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1 SÍNTESE TEMA III Geometria Analítica Inequações cartesianas de semiplanos 1. Geometria analítica no plano Um vetor é definido por: • um comprimento; • uma direção; • um sentido. Vetores colineares são vetores que têm a mesma direção. Sejam A(a 1 , a 2 ) e B(b 1 , b 2 ) dois pontos do plano: Equação cartesiana da elipse de semieixo maior a e semieixo menor b: + =1 Distância focal: 2c, onde c = √∫a2 b2 . x 2 a 2 y 2 b 2 2. Cálculo vetorial no plano c x > c r r r r y x O c y x O c y x O c y x O y x O r r r r y x O y x O y x O y > ax + b y < ax + b y ax + b y ax + b x < c x c x c Distância entre A e B. √∫(b1 a1 )2 +(b2 a2 ) 2 Ponto médio do segmento de reta [AB]. , h i j a 1 + b 1 2 h i j a 2 + b 2 2 Mediatriz do segmento de reta [AB]. (x a 1 ) 2 + (y a 2 ) 2 = (x b 1 ) 2 + (y b 2 ) 2 Circunferência de centro A e raio r. (x a 1 ) 2 + (y a 2 ) 2 = r 2 A D E I J F C K H L G B

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SÍNTESE

TEMA III Geometria Analítica

Inequações cartesianas de semiplanos

1. Geometria analítica no plano

Um vetor é definido por:

• um comprimento;• uma direção; • um sentido.

Vetores colineares são vetores que têm a mesma direção.

Sejam A(a1, a2) e B(b1, b2) dois pontos do plano:

Equação cartesiana da elipse de semieixo maior a e semieixo menor b: + =1

Distância focal: 2c, onde c = √∫a∫2∫ ∫–∫ ∫b∫2.

x2

a2y2

b2

2. Cálculo vetorial no plano

c

x > cr r r ry

xO c

y

xO c

y

xO c

y

xO

y

xO

r rr ry

xO

y

xO

y

xO

y > ax + b

y < ax + b

y ≥ ax + b

y ≤ ax + b

x < c x ≥ c x ≤ c

Distância entre A e B. √∫(∫b∫1∫ ∫–∫ ∫a∫1∫)∫2∫ ∫+∫ ∫(∫b∫2∫ ∫–∫ ∫a∫2∫)2

Ponto médio do segmento de reta [AB]. , hij

a1 + b12

hij

a2 + b22

Mediatriz do segmento de reta [AB]. (x – a1)2 + (y – a2)2 = (x – b1)2 + (y – b2)2

Circunferência de centro A e raio r. (x – a1)2 + (y – a2)2 = r2

A DE

I

JF

C

K

H

L

G

B

2

SÍNTESE

TEMA III Geometria Analítica

A norma de um vetor ≤v é a medida do comprimento de um segmento orientado representante de ≤v erepresenta-se por ||≤v ||.

Adição de vetores

Propriedade comutativa: ≤u + ≤v = ≤v + ≤u, para quaisquer vetores ≤u e ≤v.

Propriedade associativa: ( ≤u + ≤v ) + ≤w = ≤u + ( ≤v + ≤w), para quaisquer vetores ≤u, ≤v e ≤w.

Existência de elemento neutro: ≤u + ≤0 = ≤0 + ≤u = ≤u, para qualquer vetor ≤u.

Existência de elemento simétrico para cada vetor: ≤u + (–≤u ) = (– ≤u ) + ≤u = ≤0, para qualquer vetor ≤u.

Multiplicação de um vetor por um escalar

O produto de ≤v por λ (λ ≠ 0) é o vetor λ≤v com:

• a direção de ≤v;

• sentido de ≤v se λ > 0 ou sentido contrário ao de ≤v se λ < 0;

• norma igual a |λ| × ||≤v ||.

Dado um vetor ≤v, não nulo, um vetor ≤u é colinear a ≤v se e somente se existir um número real λ tal que≤u = λ≤v e, nesse caso, λ é único.

Sendo ≤u e ≤v dois vetores e λ e μ números reais:

Regra do triângulo Regra do paralelogramo(só para vetores não colineares)

≤u

≤u + ≤v

≤v

≤u

≤v≤u + ≤v

Distributividade em relação à adição de números reais. (λ + μ)≤v = λ ≤v + μ ≤v

Distributividade em relação à adição de vetores. λ( ≤u + ≤v ) = λ ≤u + λ ≤v

Associatividade mista. λ(μ ≤v ) = (λμ)≤v

Vetores simétricos são vetores que têm a mesma direção, o mesmo comprimento e sentidos opostos.

O ponto Q é a soma do ponto P com o vetor ≤u, e escreve-se Q = P + ≤u, quando dado um ponto P eum vetor ≤u, existe um único ponto Q tal que ≤u = P≥Q.

AA≥B

–A≥BB

≤v

–≤v

P≥Q≤uQ = P + ≤u

P

3

Síntese

Fixado um plano munido de um referencial ortonormado de origem O e dado um ponto A, chama-sevetor posição do ponto A ao vetor O≥A.

Sejam ≤u (u1, u2) e ≤v (v1, v2) dois vetores do plano e λ um número real:

• ≤u = ≤v ⇔ u1 = v1 ∧ u2 = v2

• ≤u + ≤v = (u1 + v1, u2 + v2)

• ≤u – ≤v = (u1 – v1, u2 – v2)

• λ≤u = (λu1, λu2)

• –≤u = (–u1, –u2)

Sejam ≤u(u1, u2) e ≤v(v1, v2) dois vetores do plano, não nulos. ≤u e ≤v são colineares se e somente se u1,

u2, v1, v2 ≠ 0 e = ou as primeiras coordenadas de ambos forem nulas ou as segundas coordenadas

de ambos forem nulas.

