SISTEMAS DE POTÊNCIA I

SISTEMAS DE POTÊNCIA I − 052814

NOTAS DE AULA Prof. LUCIANO VITORIA BARBOZA, Dr.Eng.Capítulo 1. Representação dos Sistemas de Potência 11.1. Aspectos gerais 11.2. Modelo de circuito de uma máquina síncrona 11.3. Transformador ideal 31.4. Circuito equivalente de um transformador real 51.5. Circuito equivalente de um transformador real com tap fora do valor nominal71.6. Autotransformador 91.7. Grandezas em por unidade 101.8. Impedância por unidade em circuitos com transformadores 11.9. Impedância por unidade de transformadores de três enrolamentos 131.10. Diagrama unifilar 151.1. Diagramas de impedâncias e reatâncias 171.12. Lista de exercícios 20Capítulo 2. Cálculo de Redes 232.1. Aspectos gerais 232.2. Equivalência de fontes 232.3. Equações nodais 242.4. Partição de matrizes 272.5. Eliminação de nós pela álgebra matricial 282.6. Matrizes admitância e impedância de barra 312.7. Modificação de uma matriz impedância de barra já existente 32Caso 1: Adição de um ramo de uma nova barra p até à barra de referência 32Caso 2: Adição de um ramo de uma nova barra p até uma barra k já existente 3Caso 3: Adição de um ramo de uma barra k já existente até à barra de referência 34Caso 4: Adição de um ramo entre duas barras j e k já existentes 352.8. Determinação direta da matriz impedância de barra 36

SUMÁRIO 2.9. Lista de Exercícios ............................................................................................................... 38

Sumário Prof. Luciano Vitoria BarbozaCapítulo 3. Fluxo de Potência 413.1. Aspectos gerais 413.2. Formulação do problema 413.3. Fluxos de potências ativa e reativa 433.3.1. Linhas de transmissão 433.3.2. Transformadores em fase 43.4. Formulação matricial 453.5. Equacionamento em termos das variáveis do sistema 473.6. Métodos iterativos de Gauss e de Gauss-Seidel 493.7. Método iterativo de Newton-Raphson 503.8. Métodos iterativos desacoplados 523.8.1. Método de Newton-Raphson desacoplado 533.9. Fluxo de potência linearizado ou Fluxo de carga C 543.9.1. Linearização 53.9.2. Formulação matricial 53.10. Características dos métodos de solução do fluxo de potência 563.1. Ajustes e controles 573.12. Cargas variáveis com a tensão 59Capítulo 4. Operação Econômica de Sistemas de Potência 604.1. Aspectos gerais 604.2. Distribuição de carga entre as unidades de uma mesma central604.3. Perdas na transmissão em função da geração da central 644.4. Distribuição de carga entre centrais 674.5. Controle automático de geração 694.6. Lista de exercícios 72Apêndice A. Algoritmos para Fluxo de Potência 75A.1. Método de Gauss 75A.2. Método de Gauss-Seidel 76A.3. Método de Newton-Raphson 7

Sistemas de Potência I i A.4. Método de Newton desacoplado ......................................................................................... 78

1.1. Aspectos Gerais

Neste ponto do estudo sobre sistemas de potência, já se completou o desenvolvimento do modelo do circuito de uma linha de transmissão e já se iniciou os cálculos de tensão, corrente e potência em uma linha. Neste capítulo, serão desenvolvidos os modelos de circuito para a máquina síncrona e para o transformador de potência. Dessa forma, será possível representar o sistema de energia por inteiro.

1.2. Modelo de Circuito de uma Máquina Síncrona A tensão terminal em uma máquina síncrona, atuando como gerador, pode ser expressa como tfaaraltfaSVEjIXjIXVEjIX=−−⇒=− (1.1) onde V t é a tensão terminal sob carga;

E f é a tensão gerada a vazio; I a é a corrente na armadura; jI aX ar é a tensão devido à reação da armadura; jI aX l é a tensão devido à reatância de dispersão da armadura;

X S é a reatância síncrona, onde X S = X ar + X l.

Se a resistência da armadura R a for relevante, a equação (1.1) torna-se

()tfaaSVEIRjX=−+ (1.2)

A equação (1.2) pode ser representada através de um circuito equivalente, como mostrado na Figura 1.1.

Representação dos Sistemas de Potência Prof. Luciano V. Barboza

Sistemas de Potência I 2

RaXlXar

Ef Ia

Figura 1.1. Circuito equivalente para o gerador síncrono.

Neste ponto, tem-se a representação do gerador por um circuito equivalente bastante simples, porém muito conveniente. A resistência da armadura, normalmente, é bem menor do que a reatância síncrona de modo que a sua omissão não apresenta grande influência nos resultados numéricos.

Os princípios até aqui abordados podem ser estendidos ao motor síncrono. O circuito equivalente para o motor é idêntico ao do gerador com o sentido inverso da corrente. O circuito equivalente para o motor síncrono está mostrado na Figura 1.2.

Ra XlXar

Ef Ia

Figura 1.2. Circuito equivalente para o motor síncrono.

As tensões geradas internamente no gerador e no motor são, geralmente, identificadas pela nota- ção de subíndice simples como E g e E m, respectivamente, ao invés de E f,

especialmente quando eles estão no mesmo circuito, como mostrado na Figura 1.3. As equações para este circuito sãoe tgagtmamVEjIXVEjIX=−=+ (1.3)

As reatâncias síncronas do gerador e do motor são X g e X m, respectivamente, e as resistências das armaduras foram desprezadas.



Xg Xm

Eg Em

Figura 1.3. Circuito equivalente para a conexão de um gerador síncrono e um motor síncrono.

Quando são estudados curto-circuitos em máquinas síncronas, a corrente que circula imediatamente após a ocorrência da falta difere do valor que circula em regime permanente. Em vez da rea- tância síncrona, usa-se a reatância subtransitória X″ ou a reatância transitória X′ na simulação de máquinas síncronas para cálculos de faltas.

1.3. Transformador Ideal

Os transformadores são equipamentos constituídos por duas ou mais bobinas situadas de tal forma que são enlaçadas pelo mesmo fluxo magnético. Num transformador de potência, as bobina são colocadas sobre um núcleo de material ferromagnético de modo a confinar o fluxo de uma maneira que a quase totalidade desse fluxo enlace todas as bobinas. Suponha que o fluxo magnético varia sinusoidalmente no núcleo e que o transformador é ideal, ou seja, a permeabilidade magnética μ do núcleo é infinita e a resistência dos enrolamentos é nula.

Com a permeabilidade do núcleo sendo infinita, todo o fluxo fica confinado no núcleo e, portanto, enlaça todas as espiras de ambos os enrolamentos. A tensão e induzida em cada enrolamento é também a tensão terminal v dos enrolamentos, pois a resistência dos enrolamentos é nula. Pela lei de Faraday, tem-se12

e d

vN v N dt dt φφ== (1.4) onde φ é o valor instantâneo do fluxo magnético no núcleo;

N 1 e N 2 são os números de espiras dos enrolamentos primário e secundário; v 1 e v 2 são as tensões nos enrolamentos primário e secundário.

Supondo uma variação sinusoidal para o fluxo, convertendo para a forma fasorial e combinando as equações (1.4), obtém-se


Sistemas de Potência I 4Por outro lado, sendo o transformador ideal, este não apresenta perdas. Portanto, as potências

onde a é a relação de espiras ou relação de transformação do transformador. aparentes nos enrolamentos primário e secundário devem ser iguais. Então, tem-se o que leva a conclusão de que, no transformador ideal, I1 deve ser nula se I2 for nula. O enrolamento ao qual uma impedância ou outra carga é conectada chama-se enrolamento se- cundário. De modo similar, o enrolamento que está ligado à fonte de energia é chamado enrolamento primário. Em sistemas de potência, a energia geralmente circula em ambos os sentidos através do transformador e a designação de primário e secundário perde seu significado.

Se uma impedância Z 2 é ligada ao enrolamento secundário do transformador, tem-se

Z I = (1.8) e substituindo V 2 e I 2 pelos valores obtidos nas equações (1.7), tem-se

(1.9) e essa impedância vista dos terminais do enrolamento primário será



(1.10)

Portanto, a impedância ligada ao lado secundário fica refletida (ou referida) ao primário multiplicando a impedância no secundário pelo quadrado da relação de espiras do transformador.

