http://www.greatcommission.com/israel/Israel.htmlemp.byui.edu/.../Jerusalem/JerusalemPhotoDisplay.htm - Estados Unidos

www.jerusalemshots.com SAIBA MAIS! LAMPIO Clique:http://www.iar.unicamp.br/videoteca/criticas/106.htm Alguns dos filmes sobre personagens e o cangao O Cabeleira - sobre "Jesuino Brilhante" O Cangaceiro 1953, Lima Barreto Deus e o Diabo na Terra do Sol 1964, Glauber Rocha

Lampio o Rei do Cangao Corisco e Dad Rosemberg Cariry

Baile Perfumado - 1996, Paulo Caldas e Lrio Ferreira ( a saga do mascate que filmou os cangaceiros) Filme de Benjamin Abrao 1938

emp.byui.edu/.../Jerusalem/JerusalemPhot oDisplay.htm www.portalsaofrancisco.com.br/alfa/lampi ao/lampiao.php

Sistemas de Amortizao Introduo No captulo anterior, vimos como saldar uma dvida mediante uma srie de pagamentos. No caso, a durao da dvida era de alguns meses ou anos, se constituindo, no que chamamos, dvida a curto prazo. Neste captulo iremos abordar as dvidas a longo prazo, ou seja, aquelas que tem a durao de muitos anos, como o caso dos financiamentos habitacionais. Veremos que, de maneira geral, cada prestao composta de duas parcelas: uma que paga os juros e a outra que abate a dvida e que elas podem ser constantes ou variveis conforme o sistema de amortizao utilizado. Os juros sero calculados, sempre, sobre o saldo devedor. Essa caracterstica importante, pois caso os juros no sejam pagos em alguma parcela, sero incorporados ao saldo devedor, incidindo sobre ele novos juros. Isto significa que consideraremos o regime de juros compostos. Vamos, agora coloc-lo a par do vocabulrio utilizado no estudo dos sistemas de amortizao: 1. Mutuante ou credor: aquele que faz o emprstimo (geralmente banco, financeiras, etc.); 2. Muturio ou devedor: aquele que recebe o emprstimo; 3. Principal: o capital emprestado; 4. Amortizao: o ato de pagar o principal mediante uma ou mais prestaes peridicas (mensais, trimestrais, semestrais, etc.); 5. Prestao: o pagamento efetuado em um dado perodo. De maneira geral se compe de duas parcelas: uma de amortizao da dvida e a outra de pagamento de juros; 6. Perodo de amortizao: o intervalo de tempo entre duas amortizaes sucessivas; 7. Prazo de carncia: considerando uma anuidade antecipada, o intervalo existente entre a data do incio do financiamento (data zero) e a data da primeira amortizao, desde que esse prazo seja, no mnimo, o dobro do menor perodo de amortizao. Vamos explicar melhor: consideraremos prazo de carncia se o primeiro pagamento ocorrer do perodo 2 em diante, pois se ocorrer no perodo 1 consideraremos que os pagamentos so postecipados. 8. Saldo devedor: o valor da dvida (quanto resta a ser pago) em uma certa data. 9. Planilha: uma tabela onde so lanados os valores recebidos e pagos em um emprstimo em funo do tempo. Sistema Francs de Amortizao

No sculo passado, o ingls Richard Price criou uma sistema de amortizao em que as prestaes eram iguais, peridicas e sucessivas. Devido sua ampla utilizao na Frana esse sistema ficou conhecido como Sistema de Amortizao Frnces. No Sistema Frnces o muturio obriga-se a devolver o principal mais os juros mediante prestaes iguais e peridicas. Isso significa dizer que poderemos utilizar as tabelas e frmulas aprendidas no sistema de rendas uniforme, estudada no captulo anterior. A taxa de juros utilizada deve coincidir com a do perodo de amortizao. Quando isso no ocorrer devemos transformar a taxa de juros dada, determinando a taxa equivalente composta de perodo igual ao da amortizao. Sistema Price ou de Amortizao Progressiva Este sistema conhecido como tabela Price (l-se praice) e representa uma variante do sistema frnces. Em termos prticos o sistema Price o prprio sistema frnces onde a diferena est na forma de empregar a taxa de juros. No sistema Price a taxa nominal (geralmente anual) enquanto que o perodo de amortizao menor do que o da taxa (geralmente o perodo de amortizao mensal). Como os perodos da taxa de juros e da amortizao so diferentes devemos transformar a taxa de juros. Para isso determinaremos a taxa proporcional taxa dada que tenha perodo igual da amortizao. Exemplo: se a taxa nominal for de 24 a.a. e os pagamentos forem mensais, utilizaremos uma taxa de 2% a.m.; se os pagamentos forem bimestrais, utilizaremos a taxa de 4% a.b. Voc deve perceber que diferena bsica entre o Sistema Frnces e o Sistema Price est no emprego da taxa de juros, enquanto o primeiro utiliza taxa equivalente composta, o segundo utiliza taxa proporcional, a partir da os sistemas funcionam identicamente, razo pela qual faremos observaes e exemplos utilizando o Sistema Price. Mas lembre-se: tudo o que for dito a partir de agora para o Sistema Price, valer para o Sistema Frnces. No Sistema Price as prestaes so iguais, mas cada uma delas composta de duas partes: a primeira paga os juros que so calculados sobre o devedor; a segunda parcela paga o principal. Como o saldo devedor vai diminuindo ao longo do tempo, a parcela relativa aos juros em cada prestao tambm diminui ao longo do tempo, ocorrendo o oposto com a parcela relativa a amortizao. A dvida fica completamente saldada na ltima prestao.

Sistema de Amortizao Constante (SAC)

Nesse sistema, a parcela da amortizao em cada prestao constante e os juros so calculados sobre o saldo devedor. Sendo assim as prestaes so decrescentes ao longo do tempo.

Sistema de Amortizao Misto (SAM) Neste sistema, a prestao igual a mdia aritmtica das respectivas prestaes nos sistemas FRANCS ou PRICE E SAC, calculados nas mesmas condies. Sendo assim., se considerarmos como sendo: Rt (SAC) = o valor da prestao em uma data t de um certo financiamento pelo SAC Rt (PRICE) ou (SF) = o valor da prestao ou uma data t do mesmo financiamento pelo Sistema Price ou SF Rt (SAM) = o valor da prestao em uma data t do mesmo financiamento pelo SAM Ento: Rt (SAM) = R(PRICE) + Rt (SAC)/2 Consequentemente as parcelas relativas a juros e amortizaes, bem como o saldo devedor, sero as respectivas mdias aritmticas dos elementos do PRICE e do SAC. Na ltima pgina se encontram as planilhas dos trs sistemas: PRICE, SAM e SAC, em um grfico comparativo, representando a variao das prestaes ao longo do tempo. Sistema de Amortizao Americano Nesse plano a liquidao da dvida s ocorre no final do prazo, pagando-se peridicamente os juros sobre o principal, pelo tempo devido. Percebe-se facilmente que: 1) as prestaes so constantes pois so calculadas sobre o saldo devedor e este no muda, pois no h amortizao durante os pagamentos; 2) s existe uma parcela de amortizao que aquela que quita a dvida no final do prazo 3) Um banco financia um principal de R$ 100.000,00 a uma empresa, que dever ser pago mediante prestaes mensais postecipadas pelo Sistema de Amortizao Americano, no prazo de 1 ano a uma taxa de juros de 12% a.a. Rendas Certas Conceito de Rendas Toda vez que compramos a prazo em uma loja fazendo um carn ou financiamos um imvel no sistema financeiro, ou mesmo, fazemos depsitos

em uma instituio, para, futuramente termos um reforo na aposentadoria, estamos utilizando um sistema chamado de SRIE DE PAGAMENTOS ou RENDAS. Podemos dizer, ento, que RENDAS so pagamentos ou recebimentos feitos ao longo do tempo. Se as rendas forem criadas para o pagamento de uma dvida, dizemos que o processo de AMORTIZAO (que o mais comum). Se as rendas forem criadas para que possamos constituir um capital futuro, dizemos que o processo de CAPITALIZAO. Existem casos, como nos aluguis, em que o pagamento pelo uso, no ocorrendo amortizao. Chamamos de TERMOS ou PARCELAS, os valores que devem ser pagos ou recebidos ao longo do tempo. O intervalo de tempo existente entre dois termos consecutivos chamado de PERODO e o tempo de durao da renda chamase PRAZO da renda. Rendas Certas RENDAS CERTAS so aquelas em que o valor dos termos, os perodos, o prazo, a forma de pagamento, a taxa de juros e outros parmetros, so contratados previamente e, portanto, so imutveis. Pela definio dada, percebe-se que estamos chamando de rendas certas a maioria das operaes de financiamento e investimentos que fazemos na prtica. Da a grande importncia deste tpico de matemtica financeira. S para matar sua curiosidade, existe um outro tipo de renda chamado de RENDAS ALEATRIAS, cuja caracterstica a de depender de fatores aleatrios, ou seja, fatores incertos, que podem ou no ocorrer. Um exemplo clssico o do seguro de vida, que depende de um acidente para ser recebido. Classificao das Rendas Certas Classificamos as rendas segundo quatro critrios: valor dos temos, perodos, prazo e vencimento. Quanto ao valor dos termos, as rendas podem ser:

CONSTANTES os valores dos termos so iguais; VARIVEIS os valores dos temos so diferentes.

Quanto aos perodos, as rendas podem ser:

PERIDICAS termos com perodos iguais; NO PERIDICAS termos com perodos diferentes.

Quanto ao prazo:

TEMPORRIAS quando o nmero de termos for finito; PERPTUAS quando o nmero de termos for ilimitado (exemplo: aposentadoria).

Quanto ao vencimento:

IMEDIATAS: quando os termos forem exigidos a partir do primeiro perodo; DIFERIDAS: quando os termos forem exigidos a partir de um outro perodo que no seja o primeiro; neste caso existir um intervalo de tempo em que no ocorre o pagamento. Esse intervalo de tempo chamado de CARNCIA.

importante, ainda, assinalar que tanto das rendas imediatas como as diferidas podem ser:

ANTECIPADAS quando os termos so exigveis no incio do perodo; ou POSTECIPADAS ou VENCIDAS quando os termos so exigveis no final do perodo.

Rendas:

constantes x variveis peridicas x no peridicas temporrias x perptuas imediatas x diferidas antecipadas x postecipadas

Neste captulo vamos nos ocupar apenas das rendas certas constantes (prestaes iguais), peridicas (pagamentos a intervalos regulares de tempo) e temporrias (nmero finito de termos), conhecidas, tambm, como SRIES DE PAGAMENTOS IGUAIS, ou ainda, SRIES UNIFORMES. A dificuldade maior com a qual voc vai se deparar, portanto, saber classificar uma renda quanto poca de pagamento, isto , saber se uma renda imediata, diferida, antecipada ou postecipada. Fica mais fcil entender estes conceitos com o auxlio de diagramas. Para tanto, vamos considerar apenas exemplos de amortizao e adotaremos a seguinte simbologia:

P = valor financiado (tambm chamado de principal), valor presente ou tambm valor atual de uma srie de pagamentos. R = valor de cada prestao ou termo n = nmero de termos (= nmero de prestaes) i = taxa de juros considerada

Em todo sistema de amortizao, um valor financiado P amortizado mediante n pagamentos ou termos de valor R, segundo uma taxa de juros i. Tendo em vista o carter peridico do sistema de rendas, utilizamos o REGIME DE JUROS COMPOSTOS para estud-la.

