Aula 6 | TATIANA MIRANDA DE SOUZA VICTOR ABATH DA SILVA FREDERICO ALAN DE OLIVEIRA CRUZ

PET FÍSICA SISTEMA DE EIXOS COORDENADOS

Sistema de Eixos Coordenados 2017

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AGRADECIMENTOS

Esse material foi produzido com apoio do Fundo Nacional de Desenvolvimento da

Educação e do Programa de Educação Tutorial – PET, do MEC - Ministério da

Educação – Brasil.

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DOS AUTORES

Essa apostila foi construída para ser um material de apoio às atividades de tutoria,

realizadas pelos bolsistas do Programa de Educação Tutorial – Física/UFRRJ, e não

tem como pretensão a substituição de materiais tradicionais e mais completos.

O conteúdo aqui poderá ser compartilhado e reproduzido, desde que sejam dados os

devidos créditos as pessoas responsáveis por compilar os temas aqui presentes.

Uma boa leitura!

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SUMÁRIO

1. Plano Cartesiano................................................................................................. 05

2. Representação gráfica de funções no plano cartesiano................................... 05

2.1 Função Constante.......................................................................................... 05

2.2 Função polinomial de 1º grau...................................................................... 06

2.3 Função polinomial de 2º grau...................................................................... 07

2.4 Função exponencial....................................................................................... 08

2.5 Função logarítmica....................................................................................... 09

2.6 Função modular............................................................................................ 10

3. Representação gráfica das cônicas.................................................................... 11

4. Exercícios de fixação........................................................................................... 13

5. Referências........................................................................................................... 13

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1. Plano Cartesiano

A forma mais usada para mostrar a relação entre duas varáveis de interesse,

sejam elas quais forem, é utilizar o chamado sistema de sistema de coordenadas

cartesianas. A sua representação é dada por duas retas perpendiculares e orientadas, uma

na horizontal, denominada eixo das abscissas ou eixo x, e a outra na vertical,

denominada eixo das ordenadas ou eixo y (BARROSO, 2010).

Essas duas retas, dividem o espaço onde está localizado em quatro regiões, que

são denominadas quadrantes, e que permite visualizar as características de uma função

do tipo f(x).

Figura 1: Representação dos quadrantes no plano cartesiano.

Em cada um desses quadrantes as variáveis x e y assumem valores positivos e

negativos, que são os seguintes (PEREIRA & SODRÉ, 2012):

1º quadrante: x > 0 e y > 0;

2º quadrante: x < 0 e y > 0;

3º quadrante: x < 0 e y < 0;

4º quadrante: x > 0 e y > 0.

além dos valores de x e y é importante que o leitor saiba que o ponto de encontro entre

os dois eixos forma a origem do plano cartesiano, isto é, o ponto de coordenadas .

2. Representação Gráfica de Funções no plano cartesiano

A seguir serão apresentadas algumas funções que são comumente usadas nas

disciplinas de física e que é de suma importância entender suas características

(PEREIRA & SODRE, 2005).

2.1. Função Constante

Definida pela equação , onde todos os pontos da abscissa possuem a

mesma ordenada. O gráfico de qualquer função constante definida sempre será uma reta

paralela ao eixo , passando pelo ponto , que poderá (SANTOS et al, 2012):

estar acima do eixo x se n > 0;

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abaixo do eixo x se n < 0;

sobre o eixo x se n = 0.

Exemplo 1 - Considere a função:

f(x) = 3

Determine o gráfico para valores de x no intervalo [-2, 2].

x y = f(x) (x,y)

-2 3 = 3 (-2, 3)

-1 3 = 3 (-1, 3)

0 3 = 3 (0, 3)

1 3 = 3 (1, 3)

2 3 = 3 (2, 3)

Figura 2: Representação da função f(x) = 3 no plano cartesiano.

2.2. Função Polinomial de 1º Grau

Definida pela equação , sendo é coeficiente angular que

determina a inclinação da reta e o coeficiente linear que indica em qual posição a reta

irá cortar o eixo .

