Sist. Lin. I Sistemas Lineares Sistemas Lineares – 1 Parte · Resolução Equivalência Eliminação de Gauss Após Escalonamento Sistemas Lineares – 1a Parte Paulo Goldfeld Marco

Sist. Lin. I

SistemasLinearesIntrodução

Definições

Geometria

Resolução

Equivalência

Eliminação de Gauss

Após Escalonamento

Sistemas Lineares – 1a Parte

Paulo Goldfeld Marco Cabral

Departamento de Matemática AplicadaUniversidade Federal do Rio de Janeiro

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 1 / 40

Sist. Lin. I


Definições

Geometria

Resolução

Equivalência


Após Escalonamento

Motivação - 1o Exemplo

Problema: há dois tipos de moeda, indistinguíveis excetopelo peso. As de material X pesam 10 g cada e as dematerial Y, 20 g cada. Se um conjunto de 100 moedaspesa 1.25 Kg, quantas são do material X?{

x + y = 10010x + 20y = 1250


Sist. Lin. I


Definições

Geometria

Resolução

Equivalência


Após Escalonamento


Problema: há dois tipos de moeda, indistinguíveis excetopelo peso. As de material X pesam 10 g cada e as dematerial Y, 20 g cada. Se um conjunto de 100 moedaspesa 1.25 Kg, quantas são do material X?{

x + y = 10010x + 20y = 1250


Sist. Lin. I


Definições

Geometria

Resolução

Equivalência


Após Escalonamento


Problema: a combustão do propano produz dióxido decarbono e água. Encontre a, b, c e d de forma a balanceara equação da reação: a C3H8 + b O2 −→ c CO2 + d H2O.

balanço de C: 3a = cbalanço de H: 8a = 2dbalanço de O: 2b = 2c + d

3a +0b −1c +0d = 08a +0b +0c −2d = 00a +2b −2c −1d = 0


Sist. Lin. I


Definições

Geometria

Resolução

Equivalência


Após Escalonamento




3a +0b −1c +0d = 08a +0b +0c −2d = 00a +2b −2c −1d = 0


Sist. Lin. I


Definições

Geometria

Resolução

Equivalência


Após Escalonamento




3a +0b −1c +0d = 08a +0b +0c −2d = 00a +2b −2c −1d = 0


Sist. Lin. I


Definições

Geometria

Resolução

Equivalência


Após Escalonamento




3a +0b −1c +0d = 08a +0b +0c −2d = 00a +2b −2c −1d = 0


Sist. Lin. I


Definições

Geometria

Resolução

Equivalência


Após Escalonamento




3a +0b −1c +0d = 08a +0b +0c −2d = 00a +2b −2c −1d = 0


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Definições

Geometria

Resolução

Equivalência


Após Escalonamento


Problema: existe uma parábola γ da forma y = ax2 + bx + cpassando pelos pontos (0, 1), (1, 3), (2, 4) e (3, 9)?

(0, 1) ∈ γ ⇒ 1 = a(02) + b(0) + c(1, 3) ∈ γ ⇒ 3 = a(12) + b(1) + c(2, 4) ∈ γ ⇒ 4 = a(22) + b(2) + c(3, 9) ∈ γ ⇒ 9 = a(32) + b(3) + c

0a +0b +1c = 11a +1b +1c = 34a +2b +1c = 49a +3b +1c = 9


Sist. Lin. I


Definições

Geometria

Resolução

Equivalência


Após Escalonamento




0a +0b +1c = 11a +1b +1c = 34a +2b +1c = 49a +3b +1c = 9


Sist. Lin. I


Definições

Geometria

Resolução

Equivalência


Após Escalonamento




0a +0b +1c = 11a +1b +1c = 34a +2b +1c = 49a +3b +1c = 9


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Definições

Geometria

Resolução

Equivalência


Após Escalonamento




0a +0b +1c = 11a +1b +1c = 34a +2b +1c = 49a +3b +1c = 9


Sist. Lin. I


Definições

Geometria

Resolução

Equivalência


Após Escalonamento




0a +0b +1c = 11a +1b +1c = 34a +2b +1c = 49a +3b +1c = 9


Sist. Lin. I


Definições

Geometria

Resolução

Equivalência


Após Escalonamento




0a +0b +1c = 11a +1b +1c = 34a +2b +1c = 49a +3b +1c = 9


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Definições

Geometria

Resolução

Equivalência


Após Escalonamento


Problema: o vetor (0, 6, 10) é combinação linear de (1, 2, 3),(2, 1, 1) e (4,−1,−3)?

α(1, 2, 3) + β(2, 1, 1) + γ(4,−1,−3)

= (α, 2α, 3α) + (2β, β, β) + (4γ,−γ,−3γ)

= (α + 2β + 4γ, 2α + β − γ, 3α + β − 3γ)

= (0, 6, 10)1α +2β +4γ = 02α +1β −1γ = 63α +1β −3γ = 10 1 2 42 1 −13 1 −3

αβγ

=

06

10


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Definições

Geometria

Resolução

Equivalência


Após Escalonamento



α(1, 2, 3) + β(2, 1, 1) + γ(4,−1,−3)

= (α, 2α, 3α) + (2β, β, β) + (4γ,−γ,−3γ)

= (α + 2β + 4γ, 2α + β − γ, 3α + β − 3γ)

= (0, 6, 10)1α +2β +4γ = 02α +1β −1γ = 63α +1β −3γ = 10 1 2 42 1 −13 1 −3

αβγ

=

06

10


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Definições

Geometria

Resolução

Equivalência


Após Escalonamento



α(1, 2, 3) + β(2, 1, 1) + γ(4,−1,−3)

= (α, 2α, 3α) + (2β, β, β) + (4γ,−γ,−3γ)

= (α + 2β + 4γ, 2α + β − γ, 3α + β − 3γ)

= (0, 6, 10)1α +2β +4γ = 02α +1β −1γ = 63α +1β −3γ = 10 1 2 42 1 −13 1 −3

αβγ

=

06

10


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Definições

Geometria

Resolução

Equivalência


Após Escalonamento



α(1, 2, 3) + β(2, 1, 1) + γ(4,−1,−3)

= (α, 2α, 3α) + (2β, β, β) + (4γ,−γ,−3γ)

= (α + 2β + 4γ, 2α + β − γ, 3α + β − 3γ)

= (0, 6, 10)1α +2β +4γ = 02α +1β −1γ = 63α +1β −3γ = 10 1 2 42 1 −13 1 −3

αβγ

=

06

10


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Definições

Geometria

Resolução

Equivalência


Após Escalonamento



α(1, 2, 3) + β(2, 1, 1) + γ(4,−1,−3)

= (α, 2α, 3α) + (2β, β, β) + (4γ,−γ,−3γ)

= (α + 2β + 4γ, 2α + β − γ, 3α + β − 3γ)

= (0, 6, 10)1α +2β +4γ = 02α +1β −1γ = 63α +1β −3γ = 10 1 2 42 1 −13 1 −3

αβγ

=

06

10


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Definições

Geometria

Resolução

Equivalência


Após Escalonamento

Motivação

Quase todos os problemas da Álgebra Linear recaemna resolução de sistemas lineares. As técnicas pararesolvê-los nos acompanharão por todo o curso.

