sinais 03

Felipe Augusto Chies - 00173501

Joao Phellip de Mello Bones da Rocha - 00173168

felipe.chies,[email protected]

Relatorio 03

Disciplina ENG04006 - Sistemas e Sinais

Professor: Joao Manoel Gomes da Silva Junior

Universidade Federal do Rio Grande do Sul

07 de maio de 2010

Lista de Figuras

1 Onda quadrada de periodo T e duty cicle 2Ts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 5

2 sinal x(t) no tempo e sinal —X[k]— na frequencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 8

3 Onda quadrada de periodo N e duty cicle 2M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 9

4 sinal x[n] no tempo e sinal —X[k]— na frequencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 10

5 Pulso retangular de largura 2T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 11

6 sinal x(t) no tempo e sinal —X(jw)— na frequencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 13

7 Pulso retangular de largura 2M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 14

8 sinal x[n] no tempo e sinal |X(ejw)| na frequencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 16

9 sinal S3 com periodo modificado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 18

10 sinal S4 com periodo modificado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 19

Sumario

1 Objetivo p. 4

2 Desenvolvimento p. 5

2.1 Exercıcio 1 - Coeficientes da Serie e da Transformada de Fourier . . . . . . . . . . . . . p. 5

2.1.1 Sinal S1 - Onda quadrada em tempo contınuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 5

2.1.2 Sinal S2 - Onda quadrada em tempo discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 8

2.1.3 Sinal S3 - Pulso retangular em tempo contınuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 11

2.1.4 Sinal S4 - Pulso retangular em tempo dicreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 13

2.2 Exercıcio 2 - Utilizando as propriedades da Transformada de Fourier . . . . . . . . . . . p. 16

2.3 Exercıcio 3 - Resposta em frequencia do circuito RLC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 17

2.3.1 Utilizando as propriedades da transformada de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . p. 17

2.3.2 Determinar Y[k] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 17

3 Conclusao p. 20

Referencias p. 21

4

1 Objetivo

Este relatorio tem como objetivo analisar as quatro representacoes de Fourier para sinais basicos: a

onda quadrada e o pulso retangular nos tempos discreto e contınuo. Essas representacoes mostram como

o sinal se comporta no dominio frequencia. A partir das representacoes no dominio frequencia, pode-se

encontar os sinais no domınio do tempo, utilizando o processo inverso a partir da definicao do par Fourier.

5

2 Desenvolvimento

2.1 Exercıcio 1 - Coeficientes da Serie e da Transformada deFourier

Com o objetivo de analisar o comportamento no domınio frequencia de dois sinais - a onda quadrada

e o pulso retangular - tanto em tempo contınuo quanto em tempo discreto, analisou-se as representacoes

de Fourier desses sinais e plotou-se as saıdas.

2.1.1 Sinal S1 - Onda quadrada em tempo contınuo

Considerando a onda quadrada da Figura 1

Figura 1: Onda quadrada de periodo T e duty cicle 2Ts

como o sinal e perıodico, a representacao de Fourier desse sinal e conhecida como serie de Fourier.

A partir de [4, p.180] tem-se a seguinte definicao da serie de Fourier para sinais em tempo contınuo:

x(t) =+∞∑

k=−∞

X[k]ejkw0t

X[k] =1

T

∫<T>

x(t)e−jkw0tdt

Os sinais x(t) e X[k] sao conhecidos como par de FS (serie de Fourier). A seguir tem-se o calculo da

serie de fourier da onda quadrada.

Como a onda quadrada e zero para |t| > Ts dentro do perıodo T os limites sao de −Ts a +Ts.

