Simulado - Colégio Sete de Setembrocolegiosete.com.br/arquivos/2016/ensino_medio/gabarito...ao ano de 2010, obtendo 38 172 33 3! = 35 948. Competência ENEM: 1 – Construir significados

DIS

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A

Matemáticae suas

Tecnologias

2a. série

Volume 2

2016Simuladoenem

G a b a r i t o

Simulado ENEM – 2016

2a. série – Volume 22

Questão 1 Matemática e suas Tecnologias

Disciplina << Matemática

Gabarito: Alternativa B

Comentários: ( A ) Obteve o total de placas diferentes de veículos de

passeio utilizando o novo modelo, que é igual a 26 26 26 26 10 10 10 = 456 976 000.

( B ) Considerando um alfabeto de 26 letras e os 10 nú-meros, tem-se que o total de placas diferentes de veículos de passeio, de acordo com o modelo atual, equivale a 26 26 26 10 10 10 10 = 175 760 000.

( C ) Obteve a soma entre 264 e 103, que resulta 456 976 + 1 000 = 457 976.

( D ) Apenas elevou 26 à quarta potência.

( E ) Apenas elevou 10 à quarta potência.

Competência ENEM: 1 – Construir significados para os números naturais, inteiros, racionais e reais.

Habilidade ENEM: 3 – Resolver situação-problema en-volvendo conhecimentos numéricos.




Comentários: ( A ) Obteve apenas o total de placas no novo modelo, que

equivale a 26 26 26 26 10 10 10 = 456 976 000.

( B ) No novo modelo, o total de placas diferentes equi-vale a 26 26 26 26 10 10 10 = 456 976 000.

No modelo atual, o total de placas é igual a 26 26 26 10 10 10 10 = 175 760 000. Logo, podem ser obtidas 281 216 000 placas a mais utili-zando o novo modelo.

( C ) Obteve apenas o número de placas no novo mo-delo fazendo 26 26 26 26 + 10 10 10 = 456 976.

( D ) Obteve o número de placas no novo modelo fazen-do 26 26 26 26 + 10 10 10 = 456 976 e no modelo atual fazendo 26 26 26 + 10 10 10 10 = 27 576. Concluindo que podem ser obtidas 430 400 placas a mais utilizando o novo modelo.

( E ) Obteve apenas o total de placas no modelo atual fazendo 26 26 26 + 10 10 10 10 = 27 576.





Gabarito: Alternativa A

Comentários: ( A ) As placas que começam com as três primeiras le-

tras têm, na sequência, três números e uma letra em qualquer ordem. Assim, o total de placas que começam com as três primeiras letras da placa da imagem equivale a 26 10 10 10 = 26 000. Con-siderando as 6 cores citadas, tem-se que o total de placas é 156 000.

( B ) Interpretou que o total de placas que começam com as três primeiras letras da placa da imagem equivale a 26 10 9 8 = 18 720. Considerando as 6 cores citadas, tem-se que o total de placas equi-vale a 112 320.

( C ) Considerou a permutação das duas letras iguais a E, que aparecem no início da placa, e calculou 26 10 10 10

2 = 13 000, multiplicou o resultado ob-

tido por 6 e obteve 78 000.

( D ) Obteve apenas o total de placas equivalente a uma cor, que equivale a 26 000.

( E ) Considerou a permutação das duas letras iguais a E, que aparecem no início da placa, e calculou 26 10 10 10

2 = 13 000.






Comentários: ( A ) Considerou que as senhas podem conter caracte-

res iguais, obtendo 444 = 3 478 096.


3Matemática e suas Tecnologias

( B ) Supondo que os 44 emojis são distintos, tem-se que po-dem ser formadas 44 43 42 41 = 3 258 024 de senhas distintas com 4 caracteres cada uma.

( C ) Interpretou que como são 44 caracteres e a se-nha apresenta 4, o total de senhas equivale a 44 44 44 44

4 = 937 024 .

( D ) Considerou que a permutação dos quatro caracteres não configura uma senha diferente, concluindo que

o total de senhas é igual a 44 43 42 41

4 = 814 506

( E ) Interpretou que como são 44 caracteres e a senha é composta por 4, o total de senhas equivale a 44 43 42 41

4! = 135 751.






Comentários: ( A ) Considerando os dados para o ano de 2014, tem-

-se que a escolha de um mamífero, uma ave e um réptil pode ser realizada, nessa ordem, de 44 171 40 = 300 960 maneiras distintas.

( B ) Utilizou as informações referentes ao ano de 2010, concluindo que a escolha pode ser realizada de 38 172 33 = 215 688 maneiras distintas.

( C ) Considerou que os animais foram escolhidos em

qualquer ordem, obtendo 44 171 40

3 = 100 320.

( D ) Considerou que os animais foram escolhidos em

qualquer ordem, obtendo 44 171 40

3! = 50 160.

( E ) Considerou que os animais foram escolhidos em qualquer ordem e utilizou as informações referentes

ao ano de 2010, obtendo 38 172 33

3! = 35 948.





Gabarito: Alternativa C

Comentários: ( A ) Utilizou os dados observados em 2014 e consi-

derou que como são 3 espécies, deveria multi-plicar o produto entre 151, 64 e 8 por 3, obtendo 3 151 64 8 = 231 936.

( B ) Utilizou os dados observados em 2014, obtendo 151 64 8 = 77 312.

( C ) Considerando que em 2010 o número de espécies ameaçadas de extinção em São Paulo corresponde a 46 invertebrados, 66 peixes continentais e 12 anfíbios, tem-se que podem ser formados 46 66 12 = 36 432 conjuntos com um invertebrado, um peixe continen-tal e um anfíbio.

( D ) Interpretou que como são 3 espécies, deveria divi-

dir o resultado por 3, obtendo 46 66 12

3 = 12 144.

( E ) Interpretou que como são 3 espécies, deveria dividir

o resultado por 3!, obtendo 46 66 12

3! = 6 072.





Gabarito: Alternativa D

Comentários: ( A ) Interpretou que os caracteres não podem se repetir

e calculou 26 25 24 23

4! = 14 950.

( B ) Analisou a imagem de maneira equivocada, concluin-do que podem ser formadas 13 12 11 10 = 17 160 .

