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Universidade Federal do Rio de Janeiro
Escola Politécnica
Departamento de Eletrônica e de Computação
Simulação de Efeitos Eletromagnéticos
Autor:
_________________________________________________
José Vitor Delgado Leite
Orientador:
_________________________________________________
Prof. Ricardo Rhomberg Martins, DSc.
Examinador:
_________________________________________________
Leonardo Alvim Muricy
Examinador:
_________________________________________________
Prof. Felipe Maia Galvão França, PhD.
DEL
Fevereiro de 2014
ii
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO
Escola Politécnica – Departamento de Eletrônica e de Computação
Centro de Tecnologia, bloco H, sala H-217, Cidade Universitária
Rio de Janeiro – RJ CEP 21949-900
Este exemplar é de propriedade da Universidade Federal do Rio de Janeiro, que
poderá incluí-lo em base de dados, armazenar em computador, microfilmar ou adotar
qualquer forma de arquivamento.
É permitida a menção, reprodução parcial ou integral e a transmissão entre
bibliotecas deste trabalho, sem modificação de seu texto, em qualquer meio que esteja
ou venha a ser fixado, para pesquisa acadêmica, comentários e citações, desde que sem
finalidade comercial e que seja feita a referência bibliográfica completa.
Os conceitos expressos neste trabalho são de responsabilidade do(s) autor(es) e
do(s) orientador(es).
iii
DEDICATÓRIA
Dedico este trabalho a minha família, que esteve sempre ao meu lado ao longo de
todos os anos da minha vida.
A meus pais, José Luiz e Maria Esther, que sempre me deram muito amor e
carinho, apoiaram minhas escolhas e serviram como exemplos, além de me
proporcionarem uma excelente educação e diversas oportunidades de crescimento.
A minha irmã Mariana, minha amiga e a quem admiro muito.
A Helena, minha companheira, meu amor e minha melhor amiga, que sempre
esteve comigo nos melhores momentos e também nas situações mais adversas.
E a minhas avós, Suzette e Carlinda, que contribuíram diretamente na minha
formação como pessoa, sempre com um amor incondicional, e que sempre torceram pela
realização das minhas conquistas. Vocês estão no meu coração.
iv
AGRADECIMENTO
Registro meus agradecimentos a todos os que compartilharam comigo mais esse
percurso de minha vida, contribuindo, direta e indiretamente, para que eu realizasse a
minha graduação no ensino superior.
Agradeço ao meu orientador, o professor Ricardo Rhomberg, cujos ensinamentos
serviram como inspiração para este trabalho e que me incentivou e guiou ao longo de
todo o desenvolvimento desse projeto, cedendo também seu tempo e material.
A toda equipe da Inovax, em especial ao meu chefe João Carlos Ribeiro, pelo
apoio e toda estrutura proporcionada para execução do projeto, e ao meu colega
Leonardo Muricy, pela amizade e a ajuda prestada para o trabalho.
A equipe da ESSS, Juliano e Jefferson, que transmitiram seus conhecimentos
sobre modelagem eletromagnética e me deram todo o treinamento e suporte necessário
para realizar as simulações presentes no trabalho.
Aos meus colegas da universidade, que ao longo de todos esses anos de
graduação foram como uma família, nas horas de estudo, nas conversas pelo campus e
nos momentos de diversão. Em especial, aos amigos Eduardo, Felipe, Guilherme, Héron,
João, Leon, Leonardo, Rafael, Silvino, Tiago e Vitor.
A todos, muito obrigado.
v
RESUMO
O presente trabalho visa elucidar as vantagens das simulações computacionais
de modelos eletromagnéticos, revisando a teoria por trás dos métodos de resolução de
problemas da área e demonstrando casos aplicados de simulações de efeitos
eletromagnéticos.
O primeiro problema proposto é a resolução da equação integral de Hallen, a
qual descreve a distribuição de corrente ao longo de um dipolo. O Método dos
Momentos é, então, apresentado como uma poderosa ferramenta matemática de solução
da equação. Sob a perspectiva de modelagem computacional, o Método dos Elementos
de Contorno é introduzido como o modelo que se utiliza do Método dos Momentos para
resolver questões eletromagnéticas.
Em seguida, o mesmo problema é tratado por outra técnica, o Método dos
Elementos Finitos, modelo matemático muito utilizado também na área de engenharia
de estruturas e mecânica dos fluídos.
Por fim, o trabalho contempla a solução a partir de um método híbrido, o qual
reúne as vantagens de cada modelo. São apresentados exemplos de simulações
eletromagnéticas realizadas com o software HFSS, da Ansys. Os primeiros modelos são
de ensaios básicos, como a irradiação de uma antena dipolo e uma microstip.
Posteriormente, são ilustrados exemplos práticos de situações mais complexas.
Palavras-Chave: Método dos Momentos, Método dos Elementos Finitos, Simulação
Eletromagnética.
vi
ABSTRACT
The present work aims to elucidate the advantages of computer simulations of
electromagnetic modeling, reviewing the theory behind the methods for solving
problems for this area and demonstrating applied cases of simulations of
electromagnetic effects.
The first problem is proposed solving the integral Hallen equation, which
describes the current distribution along a dipole. The Method of Moments is then
presented as a powerful mathematical tool for solving the equation. From the
perspective of computational modeling, the Boundary Element Method is introduced as
the model that uses the Method of Moments to solve electromagnetic issues.
Then, the same problem is dealt by another technique, the Finite Element
Method, mathematical model widely used also in structural engineering and fluid
mechanics area.
Finally, the work describes the solution from a hybrid method, which combines
the advantages of each model. Examples of electromagnetic simulations with HFSS
software from ANSYS are presented. The first models are basic, such as irradiation of a
dipole antenna and a microstip. Afterwards, practical examples for more complex
situations are illustrated.
Key-words: Method of Moments, Finite Element Method, Electromagnetic Simulation.
vii
SIGLAS
MEC – Método dos Elementos de Contorno
MEF – Método dos Elementos Finitos
ANATEL – Agência Nacional de Telecomunicações
HFSS – High Frequency Structural Simulator
viii
Índice
Capítulo 1 ......................................................................................................................... 1
Introdução ......................................................................................................................... 1
1.1 – Tema .................................................................................................................... 1
1.2 – Delimitação .......................................................................................................... 1
1.3 – Justificativa .......................................................................................................... 1
1.4 – Objetivos .............................................................................................................. 2
1.5 – Metodologia ......................................................................................................... 2
1.6 – Descrição ............................................................................................................. 2
Capítulo 2 ......................................................................................................................... 4
Equação de Hallen ............................................................................................................ 4
2.1 – Base Teórica ........................................................................................................ 4
2.2 – Análise do Modelo da Antena Dipolo ................................................................. 5
2.3 – Formulação da Equação de Hallen ...................................................................... 8
Capítulo 3 ....................................................................................................................... 15
Solução da equação de Hallen pelo Método dos Momentos .......................................... 15
3.1 – Conceito ............................................................................................................. 15
3.2 – Método da Colocação ........................................................................................ 17
3.3 – Método dos Elementos de Contorno (MEC) ..................................................... 20
Capítulo 4 ....................................................................................................................... 22
Solução da Equação de Hallen pelo Método dos Elementos Finitos ............................. 22
4.1 – Conceito ............................................................................................................. 22
4.2 – Base Matemática da Solução ............................................................................. 24
4.3 – Discretização do Problema ................................................................................ 26
4.4 – Um Caso Particular: Partição Regular do Intervalo .......................................... 30
Capítulo 5 ....................................................................................................................... 32
Modelo Computacional de Simulações e Exemplos Básicos ......................................... 32
5.1 – O Modelo Híbrido MEF/MEC .......................................................................... 32
5.2 – Simulações de uma Antena Dipolo ................................................................... 33
5.3 – Simulações de uma Antena Microstrip .............................................................. 36
Capítulo 6 ....................................................................................................................... 39
Exemplos de Simulações Aplicadas ............................................................................... 39
ix
6.1 – Efeitos de uma Peça de Grafite na Irradiação de uma Antena Microstrip ........ 39
6.2 – Compatibilidade Eletromagnética e Segurança Elétrica de uma Unidade
Retificadora ................................................................................................................ 42
Capítulo 7 ....................................................................................................................... 49
Conclusão ....................................................................................................................... 49
Capítulo 8 ....................................................................................................................... 50
Bibliografia ..................................................................................................................... 50
x
Lista de Figuras
Figura 2. 1: Modelo do Dipolo ......................................................................................... 6
Figura 2. 2: (a) Dipolo de Meia Onda (b) Dipolo de Onda Completa .............................. 9
Figura 2. 3: Função simétrica em relação à origem ........................................................ 10
Figura 2. 4: Representação da derivada das funções inicialmente propostas ................. 10
Figura 2. 5: Representação da função - sen|z| ................................................................. 11
Figura 2. 6: Função simétrica em relação à origem reposicionada horizontalmente para
melhor visualização ........................................................................................................ 12
Figura 2. 7: Primeira derivada da função anterior .......................................................... 13
Figura 2. 8: Segunda derivada da função inicial ............................................................ 13 Figura 3. 1: Pulsos de amplitude constante .................................................................... 17
Figura 3. 2: Pulsos aproximando uma distribuição senoidal de corrente ....................... 17
Figura 3. 3: Pontos de aplicação ..................................................................................... 18
Figura 3. 4: Teorema da Equivalência ............................................................................ 21 Figura 4. 1: Modelo 3D discretizado em tetraedros de uma antena microstrip com
pedaço de grafite acoplado a sua lateral ......................................................................... 23
Figura 4. 2: Aproximação de uma função suave por outra linear por partes. Quanto
menor a norma da partição, melhor a aproximação........................................................ 27
Figura 4. 3: Gráfico da função φj da base B ................................................................... 28 Figura 5. 1: Modelo da antena dipolo ............................................................................. 33
Figura 5. 2: Blocos inseridos no modelo que definem as regiões de solução para cada
método ............................................................................................................................ 34
Figura 5. 3: Diagrama de irradiação da antena dipolo .................................................... 35
Figura 5. 4: Diagrama 3D da irradiação da antena dipolo .............................................. 36
Figura 5. 5: Modelo da antena microstrip ...................................................................... 36
Figura 5. 6: Blocos que definem as regiões de solução para cada método..................... 37
Figura 5. 7: Diagrama de irradiação da antena microstrip ............................................. 38
Figura 5. 8: Diagrama 3D de irradiação da antena microstrip........................................ 38 Figura 6. 1: Modelos da antena com a peça de grafite lateral, a 50mm acima e a 350mm.