Portanto

6

X[k] =1

T

Ts∫−Ts

e−jkw0tdt, com x(t) igual a 1

X[k] =−1

Tjkw0e−jkw0t|Ts

−Ts,

X[k] =2

Tkw0

ejkw0Ts − e−jkw0Ts

2j,

X[k] = 2sen(kw0Ts)

Tkw0, para k = 0

Para k = 0, tem-se somente

X[0] =1

T

Ts∫−Ts

dt =2Ts

T

Dado que w0 = 2πT entao X[k] e definido como:

X[k] =

2TS

T , para k = 0

sen(k2TSπ

T )

kπ , para k = 0

Cabe observar que analisando o limite da funcao obtida acima para k = 0 com k tendendo a zero -

utilizando a regra de L’Hopital - chega-se o mesmo valor que para k = 0. Assim, pode-se utilizar somente

a funcao sinc(k) para expressar X[k].

A funcao x(t) pode ser obtida a partir da definicao conhecendo-se X[k]. Primeiramente escreveu-se

X[k] como uma funcao cosseno - devido a sua simetria par - e assim aproximou-se x(t) utilizando uma

soma finita de senoides no Matlab. Portanto, como K[k] = K[−k],

x(t) =+∞∑

k=−∞

X[k]ejkw0t

x(t) = X[0] ++∞∑m=1

(X[m]ejmw0t +X[−m]e−jmw0t)

x(t) = X[0] ++∞∑m=1

2X[m]ejmw0t + e−jmw0t

2

x(t) = X[0] ++∞∑m=1

2X[m]cos(mw0t)

Ao definir-se B[0] = X[0] e B[k] = 2X[k], para k = 0, entao

x(t) =+∞∑k=0

B[k]cos(mw0t)

Portanto com k valores pode-se aproximar x(t) o quanto se deseja. Assim

7

xj(t) =J∑

k=0

B[k]cos(mw0t)

e uma proximacao de x(t). E importante observar que de fato quando temos uma quantidade de

termos infinita garantimos que a resposta converge para x(t).

Utilizou-se a rotina abaixo, no Matlab, para gerar o sinal S1 - usando a aproximacao xj(t) - e o

modulo de X[k]. Considerou-se os seguintes parametros:

J = 99, Ts = 1, T = 4, −5 ≥ t ≤ 5 e −10 ≥ k ≤ 10

Listagem 2.1: Rotina para gerar os graficos do par Fourier

%exercicio 1

figure (1)

%aproximacao de x(t)

K_MIN = 0;

K_MAX = 99;

T_MIN = -5;

T_MAX = 5;

T_C = 0.001;

T = 4;

W0 = 2*pi/T;

t = T_MIN:T_C:T_MAX;

size_t = size (t);

x = zeros( size (t));

for j = 1:1: size_t (2)

i= ( (j-1)* T_C + T_MIN );

for k=K_MIN :1: K_MAX

i f (k == 0)

x(j) = x(j) + 0.5 * cos(k*W0*i);

else

i f (mod(k,2) == 0) %se for par

x(j) = x(j) + 0;

else %se for impar

x(j) = x(j) + (( 2* ( -1)^((k -1)/2) )/(k*pi)) * cos(k*W0*i);

end

end

end

end

subplot(2,1,1),plot(t,x), grid , axis ([-5 5 -0.5 1.5])

xlabel(’t’);ylabel(’x_9_9(t)’); t i t l e (’Aproximac~ao de x(t) para j=99’)

%X[k]

k= -10:1:10;

8

X = abs(( sin ((k*pi )/2))./(k*pi))

X(11)=1/2; %X(k)=1/2 para k=0 => decima primeira posição do vetor;

subplot(2,1,2),stem(k,X), grid , axis ([-10 10 -0.1 0.5])

xlabel(’k’);ylabel(’X[k]’); t i t l e (’|X[k]|’)

set(gcf ,’Color ’ ,[1 1 1]);

Como a representacao por serie de fourier tem um carater discreto, portanto o vetor n assume valores

inteiros. A figura 2 mostra os graficos gerados.

