Sistemas e Sinais Transformada de Fourier Discreta DEEC/ ISTIsabel Lourtie TRANSFORMADA DE FOURIER DISCRETA Transformada de Fourier de sinais discretos

Sistemas e Sinais Transformada de Fourier Discreta

DEEC/ IST Isabel Lourtie

TRANSFORMADA DE FOURIER DISCRETA

Transformada de Fourier de sinais discretos não periódicos

Transformada e série de Fourier de sinais discretos periódicos

Propriedades da transformada e da série de Fourier de sinais discretos

Função resposta de frequência e resposta impulsional

Amostragem de sinais



nhTF

Motivação

njenx nh ?ny

SLIT

nj

k

kj

k

knj

k

eekh

ekh

knxkh

nxnhny

njjnj eeHnyenx

Espectro de frequência

n

njj enxeX

deeXnx njnj

221 jeH



Definição

n

njj enxeXnx

0

01

n

nj

n

njn

n

njnj

ae

eaenuaeX

j

n

aeanua

111;1

Exponencial direita

1;1 anuanx n

1 nx

n0

Série geométrica:

1;

1;1

1

r

rr

rrN

Nn

n

jae1

1

r



Espectro de frequência da exponencial real

sincos11

111;1 jaaae

anua jn

cos21

1sincos1

11

1

2

222

aa

aaaeeX

jj

cos1sinarctanargaaeX j



Transformada de Fourier Discreta

é sempre periódica em com período jeX 2

Demonstração

n

nkjkj enxeX 22

n

knjnj eenx 2

1

j

n

nj eXenx

Exponenciais complexas discretas com frequências separadas de um múltiplo de representam a mesma exponencial

2



Definição

221 deeXnxeX njjj

jeXjjj eeXeX arg

jeX

2

1

22

2

jeXarg

21 2

2

2

1

2arg

1:22

j

j

eX

eX

2

2

2

21

deenx njj

2

2

2

21

de

nj

2

2

2

221

nj

enj

22

22

22

1 njnjee

nj

22

sin2 nj 2

12

sin

n

nnx



Convergência da Transformada de Fourier Discreta

Condição suficiente para a existência de transformada de Fourier:

é absolutamente somável, i.e., nx

n

nx

ou

é de energia finita, i.e., nx

n

nx 2

Vários sinais não periódicos, como o escalão unitário, e os sinais periódicos, não satisfazem estas condições.



Sinais periódicos

njnjnjj ededeeXnx 00

2

221

21

Qual é o sinal cuja transformada de Fourier é periódica de período

e que para é ?

nx 02 jeX

2

jeX

0

2

20 20 40 40

22 0

TF0nje



Sinais periódicos

Ex. 1

22TF1 0njj eeXnnx

22 0

TF0nje

jeX

2

22 44 0



22

222221

2TFcosTF

00

00

0

00 njnj eenEx. 2

Sinais periódicos

22 0

TF0nje

jeX

22 44 00



Sinais periódicos

Nk

knNj

keanx2

é periódico com período fundamental e, portanto, com frequência fundamental

N nx

N2

kk

j kN

aeX 22

TF

Série de Fourier do sinal periódico nx

Coeficientes da série de Fourier:

Nn

knNj

k enxN

a21

Combinação linear de exponenciais complexas de frequências Nkk 2

N



periódico com períodoka 12N

21;