........................................................................................................................................ 39
Figura 6. 2: Diagramas de irradiação para os três casos de localização do grafite. Cada
traço descreve o resultado para um determinado tamanho da peça. ............................... 40
xi
Figura 6. 3: Visualização dos campos elétricos para cada caso ..................................... 41
Figura 6. 4: Modelo 3D da placa de circuito impresso ................................................... 42
Figura 6. 5: (a) Modelo da placa com o gabinete do produto; (b) Modelo com a antena
bicônica a 1 metro de distância; (c) Modelo com a ponta de aplicação de sinal
diretamente no gabinete. ................................................................................................. 43
Figura 6. 6: Campos eletromagnéticos ao longo da placa .............................................. 44
Figura 6. 7: Análise de emissões conduzidas ................................................................. 44
Figura 6. 8: Emissões irradiadas pela placa .................................................................... 45
Figura 6. 9: Análise de emissões radiadas com ruído de 1MHz..................................... 45
Figura 6. 10: Análise de emissões radiadas com ruído de 1GHz ................................... 46
Figura 6. 11: Irradiações emitidas pela antena em direção à placa ................................ 46
Figura 6. 12: Análise de imunidade a emissões radiadas na porta de shutdown ............ 47
Figura 6. 13: Análise de imunidade a surtos. ................................................................. 47
Figura 6. 14: Análise de imunidade a descargas eletroestáticas ..................................... 48
xii
Lista de Tabelas
Tabela 5. 1: Projeto da antena dipolo ............................................................................. 33
Tabela 5. 2: Projeto da antena microstrip ....................................................................... 37
1
Capítulo 1
Introdução
1.1 – Tema
Este trabalho visa demonstrar simulações de efeitos eletromagnéticos em geral,
seja a propagação de ondas eletromagnéticas irradiadas por uma antena ou as
perturbações que uma placa de circuito impresso pode sofrer na presença de um campo
eletromagnético induzido por ações externas. Para fundamentação dos modelos de
simulação, serão revisados dois métodos de resolução de problemas eletromagnéticos: o
método dos momentos e o método dos elementos finitos. Para comprovar a
aplicabilidade das análises, ambos serão utilizados para solucionar a equação integral de
Hallen, a qual descreve a distribuição de corrente ao longo de um dipolo. Com auxílio
de recursos computacionais que utilizam os métodos citados, serão apresentados os
resultados de simulações de irradiações e interferências eletromagnéticas.
1.2 – Delimitação
O estudo se limita a apresentar, por meio de simulações computacionais, a
propagação de ondas eletromagnéticas pelo ar e a interferência causada em circuitos
eletrônicos. As propagações através de outros meios de condução e os efeitos sobre
objetos de modo geral não serão contempladas pelo estudo.
1.3 – Justificativa
No contexto atual, a simulação computacional é fundamental em qualquer
projeto eletrônico, seja um produto empresarial, seja um estudo acadêmico. Ela é capaz
de otimizar todo o processo de desenvolvimento, uma vez que permite testar o projeto
antes da montagem em si, o que reflete em uma economia de custo, tempo e recursos. O
presente trabalho busca demonstrar as vantagens de realizar simulações de efeitos
2
eletromagnéticos em produtos cujo desempenho pode ser afetado por interferências
externas. Por exemplo, para uma empresa que desenvolve um produto eletrônico é
importante garantir que o projeto é imune a perturbações eletromagnéticas, bem como
não seja um causador de interferências prejudiciais. Além disso, o projeto é uma
complementação dos estudos a cerca da modelagem de propagações e interferências
eletromagnéticas, uma área de extrema importância no campo de telecomunicações.
1.4 – Objetivos
O objetivo geral é, então, mostrar a importância de simulações eletromagnéticas,
a partir de suas bases teóricas, e os benefícios que ela pode trazer para um projeto
eletrônico. Desta forma, tem-se como objetivos específicos: (1) apresentar e rever a
teoria por trás dos métodos matemáticos de solução de equações eletromagnéticas,
como a de Hallen, e; (2) apresentar exemplos de casos simulados demonstrando a
importância dos métodos e a eficácia computacional dos recursos de simulação.
1.5 – Metodologia
A metodologia do projeto se baseia na fundamentação teórica dos modelos
utilizados por simuladores eletromagnéticos e na aplicação de simuladores profissionais
para apresentar exemplos empregados na prática.
1.6 – Descrição
Este trabalho contempla no capítulo 2 a definição da equação de Hallen, a qual
permite descobrir a distribuição de corrente num dipolo em função da tensão ligada nos
seus terminais. Ela é de extrema importância para comprovar a funcionalidade dos
métodos matemáticos utilizados para resolução das equações de propagações
eletromagnéticas. Um pouco da base da Teoria Eletromagnética é mostrada no capítulo
para podermos alcançar a equação de Hallen.
No capítulo 3 é demonstrada a resolução da equação de Hallen utilizado um
modelo matemático denominado de Método dos Momentos. Ao final do capítulo é
3
apresentado o conceito do Método dos Elementos de Contorno, capaz de modelar uma
superfície eletromagnética para resolvê-la.
A mesma demonstração da resolução da equação de Hallen é apresentada no
capítulo 4, porém com a aplicação do Método dos Elementos Finitos.
O capítulo 5 introduz o conceito do método híbrido, o qual reúne as vantagens
dos métodos descritos nos capítulos anteriores em busca de uma resolução mais
eficiente. Além disso, o capítulo contém exemplos de simulações básicas de uma antena
dipolo e de uma antena microstrip, ambas realizadas com uma ferramenta
computacional de modelagem eletromagnética que utiliza justamente a técnica híbrida
de resolução.
Exemplos de simulações aplicadas são, então, exibidos no capítulo 6, o qual
contém dois casos mais complexos: (1) a exploração dos efeitos de um pedaço de
grafite em torno do campo eletromagnético gerado por uma antena microstrip, e; (2) a
verificação da compatibilidade eletromagnética e da segurança elétrica de uma unidade
retificadora.
Por fim, o capítulo 7 encerra o trabalho com a conclusão do projeto.
4
Capítulo 2
Equação de Hallen
2.1 – Base Teórica
A Teoria Eletromagnética clássica é baseada nas equações de Maxwell (2.1), um
conjunto de equações diferenciais parciais que determinam os campos produzidos por
fontes de carga e corrente. A partir de tal conjunto de equações podemos encontrar a
denominada equação de onda (2.2), a qual descreve a propagação das ondas
eletromagnéticas em um meio linear [1]. O presente trabalho não visa se aprofundar
nesta parte da Teoria Eletromagnética, uma vez que tal conteúdo encontra-se em uma
vasta literatura.
