Upload
hoangcong
View
216
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
UNIVERSIDADE FEDERAL DE GOIÁS
ESCOLA DE ENGENHARIA CIVIL
CURSO DE GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA CIVIL
SIMETRIA E REPETIÇÃO DE PADRÕES
EM OTIMIZAÇÃO DE TOPOLOGIA DE
ESTRUTURAS BIDIMENSIONAIS COM
GRADAÇÃO FUNCIONAL
TÚLIO HONÓRIO
GOIÂNIA
2010
TÚLIO HONÓRIO
SIMETRIA E REPETIÇÃO DE PADRÕES
EM OTIMIZAÇÃO DE TOPOLOGIA DE
ESTRUTURAS BIDIMENSIONAIS COM
GRADAÇÃO FUNCIONAL
Monografia apresentada ao Curso de Graduação em
Engenharia Civil da Universidade Federal de Goiás para
obtenção do título de Engenheiro Civil.
Orientador: Dra. Sylvia Regina Mesquita de Almeida
GOIÂNIA
2010
TÚLIO HONÓRIO
SIMETRIA E REPETIÇÃO DE PADRÕES EM
OTIMIZAÇÃO DE TOPOLOGIA DE ESTRUTURAS
BIDIMENSIONAIS COM GRADAÇÃO FUNCIONAL
Monografia apresentada ao Curso de Graduação em
Engenharia Civil da Universidade Federal de Goiás para
obtenção do título de Engenheiro Civil.
Aprovada em ______ / ______ / ______.
__________________________________________________________
Prof. Dr. Sylvia Regina Mesquita de Almeida (Presidente)
Universidade Federal de Goiás
__________________________________________________________
Prof. Dr.Frederico Martins Alves da Silva (Examinador)
Universidade Federal de Goiás
__________________________________________________________
Prof. Dra. Helena Carasek (Examinador)
Universidade Federal de Goiás
Atesto que as revisões solicitadas foram feitas:
_______________________________________
Orientador
Em: _______ / _______ / _______
T. Honório Resumo
RESUMO
Vários trabalhos têm sido publicados nos últimos anos com o objetivo de tornar as
técnicas de otimização de topologia mais capazes de fornecer respostas que atendam às
expectativas da indústria. Uma abordagem interessante para produção de peças estruturais
adequadas em relação às condições de manufatura é a implementação de restrições de simetria
e de repetições de padrões no problema de otimização de topologia. Outra aplicação de
técnicas de otimização de topologia refere-se ao estudo sobre materiais com gradação
funcional (FGM). Este trabalho tem como objetivo estudar a aplicação da técnica de
otimização de topologia utilizando a abordagem de aproximação contínua da distribuição de
material e o modelo SIMP no projeto de estruturas com gradação. Estuda-se a influência da
gradação no comportamento mecânico (flexibilidade média) de estruturas projetados por meio
de otimização de topologia bem como a influência da inserção de restrições de simetria e de
repetições de padrões nessas estruturas. Para tanto, resultados numéricos são apresentados
para diferentes modelos estruturais implementados. Quanto à influência da gradação,
observou-se um aumento da largura de membros estruturais nas regiões de menor módulo de
elasticidade, enquanto que as regiões de maior módulo de elasticidade tendem a apresentar
maior número de membros de menor largura. Também foi considerada a competição entre as
escalas características de dimensão de membros estruturais impostas pela gradação e pela
técnica de regularização empregada (isto é, o filtro de Sigmund). Considerações sobre
simetria e repetição de padrões podem ser feitas no projeto de estruturas com FGM adotando-
se gradação local ou gradação global, sendo que a primeira apresenta a vantagem de resultar
em soluções simétricas tanto geometricamente como em relação à distribuição de material. Os
resultados apresentados mostram que a formulação utilizada é eficaz para representar as
microestruturas de materiais celulares com gradação e são compatíveis com os apresentados
por outros autores.
Palavras-chave: Otimização de topologia. Simetria. Padrão. Material com gradação funcional
(FGM).
T. Honório Lista de siglas
LISTA DE SIGLAS
CAMD – Continuous Approximation of Material Distribution
CO – Critério de Otimalidade
FGM – Functionally Graded Material
FGM-SIMP – modelo SIMP aplicado a FGM
MEF – Métodos dos Elementos Finitos
OT – Otimização de topologia
SIMP –Solid Isotropic Material with Penalization
T. Honório Lista de símbolos
LISTA DE SÍMBOLOS
Símbolos romanos
B - matriz que relaciona deformações e deslocamentos tradicional
c - flexibilidade média da estrutura
C0 - a matriz constitutiva da fase sólida do material referência
d - conjunto de densidades nodais
d1 - conjunto de densidades nodais primárias.
d2 - conjunto de densidades nodais secundárias formado a partir de d1 estabelecendo
uma configuração simétrica.
)(xs
E - o módulo de elasticidade na posição x ;
0E - é o valor referência do módulo de elasticidade;
f - fração de volume correspondente à estrutura no domínio estendido
F - vetor global de forças nodais
H - a altura da estrutura
K - matriz de rigidez global da estrutura
ke - matriz de rigidez do elemento
L - comprimento da estrutura
)(xe
iN - funções de forma do elemento e relacionado ao nó i nas coordenadas x .
p - penalidade a qual é elevado o módulo de elasticidade buscando reduzir as densidades
intermediárias
rmin - raio mínimo empregado no filtro de Sigmund
rproj - Raio mínimo empregado na técnica de projeção
U - vetor de deslocamentos globais da estrutura
V0 - volume de material (soma das densidades no domínio estendido);
X - coordenadas cartesianas do ponto x na direção das abscissas.
Simetria e repetição de padrões em otimização de topologia de estruturas bidimensionais com ...
T. Honório Lista de símbolos
y - variáveis de projeto podendo ser densidades nos elementos ou densidades nodais
Y - são as coordenadas cartesianas do ponto x na direção das ordenadas.
Símbolos gregos
- coeficiente de gradação do material na direção X do plano cartesiano
- coeficientes de gradação do material na direção Y do plano cartesiano
ρ - densidade no elemento
min - densidade mínima admitida
T. Honório Sumário
SUMÁRIO
1. INTRODUÇÃO .............................................................................................................. 9
1.1. OBJETIVOS ................................................................................................................. 10
1.2. DESENVOLVIMENTO DO TRABALHO ............................................................... 10
2. CONCEITOS BÁSICOS SOBRE OTIMIZAÇÃO DE TOPOLOGIA ................... 11
2.1. MODELO SIMP .......................................................................................................... 13
2.2. INSTABILIDADES NUMÉRICAS EM OT ............................................................... 14
2.3. ANÁLISE DE SENSIBILIDADE ................................................................................ 15
2.4. FILTRO DE SENSIBILIDADE .................................................................................. 16
2.5. PROCEDIMENTO COMPUTACIONAL ................................................................. 17
2.5.1. Análise pelo Método dos Elementos Finitos (MEF) ........................................... 18
2.5.2. Otimização por critério de otimalidade (CO) ..................................................... 21
3. OTIMIZAÇÃO DE TOPOLOGIA APLICADA A MATERIAIS COM
GRADAÇÃO FUNCIONAL, COM RESTRIÇÕES DE SIMETRIA E
REPETIÇÃO DE PADRÃO ........................................................................................ 23
3.1. MATERIAIS COM GRADAÇÃO FUNCIONAL ..................................................... 23
3.1.1. Aproximação contínua da distribuição de material – CAMD............................ 24
3.1.2. Modelo FGM-SIMP................................................................................................ 25
3.2. SIMETRIA E PADRÕES PARA MATERIAS COM GRADAÇÃO
FUNCIONAL EM OTIMIZAÇÃO DE TOPOLOGIA ............................................. 26
3.2.1. Gradação local e global .......................................................................................... 26
3.2.2. Formulação de restrições de simetria ................................................................... 27
3.2.3. Formulação de restrições de repetição de padrões .............................................. 29
3.3. PROCEDIMENTO COMPUTACIONAL ................................................................. 30
3.3.1. Análise pelo Método dos Elementos Finitos ........................................................ 31
3.3.2. Análise de sensibilidade ......................................................................................... 32
3.3.3. Filtro de sensibilidade e otimização por CO ........................................................ 32
3.3.4. Outras considerações sobre a implementação computacional ........................... 33
4. RESULTADOS .............................................................................................................. 34
4.1. INFLUÊNCIA DA GRADAÇÃO DE MATERIAIS EM OT ................................... 34
4.1.1. Exemplo 1: Viga engastada ................................................................................... 34
4.1.2. Exemplo 2: Treliça de Michell .............................................................................. 37
Simetria e repetição de padrões em otimização de topologia de estruturas bidimensionais com ...
T. Honório Sumário
4.1.3. Imposição de uma escala de dimensão.................................................................. 41
4.2. RESTRIÇÕES DE SIMETRIA ................................................................................... 43
4.2.1. Exemplo 3: Viga engastada ................................................................................... 43
4.2.2. Exemplo 4 – Viga simplesmente apoiada com carregamento assimétrico ........ 44
4.3. RESTRIÇÕES DE REPETIÇÃO DE PADRÕES ..................................................... 45
4.3.1. Exemplo 5 - Barra sujeita à tração ....................................................................... 43
4.3.2. Exemplo 6: Viga engastada ................................................................................... 48
5. CONCLUSÕES ............................................................................................................ 52
REFERÊNCIAS ..................................................................................................................... 54
T. Honório Capítulo 1
CAPÍTULO 1
INTRODUÇÃO
A automatização das ferramentas de projeto têm sido uma constante nas últimas
décadas. Trabalhos que visam aperfeiçoar as técnicas de análise de estruturas abrangem vários
campos da ciência e a sua associação com métodos numéricos e ferramentas computacionais
têm sido uma constante em vários campos da engenharia. Nesse âmbito, as técnicas de
otimização representam um grande avanço no auxílio ao projetista de estruturas e
componentes, pois buscam obter a melhor solução para um determinado problema atendendo
às condições de projeto. Essas técnicas podem ser aplicadas tanto na fase de concepção
estrutural quanto na fase de dimensionamento e seu estudo constitui hoje um dos grandes
campos abertos da ciência.
A topologia de uma estrutura compreende sua forma bem como seus limites
interiores e exteriores e é tradicionalmente escolhida por intuição do projetista ou por
inspiração em algo já existente. A otimização de topologia (OT) é o campo da ciência que
procura fornecer uma resposta racional para a definição da topologia de uma estrutura.