Exemplo 1.1: Um transformador monofásico ideal possui valores nominais de 20 kVA, 480/120 V, 60 Hz. Uma fonte conectada ao enrolamento de 480 V alimenta uma carga conectada ao enrolamento de 120 V. A carga consome 15 kVA com um fator de potência de 0,8ind quando a tensão na carga é 118 V. Calcule: a) a tensão no enrolamento de 480 V; b) a impedância da carga; c) a impedância da carga referida ao enrolamento de 480 V; d) as potências ativa e reativa no enrolamento de 480 V.

1.4. Circuito Equivalente de um Transformador Real

O transformador real difere do transformador ideal pois: (1) a sua permeabilidade não é infinita; (2) as resistências dos enrolamentos estão presentes; (3) perdas ocorrem no núcleo devido às variações cíclicas do sentido do fluxo; (4) nem todo o fluxo que enlaça um enrolamento, enlaça os outros enrolamentos.

Quando uma tensão sinusoidal for aplicada ao enrolamento de um transformador com núcleo de ferro e com o secundário em aberto, uma pequena corrente circulará no primário. Essa corrente é chamada corrente de magnetização do transformador. As perdas no ferro ocorrem devidas, primeiramente, às variações cíclicas do sentido do fluxo no ferro as quais requerem energia que é dissipada como calor e é chamada perda por histerese. A segunda perda ocorre por correntes circulantes que são induzidas no ferro devido ao fluxo variável e estas correntes produzem uma |I| 2R no ferro chamada perda por correntes parasitas. A perda por histerese é reduzida com o uso, no núcleo, de ligas de aço especiais. As perdas por correntes parasitas são reduzidas montando o núcleo com folhas de aço laminadas. Para representar o circuito equivalente de magnetização do transformador,


Sistemas de Potência I 6 considera-se uma corrente I E circulando em um circuito paralelo formado por uma susceptância B L e uma condutância G.

No transformador real de dois enrolamentos, parte do fluxo que enlaça o enrolamento primário não enlaça o secundário. Esse fluxo é proporcional à corrente do primário e causa uma queda de tensão que corresponde a uma reatância indutiva x 1, chamada de reatância de dispersão, a qual é colocada em série com o enrolamento primário do transformador ideal. Uma reatância x 2 semelhante deve ser acrescentada ao enrolamento secundário para levar em conta a tensão devido ao fluxo que enlaça o secundário porém não enlaça o primário. Quando também são consideradas as resis- tências r 1 e r 2 dos enrolamentos, tem-se o modelo de transformador mostrado na Figura 1.4. Neste modelo, o transformador ideal é a conexão entre os parâmetros r 1, x 1, G e B L colocados no primário do transformador e r 2 e x 2 colocados no secundário.

N1 N2GBL

Figura 1.4. Circuito equivalente do transformador usando o conceito de transformador ideal.

O transformador ideal pode ser omitido no circuito equivalente referindo-se todos os parâmetros do transformador para um dos lados. Por exemplo, referindo todas as tensões, correntes e impedâncias do circuito da Figura 1.4 para o primário do transformador, tem-se o circuito equivalente mostrado na Figura 1.5.

I1 I a

Figura 1.5. Circuito equivalente do transformador com a corrente de magnetização. Muitas vezes, a corrente de magnetização (I E) é desprezada porque ela é muito pequena compa-


Sistemas de Potência I 7 rada aos valores usuais das correntes de carga. Para simplificar ainda mais o circuito, pode-se fazer1212e RrarXxax=+=+ (1.1)

para obter o circuito equivalente mostrado na Figura 1.6. Todas as impedâncias e tensões no secundário devem, agora, ser referidas ao primário do transformador.

Figura 1.6. Circuito equivalente do transformador desprezando a corrente de magnetização.

Os parâmetros R e X do transformador de dois enrolamentos são determinados pelo teste de curto-circuito. A impedância é medida nos terminais de um enrolamento enquanto o outro enrolamento é curto-circuitado. Como é requerida apenas uma pequena tensão, a corrente de magnetização é in- significante e a impedância medida é praticamente R + jX.

Exemplo 1.2: Um transformador monofásico tem 2.0 espiras no enrolamento primário e 500 no secundário. As resistências dos enrolamentos são r 1 = 2,0 Ω e r 2 = 0,125 Ω. As reatâncias de disper- são são x 1 = 8,0 Ω e x 2 = 0, 5 Ω. A resistência da carga Z 2 é 12 Ω. A tensão aplicada nos terminais do enrolamento primário é de 1.200 V. Determine a tensão V 2 e a regulação de tensão. Despreze a corrente de magnetização.

1.5. Circuito Equivalente de um Transformador Real com Tap Fora do Valor Nominal

Os transformadores com tap fora do nominal podem esquematicamente ser representados por um transformador ideal com relação de transformação a:1 em série com a sua admitância. A Figura 1.7 mostra o esquema de um transformador com tap fora do valor nominal conectado entre as barras i e k de um sistema de potência.



Ei Ek

Iik Iki p ik yik a:1

Figura 1.7. Esquema de um transformador com tap fora do seu valor nominal. Para o transformador ideal da Figura 1.7, tem-se1e ki

ip k ik ki

(1.12)

A partir das equações (1.12), pode-se escrever que

1 ki ik i ik k ik ik i ik k

I yE yE a

I yE yE a

=− (1.13)

Um transformador com tap fora do valor nominal pode ser modelado por um circuito equivalente π, conforme mostrado na Figura 1.8, onde os parâmetros A, B e C são admitâncias.

Ei Ek

Iik Iki ik A

Figura 1.8. Circuito equivalente π de um transformador com tap fora do nominal. As equações que representam o modelo π equivalente são ki i k



Comparando as equações (1.13) e (1.14) e identificando-se os coeficientes das tensões E i e E k, pode-se escrever ik ik ikaa Ay B y C y que são os parâmetros A, B e C do circuito π equivalente do transformador com tap fora do valor nominal.

1.6. Autotransformador

O autotransformador difere do transformador comum pois os seus enrolamentos são, ao mesmo tempo, eletricamente conectados e acoplados por um fluxo mútuo. Pode-se estudar o autotransformador ligando eletricamente os enrolamentos de um transformador ideal. A Figura 1.9(a) é o diagrama esquemático de um transformador ideal e a Figura 1.9(b) mostra como os enrolamentos são conectados eletricamente de modo a formar um autotransformador. Nesta figura, os enrolamentos estão dispostos de maneira que suas tensões sejam aditivas, embora eles possam ser ligados de modo a se oporem mutuamente. A grande desvantagem do autotransformador é que a isolação elétrica entre os enrolamentos fica perdida, mas o exemplo seguinte demonstra o aumento da potência nominal que se verifica.

N2 I2 Ient

(a) conectado na maneira usual (b) conectado como um autotransformador Figura 1.9. Diagrama esquemático do transformador ideal.

Exemplo 1.3: Um transformador monofásico de 30 kVA, com tensões nominais 240/120 V, é conectado como autotransformador como mostra a Figura 1.9(b). A tensão nominal é aplicada ao enrolamento de baixa tensão. Considere o transformador como sendo ideal e a carga sendo tal que as


Sistemas de Potência I 10 correntes nominais |I 1| e |I 2| circulem nos enrolamentos. Determine |V 2| e os kVA nominais do autotransformador.eficientemente pois as perdas permanecem as mesmas da conexão comum. Entretanto, a perda da

Pelo exemplo, observa-se que o autotransformador forneceu uma relação de tensão maior que o transformador comum e transmitiu mais potência elétrica entre os seus dois enrolamentos. Portanto, o autotransformador fornece maior potência nominal pelo mesmo custo. Ele também opera mais isolação elétrica entre os lados de AT e BT do autotransformador é geralmente o fator decisivo em favor da conexão comum na maioria das aplicações. Em sistemas de potência, os autotransformadores trifásicos são usados freqüentemente para produzirem pequenos ajustes nas tensões das barras.