( C ) Interpretou que os caracteres não podem se repetir

e calculou 26 26 26 26

4 = 114 244.

( D ) Analisando a imagem, conclui-se que, utilizan-do as 26 letras do alfabeto, podem-se formar 26 25 24 23 = 358 800 senhas com caracteres distintos.



( E ) Interpretou que pode haver caracteres repetidos nas senhas, obtendo 264 = 456 976.





Gabarito: Alternativa E

Comentários: ( A ) Interpretou que, se os algarismos puderem se repe-

tir, podem ser formados 5 10 = 50 códigos.

( B ) Considerou que o código 1 2 3 4 5 é igual ao código

5 4 3 2 1, por exemplo, e calculou 10 9 8 7 6

5! =

= 30 240

120, concluindo que esse resultado representa a

quantidade de códigos distintos.

( C ) Fez 10 9 8 7 6

5 = 6 048.

( D ) Fez 10 10 10 10 10

5 = 20 000.

( E ) Para um código de 5 dígitos, tem-se que podem ser for-

mados A510 =

10!(10 – 5)!

= 10 9 8 7 6 = 30 240

códigos distintos.






Comentários: ( A ) Analisou a imagem de maneira equivocada e con-

cluiu que o número de passageiros adultos equiva-le a 155, obtendo 155 16 5 = 12 400.

( B ) Analisou a imagem de maneira equivocada e con-cluiu que o número de crianças equivale a 17 (16 crianças + 1 bebê), obtendo 138 17 5 = 11 730.

( C ) De acordo com as informações, tem-se 138 passa-geiros adultos, 16 crianças e 5 comissários. Assim, pode-se formar um conjunto com um passagei-ro adulto, uma criança e um comissário do voo QZ-8501 de 138 16 5 = 11 040 maneiras distintas.

( D ) Interpretou que deve dividir o produto entre 138, 16

e 5 por 3 e obteve 138 16 5

3 = 3 680.

( E ) Interpretou que deve dividir o produto entre 138, 16

e 5 por 3! e obteve 138 16 5

6 = 1 840.






Comentários: ( A ) Interpretou que antes da mudança podem ser for-

mados 1 10 9 8 7 6 5 4 = 604 800 e que após a inserção do nono dígito podem ser formados 1 10 9 8 7 6 5 4 3 = 1 814 400, concluindo que podem ser formados 1 814 400 – 604 800 = 1 209 600 números a mais.

( B ) Antes da mudança podem ser formados 107 números de celulares. Após a inserção do nono dígito, podem ser formados 108 números de celulares. Logo, podem ser formados 1 108 – 0,1 108 = 0,9 108 = 9 107 números de celulares a mais.

( C ) Interpretou que podem ser formados 108 – 0,1 108 = = 9,9 108 = 99 107 números de celulares a mais.

( D ) Interpretou que podem ser formados 108

107 = 10 nú-

meros de celulares a mais.

( E ) Interpretou o texto equivocadamente e obteve ape-nas o total de números de celulares após a inserção do nono dígito.








Comentários: ( A ) Como 18 carros chegarão ao final do percurso e

desconsiderando a possibilidade de empate, tem--se que para o primeiro colocado existem 18 pos-sibilidades, para o segundo colocado existem 17 (exclui-se o que ficou na primeira posição), para a terceira posição existem 16 possibilidades e assim por diante. Logo, pelo princípio multiplicativo, tem--se que o total de resultados possíveis para essa corrida equivale a 18 17 16 ... 1 = 18!.

( B ) Calculou apenas os resultados possíveis para a pri-

meira e segunda posições, obtendo 18!16!

.

( C ) Calculou apenas os resultados possíveis para as

três primeiras posições, obtendo 18!15!

.

( D ) Considerou que, como são 18 carros, tem-se para o primeiro colocado 18 possibilidades, para o segun-do colocado, também 18 possibilidades, concluindo que o total de possíveis resultados equivale a 1818.

( E ) Calculou apenas os resultados possíveis para as três primeiras posições, considerando que para cada uma delas há 18 possibilidades e obteve 183.


Habilidade ENEM: 2 – Identificar padrões numéricos ou princípios de contagem.




Comentários:

( A ) Na expressão, C C C C28 7 21 7 14 7 7 7

28

7 21, , , ,

!

! !⋅ ⋅ ⋅ =

⋅⋅

21

7 14

14

7 7

28!

! !

!

! !

!⋅⋅

⋅⋅

=(( !)7 4 fez que

28

7

1

7

1

7 7

28

7 4

!

! ! ! !

!

( !).⋅ ⋅

⋅=

⋅

( B ) Interpretou que, como cada jogador ficará com 7

peças, a distribuição pode ser feita de 28

7

!

!.

( C ) Como são 4 jogadores, cada um ficará com 7 peças.

Logo, C C C C28 7 21 7 14 7 7 7

28

7 21

21

7 14

14

7 7, , , ,

!

! !

!

! !

!

! !⋅ ⋅ ⋅ =

⋅⋅

⋅⋅

⋅⋅

7

0

!⋅!! !

!

! ! ! !

!

( !).

⋅=

⋅ ⋅ ⋅=

7

28

7 7 7 7

28

7 4

( D ) Interpretou que, como são 4 jogadores, a distribui-

ção pode ser feita de 28

4

!

!maneiras distintas.

( E ) Obteve apenas a distribuição para o primeiro joga-

dor, que equivale a 28

7 21

!

! !.

⋅Competência ENEM: 1 – Construir significados para os números naturais, inteiros, racionais e reais.





Comentários: ( A ) A primeira configuração consiste em M H M H M H

M H M, com 5 4 120 24! !⋅ = ⋅ = 2 880 possibilidades. A segunda configuração consiste em ordenar duas mulheres juntas, como M M H M H M H M H, tam-bém com 5 4 120 24! !⋅ = ⋅ = 2 880 possibilidades. O mesmo vale para M H M M H M H M H, M H M H M M H M H e M H M H M H M M H. Logo, a fila pode ser organizada de 5 2 880⋅ = 14 400 maneiras dis-tintas.

( B ) Interpretou que, para as configurações em que duas mulheres estão juntas, tem-se 4 4 24 24! !⋅ = ⋅ = 576 possibilidades (considerou que MM é apenas um elemento). Logo, concluiu que o número total de possibilidades equivale a 2 880 + 4 ∙ 576 = 5 184.