Equivalncia de Capitais no Regime de Juros Compostos Reviso de Equivalncia Anteriormente, vimos que dois ou mais capitais localizados em datas diferentes so chamados de EQUIVALENTES quando, a uma certa taxa de juros, produzem RESULTADOS IGUAIS numa data comum (DATA FOCAL). Esta a idia central da EQUIVALNCIA DE CAPITAIS, um dos assuntos mais importantes da matemtica financeira e que tem sido constantemente privilegiado em provas de concursos pblicos. Vimos tambm que a equivalncia de capitais bastante utilizada na renegociao de dvidas, em particular, na substituio de um conjunto de ttulos por outro, equivalente ao primeiro. Para estabelecer a equivalncia, basta impor que a soma dos respectivos valores atuais Va1 , Va2 , Va3 dos ttulos do primeiro conjunto, calculados na data focal considerada, seja igual soma dos valores atuais Vaa , Vab , Vac dos ttulos do segundo conjunto, calculados para essa mesma data. Obtemos, assim, a chamada EQUAO DE VALOR: Va1 + Va2 + Va3 + = Vaa + Vab + Vac + Equivalncia no Regime Composto O que ns fizemos em juros simples, vamos repetir para juros compostos. A novidade que vamos utilizar somente um tipo de desconto para efetuar a equivalncia, que o DESCONTO RACIONAL COMPOSTO (no se usa desconto comercial composto em problemas de equivalncia). Uma outra novidade boa por sinal que a data focal pode ser qualquer, pois no regime de juros compostos, diferentemente do regime de juros simples, se dois capitais so equivalentes para uma determinada data, eles tambm o so para qualquer outra data. Importncia da Data Focal Do ponto de vista terico, a escolha da data focal indiferente ela pode ser qualquer , mas do ponto de vista prtico, isto , levando-se em conta a grande quantidade de clculos que voc ter que realizar, no. Quando for resolver problemas de equivalncia composta, voc deve estrategicamente escolher a data focal que facilite o mximo possvel o trabalho de clculo (geralmente a data que mais se projeta no futuro).

Dependendo da data focal escolhida, um determinado capital poder ser movimentado para frente ou para trs com relao ao eixo dos tempos. Quando o capital for movimentado para frente (a favor do eixo dos tempos), precisaremos calcular o seu MONTANTE, isto , deveremos capitaliz-lo (incorporar juros a ele). Quando o capital for movimentado para trs (em sentido contrrio ao do eixo dos tempos), precisaremos descapitaliz-lo, calculando o seu VALOR ATUAL. No regime de desconto racional composto, tudo isto significa que teremos que multiplicar ou dividir o capital pelo fator (1 + i)n. Portanto, se quisermos levar o capital para frente, devemos mutiplic-lo pelo fator (1 + i)n, onde i a taxa de juros considerada e no nmero de perodos que devemos percorrer com o capital. Se quisermos levar o capital para trs, devemos dividi-lo pelo fator de acumulao composta (1 + i)n, utilizando o mesmo critrio. Desconto Composto Operao de Desconto Composto O conceito de desconto em juros compostos bastante semelhante ao visto no regime de juros simples. N = valor nominal do ttulo que deve ser descontado Va = valor atual ou valor descontado D = desconto i = taxa de desconto n = nmero de perodos de antecipao. Clculo do Desconto (D) e do Valor Atual (Va) Existem duas maneiras de calcularmos o desconto composto. A primeira utiliza o conceito de DESCONTO RACIONAL (desconto por dentro) e a segunda utiliza o conceito de DESCONTO COMERCIAL (desconto por fora). Desconto Racional Composto ou Desconto Composto Por Dentro Neste caso consideramos que o valor nominal N igual ao montante do valor atual racional composto Varc para um nmero de perodos n igual ao da antecipao. Ou seja, se aplicssemos o valor atual racional composto durante os n perodos de antecipao, a juros compostos, o montante seria igual ao valor nominal. A taxa de juros utilizada para o clculo chamada de taxa de desconto racional composto. Sendo assim: M = C (1 + i)n N = Varc (1 + i)n

Varc = N/(1 + i)n Para calcularmos o desconto racional composto devemos fazer: Drc = N Varc

Desconto Comercial Composto ou Desconto Composto Por Fora O desconto comercial composto pouco utilizado nas operaes prticas, razo pela qual raramente pedido em exame. Em todo caso, l vai a frmula que d o valor atual para o desconto comercial composto: Vacc = N (1 i)n E o desconto comercial composto ser dado por: Dcc = N Vacc Comparao entre o Desconto Simples e o Desconto Composto Com tantas frmulas de desconto, provvel que voc acabe se confundindo na hora de aplic-las, sobretudo se for numa situao de tenso, como a da prova. Sugerimos a voc, ento que memorize a tabela abaixo, na qual so apresentadas as diversas frmulas do VALOR ATUAL para todas as modalidades de desconto. Guarde apenas as frmulas do VALOR ATUAL e para calcular o desconto, qualquer que seja ele, basta usar, em qualquer das situaes apresentadas, o conceito geral D = N Va Para ajud-lo a memorizar, observe as seguintes regularidades:

todas as frmulas apresentam o valor nominal N no numerador quando o desconto RACIONAL, existe denominador; quando COMERCIAL, no quando o desconto COMPOSTO, o n aparece como expoente; quando o desconto SIMPLES, o n multiplica a taxa

Exerccios resolvidos 1. (CEB-IDR) Antecipando em dois meses o pagamento de um ttulo, obtive um desconto racional composto, que foi calculado com base na taxa de 20% a.m. Sendo R$ 31.104,00 o valor nominal do ttulo, quanto paguei por ele, em R$? Resoluo: O prazo de antecipao de 2 meses, portanto n => 2. A taxa de desconto composto de 20% a.m. (vamos admitir capitalizao mensal), portanto i = 20% a.m. O valor nominal do ttulo N = 31.104. O problema quer o valor atual

do ttulo Varc = ? Utilizando a expresso do valor atual para o desconto racional composto, temos: Varc = N/(1 + i)n => Varc = 31.104/(1 + 0,20)2 = 31.104/1,44 = 21.600

2. (TCDF-IDR) Uma empresa tomou emprestados de um banco CR$ 1.000.000,00 taxa de juros compostos de 19,9% a.m., por 6 meses. No entanto, 1 ms antes do vencimento, a empresa decidiu liquidar a dvida. Qual o valor a ser pago, em CR$, se o banco opera com uma taxa de desconto racional composto de 10% a.m.? Considere (1,199)6 = 2,97 Resoluo: Nosso primeiro procedimento ser calcular o valor do montante M da dvida no final dos 6 meses, ou seja, o seu valor nominal. Temos que: C = 1.000.000 n = 6 meses i = 19,9% a.m. = 0,199 a.m. M = C (1 + i)n = 1.000.000 (1 + 0,199)6 M = 1.000.000 x (1,199)n = 1.000.000 x 2,97 = 2.970.000 O valor nominal da dvida, portanto, ser N = 2.970.000 A antecipao de 1 ms, logo, n = 1 A taxa de juros de 10% a.m. => i = 10% a.m. = 0,10 a.m. O problema pede o valor atual com um ms de antecipao: Varc = N/(1 + i)n => Varc = 2.970.000/(1 + 0,10)1 = 2.970.000/1,10 Varc = 2.700.000 Juros Compostos Conceito Antes de comearmos a estudar juros compostos, a ttulo de comparao faremos uma pequena reviso do regime de capitalizao simples. Nos captulos anteriores, vimos que os JUROS SIMPLES apresentam as seguintes caractersticas: 1. so calculados sobre o capital inicial; 2. so diretamente proporcionais ao prazo (ou nmero de perodos), ao capital aplicado e taxa de juros da aplicao; 3. so adicionados ao capital inicial no final do prazo, formando o montante.

Em suma, Js = C.i.n Ms = C(1 + in) No regime de JUROS COMPOSTOS os juros so capitalizados no no final do prazo e sim no final de cada perodo, ou seja, o juro do primeiro perodo adicionado ao capital inicial e sobre esse montante calculado o juro do segundo perodo que por sua vez ser adicionado ao montante anterior para que se calcule o juro do perodo seguinte, e assim sucessivamente. Vamos a um exemplo: Voc aplicou 1.000 em uma insituio financeira a uma taxa de juros de 2% a.m., capitalizados mensalmente, durante 3 meses. Vamos calcular o montante M3 no final desse prazo. Temos que: C = 1.000 i = 2% a.m. = 0,02 a.m. n = 3 (capitalizao mensal) Ento, o montante M1 no final do primeiro perodo ser dado por: M1 = 1.000 M1 = 1.000 . 1,02 M1 = 1.020 O montante M2 no final do segundo perodo ser dado por: M2 = 1.020 (1 + 0,02) M2 = 1061,21 O montante M3 no final do terceiro perodo ser dado por: M3 = 1.040,40 (1 + 0,02) M3 = 1.061,21 Verifique que montante do primeiro perodo foi utilizado para o clculo do juro do segundo perodo e assim sucessivamente. Frmula do Montante a Juros Compostos Vamos supor a aplicao de um capital C, durante n perodos, a uma taxa de juros compostos i ao perodo. Calculemos o montante Mn no final dos n perodos utilizando o mesmo processo do exemplo anterior, ou seja, perodo a perodo.

M1 = C(1 + i) M2 = M1(1 + i) = C(1 + i) . (1 + i) = C(1 + i)2 M3 = M2 (1 + i) = C(1 + i)2 . (1 + i) = C(1 + i)3 Veja que, para o montante do primeiro perodo, a expresso fica: M1 = C(1 + i) Para o montante do segundo perodo, encontramos: M2 = C(1 + i)2 Para o montante do terceiro, M3 = C(1 + i)3 facil concluir que a frmula do montante do ensimo perodo ser: Mn = C(1 + i)n O fator (1 + i)n chamado de FATOR DE ACUMULAO DO CAPITAL para JUROS COMPOSTOS, ou ainda, FATOR CAPITALIZAO COMPOSTA, sendo frequentemente indicado pela letra an. Como vimos anteriormente, ele guarda alguma semelhana com o fator de acumulao de capital para JUROS SIMPLES, dado pela expresso (1 + in). Tanto no regime de juros simples como no regime de juros compostos, o montante dado pelo produto do capital pelo respectivo fator de acumulao. A frmula dos juros compostos acumulados ao final do prazo obtida a partir da frmula geral de juros, conforme segue: J=MC J = C(1 + i)n C Colocando C em evidncia, obtemos: Jn = C [ (1+ i)n 1] Como saber se um problema de juros simples ou juros compostos? Essa dvida frequente quando iniciamos o estudo da matemtica financeira. Existem determinadas expresses que indicam o regime de capitalizao composta, tais como:

juros compostos capitalizao composta montante composto taxa composta de X% a.a. (indica juros compostos com capitalizao anual) taxa de X% a.m. capitalizados bimestralmente (indica juros compostos com capitalizao a cada bimestre)

A principal diferena entre o regime simples e o composto, entretanto, que, em juros compostos, necessrio que saibamos, atravs do enunciado do

problema, o perodo das capitalizaes. Em juros simples podamos escolher o perodo de capitalizao que nos conviesse, por exemplo: se a taxa fosse de 24% a.a. e o prazo de 18 meses, poderamos transformar a taxa para mensal (2% a.m.) e usar o prazo em meses, ou transformar prazo em anos (1,5 anos) e utilizar a taxa anual. Em juros compostos no podemos fazer isso, pois o problema dir como devemos CAPITALIZAR A TAXA, ou seja, se os perodos sero mensais, anuais etc. Normalmente, do lado da taxa deve vir a indicao de como ela deve ser CAPITALIZADA ou COMPOSTA. Se o perodo das capitalizaes no coincidir com o da taxa, devemos calcular a taxa para o perodo dado pela capitalizao, utilizando o conceito de TAXAS PROPORCIONAIS. Exemplos:

dada uma taxa de 48% ao ano CAPITALIZADA MENSALMENTE, devemos transform-la em uma taxa igual a 4% ao ms. dada a taxa de 48% ao ano CAPITALIZADA SEMESTRALMENTE, devemos tranform-la em uma taxa de 24% ao semestre.

