Sinais e Sistemas - renatomaia.netrenatomaia.net/arquivos/Facit/SINAIS/11_SerieFourier.pdf · Série de Fourier . Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia Convergência da FS Um

Sinais e Sistemas

Renato Dourado Maia

Faculdade de Ciência e Tecnologia de Montes Claros

Fundação Educacional Montes Claros

Série de Fourier

Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia

Convergência da FS Um sinal periódico contínuo possui uma repre-

sentação em Série de Fourier se ele satisfaz às seguintes condições de Dirichlet:

1. O sinal deve ser limitado.

2. O sinal deve possuir um número finito de máximos e mínimos num período.

3. O sinal deve possuir um número finito de descontinui-dades num período.

Essas condições garantem que o sinal é igual à sua representação em FS, exceto em valores isolados de

tempo para os quais o sinal é descontínuo.

06/05/2016 2/31


Convergência da FS

Violação da Primeira Condição de Dirichlet

Violação da Segunda Condição de Dirichlet

Violação da Terceira Condição de Dirichlet

06/05/2016 3/31


Convergência da FS Na prática, o somatório é finito, ou seja, utiliza-

se a Série de Fourier Truncada, que contempla as N primeiras harmônicas:

0( )N

jk tN k

k Nx t a e ω

+

=−

= ∑Espera-se que a Série Truncada convirja para o sinal x quando N tende a infinito. Felizmente, não há problemas de convergência para uma grande quantidade de classes de sinais periódicos.

Vejamos uma animação em Java que ilustra a utilização da Série Truncada de Fourier, apresentando os fasores para

cada harmônica...

06/05/2016 4/31


Sinais Contínuos Periódicos (FS) Exemplo: Script em Matlab – M_11_SerieFourierProg1.m

02T

ω π=Frequência Fundamental?

06/05/2016 5/31


Sinais Contínuos Periódicos (FS) Exemplo

0

00

0 0

0

00

0 00

0

0 0

0 0

2

2

0 0 0

0

00

0 0 0

0

0

0

0

1 1 1( )

2 ( ) 2 ( )22

( ) ( )22 2 ( )2

22

22

TT Tjk t jk t jk t

k T TT

jk T jk T

a x t e dt e dt eT T Tjk

sen k T T sen k

T

Te eTk j Tk T k T

Tsen k T sen kT T T Tsinc kTT T T Tk T kT

T T

ω ω ω

ω ω

ω

ω ωω ω ω

π π

π π

− − −

− −−

−

−= = =

−= = =

= = =

∫ ∫

( )( ) ππ

=sen usinc u

uFunção sinc

06/05/2016 6/31



-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-0.2

0

0.2

0.4

0.6

a k

k

T=16, To=4

-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-0.05

0

0.05

0.1

0.15

a k

k

T=16, To=1

06/05/2016 7/31


Sinais Contínuos Periódicos (FS) Exemplo – Aproximação do Sinal pela Série Truncada de Fourier

-5 0 50

0.5

1

t

x 0(t)

-5 0 50

0.5

1

t

x 1(t)

-5 0 50

0.5

1

t

x 3(t)-5 0 5

0

0.5

1

t

x 5(t)

-5 0 50

0.5

1

t

x 7(t)

-5 0 50

0.5

1

tx 9(t)

-5 0 50

0.5

1

t

x 11(t)

-5 0 50

0.5

1

t

x 13(t)

-5 0 50

0.5

1

t

x 15(t)

( ) →ix t i é a quantidade de harmônicas utilizadas

CE6.m: arquivos do livro do Sinais e

Sistemas Lineares, segunda edição

06/05/2016 8/31


Convergência da FS Vimos que se espera que a Série Truncada com-

virja para o sinal x quando N tende a infinito. Será que isso acontece sempre?

Já sabemos que um sinal periódico contínuo possui u-ma representação em Série de Fourier se ele satisfaz às condições de Dirichlet, mas sabemos também que a aproximação não é perfeita em pontos de descontinui-dade. Esse é o Fenômeno Gibbs...

Vejamos uma outra animação em Java que ilustra a utilização da Série Truncada de Fourier e evidencia o Fenômeno Gibbs...

06/05/2016 9/31


Convergência da FS Existem métodos para reduzir ou eliminar o e-

feito do Fenômeno Gibbs. Essencialmente, tais métodos são diferentes maneiras de modificar (ponderar) os coeficientes da FS truncada, e são conhecidos como métodos de janelamento.

Vejamos uma animação em Java que ilustra a utilização de

janelamento para redução do efeito do Fenôneno Gibbs...

06/05/2016 10/31


Sinais Contínuos Periódicos (FS)

Calcular a FS para o sinal apresentado a seguir:

Exemplo

( ) 2 (2 3) (6 )x t sen t sen tπ π= − +

06/05/2016 11/31



0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5x(

t)

t

x(t)=2sin(2π t-3)+sin(6π t)

06/05/2016 12/31



( ) 2 (2 3) (6 )x t sen t sen tπ π= − +

(2 3) (2 3) 6 6

(2 3) (2 3) 6 6

( 3)2 ( 1)2 3 (1)2 3 (3)2

( ) 22 2

( )2 2

( )2 2

j t j t j t j t

j t j t j t j t

j t j t j j t j j t

e e e ex tj j

j jx t je je e e

j jx t e je e je e e

π π π π

π π π π

π π π π

− − − −

− − − −

− − −

− −= +

= − + − +

= + − −

06/05/2016 13/31



2

( 3)3 32 2

3( 3)3 32 2

2 2

1 , - 32 2

1 1 , -1

, 1

1 1 , 32 2 2

0,

j

j jj j

j jk j j j

j jj

j e k

je e e e ka

je e e e e k

j e e e k

caso contrário

π

π π

π ππ

π ππ

+

−−

−

= =

= = == − = = = − = = =

Exemplo

06/05/2016 14/31



0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-5

0

5x(

t)

t

x(t)=2sin(2π t-3)+sin(6π t)

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 100

0.5

1

|X(k

)|

k

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10-2

0

2

∠ X

(k)

k

06/05/2016 15/31



Calcular a FS para o sinal a seguir:

Exemplo

( ) ( )k

x t t kTδ+∞

=−∞

= −∑

( )x t

TT

1

2T3T− 2T− T− 3T

... ...

