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Simulação Numérica da Transferência de Calor por Convecção ...saturno.unifei.edu.br/bim/0031369.pdf · Transferência de calor, Convecção forçada, Convecção natural, Convecção

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE ITAJUB

INSTITUTO DE ENGENHARIA MECNICA

PROGRAMA DE PS-GRADUAO EM ENGENHARIA MECNICA

DISSERTAO DE MESTRADO

Simulao Numrica da Transferncia de Calor por Conveco Forada,

Natural e Mista numa Cavidade Retangular

Autor: Joo Jos de Souza

Orientador: Prof. Dr. Gensio Jos Menon

Curso: Mestrado em Engenharia Mecnica

rea de Concentrao: Converso de Energia

Dissertao submetida ao Programa de Ps-Graduao em Engenharia Mecnica como

parte dos requisitos para obteno do Ttulo de Mestre em Engenharia Mecnica.

Itajub, Outubro de 2006

M.G. Brasil

UNIVERSIDADE FEDERAL DE ITAJUB INSTITUTO DE ENGENHARIA MECNICA

PROGRAMA DE PS-GRADUAO EM ENGENHARIA MECNICA

DISSERTAO DE MESTRADO

Simulao Numrica da Transferncia de Calor por Conveco Forada,

Natural e Mista numa Cavidade Retangular

Autor: Joo Jos de Souza

Orientador: Prof. Dr. Gensio Jos Menon

Itajub, Outubro de 2006

UNIVERSIDADE FEDERAL DE ITAJUB

INSTITUTO DE ENGENHARIA MECNICA

PROGRAMA DE PS-GRADUAO EM ENGENHARIA MECNICA

DISSERTAO DE MESTRADO

Simulao Numrica da Transferncia de Calor por Conveco Forada,

Natural e Mista numa Cavidade Retangular

Autor: Joa Jos de Souza

Orientador: Prof. Dr. Gensio Jos Menon Composio da Banca Examinadora:

Prof. Dr. Luciano Fernando dos Santos Rossi - UTFPR Prof. Dr. Rogrio Jos da Silva - UNIFEI Prof. Dr. Sandro Metrevelle Marcondes de Lima e Silva - UNIFEI Profa. Dra. Ana Lucia Fernandes de Lima e Silva - UNIFEI Prof. Dr. Gensio Jos Menon, Orientador - UNIFEI

Dedicatria

minha esposa Tereza Palmaka

e as minhas filhas

Valria e Ldia.

Agradecimentos

Ao meu Orientador, Prof. Dr. Gensio Jos Menon, pela competncia, dedicao,

pacincia e amizade.

Aos amigos Professores Engenheiros, Aldo Ramos Santos, Antonio Santoro, Carlos

Alberto do Amaral Moino, Fernando Marques Fernandes, Francisco Jos do Rosrio,

Hernandes Brando, Joo Baptista Amaral Jr., Julio Murat, Manuel da Silva Valente de

Almeida, Marcos Galli, Nelson Gomes, Paulo Roberto Canton e Ricardo Tibrio, em especial

ao amigo Renato Jos Pinto, pelo permanente incentivo, colaborao, amizade, momentos de

inesquecvel convvio profissional.

Aos Professores da Universidade Federal de Itajub, Waldir de Oliveira e Nelson

Manzanares Filho, pelo apoio e valiosas sugestes, que contriburam para a elaborao deste

trabalho.

Ao Instituto de Engenharia Mecnica da UNIFEI, representado pelos seus dedicados

Professores e Funcionrios, pela oportunidade que me concedeu na realizao deste trabalho.

UNISANTA por tornar possvel a realizao do Curso de Mestrado aos seus

professores.

Aos meus pais, Joo e Francisca, que sempre me incentivaram na formao e no

desenvolvimento cultural.

Resumo

SOUZA, J. J. (2006), Simulao Numrica da Transferncia de Calor por Conveco

Forada, Natural e Mista numa Cavidade Retangular , Itajub, 155p. Dissertao

(Mestrado em Converso de Energia) - Instituto de Engenharia Mecnica, Universidade

Federal de Itajub.

Neste trabalho so realizados estudos de problemas de transferncia de calor por

conveco forada, natural e mista em cavidades. Foram considerados quatro casos, sendo

estudadas cavidades retangulares onde variou-se trs razes de aspecto. Caso 1: temperaturas

diferentes nas metades defasadas das placas verticais. Caso 2: temperaturas diferentes nas

metades alinhadas das placas verticais. Caso 3: temperaturas diferentes nas metades defasadas

das placa vertical e horizontal inferior. Caso 4: temperaturas diferentes nas metades defasadas

nas placas verticais e horizontais. O equacionamento desenvolvido para o regime laminar,

permanente, considerando o escoamento bidimensional. Utiliza-se o mtodo de diferenas

finitas para resolver as equaes de conservao. So determinadas as distribuies da funo

corrente, temperatura adimensional e vorticidade bem como o nmero de Nusselt mdio em

funo dos parmetros trmicos e geomtricos. Com o objetivo de validao do programa

computacional desenvolvido em FORTRAN, so realizados testes para a cavidade quadrada.

Palavras-chave:

Transferncia de calor, Conveco forada, Conveco natural, Conveco mista,

Cavidades retangulares, Mtodo de diferenas finitas, Mtodo Upwind.

Abstract

SOUZA, J. J. (2006), Numeric Simulation and Natural, Forced and Mixed Convection Study

in a Closed Cavity, Itajub, 165p. MSc. Dissertation - Instituto de Engenharia Mecnica,

Universidade Federal de Itajub.

In this work healthy were accomplished studies of Heat Transfer problems embracing

forced, natural and mixed convection. We studied 4 cases and 3 distinct rectangular cavities

geometrical with distinct rates. In case 1: different temperatures from divergent parts of

vertical plates. In case 2: different temperatures from aligned parts of vertical plates. In case 3:

different temperatures from divergent parts of vertical and horizontal plates. In case 4:

different temperatures from 4 divergent parts of vertical and horizontal plates (one in each

part). The formulation is developed for permanent regime, considering bidimensional flowing.

Finite Difference Method is applied to solve Conservative Equations. With this method

the Stream function, non-dimensional Temperature and the Medium Nusselt Number, were

determined based in the thermal and geometric parameters. In this work with purpose to

validate the computational program developed, tests were realized for the rectangular closed

cavity.

Keywords:

Heat transfer , Forced Convection , Natural Convection , Mixed Convection, Numerical

methods, Finite Difference Method, Rectangular cavity, Upwind Method

Sumrio

SUMRIO i

LISTA DE FIGURAS iv

LISTA DE TABELAS viii

SIMBOLOGIA ix

LETRAS LATINAS ix

LETRAS GREGAS x

CAPTULO 1

INTRODUO

1.1 - MOTIVAO DO TRABALHO 1

1.2 - REVISO DA LITERATURA 5

1.2.1 - Conveco natural 5

1.2.2 - Conveco forada 6

1.2.3 - Conveco mista 8

1.3 - OBJETIVOS DO PRESENTE TRABALHO 12

1.4 - CONTRIBUIES DO PRESENTE TRABALHO 13

1.5 - DELINEAMENTO DO PRESENTE TRABALHO 13

CAPTULO 2

MODELOS MATEMTICO

2.1 - EQUAES DE CONSERVAO PARA A CONVECO NATURAL 15

2.2 - ADIMENSIONALIZAO DAS EQUAES PARA A CONVECO NATURAL

16

2.3 - EQUAES DE CONSERVAO PARA A CONVECO FORADA E MISTA

19

ii

2.4 - ADIMENSIONALIZAO DAS EQUAES PARA A CONVECO FORADA E MISTA

20

2.5 - CONDIES INICIAIS E DE CONTORNO 22

2.5.1 - Condies iniciais 23

2.5.2 - Condies de contorno 23

2.6 - NMERO DE NUSSELT LOCAL E MDIO 24

CAPTULO 3

MODELO NUMRICO 3.1 - INTRODUO 27

3.2 - MTODO DE DIFERENAS FINITAS 28

3.3 - MTODO UPWIND 28

3.4 - EQUAES PARA CONVECO NATURAL 29

3.5 - EQUAES PARA CONVEO FORADA E MISTA 30

CAPTULO 4 TESTE DO PROGRAMA COMPUTACIONAL

4.1 - DEFINIO DOS PARMETROS DE TESTES 32

4.2 - TESTE 1 - CONVECO NATURAL 33

4.3 - TESTE 2 - VARIAO DO NMERO DE GRASHOF (GR) 36

4.4 - TESTE 3 - ANLISE DA CONVERGNCIA DO NMERO DE NUSSELT MDIO (NU)