A resolução de sistemas lineares está no coração dequase todos os softwares de computação científica.Neste caso, os sistemas podem ter centenas demilhões de incógnitas.


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Definições

Geometria

Resolução

Equivalência


Após Escalonamento

Motivação

Quase todos os problemas da Álgebra Linear recaemna resolução de sistemas lineares. As técnicas pararesolvê-los nos acompanharão por todo o curso.

A resolução de sistemas lineares está no coração dequase todos os softwares de computação científica.Neste caso, os sistemas podem ter centenas demilhões de incógnitas.


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Definições

Geometria

Resolução

Equivalência


Após Escalonamento

Sistema m × n (m equações em n incógnitas)

a11x1 +a12x2 · · · +a1nxn = b1

a21x1 +a22x2 · · · +a2nxn = b2...

.... . .

......

am1x1 +am2x2 · · · +amnxn = bm

matriz aumentada︷︸︸︷a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n...

.... . .

...am1 am2 · · · amn︸︷︷︸

matriz de coeficientes

b1

b2...

bm

︸︷︷︸lado direito


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Definições

Geometria

Resolução

Equivalência


Após Escalonamento

Sistema m × n (m equações em n incógnitas)

a11x1 +a12x2 · · · +a1nxn = b1

a21x1 +a22x2 · · · +a2nxn = b2...

.... . .

......

am1x1 +am2x2 · · · +amnxn = bm

matriz aumentada︷︸︸︷a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n...

.... . .

...am1 am2 · · · amn︸︷︷︸

matriz de coeficientes

b1

b2...

bm

︸︷︷︸lado direito


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Definições

Geometria

Resolução

Equivalência


Após Escalonamento

Matriz m × n (m linhas, n colunas)

Am×n =

a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n...

.... . .

...am1 am2 · · · amn

m linhas

=

a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n...

.... . .

...am1 am2 · · · amn

n colunas


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Definições

Geometria

Resolução

Equivalência


Após Escalonamento

Geometria

Exemplo 1:{

1x +1y = 21x −1y = 0

[1 1 21 −1 0

]

(1, 1)

(2, 0)

(0, 2)

Solução única. Conjunto-solução: {(1, 1)}


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Definições

Geometria

Resolução

Equivalência


Após Escalonamento

Geometria

Exemplo 1:{

1x +1y = 21x −1y = 0

[1 1 21 −1 0

]

Solução única. Conjunto-solução: {(1, 1)}


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Definições

Geometria

Resolução

Equivalência


Após Escalonamento

Geometria

Exemplo 2:{

1x +1y = 22x +2y = 2

[1 1 22 2 2

]

(2, 0)

(0, 2)

(1, 0)

(0, 1)

Sem solução. Conjunto-solução: { } = ∅


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Definições

Geometria

Resolução

Equivalência


Após Escalonamento

Geometria

Exemplo 2:{

1x +1y = 22x +2y = 2

[1 1 22 2 2

]

Sem solução. Conjunto-solução: { } = ∅


Sist. Lin. I


Definições

Geometria

Resolução

Equivalência


Após Escalonamento

Geometria

Exemplo 3:{

1x +1y = 22x +2y = 4

[1 1 22 2 4

]

(2, 0)

(0, 2)

Infinitas soluções.Conjunto-solução: {(x , y) | x + y = 2} = {(t , 2− t) | t ∈ R}


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Definições

Geometria

Resolução

Equivalência


Após Escalonamento

Geometria

Exemplo 3:{

1x +1y = 22x +2y = 4

[1 1 22 2 4

]

Infinitas soluções.Conjunto-solução: {(x , y) | x + y = 2} = {(t , 2− t) | t ∈ R}


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Definições

Geometria

Resolução

Equivalência


Após Escalonamento

Conjunto-Solução

Um sistema linear de equações tem sempre:ou uma única solução;ou nenhuma solução;ou infinitas soluções.

Compare com o caso não-linear:


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Definições

Geometria

Resolução

Equivalência


Após Escalonamento

Conjunto-Solução

Um sistema linear de equações tem sempre:ou uma única solução;ou nenhuma solução;ou infinitas soluções.

Compare com o caso não-linear:


Sist. Lin. I


Definições

Geometria

Resolução

Equivalência


Após Escalonamento

Sistemas “Fáceis”

Matriz de coeficientes diagonal 3 0 0 50 −2 0 40 0 1 −2

3x1 = 5−2x2 = 4

x3 = −2

Conjunto-solução:{(

53,−2,−2

)}

Definição (matriz diagonal)

A é diagonal se aij = 0 ∀ i 6= j .


Sist. Lin. I


Definições

Geometria

Resolução

Equivalência


Após Escalonamento


Matriz de coeficientes diagonal 3 0 0 50 −2 0 40 0 1 −2

3x1 = 5−2x2 = 4

x3 = −2

Conjunto-solução:{(

53,−2,−2

)}

Definição (matriz diagonal)

A é diagonal se aij = 0 ∀ i 6= j .


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Definições

Geometria

Resolução

Equivalência


Após Escalonamento


Matriz de coeficientes triangular 3 1 3 20 −2 1 −50 0 2 −2

3x1 +x2 +3x3 = 2

−2x2 +x3 = −52x3 = −2

Substituição para trás:

2x3 = −2 ⇒ x3 = −1−2x2 +(−1) = −5 ⇒ x2 = 2

3x1 +(2) +3(−1) = 2 ⇒ x1 = 1

Definição (matriz triangular superior)

A é triangular superior se aij = 0 ∀ i > j .