( C ) Obteve apenas o total de possibilidades para a con-figuração M H M H M H M H M.

( D ) Obteve apenas o total para as configurações em que duas mulheres estão juntas, obtendo 4 576⋅ = 2 304 .



( E ) Obteve apenas as possibilidades para uma confi-guração em que duas mulheres estão juntas, que equivale a 4 4 24 24! !⋅ = ⋅ = 576 possibilidades.






Comentários: ( A ) Como o perímetro é igual a 6,4 metros, tem-se

que cada lado do octógono mede 0,80 metro. Assim, tem-se que o octógono pode ser dividido em oito triângulos isósceles de altura h, em que

tgh

h22 50 4 0 4

0 410 975,

, ,

,,° = ⇒ = = metro.

Logo, a área de cada triângulo equivale a 0 8 0 975

2

, ,⋅= 0,39 m² e a área do octógono equi-

vale a 8 ∙ 0,39 = 3,12 m².

( B ) Obteve apenas a área de cada triângulo isóscele fa-

zendo 0 4 0 975

2

, ,⋅=0,195 , concluindo que a área

do octógono equivale a 8 ∙ 0,195 = 1,56 m².

( C ) Obteve apenas a altura h de cada triângulo isóscele, que equivale a 0,975 m.

( D ) Interpretou que cada lado do octógono mede 0,40 metro. Assim, o octógono pode ser dividido em oito triângulos isósceles de altura h, em que

tgh

h22 50 2 0 2

0 410 49,

, ,

,,° = ⇒ = = metro.

Logo, a área de cada triângulo equivale a 0 4 0 49

2

, ,⋅=0,098 m² e a área do octógono equi-

vale a 8 ∙ 0,098 = 0,784m².

( E ) Obteve apenas a área de cada triângulo isóscele, que equivale a 0,39 m².

Competência ENEM: 2 – Utilizar o conhecimento geo-métrico para realizar a leitura e a representação da reali-dade e agir sobre ela.

Habilidade ENEM: 8 – Resolver situação-problema que envolva conhecimentos geométricos de espaço e forma.




Comentários: ( A ) Concluiu que a área compreendida entre o círculo e

o octógono equivale a 34 + 28,26 = 62,26 cm².

( B ) Obteve apenas a área do octógono regular.

( C ) Obteve apenas a área do círculo.

( D ) Os lados do polígono não tangenciam o cír-culo. Logo, não se pode concluir que o polígo-no é circunscrito. A área do círculo é dada por

3 14 32, ⋅ = 28,26 cm². A área do polígono equivale

a 8 2 5 2 2

2

⋅ ⋅ +( )=

,.34,1 cm2 Logo, a área com-

preendida entre o círculo e o polígono é igual a 34,1 – 28,26 = 5,84 cm².

( E ) Fez que a área do círculo equivale a

3 14 32

,( ) ⋅ = 29,57 , concluindo que a área da região compreendida entre o círculo e o polígono é igual a 34 – 29,57 = 4,43 cm².






Comentários:

( A ) Calculou a área da base fazendo 3 3 1 7

4

2⋅ ⋅=

,11,475 e

concluiu que o volume é igual a 11 475 8

3

, ⋅= 30,6 cm³.

( B ) Obteve apenas a área da base fazendo

3 3 1 7

4

2⋅ ⋅=

,11,475 .



( C ) A base é um triângulo equilátero. Logo, a área da

base é igual a 3 1 7

4

2 ⋅=

,3,825 cm² e o volume equi-

vale a 3,825

10,2⋅

=8

3 cm³.

( D ) Obteve apenas a área da base fazendo

3 1 7

4

2 ⋅=

,3,825 .

( E ) Calculou a área da base fazendo 3 1 7

4

⋅=

,1,275 e

concluiu que o volume é igual a 1 275 8

3

, ⋅= 3,4 cm³.






Comentários: ( A ) Como o perímetro de cada polígono é igual a 24

centímetros, tem-se que o lado do triângulo é igual

a 8 centímetros e a área é igual a 8 1 7

4

2 ⋅ =,27,2 cm².

O lado do quadrado é igual a 6 centímetros e a área é igual a 36 cm².

O lado do hexágono é igual a 4 centímetros e a área

é igual a 64 1 7

4

2

⋅ ⋅ =,40,8 cm².

( B ) Interpretou que o prisma triangular é o mais ideal.

( C ) Interpretou que o prisma quadrangular é o mais ideal.

( D ) Inverteu a área do hexágono com a área do quadrado.

( E ) Inverteu a área do hexágono com a área do quadrado.


Habilidade ENEM: 9 – Utilizar conhecimentos geométri-cos de espaço e forma na seleção de argumentos pro-postos como solução de problemas do cotidiano.




Comentários: ( A ) Fez que o raio equivale a 2,8 metros. De acordo com

as informações do enunciado, a altura equivale ao dobro da largura, ou seja, 5,6 metros. Logo, a área lateral é igual a 2 2 3 14 2 8 5 6πrh = ⋅ ⋅ ⋅ =, , , 98,47 m², não considerando que o cilindro tem 5,6 – 1 = 4,6 metros de altura. Assim, para os quatro silos, fo-ram necessários 4∙98,47 = 393,88 m², que custaram R$ 102.014,92.

( B ) Obteve a área total dos quatro cilindros, que equi-

vale a 4 2 4 2 3 14 1 4 1 4 5 6⋅ ⋅ +( ) = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +( ) =πr h r , , , , 2

, 246,17 m ,2 não considerando que o cilindro tem

5,6 – 1 = 4,6 metros de altura e concluindo que o custo é igual a 246,17 ∙ 259 = R$ 63.758,03.

( C ) De acordo com as informações do enunciado, a altura equivale ao dobro da largura, ou seja, 5,6 metros. Logo, a altura da lateral cilíndrica é igual a 5,6 – 1 = 4,6 metros e a área lateral é igual a 2 2 3 14 1 4 4 6πrh = ⋅ ⋅ ⋅ =, , , 40,44 m². Assim, para os quatro silos, foram necessários 4 ∙ 40,44 = 161,76 m² que custaram R$ 41.895,84.

