Sistemas e Sinais (LEIC) – Maquinas de estados em Tempo Real

Sistemas e Sinais (LEIC) – Maquinas de estados Sistemas e Sinais (LEIC) – Maquinas de estados em Tempo Realem Tempo RealCarlos CardeiraCarlos Cardeira

Máquinas de estados – Máquinas de estados – Tempo RealTempo Real

Máquinas de estado em tempo realMáquinas de estado em tempo real Sistemas Lineares e Invariantes no Sistemas Lineares e Invariantes no

Tempo (LTI), representação Tempo (LTI), representação [A,B,C,D][A,B,C,D]

Equações Diferenciais e sua relação Equações Diferenciais e sua relação com LTIcom LTI

Máquinas de estados – Máquinas de estados – Tempo RealTempo Real

Máquinas de estado em tempo realMáquinas de estado em tempo real Similares às máquinas de estados mas Similares às máquinas de estados mas

agora os indices representam tempo agora os indices representam tempo real. Há uma actualização periódica do real. Há uma actualização periódica do estado. Deixa de haver “absent”.estado. Deixa de haver “absent”.

O espaço de estados pode ser infinitoO espaço de estados pode ser infinito A função update pode ser expressa A função update pode ser expressa

algébricamente (de outra forma não algébricamente (de outra forma não podia ser uma vez que o espaço de podia ser uma vez que o espaço de estados pode ser infinito)estados pode ser infinito)

Sistemas Lineares e Sistemas Lineares e Invariantes (LTI)Invariantes (LTI)

Os sistemas Lineares e Invariantes Os sistemas Lineares e Invariantes no tempo são aqueles para os quais no tempo são aqueles para os quais se conhecem mais resultadosse conhecem mais resultados

De uma forma geral, dentro de ums De uma forma geral, dentro de ums determinada gama de determinada gama de funcionamento, os sistemas podem funcionamento, os sistemas podem ser aproximados a LTI.ser aproximados a LTI.

Equações DiferenciaisEquações Diferenciais

Os sistemas que se conseguem Os sistemas que se conseguem descrever através de equações descrever através de equações diferenciais podem ser definidos diferenciais podem ser definidos como sistemas LTI como sistemas LTI

Circuitos electricos RLC ou sistemas Circuitos electricos RLC ou sistemas mecânicos pertencem a esta mecânicos pertencem a esta categoriacategoria

Máquinas de estados Máquinas de estados determinísticasdeterminísticas

Máquinas de estados tempo Máquinas de estados tempo realreal

n deixa de representar apenas um n deixa de representar apenas um índice mas passa a representar índice mas passa a representar tempo real (segundos, minutos, etc.).tempo real (segundos, minutos, etc.).

Absent deixa de ser necessário.Absent deixa de ser necessário. Entradas, saídas, estados passam a Entradas, saídas, estados passam a

assumir valores pertencentes a R.assumir valores pertencentes a R. Recurso intensivo à Álgebra Linear Recurso intensivo à Álgebra Linear

para a manipulação dos vectores e para a manipulação dos vectores e matrizes.matrizes.

Delay3Delay3

Estados do DelayEstados do Delay O exemplo pode corresponder à amostragem de O exemplo pode corresponder à amostragem de

um sinal de voz ao ritmo de 8192 amostras/s. O um sinal de voz ao ritmo de 8192 amostras/s. O sistema delay guarda as últimas três amostras sistema delay guarda as últimas três amostras deste sinal.deste sinal.

ssii(n) representa a iésima amostra anterior (s(n) representa a iésima amostra anterior (s11 (n) (n) = x(n-1), …, s= x(n-1), …, s33 (n) = x(n-3) = y(n) (n) = x(n-3) = y(n)

A saída é igual à entrada desfasada de três A saída é igual à entrada desfasada de três unidadesunidades

Como se verá, este sistema pode ser Como se verá, este sistema pode ser representado por matrizes.representado por matrizes.

O espaço de estados é RO espaço de estados é R33. Se as entradas forem . Se as entradas forem {0,1} o espaço de estados seria {0,1}{0,1} o espaço de estados seria {0,1}33

Não se podem fazer diagramas de estado ou Não se podem fazer diagramas de estado ou tabelas se o espaço de estados, entradas ou tabelas se o espaço de estados, entradas ou saídas pertencerem a R. saídas pertencerem a R.