21:65 4433 jaaaak

Série de Fourier

Ex. 1

nnnx

23cos

32sin

32

10

2

320

124,3mmc4

43

2

331

2

2

2

1

1

00

00

NN

N

22

23

23

32

32 njnjnjnj

eejee

Nk

knNj

keanx2

Nn

knNj

k enxN

a21

62

N

Mas

pelo que ...... 153921 aaaa

...... 25

223

27

njnjnjnj

eeee

4a9a 9a4a

njnjnjnjee

je

je 2

33

23

22

3

21

21

21

21



Série de Fourier

2

1

42

414n

knj

k enxaN

2222 0100

41 kjkjkj

eee kj

e 2

41

2

1

12

2

1

22

41

41

k

knj

k

knjkjeeenx

Nk

knNj

keanx2

Nn

knNj

k enxN

a21

Ex. 2 nx

n

1

4 0 4 8812

… …

12 11411

2cos

21

41

nkj

k nnxea

11

21

2 141 njnjnj

eee



k

kkXoutros;0

3;21

2

k

kj

kj

kX

outros;0

4;21

4;21

1

Ex.

nnnx

23cos

32sin

6212

N

N

k

kj

kj

k

kX

k

outros;0

4;21

4;21

3;21

:65 Para

Propriedades da Transformada e da Série de Fourier

P1. Linearidade jj ebXeaXnbxnax 21

TF

21

kbXkaXnbxnaxN

21

2SF,

21

23

2sin3

23

2

1 jeennx

njnj

223cos

23

23

2

njnjeennx




P2. Translação no Tempo jnj eXennx 0

TF

0

kXennxnk

NjN 02

2SF,

0

Ex.

2

2cos nny

k

kkX

kN

nnx

outros;0

1;21

:21 Para2

22

cos

224

41

22

20

N

N

njjnjjnjnj

eeeeee 22

22

22

222

k

ke

ke

kY

k

j

j

outros;0

1;2

1;2

:21 Para

kXekYnxny kjN

2

2

2




P3. Translação na Frequência 00

TF jnj eXnxe

0

2SF,20 kkXnxe

NnN

jk

Ex.

neny

nj

2cos2

224

41

22

20

N

N

21

21

21

21

20

222

njnjnj

njnjnj

eeeeee

k

k

k

kY

k

outros;0

0;21

2;21

:21 Para

k

kkX

kN

nnx

outros;0

1;21

:21 Para2

22

cos

12

2

2

kXkYnxenyNnj



P4. Inversão Temporal jeXnxTF

kXnxN

2SF,


Ex.

nny

2sin

224

41

22

20

N

N

njnjnjnj

ejejjee 22

22

21

21

2

k

kj

kj

kY

k

outros;0

1;21

1;21

:21 Para

k

kj

kj

kX

kN

nnx

outros;0

1;21

1;21

:21 Para2

22

sin

kXkYnxnyN

22




P5. Convolução jj eXeXnxnx 21

TF

21

kXkNXnxnxN

21

2SF,

21

N

nxxnxnx

2121 Convolução circular:

Ex.

nx2 periódico com período 32 N

31 N nx1

n0 3 63

1

6

… …

322,3),mmc( 21

N

NNN

kenxkXnjk

n

3

131 3

21

111

kXkXkXkNX 2221 313

Propriedade da convolução

nxnxxnxnx 2

1

12121




P6. Diferenciação na Frequência

dedXjnnxjTF

P7. Soma no Tempo

k

jjj

n

keXeXe

x 21

1 0TF

P8. Simetria Se nx é uma função real, então

jj eXeX *TF: kXkX *SF:

jj eXeX * jeX jj eXeX argarg * jeXarg




P9. Modulação jjj ePeSeRnpnsnr

21TF

kPkSkRnpnsnrN

2SF,

3223

2

3

2

kkPkP

kPSkR

Ex. njens 3

2

nj

enp 3

njnj

eenpnsnr 332

31

23 0

1

N 661

2 20

N

3

26,mmc 21

N

NNN

22;02;1

:32 Para

kkkkS

k

11;01;1

kkkkP

njenr



2sin2 j

0Para é 2

Exemplo

111 NnuNnu

jjNjNjjNjjNjj eUeeeeUeeUeeX 111

1

21

11

TF

1 jj

eeUnu

Tabela:

21sin2 Nj

2sin

21sin N

eX j

Linearidade + Translação no TemponN N

nx1

… …

j

NjNjjjjNjjNjjeUeeeeUeeeee 1

21

21

21

222

221sin2

121sin2 2

2

NjeeeNj

j

j

j

22

121sin2

jjee

Nj



Resposta Impulsional Resposta em Frequência

nxnhny nx nh jjj eXeHeY jeX jeH

jeHnhTF

Baixa Frequência:

Alta Frequência:

...4,2,0

...5,3,

jeH

2 2

… …

0

Filtro passa-baixo

jeH

2 2

… …0

Filtro passa-alto



Resposta em Frequência

jeX jeH1 jeH 2 jeY jj eHeH 21

jeX jeY

SLITs em série

jeH1

jeH 2

jeX jeY jj eHeH 21 jeX jeY

SLITs em paralelo

jeX jeY jeH1

jeH 2

jj

jj

eHeHeHeH

21

1

1

Realimentação



Equação às Diferenças Resposta em Frequência

nySLIT

nx

M

kk

N

kk knxbknya

00

M

kk

N

kk knxbknya

00

TFTF

M

kk

N

kk knxbknya

00

TFTFLinearidade

Translação no tempo

jkjM

kk

N

k

jkjk eXebeYea

00

jkjM

kk

jN

k

kjk eXebeYea

00

N

k

kjk

kjM

kk

j

jj

ea

eb

eXeYeH

0

0




t

x(t)

0 T 2T 3T-T-2T-3T 4T-8T -6T -5T -4T 5T-7T-8 n0 1 2 3-1-2-3

xd(n)=x(nT)

-7 -6 -5 -4 54



modelo matemático

tp

txp tx

n

nTttp

n

p

nTtnTx

tptxtx


t

xp(t)

-2T -T 0 T 2T 3T 4T 5T

t

x(t)

0

p(t)

t0 T 2T 4T 5T-T 3T-2T

1



Relação entre os espectros de e tx txp

jPjXjXtptxtx pTF

p 21

k

k

Tk

TjP

kTttp

22

Tabela

djX

Tk

TdjXjPjX

kp

2221

21

k

djXTk

T 21

k TkjX

T 21

k

sp kjXT

jX 1

- frequência de amostragemTs 2



Relação entre os espectros de e tx txp

k

sp kjXT

jX 1 jX

M M

1

Ms T 22

jX p

T1

2s

ss2s

… …

Ms T 22

jX p

ss

T1

… …



Teorema da Amostragem

0, jXM

Ms T 22

Seja um sinal contínuo de banda limitada tal que

Então é univocamente determinado pelas suas amostras sse a frequência de amostragem

tx

tx

M2 - ritmo de Nyquist



Relação entre os espectros do sinal contínuo e do sinal discreto nTxnxd

txp

n

njnj

nd

jd enTxenxeX

n

Tnj

np enTxnTtnTxjX TF

nTtnTxtxn

p

Tjdp eXjX



Relação entre os espectros do sinal contínuo e do sinal discreto nTxnxd

txp

Tjdp eXjX Mudança de escala: T jX p

T1

2s

ss2s

……

T1

jd eX

2 2

……



Amostragem e Reconstrução jX

M M

1

jX r

M M

1

T

ttth

TjH s

s

s

2sin2;02;

dthxthtxtx ppr

nn

nTthnTxdthnTnTx

tnTtnTxtx s

nr

2sin

fórmula de interpolação

jX p

T1

2s

ss2s

tp

tx

n

p nTtnTxtx

… …



Amostragem de uma sinusoide ttx 50cos)(

)( jX

5050Ms 2100150

txttxr 50cos)(

T

)( jX p

5050 100200 150 200100150

T

T

……



ttx 50cos)(

)( jX

5050

Amostragem de uma sinusoide

Ms 210040

T)( jX p

5050

40

90 9010

40

10

T

T

80 80

……

txttxr 10cos)(

05.02

s

T

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