Define-se domínio da estrutura como a região do espaço na qual se encontram elementos
com função portante e domínio estendido como a região do espaço na qual se pode distribuir
material para a formação da estrutura. Assim, para um dado carregamento, uma quantidade de
material especificada a ser distribuída em um domínio estendido e para certas condições de
contorno, o processo de otimização de topologia retorna o layout ótimo atendendo a requisitos
definidos pelo projetista. As aplicações em OT têm mostrado grande relevância nos últimos
anos, conforme atesta a literatura especializada, e os produtos dessa linha de pesquisa
configuram-se como uma ferramenta promissora tendo em vista a crescente competição
tecnológica e as maiores exigências ambientais por uma utilização mais racional de materiais.
Vários trabalhos têm sido publicados nos últimos anos com o objetivo de tornar as
técnicas de OT mais capazes de fornecer respostas que atendam às expectativas da indústria
(como a de produção de estruturas e componentes para Engenharia Civil, a aeroespacial, a de
produção de materiais eletrônicos, etc.). Alguns trabalhos tratam, por exemplo, da imposição
de escalas de dimensões, seja máxima ou mínima, tanto membros estruturais resultantes
quanto aos furos da estrutura (GUEST et al., 2004; GUEST, 2008; GUEST, 2009;
ALMEIDA et al., 2009). Outra abordagem interessante para produção de peças adequadas em
Simetria e repetição de padrões em otimização de topologia de estruturas bidimensionais com ... 10
T. Honório Capítulo 1
relação às condições de manufatura é a implementação de restrições de simetria e de
repetições de padrões no problema de otimização de topologia (ALMEIDA et al., 2010).
Outra aplicação refere-se ao estudo sobre materiais com gradação funcional
(FGM, do inglês Functionally Graded Material), que são uma classe de compósitos
avançados que possuem uma variação gradual das propriedades ao longo de uma ou mais
direções. Esses materiais foram inicialmente concebidos para utilização na engenharia
aeroespacial, mas podem ser aplicados em diversos outros campos da engenharia. Sua
aplicação mais comum se dá na fabricação de materiais compostos de ligas metálicas e
materiais cerâmicos a fim de se obter um material ao mesmo tempo com resistência mecânica
e térmica. No âmbito da engenharia civil é possível se projetar FGMs compostos de concreto
com diversas adições de fibras metálicas, entre outras aplicações.
A vantagem desses materiais é a possibilidade de se projetar e fabricar o gradiente
de propriedades de forma a melhor atender as necessidades de projeto. Assim, FGMs podem
ser concebidos visando a redução de tensões residuais, o aumento da resistência de aderência
ou a redução de concentrações de tensão. Nesse sentido, técnicas de otimização de topologia
tem sido usadas visando potencializar as vantagens desses materiais. Destacam-se os
trabalhos de Carbonari et al. (2007; 2009) e de Almeida et al. (2008) sobre o uso de OT para
o projeto de estruturas com FGM e de Almeida et al. (2010) sobre a utilização de restrições de
simetria e de repetições de padrões para o projeto de estruturas com FGMs.
1.1. OBJETIVOS
Este trabalho tem como objetivo estudar a aplicação da técnica de otimização de
topologia utilizando a abordagem de aproximação contínua da distribuição de material e o
modelo SIMP para o projeto de estruturas com gradação. Estuda-se a influência da gradação
no comportamento mecânico (flexibilidade média) de estruturas projetados por meio de
otimização de topologia bem como a influência da inserção de restrições de simetria e de
repetições de padrões nessas estruturas.
1.2. DESENVOLVIMENTO DO TRABALHO
O trabalho encontra-se dividido em 5 (cinco) capítulos. No segundo capítulo são
abordados os conceitos básicos de otimização de topologia aplicada a materiais homogêneos.
O capítulo 3 trata dos materiais com gradação funcional, das restrições de simetria e de
repetição de padrões e como elas podem ser implementadas no problema de otimização de
Simetria e repetição de padrões em otimização de topologia de estruturas bidimensionais com ... 11
T. Honório Capítulo 1
topologia através de uma abordagem local-global da gradação das propriedades do material.
Os resultados numéricos são apresentados no capítulo 4. E por fim, o capítulo 5 apresenta as
conclusões do trabalho, as sugestões para trabalhos futuros e as considerações finais.
T. H.onório Capítulo 2
CAPÍTULO 2
CONCEITOS BÁSICOS SOBRE OTIMIZAÇÃO DE
TOPOLOGIA
Otimização é a parte da ciência que trata da obtenção racional da melhor solução
para um determinado problema atendendo a determinadas condições. A otimização de
topologia consiste em procurar a distribuição ótima de material em um domínio estendido, de
forma a atender a certos critérios como equilíbrio e manutenção do volume constante durante
o processo de otimização. Trata-se de um tema importante já que as aplicações industriais são
numerosas e as ferramentas computacionais disponíveis atualmente permitem o estudo de
configurações cada vez mais complexas. A relevância do assunto é evidenciada quando se
leva em conta que a escolha de uma topologia apropriada na fase de concepção estrutural é
geralmente um fator decisivo para a eficiência da estrutura.
Em otimização estrutural, para um problema posto, sua solução consiste em
determinar valores ótimos das variáveis de projeto de forma a maximizar ou minimizar uma
função objetivo, satisfazendo-se as restrições do problema no domínio onde o problema está
definido (OLHOFF; TAYLOR, 1983). Por função objetivo entende-se o critério matemático
que mede a qualidade da solução. O termo restrições refere-se às condições que devem ser
atendidas. No caso de otimização de topologia, tradicionalmente as variáveis de projeto são as
densidades de cada elemento definido na discretização do domínio. Em muitos trabalhos
utiliza-se a flexibilidade média da estrutura como função objetivo a ser minimizada. As
aplicações de OT apresentam sempre restrições em relação ao volume, mantido constante, ao
campo de ação das variáveis de projeto e às equações de equilíbrio. De acordo com o
problema, outros casos são considerados como tamanho mínimo de elementos ou de furos etc.
Quanto às variáveis de projeto, outra abordagem consiste em definir como
variáveis de projeto as densidades atribuídas aos nós da malha de elementos finitos. Nesse
caso, a densidade de um nó participaria na computação da densidade de todos os elementos
ligados a esse nó, resultando assim numa variação do campo de densidades dos elementos
mais suave localmente. Embora essas densidades nodais não tenham um significado físico, tal
abordagem é útil para a implementação de outras técnicas, além de aliviar algumas das
Simetria e repetição de padrões em otimização de topologia de estruturas bidimensionais com ... 13
T. Honório Capítulo 2
instabilidades numéricas inerentes à formulação do problema de otimização de topologia
(KUMAR; GOSSARD1, 1996 apud ALMEIDA et al., 2010 e MATSUI; TERADA, 2004).
Assim o problema de OT pode ser descrito pela expressão (2.1), tanto no caso de
se adotarem as densidades no centro dos elementos como variáveis de projeto, como no caso
de se adotarem as densidades nodais. A primeira restrição do problema (2.1) corresponde ao
sistema de equações de equilíbrio em forma discreta, a segunda à restrição de volume e a
terceira representa restrições laterais aos valores das variáveis de projeto.
10
)(
a sujeito
)(minimiza que
Obter
min
0
y
fV
V
cT
y
FUK
UKUy
y
(2.1)
Onde:
y - vetor das variáveis de projeto, podendo ser densidades nos elementos ou densidades
nodais;
c - função objetivo representando a flexibilidade média da estrutura;
U - vetor de deslocamentos globais da estrutura;
K - matriz de rigidez global da estrutura;
F - vetor global de forças nodais;
V0 - volume de material (soma das densidades no domínio estendido);
f - fração de volume correspondente à estrutura no domínio estendido; e
min - densidade mínima admitida.
A primeira restrição, representada pela equação (2.2), é chamada de indireta, ou
seja, não é considerada explicitamente pelo algoritmo de otimização. Em algum momento do
processo de otimização resolve-se o sistema de equações representado por essa restrição
através de uma análise estrutural que forneça o campo de deslocamentos da estrutura. Na
maioria das vezes isto é feito utilizando-se o Método dos Elementos Finitos (MEF). As outras
1 KUMAR, A. V.; GOSSARD, D. C. Synthesis of optimal shape and topology of structures. Journal of
Mechanical Design, ASME, v. 118, n. 1, p. 68–74, 1996.
Simetria e repetição de padrões em otimização de topologia de estruturas bidimensionais com ... 14
T. Honório Capítulo 2
duas restrições são ditas diretas, pois são consideradas explicitamente pelo algoritmo de
otimização.
FUK (2.2)
Para a análise estrutural via MEF é necessário obter a matriz de rigidez da
estrutura K em função da distribuição das densidades no interior do elemento. A solução da
equação de equilíbrio (2.2) fornece os deslocamentos nodais, os quais sofrem influência da
distribuição de densidades nos elementos no domínio estendido, calculadas a partir das
variáveis de projeto. Assim em OT, a solução é fornecida em termos de densidades dos
elementos, já que estes são os valores representativos da rigidez. Elementos com densidade
nula constituem os vazios da configuração estrutural ótima e elementos com densidade
unitária constituem, por sua vez, as regiões do domínio em que existe material. A formulação
do problema dessa forma discreta com resposta 0-1 (vazio-sólido) não é bem posto, sendo
necessário, portanto, o emprego de artifícios para solucionar o problema de otimização de
topologia2 (STUMP, 2006).
2.1. MODELO SIMP
Para a formulação do problema de OT, aplica-se alguma técnica de relaxação que
consiste na utilização de uma função que parametrize o tensor constitutivo do material para
densidades ρ variando de 0 (vazio) a 1 (sólido). Dentre essas técnicas, diferentes modelos são
propostos, sejam baseados em alguma microestrutura definida, sejam baseados em algum
tensor constitutivo conhecido, mas sem microestrutura definida. Desses últimos, o modelo
mais empregado pela literatura relacionada a OT é o modelo denominado Solid Isotropic
Material with Penalty, SIMP, proposto por Bendsøe (1989).
Neste modelo o comportamento constitutivo de um material artificial é
caracterizado e definido por uma função paramétrica associada com a densidade do material.
Para esse caso, o módulo de elasticidade efetivo é dado por:
p
SEE )( (2.3)
Onde:
2 Matematicamente, o espaço de soluções definido pela função que determina a densidade no elemento e pelas
restrições de volume comumente adotadas não é convexo quando essa função da densidade é discreta (densidade
0-1). Para resolver isso, o espaço de solução pode ser alterado por meio de uma relaxação do problema em que
densidades intermediárias são permitidas. (STUMP, 2006)
Simetria e repetição de padrões em otimização de topologia de estruturas bidimensionais com ... 15
T. Honório Capítulo 2
ES - é o módulo de elasticidade do material sólido;
ρ - é a densidade volumétrica;
p - o coeficiente de penalização.