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5−0.5

0

0.5

1

1.5

t

x 99(t

)

Aproximação de x(t) para j=99

−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10−0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

k

X[k

]

|X[k]|

Figura 2: sinal x(t) no tempo e sinal —X[k]— na frequencia

E importante observar que o sinal X[k] nao e periodico no domınio da frequencia. De fato o sinal se

aproxima de zero quando k tende a mais ou menos infinito - sua envoltoria e de um sinal seno cadinal. As

componentes entre −10 e 10 correspondem aos pesos associados as 21 menores frequencias no espectro

de magnitude e e facil de observar que essas componentes sao as mais influentes na composicao do sinal

x(t). A aproximacao do sinal x(t) usando 100 senoides distintas condiz com o sinal de entrada da onda

quadrada, possuindo apenas o conhecido efeito de Gibbs nas descontinuidades.

2.1.2 Sinal S2 - Onda quadrada em tempo discreto

Considera-se a onda quadrada da Figura 3.

A partir de [4, p.170] tem-se a seguinte definicao da serie de Fourier para sinais em tempo discreto:

x[n] =∑k=N

X[k]ejkΩ0n

X[k] =1

N

∑n=<N>

x[n]e−jkΩ0n

Analogo a Serie de Fourier no tempo contınuo, os sinais x(t) e X[k] sao conhecidos como par de FS.

A seguir tem-se o calculo da serie de fourier da onda quadrada discreta.

9

Figura 3: Onda quadrada de periodo N e duty cicle 2M

Como a onda quadrada e zero para |n| > M dentro do perıodo N os limites sao de −M a +M .

Portanto

X[k] =1

N

M∑−M

e−jkΩ0n, com x[n]=1

X[k] =1

NejkΩ0M

2M∑m=0

e−jkΩ0m, mudando a variavel no indice do somatorio

X[k] =ejkΩ0M

N

(1− e−jkΩ0(2M+1)

1− e−jkΩ0

), pois temos uma serie geometrica

X[k] =1

N

(ejkΩ0(2M+1)/2 − e−jkΩ0(2M+1)/2

ejkΩ0/2 − e−jkΩ0/2

), multiplicando o numerador e denominador por ejkΩ0/2

A formula acima e valida para k = 0,±N,±2N, .... Assim pode-se escrever X[k] como uma razao de

senoides com frequencias angulares distintas.

Para k = 0,±N,±2N, ..., tem-se somente

X[k] =1

N

M∑m=−M

1 =2M + 1

N

Sabendo que Ω0 = 2πN entao X[k] e definido como:

X[k] =

2M+1

N , para k = 0,±N,±2N, ...;

1N

sin(Kπ(2M+1)

N )

sin(K πN ) , para k = 0,±N,±2N, ...;

Como x[n] e X[k] sao discretas no tempo e na amplitude, respectivamente, pode-se obter x[n], a

partir da definicao, utilizando um somatorio dentro do perıodo N considerando os pesos X[k]. Utilizando

o comando ”ifft”do Matlab gerou-se a serie inversa de X[k] e a partir da Figura ?? pode-se observar que

temos o mesmo sinal x[n] dentro do perıodo.

Utilizou-se a rotina abaixo, no Matlab, para gerar o sinal S2 - a partir do comando ”ifft- e o modulo

de X[k]. Considerou-se os seguintes parametros:

M = 2, N = 10, −15 ≥ n ≤ 15 e −10 ≥ k ≤ 10

10


%exercicio 2

N = 10;

M = 2;

k = -10:1:10;

X = (1/N)*( ( sin( k * ( pi *(2*M+1)/N ) ) ) ./ ( sin(k*pi/N) ) );

X(11) = (2*M+1)/N;

xx = i f f t (X,N)*N;

x = ifftshift(xx);

kk = [-N/2:N/2-1];

figure (1);

subplot(2,1,1),stem(kk,x), grid , axis ([-5 5 -0.2 1.5])

xlabel(’n’);ylabel(’x[n]’); t i t l e (’x[n] com comando ifft’)


xlabel(’k’);ylabel(’X[k]’); t i t l e (’X[k]’)

set(gcf ,’Color ’ ,[1 1 1]);

A Figura 4 mostra os graficos gerados.