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Definições

Geometria

Resolução

Equivalência


Após Escalonamento



3x1 +x2 +3x3 = 2

−2x2 +x3 = −52x3 = −2


2x3 = −2 ⇒ x3 = −1−2x2 +(−1) = −5 ⇒ x2 = 2

3x1 +(2) +3(−1) = 2 ⇒ x1 = 1




Sist. Lin. I


Definições

Geometria

Resolução

Equivalência


Após Escalonamento



3x1 +x2 +3x3 = 2

−2x2 +x3 = −52x3 = −2


2x3 = −2 ⇒ x3 = −1−2x2 +(−1) = −5 ⇒ x2 = 2

3x1 +(2) +3(−1) = 2 ⇒ x1 = 1




Sist. Lin. I


Definições

Geometria

Resolução

Equivalência


Após Escalonamento



3x1 +x2 +3x3 = 2

−2x2 +x3 = −52x3 = −2


2x3 = −2 ⇒ x3 = −1−2x2 +(−1) = −5 ⇒ x2 = 2

3x1 +(2) +3(−1) = 2 ⇒ x1 = 1




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Definições

Geometria

Resolução

Equivalência


Após Escalonamento



3x1 +x2 +3x3 = 2

−2x2 +x3 = −52x3 = −2


2x3 = −2 ⇒ x3 = −1−2x2 +(−1) = −5 ⇒ x2 = 2

3x1 +(2) +3(−1) = 2 ⇒ x1 = 1




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Definições

Geometria

Resolução

Equivalência


Após Escalonamento

Sistemas Equivalentes

Definição (sistemas equivalentes)

Dois sistemas (nas mesmas variáveis) são equivalentes setêm o mesmo conjunto-solução.[

1 1 21 −1 0

] 1 2 31 −1 03 1 4

(2, 0)

(0, 2)

(1, 1)

(3, 0)

(0,

32

)(1, 1)

(43, 0

)Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 15 / 40

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Definições

Geometria

Resolução

Equivalência


Após Escalonamento

Estratégia para Solução de Sistemas Lineares

Buscar sistema equivalente “fácil”:na forma escalonada (“tipo” triangular) ouna forma totalmente escalonada (“tipo” diagonal).


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Definições

Geometria

Resolução

Equivalência


Após Escalonamento

Operações Fundamentais

1 Trocar a ordem das linhas[l1 b1l2 b2

]∼

[l2 b2l1 b1

]2 Multiplicar uma linha por um escalar não-nulo[

l1 b1l2 b2

]∼

[l1 b1αl2 αb2

]3 Substituir linha por sua soma com múltiplo de outra[

l1 b1l2 b2

]∼

[l1 b1

l2 + αl1 b2 + αb1

]4 Descartar linhas só de zeros[

l1 b10 0 · · · 0 0

]∼

[l1 b1

]Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 17 / 40

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Definições

Geometria

Resolução

Equivalência


Após Escalonamento



]∼

[l2 b2l1 b1


l1 b1l2 b2

]∼

[l1 b1αl2 αb2


l1 b1l2 b2

]∼

[l1 b1

l2 + αl1 b2 + αb1


l1 b10 0 · · · 0 0

]∼

[l1 b1


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Definições

Geometria

Resolução

Equivalência


Após Escalonamento



]∼

[l2 b2l1 b1


l1 b1l2 b2

]∼

[l1 b1αl2 αb2


l1 b1l2 b2

]∼

[l1 b1

l2 + αl1 b2 + αb1


l1 b10 0 · · · 0 0

]∼

[l1 b1


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Definições

Geometria

Resolução

Equivalência


Após Escalonamento



]∼

[l2 b2l1 b1


l1 b1l2 b2

]∼

[l1 b1αl2 αb2


l1 b1l2 b2

]∼

[l1 b1

l2 + αl1 b2 + αb1


l1 b10 0 · · · 0 0

]∼

[l1 b1


Sist. Lin. I


Definições

Geometria

Resolução

Equivalência


Após Escalonamento

Primeiro Exemplo

−1 −2 −4 20 −7 11 −253 13 4 16

∼

−1 −2 −4 20 −7 11 −250 7 −8 22

l3 ← l3 + 3l1

3 13 4 16+ 3× ( −1 −2 −4 2 )

3 13 4 16+ −3 −6 −12 6

0 7 −8 22


Sist. Lin. I


Definições

Geometria

Resolução

Equivalência


Após Escalonamento

Primeiro Exemplo

−1 −2 −4 20 −7 11 −253 13 4 16

∼

−1 −2 −4 20 −7 11 −250 7 −8 22

l3 ← l3 + 3l1

3 13 4 16+ 3× ( −1 −2 −4 2 )

3 13 4 16+ −3 −6 −12 6

0 7 −8 22


Sist. Lin. I


Definições

Geometria

Resolução

Equivalência


Após Escalonamento

Primeiro Exemplo

−1 −2 −4 20 −7 11 −253 13 4 16

∼

−1 −2 −4 20 −7 11 −250 7 −8 22

l3 ← l3 + 3l1

3 13 4 16+ 3× ( −1 −2 −4 2 )

3 13 4 16+ −3 −6 −12 6

0 7 −8 22


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Definições

Geometria

Resolução

Equivalência


Após Escalonamento

Primeiro Exemplo

−1 −2 −4 20 −7 11 −253 13 4 16

∼

−1 −2 −4 20 −7 11 −250 7 −8 22

l3 ← l3 + 3l1

3 13 4 16+ 3× ( −1 −2 −4 2 )

3 13 4 16+ −3 −6 −12 6

0 7 −8 22


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Definições

Geometria

Resolução

Equivalência


Após Escalonamento

Primeiro Exemplo

−1 −2 −4 20 −7 11 −253 13 4 16

∼

−1 −2 −4 20 −7 11 −250 7 −8 22

l3 ← l3 + 3l1

3 13 4 16+ 3× ( −1 −2 −4 2 )