Para p > 1, as densidades intermediárias são penalizadas, pois grandes alterações
na densidade provocam pequeno ganho de rigidez. Assim, apesar de o problema permitir uma
variação contínua das variáveis de projeto, os resultados obtidos ao final do processo de
otimização tendem a uma resposta do tipo sólido-vazio.
2.2. INSTABILIDADES NUMÉRICAS EM OT
A implementação de problemas de OT está sujeita a diferentes instabilidades
numéricas oriundas da relaxação e da formulação numérica do problema. Nesta seção serão
discutidas os seguinte fenômenos: soluções em tabuleiro de xadrez, formação de ilhas e
dependência da malha.
O problema de solução em tabuleiro de xadrez é caracterizado por regiões, na
solução final, onde existe alternância de elementos com e sem material, de padrão similar à
um tabuleiro de xadrez (Figura 2.1) Tal instabilidade é inerente à formulação numérica e pode
ser explicada pela maior rigidez artificial da região com configuração em tabuleiro em relação
à uma configuração de distribuição homogênea de material (STUMP, 2006). Logo, o padrão
de tabuleiro têm preferência na solução otimizada em problemas de minimização da
flexibilidade. Outra explicação para a instabilidade de tabuleiro de xadrez se baseia no fato de
que o problema de OT é variacional misto, com objetivo de determinar dois campos físicos
(deslocamento e densidades). Assim, para elementos de baixa ordem, a resolução do problema
pode se tornar mal-condicionada para alguns campos de deslocamento o que propicia o
aparecimento de instabilidades de tabuleiro (JOG; HARBER3, 1996 apud STUMP, 2006).
Figura 2.1 – Exemplo de solução com regiões com instabilidade de tabuleiro
3 JOG, C. S.; HABER, R. B. Stability of finite element models for distributed-parameter optimization and
topology design. Computer methods in Applied Mechanics and Engineering, v. 130, n. 3-4, p. 203-226, 1996
Simetria e repetição de padrões em otimização de topologia de estruturas bidimensionais com ... 16
T. Honório Capítulo 2
Outro fenômeno semelhante ao da solução em tabuleiro é o da formação de ilhas,
caracterizado pela existência de regiões com material não conectadas ao restante da estrutura
na solução final. A Figura 2.2 apresenta um exemplo de solução com o fenômeno de
formação de ilhas ou camadas desconectadas. A origem desse fenômeno está relacionada à
atribuição de uma densidade mínima (ρmin > 0) aos elementos “vazios”, que passam a possuir
portanto, uma certa rigidez que pode ser suficiente para que o layout resultante seja aceitável
pela análise pelo MEF.
Figura 2.2 – Exemplo de solução com formação de ilhas (Fonte: STUMP, 2006)
Outra instabilidade numérica ocorrente na implementação de problemas de OT é a
dependência da malha. Esta é caracterizada pelo fato de que para um mesmo problema de
OT, um mesmo domínio estendido e as mesmas condições de contorno, diferentes soluções
são apresentadas segundo a discretização da malha de elementos finitos. Nesse caso, em vez
do aumento da discretização apenas melhorar a definição dos contornos da estrutura, o que se
nota é a alteração do layout com o aumento do número de membros da estrutura (Figura 2.3).
Figura 2.3 – Exemplo de problema com dependêcia da malha (STUMP, 2006)
2.3. ANÁLISE DE SENSIBILIDADE
A sensibilidade em relação às variáveis de projeto é avaliada utilizando o método
adjunto. Para o caso em que as variáveis de projeto y são as densidades nos elementos e
obtém-se (BENDSØE, 1989):
Simetria e repetição de padrões em otimização de topologia de estruturas bidimensionais com ... 17
T. Honório Capítulo 2
uK
u
e
T
e
c
(2.4)
Quando são adotadas como variáveis de projeto y as densidades nodais d , a
sensibilidade é obtida a partir de (2.4) com o uso da regra da cadeia:
i
e
eid
c
d
c
(2.5)
Onde:
iS - é o conjunto de elementos que compartilham o nó i;
eu - é o vetor de deslocamento do elemento e;
eK - é a matriz de rigidez do elemento e; e
e
id - é a densidade do nó i do elemento e.
2.4. FILTRO DE SENSIBILIDADE
Com o objetivo de evitar essas instabilidades e garantir a solução do problema
(2.1), diversos métodos têm sido propostos na literatura no sentido de introduzir restrições
que eliminem as soluções indesejáveis. Entre esses métodos destacam-se os filtros espaciais,
cuja idéia básica é a substituição de uma possível função não - regular por uma regularizada
obtida através da convolução desta última com uma função suave (BOURDIN4, 2001 apud
STUMP, 2006).
Um dos filtros espaciais propostos na literatura mais utilizados é o filtro de
sensibilidade de Sigmund (19945, 1997
6 apud SIGMUND, 2001), dado por:
f
N
f
ffN
f
fe
ey
cyH
Hyy
c
1
1
ˆ
ˆ
1 (2.6)
Em que o operador de convolução f
H (ou fator peso) é dado por:
4 BOURDIN, B. Filters in topology optimization. International Journal for Numerical Methods in
Engineering, v. 50, n. 9, p. 2143-2158, 2001. 5 SIGMUND, O. Design of material structures using topology optimization. 1994. Tese (Ph.D.) – Department
of Solid Mechanics, Technical University of Denmark, 1994. 6
SIGMUND, O. On the design of compliant mechanisms using topology optimization. Mechanics of
Structures and Machines. v. 25, p. 495-526, 1997.
Simetria e repetição de padrões em otimização de topologia de estruturas bidimensionais com ... 18
T. Honório Capítulo 2
),(ˆmin
fedistrHf
(2.7)
NerfedistNf ,...,1,),(| commin
Onde:
),( fedist - é a distância entre o centro do elemento e o centro do elemento f;
minr - é o raio mínimo que descreve a área do filtro.
fH - é operador de convolução que é zero fora dos limites da área do filtro e
decresce linearmente com o acréscimo da distância a partir do elemento f.
Embora não tenha sido provado que tal filtro garanta a existência de soluções,
numerosas aplicações têm provado sua eficácia nesse sentido e na prevenção de instabilidades
numéricas como a dependência de malha e a instabilidade do tabuleiro (SIGMUND, 2001).
Além disso, esse filtro de sensibilidades promove uma imposição indireta de uma dimensão
mínima dos membros estruturais na solução.
2.5. PROCEDIMENTO COMPUTACIONAL
Para a implementação computacional do problema proposto de OT, pode-se tomar
como ponto de partida o código 99 lines de Sigmund (2001) para MATLAB® 7.0.
Figura 2.4 – Fluxograma: problema básico de OT (SIGMUND, 2001)
Simetria e repetição de padrões em otimização de topologia de estruturas bidimensionais com ... 19
T. Honório Capítulo 2
A Figura 2.4 apresenta o fluxo de procedimentos segundo a proposta do autor
citado para um problema de OT resolvido utilizando o critério de otimalidade como critério
de otimização e o filtro de sensibilidades de Sigmund como esquema de regularização. O
código 99 lines foi adaptado para a solução de problemas com gradação funcional e para
inclusão de condições de simetria e de repetição de padrões, conforme descrito no Capítulo 3.
Foi utilizada, em associação, a técnica de continuação caracterizada pelo uso de
fator de penalidade unitário no início das iterações e seu gradual incremento ao longo do
processo de otimização. Essa técnica deriva do fato de que o problema de OT é não convexo e
repleto de mínimos locais, o que torna o processo de transposição desses pontos um desafio
aos algoritmos de otimização. O fator de penalidade unitário fornece uma solução não factível
devido à presença de densidades intermediárias. No entanto, essa solução é próxima do
mínimo global. Assim, ao iniciar o processo com fator de penalidade unitário, evita-se a
passagem por vários mínimos locais e ao se incrementar gradualmente o seu valor, eliminam-
se as soluções com densidades intermediárias.
2.5.1. Análise pelo Método dos Elementos Finitos (MEF)
Na implementação utilizada neste trabalho, o MEF é formulado para elementos
bilineares quadráticos de 4 nós (Q4) adotando-se a numeração dos nós e o sistema de
coordenadas e deslocamentos nodais como mostrado na Figura 2.5.
Figura 2.5 – Sistema de coordenadas, numeração dos nós e deslocamentos nodais
Seguindo a formulação tradicional do MEF, relacionando os deslocamentos no
interior dos elementos ),( yxu na direção X e ),( yxv na direção Y, com os deslocamentos nos
nós dos elementos tem-se:
yxcycxcc
yxcycxcc
yxv
yxu
3210
3210
),(
),(u (2.8)
Onde:
Simetria e repetição de padrões em otimização de topologia de estruturas bidimensionais com ... 20
T. Honório Capítulo 2
3...0c - são coeficientes das funções de interpolação;
x e y - são as coordenadas nas direções dos eixos X e Y, respectivamente.
Estabelecendo-se as condições de contorno para os deslocamentos dos quatro nós
do elemento (Figura 2.5):
1
1
1
1
1
1
1
1
4
3
2
1
4
3
2
1
y
y
y
y
x
x
x
x
(2.9)
Onde xi e yi são as coordenadas do nó i nas direções dos eixos X e Y, respectivamente.
Pela formulação tradicional do MEF obtém-se, portanto, as funções de forma:
)1()1(4
11
yxN
)1()1(4
12
yxN
(2.10)
)1()1(4
13
yxN
)1()1(4
14
yxN
Os deslocamentos no interior do elemento u podem então ser obtidos em função
dos deslocamentos nodais u :
4
4
3
3
2
2
1
1
4
4
3
3
2
2
1
10
0
0
0
0
0
0
0,
,
v
u
v
u
v
u
v
u
N
N
N
N
N
N
N
N
yxv
yxu
(2.11)
Ou em forma matricial:
uNu ˆ (2.12)
A relação de compatibilidade entre as deformações e os deslocamentos u no
estado plano é dada por:
Simetria e repetição de padrões em otimização de topologia de estruturas bidimensionais com ... 21
T. Honório Capítulo 2
v
u
xy
y
x
xy
y
x
0
0
(2.13)
Ou em forma matricial:
uε (2.14)
Para obter a matriz B, que relaciona os deslocamento nodais com o campo de
deformação no interior do elemento, substitui-se (2.12) em (2.14) e obtém-se .
uBε ˆ (2.15)
Onde:
4
4
3
3
2
2
1
10
0
0
0
0
0
0
00
0
N
N
N
N
N
N
N
N
xy
y
x
NB (2.16)
Pela teoria da elasticidade tem-se, para o estado plano de tensões, a relação entre o
campo de tensão e o campo de deformação para um material homogêneo isotrópico, dada por:
εCσ0
(2.17)
Onde o tensor constitutivo é dado por:
2
100
01
01
120
EC (2.18)
Onde:
E - é o módulo de elasticidade; e
- é o coeficiente de Poisson.
