SILVIO JACKS DOS ANJOS

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SILVIO JACKS DOS ANJOS GARNS

AJUSTAMENTO PARAMTRICO POR MNIMOS QUADRADOS COM ANALISE NA

ESTABILIDADE DA SOLUO

Dissertao apresentada ao Curso de Ps- Graduao em Cincias Geodsicas da Universidade Federal do Paran, como requisito para a obteno do grtau de Mestre em Cincias.

ORIENTADOR: Dr. Raimundo J. B. de Sampaio

CO-ORIENTADOR: Dr. Quintino Dalmolin

CURITIBA1996

SILVIO JA C K S D O S A N J O S G A R N S

A J U S T A M E N T O P A R A M T R I C O POR M N IM O S

Q UADR A DO S COM A N L IS E NA

E S T A B I L I D A D E DA SOLUO

Dissertao apresentada ao curso de Ps-Graduao em Cincias Geodsicas da Universidade Federal do Paran como requisito para a obteno do grau de Mestre em Cincias.

ORIENTADOR: Dr. Raimundo J. B. de Sampaio

CO-ORIENTADOR: Dr. Quintino Dalmolin

CURITIBA

1996

AJUSTAMENTO PARAMTRICO POR MNIMOS QUADRADOS COM

ANLISE NA ESTABILIDADE DA SOLUO.

POR

SILVIO JACKS DOS ANJOS GARNS

ENGENHEIRO AGRIMENSOR

Disser tao aprovada como requisito p a rc ia l p a ra a obteno do grau de

Mestre em Cincias no Curso de Ps-Graduao em Cincias Geodsicas da

Universidade Federa l do Paran, pe la comisso formada pelos seguintes

professores:

Prof. Dr. QUIMT'INO DALMOLIN - MEMBRO

Prof. MsC. ROMUALDO WANDRESEN - MEMBRO

Curitiba, 03 de Abril de 1996

D E D I C A T R I A

Dedico este t rabalho a:

E te lv in a dos Anjos Soares

M inha me, pe lo amor e pe lo apoio , que sempre me deu fo ras nos

momentos mais d i f ice is de minha vida .

A lc id e s Lorca Garns

F lv io dos Anjos Garns

GElany dos Anjos Garns

Meu pai e meus i rmos, pe lo companherismo e ca r inho que mesmo

estando longe, estamos per to.

M a r i a A p arec id a Vasconcelos dos Santos

Rafae l Vasconcelos Garns

Matheus Vasconcelos Garns

M inha esposa e meus f i lhos p e l a compreenso, e sp e ran a , carinho e

amor.

AGRADECIMENTOS

Desejo externar aqui meus s inceros agradecimentos:

ao Prof. Dr. Raimundo J. B. de Sampaio, pela ajuda na definio da

meta, pe la v a l io sa orientao e pelas correes durante a rea l izao deste;

ao Co-orientador Prof. Dr. Quintino Dalmolin, pelo apoio, correes e

idias sugeridas;

ao Prof. Dr. Milton de Azevedo Campos, pelo apoio com relao ao

tema no momento da escolha do mesmo;

ao amigo Alfonso R. T. Crio l lo por propic iar discues a cerca do

assunto;

ao Dr. Luiz Danilo D. Ferre i ra , pe las dicas indispensveis a respeito

do texto.

aos professores do departamento de matemtica que ministraram o curso

de especial izao de matemtica ap l icada durante o ano de 1993, os quais

muito contriburam para o amadurecimento dos conhecimentos que foram

utilizados aqui;

e a todos aqueles que de uma forma ou de outra contribuiram para a

real izao deste trabalho.

SUMRIO

LISTA DE F IG U R A S x

LISTA DE Q U A D R O S xi

L IS T A DE S M B O L O S xii

R E S U M O xiv

A B S T R A C T xv

1. I N T R O D U O 1

1.1 GENERALIDADES 1

1.2 ESTRUTURA DO TRABALHO 4

1.3 OBJETIVOS DESTA PESQUISA 5

2. E L E M E N T O S DE AN LISE E S IST E M A S DE

E Q U A E S L IN E A R E S 6

2.1 ESPAOS VETORIAIS 6

2.2 NORMAS 7

2.2.1 Normas induzidas 8

2.3 ESPAO VETORIAL EUCLIDIANO 9

2.3.1 Produto interno 9

2.3.2 Subespao v e to r ia l 10

2.4 SISTEMAS DE EQUAES LINEARES 10

2.4.1 Os subespaos fundamentais 12

2.5 DERIVADA DE MATRIZES 14

2.5.1 D e r iv a d a p a rc ia l de matr izes 16

2.5.2 D e r iv ad a de expresso l inear 17

2.5.3 D e r iv ad a da forma b i l in e a r 17

2.5.4 D er iv ad a da forma q u ad r t ica 18

2.6 FUNES CONVEXAS 18

v

2.6.1 Conjuntos convexos 18

2.6 .2 Funes convexas 20

2.6.2.1 Combinaes de funes convexas 20

2 .6 .2 .2 P ro p r ied ad es de funes convexas d i fe renc ive is ............... 21

