Simulações Eletromagnéticas

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    Universidade Federal de ViosaDepartamento de Engenharia Eltrica

    Grupo de Estudo de Sistemas Eltricos de PotnciaCentro Acadmico de Engenharia Eltrica

    ViosaMaio de 2011

    Simulaes Eletromagnticas pelo Mtododos Elementos Finitos

    Por: Daniel de Paula dos Santos(Graduado em Engenharia Eltricana UFV e Mestrando da Unicamp)

    Fhelippe Mauri (Graduando emEngenharia Eltrica na UFV)

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    Sumrio1. Introduo .................................................................................................................................................. 3

    2. Modelo de Construo e Anlise ................................................................................................................ 3

    2.1 Criao de um modelo .......................................................................................................................... 4

    2.2 Definio do Problema ......................................................................................................................... 4

    2.3 Criando as Fronteiras ............................................................................................................................ 4

    2.4 Criando a Bobina .................................................................................................................................... 5

    2.5 Colocando Etiquetas ............................................................................................................................. 5

    2.6 Adicionando material ao modelo ......................................................................................................... 6

    2.7 Propriedade de circuito para a bobina ............................................................................................. 6

    2.8 Associao das propriedades com os blocos de etiquetas. ................................................................. 6

    2.9 Criao das condies de fronteira ...................................................................................................... 6

    2.10 Gerar Malha e Rodar FEA ................................................................................................................... 8

    3. Anlise de Resultados ................................................................................................................................ 9

    3.1 Valores em um ponto ........................................................................................................................... 9

    3.2 Propriedades do terminal da Bobina .................................................................................................. 10

    3.3 Valores de Campo ao longo de um contorno ..................................................................................... 10

    3.4 Plotagem da densidade de Fluxo ........................................................................................................ 11

    4. Concluses ................................................................................................................................................ 12

    5. Exerccio A: Eletrom ............................................................................................................................... 12

    5.1 Clculos Analticos .............................................................................................................................. 13

    5.2 Clculos por Elementos Finitos ........................................................................................................... 13

    6. Exerccio B (Principio das mquinas rotacionais) ..................................................................................... 13

    6.1 Clculos Analticos .............................................................................................................................. 14

    6.2 Clculo por Elementos Finitos ............................................................................................................ 14

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    1. Introduo

    O Mtodo Magntico dos Elementos Finitos, em ingls, Finite Element MethodMagnetics (FEMM) um software para resolver problemas planos e simtricos a um eixo em 2D,

    em baixa freqncia magntica e eltrica. O programa executvel nos Sistemas OperacionaisWindows 95, 98, ME, NT, 2000, XP, Vista e 7. Ele pode ser obtido atravs do sitehttp://femm.foster-miller.com.

    O programa tem uma interface interativa abrangendo grficos de pr e ps-processamento, um gerador de malha; e vrios Solucionadores. Uma poderosoa linguagem descript, Lua 4.0 tambm integrada. Lua permite aos usurios criar scripts executveis,descrever geometrias, otimizaes, etc. Lua tambm est integrada em cada caixa de edio doprograma para que se possa utilizar variaveis ao invs de valores numricos. (Informaesdetalhadas sobre Lua esto disponveis no site http://www.lua.org.) No existe um limite de

    tamanho do problema. O tamanho mximo limitado pela quantidade de memriadisponvel. Costuma-se realizar simulaes com milhes de elementos.

    O propsito deste mini curso mostrar passo a passo como calcular campos magnticos,entre outras grandezas eltricas e magnticas, utilizando o programa FEMM. Nesta apostila, asoluo para o campo magntico em uma bobina de ncleo de ar apresentado.

    2. Modelo de Construo e Anlise

    Vos levaremos, atravs de um processo passo a passo, anlise de campo magntico deum solenide de ncleo de ar localizado em espao aberto. A bobina a ser analisada mostradana Figura 1. A bobina tem um dimetro interno de 1 polegada; um dimetro exterior de 3polegadas e um comprimento axial de 2 polegadas. A bobina contm 1000 espiras de fio de cobre18 AWG (tipo do cobre). Neste exemplo, vamos considerar o caso em que uma correnteconstante de 1 ampre flui atravs do fio.

    No FEMM, fazemos um modelo de problema com eixo simtrico. Por conveno, o eixor = 0 entendido como vertical, e o domnio do problema restrito regio onde r 0. Nesta

    conveno, temos valores positivos para correntes com sentido de entrar na pgina.

    http://femm.foster-miller.com/http://femm.foster-miller.com/
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    Figura 1: Bobina de ncleo de ar a ser analisada no primeiro exemplo.