3 13 4 16+ −3 −6 −12 6

0 7 −8 22


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Definições

Geometria

Resolução

Equivalência


Após Escalonamento

Primeiro Exemplo

−1 −2 −4 20 −7 11 −250 7 −8 22

∼

−1 −2 −4 20 −7 11 −250 0 3 −3

l3 ← l3 + l2

0 −7 11 −25+ 0 7 −8 22

0 0 3 −3


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Definições

Geometria

Resolução

Equivalência


Após Escalonamento

Primeiro Exemplo

−1 −2 −4 20 −7 11 −250 7 −8 22

∼

−1 −2 −4 20 −7 11 −250 0 3 −3

l3 ← l3 + l2

0 −7 11 −25+ 0 7 −8 22

0 0 3 −3


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Definições

Geometria

Resolução

Equivalência


Após Escalonamento

Primeiro Exemplo

−1 −2 −4 20 −7 11 −250 7 −8 22

∼

−1 −2 −4 20 −7 11 −250 0 3 −3

l3 ← l3 + l2

0 −7 11 −25+ 0 7 −8 22

0 0 3 −3


Sist. Lin. I


Definições

Geometria

Resolução

Equivalência


Após Escalonamento

Primeiro Exemplo

−1 −2 −4 20 −7 11 −250 7 −8 22

∼

−1 −2 −4 20 −7 11 −250 0 3 −3

l3 ← l3 + l2

0 −7 11 −25+ 0 7 −8 22

0 0 3 −3


Sist. Lin. I


Definições

Geometria

Resolução

Equivalência


Após Escalonamento

Primeiro Exemplo

−1 −2 −4 20 −7 11 −250 0 3 −3

∼

−1 −2 −4 20 −7 11 −250 0 1 −1

l3 ←

13

l3


Sist. Lin. I


Definições

Geometria

Resolução

Equivalência


Após Escalonamento

Primeiro Exemplo

−1 −2 −4 20 −7 11 −250 0 3 −3

∼

−1 −2 −4 20 −7 11 −250 0 1 −1

l3 ←

13

l3


Sist. Lin. I


Definições

Geometria

Resolução

Equivalência


Após Escalonamento

Primeiro Exemplo

−1 −2 −4 20 −7 11 −250 0 3 −3

∼

−1 −2 −4 20 −7 11 −250 0 1 −1

l3 ←

13

l3


Sist. Lin. I


Definições

Geometria

Resolução

Equivalência


Após Escalonamento

Primeiro Exemplo

−1 −2 −4 20 −7 11 −250 0 1 −1

∼

−1 −2 0 −20 −7 0 −140 0 1 −1

l1 ← l1 + 4l3 l2 ← l2 − 11l3

−1 −2 −4 2+ 0 0 4 −4

−1 −2 0 −2

0 −7 11 −25+ 0 0 −11 11

0 −7 0 −14


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Definições

Geometria

Resolução

Equivalência


Após Escalonamento

Primeiro Exemplo

−1 −2 −4 20 −7 11 −250 0 1 −1

∼

−1 −2 0 −20 −7 0 −140 0 1 −1

l1 ← l1 + 4l3 l2 ← l2 − 11l3

−1 −2 −4 2+ 0 0 4 −4

−1 −2 0 −2

0 −7 11 −25+ 0 0 −11 11

0 −7 0 −14


Sist. Lin. I


Definições

Geometria

Resolução

Equivalência


Após Escalonamento

Primeiro Exemplo

−1 −2 −4 20 −7 11 −250 0 1 −1

∼

−1 −2 0 −20 −7 0 −140 0 1 −1

l1 ← l1 + 4l3 l2 ← l2 − 11l3

−1 −2 −4 2+ 0 0 4 −4

−1 −2 0 −2

0 −7 11 −25+ 0 0 −11 11

0 −7 0 −14


Sist. Lin. I


Definições

Geometria

Resolução

Equivalência


Após Escalonamento

Primeiro Exemplo

−1 −2 −4 20 −7 11 −250 0 1 −1

∼

−1 −2 0 −20 −7 0 −140 0 1 −1

l1 ← l1 + 4l3 l2 ← l2 − 11l3

−1 −2 −4 2+ 0 0 4 −4

−1 −2 0 −2

0 −7 11 −25+ 0 0 −11 11

0 −7 0 −14


Sist. Lin. I


Definições

Geometria

Resolução

Equivalência


Após Escalonamento

Primeiro Exemplo

−1 −2 0 −20 −7 0 −140 0 1 −1

∼

−1 −2 0 −20 1 0 20 0 1 −1

l2 ← −

17

l2


Sist. Lin. I


Definições

Geometria

Resolução

Equivalência


Após Escalonamento

Primeiro Exemplo

−1 −2 0 −20 −7 0 −140 0 1 −1

∼

−1 −2 0 −20 1 0 20 0 1 −1

l2 ← −

17

l2


Sist. Lin. I


Definições

Geometria

Resolução

Equivalência


Após Escalonamento

Primeiro Exemplo

−1 −2 0 −20 −7 0 −140 0 1 −1

∼

−1 −2 0 −20 1 0 20 0 1 −1

l2 ← −

17

l2


Sist. Lin. I


Definições

Geometria

Resolução

Equivalência


Após Escalonamento

Primeiro Exemplo

−1 −2 0 −20 1 0 20 0 1 −1

∼

−1 0 0 20 1 0 20 0 1 −1

l1 ← l1 + 2l2

−1 −2 0 −2+ 0 2 0 4

−1 0 0 2


Sist. Lin. I


Definições

Geometria

Resolução

Equivalência


Após Escalonamento

Primeiro Exemplo

−1 −2 0 −20 1 0 20 0 1 −1

∼

−1 0 0 20 1 0 20 0 1 −1

l1 ← l1 + 2l2

−1 −2 0 −2+ 0 2 0 4

−1 0 0 2


Sist. Lin. I


Definições

Geometria

Resolução

Equivalência


Após Escalonamento

Primeiro Exemplo

−1 −2 0 −20 1 0 20 0 1 −1

∼

−1 0 0 20 1 0 20 0 1 −1

l1 ← l1 + 2l2

−1 −2 0 −2+ 0 2 0 4

−1 0 0 2


Sist. Lin. I


Definições

Geometria

Resolução

Equivalência


Após Escalonamento

Primeiro Exemplo

−1 −2 0 −20 1 0 20 0 1 −1

∼

−1 0 0 20 1 0 20 0 1 −1

l1 ← l1 + 2l2

−1 −2 0 −2+ 0 2 0 4

−1 0 0 2


Sist. Lin. I


Definições

Geometria

Resolução

Equivalência


Após Escalonamento

Primeiro Exemplo

−1 0 0 20 1 0 20 0 1 −1

∼

1 0 0 −20 1 0 20 0 1 −1

l1 ← −l1

x1 = −2x2 = 2x3 = −1

Conjunto-solução: {(−2, 2,−1)}


Sist. Lin. I


Definições

Geometria

Resolução

Equivalência


