Sistemas Elétricos de Potência

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Curso de Engenharia Eltrica

Anlise de Sistemas de Potncia

Uma Introduo

Prof. Luiz Bizerra de Aguiar

Agosto 2013

Reviso: Fevereiro 2014

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APRESENTAO

Os sistemas eltricos de potncia so constitudos das fontes onde a

energia gerada e de suas interligaes com os centros de consumo, atravs dos

transformadores e das linhas de transmisso. Eles apresentam problemas

relacionados com regime permanente, comportamento dinmico e condies de

estado transitrios, que precisam ser devidamente estudados e equacionados em

termos de planejamento e operao do sistema.

O texto a seguir trata de anlise de sistemas de potncia. So

apresentados tpicos bsicos sobre os sistemas eltricos de potncia que servem

de base para estudos mais avanados da Engenharia Eltrica, principalmente

sobre fluxo de potncia e curto circuito. Alguns aspectos introdutrios adicionais

so tambm includos, relacionados com a proteo e a estabilidade dos

sistemas.

Trata-se de um texto orientativo para os alunos da disciplina Anlise de

Sistemas de Potncia, em carater introdutrio, que deve ser complementado com

resolues de exerccios, discusses em sala de aula e consultas s referncias.

Contem, portanto, elementos bsicos sobre sistemas eltricos de potncia,

aprofundando e aplicando conceitos vistos nas disciplinas de Anlise de

Circuitos, Converso de Energia e Introduo ao Sistema de Potncia e

apresentando assuntos que se complementam principalmente com as disciplinas

de tratam da transmisso, da distribuio e da gerao da energia eltrica, assim

como das mquinas e equipamentos eltricos.

Esses tpicos bsicos servem como preparao para estudos mais

avanados em sistemas de potncia, voltados particularmente para aplicaes de

mtodos computacionais, operao econmica, confiabilidade, controle e

automao, estabilidade e proteo.

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INDICE

1. INTRODUO AOS SISTEMAS DE POTNCIA..................................3

2. CONCEITOS BSICOS PARA ANLISE DOS SISTEMAS................11

3. REPRESENTAO E MODELAGEM DOS COMPONENTES...........27

4. ANLISE DE REDES ELTRICAS......................................................44

5. FLUXO DE POTNCIA.........................................................................56

6. CURTO CIRCUITO SIMTRICO..........................................................71

7. CURTO CIRCUITO ASSIMTRICO.....................................................79

8. TPICOS COMPLEMENTARES.........................................................93

8.1 Introduo Proteo dos Sistemas..........................................93

8.2 Introduo Estabilidade dos Sistemas...................................95

REFERNCIAS.......................................................................................103

ANEXOS.................................................................................................104

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1. INTRODUO AOS SISTEMAS DE POTNCIA

Um sistema eltrico de potncia abrange a gerao, a transmisso e a

distribuio da energia, chegando at as unidades consumidoras industriais,

comerciais, prediais e nas residncias, utilizando-se de diversos dispositivos e

equipamentos.

Gerao, Transmisso e Distribuio

A gerao de energia eltrica realizada a partir da energia dos potenciais

com queda dgua nas usinas hidreltricas, da energia de combustveis com a

gerao termoeltrica e de alternativas como energia nuclear, energia elica e

energia solar. No Brasil a maior parte de energia gerada de origem hidrulica.

Entre a gerao e a transmisso fica uma subestao elevadora e entre a

transmisso e a distribuio fica uma subestao abaixadora. Na distribuio

ficam os transformadores abaixadores que possibilitam a chegada da energia s

instalaes das unidades consumidoras, ou seja, das cargas, onde a energia

utilizada.

Na Figura 1.1 est representado, em diagrama esquemtico bsico, um

sistema eltrico de potncia que compreende a gerao, a transmisso, a

distribuio e utilizao da energia, incluindo as subestaes elevadoras e

abaixadoras.

Figura 1.1 - Diagrama bsico simplificado de um sistema eltrico

A tenso gerada nos geradores trifsicos de corrente alternada, nor-

malmente na faixa de 2,4 a 25 kV, sendo mais frequente em 13,8 kV,

transformada a valores elevados de tenso, em funo da potncia a ser

transmitida e das distncias s reas onde a energia ser consumida.

