Sistema de Equacoes

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  • Em aulas anteriores trabalhamos com equaes do 1 grau com uma incgnita, e estes

    conhecimentos sero muito importantes na resoluo de sistemas. A Matemtica utiliza o smbolo { para indicar que duas (ou mais) equaes formam um sistema.

    Veja os exemplos: 2x + 3y = -11 A) 5x 4y = 30

    x + 4y = -39 B) 3x - 3y = + 33

    Resoluo de sistemas Resolver um sistema encontrar um par de valores (x e y ) que tornem verdadeiras as equaes que o formam. x + y = 5 ( 1 equao) I) x y = 3 (2 equao) Na 1 equao temos: Na 2 equao temos:

    x = 5 y x = 3 + y Vamos atribuir valores quaisquer a y e calcular x

    x y x y 0 5 3 0 1 4 4 1 2 3 5 2 3 2 2 -1 4 1 1 -2 5 0 0 -3

    Observando as tabelas de solues das duas equaes, verificamos que o par (4; 1), isto , x = 4 e y = 1, soluo para as duas equaes. Dessa forma, podemos dizer que as equaes x + y = 5 e x - y = 3 formam um sistema de equaes do 1 grau que admitem uma soluo comum.

  • 1) O MTODO DA SUBSTITUIO Esse mtodo de resoluo de um sistema consiste em tirar o valor de uma incgnita e substituir esse valor na outra equao. Veja um exemplo: x - y = 1 (1 equao) x + y = 5 (2 equao) Escolhemos uma das equaes ( 1) e tiramos o valor de uma das incgnitas, ou seja, estabelecemos seu valor em funo da outra incgnita, assim: x - y = 1 x = 1 + y Agora, temos o valor de x em funo de y e podemos substituir esse valor na outra equao(2): x + y = 5 1 + y + y = 5 1 + 2y = 5 2y = 5 - 1 2y = 4 y = 2 Como x = 1 + y x = 1 + 2 x = 3.

    Temos ento que o par (3; 2) soluo do sistema. Para fazer verificao, devemos substituir os valores x = 3 e y = 2 em ambas as equaes: x - y = 1 3 - 2 = 1 1 = 1 (verdadeiro) x + y = 5 3 + 2 = 5 5 = 5 (verdadeiro) Sim, o par (3; 2) soluo do sistema, pois torna as equaes verdadeiras.

  • 2) MTODO DA ADIO

    Esse outro mtodo de resoluo de um sistema consiste em somar os termos das equaes. A - OS COEFICIENTES DE UMA DAS INCGNITAS SO SIMTRICOS 1. A soma de dois nmeros igual a 10 e a diferena entre eles 4. Quais so esses nmeros?

    Vamos chamar um dos nmeros de X. Vamos chamar o outro nmero de Y.

    Montando o sistema:

    X + Y = 10 X - Y = 4

    A melhor maneira para resoluo pelo mtodo da ADIO (soma), pois ocorrer o cancelamento de uma das incgnitas.

    X + Y = 10 X - Y = 4 _____________ 2X / = 14

    Resolvendo, vamos achar o valor de X

    2X = 14 > X = 14 > X= 7

    2

    Para achar o valor de Y usamos a primeira equao do sistema.

    X + Y = 10

    Isolamos o Y no primeiro membro da equao e passamos o X, com a operao inversa, para o segundo membro.

    Y = 10 X

    Substitumos X pelo valor j achado, que foi 7 , e calculamos o valor de Y

    Y = 10 7 Y = 3

    Tiramos a prova substituindo o X e o Y pelos valores encontrados

    X + Y = 10 7 + 3 = 10 X - Y = 4 7 - 3 = 4

    Conclumos que o par ( 7 ; 3 ) satisfaz o sistema dado.

  • B- OS COEFICIENTES DAS INCGNITAS SO DIFERENTES E NO SIMTRICOS

    Como podemos observar, ao somarmos as duas equaes no haver o cancelamento de nenhuma das variveis

    2x + 3y = 43 x - 5 y = -37 3x - 2y = 6

    Ento h necessidade de uma estratgia de clculo para que o sistema possa ser resolvido pelo mtodo da Adio.

    Os nmeros dentro dos parnteses correspondem aos coeficientes das variveis, ou seja ( 1 e 2 do x ) e (3 e 5 do y), que sero fatores multiplicadores para que tenhamos novas equaes.

    2x + 3y = 43 ( 1 ) ( 5 ) ou x - 5 y = -37 (-2) ( 3 )

    Observe que os coeficientes esto colocados em equaes contrrias.

    ATENO: Quando os coeficientes das incgnitas tiverem sinais iguais, na hora da multiplicao devero ter sinais diferentes; quando tiverem sinais diferentes, na hora da multiplicao devero ter sinais iguais.

    Agora optar por um dos coeficientes e efetuar a multiplicao. No esquea da regra de sinais.

    Optamos pelos coeficientes do x para ser o fator multiplicador; tivemos que colocar um com sinal negativo, pois na equao original ambos tinham o mesmo sinal.

    2x + 3y = 43 ( 1 ) x - 5 y = -37 (-2)

    2 x + 3y = 43 - 2x + 10y = 74

    Podemos observar agora que ao realizarmos a soma teremos o cancelamento de uma das incgnitas. Assim faremos a resoluo, achando primeiramente o valor de y.

    2 x + 3y = 43 - 2x + 10y = 74 / + 13y = 117 y = 117 y = 9 13

    Vamos utilizar a primeira equao do sistema para achar o valor de x

    2x + 3y = 43

    2x + 3y = 43

    x - 5 y = -37

  • Isolamos o x no primeiro membro da equao e passamos o y, com a operao inversa, para o segundo membro. Nessa operao os coeficientes acompanham as incgnitas.

    2x = 43 - 3y

    Substitumos o y por 9, que foi o valor encontrado e calculamos o valor de x

    2x = 43 3. (9) 2x = 43 27 2x = 16 X = 16 x = 8 2

    Retomando o sistema original. Tirando a prova conclumos que o par ( 8 ; 9 ) satisfaz o sistema

    2 . ( 8 ) + 3 .( 9 ) = 43 ( 8 ) - 5 . ( 9 ) = - 37

  • RESOLUO DE PROBLEMAS ATRAVS DE SISTEMA DE EQUAES

    A primeira preocupao na resoluo de problemas ser a identificao do que ser o nosso X e o nosso Y.

    Com certeza est identificao ser feita ao realizarmos a leitura da pergunta do problema, e ai que estabeleceremos nossas incgnitas.

    No esquecer que um sistema composto de duas equaes, assim temos que buscar dados no problema para formao do sistema.

    Vamos ver um exemplo:

    Em um estacionamento temos 33 veculos entre carros e motos, num total de 96 rodas. Quantos carros e quantas motos esto no

    estacionamento?

    Analisando a pergunta podemos concluir que uma das nossas incgnitas ser os carros e a

    outra as motos. Estabelecemos para fins de resoluo do problema o seguinte :

    x = carros y = motos

    Conclumos que os carros mais as moto so iguais a 33. Montamos assim a primeira equao:

    x + y = 33

    O outro dado disponvel no enunciado diz respeito ao nmero de rodas. Sabemos que os

    carros possuem 4 rodas e as motos 2 rodas, formamos a segunda equao:

    4x + 2y = 96

    Com estas duas equaes organizamos o sistema que ser resolvido conforme orientaes anteriores.

    x + y = 33

    4x + 2y = 96

    Resolvendo o sistema teremos como soluo para o problema:

    x = 15 ou seja 15 carros

    y = 18 ou seja 18 motos.