Se no houver nenhuma indicao de como a taxa deva ser capitalizada ou nenhuma referncia a regime composto, presumimos que o regime de capitalizao seja simples. Exerccios resolvidos 1. Uma pessoa faz uma aplicao no valor de 10.000 durante 11 meses, a uma taxa de juros de 5% a.m. capitalizados mensalmente. Calcular o montante no final do prazo. Resoluo: C = 10.000 prazo (t) = 11 meses; como a capitalizao mensal, n = 11 i = 5% a.m. = 0,05 a.m. M = C (1 + i)n M = 10.000 (1 + 0,05)11 O problema est em calcular o fator de acumulao do capital. No se desespere, esse valor dado pelo examinador: a) no incio da prova; exemplo: (1,05)11 = 1,7103; ou b) por meio de uma tabela financeira, semelhante ao modelo a seguir; nessa tabela, o valor de acumulao de capital que procuramos pode ser facilmente encontrado no cruzamento da coluna i = 5% com a linha n = 11:

Voltando ao clculo do montante: M = 10.000 . 1,710339 (voc deve utilizar todas as casas decimais fornecidas para o fator) M = 17.103,39 2. Calcular o montante de um capital de R$ 100,00 aplicado a juros compostos de 60% a.a., capitalizados mensalmente, durante um ano. Resoluo: Temos que: C = 100 i = 60% a.a. capitalizados mensalmente prazo de aplicao (t) = 1 ano = 12 meses Este exemplo traz uma novidade importantssima. Como j dissemos anteriormente, em juros compostos fundamental que se diga qual o PERODO DE CAPITALIZAO dos juros. Vimos, tambm, que nem sempre ele coincide com a periodicidade da taxa. Neste exerccio, por exemplo, a taxa anual mas a capitalizao mensal. Precisamos determinar, a partir da taxa dada, uma outra taxa que tenha periodicidade idntica ao perodo da capitalizao, e fazemos isto, como j foi dito, utilizando o conceito de TAXAS PROPORCIONAIS. Exemplo: Se o examinador der uma taxa nominal de 36% a.a. e disser que deve ser capitalizada mensalmente, devemos determinar a taxa mensal proporcional taxa de 36% a.a., ou seja, 3% a.m. este valor que utilizaremos na frmula do montante composto. Se ele der a mesma taxa nominal de 36% a.a., mas disser que deve ser capitalizada semestralmente, deveremos agora calcular a taxa semestral proporcional taxa de 36% a.a., isto , 18% a.s. No nosso exemplo, a taxa de 60% a.a., com capitalizao mensal; logo, considerando que um ano tem doze meses, a taxa proporcional mensal ser um doze avos da taxa nominal, ou seja: i = 60% a.a. = 5% a.m. = 0,05 a.m. Neste caso, dizemos que a taxa de juros de 60% a.a. fornecida uma TAXA NOMINAL. A taxa nominal tem a desvantagem de no poder introduzida diretamente na frmula do montante composto, pois possui perodo diferente do da capitalizao. Outro cuidado que voc deve tomar com o PRAZO. Da mesma forma que a periodicidade da taxa, o prazo de aplicao tambm deve estar expresso na mesma unidade de medida de tempo do perodo de capitalizao. Assim, se a capitalizao mensal, o prazo tem que ser expresso em meses, se a capitalizao trimestral, o prazo tem que ser expresso em trimestres etc.

No prazo de um ano fornecido no enunciado do exerccio, temos 12 perodos mensais, logo n = 12. Aparadas todas estas arestas, podemos agora calcular o montante: M = C (1 + i)n M = 100 (1 + 0,05)12 Devemos ir tabela fornecida anteriormente, onde iremos verificar que, para i = 5% e n = 12, (1 + 0,05)12 = 1,795856 Logo, M = 100 . 1,795856 M = R$ 179,59 Aps ter certeza de que compreendeu os exemplos anteriores, leia as observaes abaixo e reflita sobre elas. a) Se em vez de juros COMPOSTOS, o problema anterior fosse de juros SIMPLES, de quanto seria o montante? Resposta: seria de R$ 160,00. Por qu? Porque o montante de um capital igual a R$ 100,00 aplicado a juros simples de 60% a.a. durante um ano dado por: M = C (1 + in) M = 100 (1 + 0,60 . 1) = 160,00 Por que o montante a juros compostos maior? Porque a cada ms o juro adicionado ao capital, produzindo um montante que ser utilizado para calcular o juro do perodo seguinte. Portanto, calculamos juros sobre juros. Para deixarmos ainda mais clara a diferena entre o regime simples e o composto, montamos a tabela abaixo, mostrando como ficam os montantes intermedirios, em cada ms, de R$ 100,00 aplicados a 5% a.m., nos dois regimes: b) Veja que, apesar de a taxa nominal ser igual a 60% a.a., o capital, em um ano, aumentou de 79,59%, pois passou de 100,00 para 179,59. Da se conclui que a taxa nominal (60% a.a.) apenas uma taxa de referncia. Deve ser capitalizada de acordo com o perodo determinado pelo problema.

A taxa produzida na capitalizao da taxa nominal chamada de TAXA EFETIVA DE JUROS. Portanto uma taxa nominal de 60% a.a., capitalizada mensalmente, produz uma taxa efetiva anual de 79,59%. c) Outra coisa importante que, para uma mesma taxa nominal, se mudarmos o perodo de capitalizao, a taxa efetiva tambm mudar. Imagine que, no nosso exemplo, a taxa continue a ser 60% a.a., mas com capitalizao TRISMESTRAL. Neste caso, considerando-se que em um ano temos quatro trimestres, escrevemos que: i = 15% a.t. = 0,15 a.t. n=4 O montante composto ser dado por: M = C(1 + i)n M = 100(1 + 0,15)4 M = 100 x 1,749006 M = R$ 174,90 O montante foi menor porque diminumos o nmero de capitalizaes (antes elas estavam sendo feitas a cada ms; agora, de trs em trs meses). A taxa efetiva nesse caso ser igual a 74,90% a.a. Exerccios resolvidos 3. Calcular o montante de um capital de R$ 8.000,00 aplicado a uma taxa de 16% a.a., com capitalizao semestral, durante 20 anos e 6 meses. Resoluo: Como capitalizao semestral, necessrio transformar a taxa anual em semestral e expressar o prazo em semestres C = 8.000 i = 16% a.a. (taxa nominal) => i = 8% a.s. t = 20 anos e seis meses = 41 semestres => n = 41 M = C (1 + i)n M = 8.000 (1 + 0,08)41 Vamos na tabela no final deste captulo e no tem n = 41. Na tabela dada, n s vai at 30. O que fazer? Simples, utilize o seu conhecimento sobre potncias de mesma base: (1 + 0,008)41 = (1 + 0,008)30 . (1 + 0,008)11 (1 + 0,008)41 = 10,06266 . 2,331639 = 23,462490 M = 8.000 . 23,462490 M = 187.699,92 Interpolao Linear

INTERPOLAO LINEAR uma estratgia de clculo que permite determinar, por aproximao, um valor desconhecido que se encontra entre dois valores dados. s vezes as tabelas financeiras no fornecem o valor exato necessrio para efetuar os clculos que nos esto sendo solicitados ai que entra o mtodo de interpolao linear: atravs dele, contornamos essa dificuldade, obtendo, mediante uma proporo simples, o valor desconhecido atravs de outros valores prximos, presentes na tabela. Vejamos como se faz isto atravs de alguns exerccios de aplicao. Calcular o montante o montante de um capital igual a R$ 200.000,00 aplicado a uma taxa de 14% a.a., com capitalizao trimestral, durante 1 ano. Resoluo: Observe que a capitalizao TRIMESTRAL. Logo, o prazo deve ser expresso em trimestres e a taxa anual deve ser convertida para a taxa trimestral. C = 200.000 i = 14% a.a. (taxa nominal) => i = 3,5% a.t. (taxa proporcional) t = 1 ano = 4 trimestres => n = 4 M = C (1 + i)n M = 200.000 (1 + 0,035)4 Vamos tabela e no tem i = 3,5%. O que fazer? Pense bem, voc tem os fatores de acumulao de capital para 3% e para 4% na tabela. Para encontrar o fator de acumulao de 3,5%, calcule a mdia aritmtica simples desses dois. Parece esquisito, mas voc est efetuando uma INTERPOLAO LINEAR. Estamos supondo que, uma vez que a taxa de 3,5% equidistante aos valores 3% e 4%, o seu fator de acumulao deve ser tambm equidistante aos fatores de acumulao de taxas de 3% e 4%, ou seja, deve ser a mdia aritmtica desses fatores. Consideramos, ento que: a3,5% = a3% + a4%/2 , onde: a3,5% = fator de acum. de capital para n = 4 e i = 3,5% a3% = fator de acum. de capital para n = 4 e i = 3% a4% = fator de acum. de capital para n = 4 e i = 4% Ateno: no efetue imediatamente as multiplicaes; deixe tudo indicado pois assim voc poder simplificar as fraes que forem aparecendo, diminuindo assim o trabalho de clculo e economizando tempo. Procure se habituar a trabalhar desta maneira, porque na maioria dos concursos voc no poder utilizar mquina de calcular. M = 200.000,00 100.000,00 . 1,125509 + 1,169859/2 M = 229.536,80

