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SIMULAÇÃO SOB INCERTEZA DE CONDUÇÃO DE CALOR EM MEIOS HETEROGÊNEOS COMBINANDO TRANSFORMAÇÃO INTEGRAL E CAOS POLINOMIAL Thiago Maioli Campos Dissertação de Mestrado apresentada ao Programa de Pós-graduação em Engenharia Mecânica, COPPE, da Universidade Federal do Rio de Janeiro, como parte dos requisitos necessários à obtenção do título de Mestre em Engenharia Mecânica. Orientadores: Renato Machado Cotta Marcelo José Colaço Rio de Janeiro Outubro de 2013

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SIMULAÇÃO SOB INCERTEZA DE CONDUÇÃO DE CALOR EM MEIOS

HETEROGÊNEOS COMBINANDO TRANSFORMAÇÃO INTEGRAL E CAOS

POLINOMIAL

Thiago Maioli Campos

Dissertação de Mestrado apresentada ao

Programa de Pós-graduação em Engenharia

Mecânica, COPPE, da Universidade Federal do

Rio de Janeiro, como parte dos requisitos

necessários à obtenção do título de Mestre em

Engenharia Mecânica.

Orientadores: Renato Machado Cotta

Marcelo José Colaço

Rio de Janeiro

Outubro de 2013

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SIMULAÇÃO SOB INCERTEZA DE CONDUÇÃO DE CALOR EM MEIOS

HETEROGÊNEOS COMBINANDO TRANSFORMAÇÃO INTEGRAL E CAOS

POLINOMIAL

Thiago Maioli Campos

DISSERTAÇÃO SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DO INSTITUTO ALBERTO

LUIZ COIMBRA DE PÓS-GRADUAÇÃO E PESQUISA DE ENGENHARIA

(COPPE) DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE

DOS REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE MESTRE

EM CIÊNCIAS EM ENGENHARIA MECÂNICA.

Examinada por:

________________________________________________

Prof. Renato Machado Cotta, Ph.D.

________________________________________________ Prof. Marcelo José Colaço, D.Sc.

________________________________________________ Dr. Carlos Frederico Trotta Matt, D.Sc.

________________________________________________ Dr. Henrique Massard da Fonseca, D.Sc.

RIO DE JANEIRO, RJ - BRASIL

OUTUBRO DE 2013

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iii

Campos, Thiago Maioli

Simulação Sob Incerteza de Condução de Calor em

Meios Heterogêneos Combinando Transformação Integral

e Caos Polinomial / Thiago Maioli Campos. – Rio de

Janeiro: UFRJ/COPPE, 2013.

IX, 128 p.: il.; 29,7 cm.

Orientadores: Renato Machado Cotta

Marcelo José Colaço

Dissertação (mestrado) – UFRJ/ COPPE/ Programa de

Engenharia Mecânica, 2013.

Referências Bibliográficas: p. 126-128.

1. Equações Estocásticas. 2. Quantificação de

Incerteza. 3. Caos polinomial. 4. Transformação Integral.

5. Condução de Calor. I. Cotta, Renato Machado et al. II.

Universidade Federal do Rio de Janeiro, COPPE,

Programa de Engenharia Mecânica. III. Título.

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iv

Dedico

A Deus, e meu Salvador Jesus Cristo,

em quem não há incertezas.

“Porque dele e por ele, e para ele, são todas as

coisas; glória, pois, a ele eternamente. Amém.”

Romanos 11:36

“Elevo os olhos para os montes: de onde me virá o socorro?

O meu socorro vem do SENHOR, que fez o céu e a terra.”

Salmos 121:1,2

À minha família

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v

AGRADECIMENTOS

Em primeiro lugar, agradeço a Deus, pelo dom da Vida Eterna em

Cristo e por seu imenso amor e fidelidade para comigo, que se estendem além

dos céus.

À Universidade Federal do Rio de Janeiro e ao Programa de Engenharia

Mecânica da COPPE pela oportunidade concedida para a realização do

mestrado.

Ao meu orientador, Prof. Renato Cotta pela confiança em mim

depositada, mesmo nos momentos críticos, e pelo seu sempre bom humor e

entusiasmo. Ao meu coorientador, Prof. Marcelo Colaço pelo incentivo, apoio

e sugestões valiosas. Aos demais professores e funcionários do Departamento

de Engenharia Mecânica que fizeram parte dessa jornada de aprendizado e

amadurecimento pessoal e profissional. Aos amigos do Laboratório de

Transmissão e Tecnologia do Calor (LTTC) e demais colegas de pós-

graduação em Engenharia Mecânica, pela amizade e companheirismo.

À Petrobras pela concessão e incentivo para a realização deste trabalho,

aos meus gerentes pelo apoio e aos demais colegas de trabalho da gerência de

Facilidades de Produção do CENPES, pelo bom convívio e amizade.

À minha família querida, pelo apoio incondicional, meus queridos e

amados pais Claudio e Carmen, exemplos de vida e sabedoria de Deus para

mim e em quem me espelho, minha querida irmã Ana Carolina por sua

amizade e conselhos, meu cunhado João Paulo por seu apoio e meu querido

sobrinho Daniel, que fará em breve 1 ano de idade, por ser tão legal com o tio.

Aos irmãos na fé aqui no Rio: Billy, Damares e demais irmãos e amigos da

reunião de terça na casa da Luci. Enfim, a todos que de alguma forma

contribuíram nesta jornada, o meu muito obrigado!

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vi

Resumo da Dissertação apresentada à COPPE/UFRJ como parte dos requisitos

necessários para a obtenção do grau de Mestre em Ciências (M.Sc.)

SIMULAÇÃO SOB INCERTEZA DE CONDUÇÃO DE CALOR EM MEIOS

HETEROGÊNEOS COMBINANDO TRANSFORMAÇÃO INTEGRAL E CAOS

POLINOMIAL

Thiago Maioli Campos

Outubro/2013

Orientadores: Renato Machado Cotta

Marcelo José Colaço

Programa: Engenharia Mecânica

O uso de técnicas para solução determinística de equações diferenciais parciais

que governam os fenômenos de difusão-convecção já é um campo de pesquisa bem

definido, com a Técnica de Transformação Integral destacando-se neste contexto como

uma poderosa ferramenta para esta classe de problemas, permitindo soluções analíticas e

híbridas numérico-analíticas para muitas aplicações. Por outro lado, um fator chave que

tem sido muito menos considerado na análise clássica de problemas é o entendimento e

quantificação do impacto de incertezas presentes nos dados de entrada. A quantificação

de incertezas, como tem sido denominada esta área de pesquisa, busca fornecer

predições mais confiáveis para problemas práticos, tendo recebido uma atenção cada

vez maior. Este trabalho baseia-se no tratamento analítico da incerteza nos coeficientes

com variação espacial das equações governantes de problemas de condução de calor em

meios heterogêneos. É feita uma revisão dos métodos disponíveis, com enfoque na

abordagem promissora de Caos Polinomial. A aplicação tradicional deste método é

analisada tanto em sua abordagem de Galerkin, quanto na abordagem via colocação

estocástica. Em seguida é proposta uma fusão deste método com a técnica de

transformação integral, de forma a reduzir o problema estocástico para um problema

mais simples, permitindo inclusive a obtenção de uma solução totalmente analítica. A

eficiência e convergência dos resultados são comparadas com soluções exatas, bem

como com soluções obtidas por simulações de Monte Carlo.

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vii

Abstract of Dissertation presented to COPPE/UFRJ as a partial fulfillment of the

requirements for the degree of Master of Science (M.Sc.)

SIMULATION UNDER UNCERTAINTY OF HEAT CONDUCTION IN

HETEROGENEOUS MEDIA COMBINING INTEGRAL TRANSFORMATION AND

POLYNOMIAL CHAOS

Thiago Maioli Campos

October /2013

Advisors: Renato Machado Cotta

Marcelo José Colaço

Department: Mechanical Engineering

Deterministic solution techniques for partial differential equations that govern

diffusion-convection phenomena are already a well-defined research field, with the

Integral Transformation technique highlighting in this context as a powerful tool for this

class of problems, allowing analytical and hybrid numerical-analytical solutions for

many applications. On the other hand, a key factor that has been less considered in the

analysis of classical problems is the understanding and quantification of the impact of

uncertainties in the input data. Uncertainty quantification, as has been called this area of

research, seeks to provide more reliable predictions to practical problems, having

received increasing attention. This work is based on the analytical treatment of

uncertainty in the spatially variable coefficients of the governing equations of heat

conduction problems in heterogeneous media. The available methods are reviewed,

focusing on the promising approach using Polynomial Chaos. The traditional

application of this method is analyzed both in its Galerkin approach, as in the stochastic

collocation approach. Then a fusion of this method with the integral transformation

technique is proposed, in order to reduce the stochastic problem to a simpler problem,

while allowing to obtain an entirely analytical solution. Efficiency and convergence of

the results are compared with exact solutions as well as solutions obtained by Monte

Carlo simulations.

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viii

Sumário

CAPÍTULO 1 INTRODUÇÃO ..................................................................................... 1

1.1 - Motivação e Objetivos .......................................................................................... 1

1.2 - Organização do Trabalho...................................................................................... 5

CAPÍTULO 2 REVISÃO DA LITERATURA ............................................................. 6

2.1 – Transformação Integral e Condução em Meios Heterogêneos ............................ 6

2.2 – Quantificação de Incertezas Baseada em Caos Polinomial ................................. 9

2.3 – Cálculo Aproximado de Integrais Múltiplas ...................................................... 14

2.4 – Parametrização das Entradas Randômicas e Expansão de Karhunen-Loeve .... 15

CAPÍTULO 3 METODOLOGIAS DE SOLUÇÃO ................................................... 17

3.1 – Método de Transformação Integral .................................................................... 17

3.1.1 – Abordagem Geral da GITT ............................................................................. 19

3.1.2 – Problema Linear e Coeficientes com Dependência Apenas da Posição ......... 22

3.1.2.1 – Problema de Autovalor Auxiliar Usando GITT .......................................... 23

3.1.3 – Coeficientes da Equação com Dependência na Variável Não Eliminada....... 26

3.1.3.1 – Problema com w(x,t) .................................................................................... 26

3.1.3.2 – Problema com k(x,t) ..................................................................................... 28

3.2 – Representação de Processos Randômicos: Expansão de Karhunen-Loeve ....... 30

3.2.1 – Função de Covariância Exponencial ............................................................... 33

3.3 – Análise Estocástica Baseada em Caos Polinomial ............................................ 36

3.3.1 – Representação de Processos Randômicos: Caos Polinomial Generalizado .... 36

3.3.2 – Método Galerkin Estocástico .......................................................................... 42

3.3.2.1 – Exemplo de Aplicação ................................................................................. 43

3.3.3 – Método de Colocação Estocástica: Projeção Discreta .................................... 44

3.3.3.1 – Regras de Cubatura e Escolha dos Pontos de Colocação ............................ 47

3.3.4 – Obtenção das Informações Estatísticas ........................................................... 51

3.4 – Simulação de Monte Carlo ................................................................................ 52

CAPÍTULO 4 MÉTODO PROPOSTO: GITTgPC ..................................................... 53

4.1 – Formulação do Problema ................................................................................... 53

4.2 – Procedimento de Solução ................................................................................... 54

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4.2.1 – Solução do Campo Transformado Estocástico ............................................... 58

4.3 – Obtenção das Informações Estatísticas .............................................................. 60

CAPÍTULO 5 APLICAÇÕES E RESULTADOS ...................................................... 61

5.1 – Equação Diferencial Ordinária .......................................................................... 62

5.1.1 – Distribuição Uniforme e Polinômio de Legendre ........................................... 63

5.1.2 – Distribuição Gaussiana e Polinômio de Hermite ............................................ 66

5.1.3 – Distribuição Exponencial e Polinômio de Laguerre ....................................... 69

5.2 – Problema Modelo de Condução de Calor em Uma Variável ............................. 71

5.2.1 – Distribuição Uniforme com σ = 0.2 ................................................................ 73

5.2.2 – Distribuição Uniforme com σ = 0.4 ................................................................ 83

5.2.3 – Distribuição Gaussiana com σ = 0.2 ............................................................... 92

5.3 – Problema Geral Multivariável.......................................................................... 100

5.3.1 – Distribuição Uniforme com σ = 0.2 .............................................................. 104

5.3.2 – Distribuição Uniforme com σ = 0.4 .............................................................. 109

5.3.3 – Distribuição Uniforme com σ = 0.8 .............................................................. 113

5.3.4 – Distribuição Gaussiana com σ = 0.2 ............................................................. 118

5.3.5 – Considerações Gerais .................................................................................... 123

CAPÍTULO 6 CONCLUSÕES E SUGESTÕES ...................................................... 124

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ......................................................................... 126

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CAPÍTULO 1 INTRODUÇÃO

1.1 - Motivação e Objetivos

A variação espacial das propriedades termofísicas de um meio é um fator

presente em maior ou menor grau em todos os sistemas físicos de interesse prático em

engenharia e ciências físicas, seja devido à própria natureza constitutiva do meio ou

simplesmente devido a variações de ordem randômica inerentes aos sistemas naturais ou

fabricados. O problema a ser tratado neste trabalho é o da condução de calor em sólidos

heterogêneos, onde a qualidade da solução depende essencialmente da representação

adequada da variação espacial dos parâmetros do problema, como por exemplo,

condutividade térmica e capacidade térmica. De particular interesse na análise aqui

apresentada é o tratamento matemático para o caso estocástico em que essas duas

propriedades são consideradas como processos aleatórios, ou seja, são incorporadas

incertezas em sua variação espacial e investigadas técnicas para o tratamento analítico e

quantificação do impacto de tais incertezas na solução final.

O desenvolvimento de técnicas de solução para os sistemas determinísticos de

equações diferenciais parciais que governam os fenômenos de difusão-convecção já é

um campo de pesquisa bem definido na literatura. Tais técnicas abrangem métodos

analíticos para uma grande gama de problemas, e também os chamados métodos

numéricos, como os populares métodos de diferenças finitas e elementos finitos, que

tem atraído cada vez mais esforços de pesquisa, acompanhando o avanço do poder

computacional disponível. Nesse contexto, como método analítico destaca-se a bem

estabelecida Técnica de Transformação Integral Clássica (CITT) (Mikhailov e Ozisik,

1984), cuja aplicação a problemas lineares, do tipo considerado no presente trabalho,

resulta em um sistema linear e desacoplado de equações diferenciais ordinárias no

campo transformado. Por outro lado, devido à formulação mais geral dos coeficientes,

que exibem dependência espacial arbitrária, o problema auxiliar de autovalor requerido

por essa solução exata, e que detém a informação da heterogeneidade do meio, demanda

uma aproximação numérica para os autovalores e autofunções, que pode ser obtida,

dentre outros métodos, pelo uso da Técnica de Transformação Integral Generalizada

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(GITT) (Cotta, 1993), conforme bem explorado no trabalho de Naveira-Cotta (2009) e

que será também empregado neste trabalho.

As técnicas determinísticas de solução são bem compreendidas, e muito esforço

já foi direcionado para entender e controlar erros numéricos de algoritmos. Por outro

lado, um fator chave que tem sido muito menos considerado na análise clássica de

problemas é o entendimento e quantificação do impacto de incertezas presentes nos

dados de entrada. Tem sido prática comum analisar sistemas com modelos

determinísticos onde os dados de entrada são definidos com precisão, contudo tal

situação ideal é raramente encontrada na prática. As propriedades físicas do meio em

estudo, por exemplo, podem ser obtidas experimentalmente ou via modelos, e estão

sujeitas a incertezas que podem ser aleatórias, sistemáticas ou até do próprio modelo.

Em alguns casos, especialmente em sistemas complexos, o efeito dessas incertezas pode

ser significativo. Um exemplo na área de engenharia biomédica é a obtenção da

condutividade de corpos biológicos na predição de temperatura para planejamento de

tratamentos e desenvolvimento de aparatos clínicos, onde flutuações de até poucos

graus podem causar sérios danos e, portanto, a incerteza deve ser levada em conta por

medida de segurança. Em engenharia é prática comum a análise de problemas utilizando

o valor médio dos parâmetros, fazendo uso a posteriori de fatores de segurança na

avaliação final do sistema, o que tende ao superdimensionamento do equipamento,

elevando custos de fabricação e operação. (Estes dois exemplos foram citados em Xiu e

Karniadakis (2003a)).

A quantificação de incertezas, como tem sido denominada esta área de pesquisa,

busca fornecer predições mais confiáveis para problemas práticos, tendo recebido uma

atenção cada vez maior. A incorporação de incertezas nas simulações torna-se

indispensável em sistemas complexos, onde os modelos matemáticos são representações

simplificadas e reduzidas dos fenômenos físicos, ou em casos onde não é possível

designar valores numéricos confiáveis para os diversos parâmetros das equações

governantes. Para ilustrar este argumento, Xiu (2009) apresenta o caso simples da bem

conhecida equação viscosa de Burgers, onde a posição da zona de transição da solução

ao alcançar o regime permanente está localizada no ponto x=0 do domínio [-1,1] no

caso idealizado sem incertezas. Entretanto, ao incorporar uma pequena incerteza aditiva

da ordem de 10% em uma das condições de contorno representada por u(-1)= 1+δ (onde

δ é uma variável aleatória distribuída uniformemente no intervalo de [0, 0.1]) esta zona

de transição tem seu valor médio deslocado para próximo do limite superior do

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domínio, em x≈0.8, uma diferença de O(1). Tal efeito não pode ser captado apenas

aumentando-se a resolução de algoritmos numéricos clássicos, se a incerteza não for

considerada desde o início dos cálculos. Fica claro, portanto, que a incerteza é um fator

inerente, seja pelo conhecimento incompleto da física que governa o sistema, seja

devido a erros de medição e quantificação dos dados de entrada. Sendo assim, só é

possível compreender plenamente os resultados das simulações, e consequentemente

entender melhor os fenômenos físicos envolvidos, se tal incerteza for incorporada desde

o início das simulações e não como uma consideração posterior, ou seja, deve ser feita

uma modelagem probabilística do problema.

A modelagem probabilística pode ser implementada tanto por uma abordagem

de amostragem estatística, quanto por uma abordagem não estatística. A primeira

(simulação de Monte Carlo) é de fácil implementação e consiste na solução repetitiva

do problema determinístico original para cada amostra dos dados de entrada, de acordo

com sua distribuição probabilística. O conjunto de soluções é tratado para extrair

informações estatísticas como média, variância, etc. Sua desvantagem reside no alto

custo computacional para obter soluções precisas devido ao número elevado de

avaliações. A abordagem não estatística, por outro lado, baseia-se no tratamento

analítico da incerteza nas equações governantes, oferecendo vantagens em termos de

custo computacional e facilidade de interpretação, sendo foco de trabalhos recentes.

Este trabalho focará neste último tipo de abordagem.

Diversos métodos analíticos já foram desenvolvidos, entre eles os três tipos mais

populares são os métodos de perturbação (expansão de Taylor), métodos baseados na

manipulação de operadores estocásticos (integral ponderada, expansão de Neumann) e

métodos baseados em equações de momento. Entretanto, todos eles apresentam algum

tipo de limitação, seja em relação à magnitude das incertezas tratáveis, do tipo de

operador ou do uso de argumentos “ad hoc” arbitrários.

Recentemente foi desenvolvido um método conhecido como Caos Polinomial

Generalizado (gPC), que tem se tornado um dos métodos mais amplamente adotados, e

em muitos casos indiscutivelmente o único método viável, para a simulação estocástica

de sistemas complexos. Tal método foi proposto em Xiu e Karniadakis (2002a) e é na

verdade uma generalização do Caos Polinomial clássico oriundo do trabalho seminal de

Ghanem e Spanos (1991). Este último surgiu com a aplicação da teoria do caos

homogêneo de Wiener (1938) para a representação de processos randômicos,

empregando uma expansão discreta em termos de polinômios ortogonais de Hermite nas

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variáveis randômicas Gaussianas, tendo sido aplicado com sucesso a vários problemas

de engenharia. No caso do gPC, a mesma abordagem foi utilizada, porém constatando a

possibilidade de empregar também outros polinômios ortogonais do esquema de Askey

e Wilson (1985), além do polinômio de Hermite. De acordo com a distribuição de

probabilidade dos parâmetros de entrada, o tipo mais adequado de polinômio, cuja

função peso corresponde àquela distribuição, pode ser escolhido para se chegar a uma

boa convergência, de forma a representar processos gerais não-Gaussianos de forma

mais eficiente.

Quando aplicado a equações diferenciais com parâmetros estocásticos, busca-se

determinar os coeficientes da expansão gPC da solução. Esta tarefa pode ser realizada

por meio de duas abordagens distintas. A primeira consiste em conduzir uma projeção

de Galerkin das equações sobre a base polinomial, que minimiza o erro do truncamento

da expansão e resulta em um sistema determinístico acoplado para os coeficientes. A

segunda abordagem, desenvolvida mais recentemente, baseia-se em colocação

estocástica, envolvendo apenas avaliações do sistema original, combinando a facilidade

de implementação do método de Monte Carlo com a convergência do método gPC.

Este trabalho apresenta uma revisão geral da técnica de Transformação Integral

para problemas de condução de calor em meios heterogêneos e dos métodos de

simulação sob incerteza baseados em Caos Polinomial. Em seguida é proposta a

incorporação do método de Caos Polinomial na solução via GITT de problemas com

incertezas nos coeficientes da equação governante, que representam as propriedades do

meio, e nos termos fonte, como tentativa de estender a funcionalidade da GITT para

lidar com problemas estocásticos, permitindo investigar os efeitos das incertezas na

solução final. O problema estocástico é reduzido para um problema de menor ordem no

campo transformado, permitindo inclusive a obtenção de uma solução totalmente

analítica. A eficiência e convergência dos resultados são comparadas com soluções

exatas, bem como com soluções obtidas por simulações de Monte Carlo.

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5

1.2 - Organização do Trabalho

No capítulo 2 é apresentada a revisão da literatura onde se busca analisar

algumas contribuições relevantes na solução de problemas de difusão em meios

heterogêneos, com foco no uso da técnica de Transformação Integral, e nos recentes

métodos analíticos para quantificação de incertezas em sistemas com equações

diferenciais estocásticas, com destaque para aqueles baseados na teoria de Caos

Polinomial. Os assuntos correlacionados de regras de integração múltipla e

parametrização de entradas randômicas são também revisados.