1.7. Grandezas em Por Unidade

Os sistemas de energia elétrica são operados em níveis de tensão onde o kV é a unidade mais conveniente para expressar a tensão. Para a potência transmitida, MW e MVA são termos comuns. Entretanto, estas quantidades, bem como Ampères ou Ohms, são comumente expressas como porcentagem ou como por unidade (pu) de uma base ou valor de referência especificado para cada grandeza. O valor pu de qualquer quantidade é definido como a relação da quantidade pelo valor base, expresso em decimal. Os cálculos utilizando valores em pu são mais simples do que os que usam os valores em unidades reais.

Tensão, corrente, potência e impedância estão relacionadas entre si de modo que a escolha de valores bases para quaisquer duas delas determina os valores bases das demais. Para sistemas trifási- cos, escolhe-se a tensão de linha (V base, em kV) e a potência aparente trifásica (N base, em MVA) como bases. As bases para as demais grandezas podem então ser determinadas comoe 3

base base base base basebase

NV == (1.16)

Não raras vezes, a impedância em pu de um componente do sistema é expressa numa base diferente daquela selecionada para a parte do sistema na qual o componente está localizado. Como todas as impedâncias devem ser expressas na mesma base de impedância, é necessário converter impedâncias pu de uma base para outra. Para calcular a impedância em pu, dividi-se o valor real da


Sistemas de Potência I 1 impedância pelo valor de base. Portanto, podemos escrever que(pu)e (pu)

ant nova ant nova base base

Z ΩΩ== (1.17)

Combinando as equações (1.17), tem-se

(pu) (pu) ant nova base nova ant base

Z Z = (1.18)

Por outro lado, as impedâncias bases antiga e nova podem ser expressas comoe antnova

2 ant nova ant nova base base base base base base

Z N == (1.19)

Substituindo as equações (1.19) na equação (1.18), obtém-se

(pu) (pu) nova ant ant nova base base nova ant base base

(1.20)

Com a equação (1.20), pode-se modificar o valor de uma impedância em pu de uma base antiga para uma base nova.

1.8. Impedância Por Unidade em Circuitos com Transformadores

Os valores ôhmicos da resistência e da reatância de dispersão de um transformador dependem de que lado se efetuam as medidas, se do lado de AT ou de BT do transformador. Se seus valores são expressos em pu, a base de potência é tomada como sendo a potência nominal do transformador. A tensão base é escolhida como sendo a tensão nominal do enrolamento no qual a resistência e a reatância de dispersão estiverem referidas. A impedância em pu do transformador é a mesma, independente do fato de ter sido obtida a partir dos valores ôhmicos referidos nos lados de AT ou de BT do transformador.



Exemplo 1.4: Os valores nominais de um transformador monofásico são 2,5 kVA e 110/440 V. A reatância de dispersão medida no lado de BT é 0,06 Ω. Calcule a reatância de dispersão em pu.

Exemplo 1.5: Três partes de um sistema elétrico monofásico são designadas por A, B e C e estão interligadas através de transformadores, como mostra a Figura 1.10. As características dos transformadores são:

A – B : 10.0 kVA, 138/13,8 kV, X disp = 10%

B – C : 10.0 kVA, 138/69 kV, X disp = 8% Se as bases no circuito B forem 10.0 kVA e 138 kV, calcule a resistência da carga de 300 Ω em pu referida aos circuitos A, B e C. Trace um diagrama de impedâncias, desprezando a corrente de magnetização e as resistências dos transformadores e a impedância da linha. Determine também a regulação de tensão se a tensão na carga for 6 kV com a suposição de que a tensão de entrada no circuito A permaneça constante.

Figura 1.10. Circuito do Exemplo 1.5.

Com base no exemplo anterior, os seguintes pontos devem ser ressaltados quando se trabalha com valores em pu: 1) São escolhidos uma base de tensão e uma base de potência em uma parte do sistema. Os valores bases para um sistema trifásico são a potência trifásica e a tensão de linha. 2) Para outras partes do sistema, isto é, nos outros lados dos transformadores, a base de tensão para cada parte é determinada de acordo com as relações de transformação dos transformadores. A base de potência será a mesma em todas as partes do sistema. 3) As informações sobre impedâncias dos transformadores trifásicos, geralmente, são disponíveis em valores percentuais ou em pu, em relação às bases determinadas por seus valores nominais. 4) Para três transformadores monofásicos ligados numa conexão trifásica, seus valores nominais de potência e tensão ficam determinados de acordo com as características nominais de cada transformador monofásico. A impedância percentual para a unidade trifásica é a mesma que se usa para cada transformador monofásico.



5) Uma impedância em pu dada numa base diferente daquela estabelecida para a parte do sistema na qual o elemento está localizado deve ser mudada para a base apropriada de acordo com a equação (1.20).

Exemplo 1.6: Três transformadores monofásicos com valores nominais de 25 MVA, 38,1/3,81 kV, cada um, são conectados em Y−Δ e ligados a uma carga equilibrada constituída de três resistores de

0,6 Ω ligados em Y. Adote os valores de 75 MVA e 6 kV como bases para o lado de alta tensão e especifique a base para o lado de baixa tensão. Determine a resistência da carga em pu na base do lado de BT. Então, determine a resistência da carga referida ao lado de AT e o valor em pu dessa resistência na base escolhida.

Exemplo 1.7: Um transformador trifásico tem 400 MVA e 20Y/2Δ kV como valores nominais.

A impedância de curto-circuito medida no lado de BT do transformador é 0,121 Ω e, devido à baixa resistência, este valor pode ser considerado igual à reatância de dispersão. Determine a reatância em pu do transformador e o valor usado para representar este transformador em um sistema cujas bases no lado de AT são 100 MVA e 230 kV.

1.9. Impedância Por Unidade de Transformadores de Três Enrolamentos

Tanto o primário como o secundário de um transformador de dois enrolamentos possuem a mesma potência nominal, porém os enrolamentos de um transformador de três enrolamentos podem apresentar potências nominais diferentes. A impedância de cada enrolamento de um transformador desse tipo pode ser expressa em valor percentual ou pu tomando como base os valores nominais de seus próprios enrolamentos, ou podem ser realizados testes para determinar as impedâncias. Em qualquer caso, entretanto, todas as impedâncias em pu no diagrama de impedâncias devem ser expressas em relação a uma mesma potência base. As três impedâncias podem ser medidas pelo teste-padrão de curto-circuito, como a seguir:

ƒ Zps → impedância medida no primário com o secundário curto-circuitado e o terciário aberto; � Zpt → impedância medida no primário com o terciário curto-circuitado e o secundário aberto;

� Zst → impedância medida no secundário com o terciário curto-circuitado e o primário aberto.

Se as três impedâncias medidas em Ohms forem referidas a um dos enrolamentos, as impedân-


Sistemas de Potência I 14 cias de cada enrolamento em separado referidas a esse mesmo enrolamento estarão relacionadas às impedâncias medidas como ps p s pt p t sts t onde Z p, Z s e Z t são as impedâncias dos enrolamentos primário, secundário e

terciário referidas ao circuito primário se Z ps, Z pt e Z st forem as impedâncias medidas e referidas ao circuito primário. Resolvendo as equações (1.21), obtem-se p s pt st s ps st pt tp t st ps

As impedâncias dos três enrolamentos são ligadas como mostra a Figura 1.1 para representar o circuito equivalente monofásico do transformador de três enrolamentos, desprezando a corrente de magnetização. Os pontos p, s e t são conectados às extremidades do diagrama de impedâncias que representa as partes do sistema que estão ligadas aos enrolamentos primário, secundário e terciário do transformador. Desde que os valores ôhmicos das impedâncias devem estar referidos à mesma base, conclui-se que a conversão para impedâncias em pu exige a mesma potência base para todos os três circuitos e exige também que as bases de tensão nos três circuitos apresentem as mesmas relações de transformação que as tensões de linha nominais dos três circuitos do transformador.


Sistemas de Potência I 15 t Figura 1.1. Circuito equivalente de um transformador trifásico de três enrolamentos.

Exemplo 1.8: Os valores nominais de um transformador de três enrolamentos são:

Primário: conexão Y, 6 kV, 15,0 MVA; Secundário: conexão Y, 13,2 kV, 10,0 MVA;

Terciário: conexão Δ, 2,3 kV, 5,0 MVA. Desprezando as resistências, as impedâncias são:

Zps = 7% na base de 15,0 MVA e 6 kV; Zpt = 9% na base de 15,0 MVA e 6 kV;

Zst = 8% na base de 10,0 MVA e 13,2 kV. Calcule as impedâncias em pu do circuito equivalente em estrela, tomando como base

15,0 MVA e 6 kV no circuito primário.