( D ) Obteve o custo para a área lateral de um cilindro, que equivale a R$ 259,00 ∙ 98,47 = R$ 25.503,73, além de não considerar que o cilindro tem 5,6 – 1 = 4,6 metros de altura.

( E ) Obteve a área total de um cilindro, que equivale a

2 2 3 14 1 4 1 4 5 6πr h r⋅ +( ) = ⋅ ⋅ ⋅ +( ) =, , , , 61,54 m ,2 concluindo que o custo procurado é igual a 61,54 ∙ 259 = R$ 15.938,86, além de não considerar que o cilindro tem 5,6 – 1 = 4,6 metros de altura.








Comentários: ( A ) Obteve o volume total dos quatro silos da imagem,

que equivale a 4 ∙ 37,68 = 150,72 m³.

( B ) Obteve o volume da parte cilíndrica total dos quatro silos da imagem, que equivale a 4 ∙ 35,32 = 141,28 m³.

( C ) Cada silo representa um cilindro com altura igual a 5 metros, e um cone com uma altura igual a 1 metro, uma vez que a altura deve ser máxima. E conside-rando a proporção entre a largura e a altura, tem-se que a largura (diâmetro da base) é igual a 3 me-tros e o raio equivale a 1,5 metro. Logo, o volume de cada um dos silos equivale a

π πr hr h

22

22

3

3 14 1 5 1

33 14 1 5 5+ = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = + =, ( , )

, ( , ) 2,355 3

+ =5 35,325 37,68 m³.

( D ) Obteve apenas o volume da parte cilíndrica, que

equivale a πr h2 23 14 1 5 5= ⋅( ) ⋅ =, , 35,32 m³.

( E ) Obteve apenas o volume da parte cônica dos 4 silos,

que equivale a 43

43 14 1 5 1

39 42

22

⋅ = ⋅⋅ ( ) ⋅

=πr h , ,

, m³.






Comentários: ( A ) Interpretou que o raio da base é igual a 2,8 metros

e obteve

πr r g⋅ +( ) = ⋅ ⋅ +( ) =3 14 2 8 2 8 4 12, , , , 60,84 m ,2

concluindo que a área total dos 4 cones é igual a 243,36 m².

( B ) A área lateral de cada cone equivale a

πr r g⋅ +( ) = ⋅ ⋅ +( ) =3 14 1 4 1 4 4 12 24 26, , , , , m².

Logo, a área lateral dos 4 cones é igual a 4 ∙ 24,26 = 97,04 m².

( C ) Inverteu o valor informado da gera-triz com o valor do raio da base, obtendo πr r g⋅ +( ) = ⋅ ⋅ +( ) =3 14 4 12 4 12 1 4, , , , 71,41 m².

( D ) Interpretou que o raio da base é igual a 2,8 metros e ob-teve πr r g⋅ +( ) = ⋅ ⋅ +( ) =3 14 2 8 2 8 4 12, , , , 60,84 m².

( E ) Obteve a área lateral de um cone, que equivale a 24,26.






Comentários: ( A ) Obteve o volume dos nove cubos fazendo

9 3 812⋅ = e dividiu em seguida esse resultado por 6, concluindo que a altura do copo é igual a 13,5 cm.

( B ) Os nove cubos de gelo ocupam um volume equi-

valente a 9 3 2433 3⋅( ) = cm . De acordo com a

imagem, o copo tem um formato cilíndrico cujo

volume é igual a πr h2. Como o líquido derrete-

rá e encherá completamente o copo, tem-se que πr h h h2 2243 3 14 3 243= ⇒ ⋅ ⋅ = ⇒ ⋅ =, 28,26 8

h h h243243

28 26⋅ = ⇒ = =

,6 8,6 cm

Como essa medida equivale a 72% da altu-ra do copo, tem-se que a altura total mede 8 6

72

8 6

0 72

,

%

,

,= = 12 cm.

( C ) Interpretou que o raio equivale a 6 cm e fez que

πr h h h2 2243 3 14 6 243 3 14 12 2= ⇒ ⋅ ⋅ = ⇒ ⋅ ⋅, ,

h h h2 243243

6 44⋅ ⋅ = ⇒ = = ,37,68

cm. Como essa me-

dida equivale a 72% da medida total, tem-se que a

altura do copo mede 6 44

0 728 9 9

,

,,= = cm.



( D ) Obteve apenas a altura do nível de líquido após o derretimento total dos cubos de gelo, que equivale a 8,6 cm.

( E ) Interpretou que o raio equivale a 6 cm e fez que

πr h h h2 2243 3 14 6 243 3 14 12 2= ⇒ ⋅ ⋅ = ⇒ ⋅ ⋅, ,

h h h4 12 243243

6 44⋅ ⋅ = ⇒ = = ,37,68

cm.






Comentários: ( A ) Obteve a área total (área lateral + área da base), que

equivale a 8 920 + 1 600 = 10 520 m².

( B ) Cada face representa um triângulo cuja altura h é hipotenusa do triângulo retângulo, com catetos medindo 111 metros e 20 metros. Logo, pelo Teore-ma de Pitágoras, tem-se que:

h h2 2 2 2110 20 12 100 1= + ⇒ = + ⇒400 1

h h2 2 2 20 12 500 2 5 5 5+ ⇒ = ⇒ = = ⋅ ⋅ ⋅0 12 500

h 50 5⇒ = == ⋅ =50 2 23 111 50, , m

Assim, tem-se que a área lateral é igual a

440 111 5

2⋅ ⋅

=,

8 920 m².

( C ) Obteve a medida da altura h e multiplicou o resul-tado por 40, concluindo que a área lateral equivale a 4 460 m².

( D ) Obteve a área de apenas uma face lateral, que é

igual a 40 111 5

2

⋅

=,

2 230 m².

( E ) Obteve apenas a área da base, que equivale a 1 600 m².






Comentários: ( A ) Interpretou que o volume da pirâmide equivale

ao produto entre a área da base e a altura, que é 177 600 m³.

( B ) O volume da pirâmide de base quadrada, cuja altura é igual a 110 metros, equivale a

40 110

3 3 3

2 ⋅ = ⋅ = =1 600 110 176 00058 666 m³.