Vejamos agora como fica a interpolao quando a taxa fornecida no mais nmero do tipo inteiro mais meio (1,5%; 2,5%; 3,5% etc.) Joo toma emprestado R$ 1.000,00 e concorda em reembolsar o principal com juros de 3,6% a.a. compostos semestralmente. Quanto deve ele no fim de 4 anos? Resoluo: Observe que a captalizao semestral C = 1.000 i = 3,6% a.a. (taxa nominal) => i = 1,8% a.s. = 0,018 a.s. (taxa proporcional semestral) t = 4 anos = 8 semestres => n = 8 M = 1.000 (1 + 0,018)8 Vamos tabela no final deste captulo e no temos i = 1,8%. Devemos, ento, fazer a interpolao linear. Vamos pegar da tabela as taxas que se encontram imediatamente a seguir e imediatamente acima da taxa de 1,8% (1% e 2% respectivamente). Com os fatores dessas taxas para n = 8, montamos o seguinte esquema: O Teorema de Tales, que voc deve ter aprendido na 8a srie, diz que um feixe de retas ao cortar duas transversais produz segmentos proporcionais. Decorre disso que, se dividirmos, em cada reta transversal, o segmento superior pelo segmento todo, deveremos obter o mesmo resultado. Podemos, ento, escrever a seguinte igualdade: 0,8/1 = x 1,082857/0,088802 Multiplicando em cruz, obtemos: x 1,082857 = 0,8 . 0,088802 Resolvendo, encontramos que: x = 1,153898 Portanto, o montante ser igual a: M = 1.000 . 1,153898 M = 1.153,89 Conveno Linear e Conveno Exponencial Muitas vezes, em determinadas operaes financeiras, o nmero de perodos calculados no se encaixa dentro do prazo, vindo a produzir nmero no inteiro de perodos. o caso, por exemplo, de uma aplicao com capitalizao anual, mas efetuada pelo prazo de 1 ano e 9 meses. Em situaes como esta, devemos calcular o montante para parte inteira de perodos (1 ano) utilizando juros compostos e em seguida calcular, a partir desse montante, o montante final para a frao de perodo restante (9/12 de ano). A partir da, surgem duas

possibilidades de clculo do montante para a frao do perodo: a conveno linear e a conveno exponencial. CONVENO LINEAR: aps calcular o montante composto para a parte inteira do prazo, capitalizamos esse montante, a juros simples, na parte fracionria do prazo, multiplicando-o pelo fator do juros simples (1 + in). No nosso exemplo, considerando uma taxa i, o montante ficaria assim: M = C (1 + i)1 . (1 + i . 9/12) J na CONVENO EXPONENCIAL, aps calcularmos o montante composto para a parte inteira do prazo, capitalizamos esse montante, a juros compostos, pela parte fracionria do prazo, multiplicando-o pelo fator de juros compostos (1 + i)n. No caso do exemplo em pauta, o montante seria assim calculado: M = C(1 + i)1 x (1 + i)9/12 Exerccio resolvido Calcular o montante produzido por um capital igual a 10.000, aplicado a uma taxa de 24% a.a., com capitalizao trimestral, durante 4 anos e 2 meses. Resoluo: C = 10.000 capitalizao trimestral i = 24% a.a. (taxa nominal) => i = 6% a.t. t = 4 anos e 2 meses = 16 trimestres + 2 meses t = 16 trimestres + 2/3 de trimestre Sendo o prazo fracionrio, podemos calcular o montante tanto pela conveno linear como pela conveno exponencial. O enunciado no especificou qual das duas deve ser utilizada. A ttulo de ilustrao efetuaremos o clculo das duas maneiras. Pela conveno linear O montante composto M* relativo parte inteira do prazo ser: M* = 10.000 (1 + 0,06)16 Consultando a tabela ao final deste captulo, descobrimos que (1 + 0,06)16 = 2,540352. Logo, M* = 10.000 . 2,540352 M* = 25.403,52 A partir desse resultado, vamos agora calcular o montante M para o perodo no inteiro, utilizando regime de juros SIMPLES: M = C (1 + in) M = 25.403,52 . (1 + 0,06 . 2/3)

M = 25.403,53 . (1 + 0,04) M = 25.403,53 . (1,04) M = 26.419,66 Pela conveno exponencial M = 10.000 (1 + 0,06)16 + 2/3 M = 10.000 (1 +0,06)16 (1 + 0,06)2/3 M = M* (1 + 0,06)2/3 M = 25.403,52 (1,06)2/3 A dificuldade com que nos defrontamos agora clculo do termo (1,06)2/3, que s pode ser feito com auxlio de uma calculadora (o examinador, portanto, dever fornec-lo na prova). Descobrimos, com a calculadora, que (1,06)2/3 = 1,039610. Decorre que: M = 25.403,52 . 1,039610 M = 26.409,75 Voc deve ter percebido, no exerccio anterior, que a diferena entre os montantes calculados por um e por outro mtodo pequena e que o montante pela conveno linear maior do que montante pela conveno exponencial. Taxas Equivalentes em Juros Compostos Vamos recordar a definio de taxas equivalentes, fornecida anteriormente: Duas taxas so ditas EQUIVALENTES quando, referidas a perodos distantes e aplicadas sobre o mesmo capital , no mesmo prazo, produzem montantes iguais. Traduzindo: duas taxas so equivalentes se, no mesmo prazo, tanto faz aplicar uma ou outra sobre o capital. No regime de JUROS SIMPLES, as taxas equivalentes so tambm PROPORCIONAIS. Por exemplo: a juros simples, tanto faz eu aplicar R$ 100,00 taxa de 2% ao ms durante 1 ano ou aplicar R$ 100,00 taxa (proporcional anterior) de 24% ao ano durante 1 ano. Tanto num caso como no outro eu vou ganhar a mesma coisa: No regime de JUROS COMPOSTOS, todavia, as taxas equivalentes no so necessariamente proporcionais. Considere a seguinte situao: um indivduo aplicou R$ 100,00 durante 1 ano, a uma taxa de 2% a.m., com capitalizao mensal. Vamos calcular o montante produzido no final do prazo. C = 100 capitalizao mensal i = 2% a.m. = 0,02 t = 1 ano = 12 meses => n = 12

M = C (1 + i)n M = 100 (1 + 0,02)12 M = 100 . 1,268242 M = 126,82 Voc percebeu que o capital, de 100 passou para um montante de 126,82? Houve, portanto, um aumento de 26,82%. Se tivssemos utilizado uma taxa de 26,82% a.a., capitalizada ANUALMENTE, o montante seria de: M = C (1 + i)n M = 100 (1 + 0,2682)1 M = 100 . 1,2682 M = 126,82 Uma vez que os montantes so iguais, podemos concluir que a taxa de 2% ao ms EQUIVALENTE, em juros compostos, taxa de 26,82% ao ano. O mais importante notarmos que: (1 + 0,02)12 = (1 + 0,2682)1 Ou seja: Duas taxas so equivalentes quando os seus fatores de capitalizao forem iguais ao mesmo prazo. Esta a grande dica na resoluo de problemas envolvendo taxas equivalentes. Quando se defrontar com um problema sobre taxas equivalentes, voc impor que os fatores de capitalizao sejam iguais. E isto vale tanto para o regime de capitalizao simples como para o regime de capitalizao composta. De fato, sabemos que, tanto para juros simples como juros compostos, o montante (M) dado pelo produto do capital (C) pelo fator de capitalizao respectivo (an). Considere, ento, duas taxas i1 e i2, aplicadas sobre o mesmo capital C, durante o mesmo prazo t, produzindo os montantes M1 e M2. Sejam an,1 e an,2 os respectivos fatores da acumulao de capital. Se i1 e i2 forem EQUIVALENTES, teremos que: M1 = M 2 C . an,1 = C . an,2 an,1 = an,2 Ou seja, os fatores de acumulao de capital an,1 e an,2 devero ser iguais. Ns poderamos ter fornecido a voc uma frmula para estabelecer diretamente a equivalncia entre uma taxa e outra. No fizemos isso porque perfeitamente possvel resolver os problemas de equivalncia igualando os

fatores de acumulao, e no queremos que voc fique com mais uma frmula ocupando a sua cabea. Exrcicios resolvidos Calcular a taxa anual equivalente a uma taxa de 3% a.m. capitalizada mensalmente. Resoluo: Se as taxas so equivalentes, seus fatores devem ser iguais no prazo de 1 ano. Segue que: (1 + ianual)1 = (1 + 0,03)12 O expoente do fator da taxa de 3% igual a 12 porque, em 1 ano, ocorrem 12 capitalizaes mensais (a taxa mensal). J o expoente da taxa ianual igual a 1 porque, se a taxa anual, em 1 ano ocorre apenas uma capitalizao. (1 + ianual) = 1,425760 ianual = 1,425760 1 ianual = 0,425760 ianual = 42,57% a.a. Portanto a taxa de 3% a.m., capitalizada mensalmente, equivalente taxa de 42,57% a.a., capitalizada anualmente. Em vez da taxa efetiva de 3% a.m., o problema poderia ter fornecido uma taxa nominal de 36% a.a. com capitalizao mensal. Resolveramos do mesmo jeito, pois a taxa nominal de 36% a.a. corresponde taxa efetiva de 3% a.m. (basta usar o conceito de taxas proporcionais). Nesse exemplo, podemos tambm dizer que uma taxa nominal de 36% a.a. produz uma TAXA EFETIVA de 42,57% a.a. A TAXA EFETIVA a taxa verdadeiramente paga em uma aplicao. Calcular a taxa efetiva anual de uma taxa nominal de 40% a.a. com capitalizao trimestral. Resoluo: Iea = taxa efetiva anual = ? capitalizao trimestral in = 40% a.a. (taxa nominal) => ief (taxa efetiva trimestral) = 10% a.t. = 0,10 a.t. t = 1 ano = 4 trimestres (1 + iea)1 = (1 + 0,10)4 1 + iea = 1,4641 iea = 0,4641 iea = 46,41% a.a.

Considerando-se regime de juros compostos, qual a taxa mensal capitalizada mensalmente equivalente a uma taxa de 34% a.s.? Resoluo: Queremos uma taxa mensal im que, em 6 meses, produza uma taxa de 34%. Em 6 meses a taxa mensal ter 6 capitalizaes e a taxa semestral, 1 capitalizao. 34% a.s. = 0,34 a.s. (1 + im)6 = (1 + 0,34) (1 + im)6 = 1,34 Normalmente voc deveria extrair a raiz sexta de 1,34 e isolar o im. Se o examinador fornecer a raiz sexta de 1,34, que 1,04998, o clculo torna-se fcil: 1 + im = 1,04998 im = 1,04998 1 = 0,04998 = 4,99% => 5% Embora pouco provvel, pode ser que, ao invs de fornecer a raiz sexta 1,34, ele d os seguintes dados pra voc: log 1,34 = 0,12710479 100,02118413 = 1,04998 Este tipo de dado sugere que devemos aplicar logaritmo nos dois lados da equao anterior, para calcular o valor da taxa mensal. Ficaria assim: log (1 + im)6 = log 1,34 6 . log (1 + im) = log 1,34 log (1 + im) = log 1,34/6 log (1 + im) = 0,12710479/6 = 0,02118413 (1 + im) = 100,02118413 1 + im = 1,04998 im = 0,04998 = 4,9998% = 5% Se na prova no for fornecida tabela de logaritmo e nem for permitido o uso de mquina de calcular (e isto o que tem ocorrido mais frequentemente), a alternativa ser entrar na tabela financeira determinando qual a taxa, para n = 6, que produziria um fator de acumulao igual 1,34. simples. Basta seguir com os olhos a linha n = 6 e localizar a clula que contm o valor mais prximo possvel de 1,34. Se voc procurar, vai encontrar uma clula com o valor 1,340096, cuja taxa correspondente de 5%. Portanto, im = 5% a.m. evidente que, neste caso, o examinador tem que dar uma mozinha, fornecendo um fator fcil de procurar na tabela, seno fica invivel a resoluo da expresso acima. Equivalncia de Capitais no Regime de Juros Simples