O capítulo 3 apresenta de forma detalhada a metodologia usada neste trabalho e

empregada na nova abordagem proposta no capítulo subsequente. Primeiramente são

apresentadas as técnicas de Transformação Integral Clássica e Generalizada para

problemas de condução em meios heterogêneos com coeficientes da equação variando

apenas espacialmente, onde a própria GITT é utilizada para resolver o problema de

autovalor auxiliar, e para o caso mais geral de variação dos coeficientes também na

variável não eliminada no processo de transformação integral, que será útil para o

desenvolvimento posterior da análise estocástica. Em seguida são apresentados os

fundamentos para representação adequada de processos randômicos através da expansão

de Karhunen-Loeve e dos métodos de solução de sistemas estocásticos baseados em

Caos Polinomial, via projeção de Galerkin e colocação estocástica. Finalmente é feita

uma rápida exposição do método de simulação de Monte Carlo, que também é usado

aqui como referência na comparação dos resultados.

O capítulo 4 apresenta o desenvolvimento da nova proposta de junção do

método de Transformação Integral com o método de Caos Polinomial para a classe de

problemas considerada neste trabalho.

No capítulo 5 são apresentados exemplos de aplicação para alguns problemas

escolhidos que exploram os conceitos apresentados nos capítulos anteriores,

apresentando os resultados obtidos e comparando os diferentes métodos.

O capítulo 6 traz as conclusões e sugestões de trabalhos futuros para continuação

da incorporação da quantificação de incertezas na solução de problemas de condução de

calor.

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6

CAPÍTULO 2 REVISÃO DA LITERATURA

Nesta seção é feita uma breve síntese das principais referências e assuntos

pesquisados de forma a obter a fundamentação teórica necessária, além de verificar os

recentes avanços já obtidos. Tal revisão da literatura abrangeu desde o tratamento de

problemas de condução em meios heterogêneos em sua forma usual determinística, com

ênfase particular no método de transformação integral, até o estudo e revisão dos

métodos para tratamento analítico de equações diferenciais estocásticas, aprofundando

na aplicação dos métodos baseados em Caos Polinomial, envolvendo também a

aplicação da expansão de Karhunen-Loeve para caracterizar processos randômicos e

métodos para cálculo aproximado de integrais múltiplas (“cubature rules”).

2.1 – Transformação Integral e Condução em Meios Heterogêneos

O desenvolvimento de técnicas de solução para os sistemas determinísticos de

equações diferenciais parciais que governam os fenômenos de difusão-convecção já é

um campo de pesquisa bem definido na literatura. Os chamados métodos numéricos têm

sido foco de inúmeras pesquisas em anos recentes, com vasta literatura disponível,

acompanhando o avanço do poder computacional e consagrando-se indiscutivelmente

como ferramentas fundamentais na busca de soluções de problemas físicos. Dentre tais

métodos pode-se destacar os populares métodos de diferenças finitas e elementos

finitos.

Apesar desta tendência aparentemente esmagadora do uso de métodos

numéricos, tendo atraído principalmente as novas gerações de pesquisadores e

estudantes que cresceram e convivem na “era do computador”, os métodos analíticos

não podem ser relegados ao passado e possuem características vantajosas em relação

aos métodos puramente numéricos. Em muitos casos, por exemplo, quando o problema

é suficientemente simples, métodos analíticos se mostram mais precisos e rápidos. Além

disso, podem fornecer tendências e comportamentos assintóticos sem precisar de uma

solução numérica completa, permitindo inclusive avaliações pontuais. Em terceiro

lugar, podem fornecer eles próprios excelentes resultados de referência (“benchmark”)

para validação de métodos numéricos. Por fim, tais métodos fazem a ponte para novos e

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eficazes desenvolvimentos no campo dos chamados métodos híbridos ou numérico-

analíticos (Cotta, 1993).

Esta pequena introdução foi dada para ressaltar a relevância dos métodos

analíticos e semi-analíticos, em particular do método de transformação integral no

contexto de problemas de difusão, que será empregado neste trabalho. Além disso, tal

método permite o algebrismo que será usado na proposta de novo procedimento híbrido,

na tentativa de contribuir no último aspecto citado no parágrafo anterior.

Soluções analíticas usando a Técnica da Transformada Integral Clássica (CITT)

receberam um forte impulso após serem extensivamente estudadas e reunidas em

Mikhailov e Ozisik (1984), separadas em sete classes identificadas de problemas

lineares de difusão de calor e massa, dos quais diversos casos especiais de grande

interesse prático podem ser derivados, inclusive com algumas aplicações em meios

heterogêneos. Para problemas dentro destas classes, o método consiste basicamente em

encontrar o problema auxiliar de autovalor apropriado e transformar a equação

diferencial parcial original em um sistema linear e desacoplado de equações diferenciais

ordinárias que pode ser resolvido analiticamente. Essa técnica foi estendida

posteriormente para uma abordagem híbrida numérico-analítica, oferecendo maior

flexibilidade no tratamento de problemas antes tidos como não transformáveis,

incluindo casos não-lineares em difusão e convecção-difusão, sendo chamada de

Técnica da Transformada Integral Generalizada (GITT) (Cotta, 1990, Cotta, 1993,

Cotta, 1994, Cotta e Mikhailov, 1997, Cotta, 1998, Cotta e Mikhailov, 2006). Em

problemas não transformáveis pela técnica clássica, esta metodologia resulta em um

sistema acoplado de equações diferenciais ordinárias para o potencial transformado, que

deve ser resolvido numericamente, vindo daí sua natureza híbrida analítico-numérica.

Sua característica de ser analítica em todas as variáveis independentes do problema

menos uma permite melhor controle do erro global quando comparado a métodos

numéricos tradicionais de discretização de domínio, resultando em simulações com

grande precisão e baixo custo computacional, sendo inclusive útil para geração de

resultados de referência.

O problema auxiliar de autovalor associado, de cuja solução para as autofunções

e autovalores depende o método de transformação integral, representa em muitos casos

a tarefa computacional mais pesada, uma vez que formas funcionais mais gerais dos

coeficientes resultam em problemas cuja solução deve ser obtida numericamente. Tal é

o caso de problemas em meios heterogêneos, com dependência espacial dos coeficientes

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das equações do sistema, e cujo problema de autovalor correspondente detém a

informação a respeito da heterogeneidade do meio.

Dentre as opções possíveis, a própria GITT tem sido proposta como um método

mais flexível e eficiente computacionalmente, onde a ideia é propor uma expansão para

as próprias autofunções desejadas por meio de um problema auxiliar de solução

conhecida, reduzindo o problema de autovalor descrito por equações diferenciais

parciais a um sistema algébrico (Cotta, 1993, Mikhailov e Cotta, 1994). Tal

procedimento, que será também empregado neste trabalho, foi bem explorado no

trabalho de Naveira-Cotta (2009), inovando na expansão dos próprios coeficientes

espacialmente variáveis em autofunções, de forma a possibilitar a avaliação totalmente

analítica das matrizes de coeficientes do sistema algébrico, evitando integrais numéricas

com vistas à redução do custo computacional.

O principal inconveniente da GITT em relação a métodos numéricos tradicionais

reside justamente na quantidade significativa de manipulações analíticas geralmente

necessárias. Entretanto, tal problema pode ser contornado pelo uso de computação

simbólica (Cotta e Mikhailov, 1997, Cotta e Mikhailov, 2006). De fato, esforços têm

sido concentrados recentemente na direção de criar uma ferramenta computacional para

a solução automática de problemas em difusão e convecção-difusão através da GITT,

para uso geral de usuários menos experientes na técnica na solução de problemas

práticos. Cotta et al. (2009) e Sphaier et al. (2009) desenvolveram o código aberto

UNIT (UNified Integral Transforms) utilizando a plataforma comercial de computação

simbólico-numérica Mathematica (Wolfram, 2003). Além das derivações simbólicas

necessárias, o UNIT abrange os cálculos numéricos requeridos na solução do problema

de autovalor selecionado e do sistema de equações diferenciais ordinárias do problema

transformado resultante.

Devido à natureza mais investigativa e intrusiva do ponto de vista matemático

deste trabalho, optou-se por utilizar código próprio desenvolvido utilizando o software

Mathematica v.7.0. Entretanto os conceitos aqui apresentados poderão futuramente

integrar o código UNIT, dando a este ainda mais flexibilidade para incorporar também a

análise de incertezas na solução automatizada de problemas de difusão-convecção.

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2.2 – Quantificação de Incertezas Baseada em Caos Polinomial

O campo de pesquisas em métodos para modelagem e quantificação de

incertezas de equações diferenciais estocásticas tem recebido muita atenção

recentemente e vem se desenvolvendo em ritmo acelerado, sendo um campo muito ativo

atualmente, sempre com novos resultados (Xiu, 2009). Conforme já dito na introdução

deste trabalho, quantificar o impacto de incertezas nos dados de entrada é fundamental

na busca de predições mais confiáveis para problemas práticos, e para este fim, é

necessária uma modelagem probabilística do problema, incorporando essas incertezas

nos parâmetros das equações desde o início. Será dado aqui um pano de fundo geral

destes desenvolvimentos em décadas recentes e por fim o enfoque na abordagem

baseada em Caos Polinomial para contextualizar a fundamentação teórica do presente

trabalho.

Diversas técnicas já foram estudadas para alcançar este objetivo, sendo a mais

comumente usada, por sua facilidade de implementação, a Simulação de Monte Carlo e

suas variantes. Esta abordagem estatística é conceitualmente muito simples do ponto de

vista matemático, consistindo basicamente em amostrar os dados de entrada, de acordo

com sua distribuição probabilística, obtendo um conjunto de soluções determinísticas do

problema original para cada amostra, que pode ser tratado para extrair as informações

estatísticas de interesse (média, variância, etc). Sua precisão, entretanto, depende do

tamanho da amostra, requerendo geralmente um alto custo computacional para obtenção

de resultados representativos e, portanto, é mais usado principalmente para verificar

outros métodos. Todavia é uma ferramenta matemática muito versátil, capaz de lidar

com situações onde todos os demais métodos falham.

Alternativamente, esforços têm sido empregados no desenvolvimento de

métodos não estatísticos mais eficazes, baseados no tratamento analítico das incertezas

nas equações. Entre eles os mais populares são os métodos de perturbação, baseados na

expansão das variáveis randômicas por séries de Taylor em torno de suas médias,

geralmente truncadas até no máximo segunda ordem, pois além disso as equações ficam

extremamente complicadas. Estes métodos, porém, funcionam bem apenas para

pequenas incertezas, geralmente abaixo de 10%. Outra abordagem baseia-se em

equações de momento, onde se busca determinar os momentos da solução aleatória

diretamente tomando-se médias das equações estocásticas originais. Entretanto trata-se

de um problema não fechado, uma vez que a derivação de um momento quase sempre

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depende do conhecimento de momentos superiores, levando à necessidade de

argumentos “ad hoc” sobre as propriedades desses momentos. Em uma terceira classe

estão os métodos baseados na manipulação dos operadores estocásticos nas equações

governantes, que englobam o método da integral ponderada e o método de expansão de

Neumann, mas que assim como nos métodos de perturbação, também estão limitados a

pequenas incertezas, além do fato de que sua aplicabilidade é fortemente dependente do

operador envolvido e normalmente limitado a problemas estáticos (este resumo mais

detalhado e com referências pode ser visto no artigo-revisão de Xiu (2009)). Uma

abordagem promissora foi então proposta baseada na discretização espectral direta do

campo randômico através de uma expansão de Caos Polinomial.

Ghanem e Spanos (1991) foram os primeiros a aplicar a abordagem de Caos

Polinomial clássico (PC), baseada na teoria do caos homogêneo de Wiener (1938), a

vários problemas em mecânica dos sólidos. Em seu trabalho seminal, os autores

apresentam uma boa revisão com diversas referências dos métodos para computação

estocástica já desenvolvidos anteriormente e citados no parágrafo anterior, apresentando

suas características e limitações. Procedem então à descrição da representação espectral

de processos randômicos de uma forma que permita sua manipulação algébrica,

introduzindo o uso da expansão de Karhunen-Loeve e do Caos Polinomial original

baseado em uma expansão infinita de polinômios ortogonais de Hermite para processos

randômicos Gaussianos. Em seguida expõem um novo método proposto como uma

extensão das idéias do método de elementos finitos determinístico para problemas

envolvendo propriedades randômicas. Fazendo uso da projeção de Galerkin no espaço

randômico através do produto interno das equações estocásticas com cada base, obtém-

se as equações na forma fraca para os coeficientes da expansão da solução, garantindo

que o erro de utilizar uma base finita seja ortogonal ao espaço funcional gerado por essa

base.

Xiu e Karniadakis (2002a) propuseram uma extensão desse método, denominado

de Caos Polinomial Generalizado (gPC), que utiliza mais polinômios ortogonais do

esquema de Askey e Wilson (1985), estendendo o Caos Polinomial clássico de Wiener.

Uma vez que os outros polinômios dessa família estão associados a outros tipos de

distribuição probabilística pela forma de sua função peso, o método é capaz de

representar processos estocásticos não Gaussianos mais gerais de forma mais eficiente,

obtendo convergência exponencial do erro para a escolha da base polinomial ótima. O

caos polinomial de Hermite clássico torna-se, portanto, um subconjunto do caos

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polinomial generalizado. Foram tratados diversos exemplos, contínuos e discretos, com

diferentes tipos de entradas aleatórias, usando uma equação diferencial ordinária para

ilustrar o método, e os resultados numéricos mostraram o excelente ganho em

convergência comparado a simulações de Monte Carlo.

O método gPC foi aplicado no trabalho de Xiu e Karniadakis (2002b) para a

solução de problemas de condução permanente em meios heterogêneos, isto é, na

solução de equações diferenciais parciais elípticas com incertezas na condutividade,

termo fonte e condições de contorno. Os processos dos dados de entrada e da solução

foram representados espectralmente através de polinômios ortogonais da família Askey.

Foi demonstrado também o uso da expansão de Karhunen-Loeve para processos de

entrada com covariância pré-determinada como um meio eficiente para reduzir a

dimensionalidade no espaço randômico. A projeção de Galerkin foi aplicada e as

equações determinísticas para os coeficientes da solução foram discretizadas pelo

método de elementos espectral/hp e resolvidas através de uma técnica de iteração

Gauss-Seidel. Resultados foram comparados com soluções exatas e simulações de

Monte Carlo.

Xiu e Karniadakis (2003a) estenderam o trabalho anterior à solução de

problemas de condução de calor transiente com condutividade e capacidade térmica

randômicas. Após a projeção de Galerkin, as equações determinísticas resultantes para

os coeficientes foram discretizadas pelo método de elementos espectral/hp no espaço e

integradas no tempo. Exemplos numéricos demonstraram a convergência para um

problema modelo unidimensional e também para um caso de condução bidimensional.

Xiu e Karniadakis (2003b) aplicaram a mesma abordagem para modelar a

incerteza da entrada e sua propagação em simulações de escoamento incompressível. O

algoritmo foi aplicado a escoamentos em micro-canais com condições de contorno de

parede randômicas, e para escoamentos externos com incerteza na corrente livre. Foram

feitas comparações da eficiência e convergência com soluções exatas, bem como

soluções numéricas via simulações de Monte Carlo.

A abordagem via projeção de Galerkin para obtenção dos coeficientes da

expansão gPC da solução tem sido efetivamente empregada desde o desenvolvimento

inicial do método. Entretanto, dependendo da complexidade das equações estocásticas

governantes, a derivação das equações finais (quase sempre acopladas) para os

coeficientes pode se tornar uma tarefa muito difícil, se não impossível (Xiu, 2007).

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Recentemente foram propostas abordagens alternativas baseadas em colocação

estocástica que, ao resolver as equações governantes em pontos discretos do espaço

randômico (pontos de colocação), fixados estrategicamente a priori com o uso da teoria

de aproximação polinomial, combinam a facilidade de implementação do método de

Monte Carlo com a alta precisão e convergência do método gPC-Galerkin. Existem

duas principais abordagens: via interpolação de Lagrange e via projeção discreta (ou

método pseudo-espectral).

A primeira abordagem consiste em utilizar como base polinômios de Lagrange

definidos pelos pontos de colocação (ou nós) para aproximar a solução por uma

interpolação no espaço randômico. Na prática, para evitar lidar explicitamente com

polinômios de Lagrange multidimensionais, as estatísticas da solução podem ser

calculadas diretamente substituindo as integrais em termos dos polinômios por pesos já

conhecidos, de acordo com uma regra de “cubatura” (quadratura multidimensional)

adotada, sendo essa abordagem também conhecida como “método de amostragem

determinística”, já utilizada em muitas aplicações (Tatang, 1997, Mathelin e Hussaini,

2003). Existem diversas regras de cubatura disponíveis para cálculo de integrais

múltiplas (Cools, 2003). Uma forma simples e tipicamente usada para construir os

pontos e o espaço de interpolação ou a regra de cubatura, é utilizar o produto tensorial

do caso unidimensional, baseado nos pontos da quadratura Gaussiana, em cada direção.

Esta construção foi rigorosamente analisada por Babuska et al. (2007) para equações

elípticas, onde foi demonstrada a convergência com relação ao número de pontos em

cada direção. Entretanto, o número de nós cresce exponencialmente com o número de

dimensões e, portanto, sua aplicabilidade é restrita a problemas com baixa

dimensionalidade.

O trabalho de Xiu e Hesthaven (2005) comparou diferentes tipos possíveis de

escolha de pontos de colocação e cubatura, introduzindo a técnica de “malha esparsa”

(sparse grid), um subconjunto da malha completa de produto tensorial, a partir do

algoritmo de Smolyak (1963), capaz de reduzir significativamente o número de pontos

de colocação em dimensões mais altas, garantindo ainda rápida convergência.

O método de colocação pseudo-espectral foi proposto por Xiu (2007), como

uma abordagem mais prática que evita a inconveniência de manipular polinômios de

Lagrange. Nesta abordagem busca-se reconstruir a expansão gPC original, utilizando a

base ortogonal apropriada, porém com os coeficientes da expansão aproximados através

do uso de colocação estocástica, utilizando uma regra de cubatura para o cálculo da

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integral múltipla. Assim os coeficientes podem ser calculados de forma independente,

como uma etapa de pós-processamento após obter as soluções em cada ponto de

colocação, diferente do método gPC-Galerkin onde todos os coeficientes são calculados

simultaneamente por um sistema acoplado. Além disso, obtém-se uma expressão

analítica para a solução final em termos das variáveis randômicas e as estatísticas

desejadas podem ser prontamente obtidas. Devido a essas vantagens em relação ao

método de interpolação de Lagrange, será dado enfoque a essa abordagem neste

trabalho.

Xiu (2009) apresenta uma revisão geral do estado da arte dos métodos já

desenvolvidos e mais utilizados para computação estocástica, dando ênfase aos métodos

baseados na metodologia gPC. É dada a fundamentação teórica e descrito o

procedimento geral da metodologia, apresentando as duas abordagens: Galerkin e

colocação. As propriedades desses métodos são resumidas utilizando resultados da

literatura. Este trabalho foi mais tarde estendido para a forma de livro em Xiu (2010)

com uma apresentação mais aprofundada.

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2.3 – Cálculo Aproximado de Integrais Múltiplas

Os métodos baseados em colocação estocástica, conforme apresentados na seção

anterior, têm como fator chave a escolha dos pontos de colocação, ou nós. Tanto no

método baseado em interpolação de Lagrange, quanto no método gPC pseudo-espectral,

é essencial que o conjunto de nós seja pertencente a uma boa regra de “cubatura”, de

forma a obter uma boa aproximação das integrais múltiplas por uma soma discreta

ponderada.

Para o caso unidimensional, a teoria para o cálculo aproximado de integrais é

simples e conhecida em detalhes, e a escolha ótima é geralmente a quadratura de Gauss

que utiliza os zeros de polinômios ortogonais para a escolha dos pontos. Uma revisão

detalhada pode ser encontrada no livro de Stroud e Secrest (1966), onde são

apresentadas tabelas contendo várias fórmulas de quadratura Gaussiana unidimensional.

O caso multidimensional é mais complicado e continua sendo um campo de

pesquisa ativo, ainda incompreendido em sua totalidade. Isso se deve ao fato de que o

domínio espacial no caso multidimensional e a teoria de polinômios ortogonais

multidimensionais assumem uma complexidade muito maior. De fato, nenhuma fórmula

foi ainda construída usando polinômios ortogonais para o caso de mais de duas

variáveis. Um procedimento comum para domínios simples, e que produz os resultados

mais precisos, é construir fórmulas a partir de fórmulas unidimensionais, as chamadas

“fórmulas-produto”, obtidas pelo produto tensorial de quadraturas gaussianas em cada

direção.

O livro de Stroud (1971) é um trabalho de referência, contendo uma

apresentação aprofundada da teoria, com seções destinadas a fórmulas-produto para

regiões espaciais simples, utilizando fórmulas de Gauss para obter regras com elevado

grau de precisão, bem como fórmulas especiais, ou regras de cubatura, de menor grau

mas que utilizam menos pontos, podendo ser usadas para casos de alta

dimensionalidade. Além da teoria, contém tabelas exaustivas das várias fórmulas

conhecidas.

Cools (2003) apresenta uma iniciativa para a continuação e preservação do

trabalho enciclopédico de Stroud (1971), atualizando com algumas poucas fórmulas

publicadas posteriormente e tornando as mesmas disponíveis em um portal da Internet.

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2.4 – Parametrização das Entradas Randômicas e Expansão de Karhunen-Loeve

O problema em lidar com equações estocásticas é duplo. Independente do

método a ser usado, uma das etapas mais importantes, antes de lidar com as equações

propriamente ditas, é caracterizar adequadamente o espaço de probabilidade definido

pela incerteza nos dados de entrada, através de um conjunto finito de variáveis

randômicas independentes.

Muitas vezes, ao invés de variáveis randômicas simples, as entradas randômicas

consistem de processos randômicos contínuos com variação espacial ou temporal. Um

caso típico é a incerteza em uma propriedade do material que varia espacialmente, como

por exemplo, a condutividade em um meio heterogêneo. Tais processos possuem

geralmente correlação não nula entre diferentes pontos do domínio (“ruídos coloridos”),

em oposição ao extremo oposto de processo não correlacionado (“ruído branco”). É

necessária alguma representação discreta deste processo de modo a permitir operações

algébricas no tratamento das equações estocásticas.

