SISTEMA DECIMAL

1. Classificao dos nmeros decimais

O sistema decimal um sistema de numerao de posio que utiliza a base

dez. Os dez algarismos indo-arbicos - 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 - servem para

contar unidades, dezenas, centenas, etc. da direita para a esquerda.

No sistema decimal o smbolo 0 (zero) posicionado direita implica em

multiplicar a grandeza pela base, ou seja, por 10 (dez).

Nmero decimal qualquer nmero representado na forma decimal.

Neste sistema, todos os nmeros so obtidos a partir de adies e

multiplicaes que envolvem potncias de 10 ou de 1/10.

De um modo geral, todo nmero decimal representado por somas ( finitas ou

infinitas) de termos que envolvem potncias de 10 ou de 1/10:

Definio

Nmero decimal

um nmero obtido a partir de adies e multiplicaes

que envolvem potncias de 10 ou de 1/10.

an.10n + an-1. 10

n-1 + ....+ a1.101 + a0.100 + b1. 1/10 + b2.1/10

2 + b3.1/103......

Todo nmero decimal representado pela seqncia dos coeficientes:

an an-1...a0, b1b2b3....

A vrgula utilizada ( no Brasil) como um separador decimal (em alguns outros

pases, utiliza-se um ponto) que indica o comeo da parte menor do que a

unidade. Aps a vrgula, cada dgito representa uma potncia de 1/10. Os

algarismos aps a vrgula so denominados casas decimais. Os algarismos

anteriores vrgula formam a parte inteira do nmero.

Observe que, na soma acima, existem pontinhos aps a vrgula (...) indicando

que o nmero de casas decimais pode ser infinito.

Potncias de 10

So potncias que correspondem a sucessivas multiplicaes por 10, a partir

da unidade:

100 = 1

101 = 10

102 = 100

103 = 1000

10n corresponde a n zeros aps a unidade.

10n+1 = 10. 10n

Nmeros decimais representados por uma seqncia finita de potncias de

10:

N = an.10n + an-1. 10

n-1 + ....+ a1.101 + a0.100 = anan-1 ...a1a0

Onde an, an-1, ..., a1, a0 so algarismos do conjunto {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}.

Exemplo:

3x 102 + 5 x 10 + 2 x 100 = 352

Todo nmero inteiro apresenta-se na forma de somas finitas de potncias de

10 e todo nmero desta forma representa um nmero inteiro.

Potncias de 1/10

Correspondem a sucessivas multiplicaes por 1/10, a partir de 1/10:

1/10= 1/101

1/100 = 1/102

1/1000 = 1/103

................1/10n

Nmero decimal finito ou exato

Um nmero decimal finito ou exato (tem um nmero finito de dgitos), quando

representado por uma soma com nmero finito de parcelas.

Exemplo:

5. 1/10 + 7. 1/10 = 0,5 + 0,07 = 0,57

Define-se uma frao decimal,

como uma frao cujo denominador 10 ou potncia de 10: 1/10; 5/100,

3/1000, etc.

Existem fraes que podem ser transformadas em fraes decimais,

pois os denominadores so divisores de 10, 100, 1000 ou outra potncia,

como por exemplo: 1/25, 1/8, etc.

A decomposio em fatores primos dos denominadores contm apenas os

nmeros 2 e/ou 5.

Exemplo:

5751/10 = 5751. 1/10 = 575,1

2/5 = 4/10 = 0,4

253/25 = 1012/100 = 1012/102 = 1,012

1/8 = 125/1000 = 125 / 103

Todo nmeros decimal finito representa uma frao decimal (ou equivalente).

Toda frao decimal (ou equivalente) corresponde a um nmero decimal finito.

Exemplo:

523,135 =

5.102 + 2. 10 + 3.100 + 1/ 10 + 3/ 102 + 5/ 103 =

(5.105 + 2. 104 + 3.103 + 1. 102+ 3.10 + 5. 100) / 103 =

523135/ 1000

Nmeros decimais obtidos pela soma infinita de potncias de 1/10

Um nmero decimal pode ser uma soma infinita de potncias:

an.10n + an-1. 10

n-1 + ....+ a1.101 + a0.100 + b1. 1/10 + b2.1/10

2 + b3.1/103......

Nesse caso representado por uma seqncia infinita de coeficientes:

an an-1...a0, b1b2b3....

