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Sistemas de Controle de Aeronaves II
Introdução ao Matlab e Equacionamento longitudinal
de uma aeronave
2012
Eduardo Morgado BeloMateus Moreira de Souza
Parte 1Introdução ao MATLAB
Manipulação de MatrizesManipulação de Gráficos
MATLABCurrent Directory
Command Window Workspace
Command History
Manipulação de Matrizes no MATLAB
• Criando uma matriz▫ Envolva os elementos da matriz
com [ ].▫ Separe os elementos de uma
linha usando espaços ou vírgula (,).
▫ Use o ponto e vírgula (;) para indicar o final de uma linha.
• A = [16 3 2 13; 5 10 11 8; 9 6 7 12; 4 15 14 1]
• A = [16,3,2,13;5,10,11,8;9,6,7,12;4,15,14,1]
Manipulação de Matrizes no MATLAB
• Utilizando elementos de uma matriz.▫ Matriz (linha ,coluna )
• A( 2 , 1 )
• Para selecionar mais de um elemento da matriz.▫ Matriz ( [ linhas ],[ colunas ])
• A( [1 2] , [1 3 4] )
Manipulação de Matrizes no MATLAB
• Usando os dois pontos ( : ).▫ Pode gerar vários elementos
com passo unitário.▫ Valor inicial : Valor final
• 1:10
▫ Pode gerar vários elementos com passo escolhido.
▫ Valor inicial : Passo : Valor final
• 1:2:10
Manipulação de Matrizes no MATLAB
• Usando os dois pontos com matrizes▫ Pode ser utilizado para
selecionar vários elementos de uma matriz.
• A ( 1 : 3 , 1)• A ( 3 , 2 : 2 : 4 )• A ( 2 : 4 , 1 : 2 : 3 )
▫ Pode ser utilizado para selecionar uma linha ou coluna de uma matriz
• A ( : , 1 )• A ( 2 , : )• A ( : , : )
Manipulação de Matrizes no MATLAB
• Operadores▫ + Soma▫ - Subtração▫ * Multiplicação▫ / Divisão▫ ^ Potenciação▫ ‘ Transposta de
matriz e conjugado de número imaginário
▫ ( ) Índice
Manipulação de Matrizes no MATLAB
• Comandos para matrizes▫ zeros (a,b) = Cria uma matriz a x b de 0.▫ ones (a,b) = Cria uma matriz a x b de 1.▫ eye (n) = Cria a matriz identidade de ordem n▫ A (end, : ) = Apresenta a ultima linha de A.▫ sum (A) = Soma dos valores de cada coluna de A.▫ diag(A) = Cria um vetor com os elementos da diagonal de A.▫ transpose(A) = Cria a matriz transposta de A.▫ det (A) = Retorna o determinante de A.▫ rank(A) = Retorna o número de linhas independentes de A. ▫ inv(A) = Cria a matriz inversa de A.▫ eig(A) = Cria um vetor com os autovalores de A.▫ [V,D]=eig(A) = Cria uma matriz D com os autovalores de A e
uma matriz V com os respectivos autovetores.▫ poly(A) = Cria um vetor com os elementos da equação
característica de A.
Exemplo
•Usar os comando para a matriz A:•A=[15 12 4 1; 4 2 9 0; 5 1 0 0; 3 0 0 0];
•Comandos:•A (end, : ) , A (: , end ) , sum (A) , diag(A),
transpose(A) , det (A) , rank(A) , inv(A) , [V,D]=eig(A) , poly(A).
Manipulação de Gráficos no MATLAB
• Criando um gráfico ▫ O comando plot (x,y) cria
um gráfico 2D.• t=0:0.1:2*pi ;• y=sin(t) ;• plot(t,y)
▫ O comando plot(x,y,’prop’) cria um gráfico com as propriedades atribuídas à linha.
• plot(t,y,’r--+’)
Manipulação de Gráficos no MATLAB
Manipulação de Gráficos no MATLAB
• Múltiplos gráficos▫ Usando apenas um comando plot.
• plot(x1,y1,’prop1’,x2,y2,’prop2’)
▫ Usando hold on , hold off.• plot(x1,y1,’prop1’); hold on ; plot(x2,y2,’prop2’); hold off.