    2.1 Criao de um modelo

    Execute o aplicativo FEMM selecionando FEMM 4.2 e pressionando enter. De acordocom o padro, uma janela em branco com uma pequena barra de menu ir se abrir.

    Selecione Novo no menu principal. Uma caixa de dilogo ir aparecer com uma listasuspensa permitindo que voc selecione o tipo de documento a ser criado. SelecioneMagnetics Problems e aperte o boto OK. Um novo problema de magnetismo em branco sercriado, e uma srie de botes na nova barra de menus ir aparecer.

    2.2 Definio do Problema

    A primeira tarefa dizer ao programa qual o tipo de problema a ser resolvido. Paraisso, selecione no menu principal Problem e uma caixa de dilogo ir aparecer. Defina problem type para Axissymmetric.Certifique-se que o comprimento est definido emInches (polegadas) e que a frequncia est definida como 0. Quando os valores adequadosforem inseridos, aperte o boto OK.

    2.3 Criando as Fronteiras

    A primeira tarefa estabelecer limites para a regio de soluo. Fundamentalmente,Resolve-se a malha de elementos finitos e encontra-se uma soluo sobre uma regio finita doespao que contm os objetos de interesse. Neste caso, vamos escolher a nossa regio soluopara ser uma esfera com um raio de 4 polegadas. Primeiro, podemos ajustar a visualizao para

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    que ele contenha a regio de soluo inteira. Selecione View/Keyboard no menu principalpara abrir um dilogo onde voc pode especificar as extenses da tela visvel. Nestedilogo, defina inferior -4, esquerda 0, Direita 4, e em cima 4 e aperte o boto OK. A tela serredimensionada para o menor retngulo que contm a regio especificada. Em seguida, ospontos que limitam a esfera precisam ser definidos. Para desenhar estes ns, selecione

    Operation/Node ou clique direto no boto da barra de ferramentas (Este o primeiro boto

    esquerda com uma pequena caixa branca: ). Coloque ns na parte superior e inferior daesfera, em (0,4) e (0,-4), e na origem (0,0). Pode-se colocar ns movendo o ponteiro do mousepara o local desejado e pressionando-se o boto esquerdo do mouse, ou aperte a tecla einsira manualmente as coordenadas dos pontos atravs de uma pequena janela.

    Selecione segments na barra de ferramentas (segundo boto da esquerda para direita

    com uma linha azul: ). Para selecionar um n a ser o ponto de extremidade de uma linha,clique prximo a ele com o boto esquerdo do mouse. Desenhe uma linha no eixo de simetria,selecionando o ponto (0, -4) e, em seguida, o ponto em (0,4). Uma linha aparecer ligando os

    ns assim que o segundo ponto for selecionado. Selecione arc segment no boto da barra de

    ferramentas (terceiro boto da esquerda com um arco azul: ). Desenhe umarco selecionando o ponto (0, -4) e, em seguida, o ponto em (0,4). Uma caixa de dilogo exibida solicitando alguns atributos do arco. No FEMM, um arco a aproximao de uma sriede pequenas linhas retas. O Max. segment especifica o tamanho com que o arco dividido emsees. Digite 2,5 para obter uma representao bastante refinada do arco. Coloque 180 nongulo do arco caixa de edio para indicar que um semi-crculo est sendo desenhado.

    2.4 Criando a Bobina

    Agora, a bobina pode ser desenhado. Volte para o modo de ns, pressionando oboto da barra de ferramentas em n. Coloque os ns (0.5, -1); (1.5, -1); (1.5,1) e (0.5,1)que definem a extenso da bobina. Selecione segmentos, boto da barra de ferramentaspara que as linhas possam ser desenhadas conectando os pontos.

    2.5 Colocando Etiquetas

    Agora clique na barra de ferramentas no Bloco Etiquetas boto indicado por crculos

    concntricos verdes . Coloque uma etiqueta do bloco na regio da bobina, e um lugar no ar,fora da regio da bobina. Como pontos de ns, as etiquetas podem ser colocads por um cliqueno boto esquerdo do mouse, ou atravs do dilogo. O programa usa etiquetas demateriais associados e outras propriedades de diversas regies na geometria problema. Em

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    seguida, sero definidas algumas propriedades do material, e ento vamos voltar e associ-lascom a etiqueta de determinado bloco.