A partir desses dados, a matriz de rigidez do elemento ke pode ser calculada por:
de
BCBk0
T (2.19)
Simetria e repetição de padrões em otimização de topologia de estruturas bidimensionais com ... 22
T. Honório Capítulo 2
Onde é o domínio do elemento e.
Levando-se em conta as considerações feitas sobre o modelo SIMP (2.3) e as
dimensões dos elementos conforme (2.9) obtém-se:
1
1
1
1
dydxpe
ieBCBk
0
T (2.20)
Computada a matriz de rigidez dos elementos, essa é transportada para a matriz de
rigidez da estrutura K segundo a conectividade dos elementos e a numeração dos graus de
liberdade da estrutura definidas. Assim, tendo o vetor de forças equivalente f definido
segundo o carregamento na estrutura, tem-se que:
K U = F (2.21)
Para as condições de contorno definidas, através do sistema linear de (2.21)
determinam-se os deslocamentos nodais que serão utilizados no cálculo da função objetivo.
2.5.2. Otimização por critério de otimalidade (CO)
O problema de otimização pode ser resolvido empregando-se diferentes técnicas
de otimização como a programação linear seqüencial, o método das assíntotas móveis ou
ainda métodos que utilizam critério de otimalidade. Esse último é implementado no 99 lines
de acordo com a formulação a seguir.
Sabendo-se que o volume de material V, ou seja, a soma das densidades no
domínio fixado, é uma função do multiplicador de Lagrange que decresce monotonamente, o
valor desse multiplicador pode ser encontrado por um algoritmo de bisecção (SIGMUND,
2001). Um método heurístico para a atualização dos valores das variáveis de projeto proposto
por Bendsøe (1995) utilizando o critério de otimalidade é definido como segue:
),1min(se ),1min(
),1min(),max(se
),max(se),max(
min
minmin
e
ee
e
novo
Bymymy
myBymyyBy
myyBymyy
y (2.22)
Para:
y
V
y
c
Be
(2.23)
Simetria e repetição de padrões em otimização de topologia de estruturas bidimensionais com ... 23
T. Honório Capítulo 2
Onde:
novoy - é o valor atualizado da variável de projeto;
miny - é o valor mínimo permitido para a variável de projeto (diferente de zero para se
evitar singularidades);
m - é um valor positivo usado para evitar a estagnação da solução em mínimos locais;
- é um coeficiente numérico de amortecimento, adotado comumente como 0,5;
eB
- é determinado pela condição de otimalidade segundo 2.17 em que:
y
c
- é a sensibilidade da função objetivo;
- é o multiplicador de Lagrange encontrado pelo algoritmo de bisseção;
V - é o volume de material.
T. H.onório Capítulo 3
CAPÍTULO 3
OTIMIZAÇÃO DE TOPOLOGIA APLICADA A MATERIAIS
COM GRADAÇÃO FUNCIONAL, COM RESTRIÇÕES DE
SIMETRIA E REPETIÇÃO DE PADRÃO
Este capítulo apresenta a formulação de OT para materiais com gradação
funcional, assim como as considerações específicas que devem ser feitas para implementação
de restrições de simetria e repetições de padrão.
3.1. MATERIAIS COM GRADAÇÃO FUNCIONAL
Os Materiais com Gradação Funcional (FGM, do inglês Functionally Graded
Material) são uma classe de compósitos avançados que possuem uma variação gradual das
propriedades ao longo de uma ou mais direções. A Figura 3,1 mostra a representação da
variação da microestrutura de um material gradado com duas fases designadas fase (+) e
fase (-). Nessa representação, três regiões são identificadas: a Região A com predominância
da fase (-) com inclusões da fase (+), a Região B de transição entre as fases sem que haja
predominância de nenhuma dessas, e a Região C de predominância da fase (+) com inclusões
da fase (-).
Figura 3.1 – Representação da variação da microestrutura em um material gradado (STUMP, 2006)
O conceito de FGM foi proposto inicialmente em 1984 por pesquisadores
japoneses com o objetivo de fabricar materiais para barreiras térmicas. O gradiente de
Simetria e repetição de padrões em otimização de topologia de estruturas bidimensionais com ... 25
T. Honório Capítulo 3
propriedade é devido à variação contínua da microestrutura, da composição química ou da
organização atômica do material (KIEBACK; NEUBRAND; RIEDEL7, 2003 apud STUMP,
2006). De acordo com os mesmo autores, a fabricação dos FGM compreende duas etapas: a
construção do gradiente e a consolidação da estrutura com gradiente.
A vantagem dos FGMs reside justamente na possibilidade de se projetar e fabricar
o gradiente de propriedades de forma a melhor atender as necessidades de projeto. Assim,
esses materiais podem ser concebidos visando a redução de tensões residuais, o aumento da
resistência de aderência ou a redução de concentrações de tensão.
Nesse sentido, técnicas de otimização de topologia tem sido usadas visando
potencializar as vantagens desses materiais. Destacam-se os trabalhos de Carbonari et al.
(2007; 2009) sobre a gradação de propriedades elétricas e mecânicas de atuadores
piezoelétricos; e os de Almeida et al. (2008, 2009, 2010) sobre o projeto de estruturas de
FGM, restrições de simetria e de repetições de padrões para o projeto de estruturas com
FGMs.
Para contemplar as especificidades dos FGM num problema de OT, algumas
considerações devem ser feitas empregando-se uma modelagem modificada daquela
apresentada no capítulo anterior.
3.1.1. Aproximação contínua da distribuição de material – CAMD
Baseada na abordagem das densidades nodais, um técnica comumente empregada
para a modelagem de estruturas com gradação funcional no caso de otimização de topologia é
a Aproximação Contínua da Distribuição do Material (CAMD, do inglês Continuous
Approximation of Material Distribution) proposta por Matsui e Terada (2004). Nessa técnica
o campo de densidades dentro dos elementos é obtido a partir de seus valores nodais usando
as funções de forma usadas para interpolação de deslocamentos no MEF. Deste modo, para
um elemento Q4, a densidade volumétrica passa a ser definida por:
4
1
)()(
i
e
i
e
i
eNd xx (3.1)
Onde:
e
id - designa a densidade nodal do elemento e referente ao nó i;
7 KIEBACK, B.; NEUBRAND, A.; RIEDEL, H. Processing techniques for functionally graded materials.
Materials Science and Engineering A, v. 362, n. 1-2, p. 81-105, 2003
Simetria e repetição de padrões em otimização de topologia de estruturas bidimensionais com ... 26
T. Honório Capítulo 3
)(xe
iN - representa a função de forma do elemento e relacionado ao nó i nas coordenadas x.
As variáveis de projeto são definidas sobre os nós de canto dos elementos,
permitindo assim uma variação de densidade ao longo do elemento e, consequentemente, da
sua rigidez. A matriz de rigidez do elemento assume então a expressão:
e
dNdT
p
i
e
i
e
ieBCBxK
0
4
1
)( (3.2)
Onde:
C0 - é a matriz constitutiva da fase sólida do material;
B - designa a matriz que relaciona deformações em qualquer ponto no domínio do
elemento e seus deslocamentos nodais.
O CAMD pretendia resolver os problemas de instabilidade numérica
característicos da técnica de OT apresentados no item 2.2. Contudo, a técnica não logrou êxito
em seu objetivo inicial e hoje sua maior aplicação se dá no campo da aplicação de OT a
FGMs, uma vez que sua idéia central está no cerne do modelo FGM-SIMP.
3.1.2. Modelo FGM-SIMP
A aplicação de técnicas de OT a estruturas compostas de FGM demandam
considerações específicas sobre o modelo de material e sobre a representação do campo de
densidades. Kim e Paulino (2002) propõem uma abordagem que consiste na extensão do
conceito de elementos finitos isoparamétricos à representação das propriedades mecânicas do
material dentro do elemento, criando o conceito de elemento finito com gradação funcional. A
partir dessa abordagem, Paulino e Silva (2005) desenvolveram o modelo FGM-SIMP, uma
adaptação do modelo SIMP que permite a aplicação direta de técnicas de otimização de
topologia para estruturas com gradação funcional.
No modelo FGM-SIMP a gradação de propriedades dos materiais pode ser
avaliada experimentalmente, utilizando modelos micromecânicos ou a partir de funções pré-
definidas. Para o emprego do modelo em otimização de topologia, é conveniente o uso de
funções pré-definidas para representar a gradação, pois estas possuem a vantagem de
simplificar o processo de obtenção das propriedades dos materiais nos pontos desejados do
domínio de projeto. Neste trabalho utiliza-se uma função exponencial para representar a
gradação da propriedade do material. Assim, para o caso bi-dimensional tem-se:
Simetria e repetição de padrões em otimização de topologia de estruturas bidimensionais com ... 27
T. Honório Capítulo 3
)(
0)(
YX
seEE
x (3.3)
Onde:
e - são coeficientes que definem a gradação do material em cada direção do plano
cartesiano;
ES(x) - é o módulo de elasticidade na posição x;
E0 - é o valor referência do módulo de elasticidade;
X e Y - são as coordenadas cartesianas do ponto x.
Observa-se que o inverso dos coeficientes e têm dimensão [L]-1
e funcionam
como escalas de dimensão dos membros estruturais nas direções da gradação (ALMEIDA et
al., 2008, ALMEIDA et al., 2010). Os autores ressaltam que o efeito da gradação é então
inverso do efeito dos esquemas de regularização.
No modelo FGM-SIMP, Paulino e Silva (2005) adaptam a expressão original do
modelo SIMP, expressa em (2.3), para incluir a gradação das propriedades.
1>,)()()(
0peEE
pYXHxx
(3.4)
A expressão característica do modelo FGM-SIMP (2.9) deve ser aplicada em associação ao
CAMD (2.7). Logo, a matriz de rigidez dos elementos é dada por:
e
deNdTYX
p
i
e
i
e
ieBCBxK
0
)(
4
1
)( (3.5)
3.2. SIMETRIA E PADRÕES PARA MATERIAS COM GRADAÇÃO
FUNCIONAL EM OTIMIZAÇÃO DE TOPOLOGIA
A consideração de restrições de simetria e de repetições de padrões em projetos de
estruturas utilizando otimização de topologia constitui uma vantagem para as etapas de
produção dessas estruturas. De fato, essas formulações podem facilitar a montagem de
estruturas divididas por um número definido de componentes e podem reduzir custos pela
fabricação de um tipo único de componente (ALMEIDA et al., 2010). Nesta seção, as
formulações para a imposição de simetria e repetição de padrões serão consideradas de acordo
com as abordagens de gradação local e de gradação global.