Exemplo 1.9: Uma fonte de tensão constante (barra infinita) alimenta uma carga resistiva pura de

5 MW – 2,3 kV por fase e um motor síncrono de 7,5 MVA – 13,2 kV com reatância de X″ = 20%.

A fonte está ligada ao primário do transformador de três enrolamentos descrito no Exemplo 1.8. O motor e a carga resistiva estão conectados ao secundário e ao terciário do transformador, respectivamente. Trace o diagrama de impedâncias do sistema e coloque as impedâncias em pu para uma base de 6 kV, 15,0 MVA no primário.

1.10. Diagrama Unifilar

O diagrama unifilar é um circuito simplificado no qual se representa, através de símbolos padronizados, os elementos associados a um sistema de energia elétrica. Os parâmetros do circuito não são indicados e uma linha de transmissão é representada por uma reta entre duas barras.



A finalidade do diagrama unifilar é fornecer, de forma concisa, as principais informações sobre o sistema. As informações encontradas em um diagrama unifilar variam de acordo com o problema que se tem em mãos. Por exemplo, a localização de disjuntores e relés não é importante no estudo de previsão de carga em um sistema elétrico. Portanto, disjuntores e relés não serão representados se a função principal do diagrama for fornecer informações para estudos de carga. O American National Standards Institute (ANSI) e o Institute of Electrical and Electronics Engineers (IEEE) publicaram um conjunto de símbolos padronizados para os diagramas elétricos. Porém, nem todos os autores seguem esses símbolos de forma consistente, especialmente na representação de transformadores. A Figura 1.12 apresenta alguns dos símbolos mais utilizados.

Armadura de máquina girante

Transformador de potência de dois enrolamentos

Transformador de potência de três enrolamentos

Fusível

Transformador de corrente

Disjuntor de potência a óleo Disjuntor a ar

Conexão trifásica em delta

Conexão trifásica em estrela com neutro não aterrado

Conexão trifásica em estrela com neutro aterrado

Transformador de potencialCarga estática

A VAmperímetro Voltímetro Figura 1.12. Símbolos dos dispositivos de potência mais utilizados.

A Figura 1.13 é o diagrama unifilar de um sistema de potência muito simples. Dois geradores, um aterrado através de um reator e outro através de um resistor, são interligados a uma barra e, através de um transformador elevador, a uma linha de transmissão. Outro gerador, aterrado através de um reator, é ligado a uma barra e, através de um transformador, à extremidade oposta da linha de transmissão. Uma carga é ligada a cada barra. No diagrama também estão representadas as conexões dos dois transformadores.

Carga A

Carga B 12

Figura 1.13. Diagrama unifilar de um sistema elétrico simples.



1.1. Diagramas de Impedâncias e Reatâncias

Com o objetivo de calcular o desempenho de um sistema sob condições de carga ou na ocorrência de uma falta, um sistema trifásico equilibrado pode ser resolvido como um circuito monofásico composto de uma das três linhas e o retorno de neutro. A Figura 1.14 combina os circuitos equivalentes dos vários componentes mostrados na Figura 1.13, de modo a formar o diagrama de impedâncias do sistema. O diagrama de impedâncias não inclui as impedâncias limitadoras de corrente mostradas no diagrama unifilar entre os neutros dos geradores e a terra porque nenhuma corrente circula pela terra sob condições equilibradas e os neutros dos geradores estão no mesmo potencial do neutro do sistema.

Geradores 1 e 2Carga ATransformador TTransformador TLinha de transmissãoGerador3 Carga B

Figura 1.14. Diagrama de impedâncias correspondente ao diagrama unifilar da Figura 1.13.

A corrente de magnetização de transformadores geralmente é desprezível comparada com a corrente de plena carga, portanto, a admitância em paralelo é comumente omitida no circuito equivalente do transformador. Também as resistências do sistema são geralmente omitidas quando se efetua o cálculo de faltas, mesmo em programas computacionais. Naturalmente a omissão da resistência introduz algum erro, porém os

resultados são satisfatórios porque a reatância indutiva do sistema é muito maior do que sua resistência. As cargas que não incluem máquinas rotativas apresentam pouco efeito sobre a corrente total de linha durante uma falta e geralmente são omitidas. As cargas com motor síncrono, entretanto, sempre são incluídas para se fazer os cálculos de falta porque suas forças eletromotrizes geradas contribuem para a corrente de curto-circuito. O diagrama pode levar em conta os motores de indução, considerando uma fem gerada em série com uma reatância indutiva se o diagrama for usado para determinar a corrente imediatamente após a ocorrência de uma falta. Porém, os motores de indução são ignorados ao se calcular a corrente alguns ciclos após a ocorrência da falta porque a contribuição de corrente do motor de indução desaparece muito rapidamente após ele ser curto-circuitado. Para simplificar o cálculo das correntes de falta, desconsideram-se todas as cargas estáticas, to-


Sistemas de Potência I 18 das as resistências, a corrente de magnetização dos transformadores e a capacitância das linhas de transmissão. Assim, o diagrama de impedâncias se reduz ao diagrama de reatâncias, mostrado na Figura 1.15. Estas simplificações aplicam-se apenas ao cálculo de falta e não ao estudo de fluxo de carga, que será estudado mais adiante.

NeutroX ′′ X ′′ X ′′ Figura 1.15. Diagrama de reatâncias adaptado da Figura 1.14.

Se os dados forem fornecidos com o diagrama unifilar, pode-se determinar todos os valores em pu e, assim, obter o diagrama de reatâncias em pu. A grande vantagem em se utilizar os valores em pu é que não são necessários cálculos para referir uma impedância de um lado do transformador para o outro. Em pu, os valores são os mesmos.

Exemplo 1.10: Um gerador trifásico de 300 MVA, 20 kV, tem uma reatância subtransitória de 20%. O gerador alimenta um certo número de motores síncronos através de uma linha de transmissão de 64 km, tendo transformadores em ambas as extremidades, como mostra o diagrama unifilar da Figura 1.16. Os motores, todos de 13,2 kV, estão representados por dois motores equivalentes. O neutro do motor M 1 está aterrado através de uma reatância. O neutro do motor M 2 não está aterrado

(situação não usual). As entradas nominais para os motores são 200 MVA para M 1 e 100 MVA para

M 2. Para ambos os motores X″ = 20%. O transformador trifásico T 1, de 350 MVA, 230/20 kV, apresenta reatância de 10%. O transformador T 2 é composto de três transformadores monofásicos, cada um de 100 MVA, 127/13,2 kV, com reatância de 10%. A reatância em série da linha de transmissão é 0,5 Ω/km. Trace o diagrama de reatâncias com todas as reatâncias em pu. Escolha os valores nominais do gerador como base no circuito deste.

Figura 1.16. Diagrama unifilar para o Exemplo 1.10.



Exemplo 1.1: Se os motores M 1 e M 2 do Exemplo 1.10 tiverem entradas de 120 e 60 MVA, respectivamente, a 13,2 kV e ambos operem com fator de potência unitário, determine a tensão nos terminais do gerador.



1.12. Lista de Exercíciosformador com corrente nominal nos enrolamentos, funcionando com tensão nominal e

1.1. Um transformador de 30 kVA, 1.200/120 V é ligado como autotransformador para fornecer 1.320 V a partir de uma barra de 1.200 V. a) Trace um diagrama nas conexões do transformador mostrando as marcações de polaridade nos enrolamentos e os sentidos escolhidos como positivo para a corrente em cada enrolamento de forma que as correntes estejam em fase. b) Determine a potência aparente nominal do equipamento funcionando como autotransformador. c) Se o rendimento do transformador ligado para funcionamento em 1.200/120 V com carga nominal e fator de potência unitário é de 97%, determine seu rendimento como autotransatendendo a uma carga com fator de potência unitário.

1.2. Uma carga resistiva de 8.0 kW, ligada em Δ, está conectada ao lado de BT, ligado em Δ, de um transformador Y−Δ de 10 MVA, 138/13,8 kV. Calcule a resistência da carga em Ω em cada fase, vista do lado de AT do transformador. Desconsidere a impedância do transformador e suponha a aplicação de tensão nominal ao primário do transformador.

