SERVIÇOPÚBLICOFEDERALMINISTÉRIODAEDUCAÇÃO

UNIVERSIDADEFEDERALDORIOGRANDEDOSUL

DisciplinaENG04454–TeoriaEletromagnéticaAplicadaA Versão:30demarçode20171

LISTADEEXERCÍCIOSDEREVISÃO

Problemas

Adoteanotaçãoenvolvendosomatóriosnadescriçãodosvetoresemtodososproblemas.Porsomatórios,umvetor𝐀éexpressopor𝐀 = 𝐴!𝐞!! ,sendo𝐴! e𝐞! respectivamenteacomponenteeovetordabasenadireção𝛼.

1)Sendo𝐀e𝐁doisvetoresarbitráriosnoespaço𝐑𝟑,determine(a)oprodutoescalar𝐀 ∙ 𝐁entreambososvetores anteriormente mencionados. Se a base adotada na representação dos vetores previamenteespecificadosédotipoortonormal,(b)aqualexpressãosereduzaquelaobtidanoitem(a)?

2)Sendo𝐀e𝐁doisvetoresarbitráriosnoespaço𝐑𝟑,determine(a)oprodutovetorial𝐀×𝐁entreambosos vetores anteriormente mencionados. Se a base adotada na representação dos vetores previamenteespecificadosédotipoortonormal,(b)aqualexpressãosereduzaquelaobtidanoitem(a)?

3)Considere2vetores𝐀e𝐁noespaço𝐑𝟑.Obtenha(a)𝐀 ∙ 𝐁e(b)𝐁 ∙ 𝐀.Determineentão(c)𝐀×𝐁e(d)𝐁×𝐀. (e)Combasenosresultadosdos itens (a), (b), (c)e (d),oprodutoescalareoprodutovetorialsãooperaçõesquesatisfazemapropriedadecomutativa?

4)Considere3vetores𝐀,𝐁e𝐂noespaço𝐑𝟑.Obtenha(a)𝐀 ∙ (𝐁 + 𝐂)e(b)𝐀 ∙ 𝐁 + 𝐀 ∙ 𝐂.Determineentão(c)𝐀×(𝐁 + 𝐂)e(d)𝐀×𝐁 + 𝐀×𝐂.(e)Combasenosresultadosdositens(a),(b),(c)e(d),oprodutoescalareoprodutovetorialsãooperaçõesquesatisfazemapropriedadedistributiva?

5)Considere3vetores𝐀,𝐁e𝐂noespaço𝐑𝟑.Obtenha(a)𝐀 ∙ (𝐁 ∙ 𝐂)e(b)(𝐀 ∙ 𝐁) ∙ 𝐂.Determineentão(c)𝐀×(𝐁×𝐂)e (d)(𝐀×𝐁)×𝐂. (e)Combasenosresultadosdos itens(a), (b), (c)e (d),oprodutoescalareoprodutovetorialsãooperaçõesquesatisfazemapropriedadeassociativa?

6)Considere2vetores𝐀e𝐁noespaço𝐑𝟑e2escalares𝑎e𝑏.Obtenha(a)(𝑎𝐀) ∙ (𝑏𝐁)e (b)𝑎𝑏(𝐀 ∙ 𝐁).Determineentão(c)(𝑎𝐀)×(𝑏𝐁)e(d)𝑎𝑏(𝐀×𝐁).(e)Combasenosresultadosdositens(a),(b),(c)e(d),oprodutoescalareoprodutovetorialsãooperaçõesquesatisfazemapropriedadedemultiplicaçãoporumescalar?

7) Cada um dos lados de um triângulo qualquer pode ser representadomediante um vetor. Nomeandocadaumdestesvetorespor𝐀,𝐁e𝐂,determinealeidoscossenosreferenteaoladoespecificadopor(a)𝐀,(b)𝐁e(c)𝐂.Sealgumdospossíveisparesdevetoresforemortogonais,(d)aqualrelaçãosereduzaleidoscossenosreferenteaoladodescritopelooutrovetor?

SERVIÇOPÚBLICOFEDERALMINISTÉRIODAEDUCAÇÃO

UNIVERSIDADEFEDERALDORIOGRANDEDOSUL

DisciplinaENG04454–TeoriaEletromagnéticaAplicadaA Versão:30demarçode20172

8)𝐀,𝐁e𝐂 correspondema3arbitráriosvetoresnoespaço𝐑𝟑.Assim,demonstreaseguinte identidadevetorial𝐀 ∙ 𝐁×𝐂 = 𝐁 ∙ 𝐂×𝐀 = 𝐂 ∙ (𝐀×𝐁).Aidentidadevetorialemquestãoécomumentedenominadadeotriploprodutoescalar.

9)𝐀,𝐁e𝐂correspondema3arbitráriosvetoresnoespaço𝐑𝟑.Assim,(a)demonstreaseguinteidentidadevetorial 𝐀× 𝐁×𝐂 = 𝐁 𝐀 ∙ 𝐂 − 𝐂(𝐀 ∙ 𝐁). A identidade vetorial descrita anteriormente é comumentereconhecida como a Fórmula de Lagrange para o triplo produto vetorial de vetores. (b) Se𝐀 = 𝐁 = ∇,sendo∇ooperadorgradiente,aqualexpressãosereduzaquelaobtidanoitem(a)?

10) Demonstre que (a) ∇ ∙ 𝑓𝐀 = 𝑓∇ ∙ 𝐀 + 𝐀 ⋅ ∇𝑓, (b) ∇× 𝑓𝐀 = 𝑓∇×𝐀 + (∇𝑓)×𝐀, (c) ∇ ∙ 𝐀×𝐁 = 𝐁 ∙∇×𝐀 − 𝐀 ∙ (∇×𝐁)e(d)∇×∇×𝐀 = ∇ ∇ ∙ 𝐀 − ∇!𝐀nasquais𝑓éumafunçãoescalare𝐀e𝐁sãofunçõesvetoriais.

11) (a) Demonstre que se um campo𝐀 satisfaz∇×𝐀 = 0, então𝐀 = ∇𝜑, sendo𝜑 uma função escalarqualquer.Talcampo𝐀éentãoditoserirrotacional.

12)(a)Demonstrequeseumcampo𝐀satisfaz∇ ∙ 𝐀 = 0,então𝐀 = ∇×𝐁,sendo𝐁umcampoqualquer.Talcampo𝐀éentãoditosersolenoidal.

13)Representeumvetor𝐀nossistemasdecoordenadas(a)retangular,(b)cilíndricoe(c)esférico.Qualarelação entre as componentes de tal vetor 𝐀 em coordenadas (d) cilíndricas e (e) esféricas com ascoordenadasretangulares?Discorraarespeitodotema.(f)Háconveniênciaemobterumarelaçãodiretaentrearepresentaçãodetalvetoremcoordenadascilíndricaseesféricas?

14)Determineogradiente,odivergente,orotacionaleolaplacianoemcoordenadas(a)retangulares,(b)cilíndricase(c)esféricas.

15) Calcule o Laplacianode certo campo arbitrário𝐀 considerandoque este último esteja representadopela base ortonormal natural de em um sistema de coordenadas (a) retangulares, (b) cilíndricas e (c)esféricas.

OUTROSTANTOSPROBLEMASPODERÃOSERAINDAPUBLICADOS!!!