    2.6 Adicionando material ao modelo

    Selecione Properties/Materials library no menu principal. Clique e arraste Ar da MaterialsLibrary para Model Materials para adicion-lo ao atual modelo. V para a pasta de Copper(cobre) e arraste 18 AWG para Materials Models. Clique em OK.

    2.7 Propriedade de circuitopara a bobina

    Selecione Properties/Circuits no menu principal. Na caixa de dilogo queaparece, clique no boto Adicionar para criar um novo circuito. Digite o nome do circuito(Coil). Marque a opo Serie e uma corrente de 1 ampre.

    2.8 Associao das propriedades com os blocos de etiquetas.

    Boto direito do mouse na etiqueta do bloco na regio do ar, fora da bobina. A etiquetado bloco ficar vermelha, indicando que ele est selecionado. Pressione espao para "Abrir" aetiqueta do bloco selecionado (Em vez de pressionar a barra de espao, pode-se usar a barra de

    ferramentas da caixa de dilogo/ Propriedades boto ). Uma caixa de dilogo se abrircontendo as propriedades atribudas s etiquetas selecionadas. Defina o tipo de bloco para oar. Desmarque o Tringulo, Vamos escolher Mesh Size triangular e inserir 0.1 para o tamanho damalha. O gerador de malha tenta preencher a regio com tringulos eqilteros, os quais todos os

    lados so aproximadamente do mesmo comprimento. Clique em OK. A etiqueta do bloco, emseguida, ser rotulada de ar, e um crculo aparecer sobre a etiqueta do bloco, indicando otamanho aproximado de malha na regio associada.Repita o mesmo procedimento para a etiqueta do bloco dentro da regio da bobina, alterando otamanho da malha para 0.1. Defina esse bloco como cobre. Para atribuir a corrente na regio, s selecionar o circuito da bobina na lista de circuitos. O nmero de voltas na caixa de edioser ativado se uma srie de tipo circuito est marcada para a regio (propriedade da bobina quefoi definida anteriormente). Digite 1000 como o nmero de voltas para esta regio, denotandoque a regio se preenche com 1000 voltas no sentido anti-horrio (ou seja, torna-se positivo naregra da mo direita). Clique em OK.

    2.9 Criao das condies de fronteira

    Selecione Properties/Boundary na barra de menu, em seguida, clique sobre aPropriedade Adicionar. Substitua o nome de Nova Fronteira por ABC e altere o tipo BC

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    para Misto. O nome da ABC destina-se a indicar que ns estamos criando uma "condio defronteira assinttica" que se aproxima da impedncia infinita, aberta no espao. Desta forma,podemos modelar o campo produzido pela bobina em um espao ilimitado, enquanto amodelagem ainda apenas uma regio finita desse espao. Quando o tipo de condio decontorno mista selecionada, o coeficiente de c0 e c1 coeficiente sero habilitados.

    Para nossa condio de contorno assinttica, preciso especificar:

    c0 = 1/(R* o* R )

    c1 = 0

    onde R o raio exterior de um domnio de problema esfrico. Para inserir esses valores na caixade dilogo, digite 0 como o coeficiente c1 e 1 / (R*uo * 4 inch ) como o coeficiente c0. Alinguagem de script Lua processa o contedo da cada caixa de edio automaticamente quando a

    janela fechada, substituindo o valor numrico da permeabilidade do espao livre para uoe 0,0254 por polegada e avaliar o resultado.Para atribuir essa condio de contorno, alterne para operar em modo de segmentos de

    arco. Selecione a definio da fronteira externa clicando no arco com o boto esquerdo domouse e pressione a barra de espao para abrir as propriedades do arco para edio. SelecioneABC da lista de Fronteiras e clique em OK. Voc j definiu condies de contorno suficientepara resolver o problema, uma vez que potencial zero aplicada automaticamente ao longo dalinha r = 0 para problemas axysimetrics.Voc acabou de completar a modelagem da bobina. Ao terminar pr-processamento (geometria)deve-se olhar como retratado a Figura 2.

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    Figura 2: Modelo da bobina completo.