{
(2.1)
(2.2)
Considerando a equação de onda citada acima e incluindo as fontes dos campos
é possível obter uma solução para a equação e determinar os campos produzidos. O
procedimento mais usual para resolver o problema é através da definição de um
Potencial Vetor A, que seria um o campo cujo rotacional é o campo magnético. Trata-se
de um modelo puramente matemático, porém que é aplicável para este problema. Da
mesma forma, o tipo de fonte de campo utilizada para se obter a solução é usualmente
uma antena dipolo infinitesimal.
Realizando manipulações algébricas das equações básicas de eletromagnetismo,
chegamos a uma equação que expressa a equação de onda para o potencial vetor A,
descrita a seguir em (2.3).
5
(2.3)
Mais uma vez fazendo cálculos e substituições matemáticas, é possível encontrar
uma equação que calcula o Potencial Vetor A irradiado pelo dipolo.
(
) (2.4)
Ao estendermos o caso do dipolo infinitesimal para um caso de dipolo longo e
fino e, também, admitindo uma distribuição de corrente ao longo do mesmo, podemos
calcular os campos por ele irradiados a partir da equação a seguir.
∫
(2.5)
O problema para resolver esta fórmula é conhecer a distribuição real de corrente
ao longo do dipolo. Existem metodologias que aproximam esta distribuição para uma
função conhecida (senoidal, por exemplo) e são capazes de calcular de forma eficiente
os efeitos do dipolo em regiões distantes, sendo possível gerar um diagrama de
irradiação bastante próximo do que é encontrado experimentalmente.
Porém, também é de extrema importância saber com mais precisão a
distribuição de corrente ao longo do comprimento do dipolo. Com essa informação
podemos definir os campos irradiados pelo dipolo em regiões próximas a ele ou até
mesmo sobre sua superfície. Dessa maneira somos capazes de encontrar características
importantes de uma antena, como sua impedância de entrada. Para tal, bastaria dividir a
tensão aplicada no ponto de entrada pela corrente encontrada no mesmo ponto.
2.2 – Análise do Modelo da Antena Dipolo
Para chegarmos até a equação de Hallen, precisamos primeiramente escrever
uma equação diferencial cuja incógnita seja a distribuição de corrente no dipolo. A
corrente será definida em função da tensão de entrada da antena, a qual chamaremos de
Vg, como se houvesse um gerador aplicando este valor de tensão nesta região sem o uso
de uma linha de transmissão.
6
O modelo do dipolo representado na figura a seguir será utilizado para
desenvolver o raciocínio até a definição da equação final. Trata-se de um tubo inteiriço
de condutor perfeito cujo comprimento varia de –l0 a +l0. Mesmo sabendo pelos
conceitos da Teoria Eletromagnética que não pode haver campo elétrico em um
condutor perfeito, podemos dizer que a fonte Vg tenta gerar um campo na região em que
a antena é alimentada. Caso fosse considerado uniforme, o campo teria valor Vg/b,
sendo b a distância entre os dois pontos no quais é aplicada a tensão.
Figura 2. 1: Modelo do Dipolo
Como a fonte tenta gerar um campo elétrico em uma região na qual ele não pode
existir, podemos afirmar que o condutor perfeito irá criar um campo de mesmo modulo
e sentido contrário, ou seja, -Vg/b. Logo, este campo elétrico contrário será gerado entre
os pontos –b/2 e +b/2 justamente pela corrente que buscamos. Isso significa que a
equação (2.6) pode ser determinada.
∫ (2.6)
Vale ressaltar que nos demais pontos da antena a corrente não cria qualquer tipo
de campo elétrico, uma vez que não há uma tensão sobre tais pontos tentando gerar um
campo. Portanto, as condições de contorno que utilizaremos são estas definidas pelos
pontos onde a tensão do gerador é aplicada, ou seja, entre os pontos –b/2 e +b/2.
O objetivo agora é reduzir a distância b de modo que ela tenda a zero, o que
significa que a tensão Vg estaria sendo aplicada a um ponto apenas. Mas para que o
campo elétrico permaneça com valor igual a Eg, seria necessário transformar Vg em um
7
impulso com amplitude equivalente a Eg = Vg δ(z) 1. Portanto, no ponto onde é aplicada
a tensão de entrada Vg, que seria entre 0- e 0+, há um campo elétrico igual a Vg δ(z).
Podemos, então, concluir que o campo elétrico contrário criado como resposta pela
corrente no dipolo equivale a equação (2.7).
(2.7)
A resolução da equação de onda também se utiliza do conceito de Potencial
Escalar , da mesma forma como foi definido o Potencial Vetor A. A partir dessa
definição, os conceitos da Teoria Eletromagnética determinam as seguintes expressões.
(2.8)
(2.9)
Uma vez que a corrente circula apenas na direção z, podemos afirmar que o
potencial vetor A existe apenas para esta mesma direção. Logo, a equação (2.8) pode ser
escrita da seguinte forma, considerando apenas a direção z.
(2.10)
Isolando o potencial escalar na equação (2.9), obtemos (2.11).
(2.11)
Manipulando as expressões (2.10) e (2.11), teremos a seguinte.
(2.12)
1 Um impulso espacial possui as mesmas características que o impulso no tempo δ(t):
existe apenas para z = 0 e sua integral entre 0 – e 0 + vale 1.
8
Como não existe a possibilidade de haver uma variação do campo Az que não
seja na direção z, tanto o divergente quanto o gradiente de Az se reduzem a sua derivada
em relação a z, nos restando uma derivada de segunda ordem.
(2.13)
Aplicando, então, a equação (2.7) sobre a (2.13), obtemos (2.14).
(2.14)
Multiplicando ambos os lados da expressão acima pelo denominador )( o oj ,
encontramos a equação (2.15), onde K2 = ω
2 μ0 ε0 (como na equação de onda).
(2.15)
Tal expressão é válida apenas em z igual a zero, enquanto que para outros
pontos do espaço essa relação é diferente. Nos demais pontos da antena, o campo
elétrico é nulo uma vez que se trata de um condutor perfeito.
As equações (2.4) e (2.5) descritas no início deste capítulo são encontradas a
partir da suposição de uma solução exponencial. Como citado, ambas expressões
solucionam a equação de onda para A, porém não definem a distribuição de corrente de
forma tão precisa. A solução que será apresentada a seguir para chegarmos até a
equação de Hallen admitirá uma solução senoidal.
2.3 – Formulação da Equação de Hallen
A solução a partir de uma função senoidal parece natural ao considerarmos que a
distribuição de corrente num dipolo se dá a partir da distribuição de corrente na linha
que o alimenta, no caso senoidal. Consequentemente, a distribuição do potencial vetor
A segue a corrente do dipolo. A Figura 2.2 representa dois casos de dipolos nos quais a
9
solução mais provável para a distribuição de corrente é admitir uma soma de senoides
que se aproximem das formas apresentadas.
(a) (b)
Figura 2. 2: (a) Dipolo de Meia Onda (b) Dipolo de Onda Completa
Como estamos considerando o caso de um dipolo colocado simetricamente no
sistema de coordenadas, a corrente que passa por ele também será necessariamente
simétrica. Como consequência, o potencial vetor A também é simétrico em relação à
origem do sistema. Logo, a solução deve ser necessariamente simétrica. Como a função
seno não o é, inicialmente escreveremos uma solução para z < 0 e outra para z > 0.
para z < 0
e (2.16)
para z > 0
A antena dipolo é um objeto contínuo, logo, a função Az deve ser contínua para
todo z entre +l0 e –l0. Isso significa que deve haver continuidade da função na origem do
sistema de coordenadas, como ilustra a Figura 2.3. Na origem, onde z = 0, temos que
sen(Kz) = 0 e cos(Kz) = 1. Portanto, em torno da origem, podemos simplificar as
expressões e chegar a conclusão abaixo.
para z -
e logo, (2.17)
para z +
10
Figura 2. 3: Função simétrica em relação à origem
O próximo passo é encontrar uma relação semelhante entre C2 e C4. Se
derivarmos ambas as funções propostas e, em seguida, avaliarmos em torno da origem
mais uma vez, obtemos (2.18).
para z < 0
e
para z > 0
Portanto,
para z = 0 -
e (2.18)
para z = 0+
Lembrando que a função é simétrica em relação à origem, podemos afirmar que
as derivadas devem possuir sinais opostos, como mostra a figura abaixo. Assim
encontramos uma relação entre C2 e C4, a qual seria C4 = - C2.