Uma abordagem simples seria considerar um conjunto finito de pontos no

domínio, representando o processo de forma aproximada por seus valores nestes pontos.

Entretanto essa abordagem leva a um número grande de variáveis para que o processo

seja representado adequadamente, ficando proibitivo do ponto de vista computacional.

Alternativamente, têm sido propostos métodos baseados em representação

espectral, em termos de uma combinação linear envolvendo um número reduzido de

variáveis randômicas e funções determinísticas, caracterizando o processo pelos seus

primeiros dois momentos – média e covariância. Um método comum consiste na

expansão espectral (Shinozuka e Deodatis, 1991, Grigoriu, 1993), onde as funções

determinísticas consistem de senos e cossenos, mas requer limitações sobre o processo

para que as variáveis randômicas sejam não-correlacionadas. Outras bases

determinísticas ortogonais foram propostas, como por exemplo, polinômios ortogonais

de Legendre (Zhang e Ellingwood, 1994), entretanto, as variáveis randômicas da

expansão são correlacionadas.

Um método de representação espectral, que tem sido amplamente usado para

representar processos randômicos com precisão satisfatória, é a expansão de Karhunen-

Loeve, que fornece um meio eficaz de reduzir a dimensionalidade do espaço randômico,

com um número finito de variáveis randômicas não-correlacionadas (Loeve, 1977). Esta

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expansão é expressa em termos das autofunções e autovalores da função de covariância

do processo, que são obtidos através da solução de uma equação integral. A expansão

infinita é truncada e o número suficiente de termos para manter o erro pequeno depende

da taxa de decaimento dos autovalores, que será tanto maior quanto mais correlacionado

for o processo, ou seja, quanto menor for o conteúdo de frequência do mesmo. Cada

termo adicional introduz mais uma variável randômica, portanto é desejável que esse

número seja o menor possível.

Ghanem & Spanos (1991) demonstraram que, dentre outras formas de decompor

um processo randômico, a expansão de Karhunen-Loeve é ótima no sentido de que

minimiza o erro associado à representação finita. É portanto uma forma eficiente de

representar um processo de entrada, desde que seja conhecida sua função de

covariância.

A obtenção dos autovalores e autofunções da função de covariância envolve a

solução de uma equação integral homogênea de Fredholm do segundo tipo. Tal equação

pode ser resolvida analiticamente apenas em alguns casos especiais, sendo que para

outros casos é necessária sua solução numérica. Alguns exemplos de casos úteis onde é

possível obter solução analítica, bem como uma boa exposição do método, podem ser

vistos em Van Trees (1968), Ghanem & Spanos (1991) e Xiu (2010).

Huang et al. (2001) examinaram numericamente as propriedades de

convergência da expansão de Karhunen-Loeve, para cinco modelos comuns de

covariância, comparando as estatísticas de segunda ordem do processo simulado com as

do processo alvo. É mostrada a influência de fatores que afetam a convergência, tais

como, comprimento de correlação, forma da função de covariância e método de

resolução analítico ou numérico, fazendo também uma comparação com o método de

expansão espectral tradicional.

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CAPÍTULO 3 METODOLOGIAS DE SOLUÇÃO

Neste capítulo serão apresentados os métodos analíticos que serão aplicados no

trabalho, a saber, as técnicas de Transformação Integral Clássica e Generalizada

aplicadas a problemas de difusão em meio heterogêneo e o método de Caos Polinomial

para equações estocásticas, através das abordagens de Galerkin e Colocação Estocástica.

São também abordados os tópicos relacionados, como a expansão de Karhunen-Loeve

para representação de processos randômicos e uma noção geral da teoria de quadratura

para integrais múltiplas, no contexto do método de colocação apresentado. Será dada

também uma breve apresentação do método de Monte Carlo, que será usado para efeito

de comparação dos resultados.

3.1 – Método de Transformação Integral

A Técnica da Transformada Integral Clássica (Classical Integral Transform

Technique – CITT) (Ozisik, 1980, Mikhailov e Ozisik, 1984) foi desenvolvida como

uma metodologia extremamente útil para a solução analítica exata de uma grande

variedade de problemas lineares de difusão. Neste método a solução é expressa como

uma expansão infinita de autofunções nas variáveis espaciais, onde os coeficientes são

as soluções do campo transformado na variável não eliminada no processo (variável

tempo em problemas transientes ou uma das dimensões espaciais em problemas de

estado permanente). O procedimento consiste basicamente em encontrar o problema

auxiliar de autovalor apropriado, decorrente da separação de variáveis da versão

homogênea do problema, e utilizá-lo para integrar a equação diferencial parcial original,

transformando-a em um sistema linear e desacoplado de equações diferenciais

ordinárias no campo transformado, que pode ser resolvido analiticamente.

Embora tenha representado um avanço significativo em relação ao método

simples de separação de variáveis, o método clássico de transformação integral é

incapaz de lidar com casos onde não é possível transformar todos os termos para obter

um sistema desacoplado de equações diferenciais ordinárias, e consequentemente uma

solução analítica exata.

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Assim, para estender a abrangência do método a problemas lineares mais gerais

e até a problemas não-lineares, é necessário introduzir algumas flexibilizações de

natureza numérica. Tais ideias constituem a extensão do método denominado de

Técnica da Transformada Integral Generalizada (Generalized Integral Transform

Technique – GITT) (Cotta, 1990, Cotta, 1993, Cotta, 1994, Cotta e Mikhailov, 1997,

Cotta, 1998, Cotta e Mikhailov, 2006), que contorna diversas dificuldades com os

problemas ditos não transformáveis, permitindo a obtenção de um sistema de E.D.O.’s

infinito acoplado para ser truncado e resolvido numericamente, além de soluções

numéricas para determinados problemas de autovalor e, portanto, incorporando

elementos numéricos em sua formulação híbrida.

Problemas possíveis de serem resolvidos com a GITT incluem: coeficientes da

equação ou das condições de contorno variáveis tanto no espaço quanto no tempo;

domínio variável no espaço ou tempo; problemas auxiliares complicados; e problemas

não-lineares onde os termos fonte dependem também do potencial.

A seguir será apresentado o procedimento geral desta técnica, assim como

algumas particularidades aplicáveis aos desenvolvimentos contidos neste trabalho.

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3.1.1 – Abordagem Geral da GITT

A etapas básicas envolvidas no procedimento geral da GITT podem ser

resumidas como:

1) Escolha do problema auxiliar associado. Nos casos mais gerais do problema auxiliar

com dependência funcional complicada dos coeficientes, a GITT permite a

simplificação dos mesmos para facilitar a solução do ponto de vista computacional, ao

invés de restringir ao uso do problema original, como na CITT. Alternativamente,

dentre outros métodos, a própria GITT pode ser usada como um método eficiente para

encontrar uma solução precisa do problema de autovalor original, como será

demonstrado mais adiante.

2) Desenvolvimento do par transformada e inversa a partir do problema auxiliar.

3) Aplicar a transformação integral à equação diferencial parcial original e fazer uso das

condições de contorno. Essa etapa resulta em um sistema infinito de E.D.O.’s acopladas

para os casos não-transformáveis, diferente do caso da CITT onde as equações são

desacopladas.

4) Resolver o sistema de E.D.O.’s. O sistema deve ser truncado em uma ordem

suficientemente grande para garantir a precisão requerida e resolvido numericamente.

Em alguns casos especiais é possível obter solução analítica fechada.

5) Invocar a fórmula de inversão previamente estabelecida em 2) para construir o

potencial completo desejado, T(x,t).

Para ilustrar a aplicação do método, será usado um problema geral típico de

difusão transiente em meio heterogêneo com termos fonte não-lineares. O potencial

T(x,t) depende da posição x e do tempo t e é definido na região V, com superfície de

contorno S. Nesta formulação, os coeficientes w(x), k(x) e d(x) da equação governante e

α(x) e β(x) da condição de contorno variam apenas espacialmente.

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20

A equação de difusão e as condições, inicial e de contorno, são dadas por:

, = ∇. ∇, − , + , , , ∈ , > 0 3.1a

, 0 = , ∈ 3.1b

, + , = ϕ, , , ∈ 3.1c

onde n representa o vetor unitário normal à superfície S.

O problema auxiliar é escolhido com base na separação de variáveis da versão

linear homogênea do problema (3.1) acima:

∇. ∗∇"# + [%#&∗ − ∗]"# = 0, ∈ 3.2a

com condições de contorno:

"# + ∗ "# = 0, ∈ 3.2b

onde os coeficientes k*(x), w*(x), e d*(x) são formas simplificadas dos coeficientes

originais, escolhidas arbitrariamente de modo a permitir soluções analíticas exatas ou

aplicação de métodos computacionais para problemas de Sturm-Liouville para as

autofunções Ψi(x) e autovalores %# (Cotta, 1993, Cotta e Mikhailov, 1997). Obviamente,

quanto mais próximos dos coeficientes originais, melhor será a convergência da

expansão da solução final em termos das autofunções Ψi(x).

Para que o lado esquerdo da equação fique desacoplado após a integração, a

equação (3.1a) pode ser reescrita em termos da função peso w*(x) do problema de

autovalor escolhido como:

∗ , = )∗ − * , + ∇. ∇, − , + , , , ∈ , > 0 3.3

A propriedade de ortogonalidade das autofunções permite definir o par de

transformação integral do problema (3.2a,b):

+# = , ∗"-#, ./ , transformada 3.4a

, = ∑ "-#+#2#34 , inversa 3.4b

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21

onde foi feita uma normalização das autofunções:

"-# = "#56# , autofunções normalizadas 3.5a

6# = , ∗"#&./ , integrais de normalização 3.5b

Observe que o cerne da ideia da técnica de transformação integral está na

equação (3.4b), que busca representar a solução como uma expansão em termos de

autofunções dependentes apenas da posição e potenciais transformados que dependem

apenas do tempo, estrutura herdada do método clássico de separação de variáveis para

problemas homogêneos.

A transformação integral é então realizada operando a equação (3.3) com 8 "-# _ ./ , obtendo-se um sistema de equações diferenciais ordinárias na variável

tempo para o potencial transformado do tipo:

+# = :#), +<*, > 0 , =, > = 1,2, … 3.6a

onde:

:#), +<* = , A)∗ − * , + ∇. ∇, − , / + , , B "-# . 3.6b

fazendo uso de (3.4b) e das condições de contorno não homogêneas pela fórmula de

Green. As condições iniciais transformadas são dadas por:

+#0 = # = , ∗"-#./ 3.6c

O sistema infinito de E.D.O.’s acopladas deve ser truncado em uma ordem N e,

em geral, resolvido numericamente para os potenciais transformados, +#, = =1,2, … , 6. A ordem de truncamento é determinada de acordo com a precisão requerida.

Após a solução do campo transformado, utiliza-se a fórmula de inversão (3.4b) para

reconstruir o campo de temperatura completo desejado, T(x,t).

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22

3.1.2 – Problema Linear e Coeficientes com Dependência Apenas da Posição

Após apresentar a metodologia geral para formulações não-lineares, ilustra-se

agora o procedimento particularizado para a situação de problema difusivo linear com

coeficientes dependentes apenas da posição. Neste caso, o procedimento acima resulta

em um sistema transformado desacoplado, conforme aplicação da Técnica de

Transformação Integral Clássica, usando o problema auxiliar original da versão

homogênea. Entretanto, para formulações mais gerais dos coeficientes, é necessário

utilizar alguma aproximação numérica para obter valores acurados para os autovalores e

autofunções. Dentre os métodos disponíveis, a própria GITT pode ser usada para esse

fim, conforme demonstrado nos próximos parágrafos.

A formulação considerada inclui o termo transiente, o operador difusivo, o termo

de dissipação linear e o termo fonte linear, sendo um exemplo de problema de classe I

de acordo com a classificação de Mikhailov e Ozisik (1984). A equação de difusão e as

condições, iniciais e de contorno, são dadas por:

, = ∇. ∇, − , + , , ∈ , > 0 3.7a

, 0 = , ∈ 3.7b

, + , = ϕ, , ∈ 3.7c

Após transformação integral, o problema acima resulta em um sistema

desacoplado passível de solução analítica (Mikhailov e Ozisik, 1984), e a solução exata

para o potencial é dada por:

, = D "-# E#FGHIJK + , :#FGHIJKGKLMKN O2

#34 3.8

onde as autofunções "# e autovalores %# são obtidos a partir do problema de Sturm-

Liouville associado que carrega a informação de heterogeneidade do meio, dado por:

∇. ∇"# + [%#& − ]"# = 0, ∈ 3.9a "# + RSIR = 0, ∈ 3.9b

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23

A solução do problema (3.9) permite computar as demais quantidades:

"-# = "#56# , autofunções normalizadas 3.10a

6# = , ∗"#&./ , integrais de normalização 3.10b

# = , "-#./ , condição inicial transformada 3.10c

:# = , , "-#. + /

+ , ϕ, T"-# − "-# + U V , termo fonte transformado 3.10dX

3.1.2.1 – Problema de Autovalor Auxiliar Usando GITT

Para lidar com problemas de autovalor com coeficientes variáveis

arbitrariamente, o uso da GITT é demonstrado a seguir (Cotta, 1993, Naveira-Cotta et

al., 2009). Tal procedimento consiste em propor um problema de autovalor auxiliar

mais simples, e expandir as autofunções desconhecidas em termos da base escolhida. A

solução do problema de Sturm-Liouville (3.9) é então proposta como uma expansão em

autofunções do seguinte problema simplificado, com equação e condições de contorno

dadas por:

∇. ∗∇ΩZ + [[Z& ∗ − ∗]ΩZ = 0, ∈ 3.11a

∗ΩZ + ∗∗ ΩZ = 0, ∈ 3.11b

Os coeficientes ∗, ∗ e ∗ são formas simplificadas dos coeficientes

da equação original, escolhidos de modo a permitir solução analítica do problema

auxiliar. Além disso, os coeficientes e das condições de contorno originais podem

ser modificados convenientemente, de modo a simplificar ainda mais a solução do

problema (3.11).

Após obtenção analítica dos autovalores [Z e autofunções ΩZ a expansão é

proposta como:

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24

"\#,Z = , ∗Ω-Z"#./ , transformada 3.12a

"# = D Ω-Z"\#,Z2

Z34 , inversa 3.12b

A equação (3.9a) é então transformada aplicando o operador integral 8 Ω-Z _ ./ e, em seguida, é usada a 2a fórmula de Green, para levar em conta as

diferenças nas condições de contorno dos dois problemas de autovalor:

, "# ]∇. ∇Ω-Z^ ./ + , E"# ∂Ω-Z∂ − Ω-Z ∂"#∂ O V +X

, Ω-Z ]%#& − ^ "#./ = 0 3.13

A integral de superfície acima pode ser reescrita combinando as condições de

contorno (3.9b) e (3.11b) para obter a forma que seja mais conveniente em termos de "# e Ω-Z ou Ω-Z′ , como por exemplo:

, E1 − ∗∗αα∗ O E"# ∂Ω-Z∂ O V X 3.14

onde normalmente é possível escolher as condições de contorno do problema auxiliar de

modo a zerar a integral. A equação (3.13) é então reescrita na forma:

, "# ]∇. ∇Ω-Z^ ./ + , E1 − ∗∗αα∗ O E"# ∂Ω-Z∂ O V X

+ , Ω-Z ]%#& − ^ "#./ = 0 3.15

Substituindo-se a fórmula da inversa (3.12b) em (3.15) e explicitando-se "\#,b,

chega-se ao seguinte problema de autovalor algébrico:

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25

D "\#,b A, Ω-b ]∇. ∇Ω-Z^ ./2

b34+ , E1 − ∗∗αα∗ O EΩ-b ∂Ω-Z∂ O VX+ , Ω-Z ]%#& − ^ Ω-b./ c = 0 3.16

que em forma matricial é concisamente dado por:

d − %&ef\ = 0 3.17 onde,

f\ = g"\Z,bh 3.18a

e = giZ,bh, iZ,b = − , Ω-ZΩ-b./ 3.18b

d = gjZ,bh, jZ,b = , Ω-b ]∇. ∇Ω-Z^ . +/

, k − ∗αα∗ ∗l EΩ-b ∂Ω-Z∂ O VX − , Ω-ZΩ-b./ 3.18c

O problema matricial algébrico de autovalor (3.17) pode ser resolvido

numericamente (Wolfram, 2003) para os autovalores %& e autovetores f\ , que permitem

reconstruir as autofunções originais através da fórmula da inversa (3.12b).

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26

3.1.3 – Coeficientes da Equação com Dependência na Variável Não Eliminada

Outro caso de particular interesse que será útil nos desenvolvimentos

subsequentes deste trabalho, decorre da situação em que os coeficientes da equação

original também exibem uma dependência geral na variável independente que não é

eliminada pelo processo de transformação integral (Cotta, 1993).

Considera-se a seguinte formulação para o problema linear:

, , = ∇. , ∇, − , + , , ∈ , > 0 3.19a

, 0 = , ∈ 3.19b

, + , , = ϕ, , ∈ 3.19c

Por questão de simplicidade será analisado o caso para cada coeficiente

separadamente, sendo omitido o caso com , t cujo desenvolvimento é análogo.

3.1.3.1 – Problema com w(x,t)

Para aplicar a técnica de transformação integral generalizada, escreve-se o

coeficiente , t como sendo a soma de um termo dependente apenas de x e outro

com dependência em x e t:

, t = 4 + &, t 3.20

e o problema de autovalor apropriado é tomado empregando-se 4: ∇. ∇"# + [%#&4 − ]"# = 0, ∈ 3.21a

"# + "# = 0, ∈ 3.21b

que permite obter o seguinte par de transformação integral:

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27

+# = , 4"-#, ./ , transformada 3.22a

, = D "-#+#2#34 , inversa 3.22b

Opera-se então a equação (3.19a) (com usando o operador 8 "-# _ ./ , e

empregando as condições de contorno (3.19c) e (3.21b) através da fórmula de Green,

para obter:

+# + , &, t"-# , ./ = −%#&+# + :# 3.23a

onde:

:# = , ["-# , − , "-# ]VX + , "-#, . 3.23b/

O termo não transformado em (3.23a) pode então ser reescrito usando (3.22b),

como:

D[, &, t"-#"-<./ ] +<2<34 3.24

A equação (3.23a) é então reescrita, juntamente com a condição inicial

transformada, como:

+# + D n#< +<2<34 + %#&+# = :# 3.25a

+#0 = # = , 4"-#./ 3.25b

onde:

n#< = , &, t"-#"-<./ 3.25c

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28

As equações (3.25) formam um sistema infinito e acoplado de equações

diferenciais lineares de primeira ordem, que se torna desacoplado para o caso em que w&, é identicamente zero, reduzindo o problema ao tratado na seção 3.1.2.

3.1.3.2 – Problema com k(x,t)

Da mesma forma escreve-se:

, t = 4 + &, t 3.26

e o problema de autovalor apropriado é tomado com 4:

∇. 4∇"# + [%#& − ]"# = 0, ∈ 3.27a

"# + 4 "# = 0, ∈ 3.27b

O par de transformação integral é dado por:

+# = , "-#, ./ , transformada 3.28a

, = D "-#+#2#34 , inversa 3.28b

A equação (3.19a) (com é integrada usando o operador 8 "-# _ ./ ,

fazendo em seguida uso da fórmula de Green e combinando (3.19c) e (3.27b), para

obter:

+# = −%#&+# + , "-#∇. [&, ∇, ]./ + :#∗ 3.29a

onde:

:#∗ = , 4["-# , − , "-# ]VX + , "-#, . / 3.29b

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29

O termo não transformado em (3.29a) pode ser reescrito alternativamente,

utilizando (3.28b) para a primeira integral resultante, como:

D[, "-<∇. [&, ∇"-#]./ ] \<2<34

+ , &, ["-# , − , "-# ]VX 3.30

A equação (3.29a) é então reescrita, juntamente com a condição inicial

transformada, como:

+# + %#&+# − D p#< \<2<34 = :# 3.31a

+#0 = # = , "-#./ 3.31b

onde:

p#< = , "-<∇. [&, ∇"-#]./ 3.31c

:# = , , ["-# , − , "-# ]VX + , "-#, . 3.31d/

Como no caso anterior, o sistema acoplado infinito (3.31) torna-se desacoplado

para o caso em que &, é identicamente zero, resultando no mesmo problema da

seção 3.1.2.

O caso mais geral com , e , pode ser imediatamente obtido pela

combinação dos dois problemas anteriores. Os sistemas acoplados infinitos resultantes

podem ser truncados em uma determinada ordem suficientemente grande para garantir a

precisão requerida e resolvidos numericamente, ou em casos raros, para uma classe de

equações comutativas, podem ser encontradas formas analíticas fechadas para as

soluções (Cotta, 1993). Esta classe inclui o caso especial de sistemas com coeficientes

constantes, que estará presente no procedimento proposto no capítulo 4. Uma vez obtida

a solução do campo transformado, o campo de temperatura completo é reconstruído

pela respectiva fórmula de inversão.

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30

3.2 – Representação de Processos Randômicos: Expansão de Karhunen-Loeve

Uma das etapas mais importantes, que antecede a busca da solução para o

problema estocástico, é a representação adequada dos dados de entrada aleatórios, de

uma forma que permita sua manipulação algébrica, reduzindo o espaço de probabilidade

de dimensão infinita para um espaço de dimensão finita através de um conjunto finito

de variáveis randômicas.

Em alguns casos, quando os próprios parâmetros do problema são as variáveis

aleatórias, como por exemplo, constante de decaimento, taxa de reação, etc, essa tarefa é

facilitada. Entretanto, muitas vezes estamos interessados em caracterizar processos

randômicos. Um processo randômico pode ser visto como uma função cuja dependência

espacial ou temporal varia a cada evento aleatório, ao invés de apenas um número como

no caso de uma variável randômica. Cada ponto tomado isoladamente no domínio

espacial ou temporal deste processo pode visto como uma variável randômica e, neste

sentido, o processo poderia ser descrito como um conjunto infinito de variáveis

randômicas ou, numa aproximação, um conjunto finito suficientemente grande, o que

ficaria proibitivo computacionalmente.

Alternativamente, pode ser introduzida uma discretização espectral, em termos

de uma expansão usando funções determinísticas. É exatamente isso que propõe a

expansão de Karhunen-Loeve, que fornece um meio eficaz de reduzir a

dimensionalidade do espaço randômico, com um número finito de variáveis randômicas

não-correlacionadas (Loeve, 1977), sendo uma das técnicas mais usadas para esse fim.

