X a a X

X a a X X a

σ

σ

µ µ

=

+ + + + −=

+ + − += = =

= − ⇒ − − ⇒

− − − ⇒ − −

∑

∑ ∑

2 - Variância do erro de previsão como função dos ponderadores

E E

E E ( )2

1

2

N iX µ+ −

− ⇒

∑

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal



4. Previsão

146

( ) ( ) ( ) ( )

( ){ } ( )( ){ }

( )( ){ }

2

2

1 1

1 1

2

1

1

1 1

1 1

0

1

2

2

2

N N

N h N h i N i i N i

i i

N

N h i N i N h

i

N N

i j N i N j

i j

N

i N h

i

X X a X a X

X a X X

a a X X

c a c

µ µ µ µ

µ µ µ

µ µ

+ + + − + −= =

+ + − +=

+ − + −= =

+ −=

− − − − + − ⇒

− − − − +

+ − − ⇒

−

∑ ∑

∑

∑∑

∑

E

E E

E

( 1 ) 1 ( 1 ) 0 1

1 1 1 1 1

2

0 0 1

1 1 1

2

2

N N N N N

N i i j N j N i i h i i j i j

i j i i j

N N N

i h i i j i j

i i j

a a c c a c a a c

c a c a a cσ

+ − + − − + − + − −= = = = =

+ − −= = =

+ ⇒ − + ⇒

= − +

∑∑ ∑ ∑∑

∑ ∑∑

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

| 0 1

1

( 2ª )

ˆ

N

N h N i N i

i

X a a X

µ

+ + −=

= +∑

Processo Estocático Estacionário até ordem de Média conhecida

Previsor linear

Erro de Previsão

| |ˆ N h N N h N h Nw X X+ + += −

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal



4. Previsão (Resumo)

147

{ } { }

| |

| | 0

1

0

ˆ 0 1

N h N N h N h N

N

N h N N h N h N i

i

w X X

w X X a aµ

σ

+ + +

+ + +=

= −

= − = ⇒ = −

∑

1 - Condição de não enviesamento (Esperança do erro igual a )

2 - Variância do erro de previsão,

E E

{ }( ){ }

1

2

0

22

0 | 0 1

1 1 1

2

0

2.1 Notação 1

ˆ min. 2

2.2 Notação 2 (matricial - vectorial)

min.

Ni i

N N N

N h N h N i h i i j i ja

i i j

X X c a c a a c

c

σ

σ

=

+ + + − −= = =

−

= − = − +

−

=

∑ ∑∑

, mínima

Na

E

0 2− +T T

N N N N Na c a C a

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

2

0 0 1

1 1 1

2

0 0

2

2 ,

N N N

i h i i j i j

i i j

Variancia do erro de previsao

c a c a a c

Notação matricial vectorial

c

σ

σ

+ − −= = =

= − +

−

= − +

∑ ∑∑

T T

N N N N Na c a C a

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal



4. Previsão

148

( ) ( )

0 0

1

2 1

1 2

11 1

2 ,

com

; ;

h

h

N h N

N h NN N

c

a c

a c

a c

a c

σ

+

− + −

+ −× ×

= − +

= =

⋮

N N N N N

N N

a c a C a

a c

( )

0 1 2 1

1 0 3 2

2 3 0 1

1 2 1 0

;

é uma matriz de Toeplitz, simétrica e definida positiva

N N

N N

N N

N N N N

c c c c

c c c c

c c c c

c c c c

− −

− −

− −

− − ×

=

⋯

⋯

⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮

⋯

⋯

N

N

C

C

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

( )

( )

2

0

2

0 0

Determinar vector de ponderadores que minimiza variância do erro de previsão

2

Condiçõ

c

σ

σ = − +

Minimização da variância do erro de previsão

*

N N

T T

N N N N N N

a a

a a c a C a

( )2 *

es necessárias e suficientes de optimalidade

σ∇ = ⇒ − = ⇒0 0*a C a c

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal



4. Previsão

149

( )0

-1

(Resolução por algoritmo especializado de Durbin-Levinson)

σ∇ = ⇒ − = ⇒

⇒ =

0 0

Na N N N N

*

N N N

*

N N N

a C a c

C a = c

a C c

( )( )

( )

2 2 *

0

2

0

2 -1 -1 -1 -1 -1

0 0 0

0

(Resolução simbólica)

é definida positiva

é minimizador global de

Valor optimal da variância do erro

2 2

c c

c

σ

σ

σ

∇ =

= − + = − +

= −

Na N N

*

N N

* T T T T

N N N N N N N N N N N N N N N

a C

a a

a c C c c C C C c c C c c C c

c -1

0c= −T T *

N N N N NC c c a

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

( )

( )*

Previsor linear optimal não enviesado

est inear nbiased redictor - BLUP

ˆN

X a Xµ µ= + −∑

B L U P

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal



4. Previsão

150

( )*

| 1

1

ˆN h N i N i

i

X a Xµ µ+ + −=

= + −∑

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Exemplo 1:

Simular 100 observações de Xt = 0.9 Xt-1+ Zt. (AR (1))Estimar parâmetros e prever valores até 5 passos à frente

Exemplo 2:

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal



4. Previsão

151

Exemplo 2:

Simular 100 observações de Xt = Zt − 0.7 Zt-1. (MA(1)).Estimar parâmetros e prever valores até 5 passos à frente.

Exemplo 3:

Simular 100 observações de Xt − .5 Xt-1 = Zt + .4 Zt-(ARMA(1,1))

Estimar parâmetros e prever valores até 5 passos à frente.

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Est

atí

stic

a A

mb

ien

tal

Documents

Séries Temporais - Autenticação · Metodologia de análise de séries temporais; ... (Filtros lineares de médias móveis ... Cronograma de sucessão tendência linear Realização