Após Escalonamento

Primeiro Exemplo

−1 0 0 20 1 0 20 0 1 −1

∼

1 0 0 −20 1 0 20 0 1 −1

l1 ← −l1

x1 = −2x2 = 2x3 = −1



Sist. Lin. I


Definições

Geometria

Resolução

Equivalência


Após Escalonamento

Primeiro Exemplo

−1 0 0 20 1 0 20 0 1 −1

∼

1 0 0 −20 1 0 20 0 1 −1

l1 ← −l1

x1 = −2x2 = 2x3 = −1



Sist. Lin. I


Definições

Geometria

Resolução

Equivalência


Após Escalonamento

Primeiro Exemplo

−1 0 0 20 1 0 20 0 1 −1

∼

1 0 0 −20 1 0 20 0 1 −1

l1 ← −l1

x1 = −2x2 = 2x3 = −1



Sist. Lin. I


Definições

Geometria

Resolução

Equivalência


Após Escalonamento

Primeiro Exemplo

−1 0 0 20 1 0 20 0 1 −1

∼

1 0 0 −20 1 0 20 0 1 −1

l1 ← −l1

x1 = −2x2 = 2x3 = −1



Sist. Lin. I


Definições

Geometria

Resolução

Equivalência


Após Escalonamento

Segundo Exemplo

1x1 + 1x2 + 1x3 = 3 (eq. 1)0x1 + 1x2 + 1x3 = 2 (eq. 2)1x1 + 1x2 + 0x3 = 2 (eq. 3) 1 1 1 30 1 1 21 1 0 2

l1 ← l1 − l2l2 ← l2 − l3l3 ← l3 − l1

1 0 0 1−1 0 1 0

0 0 −1 −1

x1 = 1x1 = x3x3 = 1

⇒ Conj.-solução: {(1, t , 1) | t ∈ R}


Sist. Lin. I


Definições

Geometria

Resolução

Equivalência


Após Escalonamento

Segundo Exemplo


l1 ← l1 − l2l2 ← l2 − l3l3 ← l3 − l1

1 0 0 1−1 0 1 0

0 0 −1 −1

x1 = 1x1 = x3x3 = 1

⇒ Conj.-solução: {(1, t , 1) | t ∈ R}


Sist. Lin. I


Definições

Geometria

Resolução

Equivalência


Após Escalonamento

Segundo Exemplo


l1 ← l1 − l2l2 ← l2 − l3l3 ← l3 − l1

1 0 0 1−1 0 1 0

0 0 −1 −1

x1 = 1x1 = x3x3 = 1

⇒ Conj.-solução: {(1, t , 1) | t ∈ R}


Sist. Lin. I


Definições

Geometria

Resolução

Equivalência


Após Escalonamento

Segundo Exemplo


l1 ← l1 − l2l2 ← l2 − l3l3 ← l3 − l1

1 0 0 1−1 0 1 0

0 0 −1 −1

x1 = 1x1 = x3x3 = 1

⇒ Conj.-solução: {(1, t , 1) | t ∈ R}


Sist. Lin. I


Definições

Geometria

Resolução

Equivalência


Após Escalonamento

Segundo Exemplo


l1 ← l1 − l2l2 ← l2 − l3l3 ← l3 − l1

1 0 0 1−1 0 1 0

0 0 −1 −1

x1 = 1x1 = x3x3 = 1

⇒ Conj.-solução: {(1, t , 1) | t ∈ R}


Sist. Lin. I


Definições

Geometria

Resolução

Equivalência


Após Escalonamento

Segundo Exemplo


l1 ← l1 − l2l2 ← l2 − l3l3 ← l3 − l1

1 0 0 1−1 0 1 0

0 0 −1 −1

x1 = 1x1 = x3x3 = 1

⇒ Conj.-solução: {(1, t , 1) | t ∈ R}


Sist. Lin. I


Definições

Geometria

Resolução

Equivalência


Após Escalonamento

Segundo Exemplo


l1 ← l1 − l2l2 ← l2 − l3l3 ← l3 − l1

1 0 0 1−1 0 1 0

0 0 −1 −1

x1 = 1x1 = x3x3 = 1

⇒ Conj.-solução: {(1, t , 1) | t ∈ R}

(eq. 1) ⇒ 1 + t + 1 = 3 ∀t ∈ R


Sist. Lin. I


Definições

Geometria

Resolução

Equivalência


Após Escalonamento

Segundo Exemplo


l1 ← l1 − l2l2 ← l2 − l3l3 ← l3 − l1

1 0 0 1−1 0 1 0

0 0 −1 −1

x1 = 1x1 = x3x3 = 1

⇒ Conj.-solução: {(1, t , 1) | t ∈ R}

(eq. 1) ⇒ 1 + t + 1 = 3 ∀t ∈ R FALSO!!!


Sist. Lin. I


Definições

Geometria

Resolução

Equivalência


Após Escalonamento

Segundo Exemplo

Mas o que deu errado?

operações fundamentais =⇒ sistemas equivalentes

outras operações 6=⇒ sistemas equivalentes

Isto pode ser sutil. Examine este exemplo até entendê-lo.É fundamental ser sistemático!


Sist. Lin. I


Definições

Geometria

Resolução

Equivalência


Após Escalonamento

Segundo Exemplo






Sist. Lin. I


Definições

Geometria

Resolução

Equivalência


Após Escalonamento

Segundo Exemplo






Sist. Lin. I


Definições

Geometria

Resolução

Equivalência


Após Escalonamento

Segundo Exemplo






Sist. Lin. I


Definições

Geometria

Resolução

Equivalência


Após Escalonamento

Segundo Exemplo






Sist. Lin. I


Definições

Geometria

Resolução

Equivalência


Após Escalonamento

Plano de Ação paraa Solução de Sistemas Lineares

Para onde vamos?Forma escalonada e forma totalmente escalonadaComo vamos?Algoritmo de eliminação de GaussO que fazer quando chegarmos lá?Solução de sistemas na forma totalmente escalonada


Sist. Lin. I


Definições

Geometria

Resolução

Equivalência


Após Escalonamento




Sist. Lin. I


Definições

Geometria

Resolução

Equivalência


Após Escalonamento




Sist. Lin. I


Definições

Geometria

Resolução

Equivalência


Após Escalonamento




Sist. Lin. I


Definições

Geometria

Resolução

Equivalência


Após Escalonamento

Forma Escalonada

Definição (forma escalonada)

Diz-se que uma matriz está (na forma) escalonada seo número de zeros no início de cada linha aumentaestritamente de uma linha para outra enão há linhas só de zeros.