A base determinística e sua magnitude são, respectivamente, as autofunções e

autovalores da função de covariância do processo. O uso dessa expansão é, portanto,

limitado apenas aos processos randômicos dos dados de entrada, uma vez que a função

de covariância do processo randômico da solução do problema não é conhecido a priori.

Para o processo que descreve a solução será necessário o uso de outro tipo de

representação, conforme será visto adiante.

Seja x; s um processo randômico, função da variável x definida no domínio

D, com s pertencente ao espaço de eventos aleatórios Ω. Seja +x a média do processo

e tx4, x& = uv.x4; s, x&; s sua função de covariância. A expansão de

Karhunen-Loeve de w; s é dada por:

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31

x; s = +x + D 5[# x#x2#34 y#s 3.32

onde y#s são variáveis randômicas não-correlacionadas com média zero e variância

unitária, e x#x e [# são as autofunções ortogonais e os autovalores correspondentes

obtidos do problema de autovalor dado pela equação integral homogênea de Fredholm

do segundo tipo:

, tx4, x&z x#x4x4 = [# x#x&, x ∈ D 3.33

que permitem decompor espectralmente a função de covariância como:

tx4, x& = D [# x#x4 x#x&2#34 3.34

Naturalmente, a forma da equação (3.32) deve ser truncada para ser usada nas

computações, resultando na aproximação:

x; s ≈ +x + D 5[# x#x#34 y#s 3.35

Essa aproximação é possível devido à importante propriedade de decaimento dos

autovalores, e o número de termos na expansão após truncamento é determinado

controlando-se o erro da série. A taxa de decaimento fornece uma diretriz para o

truncamento da expansão. Cada termo adicional introduz mais uma variável randômica,

portanto é desejável que esse número seja o menor possível.

Naturalmente, um processo mais fortemente correlacionado permite uma

expansão de Karhunen-Loeve com menos termos, ou seja, menor número de variáveis

randômicas. O número necessário para caracterizar o processo adequadamente será

tanto maior quanto menos correlacionado for o processo, ou seja, quanto maior for o

conteúdo de frequência do mesmo, conforme será exemplificado adiante.

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32

A expansão de Karhunen-Loeve possui a propriedade de ser ótima no sentido de

minimizar o erro quadrático médio associado ao uso de um número finito de termos

(Ghanem e Spanos, 1991).

As variáveis y#s na expansão são não-correlacionadas. Apenas para variáveis

Gaussianas, isso implica também em independência. O requisito de independência entre

as variáveis da parametrização do problema é essencial no contexto de simulações

estocásticas, pois, matematicamente, permite definir os espaços funcionais através de

produto tensorial. Assim para processos com distribuição Gaussiana, que são

completamente determinados pela média e covariância, a expansão de Karhunen-Loeve

fornece um meio natural de parametrização em variáveis gaussianas independentes.

O caso de processos não Gaussianos oferece um desafio maior, sendo ainda um

campo ativo de pesquisa (Sakamoto e Ghanem, 2002), uma vez que a média e

covariância não são suficientes para descrever o processo, e a não-correlação das

variáveis da expansão de Karhunen-Loeve não implica em independência. Uma prática

comum nestes casos é empregar a expansão e ainda assumir que o conjunto resultante

de variáveis não-correlacionadas é também mutuamente independente (Xiu, 2009).

Apesar de não corresponder completamente ao processo original do ponto de vista de

distribuição, as aproximações da média e função de covariância são retidas. Embora não

seja uma abordagem rigorosa, no momento não existem muitos métodos práticos para

este problema de parametrização. Esta abordagem será também empregada neste

trabalho, uma vez que o foco reside no procedimento subsequente de tratamento das

equações estocásticas e não na parametrização dos processos de entrada.

Em casos gerais, a equação integral (3.33) pode ser resolvida por algum

procedimento numérico. Existe, entretanto, solução analítica para algumas formas

especiais importantes e de uso prático da função de covariância (Van Trees, 1968,

Ghanem e Spanos, 1991, Xiu, 2010). A seguir será ilustrado um destes casos, que será

empregado neste trabalho.

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33

3.2.1 – Função de Covariância Exponencial

Uma função de covariância importante, sendo a mais comumente usada para

modelar processos randômicos em diversas aplicações (Xiu e Karniadakis, 2002b, Xiu e

Karniadakis, 2003b), é a função de covariância exponencial, dada por:

tx4, x& = ~&eG|GJ|/ 3.36

onde ~ é o desvio padrão do processo e a é denominado de comprimento de correlação.

Este processo pertence à classe de processos estacionários, e sua função de covariância

depende apenas da distância relativa entre dois pontos. Esta função será utilizada neste

trabalho por permitir solução analítica (Van Trees, 1968) da equação integral (3.33)

quando o domínio do problema é dado pelo segmento unidimensional [-b, b]. Os

autovalores deste problema são então dados por:

[# = ~& 2n1 + n&#& 3.37

e as autofunções correspondentes são:

x#x = sin#x p − sin2#p2# , se i é par

cos#x p + sin2#p2# , se i é impar 3.38

onde # é dado pela solução das equações transcendentais:

n # + tan# p = 0, se i é par1 − n #tan# p = 0, se i é impar 3.39

Um critério que pode ser usado para avaliar o truncamento advém do fato de que

a variância do processo, utilizando (3.34) e (3.36), é dada por:

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34

nx = D [# x#x&2#34 = ~& 3.40

Integrando no domínio D e usando a ortonormalidade de x#x, temos:

~& , wz = D [# 2#34 3.41

Dessa forma, a fração retida da variância ou do desvio padrão, após o

truncamento em N termos, pode ser estimada, respectivamente, como:

n6nvn = ∑ [# #34∑ [# 2#34 F FV.6FV.vn = ∑ [# #34∑ [# 2#34 3.42

Para valores crescentes de =, # tende para = − 1/2p e, portanto, [# tende

para:

lim#→2 [# = ~& 2n1 + n&)= − 1/2p*& 3.43

que pode ser usado para estimar as relações em (3.42).

A figura 3.1 exibe as 4 primeiras autofunções definidas por (3.38) para o

intervalo [-1, 1] e n = 0.5, onde se observa uma estrutura mais fina quanto mais

elevado o modo (maior índice). Os 8 primeiros autovalores são mostrados na figura 3.2

em escala logarítmica para diversos comprimentos de correlação a diferentes e ~& = 1.

Quanto maior o comprimento de correlação, maior a taxa de decaimento dos

autovalores. Para a muito pequeno, o decaimento é pouco visível.

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35

Figura 3.1 – Primeiras quatro autofunções da função de covariância exponencial

Figura 3.2 – Primeiros 8 autovalores para diferentes comprimentos de correlação

No limite de processo não correlacionado, com comprimento de correlação zero

(ruído branco) não ocorre decaimento dos autovalores. O outro extremo ocorre no caso

em que a função de covariância é dada por tx4, x& = ~&, o que implica em processo

plenamente correlacionado, com comprimento de correlação infinito. Esse é o caso

trivial em que o processo depende de apenas uma variável randômica, sendo que apenas

o primeiro autovalor é não nulo, correspondendo a uma autofunção constante.

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36

3.3 – Análise Estocástica Baseada em Caos Polinomial

A análise estocástica via Caos Polinomial teve origem no trabalho seminal de

Ghanem e Spanos (1991) com base na teoria do caos homogêneo de Wiener (1938),

combinando a expansão em termos de polinômios ortogonais de Hermite para variáveis

aleatórias Gaussianas ao método de elementos finitos, para modelar diversos problemas

estocásticos em mecânica dos sólidos. Mais tarde esta ideia foi estendida por Xiu e

Karniadakis (2002a) para um quadro mais geral, empregando outros polinômios

ortogonais hipergeométricos do esquema de Askey e Wilson (1985), do qual os

polinômios de Hermite são um subconjunto, sendo denominado Caos Polinomial

Generalizado (gPC).

Uma vez que os diferentes tipos de polinômio dessa família possuem funções

peso específicas, que coincidem com a forma de diferentes tipos de funções de

densidade de probabilidade além da Gaussiana, o método é capaz de representar

também processos estocásticos mais gerais não-gaussianos de forma mais eficiente,

obtendo convergência exponencial do erro.

O problema a ser resolvido nesta abordagem consiste em determinar os

coeficientes determinísticos da expansão de Caos Polinomial que representa o processo

randômico da solução. Tal tarefa pode ser realizada através da abordagem clássica de

projeção de Galerkin apresentada na seção 3.3.2 ou por uma abordagem prática de

colocação estocástica, apresentada na seção 3.3.3.

3.3.1 – Representação de Processos Randômicos: Caos Polinomial Generalizado

A expansão por caos polinomial generalizado é outro meio de representar um

processo randômico de segunda ordem, isto é, um processo que possui variância finita,

como a maioria dos processos físicos. Tal processo é uma função ∈ &Ω, onde Ω é o

espaço de probabilidades definido apropriadamente. Um processo randômico geral de

segunda ordem s, onde s representa o evento randômico, pode então ser expresso

como uma expansão em termos de um somatório infinito de polinômios ortogonais nas

variáveis randômicas como:

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37

s = uNΨN + D u#Ψ4 ]y#s^2#34 + D D u##JΨ& ]y#s, y#Js^#

#J342

#34+ D D D u##J#Ψ ]y#s, y#Js, y#s^#J

#34#

#J342

#34+ ⋯ , 3.44

onde ΨN=1 e ΨZ)y# , … , y#¢* denota o caos polinomial generalizado de ordem n em

termos das infinitas variáveis aleatórias y4s, … , yZs, … . Os polinômios

multidimensionais ΨZ pertencem à família Askey de polinômios hipergeométricos e são

definidos pelo produto tensorial dos polinômios unidimensionais ortogonais

correspondentes. A equação acima é baseada na versão discreta do Caos Polinomial

original, onde as integrais contínuas são substituídas por somatórios. Por conveniência,

a equação (3.44) é geralmente reescrita para apenas um índice, como:

s = D n<Φ<)ys*2<34 3.45

onde existe uma correspondência direta entre as funções-base e coeficientes em (3.44) e

(3.45) e ys = y4s, … , yZs, … é o vetor de variáveis randômicas. A

abordagem aqui apresentada é diretamente extensível a variáveis discretas (Xiu e

Karniadakis, 2002a), entretanto, o desenvolvimento subsequente focará em variáveis

randômicas contínuas. Daqui em diante, por questão de simplificação, será omitido o

símbolo s que foi usado para enfatizar a natureza aleatória das variáveis.

Estamos interessados aqui no caso em que o problema pode ser apropriadamente

parametrizado por um conjunto finito de variáveis randômicas independentes, de forma

a ser tratável computacionalmente, conforme discutido na seção anterior. Assim

definimos y = y4, … , y como um vetor randômico de dimensão N com componentes

independentes no espaço de probabilidades Ω.

Seja ¤#: Γ# → ℝ¨ a função densidade de probabilidade (FDP) da variável y#s, s ∈ Ω, cuja imagem é Γ# ≜ y#Ω ⊂ ℝ para = = 1, … , 6. Então, dada a independência

das variáveis randômicas, temos que a densidade de probabilidade conjunta do vetor

randômico y = y4, … , y e o seu suporte são dados por:

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38

¤y = « ¤#y##34 3.46a

Γ ≜ « Γ# ⊂ ℝ#34 3.46b

o que define portanto o espaço randômico N-dimensional. Embora não seja um

requerimento, normalmente é empregado o mesmo suporte para cada variável y#, de

modo que o espaço probabilístico de dimensão finita é geralmente definido como um

dos três tipos:

hipercubo: −1,1, 0, +∞ ou ℝ 3.47

No caso unidimensional, os polinômios xby#b3N2 de grau m, que formam a

base para o caos polinomial generalizado, são os polinômios ortogonais em relação à

quantidade ¤#y#y# em Γ# que satisfazem a relação de ortogonalidade:

¯[xby#xZy#] = , xby#xZy#¤#y#y# = °b±bZ ²I 3.48a

onde: °b = ¯[xb& ] = 8 xb& ¤#y#²I 3.48b

são os fatores de normalização, ±bZ é o delta de Kronecker e xNy# = 1. O operador

é chamado de operador de expectativa em teoria de probabilidade e estatística.

A função densidade de probabilidade ¤#y# na relação de ortogonalidade acima

é, portanto, a função peso dos polinômios ortogonais xby#, o que define o tipo de

polinômio diretamente relacionado ao tipo de distribuição da variável randômica y#. De

fato, para a maioria das distribuições de probabilidade conhecidas, existe um polinômio

ortogonal correspondente conhecido. Essa correspondência é listada na tabela 3.1.

A base multidimensional Φ³y correspondente, para o caso de N variáveis, é

dada pela combinação das bases unidimensionais xbIy# através do produto tensorial

de todas as combinações possíveis do índice múltiplo ³ = ´4 , … , ´ ∈ ℕN. Em

aplicações práticas, a base polinomial é limitada a polinômios de grau P, assim são

tomadas todas as combinações que satisfazem |³| ≤ , onde |³| = ´4 + ⋯ + ´.

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39

Tabela 3.1: Correspondência entre tipo de base polinomial ortogonal e distribuição de probabilidade. Distribuição Base polinomial

gPC Φb Domínio

Contínuo Gaussiana Gamma Beta Uniforme

Hermite Laguerre Jacobi Legendre

(-∞,∞) [0,∞) [a,b] [a,b]

Discreto Poisson Binomial Binomial Negativa Hipergeométrica

Charlier Krawtchouk Meixner Hahn

0,1,2,... 0,1,...,n 0,1,2,... 0,1,...,n

Portanto, a base Φ³y da expansão gPC de grau P em N variáveis é construída como

o produto dos polinômios unidimensionais de grau menor ou igual a P:

Φ³y = xby4xbJy& … xb·y, 0 ≤ |³| ≤ 3.49 O número total M de polinômios da base acima é dado por:

¸ = ]6 + 6 ^ = 6 + !6! ! 3.50 Da mesma forma que no caso unidimensional (3.48a), a relação de

ortogonalidade segue imediatamente:

¯[Φ³yΦy] = ,Φ³yΦy¤yy = °³±³ ² 3.51a

onde: °³ = ¯[Φ³& ] = °b°bJ … °b· 3.51b

são os fatores de normalização e ±³ = ±bZ±bJZJ … ±b·Z· é a função delta de

Kronecker N-dimensional.

O índice múltiplo, apesar de tornar clara a apresentação, é inconveniente para

manipulações práticas e geralmente é ordenado e substituído por um índice simples,

sendo a escolha mais comum a ordem lexicográfica graduada (Xiu, 2010), onde ³ >

se e somente se |³| ≥ || e o primeiro componente diferente de zero na diferença − ³ é positivo. A ordem lexicográfica graduada é mostrada na tabela 3.2 para N = 3.

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40

Tabela 3.2: Exemplo de ordenação lexicográfica graduada do índice múltiplo ³ para N = 3 dimensões. |³| Índice múltiplo ³ Índice único m

0 1

(0,0,0) (1,0,0) (0,1,0) (0,0,1)

1 2 3 4

2 (2,0,0) (1,1,0) (1,0,1) (0,2,0) (0,1,1) (0,0,2)

5 6 7 8 9 10

3 (3,0,0) (2,1,0)

...

11 12 ...

A tabela 3.3 mostra os polinômios de Hermite para ≤ 3 e 6 = 1,2,3.

Tabela 3.3: Base Φb com polinômios de Hermite até grau 3 para diferentes números de dimensões 6. 6 = 1

m Grau P Φb

1 0 1

2 1 y4

3 2 y4& − 1

4 3 y4 − 3y4

6 = 2

m Grau P Φb

1 0 1

2 3

1

y4 y&

4 5 6

2

y4& − 1 y4y& y&& − 1

7 8 9 10

3

y4 − 3y4 y4&y& − y& y4y&& − y4 y& − 3y&

6 = 3

m Grau P Φb

1 0 1

2 3 4

1

y4 y& y

5 6 7 8 9 10

2

y4& − 1 y4y& y4y y&& − 1 y&y y & − 1

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

3

y4 − 3y4 y4&y& − y& y4&y − y y4y&& − y4 y4y&y y4y & − y4 y& − 3y& y&&y − y y&y & − y& y − 3y

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41

Assim, adotando uma notação semelhante a (3.45) com o índice único definido

acima, um processo randômico geral »x, , y, x ∈ D ⊂ ℝ¼, = 1,2,3, > 0 e y ∈ Γ,

pode ser aproximado por uma expansão gPC de ordem P através de sua projeção no

espaço polinomial N-dimensional definido pela base Φby, ∀x ∈ D, > 0, como:

»¾ x, , y = D »bx, ¿b34 Φby, ¸ = ]6 + 6 ^ 3.52

onde »bx, são os coeficientes de Fourier determinísticos definidos como:

»bx, = ¯[»x, , yΦby]¯[Φb& ] = 1°b ,»x, , yΦby¤yy,² ´ = 1, … , ¸ 3.53

e as variáveis randômicas são transferidas para a base polinomial.

A teoria clássica de aproximação polinomial garante que esta é a melhor

aproximação em À¾, o espaço linear de polinômios N-dimensionais de grau até P, para

qualquer x ∈ D, > 0 e » ∈ Á& Γ. O erro quadrático médio desta projeção de ordem

finita é:

¾x, = ‖»¾ − »‖ÄÅJ ² = ¯[»¾ x, , y − »x, , y&]4/& 3.54

e converge para zero à medida que → ∞.

É interessante observar que os primeiros dois termos da equação (3.44)

representam o componente Gaussiano do processo randômico. Portanto, para um

processo Gaussiano, essa expansão se reduz a uma expansão de primeira ordem que

coincide com a expansão de Karhunen-Loeve (Ghanem e Spanos, 1991), onde os

coeficientes podem ser obtidos da maneira descrita na seção 3.2.

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42

3.3.2 – Método Galerkin Estocástico

Uma vez definida a base polinomial em função das variáveis randômicas, é

necessário encontrar os coeficientes determinísticos da expansão gPC na forma de

(3.52) da solução do problema estudado. A definição (3.53) não pode ser aplicada

diretamente, uma vez que envolve a solução desconhecida ».

Seja D ⊂ ℝ¼, = 1,2,3, o domínio físico com contorno D e = x4, … , x as

coordenadas espaciais. Considere a seguinte formulação geral para equações

diferenciais parciais estocásticas:

Æℒ, , »; y = 0, ∈ D, t > 0, y ∈ Γ ℬ, , »; y = 0, ∈ D, t > 0, y ∈ Γ 3.55» = »N; y, ∈ D, t = 0, y ∈ Γ

onde ℒ é o operador diferencial da equação, ℬ o operador das condições de contorno e » ∶= », ; y é a solução. O operador ℒ envolve diferenciações no espaço/tempo de

forma geral e pode ser não-linear. São assumidas condições de contorno e inicial

apropriadas. As variáveis randômicas y = y4, … , y caracterizam a incerteza no

sistema, introduzida pelas propriedades do material, condições de contorno, condição

inicial, etc. A solução » consiste, portanto, de um processo randômico, e buscamos uma

expansão gPC aproximada da solução na forma:

.¾, , y = D .b, ¿b34 Φby, ¸ = ]6 + 6 ^ 3.56

Aqui é usada a notação .¾ para distinguir da expansão exata »¾ definida em

(3.52). Substituindo (3.56) nas equações (3.55), e realizando uma projeção de Galerkin

pela integração, em relação à função peso, do produto das equações por cada base,

obtém-se as equações na forma fraca para os coeficientes .b, :

Ư[ℒ, , .¾; yΦÊy] = 0, ∈ D, t > 0¯[ℬ, , .¾; yΦÊy] = 0, ∈ D, t > 0.Ê, = ¯[»N; yΦÊy]/¯[ΦÊ&], ∈ D, t = 0Ë = 1, … , ¸ 3.57

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43

A dependência em Z desaparece, resultando em um sistema determinístico,

geralmente acoplado, de M equações diferenciais parciais que pode ser resolvido com

técnicas numéricas tradicionais. Esta abordagem é uma extensão direta da abordagem de

Galerkin clássica utilizada no método dos elementos finitos para equações

determinísticas, e busca minimizar o erro de usar a base finita de (3.56), garantindo que

o resíduo seja ortogonal ao espaço gerado por essa base.

3.3.2.1 – Exemplo de Aplicação

Como exemplo, vamos considerar o problema unidimensional transiente de

difusão (Xiu, 2010):

Æ»w, , y = ∂∂w Ìw, y ∂»∂wÍ + w, , w ∈ , > 0 »|RÎ = 0, »w, 0, y = »Nw 3.58

onde foi assumido que a única fonte de incerteza advém da difusividade randômica

kw, y, que causa acoplamento do sistema resultante. Incerteza no termo fonte e na

condição inicial não causarão acoplamento e podem ser tratados facilmente. Assume-se

que a difusividade foi parametrizada através de uma expansão de Karhunen-Loeve, com

a forma:

w, y = Nw + D #w#34 y# = D #w

#3N y# 3.59

onde yN = 1. Substituindo (3.56) e (3.59) em (3.58) e expandindo também o termo

fonte, obtém-se:

D .#w, Φ#y¿#34 = D D ∂∂w Ì#w ∂.<∂w Í y#Φ<y¿

<34

#3N + D #w, Φ#y¿#34 3.60

e após fazer a projeção, integrando com 8 _Φb¤y² , tem-se para m = 1, ... , M:

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44

.bw, = 1¯[Φb& ] D D ∂∂w Ì#w ∂.<∂w Í F#<b¿

<34

#3N + bw, = 1¯[Φb& ] D ∂∂w Ìn<bw ∂.<∂w Í¿

<34 + bw, , ´ = 1, … , ¸ 3.61a

.b|RÎ = 0, .4w, 0 = »Nw, .&w, 0, . w, 0, … , .¿w, 0 = 0 3.61b

onde F#<b = ¯[y#Φ<Φb] e n<bw = ∑ #w#3N F#<b. Os coeficientes gPC do termo

fonte bw, são, neste caso, 4 = e b = 0 para m > 1. O sistema (3.61) forma um

sistema acoplado de equações de difusão para os coeficientes .bw, .

3.3.3 – Método de Colocação Estocástica: Projeção Discreta

Todos os métodos baseados em colocação estocástica, estendendo as ideias dos

métodos de colocação determinísticos, buscam satisfazer as equações governantes

(3.55) em um determinado conjunto discreto de Q pontos no espaço randômico y<<34Ï , denominados de pontos de colocação ou nós.