Figura 2. 4: Representação da derivada das funções inicialmente propostas
11
Definimos, então, importantes relações entre as constantes das funções que
expressam Az como uma soma de senoides. Isso nos permite escrever as expressões da
seguinte maneira.
para z < 0
e (2.19)
para z > 0
Podemos fazer a seguinte simplificação, ilustrada na Figura 2.5, a qual resulta na
equação (2.20). Temos a representação de Az em apenas uma expressão.
{
para todo z (2.20)
Figura 2. 5: Representação da função - sen|z|
12
Em seguida, vamos encontrar o valor da constante C2 integrando ambos os lados
da equação (2.15), sendo 0- e 0+ os limites de integração, ou seja, a região onde está
sendo aplicada a tensão de entrada.
∫
∫
∫
Que pode ser reduzido para:
|
|
, pois K e Az(0) são finitos (2.21)
Como determinado anteriormente na equação (2.18) {
.
Logo, substituindo em (2.21) conseguimos achar a constante C2.
Lembrando que √ , obtemos a equação (2.22).
√ √
(2.22)
Figura 2. 6: Função simétrica em relação à origem reposicionada horizontalmente para melhor
visualização
13
Figura 2. 7: Primeira derivada da função anterior
Figura 2. 8: Segunda derivada da função inicial
Com esse valor obtido para C2, somos capazes de escrever a equação que nos
permite encontrar o potencial vetor criado por um dipolo alimentado por uma fonte de
tensão Vg.
√
, para todo z (2.23)
Resgatando a expressão (2.5) e observando que o parâmetro l que representa o
comprimento do dipolo está disposto ao longo do eixo z, podemos substituí-lo por um
parâmetro z’2.
∫
∫
Portanto, igualando (2.5) com (2.23), obtemos a expressão (2.24).
∫
√
(2.24)
Ainda podemos melhorar o formato da expressão alcançada. Primeiramente,
dividimos ambos os lados por µ0 e ao lembrarmos que, segundo a Teoria
2 A linha ‘ é utilizada neste caso para distinguir a região em que há fontes de campo como é usual do
estudo de Antenas.
14
Eletromagnética, a impedância no espaço livre é igual a η = √
, reescrevemos a função
da seguinte maneira. Note que a constante C1 foi substituída pela constante C, a qual
equivale a C = C1/µ0.
∫
Equação de Hallen
Esta é a equação que vínhamos buscando, a qual nos permite descobrir a
distribuição de corrente num dipolo em função da tensão ligada nos seus terminais. Se
multiplicarmos os dois lados por 4 e em seguida considerarmos que é igual a 120,
podemos escrever a Equação de Hallen como na equação (2.25).
∫
(2.25)
Essa expressão não pode ser solucionada analiticamente, o que nos obriga a
encontrar uma solução numérica para o problema. A constante C será determinada pelo
método numérico a ser empregado na solução da equação. Os próximos capítulos são
acerca da resolução dessa equação a partir de métodos matemáticos conhecidos como
Método dos Momentos e Métodos dos Elementos Finitos.
15
Capítulo 3
Solução da equação de Hallen pelo
Método dos Momentos
3.1 – Conceito
O Método dos Momentos é na realidade uma família de métodos utilizados para
resolver diversos tipos de equações que envolvem operações lineares, incluindo
equações integrais e diferenciais. Na década de 60, R.F. Harrington [2] e outros
aplicaram esta técnica para solucionar problemas de campos eletromagnéticos.
Este modelo numérico possui várias aplicações além dos modelos
eletromagnéticos, porém é visto com grande frequência na resolução de fórmulas
derivadas das equações de Maxwell, como é o caso da equação de Hallen, cuja solução
numérica é extremamente complexa.
A seguir, vamos nos restringir a uma análise conhecida como método da
colocação, o qual faz parte da família do Método dos Momentos. Esta técnica permite a
resolução de equações lineares da seguinte forma.
{ } (3.1)
Onde L{ } é um operador linear conhecido, h é uma função de entrada também
conhecida e g(z’) é a resposta a ser encontrada. No caso da equação de Hallen descrita
no capítulo anterior, o operador L{ } é a integral, a função h representa toda a expressão
do lado direito da equação e g(z’) é a corrente procurada (I(z’)).
O primeiro passo proposto pelo Método dos Momentos é substituir a função
incógnita (g(z’)) por um somatório de funções conhecidas, uma vez que a linearidade do
operador permite fazê-lo. Assim, obtemos a expressão (3.2).
16
∑
(3.2)
Cada constante Cn expressa no somatório de funções acima é uma incógnita, a
qual descreve a amplitude de um determinado termo da série. Sob este aspecto, apenas
mudamos a natureza do problema. Agora, ao invés de buscarmos por uma função g(z’),
temos que encontrar o valor de N escalares desconhecidos.
A quantidade N de incógnitas determinará o esforço computacional exigido para
solucionar o problema. Note que quanto maior este valor, mais termos teremos no
somatório, o que implica numa descrição mais precisa da função original g(z’).
Por outro lado, as funções gn(z’) que compõem o somatório são um conjunto de
funções conhecidas, podendo ser senos, cossenos, entre outras. Elas são denominadas
como funções de base e são escolhidas de modo que seja possível calcular todos os
L{gn(z’)}, assim restando determinar apenas as constantes Cn. O domínio compreendido
por elas é o mesmo de g(z’), o que no caso da equação de Hallen seria o comprimento
do dipolo, de –l0 a +l0.
Aplicando (3.2) em (3.1) e lembrando que o operador é linear, podemos escrever
a expressão (3.3).
∑ { }
(3.3)
Existem infinitas possibilidades para a escolha das funções de base. Para
facilitar o entendimento do método, podemos optar por pulsos unitários como as
funções bases a serem aplicadas na solução do problema.
Portanto, dividimos o domínio do problema em N partes iguais e para cada uma
delas atribuímos uma função do tipo pulso unitário. A Figura 3.1 mostra uma
representação gráfica de dois destes pulsos.
17
Figura 3. 1: Pulsos de amplitude constante
Segundo a teoria de antenas, a distribuição de corrente num dipolo de meia onda
alimentado por uma fonte senoidal deve ter também um formato de senóide. Assim,
esperamos que o resultado encontrado para a distribuição de corrente no dipolo após os
cálculos seja como representado na Figura 3.2. Isto é, teríamos uma série de pulsos cuja
amplitude varia ao longo do domínio de forma a se aproximar da distribuição senoidal.
Obviamente, quanto mais pulsos utilizados, mais a função se aproxima da forma real.
Figura 3. 2: Pulsos aproximando uma distribuição senoidal de corrente
Vale a pena lembrar que a equação de Hallen apresenta uma exponencial e-jKr
, o
que significa que estamos lidando com números complexos. Portanto, a Figura 3.2
apresenta apenas os módulos dos pulsos. Para cada um deles existe também um valor
de fase que determina o atraso do pulso em relação à referência de tempo do sistema.
Tal referência foi estabelecida quando assumimos um número puramente real para a
tensão Vg de alimentação do dipolo, ou seja, o atraso dos pulsos aumenta a medida que
nos afastamos da entrada da antena.
3.2 – Método da Colocação
Como visto anteriormente, o objetivo nesse momento é determinar as N
incógnitas do problema. Isso significa que precisamos montar um sistema composto por
N equações e resolvê-lo. O valor do campo elétrico ao longo da superfície do condutor
perfeito que constitui a antena é conhecido, portanto, podemos escolher N pontos e
18
determinar suas equações correspondentes. O sistema de equações para a resolução do
problema teria, então, a seguinte forma.
∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫ ∫ ∫
.
.
.
∫ ∫ ∫ ∫
A equação de Hallen obtida no capítulo anterior apresenta ainda uma constante,
denominada de C, a qual precisa também ser determinada. Para tal, é necessário
adicionar mais uma equação ao final do sistema, como mostra a expressão abaixo.
∫ ∫ ∫ ∫
A figura abaixo representa os (N + 1) pontos da superfície do dipolo necessários
para encontrar todas as constantes do sistema. Cada ponto ao longo do eixo z é um
ponto de aplicação.
Figura 3. 3: Somatório de pulsos nos pontos de aplicação
A Figura 3.3 também nos mostra que cada uma das equações do sistema é na
verdade o somatório dos efeitos de todos os pulsos em um mesmo ponto de aplicação,
onde Pi e Pj são exemplos de pulsos que se somam em um ponto comum ao longo de z.
19
A distância entre o pulso de cada parcela do somatório e o ponto em questão é dada pela
equação (3.4), sendo o ponto fonte definido por z‘.