Todas as representações gráficas das funções desse tipo serão uma reta e o zero

da função indicará o ponto em que a reta interceptará o eixo . Esse tipo de função

tem as seguintes características (SILVA & BARRETO FILHO, 2005):

Se a > 0 a reta será ascendente (/);

Se a < 0 a reta será descendente (\).

- As funções de primeiro grau estão presentes em muitos problemas, os mais comuns

sãos as que descrevem as funções horárias do movimento retilíneo uniforme e da

velocidade para o movimento uniformemente variado.

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Exemplo 2 – Considere a função:

f(x) = 2x + 1

onde para cada valor de x fornecerá um de f(x), que será o valor atribuído ao eixo y.

Para essa função, determine o gráfico para valores de x no intervalo [-2, 2].

Resposta:

Como , vamos determinar os possíveis valores do domínio:

x y = f(x) (x,y)

-2 2×(-2) – 1 = -5 (-2, -5)

-1 2×(-1) – 1 = -3 (-1, -3)

0 2×0 – 1 = -1 (0, -1)

1 2×1 – 1 = 1 (1, 1)

2 2×2 – 1 = 3 (2, 3)

Após marcarmos os pares no plano cartesiano, encontramos a seguinte figura:

Figura 3: Representação da função f(x) = 2x + 1 no plano cartesiano.

2.3. Função Polinomial de 2º Grau

Definida pela equação , que tem como forma

geométrica a figura denominada de parábola. Para esse tipo de função, temos que a

representa a concavidade da parábola formada, tal que:

Se a > 0 a concavidade é voltada para cima ();

Se a < 0 a concavidade é voltada para baixo ().

Enquanto que o parâmetro c representa o ponto de interseção com o eixo ordenado.

- A função horária do movimento uniformemente variado é uma função do segundo

grau, tal que

.

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Exemplo 3 – Considere a função:

f(x) = 7x2 + 1x - 9

onde para cada valor de x fornecerá um de f(x), que será o valor atribuído ao eixo y.

Para essa função, determine o gráfico para valores de x no intervalo [-2, 2].

Resposta:

Como , vamos determinar os possíveis valores do domínio:

x y = f(x) (x,y)

-2 7×(-2)2+1(-2) – 9 = 17 (-2, 17)

-1 7×(-1)2+1(-1) – 9 = -3 (-1, -3)

0 7×(0)2+1(0) – 9 = -9 (0, -9)

1 7×(1)2+1(1) – 9 = -1 (1, -1)

2 7×(2)2+1(2) – 9 = 21 (2, 21)

Figura 4: Representação da função f(x) = 7x

2+1x-9 no plano cartesiano.

2.4. Função exponencial

Dizemos que uma função é exponencial quando a variável se encontra no

expoente de um número, real, tal que f(x) = kanx

sendo real teremos:

k 0;

a > 1 ou 0 < a < 1;

n IR1.

Uma informação importante sobre as funções exponenciais é que elas sempre

possuem um par ordenado (0,1), visto que qualquer número elevado à zero (0) é igual a

um (1).

1 Em algumas funções o n admite valores imaginários, mas esse não é o caso da nossa discussão no

momento.

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- As funções exponenciais com base neper (e) são muitos comuns na física, como

por exemplo, a expressão do decaimento radioativa escrita como N = N0e-t

.

Exemplo 4 – Considere a função:

f(x) = 22x

onde para cada valor de x fornecerá um de f(x), que será o valor atribuído ao eixo y.

Para essa função, determine o gráfico para valores de x no intervalo [-2, 2].

x y = f(x) (x,y)

-2 22×(-2)

= 0,0625 (-2, 0,0625)

-1 22×(-1)

= 0,25 (-1, 0,25)

0 22×(0)

= -9 (0, 1)

1 22×(1)

= 4 (1, 4)

2 22×(2)

= 21 (2, 16)

Figura 5: Representação da função f(x) = 2

2x no plano cartesiano.

2.5. Função Logarítmica

Uma função é denominada logarítmica quando ela é escrita como f(x) = ,

onde:

k 0

a > 1 ou 0 < a < 1;

x > 0

Esse tipo de função tem como característica sempre possuir um par ordenado

(1,0), ser crescente quando a > 1 e decrescente quando 0 < a < 1.