Assim, para todo > = 1, … Ð, temos:

ℒ), , »; y<* = 0, ∈ D, t > 0 ℬ), , »; y<* = 0, ∈ D, t > 0 3.62» = »N); y<*, ∈ D, t = 0

o que é equivalente a resolver Q problemas determinísticos onde a variável randômica Z

é fixada, obtendo um conjunto de soluções determinísticas »<<34Ï , que pode ser pós-

processado para extrair informações úteis sobre », , y.

O método de simulação de Monte Carlo, por exemplo, é o tipo mais simples de

método de colocação onde o conjunto de pontos é gerado aleatoriamente baseado na

distribuição de probabilidade de Z. Recentemente, entretanto, a partir do trabalho de Xiu

e Hesthaven (2005) e posteriormente de Xiu (2007), foram propostos métodos de

colocação que fazem uso das ideias da teoria de aproximação polinomial para a escolha

estratégica dos nós, de modo a construir uma aproximação polinomial da solução.

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45

Comparado ao método de Galerkin, os métodos de colocação são de implementação

mais fácil e direta, porém geralmente resultam em um número maior de equações.

Entretanto, essas equações são mais fáceis de resolver, pois são completamente

desacopladas e requerem apenas execuções repetitivas de soluções determinísticas do

problema original.

O primeiro desses métodos proposto por Xiu e Hesthaven (2005) consiste em

utilizar uma interpolação de Lagrange da solução na forma:

Ñ», , y = D »), , y#*Ï#34 #y 3.63a

onde #)y<* = ±#< , 1 ≤ =, > ≤ Ð 3.63b

são os polinômios de Lagrange e »), , y#* é a solução obtida em cada nó y#. Depois de obtida a representação da solução na forma (3.63), as informações

estatísticas da solução podem ser obtidas, como por exemplo:

¯[», , y] ≈ ¯[Ñ», , y] = D »), , y#*Ï#34 ,#y¤yy² 3.64

Na prática, porém, evita-se a manipulação explícita e trabalhosa de polinômios

de Lagrange multidimensionais nas variáveis randômicas, e geralmente, ao invés de

obter uma expressão na forma de (3.63), opta-se por calcular as estatísticas da solução

diretamente, como em (3.64), substituindo as integrais em termos dos polinômios por

pesos já conhecidos, de acordo com uma regra de integração múltipla ou “cubatura”,

através da escolha apropriada dos nós e pesos (Xiu, 2009). Xiu e Hesthaven (2005)

analisaram diferentes escolhas para os pontos de colocação, introduzindo o uso da

“malha esparsa” (sparse grid) como uma construção eficiente para número elevado de

variáveis randômicas. Dessa forma o método se resume a um método de “amostragem

determinística” convencional (Tatang, 1997, Mathelin e Hussaini, 2003).

Alternativamente, foi proposto por Xiu (2007) um método, denominado

“pseudo-espectral” ou “projeção discreta” (Xiu, 2010), baseado em colocação

estocástica que permite reconstruir uma expansão da solução em termos da base

polinomial de gPC, combinando a facilidade de implementação típica dos métodos de

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46

colocação com a alta precisão e convergência do método gPC-Galerkin. Neste trabalho

usaremos o termo “gPC discreta”, dada sua relação conceitual direta com a expansão

gPC contínua definida na seção 3.3.1.

Nesta abordagem, a solução é novamente proposta como uma expansão gPC,

semelhante a (3.52), na forma:

Ò¾, , y = D Òb, ¿b34 Φby, ¸ = ]6 + 6 ^ 3.65

onde os coeficientes, entretanto, são obtidos pela aproximação discreta da integral

(3.53) como:

Òb, = 1°b D »), , y#*Ï#34 Φb)y#*#, ´ = 1, … , ¸ 3.66

onde y#, ##34Ï são os pontos de colocação e pesos correspondentes a uma regra de

cubatura apropriada e »), , y#* é a solução do problema (3.62) para cada ponto y# fixado. Portanto a projeção contínua exata definida em (3.52) e (3.53) é aproximada por

uma “projeção discreta”, utilizando a teoria de aproximação polinomial para o problema

de integração multidimensional. Comparado à interpolação multidimensional da

abordagem anterior, existem relativamente mais resultados na área de integração

múltipla.

A escolha dos pontos e pesos é feita de tal modo que, para integrandos

suficientemente suaves, Òb converge para o valor exato »b à medida que Ð → ∞, e

portanto, Ò¾ converge para »¾ . O erro quadrático médio entre a projeção contínua

exata e a projeção discreta, chamado de “aliasing error” por Xiu (2007) ou numa

tradução próxima “erro de resolução”, é causado pela precisão finita da regra de

cubatura usada e definido como:

ÂÏ ≜ ‖Ò¾ − »¾ ‖ÄÅJ ² = k D Òb − »b&°b¿

b34 l4/& 3.67

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47

O erro total induzido pela projeção discreta Ò¾ é então composto pelo erro

acima e pelo erro induzido por usar uma expansão de ordem finita P, conforme definido

em (3.54), e pode ser expresso pela desigualdade triangular como:

ÂÎ ≤ ¾ + ÂÏ 3.68

A principal tarefa computacional reside na avaliação repetitiva da solução nos

nós. A avaliação dos coeficientes (3.66) e reconstrução da expansão gPC discreta (3.65)

são etapas de pós-processamento e não requerem soluções adicionais do sistema.

Assim obtém-se novamente uma expressão analítica para a solução, da mesma

forma que no método de Galerkin, e as informações estatísticas de interesse podem ser

facilmente computadas conforme discutido na seção 3.3.4. Nesse aspecto, a gPC

discreta é mais vantajosa do que a abordagem via interpolação de Lagrange.

Outra característica vantajosa é que os coeficientes (3.66) da expansão podem

ser computados independentemente, e de acordo com a necessidade. A obtenção de

expansões gPC de maior ordem não afeta de forma significativa o custo do método, o

que contrasta com o método de Galerkin, onde todos os coeficientes são acoplados e

resolvidos simultaneamente, impactando diretamente o seu custo para ordens

superiores.

3.3.3.1 – Regras de Cubatura e Escolha dos Pontos de Colocação

Uma regra de cubatura é uma extensão para o caso multidimensional da ideia da

regra de quadratura, ou seja, é uma regra de integração que busca aproximar uma

integral múltipla:

, ¤ , ∈ ℝ , 6 > 1 3.69

por

ÓÏ[] = D #Ï#34 #, Ð ≥ 1 3.70

onde #, #<34Ï são os nós definidos no espaço N-dimensional e seus respectivos

pesos associados.

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A escolha de uma boa da regra de cubatura é um fator chave para garantir a

precisão do método da gPC discreta, e irá definir os pontos de colocação para os quais o

sistema original deve ser resolvido. Assim é desejável que, para uma determinada

precisão, medida em termos do grau de exatidão polinomial, uma regra de integração

use o menor número possível de pontos. Uma regra de integração de grau n implica em

valor exato da integral para qualquer f que seja um polinômio de grau até n e não exata

para pelo menos um polinômio de grau n+1.

A obtenção de regras de cubatura eficientes em espaços multidimensionais é um

problema não trivial e um campo de pesquisa ativo. No caso de domínios simples,

regras unidimensionais bem estabelecidas para cada direção podem ser estendidas para

todas as direções através de uma construção via produto tensorial, as chamadas “regras

produto” (Stroud, 1971). Muitas opções são disponíveis para o caso unidimensional e a

escolha que fornece a maior precisão, para um dado número de pontos, é a quadratura

de Gauss, baseada nos zeros de polinômios ortogonais, que oferece grau 2q-1, onde q é

o número de pontos. Esta opção é também uma escolha natural para o método aqui

apresentado, uma vez que pode ser formulada uma quadratura de Gauss baseada no tipo

de polinômio ortogonal usado xZy# e que emprega o peso ¤#y# e suporte Γ# da

variável randômica correspondente.

Para cada variável y# de y = y4, … , y podemos construir uma quadratura de

Gauss como:

ÔÕI[] = D ]y#<^ ∙ #<ÕI<34 3.71

baseada no conjunto de nós Θ4ÕI = y#4, … , y#ÕI ⊂ Γ#. Esta quadratura é exata para

qualquer polinômio em ℙ&ÕIG4(y#, o espaço de polinômios de grau até 2Ù# − 1.

Existem várias referências, como por exemplo, o trabalho de Stroud e Secrest (1966),

onde são apresentados valores tabelados para os pontos e pesos das quadraturas

gaussianas, que podem também ser obtidos através de procedimentos numéricos. No

caso de polinômios de Hermite, por exemplo, os pontos em uma quadratura de q pontos

são dados pelas q raízes reais do polinômio de Hermite de ordem q, ÚÕy#:

y#<: ÚÕ ]y#<^ = 0, > = 1, … , Ù 3.72a

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49

e os pesos podem ser obtidos (Stroud e Secrest, 1966) pela fórmula:

#< = 2Õ¨4Ù! √ÜÚÕ¨4 ]y#<^Ý& , > = 1, … , Ù 3.72b

Vale observar que neste caso, entretanto, a função peso do polinômio acima é FGÞIJ, diferente da versão do polinômio de Hermite usado aqui para as expansões gPC,

onde ¤#y# = FGÞIJ/&/√2, igual à FDP da distribuição Gaussiana padrão. Assim é

necessário introduzir um fator de correção nos pesos para compensar esta diferença, e a

regra de cubatura (3.71) corrigida é dada por:

ÔÕI[] = D ]y#<^ ∙ ßFÞIàJ&√2 á #<ÕI<34

= D ]y#<^ ∙ +#<ÕI<34 3.73

Para estender a fórmula (3.71) a todas as direções y#, a fórmula produto é

construída através do produto tensorial como:

ÔÏ[] ≡ ÔÕ ⊗ ⋯ ⊗ ÔÕ·[]= D ⋯ D y4<, ⋯ ,Õ·

<·34 y<· ∙ 4< ⋯ <·Õ<34 3.74

O conjunto total de pontos, argumentos da função f na formulação acima é,

portanto, obtido pela combinação dos pontos em cada direção, ΘÏ = Θ4Õ ⊗ ⋯ ⊗ Θ4Õ·,

onde o número total é dado por Ð = Ù4 × ⋯ × Ù. Esta cubatura é exata para todo

polinômio multidimensional em ℙ&ÕG4y# ⊗ ⋯ ⊗ ℙ&Õ·G4y. A formulação acima é fácil de ser construída e fornece cubaturas de alta

precisão. Deve-se ressaltar, entretanto, que para dimensões mais altas, o número de nós

cresce rapidamente. Se for usado o mesmo número q de pontos em cada direção, o

número total de pontos no espaço N-dimensional será Ð = Ù, que para 6 ≫ 1 pode ser

imenso. Portanto, a regra de cubatura baseada em produto tensorial é geralmente usada

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50

apenas para dimensões mais baixas, como 6 ≤ 5. Entretanto, quando sua aplicação é

viável, é capaz de fornecer a maior precisão possível dentre as regras de cubatura

conhecidas. Esta opção de cubatura é empregada neste trabalho, dada sua facilidade de

construção e alta precisão, uma vez que o número de variáveis é mantido baixo nos

problemas aqui tratados, onde o foco é demonstrar a aplicação dos diferentes métodos.

Como alternativa para altas dimensões, pode ser usado o conceito de “malha

esparsa”, baseada no algoritmo de Smolyak (1963), conforme proposto por Xiu e

Hesthaven (2005) e Xiu (2007) no contexto de métodos de colocação estocástica. A

malha esparsa pode ser entendida como uma regra de cubatura que consiste em um

subconjunto da malha completa do produto tensorial apresentado anteriormente,

utilizando um algoritmo sofisticado de modo que o conjunto reduzido de pontos é

escolhido estrategicamente para preservar ao máximo possível a precisão da integração.

Dependendo da escolha da quadratura Gaussiana em uma dimensão, existe uma

variedade de construções com malha esparsa, com diferentes graus de precisão (Xiu,

2010).

Além das fórmulas produto que usam pontos estruturados, existem outros tipos

de cubatura baseados em considerações geométricas, que são dados como fórmulas

explícitas, no tocante à localização dos nós e seus pesos. Quando existentes, tais

fórmulas geralmente utilizam menos pontos do que fórmulas produto para uma mesma

precisão, principalmente para graus mais baixos. Este é um campo de pesquisas ativo,

onde muitos aspectos são ainda desconhecidos. Uma revisão exaustiva destas regras é

dada por Stroud (1971) e Cools (2003). Podem ser destacadas, por exemplo, duas regras

de baixo grau, sendo a primeira de grau 2 que utiliza apenas N+1 pontos em N

dimensões, e outra de grau 3 que usa apenas 2N pontos, ambas propostas por A.H.

Stroud. Estas regras podem ser muito eficientes para casos de dimensão elevada, devido

ao número extremamente pequeno de nós e, em muitos casos, podem fornecer bons

resultados, apesar do grau relativamente baixo.

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51

3.3.4 – Obtenção das Informações Estatísticas

Uma vez obtida a expansão gPC com precisão satisfatória (3.56) ou (3.65),

através de um dos dois métodos apresentados, obtém-se de fato uma expressão analítica

da solução u em termos das variáveis randômicas Z do problema (3.55), através da base

polinomial usada. Isso permite obter as informações estatísticas de interesse de uma

forma direta e simplificada.

Para maior simplificação, iremos assumir que os polinômios ortogonais usados

na expansão gPC já foram apropriadamente normalizados, de forma que æΦ- b& ç = 1,

onde Φ- b são os polinômios normalizados, obtidos como Φ- b = Φb/5¯[Φb& ]. Assim, fazendo uso da ortogonalidade dos polinômios, a média (ou valor

esperado) da solução, por exemplo, pode ser obtida como:

¯[»] ≈ ¯[»¾ ] = , è D »b¿

b34 Φ- byé ¤yy² = »4 3.73

O segundo momento, isto é, a função de covariância, pode ser estimada na

variável espacial, para um determinado tempo t como:

tKx4, x& ≜ ¯[ »x4, − ¯[»x4, ] »x&, − ¯[»x&, ] ] ≈ ¯[ »¾ x4, − ¯[»¾ x4, ] »¾ x&, − ¯[»¾ x&, ] ] = D »bx4, »bx&, ¿

b3& 3.74

e, portanto, a variância é dada por:

nKx = ¯[ »x, − ¯[»x, ] & ] = tKx, x ≈ D »b& x, ¿

b3& 3.75

Para polinômios não normalizados, as expressões acima sofrem pequenas

modificações, para levar em conta os fatores de normalização. Outras quantidades

estatísticas podem ser obtidas de modo semelhante, aplicando a expansão gPC da

solução u (Xiu, 2009).

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52

3.4 – Simulação de Monte Carlo

Aqui será apresentado rapidamente o método de simulação de Monte Carlo, que

será utilizado na análise e comparação dos resultados.

Simulação de Monte Carlo é um dos métodos mais desenvolvidos e utilizados

para resolver problemas com equações diferenciais estocásticas. O procedimento geral é

simples e consiste das seguintes etapas:

1. Para um número prescrito de realizações M, gerar um conjunto de M pontos

aleatórios y# = ]y4#, … , y#^, = = 1, … , ¸, no espaço randômico das N

variáveis independentes do problema, de acordo com a distribuição de

probabilidade especificada.

2. Para cada = = 1, … , ¸, resolver o problema determinístico (3.55) com y = y#, obtendo um conjunto de soluções »#x, ≜ »x, , y#.

3. Pós-processar os resultados para estimar as estatísticas da solução. Por

exemplo, a média pode ser estimada como:

¯[»x, , y] ≈ 1 D »#x, ¿#34 3.76

Da mesma forma, outras informações estatísticas podem ser estimadas

diretamente, aplicando a definição apropriada sobre conjunto de soluções.

Fica claro, portanto, que a parte principal, responsável pelo custo computacional

do método, etapa 2, envolve solucionar repetitivamente M versões determinísticas do

problema original. Como »# são variáveis aleatórias independentes e identicamente

distribuídas, o Teorema do Limite Central afirma que a distribuição do estimador da

média na expressão acima converge, no limite ¸ → ∞, para uma distribuição gaussiana ê¯[»] , ~ë&/¸, cujo desvio padrão é ~ë/√¸, onde ~ë é o desvio padrão da solução

exata. Por este motivo é adotado amplamente o conceito de que a taxa de convergência

do erro na simulação de Monte Carlo é inversamente proporcional à raiz quadrada do

número de realizações.

Esta taxa de convergência é relativamente baixa. De modo geral, para o aumento

em um dígito na precisão requerida, é necessário aproximadamente 100 vezes mais

simulações. Por outro lado, esta convergência é independente do número de variáveis,

característica que nenhum outro método possui, o que, aliado à facilidade de

implementação, tornam o método bastante eficaz e flexível.

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53

CAPÍTULO 4 MÉTODO PROPOSTO: GITTgPC

A seguir será apresentada uma nova abordagem proposta, baseada na junção da

técnica de Transformação Integral generalizada e do método de Caos Polinomial para a

solução específica de problemas estocásticos de condução de calor em meio

heterogêneo, onde a incerteza está presente nos coeficientes da equação. Esta

abordagem proposta será referida aqui como GITTgPC.

4.1 – Formulação do Problema

O problema a ser tratado é dado pelo seguinte sistema de equações diferenciais

parciais estocásticas, semelhante ao problema determinístico equivalente (3.7):

; y , ; y = ∂∂w ì; y ∂, ; y∂w í − , ; y + , ; y, ∈ , > 0 4.1a , 0; y = ; y, ∈ 4.1b

, ; y + ; y , ; y = ϕ, ; y, ∈ 4.1c

onde o potencial , ; y depende da posição x definida na região ⊂ ℝ¼, = 1,2,3,

com superfície de contorno S, do tempo t e do vetor de variáveis randômicas y ∈ Γ ⊂ℝ.

Aqui considera-se a incerteza presente apenas nos coeficientes e da equação

e nos termos fonte. O procedimento é prontamente extensível também para o caso com

incerteza no coeficiente d do termo de dissipação linear, porém, por questão de

simplicidade, este caso não será considerado neste trabalho.

Considera-se que os processos randômicos dos dados de entrada do sistema já

tenham sido adequadamente parametrizados, de modo que a dependência funcional dos

mesmos em relação ao conjunto de N variáveis randômicas independentes y =y4, … , y é conhecida, por exemplo, através do uso da expansão de Karhunen-Loeve,

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54

conforme discutido na seção 3.2. De forma geral, podemos considerar que os processos

podem ser independentes um do outro, então 6 = 6î + 6Ê + 6ïëKðïñ , onde 6î é o

número de variáveis que caracterizam , 6Ê o número de variáveis de k e o último

termo representa as demais variáveis randômicas independentes do problema.

4.2 – Procedimento de Solução

Aplicando as ideias da Técnica de Transformação Integral, podemos fazer um

pré-tratamento das equações (4.1), antes de aplicar os métodos estocásticos

propriamente ditos, de modo a buscar obter um sistema de equações ordinárias

estocásticas mais simples, que pode então ser resolvido pelas técnicas convencionais

apresentadas.

Com base nas considerações anteriores, os processos e podem ser descritos

na forma dada por (3.32), separados em uma parte determinística, a média do processo,

e outra estocástica, como:

, y = \ + ò ; y , , y = + + ò ; y 4.2a,b

onde: ò ; y = ∑ #ó#34 y#î, ò ; y = ∑ #ô#34 y#Ê 4.3a, b

e o sistema (4.1) pode ser reescrito na forma:

\ + ò ; y = ∂∂w Ì+ ∂∂wÍ + ∂∂w Ìò ; y ∂∂wÍ − + , ; y, ∈ , > 0 4.4a = ; y, ∈ , = 0 4.4b

+ ; y = ϕ, ; y, ∈ , > 0 4.4c

Assim, podemos propor um problema de autovalor tomando apenas as médias

determinísticas dos coeficientes, como:

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55

∇. +∇"# + [%#&\ − ]"# = 0, ∈ 4.5a

"# + + "# = 0, ∈ 4.5b

O problema acima pode ser prontamente resolvido, dentre outros meios, usando

a GITT, conforme procedimento descrito na seção 3.1.2.1, para obter os autovalores e

autofunções.

Após a obtenção dos autovalores e autofunções, procede-se à transformação

integral do sistema (4.4) fazendo uso do par transformada-inversa:

+#; y = , \"-#, ; y./ , transformada 4.6a

, ; y = D "-#+#; y2#34 , inversa 4.6b

Aqui o problema torna-se semelhante à situação descrita na seção 3.1.3, onde no

caso a variável randômica y faz o papel de variável não eliminada no processo de

transformação integral. Portanto, repetindo as manipulações algébricas descritas na

seção 3.1.3 para o caso simultâneo de dependência em e em , a integração da

equação (4.4a) e da condição inicial (4.4b) usando o operador 8 "-# _ ./ resulta no

seguinte sistema diferencial ordinário estocástico, de primeira ordem e acoplado:

+#; y + D n#<y +<2<34 − D p#<y +<

2<34 + %#&+# = :#; y 4.7a

+#0; y = #y = , \"-#; y./ 4.7b

onde:

:#; y = , ; y["-# − "-# ]VX + , "-#, ; y. 4.7c/

n#<y = , ò ; y"-#"-<./ 4.7d

p#<y = , "-<∇. [ò ; y∇"-#]./ 4.7e

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Portanto, o problema estocástico é transferido para o campo transformado, onde

o sistema de EDO’s acoplado acima pode ser truncado em uma ordem 6õ

suficientemente grande para garantir a precisão requerida e resolvido para +#; y por

um dos métodos baseados em Caos Polinomial apresentados anteriormente, a fim de

obter os potenciais transformados na forma de expansões gPC de ordem P:

+#; y = D ö#,b¿b34 Φby, ¸ = ]6 + 6 ^ , = = 1, … , 6õ 4.8

Uma vez obtidos os campos transformados estocásticos, a solução final para o

campo de temperatura estocástico pode ser reconstruída utilizando a fórmula da inversa

(4.6b):

, ; y = D "-#+#; y÷#34 = D "-# D ö#,b¿

b34 Φby÷#34 4.9

A solução para o caso unidimensional do problema acima pode ser obtida

imediatamente, através da restrição apropriada do domínio do problema para apenas

uma variável espacial. Assim o problema pode ser reescrito como:

w; y w, ; y = ∂∂w Ìw; y ∂∂wÍ − w + w, ; y, wN < w < w4 , > 0 4.10a = w; y, wN < w < w4, = 0 4.10b

ð − −1ððw; y w = ϕw, ; y, w = wð , = 0,1, > 0 4.10c

com problema auxiliar de autovalor dado por:

w E+w "#ww O + [%#&\w − w]"#w = 0, wN < w < w4 4.11a

ð"#wð − −1ðð+wð "#wðw = 0, = 0,1 4.11b

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57

e o par transformada-inversa é dado por:

+#; y = , \w"-#ww, ; ywùùú , transformada 4.12a

w, ; y = D "-#w+#; y2#34 , inversa 4.12b

Após o procedimento de transformação integral obtém-se o sistema:

+#; y + D n#<y +<2<34 − D p#<y +<

2<34 + %#&+# = :#; y 4.13a

+#0; y = #y = , \w"-#ww; ywùùú 4.13b

onde:

:#; y = D wð; y−1ð¨4 ["-# w − "-#w ]ûùü4

ð3N + , "-#ww, ; yw 4.13cùùú

n#<y = , ò w; y"-#w"-<wwùùú 4.13d

p#<y = , "-<w∇. [ò w; y∇"-#w]wùùú 4.13e

Novamente, após o truncamento em uma ordem 6õ, o sistema estocástico acima

pode ser resolvido, obtendo (4.8), que permite reconstruir o campo de temperatura final

usando (4.12b) como:

w, ; y = D "-#w+#; y÷#34 = D "-#w D ö#,b¿

b34 Φby÷#34 4.14

Portanto, após o pré-tratamento das equações através de transformação integral,

a análise estocástica é reduzida a um sistema de EDO’s estocástico dado por (4.7) ou

(4.13). As matrizes de coeficientes n#<y e p#<y possuem 6õ × 6õ termos na forma

de integrais que devem ser computadas, entretanto, podem ser, em geral, calculadas de

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forma rápida e eficiente, desde que as autofunções "-# e expansões Karhunen-Loeve ò e ò , do tipo considerado, possuam forma analítica simples e então a tarefa pode ser

resumida em poucas famílias de integrais, cuja forma analítica pode ser prontamente

obtida com o auxílio de computação simbólica.