Simetria e repetição de padrões em otimização de topologia de estruturas bidimensionais com ... 28
T. Honório Capítulo 3
3.2.1. Gradação local e global
Quando se trata da incorporação de restrições de simetria no projeto de estruturas
com materiais com gradação funcional pode-se considerar duas abordagens: a gradação global
e a gradação local.
Figura 3.2 – Imposição de simetria: gradação global (a) e gradação local (b) (ALMEIDA et al., 2010)
Gradação global significa que embora a geometria definida seja simétrica, a
gradação de material não o é; assim a estrutura resultante não apresenta simetria com relação
às propriedades dos materiais (Figura 3.2a). No caso de gradação local, a simetria é imposta
também na gradação de material, resultando assim em uma estrutura simétrica também em
relação à distribuição de material (Figura 3.2b).
Ao se considerar restrições de repetição de padrões na estrutura, também pode se
levar em conta gradações global e local. Nesse caso, para gradação global, existe uma
repetição apenas da geometria do padrão definido, mas não da gradação estabelecida para o
material (Figura 3.3a). Já a gradação local inclui a repetição tanto da gradação do material
como dos padrões ao longo da estrutura (Figura 3.3b). Essa última possibilita processos de
fabricação mais simples por trabalhar com elementos idênticos do ponto de vista geométrico e
de propriedades do material. Logo, a inclusão de gradação local no projeto de uma estrutura
com restrições de padrões pode resultar em menores custos de produção.
Simetria e repetição de padrões em otimização de topologia de estruturas bidimensionais com ... 29
T. Honório Capítulo 3
Figura 3.3 – Imposição de repetição de padrões: gradação global (a) e gradação local (b) (ALMEIDA et al.,
2010)
3.2.2. Formulação de restrições de simetria
Para estabelecer uma distribuição simétrica de material, um mapeamento das
variáveis de projeto y é realizado no conjunto de densidades nodais d. Esse último é dividido
em dois subconjuntos: o de densidades nodais primárias d1 e o de densidades nodais
secundárias d2. Esse conjunto secundário é formado a partir de d1 estabelecendo uma
configuração simétrica. Assim as variáveis de projeto nodais são mapeadas para o conjunto
d1. Depois o conjunto d2 é então formado levando em consideração a simetria requerida,
sendo que nós simétricos recebem a mesma variável de projeto.
Para impor simetria em relação ao eixo X, tem-se que:
Se kjijijiyddYHYXX entãoe (3.6)
De forma semelhante, para impor simetria em relação ao eixo Y:
Se kjijijiyddYYXLX entãoe (3.7)
Onde:
i - é o índice que identifica os nós do subconjunto d2;
j - é o índice que identifica os nós do subconjunto d1;
k - é o índice que identifica as variáveis de projeto y;
X e Y - referem-se às coordenadas cartesianas dos nós i e j;
Simetria e repetição de padrões em otimização de topologia de estruturas bidimensionais com ... 30
T. Honório Capítulo 3
L e H - são o comprimento e a altura da estrutura, respectivamente.
Para a imposição simultânea de simetria nas direções dos eixos X e Y ambas as
condição apresentadas acima devem ser atendidas.
Para estruturas com gradação, o mapeamento de variáveis de projeto conduzem à
uma configuração geométrica simétrica mas não à uma distribuição de material simétrica.
Neste caso, diz-se que a gradação ocorre de maneira global. Por outro lado, se a gradação é
definida localmente, a estrutura resultante é simétrica, tanto com relação à geometria, quanto
com relação à distribuição de material.
Para impor uma gradação local, uma transformação simples deve ser feita na
computação das coordenadas X e Y na parte simétrica da estrutura. Assim, para gradação local
em relação ao eixo X tem-se:
mYYYHY se*
(3.8)
E, para gradação local em relação ao eixo Y:
mXXXLX se*
(3.9)
Onde:
X e Y - referem-se às coordenadas cartesianas dos pontos de integração de Gauss;
X* e Y* - designam as coordenadas dos pontos de integração no sistema local;
Xm e Ym - designam as coordenadas dos eixos de simetria correspondentes; e
L e H - são o comprimento e a altura da estrutura, respectivamente.
3.2.3. Formulação de restrições de repetição de padrões
Para impor a repetição de padrões, um mapeamento semelhante ao descrito para a
imposição da simetria é empregado. O conjunto de densidades nodais d é dividido em dois
subconjuntos: o de densidades nodais primárias d1 e o de densidades nodais secundárias d2,
esse último obtido a partir de d1 ao se formar um padrão. Assim as variáveis de projeto y
nodais são mapeadas para o conjunto d1. Depois o conjunto d2 é então formado levando em
consideração a repetição de padrões requerida, sendo que os nós correspondentes na
configuração de repetição dos padrões recebem a mesma variável de projeto.
Para impor a repetição de padrões em relação ao eixo X, tem-se que:
Se kjijijiyddYYaXX entãoe (3.10)
Simetria e repetição de padrões em otimização de topologia de estruturas bidimensionais com ... 31
T. Honório Capítulo 3
De forma semelhante, para impor a repetição de padrões em relação ao eixo Y:
Se kjijijiyddbYYXX entãoe (3.11)
Onde:
i - é o índice que identifica os nós do subconjunto d2;
j - é o índice que identifica os nós do subconjunto d1;
k - é o índice que identifica as variáveis de projeto y;
X e Y - referem-se às coordenadas cartesianas dos nós i e j; e
a e b - são o comprimento do padrão nas direções dos eixo X e Y.
Para a imposição simultânea de repetição de padrões nos eixos X e Y ambas as
condições apresentadas devem ser atendidas.
Para estruturas com gradação, o mapeamento de variáveis de projeto conduzem à
uma configuração geométrica repetida idêntica mas não à uma distribuição de material
idêntica em cada padrão. Neste caso, diz-se que a gradação ocorre de maneira global. Por
outro lado, se a gradação é definida localmente, a estrutura resultante possuirá uma
distribuição de material idêntica em cada padrão.
Para impor uma gradação local, uma transformação simples semelhante à aplicada
ao caso de imposição de simetria, deve ser feita na computação das coordenadas X e Y na
parte repetida da estrutura. Assim para gradação local em relação ao eixo X tem-se:
aXamXX se* (3.12)
E, para gradação local em relação ao eixo Y:
bYbnYY se* (3.13)
Onde:
X e Y - referem-se às coordenadas cartesianas dos pontos de integração de Gauss;
X* e Y* - designam as coordenadas dos pontos de integração no sistema local;
a e b - designam a distância entre nós repetidos na direções X e Y, respectivamente; e
m e n - são o número de padrões nas direções X e Y, respectivamente.
Simetria e repetição de padrões em otimização de topologia de estruturas bidimensionais com ... 32
T. Honório Capítulo 3
3.3. PROCEDIMENTO COMPUTACIONAL
Para a implementação de OT no caso de estruturas com FGM sujeitas a restrições
de simetria ou repetição de padrões, sugere-se o fluxograma seguinte:
Figura 3.4 – Fluxo de procedimento OT para FGM com restrições de simetria e de repetição de padrão
O mapeamento citado no fluxograma foi descrito na seção 3.2 deste capítulo. A
formulação do MEF será descrita nesta seção. Em seguida serão apresentadas as modificações
necessárias para a contemplação do modelo FGM-SIMP na computação das sensibilidades, no
filtro de sensibilidades e na otimização utilizando CO.
Baseado na variação relativa da flexibilidade média, uma continuação é aplicada
ao fator de penalização p, isto é, se uma variação relativa entre flexibilidades médias
computadas for menor que 0,2% então p é incrementado por 0,5.
3.3.1. Análise pelo Método dos Elementos Finitos
Para a implementação do modelo FGM-SIMP a formulação do MEF é feita
através de integração numérica por quadratura de Gauss. Nesse método, a integral dupla pode
ser aproximada pelo somatório:
),(),(1 2
1 1
jij
n
i
n
j
i
s t
tsfwwdtdstsfPG PG
(3.14)
Simetria e repetição de padrões em otimização de topologia de estruturas bidimensionais com ... 33
T. Honório Capítulo 3
Onde:
f - é a função a ser integrada nos limites definidos pelos parâmetros s e t;
nPG1 e nPG2 - é o número de pontos de Gauss nas direções dos eixos correspondentes a si e
t, respectivamente;
si e tj - são os pontos de Gauss nas direções X e Y, definidos nos intervalos dos
domínios de s e t, respectivamente;
iw e j
w
- são os pesos utilizados na integração numérica por quadratura de Gauss.
Assim para os elementos Q4 descritos na seção 2.5.1, empregando-se dois pontos
de Gauss por direção (nPG1 = 2 e nPG2 = 2) obtém-se a matriz de rigidez do elemento para a
integração do produto BCB0
T no elemento finito :
BCBBCBk0
T
0
T
j
i j
iewwdtds
2
1
2
1
1
1
1
1
(3.15)
Levando-se em conta o modelo FGM-SIMP conforme (3.5) tem-se:
2
1
2
1
4
1
),(
i j
YX
p
jiiijieetsNww BCBk
0
T (3.16)
Onde:
iw e j
w - são os pesos utilizados na integração numérica sendo que 1
w = 12w ;
is e
jt - são os pontos de Gauss sendo que 1
s = 3
11
t e 2s =
3
12t .
Similarmente ao descrito na seção 2.5.1, computada a matriz de rigidez dos
elementos, essa é transportada para a matriz de rigidez da estrutura K. Para as condições de
contorno definidas, através do sistema linear de (2.15) determina-se os deslocamentos nodais
que serão utilizados no cálculo da função objetivo.
3.3.2. Análise de sensibilidade
Para o caso de para materiais homogêneos, seguindo as expressões (2.4) e (2.5), a
derivada da matriz de rigidez em relação às densidades nodais segundo a CAMD é dado por:
e
deNdNpd
TYX
p
i
e
i
e
i
e
ie
i
eBCBxx
K0
)(
14
1
)()( (3.17)
Simetria e repetição de padrões em otimização de topologia de estruturas bidimensionais com ... 34
T. Honório Capítulo 3
Por sua vez, o cálculo das sensibilidades da função objetivo em relação às
densidades nodais segundo o modelo FGM-SIMP é dado por:
i eSe
e
TT
e
YX
p
i
e
i
e
i
e
ie
i
deNdNpd
cuBCBuxx )()()(
0
)(
14
1
(3.18)
Ao se acrescentar imposições de simetria e de repetição de padrão, deve-se
observar que as variáveis de projeto y não são diretamente iguais às densidades nodais d.