- A escala Richter é utilizada para quantificar a magnitude de um terremoto, sendo

escrita como M = 0,67 -7,9, onde E representa a energia liberada durante o evento

sísmico.

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Exemplo 5 – Considere a função:

f(x) =

onde para cada valor de x fornecerá um de f(x), que será o valor atribuído ao eixo y.

Para essa função, determine o gráfico para valores de x no intervalo [1, 5].

x y = f(x) (x,y)

1 log10(1) = 0 (1, 0)

2 log10(2,0) = 0,30 (2, 0,30)

3 log10(3,0) = 0,47 (3, 0,47)

4 log10(4,0) = 0,60 (4, 0,60)

5 log10(5,0) = 21 (5, 0,70)

Figura 6: Representação da função f(x) = no plano cartesiano.

2.6. Função Modular

Consideramos uma função modular, quando está é escrita, por exemplo, da

forma f(x) = |x|, terá sempre valor igual ou maior que zero independente dos valores

atribuídos a x (PEREIRA & SODRÉ, 2012).

- Uma aplicação da função modular é realizada em problemas formação de imagem

em espelhos planos, onde as posições do objeto e da imagem são sempre positivas.

Exemplo 6 – Considere a função:

f(x) = |x|

Determine o gráfico para valores de x no intervalo [-2, 2].

x y = f(x) (x,y)

-2 |-2|= 2 (-2, 2)

-1 |-1| = 1 (-1, 1)

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0 |0| = 0 (0, 0)

1 |1|= 1 (1, 1)

2 |2| = 2 (2, 2)

Figura 7: Representação da função f(x) = |x| no plano cartesiano.

3. Representação Gráfica das Cônicas

As cônicas2 são as curvas formadas pela intersecção de um plano que atravessa um

cone, que podem ser (STEINBRUCH & WINTERLE, 1987):

Círculo

São funções descritas pela equação , onde a representa o raio da

circunferência.

Figura 8: Representação de um círculo no plano cartesiano, com raio 1.

2 Um parâmetro importante sobre as cônicas é denominado de excentricidade (e), onde em cada

situação temos um valor associado a cada uma delas. Nessa classificação temos:

Se e = 0 temos uma circunferência;

Se 0 < e < 1 temos uma elipse;

Se e = 1 temos uma parábola;

Se e > 1 temos uma hipérbole.

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Elipse

São funções descritas por

, sendo que a e b são os semieixos da

elipse.

Figura 9: Representação de uma elipse no plano cartesiano, com a = 2 e b = 1.

- Um exemplo de trajetórias elípticas está relacionado aos movimentos dos planetas

do nosso sistema solar, estes possuem órbitas elípticas em torno do Sol. Entre eles, o

que possui um movimento quase circular é Vênus, que possui excentricidade de 0,0068.

Hipérbole

São funções descritas por

, sendo a é o semi-eixo maior e b é o

semi-eixo menor.

Figura 10: Representação de uma hipérbole no plano cartesiano, com a = 1 e b = 1.

Parábola

São funções descritas por , sendo a > 0.

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Figura 11: Representação de uma hipérbole no plano cartesiano, com a = 1.

4. Exercícios de fixação

Faça os gráficos das seguintes funções, para o intervalo [-3,3].

a) y = 1 + 9x;

b) y =3 -3x;

c) y = 1-9x+4x2;

d) y = 0,25x3;

e) y = 3

f) y = |6-7x|

5. Referências

BARROSO, J. M. Conexões com a matemática. 1ª ed. v.1, São Paulo: Moderna, 2010.

SANTOS, A. R. et al. Gráficos de Funções: Definição e Exemplos Disponível em:

http://goo.gl/48tdW, Acesso em: 28 jul. 2012.

PEREIRA, R. M. M.; SODRÉ, U. Ensino Médio: Relações e Funções. Disponível em:

http://goo.gl/YQjKz, Acesso em: 27 jul. 2012.

SILVA, C. X.; BARRETO FILHO, B. Matemática – Aula por aula. 2 ed. São Paulo:

FTD, 2005.

STEINBRUCH, A.; WINTERLE, P. Geometria Analítica. 2 ed. Rio de Janeiro:

Pearson, 1987.