Média MóvelMédia Móvel


Trata-se de uma média móvel das Trata-se de uma média móvel das últimas 4 amostras.últimas 4 amostras.

Os estados seguintes dependem Os estados seguintes dependem dos estados actuais e das entradas,dos estados actuais e das entradas,

A saída depende do estado actual e A saída depende do estado actual e das entradas.das entradas.

EstimaçãoEstimação

y(n) = ¼ x(n)+ ¼ x(n-1)+ ¼ x(n-2) y(n) = ¼ x(n)+ ¼ x(n-1)+ ¼ x(n-2) + ¼ x(n-3) + ¼ x(n-3)

Em estimação é frequente ter Em estimação é frequente ter valores onde se pensa poder extrair valores onde se pensa poder extrair uma função que os identifique.uma função que os identifique.

Em vez de ¼ poderíamos tentar Em vez de ¼ poderíamos tentar calcular os valores que melhor calcular os valores que melhor satisfizessem a equação de y(n).satisfizessem a equação de y(n).

Média móvel das saídas Média móvel das saídas (autoregressão) e da entrada actual(autoregressão) e da entrada actual

y(n) = ¼ y(n-1)+ ¼ y(n-2)+ ¼ y(n-3) + ¼ x(n) y(n) = ¼ y(n-1)+ ¼ y(n-2)+ ¼ y(n-3) + ¼ x(n) Neste caso, a saída depende dos seus próprios Neste caso, a saída depende dos seus próprios

valores anteriores e da entrada nesse instante.valores anteriores e da entrada nesse instante. Parece óbvio que os estados correspondam a Parece óbvio que os estados correspondam a

s1(n)=y(n-1), s2(n)=y(n-2) e s3(n)=y(n-3).s1(n)=y(n-1), s2(n)=y(n-2) e s3(n)=y(n-3). A função update seria:A função update seria: Começar por s1 não dá Começar por s1 não dá s2(n+1)=y(n-1)= s1(n)s2(n+1)=y(n-1)= s1(n) s3(n+1)=y(n-2)=s2(n)s3(n+1)=y(n-2)=s2(n) y(n)= ¼ s1(n)+ ¼ s2(n)+ ¼ s3(n) + ¼ x(n) y(n)= ¼ s1(n)+ ¼ s2(n)+ ¼ s3(n) + ¼ x(n) (agora já se tem o s1(n+1) porque é igual ao (agora já se tem o s1(n+1) porque é igual ao

y(n))y(n))

Usando Delays:Usando Delays:

D D D

¼¼¼

+

y(n)y(n-1) y(n-2) y(n-3)

¼

x(n)

Autoregressão e Média Móvel Autoregressão e Média Móvel (ARMA)(ARMA)

y(n) = ¼ y(n-1)+ ¼ y(n-2)+ ½ y(n-y(n) = ¼ y(n-1)+ ¼ y(n-2)+ ½ y(n-3) + 1/4 x(n) + 2x(n-1) + ½ x(n-2)3) + 1/4 x(n) + 2x(n-1) + ½ x(n-2)

Necessitaria de 5 delays (adiante Necessitaria de 5 delays (adiante veremos que seria possível fazê-lo veremos que seria possível fazê-lo com 3)com 3)


s1(n+1) = ¼ x(n)+ ¼ x(n-1)+ ¼ s1(n+1) = ¼ x(n)+ ¼ x(n-1)+ ¼ x(n-2) + ¼ x(n-3) x(n-2) + ¼ x(n-3)

s2(n+1)= s1(n)s2(n+1)= s1(n) s3(n+1)=s2(n)s3(n+1)=s2(n) y(n)= ¼ s1(n)+ ¼ s2(n)+ ¼ s3(n) y(n)= ¼ s1(n)+ ¼ s2(n)+ ¼ s3(n)

+ ¼ x(n)+ ¼ x(n)s1(n+1) s1(n+1) ¼¼ ¼¼ ¼¼ s1(n) s1(n) 1/41/4

s2(n+1) =s2(n+1) = 11 00 00 s2(n)s2(n)+ 0+ 0 x(n)x(n)s3(n+1) s3(n+1) 00 11 00 s1(n)s1(n) 0 0


y(n) = [¼ ¼ ¼] s1(n) + [¼] x(n)y(n) = [¼ ¼ ¼] s1(n) + [¼] x(n)

s2(n)s2(n)

s3(n) s3(n)

Representação [A,B,C,D]Representação [A,B,C,D]

S(n+1) = A s(n) + B x(n)S(n+1) = A s(n) + B x(n)

y(n) = Cy(n) = CTT s(n) + D x(n) s(n) + D x(n)

Notas: Notas: Por omissão, todos os vectores são colunas. Por omissão, todos os vectores são colunas.