( C ) Obteve o perímetro da base e multiplicou o resulta-do pela altura, que resulta em 17 760 m³.

( D ) Obteve um terço do produto entre o perímetro da

base e a altura, que resulta em 17 760

3= 5 920 m³.

( E ) Apenas obteve o produto entre 40 e 110.






Comentários: ( A ) O volume, em metros cúbicos, equivale à área da

base (octógono regular) vezes a altura (1,20 m).

Logo, V = ⋅⋅

⋅ =8

1 5 2 5

21 20

, ,, 18 m³. Como cada

m³ é igual a 1 000 litros, tem-se que a capacidade da piscina, em litros, é igual a 18 000 litros.



( B ) Obteve apenas a área da base e multiplicou o resul-tado por 1 000, obtendo 15 000 litros.

( C ) Calculou a área da base, fazendo

Ab =⋅

=

1 5 2 5

2

, ,1,875 , concluindo que o volume

é dado por 1,2 ∙ 1,875 = 2,25 m³ = 2 250 litros.

( D ) Não converteu corretamente 18 m³ para litros, con-cluindo que 18 m³ = 1 800 litros.

( E ) Obteve apenas a área da base (15 m²) e julgou que esse valor representa o volume, não apresentando a resposta em litros corretamente (1 500).






Comentários:

( A ) Considerando o cone maior (taça inteira) com altura igual a h e o cone menor (com água) com altura igual a h2

, tem-se que

V(água)V(taça)

=h

2h

=h

8h

=18

V(água) =V(taça)

8V(óleo) = V(taça) - V(água)

V(água) =V(taça)

8

V(óleo) = V(taça) -V(taça)

8=

7 V(taça)8

V(água)V(óleo)

=

V(taça)8

7 V(taça)8

=V(taça)

88

7 V(taça)=

17

3

3

3

3

( )

⋅

⋅ ⋅⋅

( B ) Obteve a razão entre o volume de óleo e o volume de água, que equivale a 7.

( C ) Obteve V(água)V(taça)

=h

2h

=h

8h

=18

3

3

3

3

( ).

( D ) Obteve a razão entre o volume da taça e o volume de água, que equivale a 8.

( E ) Como o volume do óleo é 78

do volume da taça, concluiu que a razão procurada é igual a 78

.

Competência ENEM: 2 – Utilizar o conhecimento geométrico para realizar a leitura e a representação da realidade e agir sobre ela.





Comentários: ( A ) Obteve a área em milímetros quadrados, que corresponde a 814.



( B ) Ao elevar 16,1 ao quadrado, multiplicou por 2 e concluiu que a área é igual a aproximadamente

πr2 23 14 16 1 3 14= ⋅ = ⋅ =, ( , ) , 8,05 25 mm² = 250 cm².

( C ) Não converteu corretamente 814 mm² para cm², concluindo que 814 mm² = 81,4 cm².

( D ) Ao elevar 16,1 ao quadrado, multiplicou por 2 e concluiu que a área é igual a aproximadamente

πr2 23 14 16 1 3 14= ⋅ = ⋅ =, ( , ) , 8,05 25 mm².

( E ) O diâmetro da moeda equivale a 32,2 mm. Logo, o raio mede 16,1 mm e a área corresponde a aproximadamente

πr2 2

2

3 14 16 1 3 14161

103 14

100= ⋅ = ⋅

= ⋅

=, ( , ) , ,

25 921 81 3991,94814 = 8,14

100= cm².






Comentários: ( A ) Interpretou que a área lateral do cone é dada por ⋅ r2 ⋅ g, concluindo que a área lateral equivale a

A lateral cm( ) = ⋅ ⋅ =π π36 10 360 2

( B ) Obteve a área total do cone, que equivale a 288 + 60 = 348 .

( C ) Obteve a área da base do cone, que equivale a π π πr h2 36 8= ⋅ ⋅ = 288

( D ) A área lateral do cone é dada por π⋅ ⋅r g .

Calculando a geratriz g pela fórmula de Pitágoras, tem-se que:

g R h

g cmA lateral c

2 2 2

2 28 6 64 36 100 106 10 60

= +

= + = + = =

⇒ = ⋅ ⋅ =( ) π π mm2

( E ) Obteve a medida da geratriz, que equivale a 10 cm e interpretou que a área lateral equivale a 10 .






Comentários:

( A ) Interpretou que o volume do cone é dado por π π⋅ ⋅ =( )4 122 192 cm³.

( B ) Fez que 42 = 8 e que o volume do cone é igual a π π⋅ ⋅ =( )4 12 962 cm³.



( C ) Calculando o raio da base e em seguida o volume, tem-se que:

C R

C cmR R cm

h R cm

Volume VR

==

⇒ = ⇒ = =

= = ⋅ =

= ⋅

2

82 8

8

24

3 3 4 12

ππ

π π ππ

π( )

22 23

3

4 12

316 4 64

⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =hcm

π π π( )

( D ) Fez que 42 = 8 e concluiu que o volume é igual a π

π⋅ ⋅

=( )4 12

332

2

cm³.

( E ) Fez que a altura é igual a 3 cm e concluiu que o volume é igual a π

π⋅ ⋅

=( )4 3

316

2

cm³.






Comentários: ( A ) De acordo com as informações apresentadas, tem-se o seguinte sistema de equações lineares:

x y

y xx x x

x

y

+ = ⋅=

⇒ + =

⇒ =

==

0 8 212 535

22 170 028 3 170 028

56 676

113 352

,

( B ) Obteve o seguinte sistema de equações lineares:

x y

y xx x x

x

y

+ = ⋅=

⇒ + =

⇒ =

==

0 2 212 535

22 42 507 3 42 507

14 169

28 338

,

Interpretando ainda que a incógnita x representa a quantidade de ônibus vendidos.

( C ) Obteve o seguinte sistema linear:

x y

x yy y y

y

x

+ = ⋅=

⇒ + =

⇒ =

==

0 8 212 535

22 170 028 3 170 028

56 676

113 352

,

Interpretando ainda que a variável y representa a quantidade de ônibus vendidos.