4.2.1 – Solução do Campo Transformado Estocástico

O sistema de EDO’s estocástico dado por (4.7) ou (4.13) pode ser prontamente

resolvido por um dos métodos estocásticos apresentados no capítulo 3. A aplicação do

método de Galerkin sobre o sistema já acoplado e truncado em 6õ equações usando

uma expansão gPC de ¸ termos, irá aumentar o tamanho do sistema para 6õ × ¸

equações acopladas, com a tarefa adicional de avaliar as matrizes de coeficientes finais

do sistema, consistindo de 6õ × ¸ × 6õ × ¸ termos, cujas integrais podem ser

calculadas analiticamente via computação simbólica. Entretanto, essa tarefa pode ter

elevado custo computacional, uma vez que as integrais neste caso não podem ser

reduzidas a poucas famílias.

Alternativamente, o método da gPC discreta utilizando Ð pontos de colocação

mostra-se de aplicação simples e direta, pois apenas requer Ð soluções repetitivas do

sistema de EDO’s original de 6õ equações e os coeficientes da expansão gPC são dados

por:

ö#,b = D +#); y<*Φb)y<*<Ï<34 , ´ = 1, … , ¸ 4.15

Além disso, esse sistema possui uma propriedade especial que pode ser

explorada para aumentar ainda mais a eficiência na obtenção da solução, conforme

mencionado no final da seção 3.1.3: os coeficientes são constantes, isto é, não

dependem de t, mas apenas de Z cujo valor é fixado em cada ponto de colocação. Esta

condição permite desacoplar o sistema para a obtenção de soluções analíticas explícitas.

O sistema pode ser expresso na forma matricial:

ý\M = d ý\ + þ, > 0 4.16a ý\0 = 4.16b

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A matriz 6õ × 6õ de coeficientes constantes d possui um conjunto de 6õ

autovetores linearmente independentes # e autovalores correspondentes [#, dados

pelo problema de autovalor: d − [## = 0, = = 1, … , 6õ 4.17

Uma matriz de transformação , capaz de transformar a matriz d em uma matriz

diagonal, pode ser construída como:

= g4, … , ÷h 4.18a

e definindo uma nova variável:

ý\ = 4.18b

o sistema (4.16) pode ser reescrito como:

M = d + þ 4.19a

ou, M = Gd + Gþ = + 4.19b

0 = ∗ = G 4.19c

onde é uma matriz diagonal formada pelos autovalores [4, … , [÷.

O sistema desacoplado (4.19) permite solução analítica na forma:

v = FK Ev0 + , FGKLhM ′KN O , i = 1, … , 6õ 4.20

e a solução para o sistema original pode então ser reconstruída como:

ý\ = D ÷34 v 4.21

Assim a solução analítica do campo transformado é facilmente obtida a partir da

solução numérica do sistema algébrico (4.17), o que permite a obtenção do campo de

temperatura final também totalmente analítico.

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4.3 – Obtenção das Informações Estatísticas

Uma vez obtido o campo de temperatura na forma de (4.9) ou (4.14), as

informações estatísticas de interesse podem ser prontamente obtidas. Novamente iremos

assumir que a base polinomial foi normalizada.

Assim, fazendo uso da ortogonalidade dos polinômios, a média da solução pode

ser obtida como:

¯$, ; y] ≈ , èD "-# D ö#,b¿b34 Φby÷

#34 é ¤yy² = D "-# ö#,4÷#34 4.22

O segundo momento, isto é, a função de covariância, pode ser estimada na

variável espacial, para um determinado tempo t, como:

tK4, & ≜ ¯[ 4, − ¯[4, ] &, − ¯[&, ] ] ≈ D D "-#4"-<&÷

<34÷#34 D ö#,bö<,b¿

b3& 4.23

e, portanto, a variância é dada por:

nK = ¯[ , − ¯[, ] & ] = tK, ≈ D D "-#"-<÷

<34÷#34 D ö#,bö<,b¿

b3& 4.24

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61

CAPÍTULO 5 APLICAÇÕES E RESULTADOS

Nesta seção são apresentados os resultados numéricos obtidos com a aplicação

dos métodos discutidos nos capítulos anteriores. Foram escolhidos três problemas com

nível crescente de sofisticação, de modo a verificar a metodologia e exemplificar as

diferentes aplicações e particularidades. O primeiro consiste na análise de uma equação

diferencial ordinária estocástica, focando na verificação dos métodos clássicos

implementados com resultados da literatura, demonstrando a convergência do erro para

ordens crescentes da expansão gPC. A segunda aplicação já é um problema estocástico

de condução em meio heterogêneo, também obtido na literatura, e cuja solução exata é

conhecida. Este problema é parametrizado por apenas uma variável randômica. Por fim,

propõe-se um problema multivariável mais geral, onde os processos são parametrizados

por uma expansão de Karhunen-Loeve.

Para desenvolvimento e aplicação dos algoritmos foi utilizada a plataforma de

computação simbólica Mathematica v.7.0 (Wolfram, 2003), particularmente útil nos

algebrismos necessários no método de transformação integral, facilitando também a

implementação dos outros métodos e proporcionando uma interface gráfica adequada

para visualização e apresentação dos resultados. As etapas de solução numérica de

equações diferenciais parciais nos métodos de Galerkin e Projeção Discreta são

executadas utilizando a rotina NDSolve do Mathematica.

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62

5.1 – Equação Diferencial Ordinária

Para efeito de demonstração e verificação dos métodos baseados em Caos

Polinomial pelas duas abordagens, Galerkin e Projeção Discreta via colocação, foi

utilizado o exemplo apresentado por Xiu e Karniadakis (2002a) para uma equação

diferencial ordinária. Este exemplo demonstra a convergência exponencial do erro em

relação à ordem da expansão gPC da solução com a escolha ótima da base polinomial.

O problema é dado por:

= −, 0 = # 5.1

onde o coeficiente de decaimento é a variável randômica do problema com uma certa

distribuição e média +.

A solução determinística é dada por:

= #FGÊ+ K 5.2

A média da solução estocástica exata é dada por:

+ùK = ¯[] = # ,FGÊKX 5.3

e sua variância é definida como:

~ùK& = ¯ Ü) − +*&Ý = ,]#FGÊK − +^&X 5.4

onde é a função densidade de probabilidade (FDP) e a integração é tomada no

suporte definido pela distribuição correspondente.

A solução pode então ser aproximada por uma expansão gPC de ordem P,

como:

≈ D b¿b34 Φb, ¸ = + 1 5.5

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São definidas duas medidas de erro para a média e variância da expansão (5.5):

bé# = û+¾ − +ùK+ùK û, ð = û~¾& − ~ùK&

~ùK& û 5.6a, b

A abordagem de Galerkin consiste em substituir (5.5) nas equações (5.1) e em

seguida integrar o produto das equações por cada base, em relação à função peso,

obtendo as equações para os coeficientes da expansão:

b = − 1¯[Φb& ] D #¿#34 ¯[ Φ#Φb], ´ = 1, … , ¸ 5.7a

40 = #, &0, … , ¿0 = 0 5.7b

Os resultados de Xiu e Karniadakis (2002a) foram obtidos apenas com a

abordagem de Galerkin acima. Entretanto será empregado aqui também o método da

Projeção Discreta para comparação. Na abordagem de projeção discreta, resolve-se o

sistema (5.1) em cada ponto de colocação #, = = 1, … , Ð, cada qual com seu peso

correspondente #, obtendo a solução #. Os coeficientes da expansão gPC (5.5)

são então dados pela integral discreta:

b = 1¯[Φb& ] D #Ï#34 Φb)#*#, ´ = 1, … , ¸ 5.8

A seguir são apresentados os resultados numéricos obtidos para diferentes tipos

de distribuição de , utilizando a base polinomial correspondente. A condição inicial é

fixada em # = 1 e os erros são calculados em = 1.

5.1.1 – Distribuição Uniforme e Polinômio de Legendre

A variável é definida como uma variável randômica com distribuição

uniforme e média zero no intervalo [−1,1], cuja FDP é = 1/2.

A média e variância da solução estocástica exata neste caso são dadas por:

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64

+ùK = sinh , ~ùK& = cosh sinh

− sinh&t& 5.9a, b

Dado o tipo de distribuição, uniforme, é empregado o polinômio de Legendre

para a expansão gPC, conforme tabela 3.1.

A figura 5.1 mostra a variação com o tempo de cada coeficiente determinístico

da expansão (5.5) de grau P=4, obtidos pelo método de Galerkin. Observa-se que a

solução determinística (5.2) é constante e igual a 1, já que + = 0, entretanto, a média da

solução estocástica (primeiro coeficiente da expansão, conforme equação (3.73)) cresce

com o tempo. Resultado semelhante foi exibido por Xiu e Karniadakis (2002a).

Figura 5.1 – Coeficientes da expansão (Legendre, P = 4) e solução determinística

A figura 5.2 mostra a convergência exponencial do erro da média e variância

(5.6a,b) à medida que o grau P da expansão aumenta, onde o valor do erro é plotado em

escala logarítmica. Observa-se a excelente concordância gráfica em relação aos valores

sobrepostos do trabalho de Xiu e Karniadakis (2002a).

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65

Figura 5.2 – Convergência do erro da média e variância (gPC-Legendre)

Figura 5.3 – Comparação erro Galerkin vs erro Projeção Discreta com 6 pontos de

colocação (gPC-Legendre)

A figura 5.3 apresenta uma comparação com o método de colocação de Projeção

Discreta. Com apenas 6 pontos de colocação, este método apresenta menor erro para a

variância até o quarto grau da expansão, e até o terceiro grau para a média.

Observa-se que a média possui erro constante independente do grau da expansão

gPC. Isso ocorre pois a média depende apenas do primeiro coeficiente da expansão,

cujo erro neste caso é determinado apenas pela regra de cubatura e número de pontos de

colocação usados na aproximação da integral discreta, não dependendo do grau P. Este

erro, chamado de “aliasing error”, foi discutido na seção 3.3.3 e é definido pela equação

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66

(3.67). A figura 5.4 ilustra o efeito do “aliasing error” sobre o erro quadrático médio da

expansão gPC discreta obtida neste exemplo, para 3, 4 e 6 pontos de colocação. O erro

quadrático médio é dado por:

 = )¯æ¾ − ùK&ç*4/& 5.10

Observa-se que, à medida que a ordem da expansão aumenta, o erro converge

apenas se um número suficiente de nós de integração for usado. Para 6 pontos de

colocação o “aliasing error” é pequeno e a convergência é exponencial até o quarto grau

do polinômio. Com 4 pontos o erro mostra-se saturado e com apenas 3 pontos deteriora

com o aumento da ordem da expansão.

Figura 5.4 – Erro quadrático médio com o aumento da ordem da expansão e diferentes

números de pontos de colocação (gPC-Legendre)

5.1.2 – Distribuição Gaussiana e Polinômio de Hermite

Aqui a variável é definida como uma variável randômica Gaussiana com

distribuição normal padrão, ou seja, média zero e variância unitária, cuja FDP é dada

por = FGÊJ/&/√2 . A média e variância da solução estocástica exata neste caso são dadas por:

+ùK = FKJ/& , ~ùK& = F&KJ − FKJ 5.11a, b

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67

O polinômio ortogonal correspondente a essa distribuição é o polinômio de

Hermite, conforme tabela 3.1.

A figura 5.5 mostra os coeficientes da expansão gPC. Como no caso anterior, a

solução determinística é constante, entretanto a média da solução estocástica cresce com

o tempo. Resultado semelhante foi exibido por Xiu e Karniadakis (2002a).

Figura 5.5 – Coeficientes da expansão (Hermite, P = 4) e solução determinística

Novamente observa-se a excelente concordância gráfica em relação aos

resultados de Xiu e Karniadakis (2002a) para a convergência exponencial do erro da

média e variância com valores crescentes do grau P da expansão na figura 5.6.

Figura 5.6 – Convergência do erro da média e variância (gPC-Hermite)

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A figura 5.7 apresenta uma comparação com o método de colocação de Projeção

Discreta com 14 pontos de colocação. Neste caso observa-se que tanto a média quanto a

variância apresentam menor erro em relação ao método de Galerkin para todos os graus

considerados. Novamente observa-se o comportamento do erro da média, independente

do grau da expansão.

Figura 5.7 – Comparação erro Galerkin vs erro Projeção Discreta com 14 pontos de

colocação (gPC-Hermite)

A figura 5.8 ilustra o efeito do “aliasing error” sobre o erro quadrático médio da

expansão gPC discreta para diferentes números de pontos de colocação. À medida que o

número de pontos diminui, a convergência deteriora.

Figura 5.8 – Erro quadrático médio com o aumento da ordem da expansão e diferentes

números de pontos de colocação (gPC-Hermite)

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5.1.3 – Distribuição Exponencial e Polinômio de Laguerre

Neste último exemplo consideramos a variável como tendo distribuição

exponencial, com FDP = FGÊ, e será mostrada apenas a concordância com o

resultado apresentado por Xiu e Karniadakis (2002a). A média e variância de são

+ = 1 e ~Ê& = 1.

A média e variância da solução estocástica exata neste caso são dadas por:

+ùK = 1 + 1 , ~ùK& = 1

2 + 1 − 1 + 1& 5.12a, b

A distribuição exponencial é um caso particular da distribuição gamma e, neste

caso, o polinômio correspondente é o polinômio de Laguerre, conforme tabela 3.1.

A figura 5.9 mostra os coeficientes da expansão gPC. Novamente observa-se

diferença considerável entre a solução determinística e a média da solução estocástica.

Resultado semelhante foi exibido por Xiu e Karniadakis (2002a).

Figura 5.9 – Coeficientes da expansão (Laguerre, P = 4) e solução determinística

A figura 5.10 mostra o resultado obtido para a convergência exponencial do erro

da média e variância com valores crescentes do grau P, verificado com o resultado

apresentado por Xiu e Karniadakis (2002a) através da ótima concordância gráfica.

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Figura 5.10 – Convergência do erro da média e variância (gPC-Laguerre)

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71

5.2 – Problema Modelo de Condução de Calor em Uma Variável

Aqui é analisado um exemplo que permite aplicar o método proposto GITTgPC.

O problema tratado é o de condução de calor unidimensional em apenas uma variável

randômica y, com solução exata disponível, apresentado por Xiu e Karniadakis (2003a).

São comparados os resultados obtidos pelas abordagens convencionais de Galerkin e

Projeção Discreta e pela abordagem proposta de GITTgPC, usando como referência a

solução exata e simulações de Monte Carlo.

O problema é dado por:

w; y w, ; y = ∂

∂w Ìw; y ∂∂w w, ; yÍ + w, ; y, w ∈ [0,1] 5.13a

0, ; y = 1, ; y = cos[Ây] 5.13b w, 0; y = cos2w 5.13c

onde y é uma variável randômica com média zero e definida no intervalo [-1,1], no caso

de distribuição uniforme, ou com desvio padrão unitário, no caso de distribuição

Gaussiana padrão. A variável auxiliar Ây = ~y é definida de modo a permitir

controlar a amplitude total ou desvio padrão através do parâmetro ~.

A condutividade térmica, capacidade térmica e termo fonte, randômicos, tem a

forma:

w; y = 1 + Ây[1 + Ây]w, w; y = 2[1 + Ây] w, ; y = 4&w; y cos[Ây + 2w] 5.14a,b,c

A solução exata deste problema é dada por:

w, ; y = cos[Ây + 2w] 5.15

São demonstrados dois casos de distribuição diferentes para a variável

randômica y: distribuição uniforme, com ~ = 0.2 e ~ = 0.4 e distribuição Gaussiana

com desvio padrão ~ = 0.2, suficientemente pequeno de modo a permitir existência de

solução com valores não negativos das propriedades físicas. Intuitivamente é possível

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72

assumir esta situação, embora, rigorosamente a variável possa assumir valores muito

negativos com probabilidade não nula, ainda que muito pequena. Os polinômios

ortogonais correspondentes para a expansão gPC são, respectivamente, o polinômio de

Legendre e o polinômio de Hermite, conforme tabela 3.1.

Para distribuição uniforme U(-1,1) da variável, com FDP = 1/2, a média da

solução exata é dada por:

+w, = cos$2w' sin$~'~ 5.16

e para distribuição Gaussiana normal padrão ê(0,1), com FDP = FGJJ √2 :

+w, = F−122~2 cos$2w' 5.17

No contexto da abordagem baseada em transformação integral GITTgPC, é

interessante utilizar um filtro para homogeneizar as condições de contorno, de modo a

permitir a convergência da solução próxima dos contornos, uma vez que as condições

do contorno do problema auxiliar são também homogêneas. Assim, pode-se utilizar um

filtro linear que reproduz o valor da temperatura nos contornos. Neste caso, como as

condições de contorno são iguais, o filtro é uma reta paralela ao eixo w:

#¼Kðïw, ; y = 0, ; y) = (1, ; y) = cos[Â(y)] (5.18)

e o problema (5.13) pode ser reformulado como:

(w; y) ∗(w, ; y) = ∂

∂w Ì(w; y) ∂∗

∂w Í + ∗(w, ; y), w ∈ [0,1] (5.19a) ∗(0, ; y) = ∗(1, ; y) = 0 (5.19b) ∗(w, 0; y) = cos(2w) − 1 (5.19c) ∗(w, ; y) = (w, ; y) + (w; y)Â(y) sin[Â(y)] (5.19d)

(w, ; y) = #¼Kðï(w, ; y) + ∗(w, ; y) = cos[Â(y)] + ∗(w, ; y) (5.19e)

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73

5.2.1 – Distribuição Uniforme com σ = 0.2

5.2.1.1 – Método de Galerkin

Primeiramente foi aplicado o método de Galerkin ao sistema de equações

estocásticas (5.13), empregando uma expansão gPC de ordem = 1 com polinômios de

Legendre, que resulta em uma expansão com apenas 2 termos, de acordo com (3.50),

para número de variáveis 6 = 1.

Após empregar a expansão gPC e aplicar a projeção de Galerkin ao sistema de

equações, o sistema acoplado resultante para os coeficientes determinísticos foi

resolvido numericamente utilizando a função NDSolve do Mathematica.

Apesar da aproximação de baixa ordem no espaço randômico, a figura 5.11

mostra boa convergência para a média da solução em = 1, comparada à média da

solução exata e à solução determinística do problema. Para este caso de desvio pequeno

a solução determinística apresenta-se muito próximo à média.

Figura 5.11 – Média da solução com expansão gPC-Legendre Galerkin de primeira

ordem comparada à média exata e à solução determinística (~ = 0.2)

O resultado obtido para o desvio padrão em = 1 é mostrado na figura 5.12(a).

Observa-se boa concordância com o valor exato mesmo para a baixa ordem da

expansão, com pequenas diferenças visíveis.

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(a)

(b)

Figura 5.12 – Desvio padrão da solução com expansão gPC-Legendre Galerkin

comparado ao valor exato para = 1 (a) e = 2 (b) (~ = 0.2).

Para uma convergência ainda melhor, pode-se empregar uma expansão de ordem = 2, que resulta em 3 termos. O novo resultado obtido é mostrado na figura 5.12(b).

Observa-se agora que a curva obtida e a exata estão completamente coincidentes

graficamente em todos os pontos.

O erro quadrático médio da solução numérica com a expansão gPC em relação à

solução exata é computado como:

Âx, = ‖¾ − ‖ÄÅJ ² = ¯[¾x, , y − x, , y&]4/& 5.20

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75

A figura 5.13 demonstra a convergência da norma do erro em = 1 para valores

crescentes da ordem P da expansão, em escala logarítmica. À medida que a ordem

aumenta, o erro decresce exponencialmente, como esperado, e de acordo com os

resultados demonstrados na seção 5.1.

Figura 5.13 – Erro quadrático médio da solução para ordens crescentes da expansão

gPC-Legendre Galerkin (~ = 0.2)

5.2.1.2 – Método de Projeção Discreta

Como no caso anterior, primeiramente foi aplicado o método de Projeção

Discreta ao sistema de equações estocásticas (5.13), empregando uma expansão gPC de

ordem = 1 com polinômios de Legendre.

Este método possui a vantagem de que a escolha da ordem P não afeta de forma

significativa seu custo computacional, uma vez que a computação dos coeficientes

adicionais para ordens superiores é uma etapa de pós-processamento e não incorre em

mais avaliações do sistema original.