√ (3.4)
O próximo passo para resolução da equação de Hallen é introduzir os seus
termos em cada uma das equações do sistema montado. Lembrando que a função h
representa todo o lado direito da expressão e que a constante C deve ser também
determinada, podemos passar o termo no qual a constante se encontra para o lado
esquerdo de cada equação.
∫
∫
∫
∫
∫
∫
.
.
∫
∫
∫
∫
∫
∫
( )
( | |)
Finalmente, podemos representar o sistema em uma forma matricial, sendo que
cada uma das funções gN é um pulso unitário de ZN-1 até ZN.
[ { }] [ ] [ ] (3.5)
Sendo,
[ { }]
[ ∫
∫
∫
∫
]
[ ] [ ]
[ ] [
( | |)]
20
Para resolver o sistema encontrando os valores das constantes, basta aplicar a
seguinte expressão (3.6).
[ ] [ { }] [ ] (3.6)
A estrutura matricial desse método indica que a solução do problema pode ser
encontrada com mais facilidade através de modelos computacionais. Em geral, os
algoritmos de resolução do Método dos Momentos geram e resolvem grandes matrizes
de equações e a maior parte dos recursos computacionais requisitados é direcionada a
preencher e solucionar tal matriz.
A escolha do formato das equações a serem resolvidas e das funções de base
deve ser feita com bastante critério, pois ela terá um grande impacto no tamanho da
matriz. Uma vez que a solução é representada como a soma das funções de base, é de
extrema importância que tais expressões descrevam com exatidão a solução com o
menor número possível de termos. Isso consequentemente afetará o tamanho do código
e o processamento computacional para resolver o modelo de uma dada geometria.
3.3 – Método dos Elementos de Contorno (MEC)
Muitos simuladores utilizam uma técnica de modelagem eletromagnética
conhecida como Método dos Elementos de Contorno (MEC), a qual se utiliza do
Método dos Momentos como modelo matemático para resolver problemas de correntes
eletromagnéticas na superfície de um objeto. A análise é feita a partir da representação
da geometria do problema como uma distribuição da corrente equivalente ao longo da
superfície.
Como mostra a Figura 3.4, o campo externo consiste de campos elétricos e
magnéticos que incidem, refletem e emanam do objeto limitado por uma determinada
superfície S. O Teorema da Equivalência [3] garante que podemos substituir o objeto
pelas correntes elétrica e magnética na fronteira e seu interior torna-se espaço livre,
assim como o exterior.
21
Figura 3. 4: Teorema da Equivalência
22
Capítulo 4
Solução da Equação de Hallen pelo
Método dos Elementos Finitos
4.1 – Conceito
O Método dos Elementos Finitos (MEF) é uma técnica matemática muito
utilizada em áreas das engenharias civil e mecânica para analisar problemas de materiais
e estruturas desde a década de 40. Apenas a partir da década de 60 é que tal modelo
passou a ser utilizado em problemas de eletromagnetismo. Inicialmente, o método era
aplicado somente na resolução de questões de eletroestática, porém mais tarde foram
exploradas soluções de problemas de alta-frequência em duas dimensões. Apenas na
década de 80 que apareceram os primeiros modelos de resolução de sistemas em três
dimensões [4].
Assim como o Método dos Elementos de Contorno, o Método dos Elementos
Finitos pode se utilizar de diferentes formulações matemáticas. No entanto, o primeiro
sempre lida com equações integrais, enquanto o segundo é empregado quase sempre na
resolução de equações diferenciais.
O conceito básico deste método é a divisão de todo o domínio do problema em
pequenos elementos (discretização espacial), ou seja, toda a região a ser analisada é
particionada em pequenas partes que serão resolvidas separadamente. Por exemplo, para
um problema em duas dimensões, toda a área que deve ser analisada é quebrada em
áreas menores, geralmente utilizando triângulos ou retângulos como base. Já para os
casos em três dimensões, as formas mais usuais são os tetraedros e paralelepípedos.
A Figura 4.1 apresenta um modelo de antena microstrip com um pedaço de
grafite acoplado a sua lateral – as simulações desse projeto serão abordadas num
próximo capítulo. A imagem ilustra todo o sistema particionado em tetraedros de
diferentes tamanhos, de acordo com a adaptação que o próprio simulador define.
Quanto menores as partes, mais os resultados se aproximam da solução real, porém isso
requer mais recursos computacionais.
23
Figura 4. 1: Modelo 3D discretizado em tetraedros de uma antena microstrip com pedaço de
grafite acoplado a sua lateral
Logicamente, o domínio deve ser finito e limitado. Solucionar modelos não
limitados, como em problemas de radiação, requer que seja definida uma região
composta por elementos especiais responsáveis por absorver toda a energia proveniente
do sistema. Tais elementos formam uma superfície denominada Superfície de Absorção.
Existem duas maneiras de aplicação do método. Na primeira, conhecida como
modelo escalar, as incógnitas a serem encontras são as três componentes ortogonais do
campo nos vértices de cada pequeno elemento, como o tetraedro por exemplo. Já o
modelo vetorial considera como incógnitas os campos das arestas dos elementos. Os
códigos utilizados no modelo escalar são mais simples, porém não aplicáveis para
modelos de onda completa, uma vez que podem apresentar muito mais erros
significantes e imprevisíveis ao resultado, diferente do modelo vetorial [4].
No caso da equação de Hallen, nossa função incógnita é aproximada mais uma
vez pela soma de funções lineares associadas com cada um dos pequenos elementos
finitos. Agora, ao invés de procurarmos a corrente ao longo do dipolo como um todo,
buscaremos seu valor em cada um dos elementos nos quais a antena foi particionada.
De um modo geral, as matrizes geradas pelos códigos do MEF são bem maiores
que as matrizes geradas pelo MEC considerando uma mesma geometria. Isso se dá pelo
fato de que discretizar todo o volume de uma região requer mais elementos do que
apenas uma superfície. Porém, as matrizes do MEF possuem muitos elementos simples,
como valores nulos ou apenas algarismos, ao invés de equações complexas. Isso
24
significa que, apesar de maiores, suas matrizes não necessariamente precisam de mais
recursos computacionais para resolver problemas do que as pequenas, mas densas,
matrizes geradas por códigos do MEC.
Os elementos que compõem as superfícies absorventes mencionadas
anteriormente foram formulados de diversas maneiras diferentes ao longo dos anos.
Eles foram desenvolvidos de forma bastante satisfatória no que se diz respeito à
formulação de problemas em 2D. Porém, para problemas em 3D, os elementos
absorventes funcionam bem apenas para determinados ângulos de incidência,
identificando a necessidade de posicionar os limites de contorno distantes de outras
estruturas [4].
Devido a esse problema foram criados códigos híbridos entre MEF e MEC, nos
quais o volume da região resolvida pelo MEF é limitado por superfícies solucionadas
pelo MEC, não sendo necessária a utilização de superfícies absorventes. Infelizmente, a
porção equivalente ao MEC pode gerar matrizes grandes e complexas, aumentando a
necessidade de melhores recursos computacionais. Falaremos mais a respeito do método
híbrido no próximo capítulo.
A grande vantagem que o Método dos Elementos Finitos traz para simulações
eletromagnéticas é a possibilidade de modelar geometrias mais complicadas e que são
formadas por diferentes materiais. As propriedades elétricas de cada elemento finito
podem ser definidas independentemente de outros, além do que eles podem ser maiores
ou menores de acordo com a necessidade da análise.
É oportuno lembrar que a equação de Hallen só é válida para estruturas
unidimensionais, como o dipolo. Vamos, portanto, limitar-nos a elas.
4.2 – Base Matemática da Solução
Para encontrarmos a solução do problema, vamos começar a formulação
considerando que a equação a ser resolvida nesse caso é diferencial, como descrito na
equação (4.1). Mais a frente, veremos que o método também se adequa a resolução de
uma equação integral como a de Hallen.
{
[ ]
(4.1)
25
A uma questão assim enunciada dá-se o nome “problema de Dirichlet”
homogêneo, o qual se baseia na equação de Poisson para o caso unidimensional e com
condições de contorno nulas.
Assumiremos que a função f : [0;1] R é limitada e contínua por partes, sendo
que o domínio da solução é o intervalo [0;1]. Isso é necessário porque o MEF supõe que
f é integrável, como veremos a seguir.
Ao invés de resolver o problema original na forma como está escrito, o MEF se
propõe a solucionar um problema equivalente, chamado formulação fraca do original.
Para escrever a equação nessa forma, principiamos definindo um espaço de funções V
formado pelas funções v, tais que:
v é função contínua em [0,1],
é limitada e contínua por partes, e
v(0) = v(1) = 0.