1.3. Resolva o Exercício 1.2 considerando os mesmos resistores ligados em estrela.

1.4. Três transformadores, cada um de 5 kVA, 220 V no lado secundário, são conectados em Δ−Δda carga, um transformador pode ser removido e o sistema pode ser operado com delta aberto

e estão abastecendo uma carga puramente resistiva de 15 kW, 220 V. É feita uma alteração que reduz a carga para 10 kW, ainda puramente resistiva. Alguém sugere que, com dois terços Ainda estará sendo fornecida tensão trifásica equilibrada à carga porque duas das tensões de linha, portanto também terceira, permanecem inalteradas. Para investigar esta sugestão: a) Determine cada uma das correntes de linha (módulo e ângulo) para a carga de 10 kW e removido o transformador entre a e c. Suponha V ab = 220∠20° V e seqüência direta de fases (abc).

b) Calcule os kVA fornecidos individualmente pelos transformadores restantes. c) Que restrição deve ser colocada à carga para funcionamento em delta aberto com esses transformadores?



1.5. Um transformador de 210 MVA, 345Y/2,5Δ kV interliga, a uma linha de transmissão, uma carga de 180 MW – 2,5 kV, com fator de potência 0,8ind. Determine: a) as características nominais de cada um dos três transformadores monofásicos que, adequadamente conectados, serão equivalentes ao transformador trifásico; b) a impedância complexa da carga em pu no diagrama de impedâncias, adotando como base 100 MVA – 345 kV na linha de transmissão.

1.6. Um gerador de 120 MVA – 19,5 kV tem X S = 1,5 pu e é ligado a uma linha de transmissão através de um transformador de 150 MVA, 230Y/18Δ kV com X = 0,1 pu. Se a base a ser usada nos cálculos for 100 MVA e 230 kV para a linha de transmissão, determine os valores em pu a serem usados para as reatâncias do transformador e do gerador.

1.7. Um transformador trifásico de 5 MVA, 115/13,2 kV apresenta uma impedância igual à (0,007 + j0,075) pu. O transformador é ligado a uma linha de transmissão curta cuja impedân- cia é (0,02 + j0,10) pu numa base de 10 MVA, 13,2 kV. A linha alimenta uma carga trifásica de 3,4 MW, 13,2 kV com fator de potência 0,85ind. Se a tensão AT permanece constante em 115 kV quando a carga na extremidade da linha é desligada, calcule a regulação de tensão na carga. Trabalhe usando pu e adote como base 10 MVA – 13,2 kV no circuito da carga.

1.8. O diagrama unifilar de um sistema sem carga está representado na Figura 1.17. São mostrados, no diagrama, as reatâncias das duas seções da linha de transmissão. Os geradores e transformadores apresentam as seguintes características:

Gerador 2: 30 MVA, 18 kV, X″ = 0,20 pu Gerador 3: 30 MVA, 20 kV, X″ = 0,20 pu

Transformador T 1: 25 MVA, 220Y/13,8Δ kV, X = 10% Transformador T 2: unidades monofásicas, cada uma de 10 MVA, 127/18 kV, X = 10%

Transformador T 3: 35 MVA, 220Y/22Y kV, X = 10% Trace o diagrama de reatâncias com todas as reatâncias representadas em pu e use letras para indicar os pontos correspondentes ao diagrama unifilar. Adote como base 50 MVA – 13,8 kV no circuito do gerador 1.



FET1

T3 T2j80 Ωj100 Ω

Figura 1.17. Diagrama unifilar para o Exercício 1.8.

1.9. Trace o diagrama de reatâncias para o sistema de potência mostrado na Figura 1.18. Represente as impedâncias em pu. Use como base 50 MVA – 132 kV na linha de transmissão de

40 Ω. As características dos geradores, motores e transformadores são:

Gerador 1: 20 MVA, 18 kV, X″ = 20% Gerador 2: 20 MVA, 18 kV, X″ = 20% Motor síncrono 3: 30 MVA, 13,8 kV, X″ = 20% Transformadores trifásicos Y–Y: 20 MVA, 138Y/20Y kV, X = 10% Transformadores trifásicos Y–Δ: 15 MVA, 138Y/13,8Δ kV, X = 10% j40 Ω j20 Ωj20 Ω

Figura 1.18. Diagrama unifilar para o Exercício 1.9.

1.10. Se a tensão na barra C no Exercício 1.9 for 13,2 kV quando o motor absorver 24 MW com fator de potência 0,8cap, calcule as tensões nas barras A e B. Suponha que os dois geradores dividam a carga igualmente. Dê a resposta em Volts e em pu em relação à base escolhida no Exercício 1.9. Calcule as tensões nas barras A e B quando o disjuntor que interliga o gerador 1 à barra A estiver aberto enquanto o motor solicita 12 MW na tensão de 13,2 kV com fator de potência 0,8cap. Todos os demais disjuntores permanecem fechados.


A solução de redes de grande porte através de programas computacionais é dependente, em grande parte, das equações desta rede. Conseqüentemente, é importante para o engenheiro da área de sistemas de potência entender a formulação das equações das quais, com o objetivo de obter uma solução, é desenvolvido um programa computacional.

Este capítulo se propõe a rever e expandir os métodos de análise para os quais os programas computacionais de solução de problemas em sistemas de potência são grandemente dependentes. De particular importância, neste capítulo, é a introdução sobre matrizes admitância de barras e impedância de barras que provarão ser utilíssimas em estudos futuros.

2.2. Equivalência de Fontes

Um procedimento útil em alguns problemas de análise de redes é o da substituição de uma fonte de corrente em paralelo com uma impedância por uma fem em série com uma impedância, ou viceversa. Na Figura 2.1, ambas as fontes com suas impedâncias associadas estão conectadas a uma im- pedância de carga Z L.

a) Fonte real de tensão

Is Zs ZL IL VL b) Fonte real de corrente Figura 2.1. Equivalência de fontes.

Para a fonte de tensão real, Figura 1.1(a), a tensão na carga é

LggLVEZI=− (2.1) onde I L é a corrente que circula pela carga.

Cálculo de Redes Prof. Luciano V. Barboza


Para o circuito contendo a fonte real de corrente, Figura 1.1(b), a tensão na carga vale

()LssLsssLVZIIZIZI=−=− (2.2)

As duas fontes e suas impedâncias serão equivalentes se a tensão na carga V L for a mesma em ambos os circuitos. Comparando as equações (2.1) e (2.2), conclui-se quee gssgsEZIZZ== (2.3)

que é a condição para que a fonte de tensão real seja equivalente à fonte de corrente real.

2.3. Equações Nodais

Considere o diagrama unifilar mostrado na Figura 2.2. Os geradores estão ligados através de transformadores às barras de alta tensão 1 e 3 e estão alimentando um motor síncrono na barra 2. O diagrama de reatâncias, com as reatâncias em pu, está indicado na Figura 2.3. Se o circuito for redesenhado com as fontes de tensão substituídas por suas equivalentes fontes de corrente, o diagrama resultante está mostrado na Figura 2.4. Os valores em pu são os das admitâncias ao invés dos das impedâncias.

T3 Figura 2.2. Diagrama unifilar do sistema-exemplo.



Figura 2.3. Diagrama de reatâncias para o sistema-exemplo. Valores das reatâncias em pu.

4 Yd Yh

YgYf Ye

Ya Yc Yb

Figura 2.4. Diagrama de admitâncias para o sistema-exemplo com a substituição das fontes de tensão por suas equivalentes fontes de corrente. Valores das admitâncias em pu.

Aplicando a análise nodal aos nós do diagrama de admitâncias da Figura 2.4, obtém-se ad f f d bg h g h fg c e f g e dh e d e h

(2.4)

As equações (2.4) podem ser expressas na forma matricial como


Sistemas de Potência I 26 ad f f d bg h g h fg c e f g e dh e d e h

(2.5)

A matriz Y recebe o nome de matriz admitância de barras e é designada por Y barra. Esta matriz é simétrica em relação à diagonal principal. Os elementos pertencentes à diagonal principal (Y i) são chamados de admitâncias próprias e correspondem à soma de todas as admitâncias conectadas à barra i. Os demais elementos da matriz Y barra (Y ik, i ≠ k) são chamados de admitâncias mútuas ou de transferência e correspondem ao negativo da admitância conectada entre as barras i e k.