38

4.4.1 - Conveco forada 38 4.4.1 - Conveco natural 39

4.4.1 - Conveco mista 41

4.5 - TESTE 4 - AVALIAO DO TEMPO DE PROCESSAMENTO COMPUTACIONAL

42

CAPTULO 5

RESULTADOS

5.1 - RESULTADOS DO PRESENTE TRABALHO 44

5.2 - CASO 1 46

5.2.1 - Caso 1 Conveco forada 47

5.2.2 - Caso 1 Conveco natural 52

5.2.3 - Caso 1 Conveco mista 57

5.3 - CASO 2 69

5.3.1 - Caso 2 Conveco forada 70

iii

5.3.2 - Caso 2 Conveco natural 75

5.3.3 - Caso 2 Conveco mista 79

5.4 - CASO 3 92

5.4.1 - Caso 3 Conveco forada 93

5.4.2 - Caso 3 Conveco natural 98

5.4.3 - Caso 3 Conveco mista 103

5.5 - CASO 4 115

5.5.1 - Caso 4 Conveco forada 116

5.5.2 - Caso 4 Conveco natural 121

5.5.3 - Caso 4 Conveco mista 126

CAPTULO 6

CONCLUSES E RECOMENDAES

6.1 - CONCLUSES 138

6.1.1 - Conveco forada 138

6.1.2 - Conveco natural 140

6.1.3 - Conveco mista 140

6.1.4 - Casos estudados 141

6.2 - RECOMENDAES PARA TRABALHOS FUTUROS 141

APNDICE

A.1 - Apndice 1 - Mtodo das Diferenas Finitas para a Equao de Poisson 143

A.2 - Apndice 2 - Mtodo Upwind 145

A.3 - Apndice 3 - Mtodo das Diferenas Finitas 148

A4 Algoritmo do programa computacional 152

REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS 158

BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR 162

Lista de Figuras

Figura 1 Domnio computacional para o caso 1 2

Figura 2 Domnio computacional para o caso 2 3

Figura 3 Domnio computacional para o caso 3 3

Figura 4 Domnio computacional para o caso 4 4

Figura 5 Geometria da cavidade para o caso 1 com condies dimensionais 21

Figura 6 Geometria da cavidade para o caso 1 com condies adimensionais 21

Figura 7 Geometria da cavidade utilizada no estudo comparativo 30

Figura 8 Variao de Nusselt em funo da quantidade de pontos nodais 37

Figura 9 Variao de Nusselt em funo da quantidade de pontos nodais 38

Figura 10 Variao de Nusselt em funo da quantidade de pontos nodais 39

Figura 11 Tempo por iterao matemtica 41

Figura 12 Condies de contorno dimensionais para o caso 1 44

Figura 13 Condies de contorno adimensionais para o caso 1 45

Figura 14 Distribuio e - Conveco Forada - A=0,5 - Caso 1 46

Figura 15 Distribuio e - Conveco Forada - A=1,0 - Caso 1 47

Figura 16 Distribuio e - Conveco Forada - A=2,0 - Caso 1 48

Figura 17 Nmero de Nusselt mdio - Conveco Natural - Caso 1 49

Figura 18 Distribuio e - Conveco Natural - A=0,5 - Caso 1 51

Figura 19 Distribuio e - Conveco Natural - A=1,0 - Caso 1 52

v

Figura 20 Distribuio e - Conveco Natural - A=2,0 - Caso 1 53

Figura 21 Nmero de Nusselt mdio - Conveco Natural - Caso 1 54

Figura 22 Distribuio e - Conveco Mista - Gr =34.110 - A=0,5 - Caso 1 56

Figura 23 Distribuio e - Conveco Mista - Gr =34.110 - A=1,0 - Caso 1 57

Figura 24 Distribuio e - Conveco Mista - Gr =34.110 - A=2,0 - Caso 1 58

Figura 25 Distribuio e - Conveco Mista - Gr =136.430 - A=0,5 - Caso 1 59

Figura 26 Distribuio e - Conveco Mista - Gr =136.430 - A=1,0 - Caso 1 60

Figura 27 Distribuio e - Conveco Mista - Gr =136.430 - A=2,0 - Caso 1 61

Figura 28 Distribuio e - Conveco Mista - Gr =341.070 - A=0,5 - Caso 1 62

Figura 29 Distribuio e - Conveco Mista - Gr =341.070 - A=1,0 - Caso 1 63

Figura 30 Distribuio e - Conveco Mista - Gr =341.070 - A=2,0 - Caso 1 64

Figura 31 Nmero de Nusselt mdio - Conveco Mista - Gr = 34.110 - Caso 1 65

Figura 32 Nmero de Nusselt mdio - Conveco Mista - Gr = 136.430 - Caso 1 66

Figura 33 Nmero de Nusselt mdio - Conveco Mista - Gr = 341.070 - Caso 1 66

Figura 34 Condies de contorno dimensionais para o caso 2 67

Figura 35 Condies de contorno adimensionais para o caso 2 68

Figura 36 Distribuio e - Conveco Forada - A=0,5 - Caso 2 69

Figura 37 Distribuio e - Conveco Forada - A=1,0 - Caso 2 70

Figura 38 Distribuio e - Conveco Forada - A=2,0 - Caso 2 71

Figura 39 Nmero de Nusselt mdio - Conveco Forada - Caso 2 72

Figura 40 Distribuio e - Conveco Natural - A=0,5 - Caso 2 74

Figura 41 Distribuio e - Conveco Natural - A=1,0 - Caso 2 75

Figura 42 Distribuio e - Conveco Natural - A=2,0 - Caso 2 76

Figura 43 Nmero de Nusselt mdio - Conveco Natural - Caso 2 77

Figura 44 Distribuio e - Conveco Mista - Gr =34.110 - A=0,5 - Caso 2 79

Figura 45 Distribuio e - Conveco Mista - Gr =34.110 - A=1,0 - Caso 2 80

Figura 46 Distribuio e - Conveco Mista - Gr =34.110 - A=2,0 - Caso 2 81

vi

Figura 47 Distribuio e - Conveco Mista - Gr =136.430 - A=0,5 - Caso 2 82

Figura 48 Distribuio e - Conveco Mista - Gr =136.430 - A=1,0 - Caso 2 83

Figura 49 Distribuio e - Conveco Mista - Gr =136.430 - A=2,0 - Caso 2 84

Figura 50 Distribuio e - Conveco Mista - Gr =341.070 - A=0,5 - Caso 2 85

Figura 51 Distribuio e - Conveco Mista - Gr =341.070 - A=1,0 - Caso 2 86

Figura 52 Distribuio e - Conveco Mista - Gr =341.070 - A=2,0 - Caso 2 87

Figura 53 Nmero de Nusselt mdio - Conveco Mista - Gr = 34.110 - Caso 2 88

Figura 54 Nmero de Nusselt mdio - Conveco Mista - Gr = 136.430 - Caso 2 89

Figura 55 Nmero de Nusselt mdio - Conveco Mista - Gr = 341.070 - Caso 2 89

Figura 56 Condies de contorno dimensionais para o caso 3 90

Figura 57 Condies de contorno adimensionais para o caso 3 91

Figura 58 Distribuio e - Conveco Forada - A=0,5 - Caso 3 92

Figura 59 Distribuio e - Conveco Forada - A=1,0 - Caso 3 93

Figura 60 Distribuio e - Conveco Forada - A=2,0 - Caso 3 94

Figura 61 Nmero de Nusselt mdio - Conveco Natural - Caso 3 95

Figura 62 Distribuio e - Conveco Natural - A=0,5 - Caso 3 97

Figura 63 Distribuio e - Conveco Natural - A=1,0 - Caso 3 98

Figura 64 Distribuio e - Conveco Natural - A=2,0 - Caso 3 99

Figura 65 Nmero de Nusselt mdio - Conveco Natural - Caso 3 100

Figura 66 Distribuio e - Conveco Mista - Gr =34.110 - A=0,5 - Caso 3 102

Figura 67 Distribuio e - Conveco Mista - Gr =34.110 - A=1,0 - Caso 3 103

Figura 68 Distribuio e - Conveco Mista - Gr =34.110 - A=2,0 - Caso 3 104

Figura 69 Distribuio e - Conveco Mista - Gr =136.430 - A=0,5 - Caso 3 105

Figura 70 Distribuio e - Conveco Mista - Gr =136.430 - A=1,0 - Caso 3 106

Figura 71 Distribuio e - Conveco Mista - Gr =136.430 - A=2,0 - Caso 3 107

Figura 72 Distribuio e - Conveco Mista - Gr =341.070 - A=0,5 - Caso 3 108

Figura 73 Distribuio e - Conveco Mista - Gr =341.070 - A=1,0 - Caso 3 109

vii

Figura 74 Distribuio e - Conveco Mista - Gr =341.070 - A=2,0 - Caso 3 110

Figura 75 Nmero de Nusselt mdio - Conveco Mista - Gr = 34.110 - Caso 3 111

Figura 76 Nmero de Nusselt mdio - Conveco Mista - Gr = 136.430 - Caso 3 112

Figura 77 Nmero de Nusselt mdio - Conveco Mista - Gr = 341.070 - Caso 3 112

Figura 78 Condies de contorno dimensionais para o caso 4 113

Figura 79 Condies de contorno adimensionais para o caso 4 113

Figura 80 Distribuio e - Conveco Forada - A=0,5 - Caso 4 115

Figura 81 Distribuio e - Conveco Forada - A=1,0 - Caso 4 116

Figura 82 Distribuio e - Conveco Forada - A=2,0 - Caso 4 117

Figura 83 Nmero de Nusselt mdio - Conveco Forada - Caso 4 118

Figura 84 Distribuio e - Conveco Natural - A=0,5 - Caso 4 120

Figura 85 Distribuio e - Conveco Natural - A=1,0 - Caso 4 121

Figura 86 Distribuio e - Conveco Natural - A=2,0 - Caso 4 122

Figura 87 Nmero de Nusselt mdio - Conveco Natural - Caso 4 123

Figura 88 Distribuio e - Conveco Mista - Gr =34.110 - A=0,5 - Caso 4 125

Figura 89 Distribuio e - Conveco Mista - Gr =34.110 - A=1,0 - Caso 4 126

Figura 90 Distribuio e - Conveco Mista - Gr =34.110 - A=2,0 - Caso 4 127

Figura 91 Distribuio e - Conveco Mista - Gr =136.430 - A=0,5 - Caso 4 128

Figura 92 Distribuio e - Conveco Mista - Gr =136.430 - A=1,0 - Caso 4 129

Figura 93 Distribuio e - Conveco Mista - Gr =136.430 - A=2,0 - Caso 4 130

Figura 94 Distribuio e - Conveco Mista - Gr =341.070 - A=0,5 - Caso 4 131

Figura 95 Distribuio e - Conveco Mista - Gr =341.070 - A=1,0 - Caso 4 132

Figura 96 Distribuio e - Conveco Mista - Gr =341.070 - A=2,0 - Caso 4 133

Figura 97 Nmero de Nusselt mdio - Conveco Mista - Gr = 34.110 - Caso 4 134

Figura 98 Nmero de Nusselt mdio - Conveco Mista - Gr = 136.430 - Caso 4 135

Figura 99 Nmero de Nusselt mdio - Conveco Mista - Gr = 341.070 - Caso 4 135

Figura 100 Fluxograma geral do programa computacional 154

Lista de Tabelas

Tabela 1 Resultados do teste com malha 30x30 pontos nodais. 33

Tabela 2 Resultados do teste com malha 40x40 pontos nodais. 33

Tabela 3 Resultados do teste com malha 50x50 pontos nodais. 33

Tabela 4 Comparao de Nu com valores obtidos por Figueiredo ( 1986). 35

Tabela 5 Comparao de Nu com valores obtidos por Figueiredo ( 1986). 35

Tabela 6 Comparao de Nu com valores obtidos por Wong (1979). 35

Tabela 7 Comparao de Nu com valores obtidos por Wong (1979) 35

Tabela 8 Comparao de Nu com valores obtidos por Brito (1999). 36

Tabela 9 Comparao de Nu com valores obtidos por Brito (1999). 36

Tabela 10 Anlise do nmero de Nusselt mdio Conveco forada. 37

Tabela 11 Anlise do nmero de Nusselt mdio Conveco natural. 38

Tabela 12 Anlise do nmero de Nusselt mdio Conveco mista. 39

Tabela 13 Tempo total de processamento. 40

Tabela 14 Tempo de processamento por iterao matemtica 40

Simbologia

Letras Latinas

A Razo de aspecto (A=H/L)

g Acelerao da gravidade

Gr Nmero de Grashof

H Altura da Cavidade

k Condutividade trmica

L Largura da Cavidade

NuL Nmero de Nusselt local

Nu Nmero de Nusselt mdio

p Presso

Pe Nmero de Peclet

Pr Nmero de Prandtl

Ra Nmero de Rayleigh

Re Nmero de Reynolds

S1 Seco inferior da parede vertical

S2 Seco superior da parede vertical

S3 Seco inferior da parede vertical

S4 Seco superior da parede vertical

S5 Seco anterior da parde horizontal

S6 Seco posterior da parde horizontal

S7 Seco anterior da parde horizontal

x

S8 Seco posterior da parde horizontal

T Temperatura

Tc Temperatura da superfcie fria

Th Temperatura da superfcie quente

To Temperatura inicial

u Velocidade horizontal

U Velocidade horizontal adimensional

Uo Velocidade mdia

v Velocidade vertical

V Velocidade vertical adimensional

Letras Gregas

Coeficiente de expanso volumtrico do flido

Densidade

Viscosidade cinemtica

Temperatura adimensional

Massa especfica

Vorticidade

Funo corrente

Captulo 1

INTRODUO

1.1 - MOTIVAO DO TRABALHO

O atual estgio de desenvolvimento dos mais diversos equipamentos atingiram o nvel

atual de eficincia, graas ao conhecimento da dinmica dos fluidos. Os problemas de

conveco forada e natural, entre placas paralelas horizontais e verticais, tem sido bastante

estudados e vrios trabalhos numricos e experimentais podem ser encontrados na literatura.