A subestao junto usina eleva a tenso para valores compatveis com

os valores das potncias a serem transmitidas. As tenses mais usuais em

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corrente alternada para a transmisso de energia so: 750 kV, 500 kV, 400 kV,

345 kV e 230 kV. As tenses das linhas de transmisso normalmente so acima

de 230 kV. A transmisso atravs das linhas nas tenses de 138 kV e 69 kV

denominada de subtransmisso.

A Figura 1.2 mostra imagens dos tipos usuais das fontes de produo de

energia eltrica.

Figura 1.2 - Tipos usuais de gerao de energia eltrica

A transmisso significa o transporte de energia eltrica gerada nas usinas

distantes at os centros consumidores O transporte da energia realizado

atravs de linhas de transmisso, em geral em tenso ou corrrente alternada

trifsica, com uma capacidade de transmisso adequada.

A Figura 1.3 mostra algumas fotos de linhas de transmisso e

subtransmisso de energia eltrica.

Figura 1.3 - Linhas de transmisso e subtransmisso

http://pt.wikipedia.org/wiki/Linha_de_transmiss%C3%A3o

5

A distribuio a parte do sistema eltrico dentro dos centros de utilizao

(cidades, bairros, indstrias). A distribuio comea na subestao abaixadora,

onde as tenses da linha de transmisso e subtransmisso so baixadas para

valores padronizados em 34,5 kV e 13,8 kV.

A Figura 1.4 mostra fotos de alguns tipos de linhas e redes de distribuio

primria.

Figura 1.4 - Linhas e redes de distribuio primria

As linhas de transmisso so conectadas s subestaes, que dispe de

mecanismos de manobra e controle, de forma a reduzir problemas decorrentes de

eventos transitrios que podem ocorrer durante a operao normais de

chaveamentos ou descargas atmosfricas.

A transmisso de energia , em geral, em tenso ou corrente alternada

(CA) trifsica, atravs de linhas areas. H casos de transmisso CA atravs de

linhas monofsicas e perspectivas de utilizao de linhas hexafsicas. Em

algumas situaes so tambm utilizadas linhas subterrneas e linhas

subaquticas.

A transmisso em corrente contnua (CC) tem sido considerada tambm

como alternativa para a transmisso de grandes blocos de energia. A converso

entre corrente alternada e corrente continua realizada atravs de retificados

utilizando tiristores de alta tenso, sendo seu custo o maior fator de desvantagem.

O uso da corrente contnua tem como vantagens o desacoplamento entre

sistemas e a economia de cabos, usando estruturas mais leves. Pode ser

realizada de forma unipolar (um condutor, com retorno pelo terra) ou bipolar (dois

condutores, de polaridades positiva e negativa).

http://pt.wikipedia.org/wiki/Subesta%C3%A7%C3%B5eshttp://pt.wikipedia.org/wiki/Tiristor

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Nveis de Tenso

O transporte de energia pode ser feita em diversos nveis de tenso, com

valores padronizados, podendo ser classificada conforme segue:

Distribuio: 13,8 e 34,5 kV;

Subtransmisso: 69 e 138 kV;

Transmisso: 230 kV e valores superiores.

A transmisso propriamente dita pode ser classificada como:

Alta tenso: 230 kV;

Extra-alta tenso: 345, 500, 765 kV (CA), 600 kV (CC);

Ultra-alta tenso: 1000 kV (CA), 800 kV (CC) e valores superiores.

Interligao de Sistemas

Em sistemas de grande porte usual a interligao entre as usinas ou

outros sistemas, atravs das linhas de transmisso, formando uma rede. As

interligaes aumentam a confiabilidade do sistema, porm aumenta a sua

complexidade. A interligao pode contribuir para a melhoria do suprimento de

energia, mas tambm propaga falhas de uma parte do sistema para outra.

A Figura 1.5 mostra uma configurao de um sistema eltrico interligado,

constitudo de cinco sistemas ou subsistemas.

Figura 1.5 Exemplo de uma configurao de um sistema eltrico interligado

http://pt.wikipedia.org/wiki/Confiabilidadehttp://pt.wikipedia.org/wiki/Complexidade

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Funes do Sistema Eltrico e Componentes

Resumidamente, podem ser mencionadas as funes bsicas do sistema

eltrico e seus componentes:

a) Sistema: Fornecer energia eltrica aos usurios com qualidade adequada;

b) Gerao: Converter determinado tipo de energia em energia eltrica;

c) Transmisso: Transportar a energia eltrica da gerao aos centros de

consumo;

d) Distribuio: Distribuir energia eltrica para utilizao pelos consumidores;

e) Subestaes: Alterar os nveis de tenso para permitir a transmisso e a

distribuio;

f) Unidades consumidoras: Utilizar a energia eltrica.