Um vector linha obtem-se transpondo um Um vector linha obtem-se transpondo um vector colunavector coluna

Todos os LTI podem ser colocados neste Todos os LTI podem ser colocados neste formatoformato

Sistema LTI Genérico Sistema LTI Genérico

MIMO: Multiple Input, Multiple OutputMIMO: Multiple Input, Multiple Output SISO: Single Input, Single OutputSISO: Single Input, Single Output

Espaço de estados infinito Espaço de estados infinito com funções de update com funções de update

lineareslineares

Exemplo: Circuito R/CExemplo: Circuito R/C

Resposta de um sistema Resposta de um sistema SISOSISO



m=0 m=1m

=n-1


A resposta pode ser decomposta em duas partes:A resposta pode ser decomposta em duas partes: Uma que só depende do estado inicialUma que só depende do estado inicial Outra que só depende das entradasOutra que só depende das entradas

Se a entrada for zero, a resposta só depende do Se a entrada for zero, a resposta só depende do estado inicial. Trata-se da resposta “zero-input”estado inicial. Trata-se da resposta “zero-input”

Se o estado inicial for zero, a resposta só depende Se o estado inicial for zero, a resposta só depende da entrada. Trata-se da resposta “zero-state”da entrada. Trata-se da resposta “zero-state”

A resposta total é a soma das duas.A resposta total é a soma das duas. O facto de se poder separar a resposta nestas duas O facto de se poder separar a resposta nestas duas

componentes, é uma característica importante dos componentes, é uma característica importante dos sistemas LTI.sistemas LTI.


Suponhamos que o estado inicial do Suponhamos que o estado inicial do sistema é igual a 0.sistema é igual a 0.

O sistema é linear !O sistema é linear !

2121

22

11

:

byaybxax

então

yx

yx

Resposta ImpulsivaResposta Impulsiva



Suponhamos a entrada impulso Suponhamos a entrada impulso (função Delta de Kronecker) (função Delta de Kronecker) x(n)=x(n)=nn::

x(0) = 1, x(n) = 0 x(0) = 1, x(n) = 0 nn Se assim for, a resposta do sistema Se assim for, a resposta do sistema

dá exactamente h(n)dá exactamente h(n) É por isso que a h(n) se chama É por isso que a h(n) se chama

“resposta impulsiva”“resposta impulsiva”

Exemplos SISO – circuito Exemplos SISO – circuito RCRC


Exemplo : circuito RCExemplo : circuito RC


Circuito RC : exemplo Circuito RC : exemplo numériconumérico

R=1MR=1MC=1C=1µµFF

ss


Exemplos SISO – circuito RC – Exemplos SISO – circuito RC – resposta impulsivaresposta impulsiva

Exemplos SISO – circuito RC – Exemplos SISO – circuito RC – resposta a uma entrada resposta a uma entrada

contínuacontínua

Exemplos SISO – circuito RC – Exemplos SISO – circuito RC – resposta a uma entrada resposta a uma entrada

contínuacontínua

Exemplos SISO – conta Exemplos SISO – conta bancária – resposta impulsivabancária – resposta impulsiva

Exemplos SISO – conta Exemplos SISO – conta bancária – cálculo de um bancária – cálculo de um

empréstimoempréstimo

Exemplos SISO – conta Exemplos SISO – conta bancária – cálculo de um bancária – cálculo de um

empréstimoempréstimo

Exemplos SISO – FIRExemplos SISO – FIR



Sistemas MIMOSistemas MIMO

A matriz A é quadradra (NxN)

A matriz B tem dimensões (NxM)

A matriz C tem dimensões (KxN)

A matriz D tem dimensões (KxM)

Sistemas MIMOSistemas MIMO

•A matriz h tem dimensões (KxM)•h(i,j) é a resposta impulsiva da saída yi à entrada xj, considerando as restantes entradas nulas