Introduo A equivalncia de capitais uma das ferramentas mais poderosas da matemtica financeira e tem sido constantemente pedida nas provas de concursos pblicos. Antes de iniciarmos o seu estudo, entretanto, chamamos sua ateno para o que foi visto nos captulos 2 e 3 desta apostila. No captulo 2, aprendemos a calcular o MONTANTE, em uma DATA FATURA, de um capital que se encontrava na data presente.No captulo 3, relativo a descontos, aprendemos a calcular o VALOR ATUAL, em uma DATA PRESENTE, de um valor nominal que se encontrava em uma data futura. Gostaramos que voc notasse que, ao calcular o montante, estvamos movendo o capital inicial a favor do eixo dos tempos ou CAPITALIZANDO-O, enquanto que, ao calcularmos o valor atual, estvamos movendo o valor nominal (que tambm um capital) contra o eixo dos tempos ou DESCAPITALIZANDO-O, conforme se encontra ilustrado nos esquemas a seguir. Conceito de Equivalncia Dois ou mais capitais que se encontram em datas diferentes, so chamados de EQUIVALENTES quando, levados para uma mesma data, nas mesmas condies, apresentam o mesmo VALOR nessa data. Para voc entender melhor esse conceito, vamos lhe propor um problema. Vamos fazer de conta que voc ganhou um prmio em dinheiro no valor de R$ 100,00, que se encontra aplicado, em um banco, taxa de juros simples de 10% a.m. O banco lhe oferece trs opes para retirar o dinheiro: 1a) voc retira R$ 100,00 hoje; 2a) voc deixa o dinheiro aplicado e retira R$ 140,00 dentro de 4 meses; 3a) voc deixa o dinheiro aplicado e retira R$ 190,00 em 9 meses. Qual delas a mais vantajosa para voc? Para sabermos a resposta, precisamos encontrar um jeito de comparar os capitais R$ 100,00, R$ 140,00, e R$ 190,00, que se encontram em datas diferentes. Vamos determinar, ento, o valor dos trs capitais numa mesma data ou seja, vamos atualizar os seus valores. Escolheremos a data de hoje. A DATA COMUM, tambm chamada de DATA DE COMPARAO ou DATA FOCAL, portanto, vai ser hoje (= data zero). O capital da primeira opo (R$ 100,00) j se encontra na data de hoje; portanto, j se encontra atualizado. Calculemos, pois, os valores atuais Va1 e Va2 dos capitais futuros R$ 140,00 e R$ 190,00 na data de hoje (data zero). Esquematizando, a situao seria esta:

Podemos fazer este clculo usando desconto comercial simples ou desconto racional simples. Vamos, arbitrariamente, escolher a frmula do valor atual racional simples: Vars = N/1 + in Vars1 = 140,00/(1 + 0,10 . 4) = 100,00 Vars2 = 190,00/(1 + 0,10 . 9) = 100,00 Verificamos que os trs capitais tm valores atuais idnticos na data focal considerada (data zero). Podemos, portanto, dizer que eles so EQUIVALENTES: tanto faz receber R$ 100,00 hoje, ou R$ 140,00 daqui a 4 meses ou R$ 190,00 daqui a nove meses, se a taxa de juros for de 10% ao ms e o desconto racional simples. Vejamos o que acontece se utlizarmos o critrio do desconto comercial, em vez do desconto racional, para calcular os valores atuais dos capitais R$ 140,00 e R$ 190,00: Vacs = N (1 in) Vacs1 = 140 ( 1 0,10 . 4) = 140 (0,6) = 84 Vacd2 = 190 (1 0,10 . 9) = 190 (0,1) = 19 Mudando-se a modalidade de desconto, portanto, os trs capitais deixam de ser equivalentes. E se mudarmos a data de comparao, ou data focal, para o ms 2, por exemplo, continuando a utilizar o desconto racional simples? Acontecer o seguinte:

O capital R$ 140,00, resgatvel na data 4, ser antecipado de 2 meses, ficando com o seguinte valor atual racional simples: Vars1 = 140,00/(1 + 0,10 . 2) = 116,67 O capital R$ 190,00, resgatvel na data 9, ser antecipado de 7 meses, ficando com o seguinte valor atual racional simples: Vars2 = 190,00/(1 + 0,10 . 7) = 111,76 Ao capital R$ 100,00 (resgatvel na data zero) acrescentar-se-o dois meses de juros, conforme segue: Vars3 = C (1 + in) = 100 (1 + 0,10 . 2) = 120

No ms dois, portanto, temos que os capitais nominais R$ 140,00; R$ 190,00 e R$ 100,00 estaro valendo, respectivamente, R$ 116,67; R$ 111,76 e R$ 120,00. Na data focal 2, portanto, eles no sero mais equivalentes. No regime de capitalizao SIMPLES a equivalncia ocorre em apenas uma nica data, para uma determinada taxa e modalidade de desconto. Ao mudarmos a DATA FOCAL, capitais que antes eram equivalentes podem deixar s-lo. bom voc saber desde j que, no regime de capitalizao COMPOSTA, isto no acontece: na capitalizao composta, para a mesma

taxa, capitais equivalentes para uma determinada data o so para qualquer outra data. Podemos ento concluir que: Para juros simples, a equivalncia entre dois ou mais capitais somente se verifica para uma determinada taxa, para uma determinada data focal e para uma determinada modalidade de desconto. Podemos, agora, definir equivalncia de dois capitais de uma mesma maneira mais rigorosa da seguinte forma: Dois capitais C1 e C2, localizados nas datas n1 e n2, medidas a partir da mesma origem, so ditos equivalentes com relao a uma data focal F, quando os seus respectivos valores atuais, Va1 e Va2 , calculados para uma determinada taxa de juros e modalidade de desconto nessa data focal F, forem iguais. A equivalncia de capitais bastante utilizada na renegociao de dvidas, quando h necessidade de substituir um conjunto de ttulos por um outro conjunto, equivalente ao original (isto porque o conceito de equivalncia aplicado no s para dois capitais, mas tambm para grupos de capitais). s vezes um cliente faz um emprstimo num banco e se compromete e quit-lo segundo um determinado plano de pagamento. Todavia, devido a contigncias nos seus negcios, ele percebe que no ter dinheiro em caixa para pagar as parcelas do financiamento nas datas convencionadas. Ento, prope ao gerente do banco um outro esquema de pagamento, alterando as datas de pagamento e os respectivos valores nominais de forma que consiga honr-los, mas de tal sorte que o novo esquema seja EQUIVALENTE ao plano original. No clculo do novo esquema de pagamento, a visualizao do problema fica bastante facilitada com a construo de um diagrama de fluxo de caixa no qual representa-se a dvida original na parte superior, e a proposta alternativa de pagamento na parte de baixo, conforme se v nos problemas a seguir. Exerccios resolvidos 1. No refinamento de uma dvida, dois ttulos, um para 6 meses e outro 12 meses, de R$ 2.000,00 e de R$ 3.000,00, respectivamente, foram substitudos por dois outros, sendo o primeiro de R$ 1.000,00, para 9 meses, e o segundo para 18 meses. A taxa de desconto comercial simples de 18% a.a. O valor do ttulo de 18 meses, em R$, igual a: Resoluo: Inicialmente, vamos construir um diagrama de fluxo de caixa utilizando os dados do problema: A taxa de juros anual. Entretanto, como os prazos de pagamento esto expressos em meses, vamos tranform-la em mensal:

i = 18% a.a. = 1,5% a.m. = 0,015 a.m. A modalidade de desconto o comercial simples, mas o problema no mencionou qual a data focal a ser considerada. Em casos como este, presumimos que a data focal seja a data zero. Vamos, ento, calcular o total da dvida na data zero para cada um dos planos de pagamento, e igualar os resultados, pois os dois esquemas devem ser equivalentes para que se possa substituir um pelo outro. Alm disso, para transportarmos os capitais para a data zero, utilizaremos a frmula do valor atual do desconto comercial simples: Vacs = N (1 in). Obteremos a seguinte equao: 2.000 (1 0,015 . 6) + 3.000 (1 0,015 .12) = 1.000 (1 0,015 . 9) + x (1 0,015 . 18) (total da dvida conforme o plano ALTERNATIVO ORIGINAL de pagamento, atualizado para a data zero). (total da dvida conforme o plano proposto, atualizado para a data zero).

Calculando o contedo dos parnteses, temos: 2.000 (0,91) + 3.000 (0,82) = 1.000 (0,865) + x (0,73) 1.820 + 2.460 = 865 + 0,73x 0,73x = 1.820 + 2.460 865 x = 3.415/0,73 = 4.678,08 Observe que a data focal era anterior data de vencimento de todos os capitais. Assim, calculamos o valor descontado (valor atual) de cada um deles, para traz-los data local. Efetuamos um desconto (comercial, no caso) ou uma descapitalizao (desincorporao dos juros), porque estvamos transportando os valores para uma data passada. Mas se a data focal tivesse sido outra, por exemplo, a data 9 (vide esquema), e no a data zero, o capital de R$ 2.000,00, que vencia na data 6, teria que sofrer uma capitalizao (incorporao de juros) para ser transportado para a data 9 (data futura em relao data 6). A atualizao do valor desse capital para a data 9, ento, farse-ia com a utilizao da frmula do montante M = C (1 + in), e no com a frmula do valor descontado (valor atual). Concluso:

para transportarmos um capital para uma data posterior original, devemos CAPITLIZ-LO; para tranportarmos um capital para uma data anterior original, devemos DESCAPITALIZ-LO.

2. O pagamento do seguro de um carro, conforme contrato, deve ser feito em 3 parcelas quadrimestrais de R$ 500,00. O segurador, para facilitar ao seu cliente, prope-lhe o pagamento em 4 parcelas trimestrais iguais. Utilizando-se a data focal zero, a taxa de juros de 24% a.a. e o critrio de desconto racional simples, o valor das parcelas trimestrais ser, em R$:

Resoluo: Fazendo o diagrama dos pagamentos, temos: i = 24% a.a. = 2% a.m. = 0,02 a.m. Uma vez que o critrio de desconto racional simples, ao transportarmos os valores para a data zero, teremos que utilizar a frmula do valor atual racional simples Vars = N/1 + in . Podemos escrever, ento, que: Total da divida conforme o plano ORIGINAL de pagamento, atualizado racionalmente para a data zero 500/1 + 0,02 . 4 + 500/1 + 0,02 . 8 + 500/1 + 0,02 . 12 = x/1 + 0,02 . 3 + x/1 + 0,02 . 6 + x/1 + 0,02 . 9 + x/1 + 0,02 . 12 Total da dvida conforme o plano ALTERNATIVO proposto, atualizado racionalmente para a data zero 500/1,08 + 500/1,16 + 500/1,24 = x/1,06 + x/1,12 + x/1,18 + x/1,24 1.297,22 = 3,49 . x x = 1.297,22/3,49 x = 371,68 3. A aplicao de R$ 2.000,00 foi feita pelo prazo de 9 meses, contratando-se a taxa de juros de 28% a.a. Alm dessa aplicao, existe outra de valor nominal R$ 7.000,00 com vencimento a 18 meses. Considerando-se a taxa de juros de 18% a.a., o critrio de desconto racional e a data focal 12 meses, a soma das aplicaes , em R$: Resoluo: Inicialmente, precisamos calcular o valor nominal da primeira aplicao. Considerando n = 9 meses = 0,75 anos, temos que: N = C (1 + in) N = 2.000 (1 + 0,28 . 0,75) = 2.000 (1,21) = 2.420 Observando o diagrama de fluxo de caixa, vemos que, para serem transportados data doze, o ttulo de 2.420 ter que ser capitalizado de trs meses, ao passo que o ttulo de 7.000 ter que ser descapitalizado de 6 meses. Alm disso, a taxa de 18% a.a., considerando-se capitalizao simples, equivalente a 1,5% a.m. = 0,015 a.m. Desta forma, podemos escrever que: 2.420 (1 + 0,015 . 3) + 7.000/1 + 0,015 . 6 = x 2.420 (1,045) + 7.000/1,09 = x 2.528,9 + 6.422,02 = x x = 8.950,92