O estudo desses fenmenos de grande interesse no campo da engenharia, sendo que dentre

estes, o estudo da conveco forada de vital importncia no resfriamento de componentes

eletrnicos, em projetos de condicionamento de ar, em trocadores de calor e outras vrias

aplicaes na rea industrial.

O presente trabalho estuda numericamente problemas envolvendo a conveco natural,

forada e mista do escoamento de um fluido em regime laminar em cavidades retangulares.

Sero considerados quatro casos onde existiro variaes nas condies de contorno do

problema, sendo utilizadas paredes isotrmicas e paredes termicamente isoladas. Sero

2

estudados diferentes casos onde havero alteraes dos posicionamentos dessas regies

termicamente isoladas e tambm quanto a razo de aspecto da cavidade, ou seja, a relao

entre a altura e a largura da cavidade. Ainda sero realizados estudos comparativos entre casos

onde as paredes podero ou no ser termicamente isoladas.

A figura 1 apresenta o domnio computacional para o estudo do Caso 1 onde temos

apenas metade das paredes verticais aquecidas ou resfriadas. Nesse caso a parede S1 ser

mantida na temperatura fria Tc e a parede S4 ser mantida na temperatura quente Th. As

demais paredes sero termicamente isoladas.

A figura 2 apresenta o domnio computacional para o estudo do Caso 2 onde temos

metade das paredes verticais aquecidas ou resfriadas. Existe uma diferenciao em relao ao

caso 1 no que se refere ao posicionamento da parte aquecida da parede vertical S3. Nesse caso

a parede S1 ser mantida na temperatura fria Tc e a metade superior da parede S3 ser mantida

na temperatura quente Th, as demais paredes sero termicamente isoladas

Superfcie isolada S5

Superfcie isolada S2

Superfcie isolada S3

(Superfcie isotrmica fria S1) Tc = const

(Superfcie isotrmica quente S4) Th = const

y

x

Superfcie isolada S6

Superfcie isolada S7

Superfcie isolada S8

Figura 1 Domnio computacional para o caso 1

3

Superfcie isolada S2

Superfcie isolada S4

(Superfcie isotrmica fria S1) Tc = const

(Superfcie isotrmica quente S3) Th = const

y

x

Superfcie isolada S5

Superfcie isolada S6

Superfcie isolada S7

Superfcie isolada S8

Figura 2 Domnio computacional para o caso 2

A figura 3 apresenta o domnio computacional para o estudo do Caso 3 onde temos

uma parte da parede vertical resfriada e uma parte de uma das paredes horizontais aquecida.

Neste caso a parede S1 ser mantida na temperatura fria Tc e a parede horizontal inferior S7

ser mantida na temperatura quente Th. As demais paredes sero mantidas termicamente

isoladas.

Superfcie isolada S5

Superfcie isolada S8

Superfcie isolada S2

Superfcie isolada S3

(Superfcie isotrmica fria S1) Tc = const

(Superfcie isotrmica quente S7) Th = const

y

x

Superfcie isolada S4

Superfcie isolada S6

Figura 3 Domnio computacional para o caso 3

4

A figura 4 apresenta o domnio computacional para o estudo do Caso 4 onde temos

uma partes das paredes vertical e horizontal resfriadas ou aquecidas. Neste caso a parede S1 e

a parede S6 sero mantidas na temperatura fria Tc . A parede S4 e a parede S7 sero mantidas

na temperatura quente Th. As demais paredes sero mantidos termicamente isoladas.

Para a soluo dos problemas propostos de conveco forada, natural e mista

necessria a resoluo simultnea de um sistema de equaes diferenciais parciais no lineares

e acopladas. Dentre os vrios mtodos numricos disponveis para a soluo desses problemas

de engenharia, o mtodo das diferenas finitas foi utilizada neste trabalho.

Para todos os casos apresentados sero analisados ainda os efeitos referentes a

variao da razo de aspecto da cavidade, ou seja, sero estudados todos os casos variando-se

as propores entre a largura e a altura da cavidade.

Figura 4 Domnio computacional para o caso 4

Superfcie isolada S5

Superfcie isolada S8

Superfcie isolada S2

Superfcie isolada S3

(Superfcie isotrmica fria S1) Tc = const

(Superfcie isotrmica quente S7) Th = const

y

x

(Superfcie isotrmica quente S4) Th = const

(Superfcie isotrmica fria S6) Tc = const

5

1.2 - REVISO DA LITERATURA

Uma reviso da literatura mostra uma grande quantidade de referncias na rea de

transferncia de calor envolvendo trabalhos de conveco forada, natural e mista.

A grande maioria dos trabalhos revisados sobre conveco forada tratam do

escoamento de fluido entre placas planas paralelas verticais e horizontais. Foram revisados

trabalhos numricos, experimentais e analticos.

Os trabalhos encontrados para os casos de conveco forada, natural e mista estudam

o escoamento de fluido numa cavidade retangular fechada.

A seguir est apresentado um resumo das anlises realizadas com base na literatura

existente para os casos de conveco forada, natural e mista.

1.2.1 - Conveco natural

Ghaddar (1992) estudou numericamente a conveco natural de um cilindro aquecido

uniformemente colocado dentro de uma cavidade fechada. O escoamento considerado

laminar e bidimensional. A dinmica do escoamento e o comportamento trmico foram

analisados para diferentes fluxos de calor aplicados ao cilindro. Na anlise numrica foram

consideradas as seguintes relaes: altura da cavidade pelo dimetro do cilindro igual a 40;

largura da cavidade pelo dimetro do cilindro igual a 15; e a dimenso da posio vertical do

centro do cilindro pelo dimetro do cilindro igual a 10. Os resultados foram obtidos para as

seguintes faixas: 10

6

Prandlt Pr=0,71. Os autores apresentaram uma equao de correlao para o clculo do

nmero de Nusselt mdio que apresentou um desvio mximo de 6 %.

Basak et al (2005) Apresentou o estudo, o qual abrangeu o estudo da conveco natural

em um escoamento laminar, numa cavidade quadrada, com a parede inferior com e sem um

aquecimento uniforme, a parede superior adiabtica e com as paredes verticais mantidas frias

a uma temperatura constante. O mtodo dos elementos finitos foi escolhido para a soluo das

equaes de continuidade, quantidade de movimento e energia, empregando elementos

quadrados. O mtodo numrico considerou estudos com uma grande gama de parmetros

(Rayleigh Ra, 103 Ra 105 e Prandtl Pr, 0.7 Pr 10). O aquecimento no-uniforme da

parede inferior produz maiores taxas de transferencia de calor no centro da cavidade do que o

caso onde a parede inferior tem aquecimento uniforme; entretanto, obteve-se menores valores

do numero de Nusselt mdio para o caso de aquecimento no-uniforme. Foram verificados

casos crticos onde os nmeros de Rayleigh foram dominantes na conduo da transferencia

de calor e ainda tambm verificou-se a baixa correlao entre os valores do nmero de Nusselt

mdio e o nmero de Rayleigh.

1.2.2 - Conveco forada

Mercer et al. (1967) realizaram um trabalho numrico e experimental de conveco

forada laminar, sobre o escoamento simultaneamente em desenvolvimento, entre placas

planas paralelas. Na obteno da soluo numrica foi utilizado o mtodo de diferenas finitas

para se resolver as equaes de conservao na forma bidimensional e no regime permanente.

A investigao experimental foi feita usando-se um interfermetro de Mach-Zehder. Trs

testes experimentais foram examinados: ar aquecido pela placa superior com a placa inferior

isolada; ar aquecido pela placa inferior com a placa superior isolada e ar aquecido atravs

das duas placas. Suas experincias foram conduzidas para as faixas: 300Re1500 e

0,1Pr10; razo entre o comprimento da placa e o espaamento entre elas variando de 2 a 8.

Foram apresentadas duas equaes de correlao do nmero de Nusselt mdio Nu, para os

casos obtidos numericamente. As condies de contorno de temperatura para essas equaes

foram: as duas placas aquecidas; uma placa aquecida e outra isolada. Os nmeros de Nusselt

local e mdio dos resultados experimentais foram comparados com os correspondentes valores

numricos do trabalho. Essas equaes para o clculo do nmero de Nusselt mdio Nu

apresentam um desvio de 7% para Prandtl na faixa de 0,1 a 10.

7

Tay e Vahl Davis (1971) fizeram um estudo numrico de conveco forada entre

placas planas paralelas utilizando o mtodo de elementos finitos. As propriedades do fluido

so constantes, no h gerao interna de calor e a dissipao viscosa desprezvel. O perfil

de velocidade desenvolvido e parablico. Dois casos foram estudados: as duas placas so

mantidas com temperaturas variando linearmente, a placa superior mantida com um fluxo de

calor constante e a inferior isolada. O objetivo do trabalho foi determinar a distribuio de

temperaturas e a variao do nmero de Nusselt local ao longo da direo de escoamento. Os

resultados obtidos numericamente foram comparados com os resultados analticos de

Lundberg et al. (1963), apresentando boa concordncia.

Nguyen (1991) fez um estudo numrico de conveco forada do escoamento de um

fluido em desenvolvimento na regio de um conjunto de placas planas paralelas, horizontais e

finas, com escoamento uniforme na entrada. As equaes de conservao, bidimensionais e no

regime no permanente, foram expressas na forma de diferenas finitas. Considerou-se dois

casos: temperaturas constantes das placas e fluxo de calor constante das placas. As

propriedades do fluido foram consideradas constantes. Os resultados foram obtidos para

Reynolds na faixa de 1 a 20 e para Nmero de Prandlt Pr =0,7.

Nguyen e Maclaine-cross (1991) estenderam o trabalho de Nguyen (1991) para faixas

maiores dos nmeros de Prandtl e Reynolds. Os resultados do trabalho de Nguyen e Maclaine-

cross (1991) foram obtidos para as seguintes faixas: 0,2

8

foram efetuados, solucionando-se o problema da cavidade com tampa deslizante (lid-driven

cavity) 2D e 3D. Apesar de constituir uma geometria bastante simples, o escoamento no

interior da cavidade relativamente complexo, apresentando uma grande zona de recirculao

e outras instabilidades menores, caractersticas desse tipo de escoamento. As equaes da

continuidade e de Navier-Stokes foram discretizadas espacialmente pelo mtodo dos volumes

finitos, com uma formulao temporal totalmente implcita. Foi empregado o algortmo

SIMPLEC, para o acoplamento presso-velocidade, e o esquema de Diferenas Centrais, para

o tratamento dos termos advectivos. Os resultados apresentaram boa concordncia com dados

da literatura, revelando a boa performance do programa.