2.6.3 Extremo de funes de v a lo r e s r e a i s ............................................. 24

2.6.4 Min imizao de funo convexa ...................................................... 25

2.7 CONVERGNCIA DE SEQUNCIAS DE NMEROS REAIS 26

3. SOLUO DO PR O BL EM A DE M NIM OS QUADRADOS

LINEAR 28

3.1 PRELIMINARES 28

3.2 SOLUO DO PROBLEMA 30

3.2.1 In te rpre tao geom tr ica 32

3.2 .2 P ro p r ied ad es da so luo de mnimos quadrados ........................ 34

3 .2 .2 .1 C arac te r izao do timo re s id u a l ................................................. 34

3.3 SOLUO DE CO MPRIMENTO M N IM O DO PROBLEMA

DE MNIMOS QUADRADOS LINEAR 38

3.3.1 P ro jees 38

3.3.1 .1 P ro jees r e l a c io n a d a s ao p ro b le m a de mnimos q u ad rados 39

3.3.2 Inversas g enera l izadas e p s e u d o - in v e r s a ...................................... 40

3.3.3 In te rpre tao geom tr ica da so luo de comprimento

mnimo e p ro p r i e d a d e s da p s e u d o - in v e r s a ................................... 41

3.3 .4 Determinao da p s e u d o - in v e r s a e decom pos io de v a lo r

singular 42

3.4 O PROBLEMA DE M N IM O S QUADRADOS COM

PONDERAO 44

3.4.1 Tratamento do p ro b le m a 44

4. ANLISE DO C O N D IC IO N A M E N T O DO PROBLEMA

DE MNIMOS QUADRADOS 50

4.1 ANLISE DO CO NDICIONA M ENTO DE SISTEMAS DE

vi

EQUAES LINEARES CONSISTENTES ..................................... 50

4.1.1 S is tem a consis tente com matriz inve rs ve l .................................. 51

4.1.1 .1 V ar iao no termo independente ................................................ 53

4 .1 .1 .2 V ar iao na matriz dos co e f ic ien tes das incgnitas ............. 54

4.1 .2 Caso ge ra l do condicionamento de s is tem as cons is ten tes .......... 55

4 .1 .2 .1 V ar iao do termo independente ................................................ 56

4 .1 .2 .2 P e r tu rb a o na matr iz A 57

4.2 ANLISE DO CONDICIONAMENTO DO PROBLEMA DE

M N IM O S QUADRADOS LINEAR 58

4.2.1 E quaes normais 58

4.2.1 .1 Condic ionam ento quadrado das equaes normais ................ 59

4.2 .2 A n l i se do condicionamento do p ro b le m a geral ......................... 61

4.2.2.1 P e r tu rb a o do termo independente ............................................ 63

4 .2 .2 .2 P e r tu rb a o na matriz A 64

4.3 A D ECOM POSIO DE VALOR SINGULAR E BASES PARA

OS SU BESPAOS FUNDAMENTAIS 66

4.4 ESTIM A O DO POSTO DE UMA M ATRIZ ............................... 67

4.4.1 D i f ic u ld a d e na dete rminao do pos to ........................................... 67

4.4.2 A d eco m p o s i o de va lo r s ingular na dec iso do pos to ............ 68

5. M T O D O S N M R IC O S PARA S O L U O D O P R O B L E M A

DE M N I M O S Q U AD R A D O S L IN E A R 70

5.1 ELIMINAO DE GAUSS-JORDAN 70

5.1.1 O p e ra e s e lementares 72

5.1.2 So luo do s is tem a por Gauss-Jo rdan ........................................... 73

5.1.3 Subro t ina p a r a a e liminao de G au ss - Jo rd an ............................ 74

5.2 " S U B R O U T I N E VERSOL " 75

5.2.1 Regra de Chi 76

5.2.2 D esenvo lv im e n to do mtodo ............................................................... 77

5.2.3 S u b ro t in a v e r so l ..................................................................................... 80

vi i

5.3 DECOMPOSIO DE CHOLESKY .................................................... 80

5.3.1 Subrotina " mtodo de Cholesky" ................................................... 84

5.4 O MTODO DA DECOMPOSIO QR 85

5.4.1 T rans fo rm ao de H ouseho lde r 85

5.4.2 A decom pos io QR 87

5.4.3 O mtodo QR ap l icado ao p rob lem a de mnimos quad rados

l inear 88

5.4.4 Subrotina do mtodo QR 89

5.5 DECOMPOSIO DE VALOR SINGULAR .................................... 92

5.5.1 T rans fo rm ao de Givens 92

5.5.2 O algoritmo QR 94

5.5.2.1 O a lgor i tmo QR 94

5 .5 .2 .2 O a lgor i tmo QR-modif icado ......................................................... 95

5.5.3 Clculo da decom pos io de v a lo r s ingular ................................. 97

5.5.3.1 Reduo a forma b id iagonal 98

5.5 .3 .2 D ecom pos io de v a lo r s ingular da matr iz b id iagona l ......... 100

5.5.3.3 Teste de convergnc ia 105

5.5.3 .4 Formao da decom pos io de v a lo r s ingular de A .............. 107

5.5.3 .5 Subro tina pa ra a decom pos io de v a lo r s ingular ................. 108

6. T E S T E S R E A L IZ A D O S P A R A O P R O B L E M A DE

M N IM O S Q U A D R A D O S L IN E A R 113

6.1 DESCRIES PRELIMINARES 113

6.2 TESTES 115

7. P R O B L E M A DE M N IM O S Q U A D R A D O S N O - L I N E A R 128

7.1 MTODO DE GAUSS-NEWTON 129

7.2 MTODOS DE