Nesse caso, cada variável de projeto yi corresponde a um conjunto de densidades nodais dn de
forma que:
k
dSn nd
c
y
c (3.19)
Onde k
dS é o conjunto das densidades nodais d correspondentes ao mesmo conjunto de
variáveis de projeto y.
3.3.3. Filtro de sensibilidade e otimização por CO
Para o filtro de sensibilidade e para a rotina de otimização por CO são utilizadas o
conjunto de variáveis de projeto y. Como discutido na seção anterior, este conjunto y não
corresponde necessariamente às densidades nodais para os casos de restrição de simetria ou de
repetição de padrões.
3.3.4. Outras considerações sobre a implementação computacional
Uma vez computados, os mapeamentos exigidos na implementação das restrições
de simetria e de repetição de padrões e a computação das coordenadas usadas na gradação não
precisam ser alterados a cada iteração. Assim as rotinas correspondentes a esses
procedimentos podem ser executadas apenas uma vez antes de iniciado o processo de
otimização propriamente dito. Esta consideração é especialmente importante ao se levar em
conta o custo computacional que essas rotinas envolvem.
Neste trabalho, a gradação em cada direção é normalizada de acordo com as
dimensões da estrutura nessa direção. Assim nesse caso, um coeficiente de gradação α = 1 na
direção X numa malha com 100 elementos nessa direção corresponde a um coeficiente não
normalizado α’ = 0,01. Essa medida é importante para garantir soluções independentes da
discretização adotada.
T. Honório Capítulo 4
CAPÍTULO 4
RESULTADOS
Este capítulo apresenta os resultados da implementação computacional discutida
nos capítulos anteriores. Serão investigadas a influência da gradação, as restrições de simetria
e as restrições de repetição de padrão no projeto de estruturas de FGM.
As formulações apresentadas foram implementadas em MATLAB® 7.0 a partir do
código 99 lines (SIGMUND, 2001). A saída gráfica também foi obtida através MATLAB®
empregando-se a função colormap (definida na escala de cores jet em que a cor vermelha
escura representa a densidade mínima próxima de 0, e a cor azul escura representa a
densidade máxima permitida 1).Para todos os casos foi utilizado como valor do módulo de
elasticidade E0 = 1,0 e como coeficiente de Poisson ν = 0,25. Ressalta-se que os valores das
propriedades do material não influenciam a topologia ótima, mas apenas o valor da função
objetivo para essa topologia. Por esse motivo, esses valores apresentados neste capítulo não
possuem unidades.
Para a técnica de continuação, foi utilizada penalização variando de 1 a 3 com
incremento de 0,5 (adicionado quando ocorresse variações da função objetivo menores que
0,002).
Vale uma ressalva com relação aos coeficientes de gradação empregados. Os
produtos de FGM costumam apresentar na prática coeficientes de gradação inferiores a 2. Nos
resultados a seguir serão apresentados casos com coeficientes de gradação superiores a esse
valor com objetivo de evidenciar a influência da gradação na topologia das estruturas
estudadas.
4.1. INFLUÊNCIA DA GRADAÇÃO DE MATERIAIS EM OT
Dois exemplos foram analisados buscando ilustrar como a gradação de materiais
influencia a topologia ótima da estrutura. O primeiro trata de uma viga engastada com
carregamento distribuído também considerada por Almeida et al. (2008); e o segundo trata de
uma classe de treliça de Michell, resolvida analiticamente por Sigmund (2000).
Simetria e repetição de padrões em otimização de topologia de estruturas bidimensionais com ... 36
T. Honório Capítulo 4
4.1.1. Exemplo 1: Viga engastada
Foi implementado o caso de uma viga engastada com carregamento vertical
unitário distribuído na extremidade inferior na face de dois elementos (Figura 4.1). Para tanto
empregou-se uma malha de 50 x 50 elementos (proporção altura:comprimento de 1:1), fração
de volume de 30% do domínio estendido, e rmin = 2,0 do filtro de Sigmund.
Figura 4.1 – Exemplo 1: Viga engastada com carregamento distribuído
As Figuras 4.2 e 4.3 apresentam, respectivamente, os resultados obtidos para
gradação em X e em Y isoladamente, enquanto que a Figura 4.4 apresenta os resultados para
gradação simultânea em X e em Y.
β = 0.00
α = 0.0
α = 1.0
α = 2.0
α = 3.0
Figura 4.2 –Exemplo 1: Gradação em X.
Simetria e repetição de padrões em otimização de topologia de estruturas bidimensionais com ... 37
T. Honório Capítulo 4
(a) Gradação crescente de cima
para baixo
α = 0.00
β = 0.0
β = 1.0
β = 2.0
β = 3.0
(b) Gradação crescente de
baixo para cima
α = 0.00
β = 0.0
β = 1.0
β = 2.0
β = 3.0
Figura 4.3 – Exemplo 1: Gradação em Y.
α = 0.0 β = 0.0
α = 3.0 β = 1.0
α = 1.0 β = 3.0
α = 3.0 β = 3.0
Figura 4.4 – Exemplo 1: Gradação em X e em Y
Em todos os casos, nota-se um aumento da largura de membros estruturais nas
regiões de menor módulo de elasticidade, enquanto que as regiões de maior módulo de
elasticidade tendem a apresentar maior número de membros de menor largura. Essas
Simetria e repetição de padrões em otimização de topologia de estruturas bidimensionais com ... 38
T. Honório Capítulo 4
diferenças são acentuadas com o aumento do coeficiente de gradação (α ou β) na direção
considerada. Os resultados obtidos são consistentes com os apresentados por Almeida et al
(2008).
A Figura 4.5 mostra as escalas de grandeza dos coeficientes de gradação
empregados. Para o caso de α = 1, o valor do modo de elasticidade na região em que essa
propriedade é maior é 2,7 vezes o valor do módulo de elasticidade referência E0. Já para α = 3
essa amplitude aumenta, nesse caso o módulo de elasticidade referência E0 é 20,09 vezes
maior que na região de menor módulo de elasticidade. Naturalmente, o mesmo pode ser dito
sobre o coeficiente de gradação em outra direção.
Figura 4.5 – Amplitude da gradação segundo o coeficiente de gradação
4.1.2. Exemplo 2: Treliça de Michell
O segundo caso escolhido para investigar a influência da gradação foi o da treliça
de Michell (Figura 4.6), com apoio circular na extremidade esquerda e carregamento unitário
vertical na face direita. Para isso empregou-se uma malha de 100 x 80 elementos (proporção
5:4), fração de volume de 20% do domínio estendido, e rmin = 1,2 do filtro de Sigmund.
Figura 4.6 – Exemplo 2: Treliça de Michell
0
5
10
15
20
25
0 1 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50Fato
r a
ser
mu
ltip
licad
o
pe
lo E
0
Direção da Gradação
α = 0
α = 1
α = 2
α = 3
Simetria e repetição de padrões em otimização de topologia de estruturas bidimensionais com ... 39
T. Honório Capítulo 4
A solução ótima para essa configuração de suporte e carregamento foi calculada
analiticamente por Sigmund (2000) resultando em membros estruturais que se interceptam
formando ângulos de 90º entre si conforme a Figura 4.7a. O resultado obtido empregando-se
o filtro de Sigmund (e sem gradação) é apresentado na Figura 4.7b (e nos resultados adiante
para o caso de coeficientes de gradação α = 0,0 e β = 0,0).
(a)
(b)
Figura 4.7 – Treliça de Michell: (a) Solução analítica obtida por Sigmund (2000), (b) Solução numérica obtida
para discretização 100x80 empregando-se o filtro de Sigmund
A solução numérica obtida apresenta um número menor de membros estruturais
em relação ao resultado analítico. Isso pode ser explicado pela presença do filtro de Sigmund
(e sua imposição de tamanho mínimo dos membros estruturais) e pela discretização adotada
(malhas mais refinadas e um valor menor do rmin do filtro de Sigmund podem gerar resultados
mais próximos do analítico)8.
Feitas essas considerações, tal exemplo serve para ilustrar o efeito da gradação na
topologia da estrutura. As Figuras 4.8 e 4.9 mostram as soluções para as gradações crescentes
em X da esquerda para a direita (4.8) e da direita para a esquerda (4.9). As Figuras 4.10
apresentam, por sua vez, os resultados para gradação em Y (crescente de baixo para cima).
Também nesse exemplo, nota-se o estreitamento dos membros estruturais nas
zonas de maior módulo de elasticidade e um aumento da largura dos membros estruturais nas
regiões de menor módulo de elasticidade. O mesmo efeito acentuador dessas tendências pode
ser notado com o aumento do coeficiente de gradação na direção considerada.
Quanto às duas gradações na direção X, a saber, crescente da esquerda para a
direita e crescente da esquerda para a direita, a primeira resultou em estruturas que não
utilizam todo o domínio estendido (figuras 4.8). Nesse caso, quanto maior o coeficiente de
8 Resultados numéricos mais próximos do analítico foram obtidos por Nguyen et al. (2010) que empregaram um
abordagem com três níveis diferentes de discretização resultando em soluções com maior resolução.
Simetria e repetição de padrões em otimização de topologia de estruturas bidimensionais com ... 40
T. Honório Capítulo 4
gradação, menor a altura da estrutura como um todo. Já com a segunda gradação (figura 4.9),
foram obtidas estruturas que abrangem maior parte do domínio estendido. Nesse caso, quanto
maior o coeficiente de gradação maior a altura da estrutura como um todo. Vale relembrar que
em todos esses exemplos o volume das estruturas permanece o mesmo, já que este é definido
como um dos parâmetros de entrada na implementação computacional (fração de volume
igual a 20% do domínio estendido no exemplo em questão).
β = 0.00
α = 0,0
α = 1,0
α = 2,0
α = 3,0
α = 4,0
Figura 4.8 – Exemplo 2: Gradação em X com o módulo de elasticidade crescente da esquerda para a direita
Simetria e repetição de padrões em otimização de topologia de estruturas bidimensionais com ... 41
T. Honório Capítulo 4
β = 0.00
α = 0,0
α = 1,0
α = 2,0
α = 3,0
α = 4,0
Figura 4.9 – Exemplo 2: Gradação em X com o módulo de elasticidade crescente da direita para a esquerda
Embora o carregamento do exemplo da figura 4.6 não seja simétrico, a estrutura
resultante é simétrica para materiais homogêneos. O mesmo pode ser observado para
estruturas com gradações apenas ao longo da direção X.
Quanto à gradação em Y, foi observada uma quebra da simetria da estrutura em
relação ao eixo X (Figura 4.10). Nesse caso, a formação de membros estruturais foi
favorecida na região de maior módulo de elasticidade. Vale ressaltar que o resultado para
β = 3,0 não tem aplicação prática por conta da presença de membro estrutural com densidade
intermediária.