Dados os pontos A(a1, a2) e B(b1, b2) e um vetor ≤v (v1, v2), tem-se:

• A≥B = B – A = (b1 – a1, b2 – a2)

• A + ≤v = (a1 + v1, a2 + v2)

• ||≤v || = √∫v∫2∫1∫ ∫+∫ ∫v∫22

Um vetor ≤v, não nulo, tem a direção da reta r se as retas suporte dos representantes de ≤v têm a direçãode r.

Designa-se por vetor diretor de uma dada reta r qualquer vetor não nulo com a mesma direção de r.

Considera a reta que passa no ponto A(a1, a2) e tem a direção do vetor ≤v (v1, v2). Então:

u1v1

u2v2

Equação vetorial da reta(x, y) = (a1, a2) + k(v1, v2), k ∈R

Sistema de equações paramétricas da reta

, k ∈R

Equações cartesianas

= se v1, v2 ≠ 0

y – a2 = (x – a1) se v1 ≠ 0

y = mx + b " Equação reduzida da reta, onde m = , se v1 ≠ 0, e b é a ordenada do ponto de

interseção da reta com o eixo Oy.

x = a1 + kv1y = a2 + kv2

123

x – a1v1

y – a2v2

v2v1

v2v1

4

SÍNTESE

TEMA III Geometria Analítica

Equações de planos paralelos aos planos coordenados

Condição: x = a, a ∈R Condição: y = b, b ∈R Condição: z = c, c ∈R

• Plano paralelo a yOz.• Passa pelo ponto A(a, 0, 0).

• Perpendicular ao eixo Ox.

• Plano paralelo a xOz.• Passa pelo ponto B(0, b, 0).

• Perpendicular ao eixo Oy.

• Plano paralelo a xOy.

• Passa pelo ponto C(0, 0, c).

• Perpendicular ao eixo Oz.

Caso particular:

x = 0 define o plano yOz.Caso particular:

y = 0 define o plano xOz.Caso particular:

z = 0 define o plano xOy.

z

y

x

O

x = a

a

z

y

x

Oy = b

b

z

y

x

O

z = cc

Dado um referencial ortonormado do espaço, a todo o ponto P está associado um e um só terno or-denado de números (a, b, c) a que chamamos coordenadas, sendo a a abcissa, b a ordenada e c a cota.

3. Geometria analítica no espaço

Referencial cartesiano Oxyz

Os eixos ortogonais dividem o espaço emoito regiões: os octantes.

Eixo das cotasEixo Oz

Eixo das abcissasEixo Ox

Eixo das ordenadasEixo Oy

Origem do referencial

z

y

x

O

z

y

x

O

z

y

x

O

z

y

x

O

Plano xOy Plano xOz Plano yOz

1.º octante

5.º octante

2.º octante

6.º octante

3.º octante7.º octante

4.º octante

8.º octante

z

y

x

O

5

Síntese

Dois segmentos orientados do espaço dizem-se equipolentes quando são complanares e equipolentesnum plano que os contenha.

No espaço, segmentos orientados equipolentes determinam o mesmo vetor.

Depois de definirmos um vetor no espaço, estendem-se do plano ao espaço as definições de normade um vetor (fixada uma unidade de comprimento), de adição de um ponto com um vetor, de translaçãode um dado vetor e as operações de subtração de dois pontos, de adição e subtração de vetores, demultiplicação de um vetor por um escalar e as respetivas propriedades geométricas e algébricas.

Consideremos a reta que passa no ponto A(a1, a2, a3) e tem a direção do vetor ≤v (v1, v2, v3). Então:

4. Cálculo vetorial no espaço

Equações de retas paralelas aos eixos coordenados

Condição:x = a ∧ y = b, a, b ∈R

Condição:y = b ∧ z = c, c, b ∈R

Condição:x = a ∧ z = c, a, c ∈R

• Reta paralela a Oz eperpendicular ao plano xOy.

• Interseta o plano xOy no ponto(a, b, 0).

• Reta paralela a Ox eperpendicular ao plano yOz.

• Interseta o plano yOz no ponto(0, b, c).

• Reta paralela a Oy eperpendicular ao plano xOz.

• Interseta o plano xOz no ponto(a, 0, b).

Caso particular:

x = 0 ∧ y = 0 define o eixo Oz.Caso particular:

y = 0 ∧ z = 0 define o eixo Ox.

Caso particular:

x = 0 ∧ z = 0 define o eixo Oy.

z

y

x

O

x = a

a

b

x = a ∧ y = b

y = b

z

y

x

O

y = b

z = c

b

y = b ∧ z = c

c

z

y

x

O

x = a

a

c

z = c

x = a ∧ z = c

Distância entre A e B. √∫(∫b∫1∫ ∫–∫ ∫a∫1∫)∫2∫ ∫+∫ ∫(∫b∫2∫ ∫–∫ ∫a∫2∫)∫2 ∫+∫ ∫(∫b∫3∫ ∫–∫ ∫a∫3∫)2

Ponto médio do segmento de reta [AB]. , ,hij

a1 + b12

a2 + b22

a3 + b32

hij

Plano mediador do segmento de reta [AB]. (x – a1)2 + (y – a2)2 + (z – a3)2 = (x – b1)2 + (y – b2)2 + (z – b3)2

Superfície esférica de centro A e raio r. (x – a1)2 + (y – a2)2 + (z – a3)2 = r2

Sejam A(a1, a2, a3) e B(b1, b2, b3) dois pontos do espaço:

Equação vetorial da reta(x, y, z) = (a1, a2, a3) + k(v1, v2, v3), k ∈R

Sistema de equações paramétricas da retax = a1 + kv1

y = a2 + kv2 , k ∈R

z = a3 + kv3

14243