Em notação vetorial, tem-se barra=YIE (2.6) onde I é o vetor com as injeções de corrente nas barras do sistema elétrico; E é o vetor com as tensões complexas nas barras do sistema elétrico.

A expressão geral da equação nodal para o nó i de uma rede elétrica com n barras é:

i ikk i i ikk k ki

Utilizando a equação (2.6), pode-se determinar as tensões complexas nas barras do sistema elétrico como1barrabarrabarrabarra

barra

E I (2.8)



A matriz inversa da matriz admitância de barras é chamada matriz impedância de barras e é designada por Z barra.

Exemplo 2.1: Escreva na forma matricial as equações nodais necessárias para calcular as tensões complexas nas barras do sistema-exemplo da Figura 2.4. A rede é equivalente àquela da Figura 2.3.

As fem’s indicadas na Figura 2.3 são E G1 = 1,5∠0° pu, E G2 = 1,5∠0° pu e E M = 1,5∠−36,87° pu. Após, calcule as tensões complexas E 1, E 2, E 3 e E 4.

2.4. Partição de Matrizes

Esta técnica consiste em identificar várias partes de uma matriz como submatrizes que serão tratadas como simples elementos quando da aplicação das regras usuais de operações com matrizes. Por exemplo,

A matriz é particionada em quatro submatrizes pelas linhas tracejadas horizontal e vertical. Portanto, a matriz A pode ser reescrita como

(2.10) onde as submatrizes são

(2.1)

Para indicar os passos para a multiplicação em termos de submatrizes, assuma que A deva ser pós-multiplicada por uma matriz B para formar o produto C, onde


Sistemas de Potência I 28 b b com a sua partição sendo b b

BH J (2.13)

Então, o produto é

FG J FH GJ N (2.14) onde M = DH + EJ e N = FH + GJ. Se somente a submatriz N for de interesse, pelas partições resulta que b a a b b a b a b a b a b a b a b

N (2.15)

As matrizes a serem multiplicadas devem ser compatíveis originariamente. Cada linha de partição vertical entre as colunas r e r+1 da matriz-multiplicando requer uma linha de partição horizontal entre as linhas r e r+1 da matriz-multiplicadora para que se possa efetuar a multiplicação das submatrizes corretamente. Linhas de partição horizontal podem ser traçadas entre quaisquer linhas da matriz-multiplicando e linhas verticais de partição entre quaisquer colunas da matriz-multiplicadora ou ainda omitidas em uma delas ou em ambas.

2.5. Eliminação de Nós pela Álgebra Matricial

Nós podem ser eliminados por manipulação de matrizes referentes às equações nodais estudadas anteriormente. Entretanto, somente os nós nos quais não haja injeção de corrente para a rede podem


Sistemas de Potência I 29 ser eliminados. As equações nodais na sua forma matricial é barra=YIE (2.16) onde I e E são vetores colunas e Y barra é uma matriz quadrada e simétrica. Os vetores colunas podem ser rearranjados de tal modo que os elementos associados com os nós a serem eliminados estejam presentes nas suas linhas

inferiores. Os elementos da matriz admitância de barra são colocados em concordância. Os vetores colunas são particionados de tal modo que os elementos associados com os nós a serem eliminados são separados dos outros elementos. A matriz admitância é particionada de tal modo que os elementos identificados somente com os nós a serem eliminados estejam separados dos outros elementos por linhas horizontais e verticais. Quando particionada de acordo com estas regras, a equação (2.16) torna-se

I E (2.17) onde I X é o subvetor composto pelas injeções de corrente nos nós a serem eliminados e E X é o subvetor composto pelas tensões complexas nestes nós. Obviamente, cada elemento de I X é zero, senão os nós não poderiam ser eliminados. As admitâncias próprias e mútuas compondo K são aquelas identificadas somente com os nós que serão conservados. A matriz M é composta de admitâncias próprias e mútuas identificadas somente com os nós a serem eliminados. Esta matriz M é uma matriz quadrada de ordem igual ao número de nós a serem eliminados. A matriz L e sua transposta L T são compostas somente das admitâncias mútuas comuns a algum nó a ser mantido e a outro que será eliminado. Executando a multiplicação indicada na equação (2.17), obtem-se

AAX=+KLIEE (2.18)

T XAX=+LMIEE (2.19)

Como todos os elementos de I X são zeros, resulta que

T AXAX=+⇒−=LMLM0EEEE (2.20)


Sistemas de Potência I 30 e pré-multiplicando ambos os lados da equação (2.20) por M −1, tem-se

1TAX−−=MLEE (2.21) Substituindo a equação (2.21) na equação (2.18), resulta que é uma equação nodal tendo como matriz admitância nodal nova T barra−=−YKLML (2.23)

Com esta nova matriz admitância de barras, pode-se construir uma nova rede elétrica, equivalente à original, com os nós indesejados já eliminados.

Exemplo 2.2: Se o gerador e o transformador na barra 3 são removidos do circuito da Figura 2.3, elimine os nós 3 e 4 pelo procedimento algébrico-matricial descrito, encontre o circuito equivalente com aqueles nós eliminados e a potência complexa

transferida para dentro e para fora da rede nas barras 1 e 2, respectivamente. Determine também a tensão na barra 1.

A utilização desta técnica apresenta um inconveniente. Para a eliminação de um grande número de nós, a matriz M, cuja inversa deve ser determinada, possuirá uma grande dimensão. Isto inviabiliza o cálculo explícito de sua inversa.

A inversão da matriz M pode ser evitada fazendo a eliminação de um nó por vez. O nó a ser eliminado deve ser o de numeração mais alta e, provavelmente, uma renumeração deva ser necessária. A matriz M torna-se de um único elemento e M −1 é o recíproco deste elemento. A matriz admitância original particionada nas submatrizes K, L, L T e M fica


Sistemas de Potência I 31 j n k j knbarra n j n nova jn barra n nj k j knnn

(2.25)

E quando a manipulação indicada das matrizes for executada, o elemento na linha k e coluna j da matriz novabarraY será novo orig kn nj kj kj n

Y Y =− (2.26)

Exemplo 2.3: Faça a eliminação de nós do Exemplo 2.2, primeiro removendo o nó 4 e, em seguida, removendo o nó 3.

2.6. Matrizes Admitância e Impedância de Barras

No Exemplo 2.1, invertemos a matriz admitância de barras Y barra e chamamos a sua inversa de matriz impedância de barras Z barra. Por definição:

1 barrabarra−=ZY (2.27)

Como Y barra é simétrica em relação à diagonal principal, Z barra também o será. Os elementos de



Z barra na diagonal principal são chamados de impedâncias próprias dos nós. Os elementos fora da diagonal principal são chamados de impedâncias de transferência ou impedâncias mútuas dos nós.

A matriz impedância de barra é muito útil no cálculo de faltas em sistemas de potência e para a sua determinação não é necessário primeiro determinar a matriz admitância de barra, como será visto na Seção 2.8.

Exemplo 2.4: Um capacitor com uma reatância de 5,0 pu está ligado ao nó 4 do circuito do

Exemplo 2.1. As fem’s E G1, E G2 e E M permanecem as mesmas do exemplo. Determine a corrente absorvida pelo capacitor.

Exemplo 2.5: Se uma corrente de 0,316∠−101,97° pu é injetada na barra 4 do Exemplo 2.1, encontre as tensões resultantes nas barras 1, 2, 3 e 4.

2.7. Modificação de uma Matriz Impedância de Barras Já Existente

Nesta seção, será examinado como modificar Z barra para adicionar novas barras ou conectar novas linhas às barras já existentes. Entendido como modificar Z barra, pode-se analisar como construíla diretamente. Vários casos podem ser estudados em modificações envolvendo a adição de um ramo de impedância Z b a uma rede cuja Z barra original já é conhecida e identificada por Z orig (n×n).