Simetria e repetição de padrões em otimização de topologia de estruturas bidimensionais com ... 42
T. Honório Capítulo 4
α = 0.00
β = 0,0
β = 1,0
β = 2,0
β = 3,0
β = 3,0
Figura 4.10 – Exemplo 2: Gradação em Y com o módulo de elasticidade crescente de cima para baixo
4.1.3. Imposição de uma escala de dimensão
Almeida et al. (2008) chamam atenção para a existência de uma dimensão
característica implícita associada ao modelo FGM-SIMP. De fato, para uma gradação numa
direção x dada por:
xeExE
0)( (4.1)
Considerando E0 o módulo de elasticidade em x = 0, e E1 o módulo de elasticidade em x = w,
obtém-se:
Simetria e repetição de padrões em otimização de topologia de estruturas bidimensionais com ... 43
T. Honório Capítulo 4
weEE
01 (4.2)
A partir de onde pode ser obtido:
0
1ln
1
E
E
w (4.3)
Essa última expressão mostra que o coeficiente de gradação possui dimensão de inverso do
comprimento [L]-1
. Logo, esse coeficiente atua de forma a reduzir a largura de membros
estruturais. Essa imposição indireta de dimensão dos membros estruturais pode ser percebida
nos exemplos implementados nos quais um maior número de membros estruturais com menor
largura são encontrados nas regiões de maior módulo de elasticidade.
Por sua vez, os esquemas de regularização como a projeção de densidade utilizada
por Almeida et al. (2008), impõem uma escala de dimensão de elementos estruturais que varia
de forma crescente com o rmin. Essa também é uma característica do filtro de sensibilidade de
Sigmund, embora essa imposição seja indireta e não direta como no caso das projeções de
densidades. Essa imposição de dimensão se contrapõe ao efeito da gradação discutido
anteriormente.
rmin α = 0,0 α = 1,0 α = 2,0 α = 4,0 α = 8,0
1,1
2,0
3,0
4,0
Figura 4.11 – Influência do filtro de Sigmund e da gradação
Simetria e repetição de padrões em otimização de topologia de estruturas bidimensionais com ... 44
T. Honório Capítulo 4
A Figura 4.11 ilustra como a competição entre essas escalas de dimensão atuam
na topologia da estrutura para o exemplo 1, estudado anteriormente (figura 4.1). Nesses casos
observa-se mais uma vez a tendência de aumento do número de membros estruturais de
menor largura nas regiões de maior módulo de elasticidade com o aumento do coeficiente de
gradação, para um mesmo rmin do filtro de Sigmund. Já para um mesmo coeficiente de
gradação, a tendência é uma diminuição do número de membros estruturais de menor largura,
o que está de acordo com o efeito de imposição indireta de uma escala mínima de dimensão
de membros estruturais promovida pelo filtro.
Com o aumento do rmin do filtro, nota-se uma redução de nitidez nas bordas dos
elementos estruturais que passam a apresentar regiões com densidades intermediárias (entre 0
e 1). Vale ressaltar ainda que os resultados para α = 8,0 e rmin > 1,1 não possuem aplicação
prática já que apresentam membros estruturais com densidade intermediária. O mesmo pode
ser dito a respeito dos resultados em que rmin = 4,0 e o coeficiente de gradação α é maior que
2,0. Para tornar esses últimos resultados realizáveis, haveria a necessidade de se acrescentar
material nessas regiões de densidade intermediária alterando portanto a fração de volume do
problema.
4.2. RESTRIÇÕES DE SIMETRIA
Para o caso da implementação de restrições de simetria foram investigados dois
exemplos: uma viga engastada com um carregamento na extremidade livre e uma viga
simplesmente apoiada com carregamento assimétrico.
4.2.1. Exemplo 3: Viga engastada
A Figura 4.12 mostra a configuração de vínculos e de carregamento do caso
implementado. Neste exemplo, foi utilizada malha de 100 x 50 elementos (proporção 2:1),
fração de volume de 50% do domínio estendido, e rmin = 3,0 do filtro de Sigmund.
Figura 4.12 – Exemplo 3: Viga engastada com um carregamento na extremidade livre
Simetria e repetição de padrões em otimização de topologia de estruturas bidimensionais com ... 45
T. Honório Capítulo 4
A Figura 4.13 apresenta as soluções obtidas para a viga com relação à aplicação
de simetria: (a) sem restrição de simetria, (b) simetria em relação ao eixo X, (c) simetria em
relação ao eixo Y, (d) simetria em relação ao eixo X e ao eixo Y simultaneamente. Nesses
casos foram considerados materiais homogêneos.
Resultados obtidos utilizando o filtro
de Sigmund
rmin = 3,0
Resultados obtidos por Almeida et al.
(2010) utilizando a técnica de
projeção
rproj = 4,0
(a) Sem imposição
de simetria
(b) Simetria em
relação ao eixo X
(c) Simetria em
relação ao eixo Y
(d) Simetria em
relação aos eixos
X e Y
Figura 4.13 – Restrições de simetria – Gradação global
Os resultados (a), (b) e (d) da Figura 4.13 estão em concordância com os
resultados encontrados por Almeida et al. (2010) utilizando a técnica de projeção em vez do
Simetria e repetição de padrões em otimização de topologia de estruturas bidimensionais com ... 46
T. Honório Capítulo 4
filtro de Sigmund. Cabe ressaltar que as cores utilizadas nos resultados de Almeida et al.
(2010) são o inverso das empregadas neste trabalho (vermelho escuro representa densidade 1
e azul escuro representa densidade 0). O resultado (c) difere do resultado onde emprega-se a
técnica de projeção. Mesmo que o raio utilizado no filtro de Sigmund (3,0) seja menor que o
raio utilizado na técnica de projeção (4,0) pelos autores citados, na solução da técnica de
projeção observam-se membros estruturais que não existem na solução do filtro de Sigmund.
Os resultados mostram que, embora exista em muitos casos certa relação entre as
escalas de dimensão impostas por essas técnicas de regularização, existem situações em que
essas técnicas retornam resultados essencialmente diferentes. Quando isso acontece, os
resultados que empregam o filtro de Sigmund apresentam um número menor de membros
estruturais finos em relação à resultados correspondentes que empreguem a técnica de
projeção, mesmo que o rmin utilizado no filtro seja menor que o raio da projeção para o mesmo
problema.
4.2.2. Exemplo 4 – Viga simplesmente apoiada com carregamento
assimétrico
O outro exemplo considerado para o caso de restrições de simetria é o ilustrado na
Figura 4.14. Neste exemplo, foi utilizada malha de 240 x 40 elementos (proporção 6:1),
fração de volume de 50% do domínio estendido, e rmin = 4,0 do filtro de Sigmund.
Figura 4.14 – Exemplo 4: Viga simplesmente apoiada com carregamento assimétrico
A Figura 4.15 mostra os resultados para gradações global e local em diferentes
direções de gradação.
Simetria e repetição de padrões em otimização de topologia de estruturas bidimensionais com ... 47
T. Honório Capítulo 4
Figura 4.15 – Restrições de simetria – Gradação global e local
4.3. RESTRIÇÕES DE REPETIÇÃO DE PADRÕES
Dois exemplos foram investigados para o caso da implementação de restrições de
repetição de padrão, a saber: uma viga engastada com um carregamento contínuo vertical na
extremidade livre e uma viga simplesmente apoiada com carregamento assimétrico.
4.3.1. Exemplo 5 - Barra sujeita à tração
Para restrições de repetição de padrão, o primeiro problema considerado foi a de
uma barra engastada no topo sujeita à tração na face livre (Figura 4.16). Empregou-se uma
malha de 60 x 120 elementos (proporção 1:2), fração de volume de 30 % do domínio
estendido, e rmin = 2 do filtro de Sigmund.
A Figura 4.17 mostra os resultados para repetições de padrão na direção X e na
direção Y. A Figura 4.18 apresenta os resultados para repetições de padrão em X com
gradação global em X.
(a) Material homogêneo sem restrições de
simetria
(b) Material homogêneo com simetria em
relação ao eixo Y
(c) Gradação global da esquerda para a
direita com simetria em relação ao eixo Y
(α =6,0)
(d) Gradação local da esquerda para o centro
com simetria em relação ao eixo Y (α = 6,0)
(e) Gradação local da direita para o centro
com simetria em relação ao eixo Y (α = 6,0)
Simetria e repetição de padrões em otimização de topologia de estruturas bidimensionais com ... 48
T. Honório Capítulo 4
Figura 4.16 – Exemplo 5: Barra sujeita à tração
(a)
sem repetição de
padrão (1 x 1)
(b1)
repetição de padrão
2 x 1
(b2)
repetição de padrão
3 x 1
(b3)
repetição de padrão
4 x 1
(c1)
repetição de padrão
1 x 2
(c2)
repetição de padrão
1 x 3
(c3)
repetição de padrão
1 x 4
Figura 4.17 – Restrições de repetição de padrões – material homogêneo
Simetria e repetição de padrões em otimização de topologia de estruturas bidimensionais com ... 49
T. Honório Capítulo 4
Gradação em Y:
(a1) padrão 1 x 1
β = 0,0
(b1) padrão 2 x 1
β = 0,0
(c1) padrão 3 x 1
β = 0,0
(b2) padrão 1 x 1
β = 2,0
(c2) padrão 2 x 1
β = 2,0
(c1) padrão 3 x 1
β = 2,0
(b3) padrão 1 x 1
β = 4,0
(c3) padrão 2 x 1
β = 4,0
(c3) padrão 3 x 1
β = 4,0
Figura 4.18 – Restrições de repetição de padrões – Gradação global em Y
Simetria e repetição de padrões em otimização de topologia de estruturas bidimensionais com ... 50
T. Honório Capítulo 4
4.3.2. Exemplo 6: Viga engastada
Para restrições de repetição de padrão, o segundo problema considerado foi a de
uma viga engastada com carregamento vertical contínuo na face livre (Figura 4.19).
Empregou-se uma malha de 128 x 80 elementos (proporção 8:5), fração de volume de 30 %
do domínio estendido, e rmin do filtro de Sigmund variável conforme indicado.
Figura 4.19 – Exemplo 6: Viga engastada com um carregamento vertical distribuído na extremidade livre
Sem a repetição de padrão, obtém-se para esse exemplo, aplicando-se o filtro de
Sigmund com rmin = 9, a estrutura da Figura 4.20.