O próximo passo é multiplicar a equação original por uma função qualquer de V
e integrar a equação resultante em [0,1].
∫
∫
(4.2)
Utilizando o método de integração por partes, encontramos a expressão (4.3).
(
)|
∫
∫
(4.3)
Como foi definido a pouco, temos que v = 0 tanto em 0 quanto em 1, o que
configura a condição de Dirchlet homogênea. Logo, para toda função v pertencente a V
obtemos a equação a seguir.
∫
∫
(4.4)
26
A equação anterior, juntamente com a condição de Dirichlet homogênea,
caracteriza a formulação fraca do problema, a qual é resolvida pelo Método dos
Elementos Finitos.
4.3 – Discretização do Problema
No problema original temos um domínio contínuo, uma vez que o domínio da
função incógnita também o é. No entanto, aproximaremos o problema contínuo para
outro discreto, cuja solução está em um espaço de dimensão finita.
Para tal, dividimos o domínio, o intervalo [0;1], em um número finito (N) de
subintervalos (I) da seguinte maneira:
{ [ ]
A análise que segue contemplará apenas o caso em que todos os subintervalos
têm o mesmo comprimento, apesar de ser possível uma opção mais genérica.
O termo “discretização” é usado justamente porque passamos de um caso
contínuo – a função original está definida num domínio representado pela reunião não
enumerável de pontos, todos os pontos do intervalo cuja quantidade é infinita – para um
conjunto discreto, visto que o domínio passa a ser uma reunião de um número finito de
intervalos 3.
Em cada intervalo Ij , aproximamos a função original u por um segmento de reta
(do tipo ax+b) cujos extremos são os pontos u(xj -1) e u(xj), como mostra a figura a
seguir. A união destes segmentos forma uma função discretizada ud. Evidentemente,
quanto menor o comprimento dos subintervalos, mais a função ud se aproximará da
equação incógnita original u. Notemos ainda que ud, tal como aqui definida, é contínua
dentro do subintervalo correspondente.
3 Uma reunião finita de intervalos ainda é um conjunto não enumerável de pontos. Porém, ao invés de
buscarmos u com definição ponto a ponto, vamos aproximá-la por uma função que é definida subintervalo por subintervalo e, nesse sentido, ela será definida discretamente.
27
Figura 4. 2: Aproximação de uma função suave por outra linear por partes. Quanto menor a
norma da partição, melhor a aproximação.
Vale ressaltar que o espaço de soluções do problema original pode ter dimensão
infinita, tal como uma solução dada por uma série infinita de funções de Fourier.
Para permitir a solução do problema na forma fraca, devemos também limitar o
espaço de funções V, a princípio infinito, por um de dimensão finita Vd composto pelas
funções v, tais que:
v é contínua em [0; 1],
v é linear em cada Ij e
v(0) = v(1) = 0.
Lembrando que V, ao qual pertence v, foi criado para fazer a integração por
partes, chegar à forma fraca da equação de Poisson e permitir sua solução pelo MEF.
A limitação no número de funções em V é algo parecido com uma discretização. A
diferença é que neste caso lidamos com uma determinação puramente matemática,
enquanto que discretização espacial pode ser representada graficamente, tornando-se
mais visível.
Basicamente, temos que v Vd e Vd V, o que significa que não ferimos a
condição v V da formulação fraca. Nosso problema discretizado (ou aproximado) é,
então, encontrar ud Vd de acordo como especificado na expressão abaixo.
∫
∫
(4.5)
Cabe neste momento fazermos duas observações:
1. A condição de fronteira u(0) = u(1) = 0 está contida no enunciado do problema
discretizado (4.5) já que ud Vd implica na condição de Dirichlet homogênea.
28
2. Podemos assumir que a solução aproximada ud que buscamos está contida em Vd
de acordo com três condições. A primeira condição que ud deve satisfazer para
pertencer a Vd é ser contínua. Já vimos que tal como foi definida ud u é
contínua. A segunda condição – linearidade em cada subintervalo – vem também
da discretização do problema e está relacionada com a qualidade dessa
aproximação, no caso trocamos uma curva suave por outra poligonal. Ao
assumirmos que buscamos uma solução com essa aproximação, ud satisfaz, por
conseguinte, a segunda condição. Por fim, a terceira é justamente a condição de
Dirichlet, a qual é satisfeita por hipótese tanto por u quanto por ud. Concluímos
assim que udVd.
Ao discretizarmos o espaço de funções V, o aproximamos por um de dimensão
finita. Como v Vd é linear em cada Ij , as funções (4.6) formam uma base (B) de Vd.
{
[ ]
[ ]
(4.6)
Figura 4. 3: Gráfico da função φj da base B
Mostramos na Figura 4.2 um gráfico de uma dessas funções-base de Vd. É fácil
ver que se i j, as funções i e j são linearmente independentes. Ou seja, qualquer
função de Vd se escreve em termos das j acima definidas. Posto que udVd, ela
também será da forma abaixo.
∑ [ ] (4.7)
29
Adicionando a expressão (4.7) no problema enunciado anteriormente em (4.5),
obtemos a equação (4.8).
∫
(∑ )
∫
(4.8)
O próximo passo é escolher v como sendo uma das funções da base, ou seja, v =
i para algum i N. Para esse determinado i, a expressão descrita em (4.8) implica na
equação abaixo.
∫ (∑
)
∫
Portanto,
∑ ( ∫
)
∫
(4.9)
Variando i e j de 1 a N, em (4.9) obtém-se um sistema de N equações e N
incógnitas αj , como descrito abaixo.
[ ∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
]
[
]
[ ∫
∫
∫
]
(4.10)
Chamaremos a matriz do sistema acima de M e seus elementos denotaremos por
m i,j. M é chamada de matriz de rigidez, enquanto que o vetor que aparece no membro
direito de (4.10) é denominado vetor de carga.
Portanto, o problema de achar a função ud Vd que satisfaz (4.5) se reduz à
resolução de um sistema linear. Resolvendo-o, determinamos os coeficientes j e
podemos construir, usando (4.7) e (4.6), a função ud u.
30
4.4 – Um Caso Particular: Partição Regular do Intervalo
Para finalizarmos o estudo do caso unidimensional descrito pelo sistema (4.10),
podemos reduzi-lo num caso particular de partição do intervalo: considerando que todos
os subintervalos Ij têm mesmo comprimento h. A uma partição deste tipo dá-se o nome
de regular.
Uma consequência interessante da partição regular do domínio analisado – o
comprimento do dipolo no caso da solução da equação de Hallen na busca da
distribuição de corrente ao longo do mesmo – é que a matriz M goza das seguintes
propriedades:
1. Ela é simétrica em consequência da comutatividade do produto de funções, de
acordo com a definição em (4.11).
∫
∫
(4.11)
2. Ela é tri diagonal. Para demostrarmos isso, calcularemos os elementos mij
utilizando as derivadas das funções ϕj definidas por (4.12) e (4.13).
Se i=j,
∫
∫
(4.12)
Se i≠j por apenas 1 unidade,
∫
(4.13)
Se i e j diferem por mais de 1 unidade, mij = 0 pois as funções são nulas fora dos
intervalos [xi-1, xi] e [xi, xi+1] sendo nulas também suas derivadas.
Conclui-se, pois, que apenas os termos da forma mi-1;i, mi;i e mi;i+1 são não-nulos
com valores distribuídos conforme a matriz de rigidez a seguir.
31
[
]
Dessa maneira, o sistema encontrado para o caso unidimensional descrito em
(4.10) pode ser escrito como em (4.14).
[
]
[
]
[ ∫
∫
∫
]
(4.14)
Da matriz do lado esquerdo do sistema (4.14) pode-se concluir que o MEF
resolve uma equação integral como a de Hallen, unidimensional por natureza, porque,
qualquer que seja o lado esquerdo da equação original, ele se tornará tri diagonal com
os valores vistos nesta equação.
Como já foi dito no início deste capítulo, a equação de Hallen só se aplica a
situações unidimensionais. Para solucionar problemas bi ou tri dimensionais teremos de
lançar mão de outras equações.
Encerram-se aqui, portanto, as formulações matemáticas de alguns dos métodos
mais utilizados para a modelagem eletromagnética. No início do próximo capítulo
veremos, então, o conceito do chamado método híbrido, o qual combina as técnicas já
apresentadas.
32
Capítulo 5
Modelo Computacional de Simulações e
Exemplos Básicos
5.1 – O Modelo Híbrido MEF/MEC
Há muitos problemas práticos encontrados que são complicados para serem
resolvidos corretamente por apenas um único método, pois são difíceis de serem
descritos com acurácia. Logo, é comumente vantajoso combinar dois métodos de
modelagem, os quais não são capazes de resolver o problema por conta própria, em
apenas um campo de solução com a intenção de aproveitar os pontos fortes de cada
técnica. À combinação de dois modelos dá-se o nome de Método Híbrido.
