Sistema de Equações Diferenciais Ordinárias

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  • Sistemas de Equacoes Diferenciais noPlano

    Sistemas autonomos

    Queremos estudar o comportamento das solucoes do sistema escrito na seguinte forma:{x = f(x, y)y = g(x, y)

    (1)

    onde x = x(t) e y = y(t). Tal sistema e chamado de sistema autonomo, ou seja, a variavelindependente t nao aparece explicitamente no lado direito das equacoes.

    Uma solucao desse sistema possui a seguinte forma:

    X(t) =

    (x(t)y(t)

    )(2)

    Alem disso, podemos provar que:

    Lema 1: Se x(t) e y(t), com a < t < b, e uma solucao do sistema (1), entao para qualquernumero real k as funcoes

    x1(t) = x(t+ k) e y1(t) = y(t+ k)

    tambem sao solucoes do sistema (1).

    Demonstracao: Aplicando a regra da cadeia temos

    x1 = x(t+ k) = f(x(t+ k), y(t+ k)) = f(x1, y1)

    y1 = y(t+ k) = g(x(t+ k), y(t+ k)) = g(x1, y1)

    Portanto, x1 e y1 sao solucoes de (1), as quais estao definidas em a k < t < b k.

    O vetor solucao X(t) nos diz como o ponto (x, y) se move no plano-xy de acordo coma variacao do tempo t. O movimento do ponto (x, y) determina uma curva, chamada detrajetoria da solucao X(t), como mostra a Figura 1.

    Observe que pelo Teorema de Existencia e Unicidade podemos concluir que:

    Lema 2: Por qualquer ponto do plano-xy passa no maximo uma trajetoria do sistema (1).Em outras palavras, duas trajetorias do sistema (1) nao se interceptam.

    1

  • x

    y

    X(t)

    Figura 1: Trajetoria da solucao X(t)

    Demonstracao: Considere duas trajetorias distintas C1 e C2 com um ponto em comum(x0, y0) e representadas, respectivamente, por (x1, y1) e (x2, y2).

    Sendo assim, existem t1 e t2 tais que

    (x1(t1), y1(t1)) = (x0, y0)

    (x2(t2), y2(t2)) = (x0, y0)

    Pelo Teorema de Existencia e Unicidade temos que t1 6= t2, pois caso contrario a unicidadede solucoes seria contrariada. Agora pelo Lema 1, temos que

    x(t) = x1(t+ t1 t2)

    y(t) = y1(t+ t1 t2)e uma solucao do sistema (1).

    Agora observe que

    (x(t2), y(t2)) = (x1(t1), y1(t1)) = (x0, y0)

    ou seja,(x(t2), y(t2)) = (x0, y0)

    (x2(t2), y2(t2)) = (x0, y0)

    Portanto, pelo Teorema de Existencia e Unicidade temos que

    (x(t), y(t)) = (x2(t), y2(t))

    para todo t, pois caso contrario a unicidade de solucoes seria contrariada. Logo, C1 e C2devem ser a mesma trajetoria.

    Tambem, podemos pensar na derivada de uma solucao

    X (t) =

    (x(t)y(t)

    )como representante do vetor velocidade do ponto (x, y) que se move de acordo com asolucao (2). Dessa forma, podemos interpretar geometricamente o sistema (1) como um

    2

  • x

    y

    Figura 2: Campo de Velocidades

    campo de velocidade onde para cada ponto (x0, y0) no plano-xy esta associado um vetorvelocidade tendo sua calda em (x0, y0), como mostra a Figura 2.

    Como uma solucao do sistema (1) e um ponto movendo no plano-xy temos que em cadaponto da sua trajetoria, ele possui a velocidade descrita pelo campo de velocidades, comomostra a Figura 1.

    x

    y

    X(t)

    Figura 3: Trajetoria no campo de velocidades

    3

  • Classificacao de Sistemas LinearesHiperbolicos no Plano

    Sistemas lineares autonomos

    Queremos estudar o comportamento das solucoes do sistema linear escrito na seguinteforma: {

    x = ax+ byy = cx+ dy

    (3)

    onde x = x(t) e y = y(t). Tal sistema e chamado de sistema autonomo, ou seja, a variavelindependente t nao aparece explicitamente no lado direito das equacoes.

    Podemos reescrever o sistema (3) na forma matricial, ou seja,

    X = AX

    onde

    A =

    [a bc d

    ]e X =

    (xy

    )Autovalores e Autovetores

    Como ja foi estudado anteriormente, se diz um autovalor da matriz A =

    [a bc d

    ]se

    existe um vetor nao nulo v R2 tal que

    Av = v (4)

    Neste caso, o vetor v e chamado de autovetor e podemos escrever a equacao (4) como

    (A I2)v = 0 (5)Como v = (0, 0) satisfaz a equacao (4) para todo , estaremos interessados em v 6= (0, 0)

    que satisfaca tal equacao. Em outras palavras, a matriz A deve ser nao inversvel, ou seja,

    det(A I2) = 0

    Calculando o referido determinante encontramos a equacao do segundo grau a seguir, a quale chamada de polinomio caracterstico,

    2 (a+ d)+ (ad bc) = 0

    4

  • Observe que tr(A) = a + d e que o det(A) = ad bc, ou seja, o polinomio caractersticopode ser reescrito como

    2 tr(A)+ det(A) = 0

    Alem disso, observe que se 1 e 2 sao razes do polinomio caracterstico, entao

    2 tr(A)+ det(A) = ( 1)( 2) = 2 (1 + 2)+ 12

    ou seja,tr(A) = 1 + 2

    det(A) = 12

    Na sequencia enuciaremos o proximo teorema o qual nao demonstraremos.