Engenharia de Sistemas Eltricos

A engenharia de sistemas eltricos envolve basicamente as atividades

relacionadas com:

Estudos e planejamento do sistema;

Projeto e construo das usinas e linhas;

Operao e manuteno dos sistemas.

Consideram-se como requisitos bsicos a serem atendidos:

Confiabilidade do sistema;

Segurana das instalaes;

Economia e viabilidade dos empreendimentos.

Dentre os tipos de estudos que podem ser realizados envolvendo os

sistemas de potncia podem ser mencionados:

Estudos das caractersticas das cargas;

Caractersticas dos Equipamentos;

Compensao de reativos e regulao de tenso;

Anlises em regime permanente;

Estudos de fluxo de potncia;

Curto circuito e sobrecorrentes;

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Anlise de transitrios;

Sobretenses e isolamento; Qualidade do fornecimento de energia

Estabilidade;

Proteo;

Operao econmica;

Confiabilidade do sistema

Dinmica e controle do sistema;

Problemas de otimizao.

Desenvolvimentos e Perspectivas

A seguir esto mencionados alguns pontos que representam reas em que

se encontram elevados desenvolvimentos tecnolgicos e perspectivas para o

futuro dos sistemas de energia:

Transmisso UAT/CA em 800 a 1500 kV (EUA, Canad, Japo, Rssia,

Itlia, Brasil);

Transmisso CC (EUA, Itlia, Brasil, China);

Eletrnica de potncia, multiterminais;

Transmisso hexafsica;

Linhas de transmisso compactas;

Linhas de meio comprimento de onda;

Linha de potncia natural elevada LPNE;

Compensao de reativos e controle de tenso;

Tecnologias de materiais e equipamentos;

Tecnologias de informtica e comunicao;

Confiabilidade do sistema e segurana das instalaes;

Sistemas de automao e controle;

Sistemas FACTS (Flexible Alternative Current Transmission Systems);

Tcnicas de sistemas inteligentes.

Evoluo dos Sistemas de Transmisso

Alguns marcos histricos relacionados com a evoluo dos sistemas

eltricos podem ser mencionados em destaque, conforme indicados a seguir:

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1880 : Fase inicial em CC (Edison, New York);

1885: CA (George Westinghouse/EUA);

1885/1886: Sistema experimental em CA com 50 lmpadas;

1888: Motores de induo e sncronos bifsicos (Tesla);

1889: Primeira UHE no Brasil;

1890: Primeira LT em operao (Oregon/EUA), 3,3 kV, 20 km,

monofsica, iluminao, motores monofsicos;

1893: Distribuio bifsica;

1894: 5 UHE nos EUA (1 bifsica/e 4 trifsicas);

1907: Transmisso em 100 kV;


1917: Sistemas interligados;

1923: Transmisso em 244 kV (operao em 1926);

1926: Transmisso em 287 kV (operao em 1936);


1965: Transmisso em 500 kV e 735 kV (Hidro Quebec/Canad);

1969: Transmisso em 765 kV.

Sistema de Transmisso no Brasil

O sistema eltrico brasileiro um dos maiores e mais complexos do

mundo. Em termos de transmisso de energia eltrica pode-se mencionar alguns

dados relativos aos quantitativos de linhas de transmisso, com as capacidades

de gerao e transformao, conforme segue [8]:

Capacidade instalada de gerao de energia eltrica: 116.498 MW em

2011 e previso de 182.408 MW para 2021;

Capacidade de transformao na transmisso: 232.877 MVA em 2011 e

previso de 311.213 MW;

O sistema de transmisso nas tenses de 230 kV a 750 kV: 102.850 km

em 2011 e previso de 150.583 km para 2021;

Pode-se acrescentar que os sistemas de subtransmisso e distribuio

representa atualmente cerca de 3 milhes de km de linhas.

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A Figura 1.6 mostra um mapa com a representao do sistema de transmisso

no Brasil, na configurao em 2012.

Figura 1.6 - Sistema de transmisso no Brasil configurao 2012

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2. CONCEITOS BSICOS PARA ANLISE DOS SISTEMAS

Os conceitos bsicos necessrios anlise dos sistemas eltricos de

potncia envolvem as grandezas fundamentais, os parmetros dos componentes,

modelos dos componentes, os circuitos monofsicos simples ou equivalentes, os

circuitos trifsicos equilibrados e os circuitos trifsicos desequilibrados, assim

como as grandezas com os valores em por unidade (pu).