O Método Híbrido não é formado simplesmente por dois códigos de modelagem
que utilizam a mesma interface. O problema é dividido em duas partes e para cada uma
é aplicada a técnica que mais convém, sendo que, na fronteira entre elas, os campos e
correntes são constantemente combinados de forma a assegurar uma única solução.
O MEF é uma técnica excelente para modelar estruturas volumétricas
complexas, porém não é um dos melhores modelos para solucionar cabos espessos ou
problemas de radiação sem fronteiras. Por outro lado, o MEC se mostra eficiente na
modelagem de cabos e geometrias não limitadas, em compensação não é capaz de
resolver estruturas complexas que combinam uma variedade de materiais. Portanto,
esses métodos possuem pontos fortes complementares, ideais para um modelo híbrido.
Essa técnica é extensivamente utilizada, como no software HFSS, e mostra-se eficiente
na resolução de inúmeros problemas que não são solucionados corretamente utilizando
apenas um método.
O modelo híbrido MEF/MEC mais utilizado pelos programas de modelagem
eletromagnética introduz uma superfície fictícia, a qual pode ou não coincidir com uma
superfície material real, que separa um volume interior de outro exterior. A região
interna é analisada pelo MEF, enquanto a região externa é realizada pelo MEC. A partir
das análises separadas, dois conjuntos de matrizes são definidos e compartilham as
33
mesmas soluções de contorno. Forçando o campo nos dois lados, interno e externo, da
superfície definida para que haja consistência entre eles, os dois conjuntos de matrizes
podem ser combinados em uma única equação de solução [4].
5.2 – Simulações de uma Antena Dipolo
Até o momento, todo o estudo feito nos primeiros capítulos sobre os métodos de
resolução de equações de eletromagnetismo se baseou no exemplo da antena dipolo.
Portanto, o primeiro exemplo básico de simulações computacionais que pode ser
apresentado para ilustrar a eficiência de tais técnicas aplicadas é o caso do dipolo.
O modelo a seguir foi projetado e desenhado no software HFSS, da Ansys, uma
das principais referencias atuais em simulações eletromagnéticas. A antena se localiza
exatamente ao longo do eixo z, como nos estudos realizados nos capítulos anteriores.
Figura 5. 1: Modelo da antena dipolo
As dimensões da geometria foram projetadas para uma frequência equivalente a
0,9GHz, como pode ser visto na Tabela 5.1.
Tabela 5. 1: Projeto da antena dipolo
Projeto Antena Dipolo (0,9 GHz) (cm)
Comprimento do Dipolo 15
Raio do Dipolo 0,25
Gap de Alimentação 0,25
34
A Figura 5.2 apresenta o campo em volta da antena limitado por dois blocos. O
bloco interno determina a superfície fictícia mencionada no item anterior, a qual divide
a solução entre os dois modelos de resolução. Na região definida entre a superfície da
antena e o bloco é aplicado o Método dos Elementos Finitos. Já o bloco externo
determina a superfície de contorno do Método dos Elementos de Contorno.
Figura 5. 2: Blocos inseridos no modelo que definem as regiões de solução para cada método
No estudo de antenas é importante mapear a distribuição da energia irradiada,
sendo o Diagrama de Irradiação a ferramenta utilizada para tal. Portanto, uma das
simulações mais frequentes realizadas com antenas visa traçar o diagrama. A Figura 5.3
nos mostra o gráfico contendo o ganho total da antena em todas as direções do plano
YZ, gerado a partir da simulação.
35
Figura 5. 3: Diagrama de irradiação da antena dipolo
A análise do diagrama nos permite constatar que o dipolo irradia com maior
intensidade na direção do eixo y, enquanto no eixo z a emissão é quase nula. Esse
comportamento era esperado, uma vez que a antena foi localizada ao longo do eixo z.
Um dos recursos mais interessantes que os métodos de modelagem
eletromagnética computacional oferecem é a resolução de problemas em três
dimensões. Não apenas o modelo é desenhado em 3D, mas também as soluções podem
ser visualizadas sob a mesma perspectiva. O diagrama traçado para demonstrar o ganho
total da antena em um determinado plano pode ser expandido para todas as dimensões.
O resultado pode ser visto na Figura 5.4.
36
Figura 5. 4: Diagrama 3D da irradiação da antena dipolo
5.3 – Simulações de uma Antena Microstrip
As mesmas simulações realizadas para antena dipolo podem ser estendidas para
outras formas de antena ou até mesmo qualquer tipo de geometria. O caso a seguir
retrata as simulações de uma antena mais complexa que o dipolo, a chamada microstrip.
Figura 5. 5: Modelo da antena microstrip
37
O projeto foi realizado visando uma frequência de 2.4 GHz, de acordo com as
dimensões descritas na Tabela 5.2.
Tabela 5. 2: Projeto da antena microstrip
Projeto Microstrip (2,4 GHz) (cm)
Comprimento da Patch (eixo X) 4,94
Comprimento da Patch (eixo Y) 4,14
Espessura do Substrato 0,62
Comprimento do Substrato (eixo X) 8,4
Comprimento do Substrato (eixo Y) 7,1
Localização da Alimentação (coord. eixo X) 0
Localização da Alimentação (coord. eixo Y) 0,8
Raio Interno do Cabo Coaxial 0,104
Raio Externo do Cabo Coaxial 0,354
Comprimento do Cabo Coaxial 2,08
As técnicas de simulação aplicadas no primeiro exemplo do dipolo são as
mesmas utilizadas nesse caso, como podemos ver na figura abaixo, na qual o campo em
volta da microstrip é limitado por dois blocos.
Figura 5. 6: Blocos que definem as regiões de solução para cada método
Como pode ser visto no diagrama de irradiação da Figura 5.7, o resultado da
simulação da distribuição de energia irradiada é característico desse tipo de antena.
Basicamente a emissão e recepção de ondas eletromagnéticas são realizadas apenas para
a região acima da microstrip.
38
Figura 5. 7: Diagrama de irradiação da antena microstrip
A perspectiva em 3D apresentada na Figura 5.8 permite confirmar que o mesmo
comportamento ocorre em outros planos. A região em vermelho indica maior
intensidade de irradiação, localizada justamente acima da antena. Por outro lado, a zona
amarela e verde indica menor intensidade, onde coincide com a antena e a área abaixo
dela.
Figura 5. 8: Diagrama 3D de irradiação da antena microstrip
No próximo capítulo serão apresentados exemplos de simulações mais
aplicadas, os quais demonstram a alta capacidade que os modelos expostos
anteriormente têm de resolver problemas eletromagnéticos complexos.
39
Capítulo 6
Exemplos de Simulações Aplicadas
6.1 – Efeitos de uma Peça de Grafite na Irradiação de uma Antena Microstrip
O modelo da antena microstrip projetada no capítulo anterior foi utilizado para a
realização de um experimento que visava analisar os efeitos que o posicionamento de
uma peça de grafite gera na irradiação dos campos eletromagnéticos. Duas
considerações importantes foram feitas para esse estudo: a variação da localização do
grafite e do tamanho do mesmo.
Em relação à colocação da peça foram estabelecidas três posições, como mostra
a figura a seguir: a primeira encostada à superfície lateral da antena; a segunda
colocando a peça 50mm acima do centro da antena; e a terceira a 350mm do centro.
Figura 6. 1: Modelos da antena com a peça de grafite lateral, a 50mm acima e a 350mm.
Para projetar a peça de grafite foi considerada uma altura inicial equivalente a
0,1λ, sendo λ (lambda) o comprimento de onda equivalente à frequência para a qual a
antena foi desenhada, no caso 2,4GHz. A altura foi incrementada para cada simulação,
assumindo valores iguais a 0,5λ, λ, 1,5λ e 2λ. As dimensões da peça foram ampliadas de
forma proporcional ao aumento da altura.
Os resultados da distribuição de energia são apresentados na Figura 6.2. Cada
diagrama de irradiação representa a análise de acordo com a localização da peça. Já os
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traços em cada um deles denomina a simulação para um determinado tamanho do
grafite.
Figura 6. 2: Diagramas de irradiação para os três casos de localização do grafite. Cada traço descreve o
resultado para um determinado tamanho da peça.