    2.10 Gerar Malha e Rodar FEA

    Agora salve o arquivo e clique no boto da barra de ferramentas com malha amarela:. Esta ao gera uma malha triangular para o seu problema. Se o espaamento da malha

    parece demasiadamente fino ou grosso, voc pode selecionar as etiquetas de blocos ousegmentos de linha e ajustar o tamanho da malha definido nas propriedades de cada

    objeto. Depois que a malha for gerada, clique em "analyses" para analisar o seu modelo.O status do processamento de informaes ser exibido. Se as barras de progresso no

    parecem estar se movendo ento voc provavelmente deve cancelar o clculo. Issopode ocorrer se as condies de contorno forem insuficientemente especificadas. Paraeste problema particular, os clculos devem ser concludos dentro de um segundo. No hconfirmao de quando o clculo estiver concludo, o status janela s desaparece quando oprocessamento terminado.

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    3. Anlise de Resultados

    Clique no cone de culos para ver os resultados da anlise. A janela de ps-processador ir aparecer. Ela ir permitir que voc extraia muitos tipos de informaes da

    soluo.

    3.1 Valores em um ponto

    Assim como o pr-processador, a janela do ps-processador tem um conjuntode diferentes modos de edio: Ponto, Contorno, e arredores. A escolha do modo especificada pelos botes da barra de ferramentas, ou seja, quando o primeiroboto corresponde ao modo de ponto, o segundo para o modo de contorno, e o terceiro para area modo. Por padro, quando o programa instalado pela primeira vez, o ps-

    processador comea em modo Point. Ao clicar em qualquer ponto com o esquerdo domouse boto, as propriedades dos diversos campos associados que so exibidas na janelaflutuante sada FEMM. Semelhante ao desenho de pontos em o pr-processador, a localizaode um ponto pode ser especificada com preciso pressionando o boto e introduzir ascoordenadas do ponto desejado na caixa de dilogo que aparece. Por exemplo, se o ponto (0,0) especificado em a caixa de dilogo, suas propriedades resultantes so exibidas na janela de

    sada como retratado na Figura 3.

    Figura 3: Exibio dos valores de campo no ponto (0,0).

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    3.2 Propriedades do terminal da Bobina

    Com FEMM, simples determinar a indutncia e resistncia da bobina, como pode ser

    visto a partir de terminais da bobina. Pressione o boto para exibir o resultado atributos de

    cada propriedade de Circuito que foi definido. Para a propriedade da bobina definida nesteexemplo, o dilogo resultante retratado na Figura 4.

    Figura 4: Propriedades do circuito Coil.

    Como o problema linear e s h uma corrente, o Flux / Corrente resultado pode ser

    interpretado de forma inequvoca como indutncia da bobina (ou seja, 22,9 mH). Aresistncia da bobina a Tenso / corrente atual (ou seja, 3,34 ).3.3 Valores de Campo ao longo de um contorno

    FEMM tambm pode plotar os valores do campo ao longo de um contorno definido pelousurio. Aqui, vamos traar a densidade de fluxo ao longo da linha central da bobina. Mudarpara Contour pressionando o boto da barra de ferramentas. Agora voc pode definir umcontorno ao longo do qual o fluxo ser gerado. H trs formas de adicionar pontos a um

    contorno:1. Clique boto esquerdo do mouse e adiciona o n mais prximo de entrada para o contorno;2. Boto direito do mouse e adiciona a posio atual do ponteiro do mouse para o contorno;3. Exibe um dilogo de ponto de entrada que lhe permite entrar no coordenadas de umponto a ser adicionado ao contorno.

    Aqui, apresenta-se um mtodo que pode ser usado. Clique perto dos n de pontos (0,4),

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    (0,0), e (0, -4) com o boto esquerdo do mouse, adicionando os pontos na ordem acima. Emseguida, pressione o boto da barra de ferramentas grfico. Pressione OK no Lote X-Y doCampo Valores de dilogo, seleo do padro a magnitude da densidade de fluxo. Se desejar,diferentes tipos de terreno podem ser selecionados a partir da lista na caixa de dilogo.

    3.4 Plotagem da densidade de Fluxo

    Por padro, quando o programa instalado pela primeira vez, apenas em preto e brancogrfico de linhas de fluxo exibida. A densidade de fluxo podem ser plotados como umacor parcelando a densidade, se assim o desejarem. Para fazer um grfico da densidade de fluxode cor, clique na barra de ferramentas, boto para gerar um grfico de densidade de fluxo de

    cores . Quando a caixa de dilogo aparece, selecione densidade do fluxo e aceitar os outrosvalores padro. Clique em OK. A viso da soluo resultante ser semelhante ao que foi

    mostrado na Figura 4.