Cheng e Hung (2005) Utilizaram o mtodo (LBM) Lattice Boltzmann Method, que

uma alternativa ao convencional mtodo computacional para fluido-dinamica, na soluo das

equaes de Navier-Stokes. Diferentemente dos mtodos tradicionais que se baseiam na

velocidade e na densidade, este se baseia na integrao dos momentos da funo de

distribuio das partculas. O caso estudado apresenta a circulao de dois diferentes fluxos

atravs de uma cavidade retangular, que possui a parede superior que se desloca com

velocidade constante. Foram avaliadas cavidade com razo de aspecto variando entre 0,1 e 7 e

com 0,01100 o centro da

clula de circulao do fluido coincide com o centro da cavidade estudada. Entretanto quando

Re

9

estudados no trabalho e seus resultados foram comparados com outros trabalhos numricos

previamente estudados na literatura.

Quintiere e Mueller (1973) estudaram tambm analiticamente a conveco mista entre

placas paralelas planas, verticais e finitas. O escoamento foi considerado permanente e

bidimensional. Para o caso de conveco natural em canal aquecido simetricamente, as

condies de contorno de temperatura consideradas foram: temperaturas uniformes das placas

ou mudana repentina nas temperaturas das placas. Ainda para a conveco natural, para o

caso de aquecimento assimtrico das placas, foram consideradas temperaturas uniformes e

diferentes nas placas. Para os casos de conveco forada e conveco mista foram

consideradas as condies de contorno de temperaturas uniformes e simtricas nas placas. Os

resultados foram analisados para as seguintes faixas: 0,01Pr10 e 1

10

Lin et al. (1991) realizaram um estudo numrico de conveco mista entre placas

planas verticais utilizando o mtodo das diferenas finitas. As equaes de conservao foram

escritas na forma bidimensional e no regime permanente. As condies de contorno do

trabalho foram: fluxos de calor constantes nas duas placas e fluxos diferentes nas placas. Os

resultados foram obtidos para um caso tpico: Nmero de Prandlt Pr =5 ; Gr/Re = 1000; taxa

de transferncia de calor da placa para o fluido igual nas duas placas com valor igual a 10 e a

razo do fluxo de calor das placas igual a 0,5. Foram expressas equaes de correlao para

escoamento ajudado e oposto, para o clculo do nmero de Nusselt com um desvio

mximo de 15%. Os resultados mostraram que aumentando-se as foras de empuxo em

escoamento ajudado diminui-se o nmero de Nusselt em ambos regimes permanente e no

permanente. Para escoamento oposto o aumento de Gr/Re reduziu o nmero de Nusselt.

Safi e Loc (1994) estudaram numericamente a conveco mista laminar em uma

cavidade semi-aberta. Foi utilizado o mtodo de diferenas finitas para resolver as equaes

de conservao, bidimensionais e no regime no permanente, em termos da vorticidade,

funo corrente e temperatura adimensional. A cavidade era formada por uma entrada,

localizada na regio superior da superfcie vertical esquerda e uma sada localizada na regio

inferior da superfcie vertical direita. Foram considerados dois tipos de condies de

contorno para as superfcies verticais e horizontais. No primeiro, as superfcies eram

condutoras. No segundo, as superfcies eram consideradas adiabticas. Considerou-se um

perfil de velocidades uniforme na entrada, com temperatura adimensional quente. Na sada

dois tipos de condies de contorno foram impostas, uma foi de escoamento com temperatura

adimensional fria e outra de isolamento. Os resultados mostraram que nenhuma diferena foi

observada para essas duas condies de contorno de uma cavidade

Ingham et al. (1995) obtiveram resultados numricos de conveco mista sobre o

escoamento hidrodinamicamente desenvolvido entre placas planas paralelas. As equaes de

conservao, bidimensionais e no regime permanente foram expressas na forma de diferenas

finitas. Foram considerados trs tipos de condies de contorno: a placa inferior mantida na

temperatura quente e a placa superior na temperatura fria; as duas placas mantidas na

temperatura quente. Para esse ltimo, a condio de contorno de temperatura na sada foi igual

a 1. Para os dois primeiros casos o perfil de temperatura na sada foi linear, com valores de

temperatura variando entre os valores das superfcies fria e quente. Na regio de entrada o

fluido foi considerado frio. Os resultados foram obtidos para as seguintes faixas: 5Re10;

0 Gr/Re2 40 e Pr = 7,02. Para o caso de aquecimento da placa inferior, uma regio de

recirculao do fluido prxima superfcie quente e orientada transversalmente foi observada,

11

modificando o processo da transferncia de calor. No caso de aquecimento da placa superior o

processo da transferncia de calor foi auxiliado pelo empuxo.

Oztop e Dagtekin (2003) Apresentam o estudo numrico para problemas

bidimensionais de conveco mista em uma cavidade quadrada, onde as paredes verticais se

deslocam em direes opostas. As paredes esquerda e direita so mantidas a diferentes

temperaturas constantes enquanto que as paredes superior e inferior so isoladas

termicamente. Foram avaliados trs casos com a movimentao das paredes. O nmero de

Richardson , Ri = Gr/Re2 apresenta uma importancia relativa para as conveces natural e

forada na taxa da transferencia de calor. Foram utilizados os parmetros: 0,01 < Ri < 100 e

Pr 0,7. Foi observado que todos os valores do nmero de Richardson e os diferentes sentidos

da movimentao das paredes, afetam diretamente a transferencia de calor na cavidade. Para

Ri < 1 a influencia das paredes moveis na transferencia de calor e semelhante quando se

alterna o sentido de movimentao das mesmas, e finalmente a taxa se reduz quando as

paredes se movimentam no mesmo sentido. Para o caso onde se opem as forces de empuxo e

de gravidade, e com Ri > 1, a taxa de transferencia de calor um pouco melhor com a

formao de clulas prximas s paredes e de uma clula central contra-rotativa no centro da

cavidade

Guo e Sharif (2003) Apresentaram o estudo numrico bidimensional da conveco

mista no regime permanente, para uma cavidade quadrada com um fluxo constante de calor

proveniente da parede inferior, que parcialmente aquecida, enquanto que as paredes

verticais que so isotermicas e se movimentam. Foram considerados vrios diferentes

parmetros geomtricos e trmicos. Os estudos numricos foram realizados para o nmero de

Richardson variando de 0,1 a 10. Foram estudadas as influencias do nmero de Richardson,

do comprimento do aquecimento da parede, sua localizao, e a razo de aspecto da cavidade,

sobre os valores das temperaturas mxima e dos valores do nmero de Nusselt. Os resultados

foram apresentados na forma de grficos de funo corrente e temperatura isotermica e

tambm em grficos relacionando-se a variao da temperatura mxima com o nmero de

Nusselt e as condies condies de aquecimento da cavidade. O programa computacional foi

desenvolvido considerando-se uma malha uniforme de volumes finitos. O sistema de equaes

algbricas lineares foram resolvidas utilizando-se o SIP (Strongly Implicit Procedure).

Saldana (2005) Desenvolveu um programa em FORTRAN para a simulao numerica de

conveco mista, para um escoamento tridimensional horizontal. Para as equaes de energia

e quantidade de movimento foi utilizada a aproximao de Boussinesq utilizando o mtodo

dos volumes finitos. O algoritmo SIMPLE foi utilizado para correlacionar a presso e o campo

12

das velocidades, enquanto que foi utilizado uma implementao paralela para incrementar e

acelerar as solues numricas. O processo de aquecimento corresponde a um canal aquecido

na parte inferior a temperatura constante, com as demais paredes isoladas termicamente.

Estudou-se as influencias sobre a velocidade e a da distribuio de temperatura, devido o

fluxo vertical, para trs diferentes nmeros de Richardson Ri=3; 2; e 1 e os resultados foram

comparados com o caso de conveco forada onde Ri=0. Nessas simulaes o nmero de

Reynolds foi fixado igual a 200. Nessas anlises, o incremento de Ri implica no aumento da

influencia das condies de contorno na conveco mista. O estudo numrico indica que o

campo de velocidades e a distribuio de temperatura, para a conveco forada, fortemente

distorcido, quando comparado com a conveco mista. Quando aumenta-se Ri, a zona de

recirculao reduzida. A distribuio das temperaturas demonstram que o incremento do

valor de Ri causa um ligeiro aumento da temperatura na superfcie do canal, gerando a

circulao de fluido com menor densidade.

Para os problemas de conveco forada, natural e mista que aparecem na literatura,

so observados vrios trabalhos com diversas aplicaes importantes nas reas de engenharia.

Esses trabalhos foram aplicados em uma grande quantidade de geometrias e condies de

contorno, utilizando vrios mtodos de soluo.

No presente trabalho foi utilizado o mtodo das diferenas finitas para se estudar a

transferncia de calor por conveco forada, natural e mista em cavidades retangulares.

Foram considerados quatro casos, onde se variaram as condies de contorno, os parmetros

geomtricos e os parmetros trmicos. Nos problemas de conveco forada o nmero de

Reynolds variou na faixa de 1Re160. Para problemas de conveco natural o nmero de

Grashof variou na faixa de 34110Gr341070. Para problemas de conveco mista o nmero

de Reynolds variou de 1Re100 e o nmero de Grashof variou na faixa de

34110Gr341070. Em todos os casos estudados foi considerado o ar no interior da cavidade

com nmero de Prandtl Pr=0,733, sendo que a razo de aspecto variou de 0,5A2.

1.3 - OBJETIVOS DO PRESENTE TRABALHO

O presente trabalho tem por objetivo o estudo numrico da conveco forada, natural

e mista, considerando-se o escoamento laminar, bidimensional e em regime no permanente.

Entretanto, todos os resultados so apresentados para o regime permanente. O estudo fornece

13

como resultados as distribuies da funo corrente (), temperatura adimensional () e

vorticidade().

Para todos os problemas estudados so obtidos os nmero de Nusselt mdio (Nu), em

funo dos parmetros geomtricos (razo de aspecto) e parmetros trmicos (nmero de

Grashof, nmero de Reynolds e nmero de Prandtl), permitindo assim calcular o fluxo de

transferncia de calor.

1.4 - CONTRIBUIES DO PRESENTE TRABALHO

Uma contribuio do presente trabalho foi o desenvolvimento sistemtico das

equaes em uma forma geral para a aplicao do mtodo das diferenas finitas. As equaes

obtidas pela aplicao do mtodo das diferenas finitas possibilitam o estudo tanto de

problemas de transferncia de calor por conveco forada, natural ou mista.

Com o programa computacional desenvolvido torna-se possvel realizar estudos em

cavidades retangulares variando-se a geometria (razo de aspecto), os parmetros trmicos

(nmeros de Reynolds, Grashof e Prandtl) e as condies de contorno (paredes frias, quentes

ou isoladas termicamente).

Atravs do trabalho possvel visualizar as distribuies de temperatura adimensional,

da funo corrente e da vorticidade do escoamento dentro da cavidade. Podemos ainda

calcular o nmero de Nusselt mdio (Nu) nas diversas superfcies de interesse.

1.5 - DELINEAMENTO DO PRESENTE TRABALHO

A seguir so apresentados os contedos dos captulos de uma forma geral.

No captulo 2 inicialmente so apresentadas as equaes de conservao na forma

dimensional para cada tipo de conveco, ou seja, forada, natural e mista. Essas equaes se

apresentam juntamente com as hipteses do escoamento considerado, mais as condies

iniciais e as de contorno.