Caso 1: Adição de um ramo de uma nova barra p até a barra de referência

A adição de uma nova barra p ligada à barra de referência através de uma impedância Z b sem conexão com nenhuma das outras barras da rede original não pode alterar as tensões de barra originais do sistema quando a corrente I p for injetada na nova barra. A tensão E p na nova barra será igual a Z bI p. Então



Note que a matriz coluna das correntes multiplicada pela nova Z barra não alterará as tensões nas barras da rede original e resultará na tensão correta na nova barra p.

Caso 2: Adição de um ramo de uma nova barra p até uma barra k já existente

A adição de uma nova barra p ligada através de uma impedância Z b a uma barra existente k com

I p injetada na barra p, modificará a injeção de corrente na rede original na barra k que virá a ser a soma de I k e I p, conforme mostrado na Figura 2.5.

Rede original com a barra k e a barra de referência extraídas p Zb

Ip Ik + Ip

Figura 2.5. Adição de uma nova barra p ligada através de uma impedância Z b a uma barra k já existente. A corrente I p fluindo para a barra k aumentará a tensão original E k de um valor igual a Z kkI p, novaorigkkkkpEEZI=+ (2.29) e E p será maior do que o novo E k de um valor de tensão igual a Z bI p. Assim,

()1 2 2 origpk k p b p pk k kn n k b p

Como Z barra é uma matriz quadrada e simétrica, resulta que devemos adicionar uma nova coluna que é transposta da nova linha, ou seja,


Sistemas de Potência I 34 k k n nk p pk k kn k b

Note que os primeiros n elementos da nova linha são os elementos da linha k da Z orig e os primeiros n elementos da nova coluna são os elementos da coluna k da Z orig.

Caso 3: Adição de um ramo de uma barra k já existente até a barra de referência

Para alterar a matriz Z orig pela ligação de uma impedância Z b desde uma barra k já existente até a barra de referência, deve-se adicionar uma nova barra p ligada através de Z b à barra k. Então, se curto-circuita a barra p à barra de referência, fazendo E p igual a zero, a fim de se obter a mesma equação matricial (2.31), com exceção de que E p agora é nula. A Figura 2.6 mostra o procedimento explicado.

Rede original com a barra k e a barra de referência extraídas p Zb

Ip Ik + Ip

Figura 2.6. Adição da impedância Z b entre uma barra k já existente e a barra de referência.

Para a modificação, procede-se de modo a criar uma nova linha e uma nova coluna, exatamente do mesmo modo como no Caso 2. Entretanto, agora, elimina-se a linha (n+1) e a coluna (n+1) criadas, o que é possível devido à existência do zero no vetor das tensões. Para isso, utiliza-se a equação (2.26). Portanto, cada elemento da nova matriz Z barra será igual a hn n i hi hi k b



Caso 4: Adição de um ramo entre duas barras j e k já existentes

A Figura 2.7 ilustra a adição de um ramo com impedância Z b entre duas barras j e k já existentes.

A corrente I b está indicada com fluindo através de Z b da barra k para a barra j. Da Figura 2.7 pode-se escrever que

Rede original com as barras j, k e de referência extraídas k Zb

Ib Ij + Ib

IkIk − Ib Figura 2.7. Adição de um ramo de impedância Z b entre as barras já existentes j e k.

De forma semelhante

1 2 2 j j j j jk k j jk b k k kj j k k kj k b

(2.35)

Por outro lado

0kjbbjkbbEEZIEEZI−=⇒−+= (2.36) Substituindo as equações (2.35) na equação (2.36), obtem-se



Definindo

2bbjjkkjkbZZZZZ=+−+ (2.38) pode-se escrever a seguinte equação matricial jk jk orig j jk j kj k k nj nk n j k j k j kj jk k jn kn b b

(2.39)

Eliminando a linha (n+1) e a coluna (n+1) da matriz da equação Erro! Fonte de referência não encontrada., cada elemento da nova matriz Z barra é hn n i hi hi j k kj b

Exemplo 2.6: Modificar a matriz impedância de barra do Exemplo 2.1 de modo a considerar a conexão de um capacitor com uma reatância de 5,0 pu entre a barra 4 e a barra de referência do circuito da Figura 2.4. Então, determine E 4 usando a impedância da nova matriz. Compare este valor de E 4 com o encontrado no Exemplo 2.4.

2.8. Determinação Direta da Matriz Impedância de Barras

Para começar, dispõe-se uma lista de impedâncias indicando as barras que estão conectadas.

Começa-se, então, escrevendo a equação de uma barra ligada através de uma impedância Z a à barra de referência como



Agora, pode-se adicionar uma nova barra ligada à primeira ou à barra de referência. No caso da segunda barra estar ligada à barra de referência através de Z b, tem-se a seguinte equação matricial

(2.42) e prossegue-se a determinação direta da matriz impedância adicionando outras barras, seguindo os procedimentos descritos na seção anterior. Normalmente, as barras de um sistema elétrico devem ser renumeradas para concordar com a ordem na qual elas devem ser adicionadas à matriz Z barra.

Exemplo 2.7: Determine Z barra para a rede mostrada na Figura 2.8, onde as impedâncias estão indicadas em pu.

Figura 2.8. Rede para o Exemplo 2.7.



2.9. LISTA DE EXERCÍCIOS 2.1. Escreva as equações nodais para o circuito da Figura 2.9 e calcule as tensões nos nós 1 e 2.

Figura 2.9. Circuito para o Exercício 1. Os valores indicados são tensões e impedâncias em pu.

2.2. Elimine os nós 3 e 4 da rede da Figura 2.10 simultaneamente pelo método da partição de matrizes para encontrar a matriz admitância resultante 2×2, Y barra.

Desenhe o circuito correspondente à matriz resultante e indique no circuito os valores dos parâmetros. Calcule os valores de E 1 e E 2.

0 Figura 2.10. Circuito para os Exercícios 2.2 e 2.3. Os valores indicados são correntes e admitâncias em pu.

2.3. Elimine os nós 3 e 4 da rede da Figura 2.10 para encontrar a matriz admitância resultante 2×2 pela eliminação do nó 4 primeiro e, depois, do nó 3.

2.4. Elimine os nós 3, 4 e 5 do circuito da Figura 2.1 e desenhe o circuito descrito pela nova matriz admitância de barras.



0 Figura 2.1. Circuito para o Exercício 2.4. Os valores indicados são admitâncias em pu.

2.5. Modifique Z barra dada no Exemplo 2.1 adicionando um novo nó ligado à barra 4 através de uma impedância de j1,2 pu.

2.6. Modifique Z barra dada no Exemplo 2.1 pela adição de um ramo tendo uma impedância de j1,2 pu entre o nó 4 e a barra de referência.

2.7. Determine as impedâncias da primeira linha de Z barra do Exemplo 2.1 com a impedância ligada entre a barra 3 e a barra de referência removida. Faça a determinação pela modificação danas barras 1 e 2, encontre a tensão na barra 1 e compare este valor com o encontrado no

matriz Z barra encontrada no Exemplo 2.1. Então, com as fontes de corrente ligadas somente Exemplo 2.2.

2.8. Modifique Z barra dada no Exemplo 2.1 pela remoção da impedância ligada entre os nós 2 e 3. 2.9. Encontre Z barra para a rede da Figura 2.12 pelo processo de determinação direta.

Barra de referência

Figura 2.12. Circuito para o Exercício 2.9. Os valores indicados são reatâncias em pu.

2.10. Para a rede de reatâncias da Figura 2.13, encontre:

a) Z barra pela formulação direta e por inversão de Y barra; b) a tensão em cada barra;


Sistemas de Potência I 40 c) a tensão em cada barra do sistema com a ligação de um capacitor com uma reatância de 5,0 pu entre a barra 3 e o neutro; d) a corrente absorvida pelo capacitor; e) a mudança na tensão em cada barra quando o capacitor está ligado à barra 3.

Figura 2.13. Circuito para o Exercício 2.10. Tensões e impedâncias em pu.