Foi verificado que resultados com precisão satisfatória são obtidos para 4 pontos

de colocação, o que neste caso com 6 = 1, significa apenas 4 soluções repetitivas do

sistema determinístico correspondente a (5.13) em cada ponto de colocação. O efeito da

utilização de menos pontos de colocação será apresentado mais adiante.

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76

A figura 5.14 mostra o resultado obtido para a média da solução em = 1, que

já apresenta boa convergência com expansão de primeira ordem. Como esperado, o

resultado é semelhante ao obtido na figura 5.11 com o método de Galerkin.

Figura 5.14 – Média com expansão gPC-Legendre Discreta (4 pontos de colocação) de

primeira ordem comparada à média exata e à solução determinística (~ = 0.2)

Uma análise do desvio padrão, figura 5.15(a), revela um pequeno distanciamento

em alguns pontos em relação aos valores exatos. Novamente, uma concordância mais

precisa é obtida empregando-se uma expansão de segunda ordem, com 3 termos,

conforme mostrado na figura 5.15(b).

Estes resultados estão em concordância com o que foi observado para o método

de Galerkin, o que é esperado, uma vez que os dois métodos diferem apenas na

abordagem utilizada para computar os coeficientes determinísticos da expansão

proposta.

A figura 5.16 demonstra a convergência em escala logarítmica da norma do erro

em = 1, conforme definido em (5.20), para valores crescentes da ordem P da

expansão. É demonstrado também o efeito introduzido por utilizar um número

insuficiente de pontos de colocação, devido ao “aliasing error” na aproximação dos

coeficientes por integração discreta. À medida que a ordem aumenta, o erro converge

exponencialmente apenas se utilizado um número suficiente de pontos, caso contrário o

“aliasing error” torna-se dominante, podendo levar a resultados muito ruins com o

aumento da ordem da expansão.

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77

(a)

(b)

Figura 5.15 – Desvio padrão da solução com expansão gPC-Legendre Discreta

comparado ao valor exato para = 1 (a) e = 2 (b) (4 pontos de colocação) (~ = 0.2)

Figura 5.16 – Erro quadrático médio da solução para ordens crescentes da expansão

gPC-Legendre Discreta e diferentes números de pontos de colocação (~ = 0.2).

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78

5.2.1.3 – Método GITTgPC

Aqui são apresentados os resultados obtidos com o novo método proposto.

Primeiramente foi feita uma análise de convergência para o número 6õ de termos

necessários na expansão GITT conforme equação (4.14), isto é, o número de

autofunções e campos transformados, para que a solução seja representada com precisão

satisfatória. Isso pode ser verificado através da análise convencional do problema

determinístico via transformação integral, verificando a convergência da solução para o

número crescente de termos.

(a)

(b)

Figura 5.17 – Demonstração do efeito de poucos termos na expansão GITT (a). Detalhe mostrando a convergência com número crescente de termos (b).

Foi verificado que para a presente análise, um número de termos 6õ = 30 já se

mostra suficiente, de modo que o erro associado a esta representação seja subdominante

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79

em relação aos erros associados aos parâmetros da análise estocástica. A figura 5.17(a)

ilustra o efeito da utilização de uma expansão GITT “pobre”, para o caso extremo de

apenas 3 termos para facilitar a visualização. A figura 5.17(b) mostra em maior detalhe

a convergência para números crescentes de termos.

A figura 5.18 mostra o resultado para a média da solução GITTgPC obtida,

utilizando uma expansão de primeira ordem para o campo transformado e apenas 4

pontos de colocação. Assim como nos dois métodos anteriores, o resultado para a média

já se apresenta bem convergido para a expansão gPC do campo transformado de grau 1.

Para este método, entretanto, o resultado obtido para o desvio padrão já exibe

concordância em todos os pontos sem ser necessário usar uma expansão de segunda

ordem. Este resultado é mostrado na figura 5.19.

Figura 5.18 – Média com expansão GITTgPC-Legendre Discreta (4 pontos de

colocação) de ordem 1 comparada à média exata e à solução determinística (~ = 0.2)

(b)

Figura 5.19 –Desvio padrão com GITTgPC-Legendre Discreta (4 pontos de colocação) de ordem 1 comparado aos valores exatos (σ = 0.2)

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80

A figura 5.20 mostra a convergência do erro em = 1, para valores crescentes

da ordem P da expansão gPC do campo transformado, demonstrando também o efeito

devido ao “aliasing error”, conforme discutido anteriormente para o método de Projeção

Discreta.

Figura 5.20 – Erro quadrático médio para ordens crescentes da expansão gPC Discreta

do campo transformado e diferentes números de pontos de colocação (~ = 0.2).

5.2.1.4 – Comparação entre os métodos e simulação de Monte Carlo

A figura 5.21 exibe a comparação do erro obtido para cada método. Percebe-se

valores e comportamento semelhantes, com aparente maior taxa de convergência para o

método GITTgPC, apesar do erro inicial estar maior.

Figura 5.21 – Erro quadrático médio para os diferentes métodos (Uniforme, ~ = 0.2)

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81

Apenas para efeito de comparação, foram executadas também simulações de

Monte Carlo. O resultado para a variância (quadrado do desvio padrão), cuja

convergência é mais lenta do que a média, é exibido na figura 5.22(a) e em maior

detalhe na figura 5.22(b). Observa-se a convergência da solução por Monte Carlo para

as soluções encontradas com os outros métodos à medida que o número de avaliações

aumenta. Uma boa concordância é atingida após 50000 avaliações.

(a)

(b)

Figura 5.22 – Comparação dos métodos com simulação de Monte Carlo. (a) Variância em todo o domínio (b) Detalhe mostrando a convergência (Uniforme, ~ = 0.2)

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82

Ainda assim, o erro absoluto da diferença entre a variância obtida por Monte

Carlo e a variância exata é da ordem de 10-5, enquanto o erro absoluto dos outros

métodos é da ordem de 10-7. Uma comparação direta com o método de Projeção

Discreta que utilizou apenas 4 pontos de colocação mostra uma aceleração em torno de

12500 vezes (50000/4). Razões na mesma ordem de grandeza são esperadas para o

método de Galerkin com apenas 3 termos e o método GITTgPC com também 4 pontos

de colocação.

A figura 5.23 exibe a distribuição da solução convergida para = 1, onde as

barras de erro são centradas na média, com comprimento de um desvio padrão para

cima e um para baixo.

Figura 5.23 – Distribuição em torno da média da solução com dispersão de um desvio padrão para cada lado (Uniforme, ~ = 0.2)

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83

5.2.2 – Distribuição Uniforme com σ = 0.4

Resultados semelhantes foram obtidos para o caso de ~ = 0.4, que consiste em

um valor de incerteza relativamente alto, fora da abrangência típica dos métodos de

perturbação para problemas estocásticos.

5.2.2.1 – Método de Galerkin

O resultado obtido para a média mostra-se visualmente bem convergido para

uma expansão de primeira ordem, conforme figura 5.24. Neste exemplo, devido ao

maior valor da incerteza, a curva da solução determinística destoa de forma mais

perceptível em relação à média.

Assim como no caso anterior, o uso de uma expansão de ordem 1, embora

adequado para a média, mostra-se insuficiente para uma concordância mais precisa dos

momentos superiores. Na figura 5.25(a) pode-se observar diferença perceptível para o

desvio padrão em relação ao valor exato. Novamente o uso de uma expansão de ordem

2 resolve o problema, e a nova curva convergida pode ser vista na figura 5.25(b).

Finalmente, na figura 5.26 percebe-se o decaimento exponencial do erro

quadrático médio com o aumento da ordem da expansão.

Figura 5.24 – Média da solução com expansão gPC-Legendre Galerkin de primeira

ordem comparada à média exata e à solução determinística (~ = 0.4)

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(a)

(b)

Figura 5.25 – Desvio padrão da solução com expansão gPC-Legendre Galerkin comparado ao valor exato para = 1 (a) e = 2 (b) (~ = 0.4)

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Figura 5.26 – Erro quadrático médio da solução para ordens crescentes da expansão

gPC-Legendre Galerkin (~ = 0.4)

5.2.2.2 – Método de Projeção Discreta

Para este caso foi novamente constatado o uso suficiente de 4 pontos de

colocação na obtenção de resultados com boa precisão. A figura 5.27 exibe o resultado

obtido para a média convergida com uma expansão de primeira ordem (2 termos).

Figura 5.27 – Média da solução com gPC-Legendre Discreta (4 pontos de colocação) de

primeira ordem comparada à média exata e à solução determinística (~ = 0.4)

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86

A figura 5.28(a) exibe o desvio padrão da solução de primeira ordem da

expansão gPC, onde percebe-se diferença em relação ao valor exato. Já a figura 5.28(b)

exibe o desvio padrão da solução de grau 2 (3 termos) da expansão gPC, onde a curva

agora se mostra coincidente com a curva exata.

(a)

(b)

Figura 5.28 – Desvio padrão da solução com expansão gPC-Legendre Discreta comparado ao valor exato para = 1 (a) e = 2 (b) (4 pontos de colocação) (~ = 0.4)

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87

A convergência exponencial do erro é ilustrada graficamente na figura 5.29,

onde é mostrado também o efeito negativo sobre o erro ao se utilizar menos pontos de

colocação (“aliasing error”).

Figura 5.29 – Erro quadrático médio da solução para ordens crescentes da expansão

gPC-Legendre Discreta e diferentes números de pontos de colocação (~ = 0.4)

5.2.2.3 – Método GITTgPC

Novamente foram usados 30 termos para a expansão GITT, como discutido no

caso anterior.

Figura 5.30 – Média com expansão GITTgPC-Legendre Discreta (4 pontos de

colocação) de ordem 1 comparada à média exata e à solução determinística (~ = 0.4)

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88

Novamente, apenas 4 pontos de colocação se mostraram suficientes. A figura

5.30 mostra a boa convergência da média para expansão gPC de primeira ordem no

campo transformado.

A figura 5.31(a) mostra bom resultado para o desvio padrão, entretanto uma

melhor convergência em todo o domínio é possível com o uso de uma expansão de

ordem 2, conforme figura 5.31(b).

(a)

(b)

Figura 5.31 – Desvio padrão da solução com GITTgPC-Legendre Discreta comparado ao valor exato para = 1 (a) e = 2 (b) (4 pontos de colocação) (~ = 0.4)

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89

O erro quadrático médio, juntamente com o efeito do “aliasing error” é mostrado

na figura 5.32.

Figura 5.32 – Erro quadrático médio para ordens crescentes da expansão gPC Discreta

do campo transformado e diferentes números de pontos de colocação (~ = 0.4)

5.2.2.4 – Comparação entre os métodos e simulação de Monte Carlo

A figura 5.33 exibe a comparação do erro obtido para cada método. Percebe-se

valores e comportamento semelhantes.

Figura 5.33 – Erro quadrático médio para os diferentes métodos (Uniforme, ~ = 0.4)

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90

A figura 5.34 compara os métodos usados com simulações de Monte Carlo para

a variância. Novamente obtém-se boa concordância para 50000 avaliações. Neste caso o

erro absoluto por Monte Carlo é da ordem de 10-5, enquanto o erro absoluto dos outros

métodos é da ordem de 10-6. São válidas as demais considerações feitas anteriormente.

(a)

(b)

Figura 5.34 – Comparação dos métodos com simulação de Monte Carlo. (a) Variância em todo o domínio (b) Detalhe mostrando a convergência (Uniforme, ~ = 0.4)

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91

A figura 5.35 exibe a distribuição da solução convergida para = 1, onde as

barras de erro são centradas na média, com comprimento de um desvio padrão para

cima e um para baixo.

Figura 5.35 – Distribuição em torno da média da solução com dispersão de um desvio

padrão para cada lado (Uniforme, ~ = 0.4)

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92

5.2.3 – Distribuição Gaussiana com σ = 0.2

5.2.3.1 – Método de Galerkin

O resultado obtido para a média mostra-se visualmente bem convergido para

uma expansão gPC-Hermite de primeira ordem, com apenas 2 termos, conforme figura

5.36. Percebe-se também pequena diferença da solução média para a determinística para

o desvio pequeno considerado. Para permitir aplicação da distribuição Gaussiana, o

valor do parâmetro ~, que neste caso é o desvio padrão da variável randômica, deve ser

limitado a valores pequenos o suficiente de modo que a probabilidade das propriedades

randômicas assumirem valores negativos e sem significado físico seja desprezível.

Na figura 5.37(a) observa-se discrepância significativa entre a curva obtida do

desvio padrão e a curva exata. O uso de uma expansão de segunda ordem e apenas 3

termos novamente corrige essa distorção, obtendo um resultado com ótima

concordância gráfica, conforme mostrado na figura 5.37(b).

Finalmente, na figura 5.38 percebe-se o decaimento exponencial do erro

quadrático médio com o aumento da ordem da expansão.

Figura 5.36 – Média da solução com expansão gPC-Hermite Galerkin de primeira

ordem comparada à média exata e à solução determinística

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(a)

(b)

Figura 5.37 – Desvio padrão da solução com expansão gPC-Hermite Galerkin comparado ao valor exato para = 1 (a) e = 2 (b) (~ = 0.2)

Figura 5.38 – Erro quadrático médio da solução para ordens crescentes da expansão

gPC-Hermite

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94

5.2.3.2 – Método de Projeção Discreta

Para este caso foram usados 11 pontos de colocação para obtenção de resultados

com boa precisão. A figura 5.39 exibe o resultado obtido para a média convergida com

uma expansão gPC-Hermite Discreta de primeira ordem.

Figura 5.39 – Média da solução com gPC-Hermite Discreta (11 pontos de colocação) de

primeira ordem comparada à média exata e à solução determinística

A figura 5.40(a) exibe o desvio padrão da solução de primeira ordem da

expansão gPC, onde percebe-se diferença perceptível em relação ao valor exato. Já a

figura 5.40(b) exibe o desvio padrão da solução de segunda ordem, onde as curvas agora

se mostram coincidentes graficamente.

A convergência exponencial do erro é ilustrada graficamente na figura 5.41,

onde é mostrado também o efeito negativo sobre o erro ao se utilizar menos pontos de

colocação (“aliasing error”).

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(a)

(b)

Figura 5.40 – Desvio padrão da solução com expansão gPC-Hermite Discreta comparado ao valor exato para = 1 (a) e = 2 (b) (11 nós de colocação) (~ = 0.2)

Figura 5.41 – Erro quadrático médio da solução para ordens crescentes da expansão

gPC-Hermite Discreta e diferentes números de pontos de colocação

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96

5.2.3.3 – Método GITTgPC

Os resultados foram obtidos novamente com 30 termos na expansão GITT,

número suficiente para garantir a precisão necessária. Aqui também foram usados 11

pontos de colocação.

Como nos casos anteriores, foi obtida boa convergência da média para grau 1 da

expansão gPC do campo transformado, conforme figura 5.42. O resultado nesse caso

para o desvio padrão é mostrado na figura 5.43(a). A figura 5.43(b) mostra uma melhor

convergência com o uso de uma expansão gPC de segundo grau.

O erro quadrático médio, juntamente com o efeito do “aliasing error” é mostrado

na figura 5.44.

Figura 5.42 – Média com expansão GITTgPC-Hermite Discreta (11 pontos de

colocação) de ordem 1 comparada à média exata e à solução determinística

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(a)

(b)

Figura 5.43 – Desvio padrão da solução com GITTgPC-Hermite Discreta comparado ao valor exato para = 1 (a) e = 2 (b) (11 pontos de colocação) (~ = 0.2)

Figura 5.44 – Erro quadrático médio para ordens crescentes da expansão gPC Discreta

do campo transformado e diferentes números de pontos de colocação

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98

5.2.3.4 – Comparação entre os métodos e simulação de Monte Carlo

A figura 5.45 exibe a comparação do erro obtido para cada método. Observa-se

que os valores são próximos, apresentando boa concordância.

Figura 5.45 – Erro quadrático médio para os diferentes métodos (Gaussiana, ~ = 0.2)

A figura 5.46 compara os métodos usados com simulações de Monte Carlo.

Obtém-se boa concordância para 90000 avaliações. Comparando diretamente com o

método de Projeção Discreta que utilizou 11 pontos de colocação, tem-se uma razão da

ordem de (90000/11) ~ 8200 vezes mais avaliações necessárias para obtenção de

resultado semelhante. Razões com ordem de grandeza semelhante são esperadas com os

outros métodos.

Além do custo computacional bem maior, o resultado convergido com 90000

avaliações para a variância apresenta erro absoluto da ordem de 10-4, enquanto que com

os outros métodos este erro é da ordem de 10-5.

A figura 5.47 exibe a distribuição da solução convergida para = 1, onde as

barras de erro são centradas na média, com comprimento de um desvio padrão para

cima e um para baixo.

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(a)

(b)

Figura 5.46 – Comparação dos métodos com simulação de Monte Carlo. (a) Variância em todo o domínio (b) Detalhe mostrando a convergência (Gaussiana, ~ = 0.2)

Figura 5.47 – Distribuição em torno da média da solução com dispersão de um desvio

padrão para cada lado (Gaussiana, ~ = 0.2)

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100

5.3 – Problema Geral Multivariável

Para ilustrar a aplicação dos métodos apresentados a um problema mais geral,

propõe-se aqui a análise de um problema de condução de calor semelhante ao problema

estudado por Naveira-Cotta (2009). Essa é uma aplicação de interesse sob a luz dos

recentes desenvolvimentos na fabricação de novos materiais, que têm suas propriedades

moldadas de uma forma pré-projetada, como os FGM (functionally graded materials) e

os nanocompósitos, quando as propriedades do material são estabelecidas a priori de

modo a atender uma determinada aplicação térmica.

Neste problema, o meio heterogêneo consiste de uma placa de nanocompósito de

nanopartículas de óxido metálico dispersas em matriz polimérica, onde o controle da

concentração das nanopartículas x(w) permite obter a distribuição espacial desejada das

propriedades termofísicas (w) e (w). Iremos assumir a presença de incerteza na

configuração espacial destas duas propriedades.

A placa é submetida a um fluxo de calor prescrito Ùî() em uma das faces, em

apenas uma porção, e perdas por convecção natural e radiação na face oposta, com os

demais contornos isolados, conforme apresentado esquematicamente na figura 5.48. A

placa é termicamente fina, o que permite modelar o problema como unidimensional na

dimensão x, usando parâmetros concentrados na direção transversal.

A formulação matemática do problema estocástico é então dada por:

(w;ω) (w, ; ω) = ∂

∂w Ì(w;ω) ∂∂wÍ −ℎ(w)( − b)

Þ+ Ùî(w, )

Þ,

0 < w < , > 0 (5.21a) (w, 0;ω) = b , 0 < w < (5.21b)

wù3N= 0, wù3Ä

= 0 (5.21c)

onde Þ = 1´´ é a espessura da placa, = 12u´ seu comprimento e a temperatura

ambiente é b = 23.4 °t.

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101

Figura 5.48 – Esquema do modelo físico do problema estudado

O fluxo de calor é modelado como:

Ùî(w, ) = !Ùðñ () 0 < w < /30 /3 < w <

(5.22)

onde Ùðñ é o fluxo de calor proveniente de uma resistência elétrica. Para este problema

considerou-se Ùðñ = 1610,82 "/´& e () = 1 − 0,7FGN,NN#K. Para obtenção do

coeficiente ℎ(w), devido à convecção natural e radiação, foram usadas as mesmas

correlações e considerações feitas em Naveira-Cotta (2009), sendo aqui omitidas.

A relação entre a condutividade térmica e a concentração de nanopartículas,

pode ser estimada pelo modelo de Lewis e Nielsen (1970) como:

= b Ì1 + jix1 − ix$Í (5.23a)

i = (/b) − 1(/b) + j , $ = 1 + %1 − xñ

xñ&&x (5.23b)

onde x(w) é a concentração volumétrica de nanopartículas, é a condutividade efetiva

do nanocompósito, é a condutividade da nanopartícula e b a condutividade da

matriz polimérica. j e xñ são fatores geométricos sugeridos. Para partículas esféricas

com acomodação randômica, tem-se j = 1,5 e xñ = 0,637. A matriz polimérica

considerada tem capacidade e condutividade térmicas de b = 2,2264 × 10' ( ´ ⁄

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102

e b = 0,545 "/´, respectivamente, enquanto as partículas de óxido de alumínio

tem propriedades dadas por = 3,0172 × 10' ( ´ ⁄ e = 36 "/´.

Iremos assumir que a condutividade térmica, definida a priori e obtida na

fabricação do material, possui a forma exponencial dada por:

+(w) = 9,0FG4#(ÄGù) (5.24)

Dessa forma, tem-se que x(0) = 35,28% e x() = 59,95%. Utilizando a

teoria de misturas para a capacidade térmica, (w) = x(w) + b(1 − x(w)), temos

que (0) = 2,5 × 10' ( ´ ⁄ e () = 2,7 × 10' ( ´ ⁄ , o que define a forma

exponencial da capacidade térmica como:

\(w) = 2,7 × 10'FGN.',(ÄGù) (5.25)

Podemos então aplicar uma expansão de Karhunen-Loeve para parametrizar os

processos randômicos (w;ω) e (w;ω), que possuem distribuição em torno de suas

médias, dadas pelas equações (5.24) e (5.25), respectivamente. Será utilizada a função

de covariância exponencial discutida na seção 3.2.1, empregando um comprimento de

correlação n = 6u´, relativamente alto, de modo a manter baixa a dimensionalidade do

problema. A figura 5.49(a) mostra as primeiras 4 autofunções obtidas, e o decaimento

dos autovalores é mostrado na figura 5.49(b).

(a) (b)

Figura 5.49 – Primeiras 4 autofunções(a) e decaimento dos autovalores (b)

Por simplicidade, iremos assumir ainda que os processos (w;ω) e (w;ω) são

plenamente interligados, isto é, possuem dependência nas mesmas variáveis

randômicas. Utilizaremos, portanto, apenas os primeiros 3 termos da expansão,

resultando em um espaço randômico com 3 variáveis. Esse truncamento implica em

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103

uma retenção de 92% do desvio padrão total do processo, conforme (3.42), o que é

aceitável.