MIMO e SISOMIMO e SISO

jiTi

j

Ti

j

DCBADCBA

iClinhaC

jBcolunaB

,,,,,,,

),(

),(

Sistemas Lineares Sistemas Lineares ContínuosContínuos

SISOSISO zz: ReaisPositivos : ReaisPositivos → → ReaisReaisNN estado do sistema estado do sistema

zz ..(t) é a derivada de z avaliada em t(t) é a derivada de z avaliada em t vv: ReaisPositivos : ReaisPositivos → → Reais é a entrada do sistemaReais é a entrada do sistema w: ReaisPositivos w: ReaisPositivos → → Reais é a saída do sistemaReais é a saída do sistema

Sistemas ContínuosSistemas Contínuos Em vez do estado seguinte, da-se a Em vez do estado seguinte, da-se a

tendência do estado (a sua derivada).tendência do estado (a sua derivada). O estado seguinte não teria sentido uma O estado seguinte não teria sentido uma

vez que o sistema deixa de ser uma vez que o sistema deixa de ser uma máquina de estados cujos estados máquina de estados cujos estados mudam a intervalos regulares.mudam a intervalos regulares.

A resolução de um sistema contínuo, A resolução de um sistema contínuo, implica a resolução de equações implica a resolução de equações diferenciais (e transformadas de Laplace).diferenciais (e transformadas de Laplace).

É no entanto possível aproximar um É no entanto possível aproximar um sistema contínuo por um sistema sistema contínuo por um sistema discreto. Este é o processo usado em discreto. Este é o processo usado em simulações.simulações.

Aproximação de Sistemas Aproximação de Sistemas Contínuos – Circuito RCContínuos – Circuito RC

Conforme Conforme vimos no vimos no circuito R/C, circuito R/C, o sistema o sistema contínuo é contínuo é aproximado aproximado por um por um sistema sistema discreto.discreto.

Aprox. de Sistemas Contínuos Aprox. de Sistemas Contínuos RC : exemplo numérico RC : exemplo numérico

(revisão)(revisão)R=1MR=1MC=1C=1µµFF

ss

Aprox. de Sistemas Contínuos Aprox. de Sistemas Contínuos - RC (revisão)- RC (revisão)

Aprox. de Sistemas Contínuos Aprox. de Sistemas Contínuos - RC – resposta impulsiva - RC – resposta impulsiva

(revisão)(revisão)

Aprox. de Sistemas Contínuos Aprox. de Sistemas Contínuos - RC – resposta a uma entrada - RC – resposta a uma entrada

contínua (revisão)contínua (revisão)

Aprox. de Sistemas Contínuos Aprox. de Sistemas Contínuos - RC – resposta a uma entrada - RC – resposta a uma entrada

contínua (revisão)contínua (revisão)

SimulinkSimulink

Declarativo e não imperativoDeclarativo e não imperativo Apenas de declaram blocos corrrespondentes a Apenas de declaram blocos corrrespondentes a

sistemas e as ligações entre elessistemas e as ligações entre eles Simulink faz a simulação do sistema contínuo, Simulink faz a simulação do sistema contínuo,

aproximando-o a um discreto.aproximando-o a um discreto. Existem várias formas de fazer a aproximação e Existem várias formas de fazer a aproximação e

podem ser configuradas no solver do simulink.podem ser configuradas no solver do simulink. Algumas formas são mais exactas que outras Algumas formas são mais exactas que outras

para certos sistemas.para certos sistemas. Nos exemplos do lab, o solver existente por Nos exemplos do lab, o solver existente por

omissão é suficiente.omissão é suficiente. Simulink também pode simular sistemas Simulink também pode simular sistemas

discretos.discretos.

SimulinkSimulink

O bloco integrador é o bloco 1/s O bloco integrador é o bloco 1/s (tem a ver com transformadas de (tem a ver com transformadas de Laplace)Laplace)

SimulinkSimulink

Se a = 0.9Se a = 0.9

SimulinkSimulink

Se a = -0.9Se a = -0.9

Aproximação por equações às Aproximação por equações às diferençasdiferenças

nn asCAny

nsans

ntasnsns

tazt

tzttz

tazz

1)0()(

)()1()1(

)()()1(

)()(

)(

Aproximação por equações às Aproximação por equações às diferençasdiferenças

nn asCAny 1)0()(

Independentemente de delta, se a>0 o Independentemente de delta, se a>0 o sistema diverge (é instável), se a<0 o sistema diverge (é instável), se a<0 o sistema converge (é estável)sistema converge (é estável)

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