( D ) Interpretou que o número de unidades vendidas equivale a 1 082 257, obtendo o seguinte sistema de equações lineares e concluindo que:

x y

y xx x x

x

y

+ = ⋅=

⇒ + =

⇒ =

==

0 2 1 082 257

22 3 216 451

72 150

,216 451

144 3011

( E ) Obteve o seguinte sistema de equações lineares:

x y

x yy y y

y

x

+ = ⋅=

⇒ + =

⇒ =

==

0 2 212 535

22 42 507 3 42 507

14 169

28 338

,

Competência ENEM: 5 – Modelar e resolver problemas que envolvem variáveis socioeconômicas ou técnico-cientí-ficas, usando representações algébricas.

Habilidade ENEM: 21 – Resolver situação-problema cuja modelagem envolva conhecimentos algébricos.




Comentários:

( A ) Interpretou que a área é dada por A D= , concluindo que a área real da praça é dada por 4 ∙ 144 = 576 m².

( B ) Interpretou que a área é dada por

A D= , concluindo que a área real da praça é dada por 4 ∙ 1 200 = 4 800 = 480 m².

( C ) De acordo com as informações da imagem, tem-se

que a área do triângulo é dada por A D=1

2 em

que D = =3 4 1

5 4 1

4 2 1

4. Logo, a área equivale a

2 cm². Analisando a escala informada, tem-se que cada centímetro do mapa equivale a 1 200 cm = 12 m na realidade. Logo, 1 cm² = 12 ∙ 12 = 144 m². As-sim, 2 cm² correspondem a 288 m².

( D ) Interpretou que a área gráfica de 2 cm² correspon-de a uma área real de 2 400 cm² = 240 m².

( E ) Obteve a área equivalente a 1 cm², que é de 144 m².






Comentários: ( A ) Interpretou que a matriz dos coeficientes das incóg-

nitas é igual a A =

63 5 466 9

25 155

, , e concluiu que

det A = 25∙466,9 - 155∙63,5 = 11 672,5 + 9 842,5 = 1 830.

( B ) Interpretou que a matriz dos coeficientes das incóg-


69 1 466 9

20 155

, , e concluiu que

det A = 69,1∙155 - 20∙466,9 = 10 710,5 - 9 338 = 1 372,5.

( C ) Interpretou que o determinante da matriz

A =

63 5 69 1

25 20

, , é igual a 1 727,5 – 1 270 = 457,5.



( D ) As informações apresentadas conduzem ao se-guinte sistema de equações lineares:

63 5 69 1 466 9

25 20 155

, , ,x y

x y

+ =+ =

, cuja matriz dos coeficien-

tes das incógnitas é dada por A =

63 5 69 1

25 20

, ,

Logo, det A = 20∙63,5 - 25∙69,1 = 1 270 – 1 727,5 = –457,5. Como det At = det A, tem-se que det At = –457,5.

( E ) Interpretou que a matriz dos coeficientes das incóg-


63 5 466 9

25 155

, , e concluiu que

det A = 155∙63,5 – 25∙466,9 = 9 842,5 – 11 672,5 = –1 830.

Competência ENEM: 5 – Modelar e resolver problemas que envolvem variáveis socioeconômicas ou técnico--científicas, usando representações algébricas.





Comentários: ( A ) As informações apresentadas conduzem ao se-

guinte sistema de equações lineares:

63 5 69 1 466 9

25 20 155

, , ,x y

x y

+ =+ =

, cuja solução, pela regra

de Cramer, equivale a

D D

D Dx x

=

⇒ = −

=

⇒ = −

63 5 69 1

25 20457 5

466 9 69 1

155 20

, ,,

, ,1 3372,5

D D

xD

D

y y

x

=

⇒ = −

= = −−

=

63 5 466 9

25 1551 830

1 372 5

457 5

, ,

,

,33

1 830

457 54y

D

D

y= = −−

=,

Logo, a pessoa ingeriu, no total, 3 + 4 = 7 salgadi-nhos.

( B ) Analisou apenas a seguinte informação do texto “Moderação, nesse caso, significa comer apenas 1 ou 2 unidades de cada salgadinho assado, totali-zando no máximo 4 a 5 unidades” e concluiu que a resposta do problema é 5.

( C ) Obteve apenas o valor de y.

( D ) Obteve apenas o valor de x.

( E ) Analisou apenas a seguinte informação do texto “Moderação, nesse caso, significa comer apenas 1 ou 2 unidades de cada salgadinho assado”, con-cluindo que a resposta para o problema é 2.






Comentários: ( A ) Interpretou que o sistema linear que representa o

problema equivale a 69 8 67 2 341 2

20 20 100

, , ,x y

x y

+ =+ =

, con-

cluindo que como a matriz formada pelos coeficien-

tes das incógnitas equivale a A =

69 8 67 2

20 20

, ,,

tem-se que detdet

AA

− = =−

=1 1 1 1

521 396 1 344.

( B ) Obteve o sistema linear 34 9 33 6 341 2

10 10 100

, , ,x y

x y

+ =+ =

e

simplificou a segunda equação por 10, obtendo o

sistema 34 9 33 6 341 2

10

, , ,x y

x y

+ =+ =

e concluindo que

como A =

34 9 33 6

1 1

, ,,

detdet , ,

AA

− = =−

=1 1 1

34 9 33 6

1

1,3.



( C ) Interpretou que det A− =−

= −1 1

336 349

1

13.

( D ) Interpretou que o sistema linear que representa o

problema equivale a 69 8 67 2 341 2

20 20 100

, , ,x y

x y

+ =+ =

, con-

cluindo que, como a matriz formada pelos coefi-

cientes das incógnitas equivale a A =

69 8 67 2

20 20

, ,,

tem-se que detdet

AA

− = =−

= −1 1 1 1

521 344 1 396.

( E ) As informações do problema conduzem ao seguin-te sistema de equações lineares:

34 9 33 6 341 2

10 10 100

, , ,x y

x y

+ =+ =

, cuja matriz dos coeficien-

tes das incógnitas equivale a A =

34 9 33 6

10 10

, , .

Como detdet

AA

− =1 1, tem-se que

det A− =−

=1 1

349 336

1

13.






Comentários: ( A ) As informações apresentadas conduzem ao se-

guinte sistema de equações lineares:

34 9 33 6 376 1

10 10 110

, , ,x y

x y

+ =+ =

, cuja solução é o par orde-

nado (5, 6). Assim, a razão entre y e x equivale a y

x= =

6

51,2 .