1. Nmero decimal peridico

Um nmero decimal infinito, eventualmente, pode ser peridico.

Um nmero decimal peridico apresenta, na sua parte fracionria, aps um

nmero finito de termos, um bloco de algarismos, no totalmente nulos,

(chamado perodo) com a propriedade que, a partir dele, a seqncia de dgitos

constituda exclusivamente pela repetio sucessiva deste bloco. Um decimal

peridico tambm denominado dzima peridica.

Para alguns autores, um decimal exato peridico, com perodo zero:

Exemplo: 4 = 4, 00000

Neste texto, consideramos que o perodo no nulo e distinguimos decimais

exatos de decimais peridicos.

O nmero de casas decimais do perodo pode ser qualquer nmero inteiro

positivo.

Exemplos:

1. Perodo com apenas uma casa decimal

2101 + 5.100 + 7/ 10 + 7/ 102 +7/ 103 +7/ 104 ...... = 25, 777777.

2. Perodo com 3 casas decimais..

3.101 + 0.100 + 123/ 103 + 123/106 + 123/109

30, 123123123.

Costumamos denotar o perodo com uma barra superior:

25, 7

30, 123

Nmero decimal infinito e no peridico

Existem decimais infinitos no peridicos, por exemplo:

0,101001000100001....

Este nmero tambm pode ser escrito como soma de potncias de 1/10:

1/101 + 1/ 103 + 1/106 + 1/ 1010... = 0,101001000100001....

Observe que no h um bloco de algarismos que se repita, na parte fracionria

do nmero. No existe perodo.

Classificao

Os nmeros decimais podem ser classificados em trs

categorias:

1.finitos ou exatos

2.infinitos peridicos

3.infinitos no peridicos

Operaes com decimais exatos

As fraes decimais e os inteiros so nmeros racionais cuja representao na

forma decimal exata.

Portanto, para definir as operaes de adio, subtrao, multiplicao e

diviso, com decimais, preciso que elas sejam compatveis com as

operaes j conhecidas, nos racionais.

essencial que voc estude o Texto: Operaes com Decimais (pdf).

Aps o estudo deste texto, sabemos que possvel dividir nmeros inteiros e

obter como soluo um nmero decimal.

Exemplo:

1 13____

1 0,076923076923....

10

9

12

3

4

1 aqui o resto 1 comea a se repetir

10

9

12

3

4 ... e assim sucessivamente.

Neste exemplo, observamos que o resultado um nmero decimal infinito e

peridico, e que o perodo se inicia quando o resto se repete.

Relaes com nmeros racionais

1.Todo nmero racional representado por um decimal exato ou

peridico

J sabemos que toda frao decimal (ou equivalente a alguma frao decimal)

corresponde a um decimal exato. Uma frao qualquer, para ser transformada

numa frao decimal, necessariamente deve ter um denominador que seja

divisor de potncias de 10.

Exemplo:

1/25 = 4/4.25 = 4/100 pois 25 divisor de 100

Mas, muitas fraes no tm esta propriedade:

Exemplos:

1/3 no equivalente a uma frao decimal, pois 3 no divisor de nenhuma

potncia de 10.

Analogamente: 1/7; 1/13; 50/17 ; etc

Basta recorrer ao algoritmo da diviso de nmeros decimais, para perceber

que, o resultado da diviso de dois nmeros inteiros p/q s pode ter dois

resultados:

exato , quando, em algum momento o resto zero;

infinito e peridico, se em nenhum momento o resto zero.

Neste caso, os valores do resto s podem ser 123...(q-1).

Por exemplo, em 1/13, os restos s podem variar entre 1 e 12 (veja acima). Ou

seja, certamente, vai haver alguma repetio de algum algarismo. Neste

momento, inicia-se o perodo.

Para um certo nmero 1/q, que no equivalente a uma frao decimal, o

perodo tem no mximo (q-1) dgitos.

importante que voc estude o texto Dzimas Peridicas e Calculadoras,

que ensina a calcular 1/n, com vrias casa decimais e com perodo longo,

quando n um nmero grande. Isto feito usando a calculadora. Por exemplo,

com este mtodo, pode-se descobrir que o perodo de 1/23 tem 21 casas

decimais

2. Todo nmero decimal exato ou peridico corresponde a um nmero

racional

Para seguir adiante, no trabalho de relacionamento dos decimais com os

racionais, essencial que voc relembre seus conhecimentos relativos a

progresses geomtricas, no texto: Progresso Geomtrica.