Com o objetivo de reduzir o nmero de parmetros e generalizar a soluo numrica

do problema, as equaes de conservao na forma dimensional so adimensionalizadas e

14

escritas em termos da funo corrente (), temperatura adimensional (), vorticidade () e

dos nmeros de Grashof (Gr), de Prandtl (Pr) e de Reynolds (Re), dependendo do tipo de

conveco. So apresentadas as expresses para o clculo do nmero de Nusselt mdio (Nu)

para os problemas de conveco forada, natural e mista.

No captulo 3 o mtodo das diferenas finitas usado para a soluo numrica das

equaes para os problemas de conveco forada, natural e mista.

Neste trabalho as equaes diferenciais em termos da funo corrente (),

temperatura adimensional (),vorticidade (). so desenvolvidas numa forma geral vlida para

a conveco forada, natural ou mista.

Uma vez resolvido o sistema de equaes pode-se calcular o nmero de Nusselt mdio

(Nu).

No captulo 4 sero apresentados os testes de validao do programa computacional

desenvolvido. Foram realizadas comparaes para a avaliao da malha mais apropriada a ser

utilizada na resoluo dos problemas de conveco natural. Para isto foram avaliadas malhas

com quantidade de ns variando de 121 at 5041. Os resultados obtidos foram comparados

com os existentes na literatura.

Na anlise foram ainda estudadas a influncia do refinamento da malha nos casos de

conveco forada, natural e mista para uma cavidade quadrada, possuindo uma parede

aquecida e outra resfriada.

No captulo 5 sero apresentados os resultados das simulaes numricas realizadas

para os quatro casos desse trabalho.

Para cada um dos casos estudados so apresentados resultados dos problemas de

conveco forada, natural e mista. So apresentadas as correspondentes distribuies de

funo corrente e temperatura adimensional, bem como o nmero de Nusselt mdio para as

diversas razes de aspecto e nmeros de Reynolds, Grashof e Prandtl.

Nos problemas de conveco forada, natural e mista so utilizados os seguintes

parmetros:

Conveco forada: 0,5A2 ; Pr=0,733 ; 1Re160,

Conveco natural: 0,5A2 ; Pr=0,733 ; 34110Gr341070,

Conveco mista : 0,5A2 ; Pr=0,733 ; 1Re100 ; 34110Gr341070,

15

No captulo 6 so apresentadas as principais concluses obtidas neste trabalho para

os quatro casos estudados para os problemas de conveco forada, natural e mista.

Finalmente faz-se algumas recomendaes para possveis trabalhos futuros.

Captulo 2

MODELO MATEMTICO

2.1 - EQUAES DE CONSERVAO PARA A CONVECO

NATURAL

As equaes de conservao para o estudo da conveco natural em cavidades

fechadas tero as seguintes consideraes:

a) regime no permanente;

b) escoamento bidimensional e laminar;

c) escoamento incompressvel;

d) a funo dissipao viscosa foi desprezada;

e) as propriedades do fluido so constantes, exceto a massa especfica no termo de

empuxo;

f) sem gerao de calor interno.

17

Mediante as consideraes acima as equaes de conservao so:

i) continuidade

0y

v

x

u=

+

. (2.1)

ii) quantidade de movimento

+

+

=

+

+

2

y

u2

2x

u2

x

p

y

uv

x

uu

t

u , (2.2)

( )0TTg2y

v2

2x

v2

y

p

y

vv

x

vu

t

v +

+

+

=

+

+

. (2.3)

iii) energia

+

=

+

+

2

y

T2

2x

T2

y

Tv

x

Tu

t

T . (2.4)

2.2 - ADIMENSIONALIZAO DAS EQUAES PARA A

CONVECO NATURAL

So introduzidas as seguintes variveis adimensionais para adimensionalizar as

equaes de conservao, visando assim, generalizar a anlise terica:

,Uu

U,Hy

Y,Hx

X,H

tU

o

o ====

.TTTT

,U

pP,

Uv

V0h

02oo

=== (2.5)

18

Sendo, H o comprimento de referncia, oU a velocidade de referncia e oT a

temperatura de referncia, dados por: HTgoU = e 2TT

T ch0+

= , com ch TTT = ,

sendo que Th e Tc so as temperaturas da superfcie quente e fria, respectivamente.

Substituindo (2.5) em (2.1), resulta:

0YV

XU =

+

. (2.6)

Substituindo (2.5) em (2.2) e (2.3), resultam, respectivamente:

+

+

=

+

+

2

2

2

2

YU

XU

Gr

1XP

YU

VXU

UU

, (2.7)

2YV

XV

Gr

1YP

YV

VXV

UV

2

2

2

2 +

+

+

=

+

+

. (2.8)

Sendo Gr o nmero de Grashof definido como:

2

3HTgGr

= . (2.9)

Substituindo (2.5) em (2.4), resulta:

+

=

+

+

2Y

2

2X

2

GrPr

1Y

VX

U . (2.10)

Sendo Pr o nmero de Prandtl definido como:

Kpc

Kpc

Pr =

== . (2.11)

A seguir, so apresentadas as definies da funo corrente e da vorticidade .

A definio de vorticidade adimensional dada por:

19

Y

U

X

V

= . (2.12)

A definio de funo corrente adimensional dada por:

XV;

YU

=

= . (2.13)

Os termos de presso que aparecem nas equaes (2.7) e (2.8) podem ser eliminados.

Isto conseguido derivando-se a equao (2.7) com relao a Y, e a equao (2.8) com

relao a X. Em seguida as equaes so subtradas uma da outra, resultando:

=

+

+

YU

XV

YV

YU

XV

XU

YU

XV

X21

YU

XV

2Y

2

Gr1

YU

XV

2X

2

Gr1

+

+

= . (2.14)

Substituindo a definio de vorticidade, dada pela equao (2.12), na equao (2.14),

resulta:

X21

YXGr

1Y

VX

U 22

2

2

+

+

=

+

+

. (2.15)

Substituindo a equao (2.13) em (2.12), resulta a seguinte equao:

=

+

2

2

2

2

YX . (2.16)

A definio da funo corrente adimensional, dada pela equao (2.13), safisfaz a

equao da conservao da massa dada pela equao (2.6).

As equaes (2.16), (2.15) e (2.10), so escritas a seguir, em forma de resumo, como:

=

+

2

2

2

2

YX , (2.17)

X21

YXGr

1Y

VX

U2

2

2

2

+

+

=

+

+

, (2.18)

+

=

+

+

2Y

2

2X

2

GrPr

1Y

VX

U . (2.19)

20

Assim, as equaes (2.17), (2.18) e (2.19), formam um conjunto de equaes

diferenciais parciais em termos das variveis , e . Estas equaes so bsicas no

estudo da conveco natural. No item 2.5, sero mostradas as condies iniciais e de contorno

para o caso 1 desse trabalho. Para os outros casos estudados, as condies iniciais e de

contorno so semelhantes.

2.3 - EQUAES DE CONSERVAO PARA A CONVECO

FORADA E MISTA

As equaes de conservao para o estudo da conveco forada e mista em cavidades

fechadas tero as seguintes consideraes:

a) regime no permanente;

b) escoamento bidimensional e laminar;

c) escoamento incompressvel;

d) a funo dissipao viscosa foi desprezada;

e) as propriedades do fluido so constantes, exceto a massa especfica no termo de

empuxo;

f) sem gerao de calor interno.

Mediante as consideraes acima as equaes de conservao so:

i) continuidade

0yv

xu =

+

. (2.20)

ii) quantidade de movimento

( )

+

+=

+

+

2y

u2

2x

u2

xp

yu

vxu

utu

, (2.21)

21

( ) ( )0TTg2yv2

2x

v2

xp

yv

vxv

utv

+

+

+=

+

+

. (2.22)

iii) energia

+

=

+

+

2

2

2

2

YT

XT

YT

vXT

utT

. (2.23)

2.4 - ADIMENSIONALIZAO DAS EQUAES PARA A

CONVECO FORADA E MISTA

So consideradas as seguintes variveis adimensionais para adimensionalizar as

equaes de conservao, visando assim, generalizar a anlise terica:

,Uu

U,Hy

Y,Hx

X,H

tU

o

o ====

.TTTT

,U

pP,

Uv

V0h

02oo

=== (2.24)

Sendo, H o comprimento de referncia, oU a velocidade de referncia e oT a

temperatura de referncia, dada 2

TTT ch0

+= . Para conveco forada e mista a velocidade de

referncia, oU , a velocidade da parede superior deslizante da cavidade.

Substituindo (2.24) em (2.20), resulta:

0YV

XU =

+

. (2.25)

Substituindo (2.24) em (2.21) e (2.22), resultam, respectivamente:

+

+

=

+

+

2

2

2

2

YU

XU

Re1

XP

YU

VXU

UU

, (2.26)

+

+

+

=

+

+

22

2

2

2

Re2Gr

YV

XV

Re1

YP

YV

VXV

UV

. (2.27)

22

Sendo Re o nmero de Reynolds, Gr o nmero de Grashof e Pr o nmero de Prandtl,

definidos, respectivamente, como:

HURe 0= , 2

3HTgGr

= ,

Kpc

Kpc

Pr =

== . (2.28)

Sendo: ch TTT = .

Substituindo (2.24) em (2.23), resulta:

+

=

+

+

2Y

2

2X

2

RePr1

YV

XU . (2.29)

Anlogo ao que foi feito para a conveco natural, no item 2.1, aqui tambm se

pretende eliminar os termos de presso que aparecem nas equaes (2.26) e (2.27). Para isso

deriva-se a equao (2.26) com relao a Y, e a equao (2.27) com relao a X. Em seguida

subtraindo uma equao da outra, resulta:

=

+

+

YU

XV

YV

YU

XV

XU

YU

XV

XRe2Gr

YU

XV

2Y

2

Re1

YU

XV

2X

2

Re1

2 +

+

= . (2.30)

Substituindo a definio de vorticidade, dada pela equao (2.12), na equao (2.30),

resulta:

XRe2Gr

YXRe1

YV

XU 22

2

2

2

+

+

=

+

+

. (2.31)

Substituindo a definio da funo corrente adimensional dada pela equao (2.13) em

(2.12), que a definio da vorticidade adimensional, como foi visto no item 2.1, resulta:

=

+

2

2

2

2

YX . (2.32)

As equaes (2.32), (2.31) e (2.29) so repetidas, a seguir, para maior clareza, como:

=

+

2

2

2

2

YX . (2.33)

XRe2Gr

YXRe1

YV

XU 22

2

2

2

+

+

=

+

+

. (2.34)

23

+

=

+

+

2Y

2

2X

2

RePr1

YV

XU . (2.35)

As equaes (2.33), (2.34) e (2.35) formam um conjunto de equaes diferenciais

parciais em termos das variveis , e . Estas equaes so bsicas no estudo da

conveco forada e mista. No caso de conveco forada basta fazer Gr=0 na equao (2.34).

No item 2.5, sero mostradas as condies iniciais e de contorno para o caso 1 desse trabalho.

2.5 - CONDIES INICIAIS E DE CONTORNO

As condies iniciais e de contorno sero apresentadas para o Caso 1, uma vez que

para os outros casos estas condies so semelhantes.