Variveis e Parmetros

As variveis bsicas associadas s grandezas eltricas, e suas unidades,

so a tenso em volt (V) e a corrente em ampre (A). Como variveis derivadas

tem-se a potncia em watt (W) e a energia em watt.hora (W.h). Em sistemas

utilizam-se normalmente as unidades V ou kV, A ou kA, W, kW ou MW, kWh,

MWh ou GWh.

As tenses e as correntes so expressas como funes do tempo e da

frequncia, sendo que em 60 Hz so expressas em termos de valores eficazes.

No sistema, seja nos geradores, nos transformadores ou nas linhas, so

indicados os valores de fase e de linha.

As potncias podem ser expressas tambm como funes do tempo e da

frequncia, sendo que em 60 Hz so expressas em funo dos valores eficazes

das tenses e das correntes, resultando numa potncia complexa, cujo mdulo

a potncia aparente e as componentes so a potncia ativa e a potncia reativa.

Os parmetros dos componentes, geradores, linhas, transformadores e

cargas, so constitudos de resistncia, indutncia e capacitncia. As

Impedncias so composies de resistncias com as reatncias indutivas e

capacitivas.

Modelos para Anlise

Cada componente do sistema, gerador, linha, transformador ou carga, tem

um modelo de representao apropriado para cada tipo de estudo, conforme ser

visto mais adiante.

Preliminarmente podem-se considerar os seguintes tipos de representao

dos componentes:

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Geradores: resistncia e reatncias por fase permanente, transitria e

subtransitria;

Linhas: Linha curta: resistncia e reatncia indutiva; Linha mdia:

resistncia, reatncia indutiva e reatncia capacitiva; Linha longa: resistncia,

reatncia indutiva e reatncia capacitiva, por unidade de comprimento,

considerando parmetros distribudos;

Transformadores: resistncia e reatncia, mas em muitas situaes

somente a reatncia.

Os modelos dos componentes podem ter uma representao bsica mas

em certas situaes pode-se usar circuitos equivalentes. Os diagramas das

tenses e correntes podem ser representados na forma fasorial. As potncias

podem ser representadas atravs de tringulo de potncias.

No sistema importante o conhecimento da potncia transmitida nas

linhas, suas capacidades de transmisso por corrente ou por tenso, as perdas,

as variaes de tenso e regulao, a variao de reativos, as condies de

colapso etc.

Tenses, Correntes e Potncias

As tenses e correntes podem ser expressas como funes do tempo e

como fasores, conforme as seguintes correspondncias:

Nessas expresses tem-se os valores mximos VM e IM, os valores

eficazes Vef e Ief e as fases 00 e 0, correspondentes s tenses e correntes,

respectivamente. Os valores podem ser para circuitos monofsicos e circuitos

equivalentes monofsicos de um circuito trifsicos, com grandezas de linha ou de

fase.

As expresses das potncias instantneas p(t) e aparentes S so as

seguintes:

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Graficamente as funes v(t), i(t) e p(t) podem ser representadas

conforme mostradas na Figura 2.1.

Figura 2.1 Representao das tenses, correntes e potncias

Desenvolvendo a expresso da potncia, tem-se:

A potncia constituida, portanto, de duas parcelas ou componentes, que

correspondem potncia na parte resistiva, chamada de potncia real ou ativa, e

potncia na parte reativa, chamada de potncia reativa, respectivamente, tendo-

se ento:

A potncia mdia da segunda parcela nula e a potncia mdia total

resulta na potncia mdia da primeira parcela, isto :

Esta potncia tambm chamada de potncia real ou potncia ativa. O

valor mximo de px chamado de potncia reativa.

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As componentes da potncia tambm podem ser expressas em termos das

correntes na parte resistiva e na parte reativa, nas seguintes formas:

As componentes da corrente na parte resistiva e na parte reativa so,

portanto:

Em termos de fasores, a composio das potncias ativa e reativa forma a

potncia aparente. Dessa forma, sendo P a potncia ativa e Q a potncia reativa

fica definida uma potncia aparente S, complexa, da seguinte forma:

O ngulo o ngulo entre a potncia ativa e a potncia aparente, que

corresponde tambm ao ngulo entre a tenso e a corrente. O fator de potncia fp

a relao entre a potncia ativa e a potncia aparente sendo, portanto, igual ao

cosseno do ngulo entre essas potncias, isto , cos.