Com este estudo, voc poder compreender a afirmao seguinte:

A soma de uma PG de razo q = 1/10 corresponde a um nmero decimal

Infinito e peridico

0, bbbb.... = b. 1/101+ b.1/102 + b. 1/103 + b. 1/104 + ......

Com esta informao, v-se que a PG de razo 1/10 corresponde a nmeros

decimais infinitos peridicos com perodo de 1 dgito:

Exemplo

0 777777. =

7. 1/10+ 7. 1/102 +7. 1/103 +7.1/104 ......

De acordo com a soma da PG, podemos escrever este nmero:

S = b + bq + bq2 + bq3... = b/ (1-q)

0 777777. =

7. 1/10+ 7. 1/102 +7. 1/103 +7.1/104 ...=

7/9

Se o nmero tiver parte inteira, no h problema:

Exemplo:

530, 777777. =

5.102 + 1. 10 1 +0.100 + 7. 1/10+ 7. 1/102 +7. 1/103 +7.1/104 ...=

530 + 7/9 =

4777/9

Usando esta relao, podemos construir diferentes nmeros decimais

peridicos e calcular a frao correspondente.

Exemplos:

0,1111..... = 1. 1/10 + 1. 1/102+ ..... = (1/10)/(1-1/10) = 1/9

0,2222.....= 2/9

0.3333... = 3/9 = 1/3

0,4444..... = 4/9 = 2/3

0,5555... = 5/9

0,6666...= 6/9 = 2/3

0,7777...= 7/9

0,8888...= 8/9

0,9999...= 9/9 = 1

Este ltimo resultado conduz a outras igualdades:

0, 23999... = 0,24

1,999... = 2

O que nos leva a concluir que um mesmo nmero admite diferentes

representaes decimais, assim como diferentes representaes fracionrias

Se a PG tiver razo igual 1/100 = 1/102 , encontramos nmeros decimais com

perodo de 2 dgitos; se a razo for 1/1000 = 1/103 o perodo ser de 3

dgitos, e assim por diante.

Exemplo:

45,123123123... =

45 + 123/1.000 + 123/ 1.0002 + .... = (123/1000)/ (1 1/1000) =

45 + 123/999 = 45.078/999 (verifique com a calculadora)

Voc pode entender melhor o processo acompanhando o aplicativo:

Transformao de decimal peridico em frao

Para pensar:

Com a soma da PG, provamos que:

1 = 0, 999.....

Voc est convencido? Um mesmo nmero admite diferentes representaes decimais,

assim como diferentes representaes fracionrias?

Voc pode buscar mais detalhes nos seguintes endereos ou nos textos associados:

http://pt.wikipedia.org/wiki/0,999...

http://www.sbemrj.com.br/spemrj6/artigos/b4.pdf ou no Texto 999.pdf

Concluses

Revendo o que foi feito:

Associando racionais com diviso de inteiros conclumos que todo

nmero racional representado por um decimal exato ou peridico;

Associando os nmeros decimais exatos com fraes decimais e os

decimais peridicos com a soma de progresses geomtricas,

conclumos que todo decimal exato ou peridico corresponde a um

nmero racional.

Relaes com nmeros irracionais

Das concluses acima, vemos que, se um nmero irracional, s

poder ser representado por um decimal infinito no peridico.

Resta verificar que todo nmero decimal infinito no peridico

corresponde a um nmero irracional. Ou seja, corresponde medida de algum

segmento incomensurvel com a unidade.

Para isto, vamos nos reportar reta real.

A cada ponto P da reta, corresponde um segmento OP, cuja medida

um nmero real, representado na reta pelo prprio ponto P.

Consideremos um nmero decimal infinito e no peridico. Existe algum

ponto da reta que se identifica com este nmero?

A resposta sim, como mostra Cerri (2006):

Invente uma representao decimal qualquer. Ela representa um nmero real?

Vamos ver um exemplo consideremos o decimal 0,1212212221... .

Este um decimal infinito e no peridico.

Existe um ponto Q da reta cujo nmero associado tem esta representao?

Vamos tentar responder.