Superfcieisolada S5

SuperfcieIsolada S3

(Superfcie isotrmicaquente S4) Th = const.

y

x

L

H

Superfcieisolada S6

Superfcieisolada S7

Superfcieisolada S8

Superfcieisolada S2

(Superfcie isotrmicafria S1) Tc = const.

Figura 5 Geometria da cavidade para o caso 1 com condies dimensionais

v

u

24

S5Y

X

A

1

S6

S1

S2

S3

S4

S7 S8

U0

= 1 = 1 = 1 = 1

=1 =1 =1 =1

Figura 6 Domnio computacional e condies de contorno para o caso 1

com condies adimensionais

2.5.1 - Condies iniciais

As condies iniciais para o Caso 1 so:

.0,0,0,0 ==== (2.35)

2.5.2 - Condies de contorno

As condies de contorno para o Caso 1 so:

Superfcie S1

2

2

X,0,1

=== , (2.36a)

Superfcie S2

V

U

25

2

2

X,0,0

X ===

, (2.36b)

Superfcie S3

2

2

X,0,0

X ===

, (2.36c)

Superfcie S4

2

2

X,0,1

=== , (2.36d)

Superfcie S5 e S6

2

2

Y,0

Y ==

, (2.36e)

para conveco natural: = 0 , (2.36f)

para conveco forada e mista : 0UY=

, (2.36g)

Superfcie S7 e S8

2

2

Y,0,0

Y ===

. (2.36h)

2.6 - NMERO DE NUSSELT LOCAL E MDIO

As equaes (2.17), (2.18) e (2.19) representam um sistema de equaes diferenciais

parciais, para o estudo da conveco natural. E as equaes (2.33), (2.34) e (2.35), so

utilizadas para o estudo da conveco forada e mista. Para se resolver estes sistemas de

equaes ser usado o mtodo das diferenas finitas, com o objetivo de determinar as

distribuies das funes , e . Assim ser possvel calcular o nmero de Nusselt local

e mdio em funo dos parmetros geomtricos e trmicos do problema.

Os nmeros de Nusselt local e mdio so definidos a seguir:

26

i) Nmero de Nusselt local para a superfcie S4:

sL X

Nu= . (2.37)

ii) Nmero de Nusselt mdio para a superfcie S4:

dSNuS1

Nu ss

L= . (2.38)

Os nmeros de Nusselt local e mdio acima, podem ser escritos em funo de

parmetros geomtricos e trmicos do problema para os casos de conveco mista.

Esses parmetros j foram definidos anteriormente. Entretanto, para maior clareza so

listados a seguir:

Parmetro geomtrico:

Razo de aspecto: HL

A = ; (2.39)

Parmetros trmicos:

Nmero de Grashof: 2

3ch H)TT(gGr

= ; (2.40)

Nmero de Reynolds:

HURe 0= ; (2.41)

Nmero de Prandtl: =Pr . (2.42)

Lembrando que o nmero de Prandtl foi fixado em 0,733 no presente trabalho.

Para o estudo de conveco natural, os nmeros de Nusselt local e mdio tm a

seguinte relao:

NuL = NuL (A, Gr, Pr=0,733), (2.43a)

Nu = Nu (A, Gr, Pr=0,733). (2.43b)

27

Para o estudo de conveco forada, os nmeros de Nusselt local e mdio tero a

seguinte relao:

NuL = NuL (A, Re, Pr=0,733), (2.44a)

Nu = Nu (A, Re, Pr=0,733). (2.44b)

Para o estudo de conveco mista, os nmeros de Nusselt local e mdio tero a

seguinte relao:

NuL = NuL (A, Gr, Re, Pr=0,733), (2.45a)

Nu = Nu (A, Gr, Re, Pr=0,733). (2.45b)

Captulo 3

MODELO NUMRICO

3.1 - INTRODUO

Diversos problemas de engenharia tem como base a soluo de equaes diferenciais,

que na maioria das vezes, no possuem soluo analtica conhecida. Uma das maneiras de se

encontrar essa soluo fazer uso dos mtodos numricos.

Os mtodos numricos substituem as derivadas existentes nas equaes diferenciais

por expresses algbricas que envolvem a funo incgnita. Entre os mtodos mais

conhecidos esto o mtodo de diferenas finitas, o mtodo de elementos finitos e mtodo dos

volumes finitos, a seguir ser feita uma breve abordagem do mtodo de diferenas finitas.

29

3.2 - MTODO DE DIFERENAS FINITAS

O mtodo de diferenas finitas muito utilizado na soluo de diversos problemas da

fsica, em especial em problemas de escoamento de fluidos e transferncia de calor. Nesse

mtodo, as derivadas das equaes diferenciais so aproximadas por termos da srie de Taylor

truncada.

No Apndice A1 pode ser visto o desenvolvimento do Mtodo de Diferenas Finitas

para a equao de Poisson para uma dada malha uniforme.

3.3 - MTODO UPWIND

No Apndice A2 so apresentados os desenvolvimentos do Mtodo Upwind para

problemas uni e bidimensionais. No Apndice A3 desenvolvida uma equao genrica

baseada no mtodo Upwind, onde utilizada uma varivel , que pode assumir a temperatura

adimensional () e a vorticidade (). No desenvolvimento terico so utilizadas duas

constantes A e B conhecidas que iro depender do tipo de problema estudado.

A seguir apresentada a equao matemtica genrica do mtodo Upwind desenvolvida

no Apndice A3, dada pela equao (A3.9), como sendo:

( ) ( )

+

++

+= +++ xx2

xxpY

2Y2

XA

Xt

( ) p2

X2Y2Y

1X

4

++

+

VUXYA

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] XVVVVYUUUU YYxx ++++ ++ 21

21

( )[ ] }YB xx + ++ (3.1)

30

3.4 - EQUAES PARA A CONVECO NATURAL

Na seqncia sero desenvolvidas as equaes de conservao para a funo corrente,

vorticidade e temperatura adimensional para a conveco natural.

Equao para a funo corrente:

A equao para a funo corrente foi deduzida no Apndice A1, sendo dada pela

equao (A1.5), como sendo:

Equao para a vorticidade:

Da equao (3.1) considerando = , A =1/ Gr e B= 1, resulta:

( ) ( )

+

++

+= +++ xx2

xxpY

2Y2

XGrX

t

( ) p2

X2Y2Y

1X

14

++

+

VUXYGr

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] XVVVVYUUUU YYxx ++++ ++ 21

21

( )[ ] }Yxx + ++

( ) ( )

+

++

+

= ++2

pYY

2

xx2pX

YX

YX

12

1

(3.2)

(3.3)

31

Equao para a tempertura adimensional:

Da equao (3.1) considerando = , A =1/Pr Gr e B = 0, resulta:

( ) ( )

+

+++= +++ xx2

xxpt

PrRe2

2

YX

YX

( ) p2

X2Y2Y

1XPr

14

++

+

VUXYGr

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] }XVVTVV21

YUUUU21

YYxx ++++ ++

3.5 - EQUAES PARA A CONVECO FORADA E MISTA

Na seqncia sero desenvolvidas as equaes de conservao para a funo corrente,

vorticidade e temperatura adimensional para a conveco forada e mista.

Equao para a funo corrente:

A equao para a funo corrente foi deduzida no Apndice A1, sendo dada pela

equao (A1.5), como sendo:

Equao para a vorticidade:

Da equao (3.1) considerando = , A =1/Re e B= Gr/2Re2, resulta:

( ) ( )

+

++

+= +++ xx2

xxpYRe

2Y2

XXt

( ) ( )

+

++

+

= ++2

YY

2

xx2 Y

Y12

1X

X

Xpp (3.5)

(3.4)

32

( ) p2

X2Y2Y

1XRe

14

++

+

VUXY

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] XVVVVYUUUU YYxx ++++ ++ 21

21

( )[ ] }YRe2Gr

xx2 + ++

Equao para a temperatura adimensional:

Da equao (3.1) considerando = , A =1/PrRe e B = 0, resulta:

( ) ( )

+

+++= +++ xx2

xxpt

PrRe2

2

YX

YX

( ) p2

X2Y2Y

1XRePr

14

++

+

VUXY

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] }XVVVV21

YUUUU21

YYxx ++++ ++

A formulao apresentada neste item valida para os casos de conveco forada e

Mista. Para o caso de conveco forada ser necessrio fazer o nmero de Grashof igual a

zero, isto , Gr =0.

(3.6)

(3.7)

Captulo 4

TESTE DO PROGRAMA COMPUTACIONAL

4.1 - DEFINIO DOS PARMETROS DE TESTES

Para a realizao dos testes do programa computacional foi escolhido o clssico

problema de conveco utilizando-se uma cavidade quadrada com uma das paredes verticais

aquecida, outra fria e as paredes horizontais isoladas termicamente, conforme mostrado na

figura 7.

Figura 7 Geometria da cavidade utilizada no estudo comparativo

Superfcie isolada S3

Superfcie isolada S4

(Superfcie isotrmica fria S1) Tc = const

(Superfcie isotrmica quente S2) Th = const

y

x

34

Foi realizado um teste com o programa computacional na resoluo do problema de

conveco natural para a cavidade quadrada para o clculo do nmero de Nusselt mdio (Nu),

utilizando-se os nmeros adimensionais de Grashof (Gr) = 20.000; Prandtl (Pr) = 0,733 e com

as malhas de 30x30 ; 40x40 e 50x50 pontos nodais.

O segundo teste foi realizado para verificarmos a influncia da quantidade de pontos

nodais da malha associada variao do nmero de Grashof (Gr) nos valores do nmero de

Nusselt mdio (Nu). Neste teste utilizamos as malhas com 21x21; 31x31; 41x41; 51x51;

61x61 e 71x71 pontos nodais. Quanto ao nmero de Grashof (Gr) utilizamos os valores de

34.110 ; 60.000; 100.000; 136430 e 341.070. O nmero de Prandtl (Pr) foi fixado com o valor

0,733.

O terceiro teste avaliou a influncia da quantidade de pontos nodais da malha no

nmero de Nusselt mdio (Nu), para os casos de conveco forada, natural e mista. Foram

tambm aqui testadas as malhas com 21x21; 31x31; 41x41; 51x51; 61x61 e 71x71 pontos

nodais.

Finalmente foi realizado um estudo verificando-se o tempo de processo computacional

necessrio em cada uma das diferentes malhas propostas no trabalho. Desta forma possvel

calcular o tempo necessrio para que o programa realize os clculos em funo da malha

escolhida.

4.2 - TESTE 1 : CONVECO NATURAL

Neste primeiro teste do programa computacional foi escolhido o problema clssico de

conveco natural em uma cavidade quadrada, sendo fixados os nmeros de Grashof Gr =

20.000 e o nmero de Prandtl Pr = 0,733. Foram testadas as seguintes malhas: 30x30 ; 40x40

e 50x50 pontos nodais. A seguir foram realizadas comparaes com os valores encontrados na

literatura.