    Figura 5: Plot da Soluo de Densidade de Campo Magntico em cores.

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    4. Concluses

    Voc acaba de completar seu primeiro modelo de um problema magntico comFEMM. Com esta introduo bsica, voc foi exposto aos seguintes

    conceitos:

    Como desenhar um modelo usando ns, segmentos, arcos e etiquetas do bloco; Como adicionar material ao seu modelo e como atribu-los s regies; Como especificar o tamanho da malha de elementos finitos; Como definir o limite para o seu modelo; Como definir e aplicar condies de contorno; Como analisar um problema; Como inspecionarvalores de campo em pontos especficos; Como traar valores de campo ao longo de uma linha;

    Como calcular a indutncia e resistncia; Como exibirgrficos de densidade de fluxo de cores.

    5. Exerccio A: EletromConsideremos um objeto magntico em forma de U (figura abaixo). Ele est envolvido

    por uma bobina de N espiras que percorrida por uma corrente contnua. O eletrom, assimconstitudo, tem fora para puxar uma placa ferromagntica situada em sua proximidade.

    Figura 6: Eletrom e placa Magntica a ser sustentada

    O objetivo deste exerccio de calcular a fora aplicada sobre a placa magnticautilizando o teorema dos trabalhos virtuais.

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    Para os clculos analticos consideremos as seguintes hipteses:

    O ferro infinitamente permevel ferro Hferro 0 O problema bidimensional Desconsideramos os efeitos de borda e consideramos que o campo perfeitamente

    retilneo no entreferro.

    5.1 Clculos Analticos

    Utilizar o teorema de Ampre para calcular o valor do campo magntico no entreferro.Calcular a energia magntica dentro da bobina.Utilizar o teorema dos Trabalhos Virtuais para encontrar o valor da Fora (por unidade de

    comprimento na direo do eixo Z).

    5.2 Clculos por Elementos Finitos

    Utilizar o Matlab, a linguagem LUA e o programa FEMM para definir a geometria e aspropriedades dos materiais.

    Calcular a fora atuante sobre a placa utilizando os trabalhos virtuais. Para isso deve- secalcular a energia em diferentes posies da placa para que depois possamos deriv-la.

    Calcularemos, para uma dada posio, a fora em funo da corrente que vamos variar atque o ferro sature. Ns tratamos ento de um problema no linear no qual devemos definir acurva caracterstica B(H) do ferro.

    Calcular a fora para uma corrente fixa, em funo da espessura do entreferro e compararcom a soluo analtica.

    Figura 7: Eletrom com linhas de fluxo magntico

    6. Exerccio B (Principio das mquinas rotacionais)Consideramos o dispositivo descrito na figura abaixo. As dimenses so indicadas mais

    adiante. O entreferro bastante pequeno em relao s outras dimenses, portanto podemosdesconsiderar os efeitos de borda e considerar que o campo magntico perfeitamente radial no

    Dados :

    N=10

    I=100 A

    Lx=10 mm

    E=3 mm

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    entreferro. O ferro considerado como infinitamente permevel (para os clculos analticos). Abobina contm N espiras e percorrida por uma corrente continua de intensidade I.

    Figura 8: Rotao de pea ferromagntica

    6.1 Clculos Analticos

    Utilizar o teorema de Ampre para encontrar o valor do campo magntico normal noentreferro.

    Calcular o valor da co-energia magntica em funo da posio com a corrente constante.Deduzir a equao para o Torque utilizando os trabalhos virtuais (por unidade de

    comprimento da direo do eixo Z).

    6.2 Clculo por Elementos Finitos

    Utilizar o Matlab, a linguagem LUA e o programa FEMM para definir a geometria e aspropriedades dos materiais.

    Utilizar os softwares supracitados para calcular o Torque atuante sobre o rotor utilizandoos trabalhos virtuais. Para isso deve- se calcular a energia em diferentes posies do rotor paraque depois possamos deriv-la.

    Calcularemos, para uma dada posio, a fora em funo da corrente que vamos variar atque o ferro sature. Ns tratamos ento de um problema no linear no qual devemos definir acurva caracterstica B(H) do ferro.

    Calcular a fora para uma corrente fixa, em funo da espessura do entreferro e compararcom a soluo analtica.

    Dados :

    N=10

    I=100 A

    H=100 mm

    Lx=14 mm

    R=16 mm

    E=2 mm