Equao de Valor Em sntese, para que um conjunto de ttulos de valores nominais N1, N2, N3 , exigveis nas datas n1, n2, n3 , seja equivalente a um outro conjunto de ttulos Na , Nb , Nc , exigveis nas datas na , nb , nc , basta impormos que a soma dos respectivos valores atuais Va1 , Va2 , Va3 dos ttulos do primeiro conjunto, calculados na data focal considerada, seja igual soma dos valores atuais Vaa , Vab , Vac dos ttulos do segundo conjunto, calculados para essa mesma data, isto : Va1 + Va2 + Va3 + = Vaa + Vab + Vac + A equao acima chamada de EQUAO DE VALOR. Roteiro para Resoluo de Problemas de Equivalncia Ao comear a resoluo de problemas que envolvem equivalncia de capitais utilize o seguinte roteiro: 1. leia o problema todo; 2. construa, a partir do enunciado do problema, um diagrama de fluxo de caixa esquemtico, colocando na parte de cima o plano original de pagamento e na parte de baixo o plano alternativo proposto, indicando todos os valores envolvidos, as datas respectivas e as incgnitas a serem descobertas esse diagrama importante porque permite visualizar os grupos de capitais equivalentes e estabelecer facilmente a equao de valor para resoluo do problema; 3. observe se os prazos de vencimento dos ttulos e compromissos esto na mesma unidade de medida de tempo periodicidade da taxa; se no estiverem, faa as transformaes necessrias (ou voc expressa a taxa na unidade de tempo do prazo ou expressa o prazo na unidade de tempo da taxa escolha a transformao que torne os clculos mais simples); 4. leve todos os valores para a data escolhida para a negociao (data focal), lembrando sempre que capitais exigveis antes da data focal devero ser capitalizados atravs da frmula do montante M = C (1 + in), dependendo da modalidade de desconto utilizada; 5. tendo transportado todos os capitais para a data focal e com base no diagrama de fluxo de caixa que voc esquematizou, monte a EQUAO DE VALOR, impondo que a soma dos valores dos ttulos (transportados para a data focal) da parte de cima do diagrama de fluxo de caixa seja igual soma dos valores dos ttulos (transportados para a data focal) da parte de baixo do diagrama de fluxo de caixa; 6. resolva a equao de valor;

7. releia a PERGUNTA do problema e verifique se o valor que voc encontrou corresponde ao que o problema est pedindo (s vezes, devido pressa, o candidato se perde nos clculos, encontra um resultado intermedirio e assinala a alternativa que o contm, colocada ali para induzi-lo em erro, quando seria necessrio ainda uma passo a mais para chegar ao resultado final correto). Desconto e Equivalncia Por fim, gostaramos de dar uma dica para ajud-lo a perceber quando um problema de desconto e quando de equivalncia. Em linhas gerais, nos problemas de DESCONTO, algum quer vender papis (duplicatas, promissrias, letras de cmbio, etc.), enquanto que nos problemas de EQUIVALNCIA, algum quer financiar ou refinanciar uma dvida. 2 Comments by MatematicaFinanceira.net on fevereiro 26, 2010 filed in Apostila tagged capitalizacao, descapitalizacao, equivalencia, juros simples, montante, taxas equivalentes Desconto Simples Ttulos de Crdito Antes de iniciarmos o estudo do desconto simples vamos conceituar: NOTA PROMISSRIA, LETRA DE CMBIO e DUPLICATA. Tais instrumentos jurdicos so denominados TTULOS DE CRDITO. De maneira simples podemos dizer que o TTULO DE CRDITO um papel que documenta um compromisso ou uma dvida a ser paga no futuro. Nota promissria um ttulo onde uma pessoa confessa que deve a outra uma certa importncia a ser paga em determinado local, numa determinada data. A pessoa que se confessa devedora chamada de EMITENTE, pois ela quem emite o documento. A pessoa a quem esse documento dirigido (a que deve receber a dvida) chamada de CREDOR ou TOMADOR ou BENEFICIRIO. A data marcada para o pagamento chamada de DATA DE VENCIMENTO e o valor a ser pago na data do vencimento chamado de VALOR NOMINAL do compromisso. O valor nominal sempre o montante do valor que foi emprestado. Por exemplo: voc pediu R$ 5.000 emprestados no banco, para pagar daqui a 6 meses, a uma taxa de 2%a.m., a juros simples. O gerente ento ir calcular qual o montante a ser pago daqui a 6 meses: M = C (1 + in)

M = 5.000 (1 + 0,02 . 6) M = 5.600 Pronto: voc emitir um nota promissria no valor nominal de R$ 5.600. Nela deve constar alm do valor, o nome do emitente com a assinatura (no caso, voc), o nome do benefcirio (no caso, o banco) e a data do vencimento. Letra de cmbio um ttulo pelo qual uma pessoa ordena a outra que pague a um terceiro uma certa quantia em determinada poca. Chama-se SACADOR a pessoa que ordena o pagamento e SACADO a pessoa a quem dirigida essa ordem. BENEFICIRIO ou TOMADOR a pessoa que ir receber o valor grafado na letra de cmbio. Da mesma forma que na nota promissria, o valor grafado na letra de cmbio chamado de VALOR NOMINAL e a data que deve ser resgatada chamda de DATA DE VENCIMENTO. Quanto a letra de cmbio mencionar o nome do beneficirio, ela NOMINATIVA; caso contrrio, ser AO PORTADOR. No Brasil, todavia, ttulos de crdito ao portador no existem mais em razo da proibio imposta pela Lei 8021/90; assim, a letra de cmbio aqui s podera ser nominativa. Para quem no est acostumado s transaes financeiras, parece esquisita uma operao envolvendo trs pessoas (sacado, sacador e beneficirio). A letra de cmbio, porm, foi criada com a finalidade de facilitar o comrcio. Normalmente, ela emitida quando uma pessoa (o sacador) , ao mesmo tempo, credora de outra (o sacado) e devedora de um terceiro (o beneficirio). Por exemplo: Joo me deve R$ 500,00 e eu devo R$ 500,00 para Francisco; ento eu emito uma letra de cmbio ordenado a Joo que pague R$ 500,00 para Francisco, e mato dois coelhos com uma cajadada s: com um nico documento, liquido a dvida de Joo para comigo e liquido a minha dvida com Francisco. Para a letra de cmbio que eu emiti valer, porm, ela dever conter a assinatura de Joo, aceitando pag-la. Na letra de cmbio, portanto, deve constar o ACEITE do sacado, que o reconhecimento do compromisso de atend-la. A letra de cmbio pode ser negociada (transferida) de beneficirio para beneficirio, mediante endosso nominativo. Duplicata um ttulo de crdito que s existe no Brasil, estritamente utilizado em operaes de compra e venda de mercadorias. O comerciante (EMITENTE), ao vender uma mercadoria a prazo, emite uma duplicata na qual consta o nome do cliente devedor (SACADO), o valor nominal e a data de vencimento, alm de outros dados. Aps a emisso da duplicata, o

cliente dever assin-la, isto , dar o seu ACEITE, que garantir ao comerciante o recebimento do valor da venda em questo. A duplicata deve estar associada a uma nota fiscal ou fatura, na qual o vendedor especifica a natureza e a qualidade dos artigos adquiridos pelo comprador, seus respectivos preos, descontos etc., e a importncia lquida a ser paga. A Operao de Desconto Simples Os ttulos descritos acima podem ser negociados pelo seu possuidor antes da data do seu vencimento. Por exemplo, um comerciante, de posse de uma nota promissria ou duplicata no valor de R$ 1.000,00 e que ir vencer daqui a 6 meses, necessitando de dinheiro, pode transferi-la a um banco mediante uma operao denominada DESCONTO. O banco ir comprar este ttulo e se encarregar de cobr-lo de quem se confessa devedor, na data do vencimento. Para o comerciante, como se o pagamento da dvida tivesse sido ANTECIPADO em nome de PRAZO DE ANTECIPAO. O valor pago pelo banco na data do desconto chamado de VALOR ATUAL (Va) ou VALOR DESCONTADO e o seu clculo ser feito a partir do VALOR NOMINAL (N) ou VALOR DE FACE do ttulo. evidente que o valor atual menor do que o valor nominal, pois, teoricamente, deveramos retirar o juro relativo ao prazo de antecipao; iremos chamar esse juro de DESCONTO (D). A diferena entre o VALOR NOMINAL (N) e o DESCONTO (D) igual ao VALOR ATUAL (Va). Va = N D Existem duas convenes para o clculo do desconto simples. D e o valor atual Va , cada uma conduzindo a um resultado diferente: podemos utilizar o conceito de DESCONTO RACIONAL (tambm chamado de DESCONTO POR DENTRO) ou o conceito de DESCONTO COMERCIAL (tambm chamado de DESCONTO POR FORA). Dica: para guardar essas diferentes nomenclaturas, pense no exemplo do livro: a parte racional o seu contedo, ou seja, o que est dentro; a parte comercial, responsvel pela propaganda desse tipo de produto e que induz as pessoas a compr-lo, a sua capa, que est fora. Em suma, racional = dentro; comercial = fora. Desconto Racional ou Por Dentro Observe atentamente o esquema acima, mais simplificado, onde esto representados o valor nominal e o atual na operao de desconto. No DESCONTO RACIONAL simples, o valor atual (Va) corresponde a um capital (C), aplicado a juros simples, pelo prazo de antecipao, e o valor nominal (N) corresponde ao montante (M) produzido por essa aplicao. Vimos que a frmula do montante a juros simples dada por: M = C(1 + in)

Substituindo M por N, e C por Va , obtemos: N = Va (1 + in) Isolando Va , temos: Va = N/1 + in Esta ltima frmula permite calcular o VALOR DESCONTADO racional simples do ttulo (Va) a partir do seu VALOR DE FACE (N), da taxa de desconto (i) e do nmero de perodos de antecipao (n). E para calcular o desconto racional simples, basta fazer D = N Va. Vejamos um exemplo concreto. Possuo uma nota promissria com o valor nominal de R$ 440,00 que vai vencer dentro de dois meses, mas preciso de dinheiro agora e por isso resolvo descont-la. Vou at um banco para que ele me antecipe o pagamento dessa nota promissria. O valor pago pelo banco ser igual ao valor atual do documento e poder ser calculado utilizando-se a frmula acima. Suponhamos que a taxa de juros adotada pelo banco seja de 5% a.m., temos ento que: N = 440 i = 5% a.m. n = 2 meses Aplicando-se a frmula do valor atual, temos: Va = 440/1 + 0,05 . 2 = 440/1,10 = 400 Concluso: receberei do banco a quantia de R$ 400,00 pela venda de um ttulo de valor nominal igual a R$ 440,00, resgatvel somente daqui a 2 meses. Na realidade, ao efetuar o desconto racional simples, o que o banco est fazendo me emprestar R$ 400,00 durante 2 meses a uma taxa de juros simples de 5% ao ms. Para demonstrar isto, vamos considerar um capital de R$ 400,00 aplicado durante 2 meses a uma taxa de juros simples de 5% a.m. Pela frmula do montante, teramos que: M = C(1 + in) M = 400 (1 + 0,05 . 2) M = 400 (1,1) M = 440