▫ Usando subplot.• subplot(2,1,1); plot(x1,y1,’prop1’);• subplot(2,1,2); plot(x2,y2,’prop2’);
▫ Usando figure.• figure(1); plot(x1,y1,’prop1’)• figure(2); plot(x2,y2,’prop2’)
Manipulação de Gráficos no MATLAB
• Utilizando t=0:0.1:2*pi; x=sin(t);y=cos(t);
plot(t,x,’b’,t,y,’r’)
plot(t,x,’g’) ; hold onplot(t,x,’k’) ; hold off
subplot(1,2,1) ; plot(t,x,’b’)subplot(1,2,2) ; plot(t,y,’r’)
figure(1) plot(t,x,’b’)figure(2) plot(t,y,’r’)
Manipulação de Gráficos no MATLAB
•Comandos de edição do gráfico▫ legend(‘x1’, ‘x2’ , ...) = Insere a legenda
de x1, x2, ...▫ title(‘texto’) = Insere o título no
gráfico.▫ xlabel(‘x’) , ylabel(‘y’) , zlabel(‘z’) = Nomeia os eixos x, y
e z respectivamente.▫ axis([xmin xmax ymin ymax]) = Limita a área
apresentada pelo gráfico.▫ axis equal = o incremento nos eixos x e y ficam iguais.▫ grid on = cria uma malha no gráfico.
Exemplo
•t=0:0.1:2*pi; x=sin(t);y=cos(t);•plot(t,x,'r',t,y,'b')•title('Funções seno e cosseno')•xlabel('t')•ylabel('sin(t) e cos(t)')•axis([0 2*pi -1 1])•axis equal•grid on•legend('sin(t)','cos(t)')
Parte 2Sistemas Dinâmicos
Sistemas dinâmicos
•Sistema massa, mola, amortecedor.▫Forma diferencial.
▫Transformada de Laplace.
Sistemas dinâmicos
•Sistema massa, mola, amortecedor.▫Espaço de Estados
▫Função transferência
Sistemas dinâmicos•Comandos de MATLAB para sistemas
dinâmicos▫ SYS = ss(A,B,C,D) = Cria um sistema no espaço de estados.▫ set(SYSEE, 'inputname', {‘u‘ }, 'outputname', {‘y'},... 'statename', {'x‘ }); = Configura o nome das entradas e saídas
do sistema.▫ [num,den]=ss2tf(A,B,C,D) = Gera o numerador e denominador
da função transferência do sistema no espaço de estados.▫ SYS=tf(num,den) = Cria a função transferência do sistema.▫ roots(den) = Retorna as raízes do polinômio den.▫ step(SYS) = Cria gráficos com a resposta degrau de todas as
entradas para todas as saídas do sistema SYS.▫ impulse(SYS) = Cria gráficos com a resposta impulso de todas
as entradas para todas as saídas do sistema SYS.
Sistemas dinâmicos
•Exemplo▫Escrever o sistema no espaço de estados
•M=2Kg;B=16Ns/m;K=8N/m;▫Obter a função transferência.▫Obter a equação característica.▫Obter as raízes da equação característica▫Resposta a entrada degrau▫Resposta ao impulso
Trabalho
•Escrever um M.file contendo:▫A equações da dinâmica de vôo do Boeing
747 no espaço de estados.▫A função transferência θ/δE.▫A equação característica.▫As raízes da equação característica.▫A resposta de θ à entrada degrau de δE.
▫A resposta de θ à entrada impulso de δE.
Equações do vôo longitudinal
Condição de vôo B747 M=0.8 Altitude=40000 ft
X(N) Z(N) M(m*N)
u (m/s) -1.982*103 -2.595*104 1.593*104
w (m/s) 4.025*103 -9.030*104 -1.563*104
q (rad/s)
0 -4.524*105 -1.521*107
dw/dt (m/s2) 0 1.909*103 -1.702*104
δE (rad)
-54.23 -5.181*106 -1.707*106
W (N) S (m2 ) c (m) b (m) Ix
(Kg*m2)Iy
(Kg*m2)
2.8317*106
511 8.324 59.64 0.247*108 0.449*108
Iz (Kg*m2)
Izx Kg*m2)
u0 (m) ρ (Kg/m3) CL0 CD0
0.673*108 -0.212*107
235.9 0.3045 0.654 0.0430
Referências
•Help MATLAB•Etkin, B. . ’Dynamics of flight : stability
and control’, 3ª ed.. Wiley.