4 −7 0 −14 40 0 4 0 −10 0 0 −13 6

X

4 −7 0 −14 43 0 4 0 −10 0 0 −13 6

×Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 28 / 40

Sist. Lin. I


Definições

Geometria

Resolução

Equivalência


Após Escalonamento

Forma Escalonada



4 −7 0 −14 40 0 4 0 −10 0 0 −13 6

X

4 −7 0 −14 43 0 4 0 −10 0 0 −13 6


Sist. Lin. I


Definições

Geometria

Resolução

Equivalência


Após Escalonamento

Forma Escalonada



4 −7 0 −14 40 0 4 0 −10 0 0 −13 6

X

4 −7 0 −14 43 0 4 0 −10 0 0 −13 6


Sist. Lin. I


Definições

Geometria

Resolução

Equivalência


Após Escalonamento

Forma Escalonada



4 −7 0 −14 40 0 4 0 −10 0 0 −13 6

X

4 −7 0 −14 43 0 4 0 −10 0 0 −13 6


Sist. Lin. I


Definições

Geometria

Resolução

Equivalência


Após Escalonamento

Forma Escalonada



4 −7 0 −14 40 0 4 0 −10 0 0 −13 6

X

4 −7 0 −14 43 0 4 0 −10 0 0 −13 6


Sist. Lin. I


Definições

Geometria

Resolução

Equivalência


Após Escalonamento

Pivot

Definição (pivot)

São denominados pivots os primeiros elementos não nulosde cada linha de uma matriz escalonada.

4 −7 0 −14 40 0 5 0 −10 0 0 −13 6


Sist. Lin. I


Definições

Geometria

Resolução

Equivalência


Após Escalonamento

Pivot

Definição (pivot)

São denominados pivots os primeiros elementos não nulosde cada linha de uma matriz escalonada.

4 −7 0 −14 40 0 5 0 −10 0 0 −13 6


Sist. Lin. I


Definições

Geometria

Resolução

Equivalência


Após Escalonamento

Forma Totalmente Escalonada

Definição (forma totalmente escalonada)

Uma matriz escalonada está totalmente escalonada seos seus pivots

são todos 1’s esão os únicos elementos não-nulos de suas colunas.

1 −7 0 0 40 0 1 0 −10 0 0 1 6

X

1 −7 2 0 40 0 1 0 −10 0 0 −1 6


Sist. Lin. I


Definições

Geometria

Resolução

Equivalência


Após Escalonamento





1 −7 0 0 40 0 1 0 −10 0 0 1 6

X

1 −7 2 0 40 0 1 0 −10 0 0 −1 6


Sist. Lin. I


Definições

Geometria

Resolução

Equivalência


Após Escalonamento





1 −7 0 0 40 0 1 0 −10 0 0 1 6

X

1 −7 2 0 40 0 1 0 −10 0 0 −1 6


Sist. Lin. I


Definições

Geometria

Resolução

Equivalência


Após Escalonamento





1 −7 0 0 40 0 1 0 −10 0 0 1 6

X

1 −7 2 0 40 0 1 0 −10 0 0 −1 6


Sist. Lin. I


Definições

Geometria

Resolução

Equivalência


Após Escalonamento





1 −7 0 0 40 0 1 0 −10 0 0 1 6

X

1 −7 2 0 40 0 1 0 −10 0 0 −1 6


Sist. Lin. I


Definições

Geometria

Resolução

Equivalência


Após Escalonamento

Eliminação de GaussParte I – Forma Escalonada

Descarte linhas só de zeros.p ← (no de linhas).k ← 1.Enquanto k < p, repita:

Considere apenas as linhas lk , lk+1, . . . , lp.Identifique a coluna não nula mais à esquerda.Troque linhas para obter pivot não nulo.Anule as entradas abaixo do pivot,subtraindo de lk+1, lk+2, . . . , lp múltiplos de lk .Descarte linhas só de zeros.p ← (no de linhas).k ← k + 1.


Sist. Lin. I


Definições

Geometria

Resolução

Equivalência


Após Escalonamento

Eliminação de GaussParte II – Forma Totalmente Escalonada

Execute a Parte I do algoritmo.Repita, para k = p, p − 1, . . . , 1:

Divida lk pelo seu pivot, tornando-o 1.Anule as entradas acima do pivot,subtraindo de l1, l2, . . . , lk−1 múltiplos de lk .


Sist. Lin. I


Definições

Geometria

Resolução

Equivalência


Após Escalonamento

Exemplo de Eliminação de Gauss

2 6 3 1 42 6 3 −2 10−4 −12 −7 0 −10

6 18 11 0 14


Sist. Lin. I


Definições

Geometria

Resolução

Equivalência


Após Escalonamento


2 6 3 1 42 6 3 −2 10−4 −12 −7 0 −10

6 18 11 0 14

Início da Parte I: escalonamento da matrizDescarte linhas só de zeros.p ← 4.k ← 1.


Sist. Lin. I


Definições

Geometria

Resolução

Equivalência


Após Escalonamento


2 6 3 1 42 6 3 −2 10−4 −12 −7 0 −10

6 18 11 0 14

Início do primeiro laço.Considere apenas as linhas l1, l2, l3 e l4


Sist. Lin. I


Definições

Geometria

Resolução

Equivalência


Após Escalonamento


2 6 3 1 42 6 3 −2 10−4 −12 −7 0 −10

6 18 11 0 14

Identifique a coluna não nula mais à esquerda.Troque linhas para obter pivot não nulo.


Sist. Lin. I


Definições

Geometria

Resolução

Equivalência


Após Escalonamento


2 6 3 1 42 6 3 −2 10−4 −12 −7 0 −10

6 18 11 0 14

Anule as entradas abaixo do pivot ,subtraindo de l2, l3, l4 múltiplos de l1.