O cálculo do fluxo de potência em uma rede de energia elétrica consiste essencialmente na determinação do estado desta rede (tensões complexas em todas as barras) e da distribuição dos fluxos de potências ativa e reativa nos circuitos. A modelagem do sistema é estática, significando que a rede é representada por um conjunto de equações algébricas. Esse tipo de representação é usado em situações nas quais as variações com o tempo são suficientemente lentas para que se possam ignorar os efeitos transitórios. O cálculo do fluxo de carga é, em geral, realizado utilizando-se métodos computacionais desenvolvidos especificamente para a resolução de sistemas de equações algébricas não-lineares que constituem o modelo estático da rede. Os componentes de um sistema de energia elétrica podem ser classificados em dois grupos:

• os que estão ligados entre uma barra e a terra: por exemplo, geradores, cargas, reatores e capacitores;

• os que estão ligados entre duas barras quaisquer da rede (circuitos): por exemplo, linhas de transmissão e transformadores.

Os geradores e cargas são considerados a parte externa do sistema e são modelados através de injeções de potências nas barras. Os demais componentes formam a parte interna do sistema. As equações do fluxo de carga (balanços de potências) são obtidas impondo-se a conservação das potências ativa e reativa em cada barra da rede, ou seja, a potência líquida injetada tem que ser igual à soma das potências que fluem pelos componentes internos que têm esta barra como um de seus terminais.

3.2. Formulação do Problema

A cada barra da rede estão associadas quatro variáveis:

• V k : magnitude da tensão complexa na barra k; • θ k : ângulo da tensão complexa na barra k;

• P k : injeção líquida de potência ativa na barra k, ou seja, kkdGPP−;

• Q k : injeção líquida de potência reativa na barra k, ou seja, kkdGQQ−.

Fluxo de Potência Prof. Luciano V. Barboza


Dependendo de quais variáveis entram como dados e quais são consideradas incógnitas, definem-se três tipos de barras:

• PQ (Tipo 0) : são dados P k e Q k, e calculados V k e θ k; • PV (Tipo 1) : são dados P k e V k e calculados θ k e Q k;

• Vθ, referência ou folga (Tipo 2) : são dados V k e θ k e calculados P k e Q k.

As barras do tipo PQ e PV são utilizadas para representar as barras de carga e as barras de gera- ção, respectivamente. A barra Vθ fornece a referência angular do sistema e é usada para fechar o balanço de potências levando em conta as perdas de transmissão que não são conhecidas antes de se ter a solução final do problema.transmissão, transformadores,

). Isso pode, matematicamente, ser expresso por

O conjunto de equações do problema do fluxo de carga é formado por duas equações para cada barra, cada uma delas representando o fato das potências ativa e reativa injetadas em uma barra serem iguais à soma dos fluxos correspondentes que deixam a barra através dos circuitos (linhas de k m k m k m m sh k k km k m k m monde k = 1, 2,

, nb, sendo nb o número de barras da rede;

Ω k é o conjunto de barras vizinhas à barra k; V k e V m são as magnitudes das tensões complexas nas barras k e m; θ k e θ m são os ângulos de fase das tensões complexas nas barras k e m;

P km é o fluxo de potência ativa no circuito k−m; Q km é o fluxo de potência reativa no circuito k−m; shkQé o componente da injeção de potência reativa devido ao elemento shunt conectado na barra k (2shsh kkkQbV=, sendo shkb a susceptância shunt ligada à barra k).

As equações (3.1) são montadas considerando-se a seguinte convenção de sinais:

• as injeções líquidas de potência são positivas quando entram na barra (geração) e negativas quando saem da barra (carga);

• os fluxos de potência são positivos quando saem da barra e negativos quando entram;



• para os elementos shunt das barras é adotada a mesma convenção que para as injeções.

3.3. Fluxos de Potências Ativa e Reativa 3.3.1. Linhas de Transmissão

O modelo equivalente π de uma linha de transmissão, representado na Figura 3.1, é definido por três parâmetros: a resistência série r km, a reatância série x km e a susceptância shunt shkmb. A impedância do elemento série é z km = r km + jx km e, portanto, a admitância série é

1 km km km km km km km km km km rx y jg jb ykm = gkm + jbkmjbjb Ikm Imk

Figura 3.1. Modelo equivalente π de uma linha de transmissão.

A corrente I km pode ser calculada como

( ) sh kmkmkmkmkIyEEjbE=−+ (3.3) onde e kmjj kkmmEVeEVeθθ==.

Analogamente, a corrente I mk é

( ) sh mkkmmkkmmIyEEjbE=−+ (3.4)

O fluxo de potência complexa da barra k para a barra m é



() ( )k m kjj j jsh km km km k km k km km k m km kSP jQ E I V e g jb V e V e jb V eθθ θ θ−∗∗ ⎡ ⎤=− = = + − +⎣ ⎦ (3.5)

Os fluxos P km e Q km são obtidos identificando-se as partes reais e imaginárias dessa equação complexa cos sen cos sen km k km k m km km km km sh km k km km k m km km km km

PV g V V g b

QV b b V V b gθθ θ θ onde θ km = θ k − θ m.

Os fluxos P mk e Q mk são obtidos analogamente, ou seja, cos sen cos sen mk m km k m km mk km mk sh mk m km km k m km mk km mk

PV g V V g b

QV b b V V b gθθ θ θ onde θ mk = θ m − θ k.

3.3.2. Transformadores em fase

A Figura 3.2 mostra o circuito equivalente de um transformador em fase.

km ykm

Ikm Imk p

Figura 3.2. Modelo de transformador em fase.

Na Seção 1.5, deduziu-se que as correntes nos enrolamentos de um transformador em fase são expressas por



1 km km k km m mk km k km m

I yE yE a

I yE yE a

O fluxo de potência complexa da barra k para a barra m é kmkmkmkkmSPjQEI∗∗=−= (3.9) e, portanto, os fluxos de potência ativa e reativa são obtidos identificando-se as partes real e imaginária dessa expressão. Isto resulta em cos sen cos sen k m k m km km km km km k m k m km km km km km

Vg V Pg b

Vb V V Qb g

Por outro lado, o fluxo de potência complexa da barra m para a barra k é mkmkmkmmkSPjQEI∗∗=−= (3.1) e, portanto, os fluxos de potência ativa e reativa são sen cos cos sen km mk m km km km km km km mk m km km km km km

V PV g b g

V QV b b g

3.4. Formulação Matricial

Das equações nodais para um sistema elétrico, tem-se I = Y barra E, onde I é o vetor de injeções de corrente, E é o vetor das tensões nodais e Y barra é a matriz admitância de barras. Os elementos da matriz admitância, generalizados, são


Sistemas de Potência I 46 sh sh sh sh km km k k km km m m km km mmkm

Yy Y jb jb y Y jb jb y

A matriz Y barra pode ser decomposta em duas matrizes barrabarrabarraj=+YGB (3.14) onde G barra é a matriz condutância nodal; B barra é a matriz susceptância nodal.

A injeção líquida de corrente na barra k pode ser escrita como k k k km m I YE Y E∈Ω

Considerando que Y k = G k + jB k, Y km = G km + jB km , e kmjj kkmmEVeEVeθθ==, a equação (3.15) pode ser reescrita como k k k k km km m I Gj B V e G jB V eθ θ∈Ω

A injeção de potência complexa na barra k é kkkkkSPjQEI∗∗=−= (3.17) e, substituindo a equação (3.16) na equação (3.17), as injeções de potências ativa e reativa na barra k podem ser escritas como cos sen sen cos k k k k k m km km km km m k k k k m km km km km m



3.5. Equacionamento em Termos das Variáveis do Sistema

Dados para o fluxo de carga:

• P k e Q k nas barras PQ; • P k e V k nas barras PV;

• V k e θ k na barra de folga (referência angular).

Incógnitas no fluxo de carga:

• V k e θ k nas barras PQ; • θ k nas barras PV.

Sejam npq e npv o número de barras PQ e PV, respectivamente. Então, o problema do fluxo de carga envolve 2npq + npv equações algébricas não-lineares com o mesmo número de incógnitas.

Estas equações são conhecidas como balanços (mismatches) de potências ativa e reativa e, matematicamente, são expressas por cossen0para barras e sencos0para barras k esp k k k m km km km km k m esp k k k m km km km km k m onde ;k esp kGdPPP=− esp kGdQQQ=−

Os balanços de potências ativa e reativa, equações (3.19), podem ser reescritas, de uma forma mais compacta, como

0para barras e 0para barras calc esp k k calc esp k k

Δ= − = (3.20)

Uma vez resolvido este problema, estará conhecido o estado de todas as barras da rede (tensões

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SISTEMAS DE POTÊNCIA I