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

0

0.5

1

1.5

n

x[n]

x[n] com comando ifft

−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

k

X[k

]

X[k]

Figura 4: sinal x[n] no tempo e sinal —X[k]— na frequencia

E importante observar que o sinal X[k] e periodico de perıodo N, assim como o sinal no tempo

x[n] e periodico de mesmo perıodo. A DTFS - Serie de Fourier para sinais em tempo discreto - possui

uma representacao discreta tanto a representacao no tempo quanto na frequencia, o que facilita sua

implementacao no Matlab atraves do comando ”ifft”. Para o calculo das outras representacoes pode-se

aproximar o sinal no tempo utilizando uma quantidade finita de senoides.

11

2.1.3 Sinal S3 - Pulso retangular em tempo contınuo

Na Figura 5 observa-se o pulso retangular de largura 2T .

Figura 5: Pulso retangular de largura 2T

Como o sinal S3 nao e periodico a representacao de Fourier passa a ser chamada de Transformada

de Fourier. A partir de [4, p.196] tem-se o seguinte par da transformada de Fourier para sinais em tempo

contınuo:

x(t) =1

2π

+∞∫−∞

X(jw)ejwtdw

X(jw) =

+∞∫−∞

x(t)e−jwtdt

A seguir tem-se o calculo da transformada de Fourier do pulso retangular.

Como pulso e zero para |t| > T os limites sao de −T a +T . Portanto

X(jw) =

+∞∫−∞

x(t)e−jwtdt

X(jw) =

+T∫−T

e−jwtdt

X(jw) = − 1

jwe−jwt|T−T

X(jw) =2

wsen(wT ), com w = 0

Para w = 0, a integral simplifica-se para 2T . Analisando o limite de w → 0 na funcao 2wsen(wT )

tem-se que

12

limw→0

2

wsen(wT ) = 2T

Dessa forma X(jw) pode ser escrito na seguinte forma, com o entendimento que X(0) e obtido

avaliando-se o limite e de que w = 2πT

X(jw) = 2Tsinc(wT

π)

Utilizou-se a rotina d codigo abaixo, no Matlab, para gerar o sinal S3 e o modulo de X(jw).

Considerou-se os seguintes parametros: T = 1, −2 ≥ t ≤ 2 e −10π ≥ jw ≤ 10π


%exercicio 1

figure (1)


K_MIN = 0;

K_MAX = 99;

T_MIN = -5;

T_MAX = 5;

T_C = 0.001;

T = 4;

W0 = 2*pi/T;


size_t = size (t);


for j = 1:1: size_t (2)

i= ( (j-1)* T_C + T_MIN );


i f (k == 0)

x(j) = x(j) + 0.5 * cos(k*W0*i);

else


x(j) = x(j) + 0;

else %se for impar

x(j) = x(j) + (( 2* ( -1)^((k -1)/2) )/(k*pi)) * cos(k*W0*i);

end

end

end

end



%X[k]

13

k= -10:1:10;

X = abs(( sin ((k*pi )/2))./(k*pi))




set(gcf ,’Color ’ ,[1 1 1]);

A figura 6 mostra os graficos gerados.

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2−0.5

0

0.5

1

1.5

t

x(t)

x(t)

−30 −20 −10 0 10 20 30−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

w

X(jw

)

X(jw)

Figura 6: sinal x(t) no tempo e sinal —X(jw)— na frequencia

E importante observar que o sinal X(jw) nao e perıodico em w e que agora temos w num continum

de frequencia. De fato, a representacao em frequencia e periodica somente quando o sinal no tempo for

discreto.

2.1.4 Sinal S4 - Pulso retangular em tempo dicreto

Na Figura 7 observa-se o pulso retangular de largura 2M .