    Teorema 3: Seja A uma matriz quadrada 2 2 e denote o discriminante da matriz Apor:

    =[tr(A)

    ]2 4det(A)Sendo assim, existem tres possibilidades para os autovalores da matriz A, que podem ser

    descritas em termos do discriminante:

    a) Se > 0, entao os autovalores sao reais e distintos.

    b) Se < 0, entao os autovalores sao um par de complexos conjugados.

    c) Se = 0, entao os autovalores sao reais e iguais.

    Classificacao dos sistemas lineares hiperbolicos no plano

    Definicao 1: Seja o sistema X = AX, os pontos (x, y) R2 para os quais AX =(

    00

    )sao chamados de pontos de equilbrio do sistema.

    Admitindo que det(A) 6= 0, entao A e inversvel. Logo X = (0, 0) e o unico ponto deequilbrio do sistema X = AX.

    Definicao 2: O sistema de equacoes diferenciais X = AX e um Poco se os autovaloresda matriz A tem ambos parte real negativa. O sistema X = AX de equacoes diferenciais euma Fonte se os autovalores da matriz A tem ambos parte real positiva e uma Sela se osautovalores da matriz A forem reais sendo um positivo e o outro negativo.

    Teorema 4: Se os autovalores de A tiverem parte real negativa, entao a origem e um pontode equilbrio assimptoticamente estavel para X = AX.

    Definicao 3: O sistema X = AX de equacoes diferenciais diz-se hiperbolico se todos osautovalores de A tem parte real nao nula.

    5

  • Sendo X = AX, podemos usar o determinante, o traco e o discriminante da matrizA para classificar os sistemas lineares hiperbolicos no plano, nas proximidades da origem.Vejamos:

    (1) det(A) = 0: A matriz A tem pelo menos um autovalor real igual a zero, sendo o sistemanao hiperbolico.

    (2) det(A) < 0: A matriz A tem um autovalor positivo e outro negativo, sendo a origem,o ponto de equilbrio, uma Sela como mostra a Figura 4. Por exemplo, considere oseguinte sistema

    X =

    [1 33 1

    ]X (6)

    Observe que det(A) = 8 < 0 e que os autovalores sao 1 = 4 e 2 = 2.

    y

    x

    v1

    v2

    Figura 4: Plano de fase do sistema (6)

    (3) det(A) > 0: A matriz A tem dois autovalores reais com o mesmo sinal ou um par deautovalores complexos conjugados.

    (a) det(A) > 0 e tr(A) = 0: Entao os autovalores sao complexos conjugados imag-inarios puros, sendo o sistema nao hiperbolico.

    (b) det(A) > 0 e tr(A) < 0: Como o traco de A e a soma dos autovalores, se tr(A)e negativo obtemos um Poco. E o caso do sistema (7), onde det(A) = 2 > 0 etr(A) = 3 e do sistema (8) onde det(A) = 26 > 0 e tr(A) = 2.

    X =

    [2 00 1

    ]X (7)

    X =

    [1 55 1

    ]X (8)

    6

  • Os dois sistemas (7) e (8) distinguem-se analisando, de acordo com o Teorema 3,o discriminante

    =[tr(A)

    ]2 4 det(A).(*) > 0: Os autovalores da matriz A sao reais distintos e ambos negativos,

    como e o caso do exemplo (7) em que = 1. Neste caso, temos um No(estavel), como mostra a Figura 5.

    y

    v1

    v2

    x

    Figura 5: Plano de fase do sistema (7)

    (*) < 0: E o caso de (8), em que = 100, sendo os autovalores complexosconjugados com parte real negativa. Assim, a origem designa-se por Pocoespiral, como mostra a Figura 6.

    x

    y

    Figura 6: Plano de fase do sistema (8)

    (*) = 0: Os autovalores de A sao reais e iguais, sendo necessario analisar se amatriz e multipla da identidade ou nao.

    7

  • A e multipla da identidade: Neste caso a origem e um Foco (estavel),pois existem dois autovetores linearmente independentes, como mostra aFigura 7. Este e o caso do exemplo (9) a seguir, onde temos que det(A) =4, tr(A) = 4 e = 0, e os autovalores sao 1 = 2 = 2.

    X =

    [2 00 2

    ]X (9)

    x

    y

    v1

    v2

    Figura 7: Plano de fase do sistema (9)

    A nao e multipla da identidade: Neste caso a origem e um No im-proprio (estavel), existindo so um autovetor linearmente independente,como mostra a Figura 8. Este e o caso do exemplo (10) a seguir, ondetemos que det(A) = 4, tr(A) = 4 e = 0, e os autovalores sao1 = 2 = 2.

    X =

    [1 19 5

    ]X (10)

    Note-se que em ambos os exemplos (9) e (10) se tem det(A) = 4, tr(A) =4 e = 0. O que os distingue e o fato de A ser ou nao multipla daidentidade.

    (c) tr(A) > 0: Neste caso a classificacao e semelhante ao caso (b). A unica diferencae que aqui os sistemas sao instaveis. Os diagramas de fase sao identicos aos do(b), mas as setas estao invertidas. Sendo assim, se:

    (*) > 0: Os autovalores da matriz A sao reais distintos e ambos positivos e,portanto, temos um No (instavel).

    (*) < 0: Sendo os autovalores complexos conjugados com parte real positiva,a origem designa-se por Fonte espiral.

    (*) = 0: Os autovalores de A sao reais e iguais, sendo necessario analisar se amatriz e multipla da identidade ou nao.

    8

  • x

    y

    v1

    Figura 8: Plano de fase do sistema (10)

    A e multipla da identidade: Neste caso a origem e um Foco (instavel). A nao e multipla da identidade: Neste caso a origem e um No improprio

    (instavel).

    Esta classificacao