matA12 – probabilidades e combinatória

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Experiência aleatória, conjunto de resultados, acontecimentos

Experiência aleatória é uma experiência com as

seguintes características:

- pode-se repetir tantas vezes quantas se queira nas

mesmas condições;

- são conhecidos os resultados possíveis;

- não é possível prever (determinar) o resultado de

cada uma das experiências.

Conjunto de resultados ou espaço amostral de uma experiência

aleatória é o conjunto de resultados possíveis que lhe está

associado e representa-se habitualmente por S, E ou .

Acontecimento elementar – Se o resultado de uma experiência

aleatória consta de um só elemento do conjunto de resultados,

dizemos que se trata de um acontecimento elementar.

Acontecimento de uma experiência aleatória é cada um

dos subconjuntos do conjunto de resultados ().

Acontecimento certo – Se o resultado de uma experiência aleatória

consta de todos os elementos do conjunto de resultados, dizemos

que se trata de um acontecimento certo. Acontecimento composto – Se o resultado de uma

experiência aleatória consta de dois ou mais elementos

do conjunto de resultados, dizemos que se trata de um

acontecimento composto.

Espaço de acontecimentos é o conjunto de todos os subconjuntos

de .

Acontecimento impossível – Se o resultado de uma

experiência aleatória não tem qualquer elemento do

conjunto de resultados, dizemos que se trata de um

acontecimento impossível.

Acontecimento contrário (ou complementar) do acontecimento X

resulta da sua negação e representa-se por X .

Acontecimentos incompatíveis – dois acontecimentos X

e Y, dizem-se incompatíveis se a sua verificação

simultânea for o acontecimento impossível, ou seja,

X Y

Operações com acontecimentos

Reunião União Diferença Leis de Morgan

A

A A

A A

A A

A

A A

A B A B A B A B

A B A B

Definição clássica de probabilidade – Lei de

Laplace Definição axiomática de probabilidade

A probabilidade de um acontecimento A de um

espaço de resultados constituído por

acontecimentos elementares equiprováveis é

nº de casos favoráveis em que ocorre

nº de casos possíveis

Ap A

Axioma 1: 1p

Axioma 2: 0p A

Axioma 3: A B p A B p A p B

Teoremas e corolários sobre probabilidades

Se A é uma acontecimento impossível, então 0p A .

Se A é o acontecimento contrário do acontecimento A, então 1p A p A .

Se A e B são acontecimentos tais que A B , então p A p B .

Para qualquer acontecimento A, tem-se que 0 1p A .

Se A e B são dois acontecimentos compatíveis, então p A B p A p B p A B .

Probabilidade condicionada Teorema da probabilidade total

Sendo A e B dois acontecimentos de um espaço de

resultados com 0p B , chama-se probabilidade

condicionada de A, dado B ao valor definido por.

|

p A Bp A B

p B

Relações obtidas com base na definição:

| |p A B p A B p B p B A p A

||

p B A p Ap A B

p B

Seja A um acontecimento do espaço de resultados , assim como B1, B2,

…, Bn (n acontecimentos). Sabendo que B1, B2, …, Bn são incompatíveis e

que 1 2...

nB B B , então

1 1 2 2| | ... |n np A p B p A B p B p A B p B p A B

Acontecimentos independentes Dois acontecimentos A e B, associados a uma certa experiência aleatória

são independentes se e só se

p A B p A p B

Os acontecimentos A e B, com 0p A e 0p B , são

independentes se e só se

|p A B p A , ou de modo equivalente, |p B A p B

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Permutações, arranjos e combinações

Permutações – A todas as sequências diferentes que é possível obter com

os n elementos chama-se permutações de n elementos. ! 1 2 ... 1nP n n n n

Arranjos sem repetição (importa a ordem mas não podemos repetir os

elementos) – A todas as possíveis sequências que é possível obter com p

elementos escolhidos arbitrariamente entre os n dados não podendo existir

repetição dá-se o nome de arranjos sem repetição de n elementos p a p.

!

!

n

p

nA

n p

Nota: !n

n nA P n

Arranjos completos ou com repetição (importa a ordem e podemos

repetir os elementos) – A todas as possíveis sequências que é possível

obter com p elementos escolhidos arbitrariamente entre os n dados

podendo existir repetição dá-se o nome de arranjos completos ou com

repetição de n elementos p a p.

n p

pA n

Combinações (não importa a ordem e não podemos repetir os elementos)

– Ao número de subconjuntos, com p elementos, que se podem formar de

um conjunto que tenha n elementos dá-se o nome de combinações de n

elementos p a p.

!

! !

n

p

nC

n p p

Permutações com repetição – A todas as sequências diferentes que é

possível obter com n elementos, dos quais n1, n2, … são repetidos. 1 2

!

! !...

n

n n

Triângulo de Pascal Propriedades do triângulo de Pascal

Linha

n = 0

n = 1

n = 2

n = 3

n = 4

0

0C

1

0C 1

1C

2

0C 2

1C 2

2C

3

0C 3

1C 3

2C 3

3C

4

0C 4

1C 4

2C 4

3C 4

4C

Todas as linhas começam e acabam em 1 01

n n

nC C

O triângulo é simétrico 0, com , e

n n

p n pC C n p n p

Soma de dois números consecutivos de uma linha 1

1 1 0, , e n n n

p p pC C C n p n p

A soma dos elementos de qualquer linha n é 2n

0 1 2 0... 2 ,

n n n n n

nC C C C n

Binómio de Newton

1 2 2 1 1

0 1 2 1

0

. . . . . . . ... . . .n

n n n p p n n n n n n n n n n

p n n

p

a b C a b C a C a b C a b C a b C b

1 . .n n p p

p pT C a b

Média Valor médio ou

esperança matemática Desvio padrão populacional

1 1 1 2 2

1 2

1

...

...

n

i i

i n n

n

ni

i

x nx n x n x n

xn n n

n

1 1 2 2

1

...n

i i n n

i

x p x p x p x p

2 2 2

1 1 2 2

2

1

( ) ( ) ... ( )

( )

n n

n

i i

i

p x p x p x

p x

Modelo binomial ,B n p Valor médio e desvio padrão (binomial)

Experiências de provas repetidas de Bernoulli

( ) . . 1 , 0n kn k

kp X k C p p k n

; 1np np p

Modelo normal ou gaussiano ,N

0,6827p X 2 2 0,9545p X 3 3 0,9973p X