( B ) Analisou apenas a equação 10x + 10y = 110, con-

cluindo que x = 3 e y = 8 e que y

x=

8

3.

( C ) Analisou apenas a equação 10x + 10y = 110, con-


x=

9

2.

( D ) Analisou apenas a equação 10x + 10y = 110, con-


x=

7

4.

( E ) Analisou apenas a equação 10x + 10y = 110, con-


x=

10

1.






Comentários: ( A ) Não obteve a quantidade de sódio para cada gra-

ma de salsicha e de requeijão, concluindo que a equação linear é 551x + 165y = 1 212.

( B ) De acordo com as informações apresentadas, para cada grama de salsicha, a quantidade de só-

dio é de 551

5011 02= , mg/g e para cada grama de

requeijão, a quantidade de sódio é equivalente a 165

30= 5,5 mg/g. Logo, a equação linear que

representa a situação descrita equivale a 11,02x + 5,5y = 1 212 mg.

( C ) Utilizou a quantidade de gramas informada, concluin-do que a equação linear é dada por 50x + 30y = 1 212.

( D ) Interpretou que x representa a quantidade de requeijão e y, a quantidade de salsicha, em gra-mas, concluindo assim que a equação linear é 5,5x + 11,02y = 1 212.

( E ) Não obteve a quantidade de sódio para cada gra-ma de salsicha e de requeijão, concluindo que a equação linear é 165x + 551y = 1 212, interpretando também que x representa a quantidade de requei-jão e y, a quantidade de salsicha, em gramas.




Habilidade ENEM: 19 – Identificar representações algé-bricas que expressem a relação entre grandezas.




Comentários: ( A ) Considerou que a pessoa ingeriu 512 mg de sódio

proveniente do requeijão e 700 g de sódio proce-dente da salsicha.

( B ) Apenas dividiu por dois o valor do sódio consumido.

( C ) Considerou que a pessoa ingeriu 412 mg de sódio oriundos do requeijão e 800 g de sódio provenien-tes da salsicha.

( D ) De acordo com as informações apresentadas, para cada x grama de salsicha, a quantidade de sódio

é de 551

5011 02= , mg/g e para cada y grama de

requeijão, a quantidade de sódio é equivalente a 165

30= 5,5 mg/g. Assim, a equação linear que repre-

senta a situação descrita equivale a

11,02x + 5,5y = 1 212 mg e para x = 100 gramas, tem-se

5 5 1 212 11 02 1005 5

, ,,

y y= − ⋅ ⇒ = = 110

20 gramas.

Logo, conclui-se que a pessoa ingeriu 1 102 mg de sódio oriundos da salsicha e 110 mg de sódio por parte do requeijão.

( E ) Interpretou que x representa a quantidade de re-queijão e y, a quantidade de salsicha, em gramas. Concluiu que a equação linear é 5,5x + 11,02y = 1 212 e para x = 100, tem-se que y = 60 e que a pessoa ingeriu 550 mg de sódio oriundos da salsicha e 662 mg de sódio vindos do requeijão.


Habilidade ENEM: 22 – Utilizar conhecimentos algébri-cos/geométricos como recurso para a construção de argumentação.




Comentários: ( A ) Obteve a razão entre o número de arestas e o nú-

mero de vértices, que equivale a 30

12

5

2= .

( B ) Obteve a razão entre o número de faces e o núme-

ro de vértices, que equivale a 20

12

5

3= .

( C ) Obteve a razão entre o número de faces e o núme-

ro de arestas, que equivale a 20

30

2

3= .

( D ) Obteve a razão entre o número de arestas e o nú-

mero de vértices, que equivale a 30

20

3

2= .

( E ) O poliedro da imagem é um icosaedro regular, pois tem 20 faces triangulares. Pela relação de Euler, tem-se que V + F = A + 2 12 + 20 = A + 2 A = 30. Logo, a razão entre o número de vértices e o núme-

ro de arestas equivale a 12

30

2

5= .






Comentários: ( A ) Ao elevar 7 ao quadrado, obteve 14, multiplicando esse

resultado por 1,73 e dividindo por 4, obteve 6,055 cm². Concluiu, então, que precisará de 121,1 cm² de papel.

( B ) Ao elevar 7 ao quadrado, obteve 14, multiplicando este resultado por 1,73 e dividindo por 2, obteve 12,11 cm². Concluiu que precisará de 242,2 cm² de papel.



( C ) Cada face do icosaedro é um triângulo equilátero de lado igual a 7 cm. Assim, a área de cada um desses

triângulos é dada por l

cm2

23

4

61 2

4= =,

21,1925 e

a pessoa precisará de 423,85 cm² de papel.

( D ) Interpretou que a altura do triângulo equilátero também

é 7, concluindo que a área é igual a 49

224 5 2= , cm ,

assim precisará de 490 cm² de papel.

( E ) Interpretou que a área de cada triângulo equilátero

é dada por l

cm2

23

2 2= =84,77

42,385 , concluin-

do que precisará de 847,7 cm².






Comentários: ( A ) Ao elevar 4 ao quadrado, obteve 8, multiplicando

este resultado por 1,73 e dividindo por 4, obtendo 3,46 cm² e concluindo que precisará de 27,68 cm² de papel.

( B ) Ao elevar 4 ao quadrado, obteve 8, multiplicando este resultado por 1,73 e dividindo por 3, obtendo 4,61 cm² e concluindo que precisará de 36,88 cm² de papel.

( C ) Cada face do octaedro é um triângulo equilátero de lado igual a 4 cm. Assim, a área de cada um desses

triângulos é dada por l

cm2

23

4 4= =27,68

6,92 e a

pessoa precisará de 55,36 cm² de papel.

( D ) Interpretou que a altura do triângulo equilátero tam-

bém é 4, concluindo que a área é igual a 16

28 2= cm ,

e que precisará de 64 cm² de papel.

( E ) Interpretou que a área de cada triângulo equilátero

é dada por l

cm2

23

2 2= =27,68

13,84 , concluindo

que precisará de 110,72 cm².






Comentários: ( A ) Obteve apenas a expressão que representa o vo-

lume de uma pirâmide de base quadrada (metade do octaedro)

( B ) Interpretou que a altura de cada pirâmide também equivale a x, concluindo que a expressão solicitada

é igual a V x= ⋅1

33

.