A partir de [4, p.190] tem-se o seguinte par da transformada de Fourier para sinais em tempo discreto:

x[n] =1

2π

+π∫−π

X(ejΩ)ejnΩdΩ

14

Figura 7: Pulso retangular de largura 2M

X(ejΩ) =

+∞∑−∞

x[n]e−jnΩ

A seguir tem-se o calculo da transformada de Fourier do pulso retangular de tempo discreto.

Como pulso e zero para |n| > M os limites sao de −M a +M . Portanto

X(ejΩ) =+M∑−M

1e−jnΩ

X(ejΩ) = ejMΩ2M∑m=0

e−jmΩ, mudando a variavel nos limites do somatorio

X(ejΩ) =

ejMΩ 1−e−jmΩ(2M+1)

1−ejΩ, para Ω = 0,±2π,±4π...

2M + 1, para Ω = 0,±2π,±4π...

Para X(ejΩ) com Ω = kπ - com k ∈ Z -, pode-se multiplicar o denominador e o numerador por um

fator de modo a deixar os expoentes simetricos. Assim

X(ejΩ) = ejMΩ

(e−jmΩ(2M+1)/2 − e−jmΩ(2M+1)/2

e−jΩ/2(ejΩ/2 − e−jΩ/2)

) ,

X(ejΩ) =sen(Ω2 (2M + 1))

sen(Ω2 ), para Ω = 0,±2π,±4π...

Ao aplicar L’Hopital nos pontos para os quais a expressao acima e indeterminada, obtem-se 2M +1,

como era de se esperar.

Portanto tem-se o seguinte par de Fourier para o pulso retangular em tempo discreto:

X(ejΩ) =

2M + 1, para Ω = 0,±2π,±4π...

sin(Ω 2M+12 )

sin(Ω2 )

, para Ω = 0,±2π,±4π...

Utilizou-se a rotina abaixo, no Matlab, para gerar o sinal S4 e o modulo de X(ejΩ). Considerou-se

os seguintes parametros:

15

M = 2, −10 ≥ k ≤ 10 e e−j4π ≥ ejw ≤ ej4π


%exercicio 1

figure (1)


K_MIN = 0;

K_MAX = 99;

T_MIN = -5;

T_MAX = 5;

T_C = 0.001;

T = 4;

W0 = 2*pi/T;


size_t = size (t);


for j = 1:1: size_t (2)

i= ( (j-1)* T_C + T_MIN );


i f (k == 0)

x(j) = x(j) + 0.5 * cos(k*W0*i);

else


x(j) = x(j) + 0;

else %se for impar

x(j) = x(j) + (( 2* ( -1)^((k -1)/2) )/(k*pi)) * cos(k*W0*i);

end

end

end

end



%X[k]

k= -10:1:10;

X = abs(( sin ((k*pi )/2))./(k*pi))




set(gcf ,’Color ’ ,[1 1 1]);

A figura 8 mostra os graficos gerados.

E importante observar que o sinal X(ejΩ) e continuo e periodico, como era de se esperar.

16

−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10

0

0.5

1

1.5

n

x[n]

x[n]

−10 −5 0 5 10−2

0

2

4

6

O

X(e

jO)

X[k]

Figura 8: sinal x[n] no tempo e sinal |X(ejw)| na frequencia

2.2 Exercıcio 2 - Utilizando as propriedades da Transformadade Fourier

Considerando agora os sinais nao-periodicos S3 e S4 analisaremos suas propriedades. Utilizando o

mesmo algortimo dos codigos utilizados acima, plotou-se os graficos com outros parametros: T = 0.5 e

M = 4

Os graficos sao mostrados nas Figura 9 e 10, respectivamente. Com elas, pode-se observar que a

medida que uma funcao do domınio tempo tornar-se menos concentrada nas proximidades da origem

do tempo, a funcao do domınio frequencia torna-se mais concentrada nas proximidades da origem da

frequencia e vice-versa.