Sist. Lin. I


Definições

Geometria

Resolução

Equivalência


Após Escalonamento


2 6 3 1 40 0 0 −3 60 0 −1 2 −20 0 2 −3 2

Anule as entradas abaixo do pivot ,subtraindo de l2, l3, l4 múltiplos de l1.


Sist. Lin. I


Definições

Geometria

Resolução

Equivalência


Após Escalonamento


2 6 3 1 40 0 0 −3 60 0 −1 2 −20 0 2 −3 2

Descarte linhas só de zeros.p ← 4k ← 2


Sist. Lin. I


Definições

Geometria

Resolução

Equivalência


Após Escalonamento


2 6 3 1 40 0 0 −3 60 0 −1 2 −20 0 2 −3 2

Considere apenas as linhas 2, 3 e 4


Sist. Lin. I


Definições

Geometria

Resolução

Equivalência


Após Escalonamento


2 6 3 1 40 0 0 −3 60 0 −1 2 −20 0 2 −3 2



Sist. Lin. I


Definições

Geometria

Resolução

Equivalência


Após Escalonamento


2 6 3 1 40 0 −1 2 −20 0 0 −3 60 0 2 −3 2



Sist. Lin. I


Definições

Geometria

Resolução

Equivalência


Após Escalonamento


2 6 3 1 40 0 −1 2 −20 0 0 −3 60 0 2 −3 2

Anule as entradas abaixo do pivot ,subtraindo de l3 e de l4 múltiplos de l2.


Sist. Lin. I


Definições

Geometria

Resolução

Equivalência


Após Escalonamento


2 6 3 1 40 0 −1 2 −20 0 0 −3 60 0 0 1 −2

Anule as entradas abaixo do pivot ,subtraindo de l3 e de l4 múltiplos de l2.


Sist. Lin. I


Definições

Geometria

Resolução

Equivalência


Após Escalonamento


2 6 3 1 40 0 −1 2 −20 0 0 −3 60 0 0 1 −2



Sist. Lin. I


Definições

Geometria

Resolução

Equivalência


Após Escalonamento


2 6 3 1 40 0 −1 2 −20 0 0 −3 60 0 0 1 −2

Considere apenas as linhas 3 e 4


Sist. Lin. I


Definições

Geometria

Resolução

Equivalência


Após Escalonamento


2 6 3 1 40 0 −1 2 −20 0 0 −3 60 0 0 1 −2



Sist. Lin. I


Definições

Geometria

Resolução

Equivalência


Após Escalonamento


2 6 3 1 40 0 −1 2 −20 0 0 −3 60 0 0 1 −2

Anule as entradas abaixo do pivot ,subtraindo de l4 um múltiplo de l3.


Sist. Lin. I


Definições

Geometria

Resolução

Equivalência


Após Escalonamento


2 6 3 1 40 0 −1 2 −20 0 0 −3 60 0 0 0 0

Anule as entradas abaixo do pivot ,subtraindo de l4 um múltiplo de l3.


Sist. Lin. I


Definições

Geometria

Resolução

Equivalência


Após Escalonamento


2 6 3 1 40 0 −1 2 −20 0 0 −3 60 0 0 0 0

Descarte linhas só de zeros.p ← (no de linhas)


Sist. Lin. I


Definições

Geometria

Resolução

Equivalência


Após Escalonamento


2 6 3 1 40 0 −1 2 −20 0 0 −3 6

Descarte linhas só de zeros.p ← 3


Sist. Lin. I


Definições

Geometria

Resolução

Equivalência


Após Escalonamento


2 6 3 1 40 0 −1 2 −20 0 0 −3 6



Sist. Lin. I


Definições

Geometria

Resolução

Equivalência


Após Escalonamento


2 6 3 1 40 0 −1 2 −20 0 0 −3 6

Fim da Parte I: matriz já está escalonada.Início da Parte II: escalonamento totalk ← 3Divida l3 pelo seu pivot .


Sist. Lin. I


Definições

Geometria

Resolução

Equivalência


Após Escalonamento


2 6 3 1 40 0 −1 2 −20 0 0 1 −2

Fim da Parte I: matriz já está escalonada.Início da Parte II: escalonamento totalk ← 3Divida l3 pelo seu pivot .


Sist. Lin. I


Definições

Geometria

Resolução

Equivalência


Após Escalonamento


2 6 3 1 40 0 −1 2 −20 0 0 1 −2

Anule as entradas acima do pivot ,subtraindo de l1, l2 múltiplos de l3.


Sist. Lin. I


Definições

Geometria

Resolução

Equivalência


Após Escalonamento


2 6 3 0 60 0 −1 0 20 0 0 1 −2

Anule as entradas acima do pivot ,subtraindo de l1, l2 múltiplos de l3.


Sist. Lin. I


Definições

Geometria

Resolução

Equivalência


Após Escalonamento


2 6 3 0 60 0 −1 0 20 0 0 1 −2

k ← 2Divida l2 pelo seu pivot .


Sist. Lin. I


Definições

Geometria

Resolução

Equivalência


Após Escalonamento


2 6 3 0 60 0 1 0 −20 0 0 1 −2



Sist. Lin. I


Definições

Geometria

Resolução

Equivalência


Após Escalonamento


2 6 3 0 60 0 1 0 −20 0 0 1 −2

Anule as entradas acima do pivot ,subtraindo de l1 múltiplos de l2.


Sist. Lin. I


Definições

Geometria

Resolução

Equivalência


Após Escalonamento


2 6 0 0 120 0 1 0 −20 0 0 1 −2

Anule as entradas acima do pivot ,subtraindo de l1 múltiplos de l2.


Sist. Lin. I


Definições

Geometria

Resolução

Equivalência


Após Escalonamento


2 6 0 0 120 0 1 0 −20 0 0 1 −2



Sist. Lin. I


Definições

Geometria

Resolução

Equivalência


Após Escalonamento


1 3 0 0 60 0 1 0 −20 0 0 1 −2



Sist. Lin. I


Definições

Geometria

Resolução

Equivalência


Após Escalonamento


1 3 0 0 60 0 1 0 −20 0 0 1 −2

Anule as entradas acima do pivot .Fim da Parte II: a matriz está totalmente escalonada.


Sist. Lin. I


Definições

Geometria

Resolução

Equivalência


Após Escalonamento

Existência de Solução

Notação:{

0 − zero − não-zero1 − um ? − qualquer quantidade

1o caso: sistema totalmente escalonado da forma? ? · · · ? ?...