Veja que, embora o valor nominal da nota promissria fosse de R$ 440,00, eu s consegui vend-la ao banco por R$ 400,00. Este o VALOR ATUAL da nota promissria (Va), o quanto ela vale HOJE. Da mesma forma, o valor nominal (N) de R$ 440,00 que somente verificar-se- daqui a dois meses, pode ser designado como sendo seu VALOR FUTURO. A diferena entre o valor atual e o valor futuro (ou valor nominal) da nota promissria o DESCONTO (D) efetuado pelo banco: R$ 40,00. E a taxa de juros utilizado para o clculo chamada de TAXA DE DESCONTO (i). Em suma, em termos de frmulas, o clculo do desconto racional feito como segue (para indicar que o critrio do clculo do desconto racional simples, vamos utilizar os subndices rs). Sendo N = Vars (1 + in), decorre que Vars = N/1 +in onde

Vars o valor atual racional simples N o valor nominal do ttulo de crdito i a taxa de desconto n o nmero de perodos antecipados

E para calcularmos o desconto racional simples (Drs) basta utilizar a frmula geral do desconto: Drs = N Vars Exerccio resolvido 1. Considere um ttulo com valor nominal de R$ 1,000, com prazo de vencimento para daqui a 6 meses. Supondo uma taxa de desconto de 5% a.m., qual seria o valor atual racional simples? Qual o valor do desconto respectivo? Resoluo: N = R$ 1.000 n = 6 meses i = 5% a.m. Vars = ? Vars = N/1 + in = 1000/1 + 0,05 . 6 = 1000/1,3 Vars = 769,23 Drs = N Vars = 1.000 769,23 Drs = 230,77

Verifique que se aplicarmos um capital igual a R$ 769,23 durante 6 meses, a uma taxa de juros simples igual a 5% a.m., o montante ao final dos 6 meses ser igual a R$ 1.000,00 Desconto Comercial ou Por Fora O desconto comercial tem estrutura de clculo mais simples do que a do desconto racional, sendo amplamente adotado no Brasil, sobretudo em operaes de crdito bancrio a curto prazo. No tpico anterior, quando utilizamos o desconto racional simples, primeiro calculamos o valor atual e depois o desconto. No caso do DESCONTO COMERCIAL SIMPLES (Dcs) devemos calcular, primeiramente, o desconto, e depois o valor atual. O desconto comercial simples nada mais do que os juros que seriam produzidos pelo valor nominal se ele fosse aplicado pelo prazo de antecipao, taxa do desconto dada. Sendo assim: Dcs = N . i . n Como dissemos anteriormente e como voc pode constatar pela frmula acima, o desconto comercial incide sobre o valor nominal do ttulo. Em cima desse falor aplicamos a taxa desconto e multiplicamos pelo nmero de perodos do prazo de antecipao. Para calcular o VALOR ATUAL COMERCIAL SIMPLES (Vacs), s utilizar a frmula geral do desconto: D = Va N Dcs = Vacs N Vacs = N Dcs Substituindo, na equao acima, Dcs por N. i . n, temos: Vacs = N N . i . n No lado direito da igualdade aparece o fator comum N, que pode ser colocado em evidncia, fornecendo a frmula para o clculo direto do valor atual comercial simples: Vacs = N(1 in) Utilizando o desconto comercial simples, vamos analisar como ficaria o desconto da nota promissria de R$ 440,00 mencionada anteriormente. O prazo de antecipao era de 2 meses e a taxa de desconto, 5% ao ms. Teramos ento que:

Dcs = Nin Dcs = 440 . 0,05 . 2 Dcs = 44 Vacs = N Dcs = 440 44 = 396 ou utilizando a frmula que nos fornece diretamente o valor atual: Vacs = N(1 in) Vacs = 440(1 0,05 . 2) = 440 . 0,90 = 396 Vimos anteriormente que pelo critrio de desconto racional simples eu receberia, pela nota promissria entregue ao banco, o valor de R$ 400,00 correspondente a um desconto de R$ 40,00; agora, pelo critrio de desconto comercial simples, recebo R$ 396,00, correspondente a um desconto de R$ 44,00. Podemos perceber, ento, que Para a mesma taxa e mesmo prazo de antecipao, o desconto comercial maior que o desconto racional. Exerccios resolvidos 2. Para pagamento vista de um ttulo que vence em 90 dias, um banco oferece 10% de desconto no seu valor nominal. A taxa de desconto racional simples mensal adotada pelo banco foi de aproximadamente: Resoluo: Considerando desconto racional temos que: n = 3 meses Drs = 10% de N = 0,10N Como Vars = N Drs , temos que Vars = N 0,10N = 0,90N Mas Vars = N/1 + in N/1 + in = 0,90N 1/1 + i . 3 = 0,90 1 = 0,90 (1 + i . 3) 1 = 0,90 + 2,7i i = 0,10/2,7 = 0,03703 i = 3,70%

3. Uma pessoa tomou emprestados R$ 10.000,00 mediante assinatura de promissria a pagar aps um ano, tendo sido contratada uma taxa de juros simples de 25% a.a. Quatro meses antes do vencimento, o devedor resolveu resgatar o ttulo, contanto que fosse efetuado desconto comercial simples taxa ento vigente no mercado de 28% a.a. O valor lquido que o devedor se prope a pagar, em R$, seria de: Resoluo: Inicialmente, precisamos calcular o valor nominal (N) da nota promissria. Esse valor o montante que resultaria de R$ 10.000,00 aplicados a 25% a.a. durante 1 ano. Assim, M=? C = 10.000 i = 25% a.a. n = 1 ano M = C(1 + in) M = 10.000 (1 + 0,25 . 1) M = 10.000 (1,25) M = 12.500 O valor nominal ou valor de face (N) da nota promissria, portanto, R$ 12.500,00. Vamos calcular o desconto comercial considerando a taxa de desconto de 28% a.a. Sendo a taxa de desconto anual, precisaremos expressar a antecipao de 4 meses em anos: 4 meses = 1/3 de ano. Segue que n = 1/3. Uma vez que o desconto comercial, ele ser calculado sobre o valor nominal: Dcs = N. i .n Dcs = 12.500 . 0,28 . 1/3 Dcs = 1.166,66 Vacs = N Dcs Vacs = 12.500 1.166,66 Vacs = 11.333,34 Desconto Bancrio o DESCONTO COMERCIAL acrescido de uma TAXA DE DESPESAS BANCRIAS, aplicada sobre o valor nominal. A taxa de despesas bancrias est relacionada com a as despesas administrativas do banco, necessrias para efetuar a operao (papel, funcionrio, energia eltrica, telefone, correio etc.) Iremos chamar de h a taxa de despesas bancrias. Sendo assim, o desconto bancrio ficar: Db = Nin + Nh

Colocando N em evidncia, temos: Db = N (in + h) Relaes Entre o Desconto Racional e o Desconto Comercial Conforme vimos anteriormente, o desconto comercial simples (Dcs) igual aos juros produzidos pelo valor nominal (N). J o desconto racional simples (Drs) igual aos juros produzidos pelo valor atual racional simples (Vars). Decorre que para uma mesma taxa de desconto e mesmo prazo de antecipao o desconto comercial maior que o desconto racional, pois a base de clculo do primeiro (valor nominal) maior que a base de clculo do segundo (valor atual). Podemos demonstrar as relaes acima matematicamente. No desconto racional simples, ns vimos que: Vars = N/(1 + in) e que Drs = N Vars (I) (II)

Vamos substituir (I) em (II): Drs = N N/(1 + in) Colocando tudo sobre sobre o mesmo denominador: Drs = N + Nin N/(1 + in) Desenvolvendo, fica: Drs = Nin/(1 + in) = Dcs/(1 + in) Decorre que: Dcs = Drs (1 + in) Vamos que o desconto comercial simples nada mais do que o desconto racional simples multiplicado pelo fator de acumulao de capital. Em outras palavras, poderamos dizer que o desconto comercial seria o montante originado de um capital igual ao desconto racional, aplicado no perodo e taxa de desconto dados. Voltemos formula Dcs = Drs (1 + in). Aplicando a propriedade distributiva, teremos: Dcs = Drs + Drs in

Passando o termo Drs para o lado esquerdo do sinal de igual, chegaremos ao seguinte resultado: Dcs Drs = Drs in Vemos ento que a diferena entre os descontos comercial e racional igual ao juro simples do desconto racional. Exerccio resolvido (FTE/91) A diferena entre o desconto comercial e o racional de um ttulo emitido a 150 dias de prazo, taxa de desconto de 2% a.m., de $ 1.200,00. Calcular o valor nominal do ttulo. Resoluo: Temos que: Dcs Drs = 1.200 n = 5 meses i = 2% a.m. N=? Dcs Drs = Drsin 1.200 = Drs . 0,02 .5 Drs = 1.200 / 0,1 = 12.000 Dcs Drs = 1.200 Dcs = 1.200 + 12.000 Dcs = 13.200 Mas Dcs = 13.200 = N.i.n N . 0,02 . 5 = 13.200 N = 13.200 / 0,1 = 132.000 N = $ 132.00,00 Taxa Efetiva de Desconto TAXA EFETIVA (ief) de desconto a taxa de juros que, aplicada sobre o valor descontado do ttulo, produz montante igual ao seu valor nominal. Com relao definio acima, cabem duas observaes: 1. a definio de taxa efetiva coincide com a de taxa de desconto racional; portanto, quando estivermos trabalhando com DESCONTO RACIONAL , a taxa efetiva (ief) ser a prpria taxa de desconto racional (ir); 2. quando estivermos trabalhando com DESCONTO COMERCIAL, a taxa efetiva (ief) ser MAIOR do que a taxa de desconto comercial (ic); no caso, corresponder taxa de juros que, aplicada sobre o valor atual COMERCIAL simples, produz, no final do prazo de antecipao, montante de valor idntico ao valor nominal do ttulo.

Exerccio resolvido Uma duplicata de valor nominal R$ 1.000, com vencimento para daqui a 4 meses, foi descontada taxa de desconto comercial simples de 5% a.m. Determine o valor da taxa efetiva de desconto. Resoluo: Dados: N = 1.000 ic = 5% a.m. = 0,05 a.m. n=4 Inicialmente calcularemos o valor atual comercial simples da duplicata (Vacs): Vacs = N(1 ic . n) (Equao I) Vacs = 1.000 (1 0,05 . 4) Vacs = 1.000 (0,08) Vacs = 800 Capitalizando-se esse valor durante 4 meses, taxa efetiva ief que queremos calcular, deveremos obter como montante o valor nominal R$ 1.000. Partindo da frmula do montante simples, temos: M = C(1 + in) A expresso acima, transcrita nos termos do problema proposto, fica assim: N = Vacs (1 + in) (Equao II) Substituindo as letras dessa frmula pelos valores numricos do problema, obtemos: 1.000 = 800 (1 + ief . 4) 1.000/800 = 1 + ief . 4 1,25 = 1 + ief . 4 0,25 = ief . 4 Ief = 0,25/4 = 0,0625 = 6,25% a.m. Concluso: para uma taxa de desconto comercial simples igual a 5% a.m., a taxa efetiva de desconto de 6,25% a.m. Se, em vez de desconto comercial, utilizssemos desconto racional, a taxa efetiva seria a prpria taxa de desconto.