Alem disso, e importante observar a seguinte propriedade de mudanca de escala:

Fx(at) =1

|a|X(j

w

a)

Note que ao multiplicarmos T por 2 no domınio tempo multiplicamos a frequencia no dominio

reciproco.

17

2.3 Exercıcio 3 - Resposta em frequencia do circuito RLC

2.3.1 Utilizando as propriedades da transformada de Fourier

Calcularemos agoraH(jw) a partir da equacao diferencial do circuito RLC. Ao aplicar a transformada

de Laplace nos dois lados da equacao pode-se aplicar a propriedade da derivada. Considerando a equacao

abaixo:

vi(t) = RC ˙v(t) + LC ¨v(t) + v(t)

Sabendo que

F ˙vi(t) = jwV (jw) e F ¨vi(t) = j2w2V (jw)

onde Fvi(t) e uma notacao para a transformada de Fourier de vi(t), e aplicando a TF na equacao

diferencial tem-se:

V i(jw) = RCjwV (jw) + LCj2w2V (jw) + V (jw)

V i(jw) = (RCjw + LCj2w2 + 1)V (jw)

V (jw) =V i(jw)

(RCjw + LCj2w2 + 1)

Sabe-se que

V (jw) = V i(jw)H(jw)

Portanto

H(jw) =1

RCjw + LCj2w2 + 1

Substituindo os valores tem-se

H(jw) =1

0.183jw + 0.0416j2w2 + 1

2.3.2 Determinar Y[k]

A partir de H(jw) encontrado anteriormente pode-se discretizar a resposta H(jw) de k em k elemen-

tos de forma a obter H[jwk]. No exercıcio 1 foi determinada a Serie de Fourier do sinal X[k], portanto

temos que

Y [k] = H(jwk)X[k] =sin(kπ2 )

(RCjw + LCj2w2 + 1)kπ

18

−2 −1 0 1 2−0.5

0

0.5

1

1.5

t

x(t)

x1(t)

−20 0 20−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

w

X(jw

)

X1(jw)

−2 −1 0 1 2−0.5

0

0.5

1

1.5

t

x(t)

x2(t)

−20 0 20−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

w

X(jw

)

X2(jw)

Figura 9: sinal S3 com periodo modificado

19

−10 −5 0 5 10−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

n

x[n]

x1[n]

−10 −5 0 5 10−2

−1

0

1

2

3

4

5

6

O

X(e

jO)

X1[k]

−10 −5 0 5 10−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

n

x[n]

x2[n]

−10 −5 0 5 10−2

0

2

4

6

8

10

O

X(e

jO)

X2[k]

Figura 10: sinal S4 com periodo modificado

20

3 Conclusao

Com a elaboracao do relatorio foi possıvel perceber que os calculo das serie e da transformada de

Fourier auxiliam muitos na analise de sistemas e que dependem somente das caracteristicas do sinal de

entrada. Ao calcular o sinal de entrada a partir do sinal em frequencia - pricipalmente nos casos aos

quais de deseja encontrar aproximacoes - percebeu-se a necessidade de metodos computacionais. Para

isto o programa MatLab foi de fundamental importancia para a analise dos resultados.

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Referencias

[1] Learn to Use Simulink through this getting started video example,http:www.mathworks.comdemosgetting started with simulink demo video.html?s cid=SL bdyvideo,acessado em maio de 2010.

[2] Simulink Tutorial, http://edu.levitas.net/Tutorials/Matlab/Simulink/, acessado em maio de 2010.

[3] ENG04006 - Sistemas e Sinais - pagina da disciplina, http://www.ece.ufrgs.br/∼eng04006/, acessadoem maio de 2010.

[4] Sinais e Sistemas - Haykin, Simon; Veen,Barry V.. Editora Bookman, Porto Alegre, 2001.

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sinais 03