Observamos pelos gráficos que a colocação do grafite sobre a antena tem uma
influência muito maior no sistema, visto que é nesta direção que ela irradia com maior
intensidade. Inclusive, quando o objeto de grafite é grande o suficiente, a emissão é
quase que totalmente refletida no sentido oposto, para baixo, especialmente no caso em
que o grafite está mais próximo da microstrip.
O simulador também nos permite gerar uma visualização do campo elétrico
formado na região. O resultado confirma que na região lateral da antena há pouco
campo elétrico, portanto, a inserção do grafite nessa região tem pouca influência,
41
limitando-se a empurrar levemente o diagrama de irradiação para o lado, como pode ser
visto a seguir no primeiro quadro.
Figura 6. 3: Visualização dos campos elétricos para cada caso
O efeito de reflexão do campo eletromagnético verificado anteriormente com os
diagramas de irradiação é mais uma vez confirmado por essa análise do campo elétrico,
de acordo com os quadros que representam o grafite acima da antena. Em campo
distante há espaço para maior dispersão da radiação, porém em campo próximo a
reflexão é mais intensa.
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6.2 – Compatibilidade Eletromagnética e Segurança Elétrica de uma Unidade Retificadora
A empresa INOVAX Engenharia de Sistemas Ltda. recentemente projetou uma
Unidade Retificadora Chaveada 48V@10A. Para certificar que o produto não gere ou
tenha suas funcionalidades afetadas por interferências eletromagnéticas, foi preciso
garantir que a placa de circuito impresso estivesse de acordo com certas normas de
compatibilidade eletromagnética estipuladas para o tipo e ambiente de atuação do
produto.
Da mesma forma, a segurança elétrica do sistema também é de suma
importância para a comercialização do produto. Logo, também são aplicadas normas
para garantir que o produto seja imune a possíveis anormalidades elétricas advindas da
rede de energia, como surtos e descargas eletroestáticas.
Assim, o desenho esquemático da placa de circuito impresso da Unidade
Retificadora foi utilizado para uma série de simulações de verificação de
compatibilidade eletromagnética e segurança elétrica.
Figura 6. 4: Modelo 3D da placa de circuito impresso
As portas do circuito foram configuradas e os componentes presentes na placa
foram adicionados. Para a realização de todos os ensaios pertinentes foi necessário
adicionar geometrias externas à placa, como: o gabinete do produto; uma antena,
utilizada para captar e irradiar perturbações; e uma ponta de aplicação de sinal, utilizada
para aplicar os sinais de surto e descarga eletroestática no gabinete.
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(a) (b)
(c)
Figura 6. 5: (a) Modelo da placa com o gabinete do produto; (b) Modelo com a antena bicônica a 1 metro de
distância; (c) Modelo com a ponta de aplicação de sinal diretamente no gabinete.
O primeiro ensaio executado diz respeito a possíveis emissões que o produto
pode conduzir através da linha de entrada. Na Figura 6.6 podemos visualizar os campos
eletromagnéticos ao longo da placa de circuito impresso da unidade retificadora.
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Figura 6. 6: Campos eletromagnéticos ao longo da placa
As simulações efetuadas neste caso mostram que a UR possui um bom filtro de
entrada, uma vez que o nível de emissões conduzidas é baixo. A figura abaixo apresenta
os níveis de emissão eletromagnética que a UR envia para a linha de entrada.
Figura 6. 7: Análise de emissões conduzidas
O segundo teste visava verificar as emissões irradiadas pela placa. Neste caso foi
inserido um ruído artificial nas trilhas de alta corrente do produto para medir as
possíveis emissões. Primeiramente, simulou-se com um ruído na faixa de 1MHz e, em
seguida, o teste foi repetido com o ruído na faixa de 1GHz. A antena bicônica
adicionada ao modelo foi utilizada para capturar o campo eletromagnético irradiado
pela UR, de acordo com a Figura 6.8.
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Figura 6. 8: Emissões irradiadas pela placa
Os resultados apresentados a seguir mostram a tensão captada pela antena nos
dois casos, sendo que ambos foram satisfatórios atendendo às normas.
Figura 6. 9: Análise de emissões radiadas com ruído de 1MHz
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Figura 6. 10: Análise de emissões radiadas com ruído de 1GHz
Além da possibilidade de emitir radiações indevidas, o produto pode ser
danificado por irradiações advindas de outros aparelhos eletromagnéticos. Para testar a
imunidade da UR a emissões radiadas, a mesma antena do modelo foi utilizada para
irradiar uma perturbação eletromagnética. A placa está localizada a 1m de distância da
antena, onde a tensão induzida é aproximadamente 3,7V.
Figura 6. 11: Irradiações emitidas pela antena em direção à placa
Uma das portas do circuito foi medida para verificar a imunidade do sistema, a
qual se confirmou, uma vez que a tensão induzida nesse ponto apresentou valores
baixos, como pode ser visto na Figura 6.12.
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Figura 6. 12: Análise de imunidade a emissões radiadas na porta de shutdown
Em relação aos testes de segurança elétrica do produto, foi realizado um
primeiro ensaio de imunidade a surtos elétricos. A ponta de aplicação de sinal incluída
no modelo foi utilizada para induzir um sinal equivalente a um surto elétrico sobre o
gabinete do produto. A Figura 6.13 representa as tensões nas trilhas do circuito após a
aplicação do sinal. Os níveis de tensão apresentados são compatíveis com o estabelecido
pelas normas da ANATEL para esse tipo de produto.
Figura 6. 13: Análise de imunidade a surtos.
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O último teste aplicado visava verificar a imunidade a descargas eletroestáticas.
Um sinal equivalente a uma descarga eletroestática foi aplicado no gabinete também
com o auxílio da ponta de aplicação de sinal e a tensão induzida nas trilhas do circuito
foi medida. O sinal recomendado pela norma da ANATEL (curva vermelha) e a trilha
que apresentou os valores mais altos de tensão (curva roxa) podem ser vistos na figura a
seguir. Mesmo o pior caso encontra-se dentro dos limites estabelecidos pela norma.
Figura 6. 14: Análise de imunidade a descargas eletroestáticas
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Capítulo 7
Conclusão
Como esperado, tanto o Método dos Momentos quanto o Método dos Elementos
Finitos são capazes de solucionar problemas baseados na teoria eletromagnética, como é
o caso da distribuição de corrente ao longo de um dipolo descrita pela equação de
Hallen. Não apenas são aptos, mas também eficientes métodos de modelagem de casos
eletromagnéticos.
A resolução em forma matricial que tais técnicas apresentam é excelente para a
utilização em ambiente computacional, pois tornam o problema complexo em um
conjunto de operações mais simples de se solucionar através de algoritmos. De acordo
com a complexidade do caso, basta possuir a capacidade de processamento necessária.
Muitos estudos ainda são realizados em busca de algoritmos otimizados para
resolução de questões da área do eletromagnetismo. O objetivo é sempre a diminuição
de tempo e recursos computacionais. Como foi visto, o caminho mais utilizado
atualmente para se atingir essas metas é a combinação de diferentes modelos
matemáticos em um único método híbrido. Os principais investimentos hoje estão nessa
linha, visto que se concentram na construção de algoritmos que contemplam as
vantagens de diferentes técnicas.
A partir dos exemplos demonstrados neste trabalho, podemos perceber que os
simuladores profissionais atualmente são extremamente capazes de solucionar os mais
variados e complexos problemas eletromagnéticos.
Tal eficiência pode ser fundamental para um projeto eletrônico, seja empresarial
ou acadêmico. Com o auxílio dessas ferramentas computacionais é possível prever o
desempenho do circuito projetado, tanto para características funcionais quanto para não
funcionais. Isso pode refletir numa economia considerável de tempo e recursos
financeiros, uma vez que, sem as simulações, possíveis erros de projeto só serão
verificados após a montagem de um protótipo de testes.
As possibilidades trazidas pelos softwares de simulação mais avançados do
mercado são inúmeras, contribuindo para o sucesso de diversos projetos de engenharia.
50
Capítulo 8
Bibliografia
[1] REITZ, J.R., MILFORD, F.J., CHRISTY, R.W., Foundations of Electromagnetic
Theory. Chicago, Addison-Wesley, 1979, Cap. 16.
[2] HARRINGTON, R. F., Field Computation by Moment Methods. New York,
Macmillan Publishing Company, 1968.
[3] HARRINGTON, R. F., Time Harmonic Electromagnetic Fields. New York,
McGraw Hill, 1961, Cap. 3.
[4] THE CLEMSON UNIVERSITY VEHICULAR ELETRONICS
LABORATORY, “Electromagnetic Modeling”,
http://www.cvel.clemson.edu/modeling/, 2013 (Acesso em Novembro de 2013).