.... . .

......

? ? · · · ? ?0 0 · · · 0 1

0x1 + 0x2 + · · ·+ 0xn = 1 ⇒ conjunto-solução = { }

sistema inconsistente


Sist. Lin. I


Definições

Geometria

Resolução

Equivalência


Após Escalonamento


Notação:{



.... . .

......

? ? · · · ? ?0 0 · · · 0 1




Sist. Lin. I


Definições

Geometria

Resolução

Equivalência


Após Escalonamento


Notação:{



.... . .

......

? ? · · · ? ?0 0 · · · 0 1




Sist. Lin. I


Definições

Geometria

Resolução

Equivalência


Após Escalonamento


Notação:{



.... . .

......

? ? · · · ? ?0 0 · · · 0 1




Sist. Lin. I


Definições

Geometria

Resolução

Equivalência


Após Escalonamento

Exemplos

Exemplo (sistema inconsistente)

1 0 00 1 00 0 1


1 −3 0 5 00 0 1 2 00 0 0 0 1


Sist. Lin. I


Definições

Geometria

Resolução

Equivalência


Após Escalonamento

Exemplos


1 0 00 1 00 0 1


1 −3 0 5 00 0 1 2 00 0 0 0 1


Sist. Lin. I


Definições

Geometria

Resolução

Equivalência


Após Escalonamento

Solução Única

2o caso: sistema totalmente escalonado da forma1 0 · · · 0 ?0 1 · · · 0 ?...

.... . .

......

0 0 · · · 1 ?

x1 = ?x2 = ?...

...xn = ?

⇒ conjunto-solução = {(?, ?, . . . , ?)}

solução única


Sist. Lin. I


Definições

Geometria

Resolução

Equivalência


Após Escalonamento

Solução Única


.... . .

......

0 0 · · · 1 ?

x1 = ?x2 = ?...

...xn = ?


solução única


Sist. Lin. I


Definições

Geometria

Resolução

Equivalência


Após Escalonamento

Solução Única


.... . .

......

0 0 · · · 1 ?

x1 = ?x2 = ?...

...xn = ?


solução única


Sist. Lin. I


Definições

Geometria

Resolução

Equivalência


Após Escalonamento

Solução Única


.... . .

......

0 0 · · · 1 ?

x1 = ?x2 = ?...

...xn = ?


solução única


Sist. Lin. I


Definições

Geometria

Resolução

Equivalência


Após Escalonamento

Exemplos

Exemplo (sistema com solução única)

1 0 0 −20 1 0 00 0 1 11


1 0 0 0 70 1 0 0 −40 0 1 0 −30 0 0 1 13


Sist. Lin. I


Definições

Geometria

Resolução

Equivalência


Após Escalonamento

Exemplos


1 0 0 −20 1 0 00 0 1 11


1 0 0 0 70 1 0 0 −40 0 1 0 −30 0 0 1 13


Sist. Lin. I


Definições

Geometria

Resolução

Equivalência


Após Escalonamento

Infinitas Soluções

3o caso: sistema totalmente escalonadonão se enquadra nos casos anteriores 1 −3 0 5 0 4

0 0 1 2 0 00 0 0 0 1 −2

Suponha conhecidos os valores de x2 e x4:

{x2 = rx4 = s

O sistema pode ser reescrito:1x1 = 4 +3r −5s

1x3 = −2s1x5 = −2


Sist. Lin. I


Definições

Geometria

Resolução

Equivalência


Após Escalonamento



0 0 1 2 0 00 0 0 0 1 −2


{x2 = rx4 = s


1x3 = −2s1x5 = −2


Sist. Lin. I


Definições

Geometria

Resolução

Equivalência


Após Escalonamento



0 0 1 2 0 00 0 0 0 1 −2


{x2 = rx4 = s


1x3 = −2s1x5 = −2


Sist. Lin. I


Definições

Geometria

Resolução

Equivalência


Após Escalonamento

Infinitas Soluções – cont.

1x1 = 4 + 3r − 5s

1x3 = −2s1x5 = −2

r e s conhecidos; sistema em 3 incógnitas: x1, x3 e x5: 1 0 0 4 + 3r − 5s0 1 0 −2s0 0 1 −2

Solução única: (4 + 3r − 5s, −2s, −2)


Sist. Lin. I


Definições

Geometria

Resolução

Equivalência


Após Escalonamento


1x1 = 4 + 3r − 5s

1x3 = −2s1x5 = −2




Sist. Lin. I


Definições

Geometria

Resolução

Equivalência


Após Escalonamento


1x1 = 4 + 3r − 5s

1x3 = −2s1x5 = −2




Sist. Lin. I


Definições

Geometria

Resolução

Equivalência


Após Escalonamento


Sistema em x1, x3 e x5:x1 = 4 +3 r −5 s

x2 = rx3 = −2 s

x4 = sx5 = −2


Sist. Lin. I


Definições

Geometria

Resolução

Equivalência


Após Escalonamento


Reintroduzindo x2 e x4:x1 = 4 +3 r −5 s

x2 = rx3 = −2 s

x4 = sx5 = −2


Sist. Lin. I


Definições

Geometria

Resolução

Equivalência


Após Escalonamento



x2 = rx3 = −2 s

x4 = sx5 = −2

Conjunto-solução:

{(4 + 3r − 5s, r , −2s, s, −2) | r , s ∈ R}

ou ainda:


Sist. Lin. I


Definições

Geometria

Resolução

Equivalência


Após Escalonamento



x2 = 0 +1 r +0 sx3 = 0 +0 r −2 s

x4 = 0 +0 r +1 sx5 = −2 +0 r +0 s

Conjunto-solução:

{(4 + 3r − 5s, r , −2s, s, −2) | r , s ∈ R}

ou ainda:


Sist. Lin. I


Definições

Geometria

Resolução

Equivalência


Após Escalonamento



x2 = 0 +1 r +0 sx3 = 0 +0 r −2 s

x4 = 0 +0 r +1 sx5 = −2 +0 r +0 s

Conjunto-solução:

{(4 + 3r − 5s, r , −2s, s, −2) | r , s ∈ R}

ou ainda:

{(4, 0, 0, 0,−2)+ r(3, 1, 0, 0, 0)+s(−5, 0,−2, 1, 0) | r , s ∈ R}


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