Figura 4.20 – Sem repetição de padrão (ou padrão 1 x 1), rmin= 9
A Figura 4.21 apresenta as soluções obtidas para a viga engastada com relação à
aplicação da repetição de padrões com o emprego do filtro de Sigmund: (a) padrões 2 x 1,
rmin = 5; (b) padrões 4 x 1, rmin = 3; (c) padrões 8 x 1, rmin = 1. Nesses casos a gradação foi
global. A mesma figura mostra também os resultados de Zhang e Sun (2006) que usaram o
método da homogeneização aplicado às estruturas celulares. A correspondência entre as
soluções obtidas nesse trabalho e as obtidas pelos autores citados demonstram a validade da
formulação utilizada.
Simetria e repetição de padrões em otimização de topologia de estruturas bidimensionais com ... 51
T. Honório Capítulo 4
Padrões Resultados obtidos com o filtro de Sigmund Resultados obtidos por Zhang e Sun
(2006)
(a) Padrões
2 x 1
rmin= 5
(b) Padrões
4 x 1
rmin= 3
(c) Padrões
8 x 1
rmin= 1
Figura 4.21 – Repetição de padrões material homogêneo.
Na Figura 4.22 são mostrados os resultados do exemplo considerado com padrões
2 x 1 conforme diferentes coeficientes de gradação. A gradação é global na primeira coluna e
local na segunda coluna e ocorre na direção X da esquerda para a direita. O raio do filtro de
Sigmund empregado foi rmin = 4,0.
Observa-se a tendência de transferir material das regiões com maior módulo de
elasticidade para as regiões com menor valor dessa propriedade. Os resultados obtidos são
ligeiramente diferentes dos apresentados por Almeida et al (2010) usando funções de
projeção. No entanto, observa-se o mesmo padrão qualitativo nos resultados.
Simetria e repetição de padrões em otimização de topologia de estruturas bidimensionais com ... 52
T. Honório Capítulo 4
Gradação global Gradação local
(a)
α = 2,0
(a)
α = 4,0
(c)
α = 16,0
Figura 4.22 –Gradação em X da esquerda para a direita, gradação global e gradação local.
Já na Figura 4.23 são mostrados os resultados para gradação em X da direita para
a esquerda. Salvo a direção da gradação, as mesmas considerações dos resultados anteriores
são aplicáveis aos resultados seguintes.
Também neste caso, observa-se a tendência de transferir material das regiões com
maior módulo de elasticidade para as regiões com menor valor dessa propriedade.
Novamente, os resultados obtidos são ligeiramente diferentes dos apresentados por Almeida
et al (2010) observando-se, no entanto, o mesmo padrão qualitativo nos resultados.
Simetria e repetição de padrões em otimização de topologia de estruturas bidimensionais com ... 53
T. Honório Capítulo 4
Gradação global Gradação local
(a)
α = 2,0
(b)
α = 4,0
(c)
α = 16,0
Figura 5.2 – Gradação em X da direita para a esquerda, gradação global e gradação local.
T. Honório Capítulo 5
CAPÍTULO 5
CONCLUSÕES
Este capítulo apresenta as conclusões do trabalho e as considerações finais. Serão
focados os aspectos concernentes à influência da gradação e aos resultados da implementação
de restrições de simetria e de repetição de padrões para OT em projetos de estruturas com
gradação funcional.
Quanto à influência da gradação em soluções de OT, observa-se um aumento da
largura de membros estruturais nas regiões de menor módulo de elasticidade, enquanto que as
regiões de maior módulo de elasticidade tendem a apresentar maior número de membros de
menor largura. Essas diferenças são acentuadas com o aumento do coeficiente de gradação (α
ou β) na direção considerada. Outros autores chegaram às mesmas conclusões (ALMEIDA
et al., 2008). Para estruturas com carregamento em face oposta ao suporte observou-se que
gradações crescentes na direção do carregamento geraram estruturas com menor altura (ou
com menor utilização do domínio estendido), enquanto que gradações crescentes na direção
do suporte geraram estruturas de maior altura (ou com maior utilização do domínio
estendido).
É importante levar em consideração as escalas características de dimensão de
membros estruturais impostas pela gradação e pela técnica de regularização empregada (no
caso desse trabalho, o filtro de Sigmund). O coeficiente de gradação possui dimensão de
inverso do comprimento [L]-1
, atuando de forma a reduzir a largura de membros estruturais.
Por sua vez, o filtro de Sigmund impõe uma escala de dimensão de elementos estruturais que
compete com o efeito do coeficiente de gradação. Assim para um mesmo rmin do filtro de
Sigmund, observa-se a tendência de aumento do número de membros estruturais de menor
largura nas regiões de maior módulo de elasticidade com o aumento do coeficiente de
gradação. Já para um mesmo coeficiente de gradação, a tendência é uma diminuição do
número de membros estruturais de menor largura com o aumento do rmin do filtro. Este
resultado é consistente com o apresentado por Almeida et al. (2008) usando projeções como
esquema de regularização.
Considerações sobre simetria e repetição de padrões podem ser feitas no projeto
de estruturas com FGM adotando-se gradação local ou gradação global. Este primeiro
apresenta a vantagem de resultar em soluções simétricas tanto geometricamente como em
Simetria e repetição de padrões em otimização de topologia de estruturas bidimensionais com ... 55
T. Honório Capítulo5
relação à distribuição de material. Os resultados apresentados mostram que a formulação
utilizada é eficaz para representar as microestruturas de materiais celulares com gradação e
são compatíveis com os apresentados por Almeida et al. (2010) usando projeções como
esquema de regularização.
Mais investigações nessa área são necessárias para tornar as formulações
sugeridas mais adequadas às etapas de produção da estrutura bem como ao projeto de outros
materiais avançados. Sugere-se especialmente a ampliação da formulação para três dimensões
e o estudo de imposição de características de extrusão e moldagem em 3D.
T. Honório Referências
REFERÊNCIAS
ALMEIDA, S. R. M.; PAULINO, G. H.; SILVA, E. C. N. Layout and material gradation in
topology optimization of functionally graded structures: a global-local approach. Structural
Multidisciplinary Optimization. Berlin, v. 42, p. 855-868, 2010.
ALMEIDA, S. R. M.; PAULINO, G. H.; SILVA, E. C. N. A simple and effective inverse
projection scheme for void distribution control in topology optimization. Structural
Multidisciplinary Optimization. Berlin, v. 39, p. 359-371, 2009.
ALMEIDA, S. R. M.; PAULINO, G. H.; SILVA, E. C. N. Design of Functionally Graded
Structures in Topology Optimization. In: ENGOPT 2008 – INTERNATIONAL
CONFERENCE ON ENGINEERING OPTIMIZATION, 2008, Rio de Janeiro. Anais… , Rio
de Janeiro: 01-05 Junho, 2008.
BENDSØE, M. Optimal shape design as a material distribution problem, Structural
optimization, Berlin, v. 1, p. 193-202, 1989
BENDSØE, M. Optimization of structural topology, shape and material. Berlin,
Heidelberg, New York: Srpinger, 1995
CARBONARI, R.C.; SILVA, E. C. N.; PAULINO, G. H. Topology optimization design of
functionally graded bimorph-type piezoeletric actuators. Smart Material Structures, v. 16,
n. 6, p. 2605–2620, 2007.
CARBONARI, R. C.; SILVA, E. C. N.; PAULINO, G. H. Multi-actuated functionally graded
piezoelectric micro-tools design: a multiphysics topology optimization approach.
International Journal of Numerical Methods in Engineering, v. 77, n. 3, p. 301–336, 2009
ESCHENAUER, H. A.; OLHOFF, N. Topology optimization of continuum structures: a
review. Journal of Applied Mechanics, American Society of Mechanical Engineers ASME,
v. 54, n. 4, p. 331-390, 2001.
GUEST, J. K.Topology optimization with multiple phase projection. Computer. Methods in
Applied Mechanics and Engineering. v. 199, p. 123–135, 2009.
GUEST, J. K. Imposing maximum length scale in topology optimization. Structural
Multidisciplinary Optimization. Berlin, v., n., p. ,2008.
GUEST, J.K.; PRÉVOST, J.H.; BELYTSCHKO T. Achieving minimum length scale in
topology optimization using nodal design variables and projection functions. International
Journal of Numerical Methods in Engineering. v. 61, n. 2, p. 238–254, 2004.
KIM, J.-H; PAULINO, G.H. Isoparametric graded finite element for non-homogeneous
isotropic and orthotropic. Journal of Applied Mechanics, American Society of Mechanical
Engineers ASME , v. 69, n. 4, p. 502-514, 2002.
Simetria e repetição de padrões em otimização de topologia de estruturas bidimensionais com ... 57
T. Honório Referências
MATSUI, K; TERADA, K.Continuous approximation for material distribution for topology
optimization. International Journal for Numerical Methods in Engineering, v. 59, n. 14,
p. 1925–1944, 2004
NGUYEN, T. H.; PAULINO, G. H.; SONG, J.; LE, C. H. A computational paradigm for
multiresolution topology optimization (MTOP). Structural Multidisciplinary Optimization.
Berlin, v. 41, p. 525–539, 2010.
OLHOFF, N; TAYLOR, J. E. On structural optimization. Journal of Applied Mechanics,
v.50, p.1139-1151, 1983.
PAULINO, G.H.; SILVA E.C.N. Design of functionally graded structures using topology
optimization. In: Materials science forum, vols 492–493. Trans Tech Publications,
Switzerland, 2005, p 435–440.
PORTO, E. C. B. Método da homogeneização aplicado à otimização estrutural
topológica. 2006. 179 f. Dissertação (Mestrado) – Faculdade de Engenharia Mecânica,
Universidade Estadual de Campinas, Campinas, 2006.
SANTARE, M. H.; LAMBROS, J. Use of graded finite elements to model the behavior of
non-homogeneous materials, Journal of Applied Mechanics, ASME, v. 67, p. 819–822,
2000.
SIGMUND, O. Topology optimization: a tool for the tailoring of structures and materials.
Philosophical Transactions. Series A. Mathematical, Physical and Engineering Sciences,
Royal Society, London, v. 358, n. 1765, p.211–227, 2000.
SIGMUND, O. A 99 line topology optimization code written in Matlab. Structural
Multidisciplinary Optimization, Berlin, v. 21, n.2, p. 120–127, 2001.
STUMP, F. V. Otimização topológica aplicada ao projeto de estruturas tradicionais e
estruturas com gradação funcional sujeitas a restrição de tensão. 2006. 243 f. Dissertação
(Mestrado) – Escola Politécnica da Universidade de São Paulo, São Paulo, 2006.
ZHANG, W; SUN, S. Scale-related topology optimization of cellular materials and structures.
International Journal of Numerical Methods in Engineering, v. 68, n. 9, p. 993–1011,
2006.