A tabela 1 apresenta o resultado do programa para a malha de 30x30 pontos nodais e

as comparaes com os valores encontrados na literatura. Podemos observar que foi verificado

um desvio de 9,89% em relao ao valor experimental obtido por Ozoe et al (1974). O desvio

em relao ao valor encontrado por Wilkes et al (1966), utilizando o mtodo das diferenas

finitas com malha 20x20, foi de 1,87%. Observa-se ainda que houve um desvio mdio de

7,78% em relao aos valores experimentais e tericos constantes na tabela 1.

35

A tabela 2 apresenta o resultado do programa para a malha de 40x40 pontos nodais e

as comparaes com os valores encontrados na literatura. Podemos observar que foi verificado

um desvio de 9,82% em relao ao valor experimental obtido por Ozoe et al (1974). O desvio

em relao ao valor encontrado por Wilkes et al (1966), utilizando o mtodo das diferenas

finitas com malha 20x20, foi de 1,79%. Observa-se ainda que houve um desvio mdio de

7,71% em relao aos valores experimentais e tericos constantes na tabela 2.

A tabela 3 apresenta o resultado do programa para a malha de 50x50 pontos nodais e

as comparaes com os valores encontrados na literatura. Podemos observar que foi verificado

um desvio de 9,67% em relao ao valor experimental obtido por Ozoe et al (1974). O desvio

em relao ao valor encontrado por Wilkes et al (1966), utilizando o mtodo das diferenas

finitas com malha 20x20, foi de 1,63%. Observa-se ainda que houve um desvio mdio de

7,56% em relao aos valores experimentais e tericos constantes na tabela 3.

O menor desvio dos valores do presente trabalho em relao ao valor experimental

obtido por Ozoe et al (1974) foi obtido com a malha de 50x50 pontos nodais. O menor desvio

dos valores do presente trabalho em relao aos valores da literatura utilizando o mtodo das

diferenas finitas, foi obtido com a malha de 50x50 pontos nodais, quando comparado com o

valor encontrado por Wilkes et al (1966).

Analisando-se os valores constantes nas tabelas 1 a 3, podemos constatar que os

menores desvio em relao aos valores encontrados na literatura, foram obtidos utilizando-se a

malha de 50x50 pontos nodais. Esses resultados e comparaes realizadas neste teste referem-

se ao estudo da conveco natural em uma cavidade quadrada fechada, com escoamento em

regime permanente e com a utilizao dos adimensionais do nmero de Grashof (Gr) =20.000

e do nmero de Prandtl (Pr) = 0,733.

36

Tabela 1 Resultados do teste com malha 30x30 pontos nodais

Tabela 2 Resultados do teste com malha 40x40 pontos nodais

Tabela 3 Resultados do teste com malha 50x50 pontos nodais

Autor Nuh Desvio Mtodo

Souza, JJ 2,469 - Diferenas finitas (30x30)

Brito, Rogrio 2,569 3,89% Elementos finitos (3362 elementos)

Menon 2,700 8,56% Elementos finitos (100 elementos)

Ozoe e outros 2,740 9,89% Valor experimental

Tabarrok e outros 2,695 8,39% Elementos finitos (200 elementos)

Wilkes e outros 2,874 14,09% Diferenas finitas (10x10)

Wilkes e outros 2,516 1,87% Diferenas finitas (20x20)

7,78%MDIA DOS DESVIOS

Autor Nuh Desvio Mtodo

Souza, JJ 2,471 - Diferenas finitas (40x40)

Brito, Rogrio 2,569 3,81% Elementos finitos (3362 elementos)

Menon 2,700 8,48% Elementos finitos (100 elementos)

Ozoe e outros 2,740 9,82% Valor experimental

Tabarrok e outros 2,695 8,31% Elementos finitos (200 elementos)

Wilkes e outros 2,874 14,02% Diferenas finitas (10x10)

Wilkes e outros 2,516 1,79% Diferenas finitas (20x20)

7,71%MDIA DOS DESVIOS

Autor Nuh Desvio Mtodo

Souza, JJ 2,475 - Diferenas finitas (50x50)

Brito, Rogrio 2,569 3,66% Elementos finitos (3362 elementos)

Menon 2,700 8,33% Elementos finitos (100 elementos)

Ozoe e outros 2,740 9,67% Valor experimental

Tabarrok e outros 2,695 8,16% Elementos finitos (200 elementos)

Wilkes e outros 2,874 13,88% Diferenas finitas (10x10)

Wilkes e outros 2,516 1,63% Diferenas finitas (20x20)

7,56%MDIA DOS DESVIOS

37

4.3 - TESTE 2 : VARIAO DO NMERO DE GRASHOF

Neste segundo teste do programa computacional foi escolhido o problema clssico de

conveco natural em uma cavidade quadrada, sendo fixado o nmero de Prandtl em 0,733 e

com o nmero de Grashof variando entre os valores de 34.110 ; 60.000; 100.000; 136.430 e

341.070. Foram testadas as seguintes malhas: 21x21; 31x31; 41x41; 51x51; 61x61 e 71x71

pontos nodais. A seguir foram realizadas comparaes com os valores encontrados na

literatura.

As tabelas 4 e 5 apresentam as comparaes entre os valores encontrados atravs do

programa computacional com os obtidos por Figueiredo (1986). Para o nmero de Grashof Gr

= 34.110 a malha que apresentou o menor desvio foi a de 41x41 pontos nodais com 0,90%.

Para o nmero de Grashof Gr = 60.000 a malha que apresentou o menor desvio foi a de 71x71

pontos nodais com -0,14%. Para o nmero de Grashof Gr = 100.000 a malha que apresentou o

menor desvio foi a de 31x31 pontos nodais com -1,25%. Para o nmero de Grashof Gr =

136.430 a malha que apresentou o menor desvio foi a de 21x21 pontos nodais com 1,45%.

As tabelas 6 e 7 apresentam as comparaes entre os valores encontrados atravs do

programa computacional com os obtidos por Wong (1979). Para o nmero de Grashof Gr =

34.110 a malha que apresentou o menor desvio foi a de 21x21 pontos nodais com 0,34%. Para

o nmero de Grashof Gr = 136.430 a malha que apresentou o menor desvio foi a de 31x31

pontos nodais com 0,75%. Para o nmero de Grashof Gr = 341.070 a malha que apresentou o

menor desvio foi a de 71x71 pontos nodais com 0,14%.

As tabelas 8 e 9 apresentam as comparaes entre os valores encontrados atravs do

programa computacional com os obtidos por Brito (1999). Para o nmero de Grashof Gr =

34.110 a malha que apresentou o menor desvio foi a de 21x21 pontos nodais com 1,37%. Para

o nmero de Grashof Gr = 60.000 a malha que apresentou o menor desvio foi a de 21x21

pontos nodais com 0,39%. Para o nmero de Grashof Gr = 100.000 a malha que apresentou o

menor desvio foi a de 31x31 pontos nodais com 1,96%. Para o nmero de Grashof Gr =

136.430 a malha que apresentou o menor desvio foi a de 31x31 pontos nodais com 1,26%.

Para o nmero de Grashof Gr = 341.070 a malha que apresentou o menor desvio foi a de

41x41 pontos nodais com 1,18%. Com este teste realizado variando-se a quantidade de

pontos nodais na malha, podemos concluir que a utilizao das malhas com 31x31 e 41x41

pontos nodais acabam gerando os menores desvios em relao aos valores do nmero de

Nusselt mdio (Nu) encontrados na literatura.

38

Tabela 4 Comparao de Nu com valores obtidos por Figueiredo ( 1986)

Nu Desvio Nu Desvio Nu Desvio34.110 2,884 2,982 3,29% 2,919 1,21% 2,910 0,90%60.000 3,468 3,602 3,72% 3,487 0,55% 3,459 -0,26%

100.000 4,160 4,282 2,85% 4,108 -1,25% 4,052 -2,60%136.430 4,686 4,755 1,45% 4,544 -3,03% 4,465 -4,72%341.070 6,384 6,141 5,962

Mdia 2,83% Mdia -0,63% Mdia -1,67%

Gr FigueiredoNuMalha 21x21 Malha 31x31 Malha 41x41

Tabela 5 Comparao de Nu com valores obtidos por Figueiredo ( 1986)

Nu Desvio Nu Desvio Nu Desvio34.110 2,884 2,912 0,97% 2,917 1,14% 2,922 1,32%60.000 3,468 3,456 -0,35% 3,458 -0,29% 3,463 -0,14%

100.000 4,160 4,038 -2,93% 4,036 -2,98% 4,031 -3,10%136.430 4,686 4,44 -5,25% 4,434 -5,38% 4,429 -5,48%341.070 5,945 5,931 5,928

Mdia -1,89% Mdia -1,88% Mdia -1,85%

FigueiredoNuGr

Malha 51x51 Malha 61x61 Malha 71x71

Tabela 6 Comparao de Nu com valores obtidos por Wong (1979)

Nu Desvio Nu Desvio Nu Desvio34.110 2,972 2,982 0,34% 2,919 -1,78% 2,910 -2,09%60.000 3,602 3,487 3,459

100.000 4,282 4,108 4,052136.430 4,510 4,755 5,15% 4,544 0,75% 4,465 -1,00%341.070 5,920 6,384 7,27% 6,141 3,73% 5,962 0,71%

Mdia 4,25% Mdia 0,90% Mdia -0,79%

Gr WongNuMalha 21x21 Malha 31x31 Malha 41x41

Tabela 7 Comparao de Nu com valores obtidos por Wong (1979)

Nu Desvio Nu Desvio Nu Desvio34.110 2,972 2,912 -2,02% 2,917 -1,85% 2,922 -1,68%60.000 3,456 3,458 3,463

100.000 4,038 4,036 4,031136.430 4,510 4,440 -1,55% 4,434 -1,69% 4,429 -1,80%341.070 5,920 5,945 0,42% 5,931 0,19% 5,928 0,14%

Mdia -1,05% Mdia -1,12% Mdia -1,11%

Malha 51x51 Malha 61x61 Malha 71x71Gr WongNu

39

Tabela 8 Comparao de Nu com valores obtidos por Brito (1999)

Nu Desvio Nu Desvio Nu Desvio34.110 3,023 2,982 -1,37% 2,919 -3,44% 2,910 -3,74%60.000 3,588 3,602 0,39% 3,487 -2,81% 3,459 -3,60%

100.000 4,190 4,282 2,15% 4,108 -1,96% 4,052 -3,29%136.430 4,602 4,755 3,22% 4,544 -1,26% 4,465 -2,98%341.070 6,033 6,384 5,50% 6,141 1,79% 5,962 -1,18%

Mdia 1,98% Mdia -1,54% Mdia -2,96%

Gr BritoNuMalha 21x21 Malha 31x31 Malha 41x41

Tabela 9 Comparao de Nu com valores obtidos por Brito (1999)

Nu Desvio Nu Desvio Nu Desvio34.110 3,023 2,912 -3,67% 2,917 -3,51% 2,922 -3,34%60.000 3,588 3,456 -3,68% 3,458 -3,62% 3,463 -3,48%

100.000 4,190 4,038 -3,63% 4,036 -3,68% 4,031 -3,79%136.430 4,602 4,440 -3,52% 4,434 -3,65% 4,429 -3,76%341.070 6,033 5,945 -1,46% 5,931 -1,69% 5,928 -1,74%

Mdia -3,19% Mdia -3,23% Mdia -3,22%

Gr BritoNuMalha 51x51 Malha 61x61 Malha 71x71

4.4 - TESTE 3 : ANLISE DA CONVERGNCIA DO NMERO

DE NUSSELT MDIO (Nu)

Neste teste foi analisada a influncia da quantidade de pontos nodais da malha no

clculo do nmero de Nusselt mdio (Nu). Foram realizados experimentos numricos com o

caso clssico da cavidade quadrada fechada com uma parede vertical aquecida, outra resfriada

e com as paredes horizontais isoladas termicamente. As avaliaes numricas foram feitas

para os casos de conveco forada, natural e mista.