06/05/2016 16/31



( ) ( )

kx t t kTδ

+∞

=−∞

= −∑

0 02 2

2 2

1 1 1( ) ( )T Tjk t jk t

k T Ta x t e dt t e dt k

T T Tω ωδ− −

− −= = = ∀∫ ∫

( )x t

TT

1

2T3T− 2T− T− 3T

... ...

06/05/2016 17/31


Algumas Propriedades da FS Linearidade

( )

( )

( ) ( ) ( )

FS

kFS

kFS

k k kA

x t a

y t b

z t x t y t c a bAB B

↔

↔

= + ↔ = +

Deslocamento no Tempo

0 00

( )

( )

FS

kF

k tS

jk

x t a

x t e at ω−

↔

− ↔

06/05/2016 18/31


Algumas Propriedades da FS Reflexão no Tempo

( )

( )

FS

kFS

k

x t a

x t a−

↔

− ↔

O que se pode dizer sobre os coeficientes da FS para sinais pares e ímpares ?

k ka a−=k ka a−− =

06/05/2016 19/31


Algumas Propriedades da FS Mudança de Escala no Tempo

0

0( )

( )

( )

jk tk

k

jk tk

k

x t a e

x t a e

é um número positivo real

ω

αωα

α

+∞

=−∞

+∞

=−∞

=

=

∴

∑

∑

Conjugado e Simetria

* *

( )

( )k

FS

kFS

x t a

x t a−

↔

↔

06/05/2016 20/31


Algumas Propriedades da FS Multiplicação

( )

( )

( ) ( )

FS

kFS

k

FS

k l k ll

x t a

y t b

x t y t h a b+∞

−=−∞

↔

↔

↔ = ∑

Relação de Parseval

2 21 ( ) kkT

x t dt aT

+∞

=−∞

= ∑∫

06/05/2016 21/31


Propriedades da FS A Tabela 3.1 (página 206 do livro Signals and

Systems) resume as propriedades da FS: algu-mas propriedades apresentadas na tabela não es-tão nos slides...

As propriedades são interessantes para facilitar a determinação dos coeficientes da FS de um sinal, evitando a realização de contas desnecessárias.

Leiam sobre as propriedades, pois o livro apre-senta comentários interessantes...

06/05/2016 22/31


Propriedades da FS Exemplo

Calcular a FS para o sinal a seguir:

12

12

−

11− 22−

( )g t

06/05/2016 23/31



Lembrando:

0 02 2( )kT Ta sinc kT T

=

06/05/2016 24/31



12

12

−

11− 22−

( )g t 0

0

1( ) ( 1)2

1, 4

2

g t x t

T T

ω π

= − −

= =

=

06/05/2016 25/31



1 2

1( ) ( 1)2

( ) ( ) ( )

g t x t

g t x t x t

= − −

= +

Aplicar Linearidade!!!

1

2

1 2

( )

( )

( ) ( ) ( )

FS

kFS

kFS

k k k

x t b

x t c

g t x t x t d b c

↔

↔

= + ↔ = +

06/05/2016 26/31



1( ) ( 1)x t x t= − Aplicar Deslocamento no Tempo!!!

0 00

( )

( )

FS

kF

k tS

jk

x t a

x t e at ω−

↔

− ↔

2jk

k kb e aπ

−=

21( )2

x t = −0, 0

1 , 02

k

kc

k

≠= − =

06/05/2016 27/31



1

2

1 2

( )

( )

( ) ( ) ( )

FS

kFS

kFS

k k k

x t b

x t c

g t x t x t d b c

↔

↔

= + ↔ = +

2jk

k kb e aπ

−=

0, 0 1 , 0

2k

kc

k

≠= − =

2

0

, 0 1 , 0

2

jk

kk

e a kd

a k

π−

≠= − =

06/05/2016 28/31



2

0

, 0 1 , 0

2

jk

kk

e a kd

a k

π−

≠= − =

0 1, 40 0

1( ) ( )2 2 1 1 1 2 2( ) ( ) 12 2 22

T Tk k

ksen k senT Ta sinc k a sinc kT T kk

ππ

ππ

= == → = = =

2( )

2 , 0

0, 0

jk

k

ksene kd k

k

ππ

π−

≠=

=06/05/2016 29/31


Educational Matlab GUIs Demos sobre Processamento de Sinais: Convolu-

ção, Série de Fourier, Transformadas, etc...

http://users.ece.gatech.edu/mcclella/matlabGUIs/index.html

(Acesso em 03/03/2007)

Vamos brincar um pouco com a Fourier Series Demo!

06/05/2016 30/31


Exercício Exercício 3.1 – Signals and Systems

Um sinal periódico de tempo contínuo é real,

e tem período fundamental . Os coeficientes não nulos da FS de são:

Expresse na forma:

3

*1 1 32, 4 .a a a a j

−−= = = =

0( ) ( )k k k

kx t A cos tω φ

∞

=

= +∑

( )x t8T =

( )x t

( )x t

06/05/2016 31/31

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