( C ) Interpretou que a altura de cada pirâmide também equivale a x e obteve a expressão que representa o volume de apenas uma pirâmide (metade do octaedro), concluindo que a expressão solicitada é

igual a V x= ⋅1

63

.

( D ) Interpretou que a altura da pirâmide equiva-

le a x 3

2 e concluiu que o volume é dado por

V x= ⋅ ⋅1

333

.

( E ) O volume do octaedro corresponde ao vo-lume de duas pirâmides de base qua-drada e de altura h, em que h equivale a

x hx

xx

hx2 2

2

22

222

2

2

4

2

4= +

⇒ − = ⇒ = ⇒

h hx2 2

2= ⇒ = .



Logo, o volume V do octaedro em função da medi-da da aresta x equivale a

V xx

x= ⋅ ⋅ ⋅

= ⋅ ⋅2

1

3

2

2

1

322 3

.


Habilidade ENEM: 19 – Identificar representações algé-bricas que expressem a relação entre grandezas.




Comentários: ( A ) Interpretou que o comprimento de uma circunferên-

cia é dado por C = . Para a circunferência represen-tada pelo maior círculo, concluiu que C = 3,14∙15,5 = = 48,67 cm.

( B ) Obteve o comprimento da circunferência represen-tada pelo menor disco mencionado, que equivale a C = 53,38 cm.

( C ) O comprimento de uma circunferência é dado por C = 2 r. A circunferência representada pelo maior dis-co tem raio de 15,5 cm. Logo, C = 2∙3,14∙15,5 = 97,34 cm.

( D ) Obteve o comprimento da circunferência represen-tada pelo menor disco mencionado, interpretando que o raio desse círculo mede 17 cm e concluindo que C = 106,76 cm.

( E ) Interpretou que o raio é igual a 31 cm, concluindo que C = 194,68 cm.






Comentários: ( A ) Interpretou que o raio do círculo representado pelo

menor disco mede 17 cm e que o raio do círculo re-presentado pelo maior disco mede 31 cm, concluin-do que a diferença entre as áreas é igual a

31 3 14 17 3 14 3 14 961 2892 2⋅ − ⋅ = ⋅ −( ) =, , , 2 110,08 cm².

( B ) Obteve apenas a área do círculo representado pelo maior disco, que equivale a aproximadamente 754 cm².

( C ) Interpretou que a diferença procurada corresponde à área do círculo cujo raio equivale a 31 – 17 = 14 cm e concluiu que C = 615,44 cm².

( D ) A área do círculo representado pelo maior disco

equivale a A cmmaior = ⋅( ) =3 14 15 52 2, , 754,385 .

A área do círculo representado pelo menor disco

equivale a A cmmenor = ⋅( ) =3 14 8 52 2, , 226,865 .

Logo, a diferença procurada equivale a 754 – 227 = 527 cm².

( E ) Obteve apenas a área do círculo representado pelo me-nor disco, que equivale a aproximadamente 227 cm².






Comentários: ( A ) Obteve apenas o volume da caixa, que equivale a

11 520 cm³.

( B ) Obteve apenas o volume ocupado pelas 15 latas, que equivale a 9 043,2 cm³.

( C ) Obteve apenas o volume da caixa fazendo 20 ∙ 12 ∙ 12 = 2880 cm³.

( D ) O volume do paralelepípedo equivale a 24 ∙ 40 ∙ 12 = = 11 520 cm³. O volume das 15 latas é dado por 15 ∙ 3,14 ∙ 16 ∙ 12 = 9 043,2 cm³. Logo, o volume da caixa que não será ocupado pelas latas equivale a 11 520 – – 9 043,2 = 2 476,8 cm³.



( E ) Interpretou que o comprimento da caixa equivale a 20 cm e a largura mede 12 cm. Concluiu que o volume da caixa é igual a 20 ∙ 12 ∙ 12 = 2 880 cm³, que o volume ocupado pelas 15 latas corresponde a 15 ∙ 3,14 ∙ 4 ∙ 12 = 2 260,8 cm³ e que o volume da cai-xa que não será ocupado pelas latas corresponde a 619,2 cm³.






Comentários: ( A ) Obteve a porcentagem do volume do cilindro em

relação ao volume total do paralelepípedo, obtendo 94 2

1 0800 087 8 7

,, , %= = .

( B ) Obteve a razão entre a área da base do ci-lindro e a área da base do prisma, obtendo 12,56

720 174 17 4= =, , % .

( C ) O volume do cilindro é equivalente a V = 4∙3,14∙15=188,4 cm³. O volume do sólido obtido a partir do paralelepípedo retângulo, após a extração do cilindro, equivale a 8 ∙ 9 ∙ 15 – 188,4 = 1 080 – – 188,4 = 891,6 cm³. Logo, a razão r entre o volume do cilindro e o volume do sólido obtido a partir do paralelepípedo retângulo, após a extração, equivale

a aproximadamente 188 4

891 621 13

,

,, %= =0,2113 .

( D ) Interpretou que o percentual equivale a

10094 2

985 8100%

,

,% %− = − =0,095 90,5 .

( E ) Interpretou que o percentual equivale a

10094 2

1 080100 0 087 100%

,% , % ,− = − = − =

8 7% , % %− = 91,3 .






Comentários: ( A ) Calculou 5! = 120.

( B ) Calculou 5

2 5

260C = =

!

!

( C ) Calculou 6

3 6

3 320C = =

!

! !.

( D ) De acordo com as informações, as soluções são ob-

tidas calculando 5

2 5

2 310C = =

!

! !.

( E ) Calculou 3! = 6.





Anotações



Anotações



Anotações

CARTÃO-RESPOSTA

SIMULADO ENEM 2016 – 2.a SÉRIE – VOLUME 2

MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS

GABARITO

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23

A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A

B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B

C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C

D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D

E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E

24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45

A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A

B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B

C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C

D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D

E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E

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Simulado - Colégio Sete de Setembrocolegiosete.com.br/arquivos/2016/ensino_medio/gabarito...ao ano de 2010, obtendo 38 172 33 3! = 35 948. Competência ENEM: 1 – Construir significados