Tome a seguinte seqncia de nmeros:

0,1 ; 0,12 ; 0,121 ; 0,1212 ; 0,12122 ; 0,121221 ; 0,1212212 ; 0,12122122 ; etc

A seqncia crescente e nunca ultrapassa 0,13.

Tambm no ultrapassa 0,122. Ou ainda no ultrapassa 0,1213 etc.

A diferena entre os termos vai ficando cada vez menor.

De fato, a diferena entre dois nmeros consecutivos sempre menor que

2/10n =0,0...02.

Veja

0,12 - 0,1=0,02

0,121 - 0,12=0,001

0,1212 - 0,121=0,0002 etc

Nossa intuio nos diz que esta uma seqncia de nmeros racionais que

converge para um ponto da reta real que corresponde a um nmero que s

pode ser o nmero representado por 0,121221222122221... , com infinitas

casas decimais!

O argumento que usamos pode ser repetido para toda e qualquer forma

decimal infinita que voc inventar, mesmo que ela no tenha uma regularidade

(como o caso do exemplo acima).

Concluses

Todo nmero decimal infinito e no peridico

corresponde a um nmero irracional.

Todo irracional representado por um nmero decimal infinito e no peridico.

Exemplos

possvel, ento, relacionar os nmeros decimais com os racionais e

irracionais:

1. 42 = 42,0 nmero decimal finito portanto racional

2. 0,5 um decimal finito portanto racional

3. 0, 343434... um decimal infinito e peridico portanto racional

4. 0,101001000100001..... um decimal infinito no peridico, portanto no

racional

5. = 3.1415927... decimal infinito no peridico e irracional, portanto

no racional

6. 2 = 1,4142..... decimal infinito no peridico e irracional, portanto no

racional

Concluses

Finalmente, temos que a todo decimal, corresponde um real e a todo real

corresponde um decimal, o que permite definir reais de outra forma.

Definio

Um nmero real qualquer nmero representado

na forma decimal.

OPERAES COM NMEROS DECIMAIS

O conjunto dos nmeros racionais foi aumentado, e temos agora o conjunto

dos nmeros reais. O conjunto dos nmeros reais, denotado por R, a unio

dos nmeros racionais com os irracionais. Todo nmero real representado

por um nmero decimal. Alguns so redutveis a fraes outros no, os

irracionais.

Podemos ainda operar com estes novos nmeros como fazemos com os

racionais?

Como definir agora adio e multiplicao?

Penteado ( 2004) responde que no fcil operar com as representaes

decimais.

Veja esta soma:

1,13234567898765453236272618377...

+ 2, 98547893076453426374866845959987656...

4,11793.........................................................

No h como conhecer todas as casas decimais de alguns nmeros.

Contudo os matemticos de fato provaram que no conjunto dos nmeros reais

R, que corresponde ao conjunto de todos os decimais esto definidas

operaes de adio e multiplicao que estendem as de Q.

Tambm temos uma ordem nas mesmas condies.

Para definir operaes em R que estendam as operaes definidas em Q,

uma idia consiste em definir um nmero irracional como o limite de uma

seqncia de nmeros racionais. O resultado de operaes sobre limites

corresponde ao limite das operaes sobre as seqncias.

Na prtica, o resultado de operaes com nmeros irracionais sempre

representada por um nmero racional muito prximo. Os resultados so

aproximados

DIAGRAMA

O conjunto dos nmeros reais formado pela unio dos conjuntos dos

racionais e dos irracionais.

decimal exato

RACIONAL

REAL decimal infinito peridico DECIMAL

IRRACIONAL decimal infinito no peridico

GLOSSRIO

Recorrncia

Sistema decimal

Nmero decimal

BIBLIOGRAFIA

CERRI, Cristina. Desvendando os Nmeros Reais (pdf). Mini-curso, Bienal

de Matemtica, 2006. Disponvel em

www.mat.ufg.br/bienal/2006/mini/cristina.cerri.pdf

PENTEADO, Cristina. Concepes do professor do ensino mdio relativas

densidade do conjunto dos nmeros reais e suas relaes frente a

procedimentos para abordagens desta propriedade. Dissertao de

Mestrado em educao Matemtica. PUC-SP, 2004. Disponvel em:

http://www.sapientia.pucsp.br//tde_busca/arquivo.php?codArquivo=4687