Definindo novamente um parâmetro ~, o desvio padrão de (w;ω), ou sua

amplitude de variação, no caso de distribuição uniforme das variáveis, será definido

como uma fração do valor em w = 0, dado por ~Ê = ~+(0). Uma análise de

sensibilidade da influência da variação da concentração x(w) sobre a variação relativa

de (w) e (w), possibilitou determinar um fator mais realista para o desvio padrão, ou

amplitude, de (w;ω), que será considerado como ~î = (0.073)~\(0). As figuras 5.50(a) e (b) mostram a média, juntamente com 2 realizações

aleatórias dos processos (w;ω) e (w;ω), respectivamente.

(a) (b)

Figura 5.50 – Média (linha cheia) e 2 realizações aleatórias de (a) (w;ω) e (b) (w;ω)

Com o problema adequadamente parametrizado, podemos proceder à sua análise

estocástica. Uma vez que não há uma solução analítica disponível, será empregada a

simulação de Monte Carlo para verificar de forma qualitativa e visual a solução pelos

métodos analíticos usados. As simulações de Monte Carlo são também realizadas sobre

o sistema já parametrizado, com a base dimensional reduzida após a expansão de

Karhunen-Loeve. Assim exclui-se o erro introduzido pela expansão de Karhunen-Loeve

truncada, que é bem compreendido.

Apesar de não consistir em uma análise quantitativa rigorosa, o que não faria

muito sentido dada a natureza não exata da simulação de Monte Carlo, a apresentação

gráfica é suficiente para demonstrar a concordância dos resultados. Esta abordagem de

apresentação qualitativa visual é muito comum em trabalhos nesta área (Xiu e

Karniadakis, 2002b, Xiu e Karniadakis, 2003a, Xiu e Karniadakis 2003b, Xiu, 2007) e

será também aqui empregada, sendo adequada para os objetivos propostos.

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104

5.3.1 – Distribuição Uniforme com σ = 0.2

De modo semelhante ao problema anterior, serão apresentados os resultados

obtidos utilizando os três métodos. Neste caso será utilizado como referência o método

de simulação de Monte Carlo, para verificar graficamente a convergência dos métodos,

uma vez que não existe solução analítica exata disponível para este problema.

5.3.1.1 – Método de Galerkin

Primeiramente foi aplicado o método de Galerkin ao sistema de equações (5.21),

com (w;ω) e (w;ω) parametrizados pela expansão de Karhunen-Loeve com 3

variáveis randômicas. Foi empregada a base polinomial ortogonal de Legendre

relacionada à distribuição Uniforme das variáveis randômicas. A figura 5.51 mostra o

resultado da média da solução obtida, comparada à simulação de Monte Carlo com

100000 realizações. Observa-se que as curvas coincidem. Foi utilizada neste caso uma

expansão de ordem 1 para a expansão gPC, com 4 termos no total, que já se mostrou

suficiente. A solução determinística também é muito próxima da média neste problema.

Figura 5.51 – Média da solução com gPC Galerkin de ordem 1, comparada à simulação

de Monte Carlo (100000 avaliações) e à solução determinística

A figura 5.52 mostra o resultado para a convergência do desvio padrão em

relação à solução de Monte Carlo para 100000 realizações.

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105

Figura 5.52 – Desvio padrão com gPC Galerkin de ordem 1, comparada à simulação de

Monte Carlo (100000 avaliações) e à solução determinística

Na figura 5.53 é mostrada a distribuição final encontrada, centrada em torno da

média e com um desvio padrão para cada lado.

Figura 5.53 – Distribuição em torno da média, com amplitude de um desvio padrão

5.3.1.2 – Método de Projeção Discreta

Resultado semelhante para a gPC Discreta de ordem 1 e apenas 2 pontos de

colocação (nós) em cada dimensão, 8 no total, podem ser vistos nas figuras 5.54 – 5.56.

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106

Figura 5.54 – Média da solução com gPC Discreta de ordem 1, total 8 nós, comparada à

simulação de Monte Carlo (100000 avaliações) e à solução determinística

Figura 5.55 – Desvio padrão com gPC Discreta de ordem 1, total 8 nós, comparada à

simulação de Monte Carlo (100000 avaliações) e à solução determinística

Figura 5.56 – Distribuição em torno da média, com amplitude de um desvio padrão

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107

5.3.1.3 – Método GITTgPC

Primeiramente buscou-se tornar subdominante o efeito de distorção introduzido

pelo uso de poucos termos na expansão GITT deste método. Para isso o número de

termos foi aumentando gradativamente, para o caso do problema determinístico, e

observada a convergência da solução. Foi determinado que o número de termos

6õ = 30 é suficiente, garantindo boa precisão para esta aplicação, sem aumentar

demasiadamente o custo computacional. A figura 5.57(a) ilustra o efeito de distorção

com o uso de poucos termos. A figura 5.57(b) mostra uma visão em maior detalhe

mostrando a convergência em relação à solução numérica com alta precisão gerada pela

função NDSolve do Mathematica.

(a) (b)

Figura 5.57 – Ilustração do efeito do número de termos na expansão GITT.(a) Distorção

com número insuficiente, (b) detalhe mostrando convergência com NDSolve

Figura 5.58 – Média da solução com GITTgPC de ordem 1, total 8 nós, comparada à

simulação de Monte Carlo (100000 avaliações) e à solução determinística

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108

A figura 5.58 mostra a média convergida utilizando uma expansão gPC para o

campo transformado de primeira ordem (4 termos) e com apenas 8 pontos de colocação

no total, 2 nós em cada variável randômica.

A figura 5.59 mostra o resultado para o desvio padrão convergido com a

expansão de primeira ordem utilizada, que fornece um resultado com boa concordância

em relação à simulação de Monte Carlo com 100000 avaliações.

Na figura 5.60 pode ser vista a distribuição final, com resultado semelhante ao

obtido pelos outros métodos.

Figura 5.59 – Desvio padrão com GITTgPC de ordem 1, total 8 nós, comparada a

simulação de Monte Carlo (100000 avaliações) e solução determinística

Figura 5.60 – Distribuição em torno da média, com amplitude de um desvio padrão

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109

5.3.2 – Distribuição Uniforme com σ = 0.4

Nesta seção são apresentados os resultados obtidos para σ = 0.4, que, do ponto

de vista de problemas estocásticos já é um valor alto, tipicamente acima dos casos

normalmente possíveis de ser tratados pelos métodos de perturbação, por exemplo.

5.3.2.1 – Método de Galerkin

A figura 5.61 apresenta o bom resultado para a média convergida já com uma

expansão gPC via Galerkin de ordem 1, com 4 termos. Observe que a média continua

sendo muito próxima da solução determinística.

Figura 5.61 – Média da solução com gPC Galerkin de ordem 1, comparada à simulação

de Monte Carlo (100000 avaliações) e à solução determinística

Figura 5.62 – Desvio padrão com gPC Galerkin de ordem 1, comparada à simulação de

Monte Carlo (100000 avaliações) e à solução determinística

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110

A figura 5.62 mostra a boa concordância para o desvio padrão e na figura 5.63 é

mostrada a distribuição final com um desvio padrão para cada lado.

Figura 5.63 – Distribuição em torno da média, com amplitude de um desvio padrão

5.3.2.2 – Método de Projeção Discreta

Novamente obteve-se um bom resultado já para ordem de apenas 1 da expansão

gPC Discreta e com apenas 2 pontos de colocação em cada dimensão, totalizando 8

pontos apenas. A figura 5.64 exibe a concordância obtida para a média.

Figura 5.64 – Média da solução com gPC Discreta de ordem 1, total 8 nós, comparada à

simulação de Monte Carlo (100000 avaliações) e à solução determinística

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111

O resultado para o desvio padrão é mostrado na figura 5.65 e a distribuição final

na figura 5.66.

Figura 5.65 – Desvio padrão com gPC Discreta de ordem 1, total 8 nós, comparada à

simulação de Monte Carlo (100000 avaliações) e à solução determinística

Figura 5.66 – Distribuição em torno da média, com amplitude de um desvio padrão

5.3.2.3 – Método GITTgPC

Resultados semelhantes, com boa concordância, foram obtidos para uma

expansão GITTgPC com 30 termos e de ordem 1, também utilizando apenas 8 pontos de

colocação no total, 2 em cada dimensão estocástica.

Os resultados são exibidos nas figuras 5.67 – 5.69.

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112

Figura 5.67 – Média da solução com GITTgPC de ordem 1, total 8 nós, comparada à

simulação de Monte Carlo (100000 avaliações) e à solução determinística

Figura 5.68 – Desvio padrão com GITTgPC de ordem 1, total 8 nós, comparada à

simulação de Monte Carlo (100000 avaliações) e à solução determinística

Figura 5.69 – Distribuição em torno da média, com amplitude de um desvio padrão

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113

5.3.3 – Distribuição Uniforme com σ = 0.8

Para demonstrar a versatilidade e abrangência de aplicação dos métodos aqui

apresentados, será tratado o caso σ = 0.8, que representa um valor bastante elevado de

incerteza, próximo do limite para condutividade não negativa (σ < 1), normalmente não

possível de ser tratado com outros métodos que não sejam baseados em Caos

Polinomial.

5.3.3.1 – Método de Galerkin

Dessa vez, devido ao valor mais elevado da incerteza, foi necessário empregar

uma expansão de ordem 2, que apresenta 10 termos, para obter resultados mais precisos

para o desvio padrão, em concordância com a simulação de Monte Carlo com 100000

avaliações. Esse aspecto, todavia, não foi observado para a média, que converge mais

facilmente e bons resultados já são obtidos mesmo com expansão de primeira ordem.

Isso contrasta também com os outros métodos, baseados em colocação, que obtiveram

resultados aceitáveis já com expansão de primeira ordem. Os resultados obtidos para a

solução de segunda ordem da expansão gPC via Galerkin são vistos nas figuras 5.70 –

5.72, para a média, desvio padrão e distribuição final com um desvio padrão.

Figura 5.70 – Média da solução com gPC Galerkin de ordem 2, comparada à simulação

de Monte Carlo (100000 avaliações) e à solução determinística

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114

Figura 5.71 – Desvio padrão com gPC Galerkin de ordem 2, comparada à simulação de

Monte Carlo (100000 avaliações) e à solução determinística

Figura 5.72 – Distribuição em torno da média, com amplitude de um desvio padrão

5.3.3.2 – Método de Projeção Discreta

Em contraste com o caso anterior, para a Projeção discreta foi possível obter um

bom resultado concordante com a simulação de Monte Carlo para expansão gPC de

primeira ordem (4 termos). Além disso, devido ao maior nível de incerteza, constatou-se

ser necessário aumentar o número de nós de colocação para 3 pontos em cada variável,

totalizando 27 pontos para avaliação do sistema determinístico correspondente.

As figuras 5.73 – 5.75 trazem os resultados obtidos para a média, desvio padrão

e distribuição.

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115

Figura 5.73 – Média da solução com gPC Discreta de ordem 1, total 27 nós, comparada

à simulação de Monte Carlo (100000 avaliações) e à solução determinística

Figura 5.74 – Desvio padrão com gPC Discreta de ordem 1, total 27 nós, comparada à

simulação de Monte Carlo (100000 avaliações) e à solução determinística

Figura 5.75 – Distribuição em torno da média, com amplitude de um desvio padrão

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5.3.3.3 – Método GITTgPC

Os resultados para média, desvio padrão e distribuição, obtidos com GITTgPC

de 30 termos, com ordem 1 da expansão gPC e 27 pontos de colocação (3 em cada

variável randômica), são mostrados nas figuras 5.76 – 5.78.

Figura 5.76 – Média da solução com GITTgPC de ordem 1, total 27 nós, comparada à

simulação de Monte Carlo (100000 avaliações) e à solução determinística

Figura 5.77 – Desvio padrão com GITTgPC de ordem 1, total 27 nós, comparada à

simulação de Monte Carlo (100000 avaliações) e à solução determinística

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Figura 5.78 – Distribuição em torno da média, com amplitude de um desvio padrão

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5.3.4 – Distribuição Gaussiana com σ = 0.2

Será agora empregada uma distribuição Gaussiana para as variáveis randômicas

do problema, de modo a ilustrar a aplicação dos métodos também com outros tipos de

probabilidade, empregando-se a base polinomial correspondente. Neste caso são

empregados polinômios ortogonais de Hermite. O valor do parâmetro σ = 0.2 que

controla a magnitude da incerteza foi mantido baixo de modo a assegurar existência de

soluções, com valores não negativos da condutividade térmica.

5.3.4.1 – Método de Galerkin

A figura 5.79 mostra o resultado convergido para a média da solução com

expansão gPC de primeira ordem (4 termos), comparado à solução de Monte Carlo com

100000 realizações e à solução determinística.

O resultado para a distribuição do desvio padrão encontrado é visto na figura

5.80, onde percebe-se a boa concordância com a simulação de Monte Carlo.

A distribuição em torno da média, com um desvio padrão para cada lado, é

mostrada na figura 5.81.

Figura 5.79 – Média da solução com gPC Galerkin de ordem 1, comparada à simulação

de Monte Carlo (100000 avaliações) e à solução determinística

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Figura 5.80 – Desvio padrão com gPC Galerkin de ordem 1, comparada à simulação de

Monte Carlo (100000 avaliações) e à solução determinística

Figura 5.81 – Distribuição em torno da média, com amplitude de um desvio padrão

5.3.4.2 – Método de Projeção Discreta

No caso da Projeção Discreta, para esta distribuição, apesar do valor baixo da

incerteza envolvida, foi necessário utilizar mais pontos de colocação do que nos casos

anteriores para distribuição uniforme. Foi verificado que bons resultados podem ser

obtidos com pelo menos 7 pontos de colocação em cada variável estocástica, o que no

total para as 3 variáveis, resulta em 343 pontos, ou seja, 343 avaliações do sistema

original.

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Para ilustrar como o efeito de se usar um número insuficiente de pontos pode ser

significativo, a figura 5.82 mostra o resultado obtido para a média e desvio padrão, com

3 pontos apenas, semelhante ao que foi usado para distribuição uniforme com σ = 0.8.

(a) (b)

Figura 5.82 – Efeito do uso de poucos nós para distribuição Gaussiana, σ = 0.2. Número

de pontos em cada variável:3; requerido:7. (a) Média, (b) desvio padrão

A figura 5.83 exibe o resultado com boa concordância da média da solução, com

expansão gPC Discreta de ordem 1 e 7 pontos de colocação em cada variável.

Figura 5.83 – Média da solução com gPC Discreta de ordem 1, total 343 nós,

comparada à simulação de Monte Carlo (100000 avaliações) e à solução determinística

O desvio padrão mostrado na figura 5.84 apresenta também boa concordância

com a simulação de Monte Carlo com 100000 avaliações. A figura 5.85 exibe a

distribuição com um desvio padrão em torno da média.

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Figura 5.84 – Desvio padrão com gPC Discreta de ordem 1, total 343 nós, comparada à

simulação de Monte Carlo (100000 avaliações) e à solução determinística

Figura 5.85 – Distribuição em torno da média, com amplitude de um desvio padrão

5.3.4.3 – Método GITTgPC

Assim como no caso anterior, a solução com GITTgPC de 30 termos também

exigiu pelo menos 7 nós de colocação em cada dimensão, 343 avaliações do campo

transformado no total.

Os resultados obtidos são exibidos nas figuras 5.86 – 5.88.

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Figura 5.86 – Média da solução com GITTgPC de ordem 1, total 343 nós, comparada à

simulação de Monte Carlo (100000 avaliações) e à solução determinística

Figura 5.87 – Desvio padrão com GITTgPC de ordem 1, total 343 nós, comparada à

simulação de Monte Carlo (100000 avaliações) e à solução determinística

Figura 5.88 – Distribuição em torno da média, com amplitude de um desvio padrão

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5.3.5 – Considerações Gerais

Como pode ser observado, foram obtidos resultados semelhantes com todos os

métodos usados, o que além de verificar os métodos convencionais de Galerkin e

Projeção Discreta, demonstrou também o bom funcionamento e coerência matemática

da abordagem proposta GITTgPC, tanto para o caso mais simples em uma variável

randômica da seção 5.2 quanto para o caso multivariável mais geral aqui apresentado.

De modo geral percebe-se a clara vantagem dos métodos analíticos sobre o

método estatístico de Monte Carlo, para o baixo número de variáveis analisado.

Fazendo uma comparação direta com o método de Projeção Discreta, que também

envolve apenas avaliações repetitivas do sistema original, o ganho apresentado neste

exemplo para o pior caso foi da ordem de 300 vezes (100000/343), enquanto que em

outros casos chegou a 12500 vezes (100000/8). Ganhos com ordem de grandeza

semelhante são obtidos pelo método GITTgPC, desde que não exija um refinamento

muito grande do problema de autovalor, caso em que seu custo pode aumentar

significativamente. Grosso modo, o custo de pré-processamento para obtenção do

campo transformado é proporcional à quarta potência do número de termos usados na

expansão GITT. Entre os três métodos, o de menor custo esperado é o de Galerkin, uma

vez que o custo para o sistema acoplado é aproximadamente o produto do custo do

sistema original vezes o número de termos da expansão gPC, que neste caso foi apenas

4 para a maioria dos casos (P = 1 e N = 3). Isso é ainda mais significativo para o caso

não abordado aqui de alta dimensionalidade, onde para uma mesma precisão, em termos

da ordem da expansão, todos os métodos de colocação envolvem a solução de muito

mais equações que o método de Galerkin. Neste sentido, o método de Monte Carlo é o

único cuja taxa de convergência é independente da dimensionalidade do problema.

Outro fator importante nos métodos de colocação é o efeito do “aliasing error”,

que pode ser bastante significativo, como foi demonstrado. Tal efeito é mais

problemático quanto maior o número de dimensões estocásticas do problema, podendo

tornar-se uma grande fonte de erro. Nos exemplos de baixa dimensionalidade

considerados, foi possível utilizar produto tensorial de quadraturas de alta precisão,

mantendo razoavelmente baixo o número de nós de avaliação. Para altas dimensões,

entretanto, tal opção torna-se inviável devido ao crescimento exponencial do número de

nós. Para estes casos existem outras opções discutidas anteriormente, como a malha

esparsa e regras de cubatura.

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CAPÍTULO 6 CONCLUSÕES E SUGESTÕES

No presente trabalho foi feita uma revisão do método de Transformação Integral

para problemas de condução de calor e estabelecidas as bases fundamentais da análise

de problemas estocásticos, através de uma revisão geral dos métodos analíticos mais

difundidos e proeminentes, baseados em Caos Polinomial.

No contexto da análise estocástica, foram primeiramente apresentados os

fundamentos para representação espectral de processos randômicos através da expansão

de Karhunen-Loeve e da expansão de Caos Polinomial Generalizado. A expansão de

Karhunen-Loeve foi apresentada como um meio eficiente de parametrizar as entradas

randômicas em um conjunto reduzido de variáveis, conhecendo-se a função de

covariância do processo. Foram apresentadas e aplicadas neste trabalho as duas

principais abordagens distintas para tratamento de equações estocásticas utilizando a

expansão de Caos Polinomial: o método de Galerkin estocástico e Projeção Discreta

através de colocação estocástica. De modo geral, o método de Galerkin é de

implementação mais envolvida e complicada, gerando um sistema acoplado, porém

normalmente mais eficiente para uma mesma precisão do que o método de colocação

que, todavia, é de implementação mais simples e direta, envolvendo apenas soluções

repetitivas do problema determinístico original.

Após a apresentação dos métodos separadamente, como contribuição diferencial

deste trabalho, prosseguiu-se então à apresentação de um novo procedimento para

solução de problemas estocásticos de condução de calor em meios heterogêneos,

combinando um pré-tratamento das equações, via Transformação Integral, à solução

posterior, via Caos Polinomial, do problema estocástico resultante no campo

transformado, após integração nas variáveis espaciais. Assim o problema estocástico

original, nas equações parciais, é transferido para um problema de ordem inferior, de

equações ordinárias. Este método revelou uma característica interessante de ser passível

de solução totalmente analítica, tanto para o problema de autovalor, quanto para a

solução do campo transformado, ambos transformados em problemas matriciais

algébricos. Apesar da sua elegância matemática em relação a essa última característica

citada, não foi possível depreender, em termos práticos para os problemas analisados,

um ganho expressivo em custo computacional comparado aos outros métodos diretos

considerados. Entretanto, esse desenvolvimento foi válido como um trabalho

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investigativo das possibilidades para incorporar a análise de incertezas na solução de

problemas de condução de calor com o uso de Transformação Integral, possibilitando

compreender melhor os conceitos envolvidos na análise estocástica. Além disso,

contribuiu para gerar novas ideias e possibilidades de refinamento dos

desenvolvimentos.

Todos os métodos apresentados foram verificados e demonstrados, quanto à sua

convergência, utilizando referências da literatura e problemas propostos. Para todos os

métodos foi demonstrada a convergência exponencial do erro com a escolha adequada

da base polinomial ortogonal, baseada na distribuição de probabilidade das variáveis

randômicas do problema. A rápida convergência dos métodos foi observada mesmo

para valores elevados das incertezas, em contraste com a limitação dos tradicionais

métodos de perturbação. Os resultados obtidos foram comparados com soluções exatas,

quando disponíveis, e também com simulações de Monte Carlo. Em relação ao método

de simulação de Monte Carlo, ficou claro o ganho expressivo em aceleração dos três

métodos analíticos propostos.

Os métodos foram aplicados inicialmente para o caso de apenas uma variável

randômica e depois generalizados para o caso multivariável. O número de variáveis foi

mantido baixo, evitando as complicações inerentes a problemas de alta

dimensionalidade, que constituem o maior desafio no campo de análise estocástica.

O presente trabalho abre o caminho para incorporar a análise de incertezas ao

método GITT, aumentando ainda mais sua versatilidade e aplicabilidade. Como

sugestão futura, pode ser investigada a solução do próprio problema de autovalor

estocástico, que permitiria reduzir o problema estocástico a um problema matricial

algébrico estocástico, estendendo o procedimento apresentado neste trabalho para a

solução do problema de autovalor via GITT. Este problema poderia ser resolvido de

forma eficiente com um esquema de colocação, bastando soluções repetitivas do

problema matricial algébrico. Isso permitiria obter, após a transformação integral das

equações originais, um sistema desacoplado para o campo transformado determinístico,

como ocorre na Transformaçao Integral Clássica. Os resultados obtidos dessa linha de

pesquisa podem ser futuramente incorporados ao código UNIT, possibilitando

simulações sob incerteza de forma automática e ao alcance de usuários menos

experientes. Ao incorporar a incerteza desde o início dos cálculos, estamos um passo

mais perto do objetivo final da computação científica: prever a verdadeira física.

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