4.4.1 - Conveco forada Para o caso de conveco forada foram utilizadas as malhas com 21x21; 31x31;

41x41; 51x51; 61x61 e 71x71 pontos nodais, sendo analisadas as situaes com o nmero de

Reynolds assumindo os valores 1; 10 e 100 , com o nmero de Prandtl igual a 0,733. Os dados

resultantes dos clculos realizados esto contidos na tabela 10.

40

Analisando-se os dados contidos na tabela 10 e na figura 8 podemos verificar que a

quantidade de pontos nodais da malha praticamente no influenciou os valores do nmero de

Nusselt mdio (Nu). Na avaliao feita com os diferentes nmeros de Reynolds (Re) nota-se

uma pequena variao no nmero de Nusselt mdio (Nu) quando utilizando a malha 21x21

pontos nodais, porm a partir da, com as demais malhas, os valores estabilizam-se.

Tabela 10 Anlise do nmero de Nusselt mdio (Nu) Conveco forada

Malha 21x21 31x31 41x41 51x51 61x61 71x71 Pontos Nodais 441 961 1681 2601 3721 5041 Re = 1 0,999 0,999 1,000 1,000 1,000 1,000 Re = 10 2,901 2,862 2,854 2,857 2,863 2,867 Re = 100 2,978 2,945 2,927 2,927 2,949 2,967

Pontos Nodais

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000

Nu

0

1

2

3

4

Figura 8 Variao de Nusselt em funo da quantidade de pontos nodais da malha

para Conveco Forada (Pr = 0,733)

.4.2 - Conveco natural

Para o caso de conveco natural foram utilizadas as malhas com 21x21; 31x31;

41x41; 51x51; 61x61 e 71x71 pontos nodais, sendo analisadas as situaes com o nmero de

Re = 1

Re = 10

Re = 100

41

Grashof assumindo os valores 34.110; 60.000; 100.000; 136.430 e 341.070 e com o nmero

de Prandtl igual a 0,733.

Analisando-se os dados contidos na tabela 11 e na figura 9 podemos verificar que a

quantidade de pontos nodais da malha no tem grande influncia nos valores do nmero de

Nusselt mdio (Nu), exceto quando utilizamos malhas com poucos pontos nodais. Porm os

valores do nmero de Nusselt mdio (Nu) tendem a estabilizar-se quando utilizamos malhas

com maior quantidade de pontos nodais. Conforme verifica-se na figura 9, os valores do

nmero de Nusselt mdio (Nu) apresentam uma variao muito pequena quando se utiliza

malhas com 41x41; 51x51; 61x61 ou 71x71 pontos nodais. Essas observaes so vlidas para

todos os clculos realizados para este caso de conveco natural, onde o nmero de Grashof

(Gr) assumiu os valores 34.110; 60.000; 100.000; 136.430 e 341.070.

Tabela 11 Anlise do nmero de Nusselt mdio (Nu) Conveco natural

Malha 21x21 31x31 41x41 51x51 61x61 71x71 Pontos Nodais 441 961 1681 2601 3721 5041 Gr = 34.110 2,982 2,919 2,910 2,912 2,917 2,922 Gr = 60.000 3,602 3,487 3,459 3,456 3,458 3,463 Gr = 100.000 4,282 4,108 4,052 4,038 4,036 4,031 Gr = 136.430 4,755 4,544 4,465 4,440 4,434 4,429 Gr = 431.070 6,384 6,141 5,962 5,945 5,931 5,928

Pontos Nodais

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000

Nu

1

2

3

4

5

6

7

Figura 9 Variao de Nusselt em funo da quantidade de pontos nodais da malha para

Conveco Natural (Pr = 0,733)

Gr = 341.070

Gr = 136.430 Gr = 100.000 Gr = 60.000 Gr = 34.010

42

4.4.3 - Conveco mista

Para o caso de conveco mista foram utilizadas as malhas com 21x21; 31x31; 41x41;

51x51; 61x61 e 71x71 pontos nodais, sendo analisados as situaes com o nmero de Grashof

assumindo o valor 34.110, com o nmero de Prandtl igual a 0,733 e com o nmero de

Reynolds assumindo os valores 1; 10 e 100.

Analisando-se os dados contidos na tabela 12 e na figura 10 podemos verificar tambm

que a quantidade de pontos nodais da malha no tem grande influncia nos valores do nmero

de Nussselt mdio , exceto quando utilizamos malhas com poucos pontos nodais. Conforme

verifica-se na figura 10, os valores do nmero de Nussselt mdio apresentam uma variao

muito pequena quando se utiliza malhas com 41x41; 51x51; 61x61 ou 71x71 pontos nodais.

Essas observaes so vlidas para todos os clculos realizados para este caso de conveco

mista, independendo do nmero de Reynolds (Re) utilizado nos clculos

Tabela 12 Anlise do nmero de Nusselt mdio (Nu) Conveco mista

Malha 21x21 31x31 41x41 51x51 61x61 71x71 Pontos Nodais 441 961 1681 2601 3721 5041 Re = 1 2,921 2,862 2,854 2,857 2,863 2,867 Re = 10 2,976 2,913 2,904 2,907 2,912 2,917 Re = 100 3,012 2,945 2,927 2,927 2,949 2,957

Pontos Nodais

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000

Nu

2

3

4

Figura 10 Variao de Nusselt em funo da quantidade de pontos nodais da malha para

Conveco Mista (Pr = 0,733 ; Gr = 34.110)

Re = 1 Re = 10

Re = 100

43

4.5 - TESTE 4 : AVALIAO DO TEMPO DE

PROCESSAMENTO COMPUTACIONAL

Neste teste foi analisada a influncia da quantidade de pontos nodais na malha no

tempo de processamento computacional. Foram realizados experimentos numricos com o

caso clssico da cavidade quadrada fechada com uma parede vertical aquecida, outra resfriada

e com as paredes horizontais isoladas termicamente. As avaliaes numricas foram feitas

para o caso de conveco natural com o nmero de Grashof assumindo o valor 34.110 e com o

nmero de Prandtl igual a 0,733. Em cada uma das simulaes numricas foram realizadas

15.000 iteraes com incrementos de tempo constantes.

Analisando a tabela 13 observa-se que aumentando-se a quantidade de pontos nodais

na malha aumenta-se o tempo de processamento computacional. Na tabela 14 e na figura 11

observa-se que o tempo por iterao matemtica cresce com o aumento da quantidade de

pontos nodais na malha. Conforme pode ser observado na tabela 13, quando comparados os

tempos de processamento computacional para malhas com 441 e 2601 pontos nodais, nota-se

que houve um aumento de 5,89 vezes a quantidade de pontos nodais, entretanto, o tempo

necessrio para o clculo aumentou 2,68 vezes.

Tabela 13 Tempo total de processamento para 15.000 iteraes

Pontos Nodais 121 441 961 1681 2601 3721 5041 6561 Tempo total (s) 14 19 28 39 51 63 75 90

Tabela 14 Tempo de processamento (s) por iterao matemtica

Pontos Nodais 121 441 961 1681 2601 3721 5041 6561 Tempo (s) 9,3x10-4 1,3x10-3 1,9x10-3 2,6x10-3 3,4x10-3 4,2x10-3 5,0x10-3 6,0x10-3

44

Pontos Nodais

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000

tem

po e

m (s

) por

iter

ao

0,000

0,001

0,002

0,003

0,004

0,005

0,006

0,007

Figura 11 Tempo por iterao matemtica

Em funo dos resultados obtidos nos testes realizados, levando em conta a preciso

dos resultados e o custo computacional, escolheu-se uma malha 41x41 (com 1681 pontos

nodais) para todos os casos estudados neste trabalho.

Captulo 5

RESULTADOS

Este captulo apresenta os resultados referentes aos casos de conveco forada, natural

e mista, obtidos pelo programa computacional desenvolvido, onde se utilizou o mtodo das

diferenas finitas para a soluo das equaes de conservao.

Sero apresentadas, para o regime permanente, as distribuies da temperatura

adimensional (), da funo corrente () e os valores do nmero de Nusselt mdio na

superfcie quente (Nu), em funo dos seus respectivos parmetros trmicos e geomtricos.

5.1 RESULTADOS DO PRESENTE TRABALHO

Para cada um dos casos estudados so apresentados resultados em regime permanente

dos problemas de conveco forada, natural e mista. So apresentadas as correspondentes

distribuies de funo corrente e temperatura adimensional, bem como o nmero de Nusselt

46

mdio na superfcie quente para as diversas razes de aspecto e nmeros Reynolds, Grashof e

Prandtl.

Nos problemas de conveco forada, natural e mista so utilizados os seguintes parmetros:

Conveco forada: 0,5A2 ; Pr=0,733 ; 1Re160.

Conveco natural: 0,5A2 ; Pr=0,733 ; 34110Gr341070.

Conveco mista : 0,5A2 ; Pr=0,733 ; 1Re100 ; 34110Gr341070.

Em todos os casos estudados sero consideradas cavidades retangulares com razo de

aspecto iguais a 0,5, 1 e 2. Foi adotada uma malha uniforme 41x41, e o fluido no interior da

cavidade o ar com um nmero de Prandtl igual a 0,733.

A conveco forada nos problemas estudados originada pelo deslizamento da parede

horizontal superior, com velocidade U0, no sentido da esquerda para a direita. Este movimento

da parede arrasta o fluido nas proximidades da parede e provoca um escoamento do fluido no

sentido horrio.

No caso da conveco forada o campo de velocidades do fluido, e portanto, a

distribuio da funo corrente, independente do campo de temperaturas. Sendo somente

dependente do nmero de Reynolds e da razo de aspecto da cavidade. O campo de

temperaturas depende da geometria e do tipo de condies de contorno trmicas as quais o

fluido est submetido.

No caso da conveco natural o campo de velocidades e temperaturas dependem da

razo de aspecto e do nmero de Grashof. O movimento do fluido originado pelas foras de

empuxo causadas pelos gradientes de temperaturas as quais o fluido est submetido. Quando o

fluido aquecido pelas paredes, tem a tendncia de subir, e ao contrrio, quando resfriado

pelas paredes tem a tendncia de descer, e isto ocasiona o movimento de circulao do fluido

no interior da cavidade. Os campos de velocidades e de temperaturas so bastante dependentes

da geometria e do tipo de condies de contorno trmicas as quais o fluido est sujeito.

No caso da conveco mista existe uma combinao dos efeitos da conveco forada e

natural. O efeito da conveco forada sobre o fluido promover um escoamento nas

proximidades da parede horizontal superior. Por outro lado, o efeito da conveco natural

pro