Existe uam frmula que nos fornece a relao entre a taxa de desconto comercial e a taxa efetiva. Para chegar a ela, basta conjugar as equaes I e II marcadas no exerccio resolvido acima, desenvolver a equao resultante, simplific-la e isolar a incgnita ief. Voc obter a seguinte expresso: ief = ic/1 ic . n Na frmula acima, ief = taxa de desconto efetiva; ic = taxa de desconto comercial; n = nmero de perodos de antecipao. Observe que, na frmula dada, no aparece N. Assim, para calcular o valor da taxa efetiva de desconto de um ttulo, no necessrio saber o seu valor nominal. Basta saber a taxa de desconto comercial e o nmero de perodos de antecipao. Exerccio resolvido Uma duplicata com vencimento para daqui a 4 meses, foi descontada taxa de desconto comercial de 5% a.m. Determine o valor de taxa efetiva de desconto. Resoluo: ic = 5% a.m. = 0,05 a.m. n = 4m. ief = ? ief = ic/1 ic. n = 0,05/1 0,05 . 4 = 0,0625 = 6,25% a.m. O resultado obtido idntico ao do problema anterior porque, na realidade o mesmo problema. A nica diferena que, neste ltimo, no foi fornecido o valor nominal do ttulo, dado irrelevante para o clculo da taxa efetiva de desconto. Juros Simples Clculo de Juros Simples Para chegarmos frmula de juros simples, vamos partir de um exemplo concreto. Suponha que voc tenha aplicado o capital inicial 600 (vamos ignorar a unidade monetria para simplificar), taxa de juros 5% a.m., durante o prazo de 1 ano. Quanto receber de juro no resgate de aplicao? fcil: se a taxa de juros de 5% a.m. e o regime de capitalizao de juros simples, significa que por ms voc receber 5% do capital inicial a ttulo de juros (lembre-se: o que caracteriza o regime de juros simples fato de o juro ser sempre calculado sobre o capital inicial). Logo, em cada ms voc receber

5% de 600, que igual a 5/100 vezes 600, que igual a 3.000/100, que, por sua vez, igual a 30. Se em um ms voc ganha 30 de juro, quanto ganhar em um ano? Como um ano tem doze meses, voc ganhar doze vezes mais, ou seja: 12 x 30 = 360. No restante da aplicao, voc ficar com um montante de 960 (600 de capital inicial mais 360 de juro). Vamos fazer uma retrospectiva dos clculos realizados. Como que voc fez para calcular os juros? Inicialmente voc pegou a taxa de juros (i) e multiplicou pelo capital (C); em seguida, multiplicou esse resultado pelo nmero de perodos mensais contidos no prazo anual (n). Ora: essa a formula de juros simples para calcular juros simples basta multiplicar a taxa de juros i pelo capital C e pelo nmero de perodos n contidos no prazo de aplicao. Em linguagem algbrica, escrevemos que: J=C.i.n Esta frmula importantssima. Trate de memriz-la. Vejamos agora como que calculamos o montante: pegamos o capital inicial e somamos com o juro, isto : M=C+J Uma vez que J = C.i.n, podemos escrever que M = C + C.i.n Observe que no lado direito do sinal de igual h um fator comum, a varivel C, que pode ser colocada em evidncia, ficando a frmula com o seguinte aspecto: M = C ( 1 + in) Eis outra frmula importante que voc ter que memorizar: ela ensina a calcular diretamente o montante no regime de juros simples. O fator (1 + in) chamado de FATOR DE ACUMULAO DE CAPITAL para juros simples (tambm guarde isto). Para calcular o montante a juros simples, basta multiplicar o capital C pelo fator de acumulao de capital (1 + in). A ttulo de curiosidade, podemos adiantar que tambm existe o fator de acumulao de capital para juros compostos, com uma estrutura parecida com a do fator dos juros simples: (1 + i)n. A diferena, no caso, que o n um

expoente. Mas para calcular o montante a juros compostos procedemos da mesma maneira: multiplicamos o capital pelo respectivo fator de acumulao. Assim, no caso de juros compostos, a frmula do montante M = C (1 + i)n. comum colocarmos um ndice n nos juros e no montante para indicarmos que aqueles juros e aquele montante esto sendo calculados at o ensimo perodo. Assim, podemos indicar as frmulas anteriormente apresentadas com a seguinte notao: Jn = C.i.n Mn = C ( 1 + in) Gostaramos de chamar sua ateno para outro ponto importante: voc percebeu que na hora em que calcularmos o juro total que a aplicao rendeu precisamos converter o prazo de 1 ano em doze meses? Fizemos isto porque a periodicidade da tava era mensal e o prazo era anual. Sempre que o prazo de aplicao for fornecido numa unidade de medida de tempo diferente da periodicidade da taxa de juros, voc ter que convert-lo para a mesma unidade , pois a letra n, nas frmulas acima, representa o prazo de aplicao quando medido com a mesma unidade de medida de tempo da taxa de juros. Em outras palavras, n o numero de perodos da taxa de juros contidos no prazo de aplicao. Mais uma observao importante: no regime de capitalizao a juros simples, os juros so incorporados ao capital somente no final do prazo de aplicao e no no final de cada perodo. Exerccios resolvidos 1. Calcular o montante produzido por um capital de 6.ooo, aplicado a uma taxa de juros de 8% a.a, pelo prazo de 2 anos. Resoluo: Temos que: M=? C = 6.000 i = 8% a.a. = 0,08 a.a. t (prazo) = 2 anos No exemplo apresentado, a unidade de tempo adotada para medir a periocidade da taxa de juros j igual do prazo t. Ento podemos escrever diretamente que n = 2. J=Cin J = 6.000 . 0,08 . 2 J = 960 M=C+J

M = 6.000 + 960 M = 6.960 Poderamos calcular o montante diretamente utilizando a frmula: M = C (1 + in). O resultado o mesmo: M = 6.000 (1 + 0,08 . 2) M = 6.000 . 1,16 M = 6.960 2. Calcular o montante produzido por um capital igual a 10.000 durante 3 anos, considerando o regime de juros simples a uma taxa de 5% a.t. Resoluo: Verifique que o prazo anual e a taxa trimestral. Para que possamos calcular os juros necessrio que adotemos a mesma unidade de tempo para a taxa de juros e para o prazo. Iremos converter o prazo, portanto, em trimestres. M=? C = 10.000 t = 3 anos = 12 trimestres (pois cada ano tem 4 trimestres) = n = 12 i = 5% a.t. = 0,05 a.t. M = C (1 + in) M = 10.000 (1 + 0,05 . 12) = 10.000 (1 + 0,6) M = 16.000 Existe um outra possibilidade: poderamos, tambm, converter a taxa trimestral em anual, e manteramos o prazo em anos. Neste caso, n ficaria sendo igual a 3 e a taxa seria dada por: i = 5% a.t. = 20% a.a. (se em um trimestre a aplicao rende 5%, em um ano, que so quatro trimestres, render 4 vezes mais, ou seja: 20%). Poderamos, ento, escrever: M = C (1 + in) = 10.000 (1 + 0,20 . 3) = 10.000 (1,6) M = 16.000 Taxas Proporcionais Ao transformarmos, na resoluo do exerccio 2, a taxa de 5% a.t. para 20% a.a., utilizamos o conceito de TAXAS DE JUROS PROPORCIONAIS. Naquele contexto (regime de juros simples), raciocinamos que 5% em um trimestre era a mesma coisa que 20% em quatro. Observe que: 20%/4 trimestres = 5%/1 trimestre Assim, duas taxas i1 e i2, com os respectivos perodos n1 e n2 medidos na mesma unidade de tempo, so ditas proporcionais quando obedecerem seguinte relao: i1/n1 = i2/n2

Outros exemplos: 2% a.a. proporcional a 1% a.m., pois 12%/12m = 1%/1m 10% a.s. proporcional a 20% a.a., pois 10%/1s = 20%/2s 6% a.t. proporcional a 2% a.m.,pois 6%/3m = 2%/1m 36% a.a. proporcional a 9% a.t., pois 36%/4t = 9%/1t Taxas Equivalentes Duas TAXAS so ditas EQUIVALENTES quando aplicadas sobre o mesmo prazo, produzem os mesmos juros. Quando duas taxas so equivalentes, portanto o efeito delas sobre o capital o mesmo. No caso de juros simples as taxas equivalentes so sempre proporcionais. Por exemplo: vimos anteriormente que 1% a.m. proporcional a 12% a.a. Essas mesmas taxas tambm so equivalentes, pois se aplicarmos um capital de 1.000 durante 1 ano, os juros produzidos pelas duas sero iguais: Para a taxa de 1% a.m.: J = C.i.n J = 1.000 x 0,01 x 12 = 120 Para a taxa de 12% a.a.: J = C.i.n J = 1.000 x 0,12 x 1 = 120 Clculo de Juros Dirios Imagine uma dvida, no valor de 1.000, vencida em 10/01/96, e que s tenha sido paga em 11/07/96, tendo sido cobrados juros simples, a uma taxa de 36% a.a., sobre o valor. Qual o total dos juros pagos: Temos que: J=? i = 36% a.a. t = nmero de dias entre 10/01/96 e 11/07/96 C = 1.000 Vamos adotar perodos dirios. Assim, temos de tomar duas providncias inicialmente:

Transformar a taxa anual em diria; Contar o nmero de dias entre as datas dadas.

Para o clculo dos juros existem trs convenes utilizadas na matemtica financeira. O examinador dever dizer qual delas devemos utilizar. As convenes so: juro exato, juro comercial (ou ordinrio) e juro bancrio. Juro Exato Caracterstica: a contagem do nmero de dias (n) se faz utilizando o ano civil (aquele que representado no calendrio). Portanto, dada uma taxa anual (ianual), os juros (J) produzidospor um capital (C), durante n dias, sero dados por: J = C . ianual . n/365 n = nmero de dias contados no calendrio do ano civil. OBS: 1. O nmero de dias (n) deve ser contado no calendrio, portanto voc deve saber o nmero exato de dias de cada ms do calendrio; 2. Caso o ano seja bissexto , a diviso na expresso acima ser feita por 366 e no por 365, j que o ano bissexto tem um dia a mais. Aplicando juro exato ao nosso problema, os juros seriam: J = 100 . 0,36 . 183/366 = 180 No denominador da expresso acima utilizamos o valor 366 porque 1996 ano bissexto. O nmero n de dias entre 10/01/96 e 11/07/96 contados segundo o calendrio civil 183, conforme pode ser verificado na tabela abaixo: Juro Comercial Caracterstica: a contagem do nmero de dias se faz utilizando o ano comercial (1 ano = 360 e 1 ms = 30 dias, inclusive fevereiro). Para o caso de juro comercial: J = C . ianual . n/360 n = no de dias contados no calendrio do ano comercial. Aplicando ao nosso problema: J = 1000 . 0,36 . 181/360 = 181 Juro Bancrio Caracterstica: a contagem do nmero de dias (n) se faz pelo calendrio ano civil, mas o juro dirio calculado utilizando o ano comercial.

Para o caso do juro bancrio: J = C . ianual . n/360 n = no de dias contados no calendrio do ano civil. Aplicando ao nosso problema ao nosso problema: J = 1.000 . 0,36 . 183/360 = 183