Tem-se, ento, que:

Essas grandezas podem ser representadas atravs dos fasores das

tenses e correntes e do tringulo de potncias ativas, reativas e aparentes,

conforme mostra a Figura 2.2.

Figura 2.2. Representao dos fasores e tringulo de potncias

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Circuitos Monofsicos

O circuito monofsico correspondente a uma parte do sistema

representado conforme mostra a Figura 2.3. O circuito representa uma fonte com

uma tenso gerada Eg e uma impedncia Zg, uma linha com uma impedncia ZA,

composta de uma resistncia R e uma reatncia X, e uma carga como uma

impedncia ZL. Nos terminais do gerador esto indicadas a tenso Vt e a corrente

IL e na carga a tenso VL

Figura 2.3 - Representao de um circuito monofsico

No circuito monofsico tem-se, em valores eficazes, que:

As equaes correspondentes ao circuito so:

No gerador tem-se:

Circuitos Trifsicos Equilibrados

O circuito trifsico equilibrado representa as trs fases de uma fonte com

uma tenso gerada Eg e uma impedncia Zg, uma linha com uma impedncia Z,

composta de uma resistncia R e uma reatncia X, e uma carga como uma

impedncia ZR, conforme mostra a Figura 2.4. Esto indicadas a tenso Vt nos

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terminais do gerador e a tenso VR na carga, como tambm a corrente na linha

que, no caso, igual do gerador e da carga

Figura 2.4 - Representao de um circuito trifsico equilibrado

O equivalente monofsico est representado na Figura 2.5.

Figura 2.5 Equivalente monofsico do sistema trifsico

Os circuitos podem ser equacionados e representados em diagramas

fasoriais. As tenses no gerador esto representadas na Figura 2.6.

Figura 2.6 Diagrama das tenses no gerador

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As tenses na fonte so:

As tenses nos terminais do gerador so:

As correntes nas linhas so:

As tenses entre duas linhas, ou tenses de linha, so:

Tem-se graficamente, os fasores das tenses de frase e de linha, conforme

a Figura 2.7:

Figura 2.7 Diagrama das tenses na linha

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Tm-se igualmente os fasores das correntes, conforme a Figura 2.7:

Figura 2.8 Diagrama das correntes

Circuitos Trifsicos Desequilibrados

O circuito trifsico desequilibrado, correspondente a um componente do

sistema pode ser representado conforme mostra a Figura 2.9. O circuito

representa as trs fases de uma fonte com uma tenso gerada Eg e uma

impedncia Zg, uma linha com uma impedncia ZA, composta de uma resistncia

R e uma reatncia X. A carga est representada pelas impedncias de cada fase

Za, Zb e Zc, que respondem pelos desequilbrios. Nos terminais do gerador esto

indicadas as tenses Vt e as correntes IL para cada linha e na carga as tenses

em cada fase VL. Est tambm indicado o diagrama fasorial das tenses e

correntes.

Figura 2.9 Sistema trifsico desequilibrado

Condutores e Parmetros das Linhas

As linhas de transmisso de energia apresentam como parmetros

eltricos a resistncia, a indutncia, a condutncia e a capacitncia. Das

indutncias e capacitncias resultam as reatncias indutivas e capacitivas.

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A impedncia srie a composio da resistncia e reatncia indutiva e a

admitncia derivao, ou shunt, a composio da condutncia e reatncia

capacitiva. A susceptncia a admitncia derivao desprezando-se a

condutncia.

O comportamento das linhas depende desses parmetros, que por sua vez

influenciam o comportamento do sistema de potncia. Os parmetros podem ser

representados como concentrados ou distribudos e considerados de forma

completa ou de forma simplificada, dependendo do tipo de estudo a ser realizado.

Os condutores so predominantemente de alumnio, principalmente

condutores de alumnio com alma de ao - CAA (ou ACSR - aluminium conductor

steel reinforced), podendo-se usar tambm condutores de cobre em algumas

situaes, como em alguns casos nas linhas de distribuio. Os condutores de

cobre so melhores condutores de eletricidade que os de alumnio, porem seu

uso limitado deve-se ao seu custo mais elevado, como tambm ao seu maior

peso.

Uso de Tabelas

As caractersticas dos condutores podem ser encontradas em tabelas.

Algumas dessas caractersticas esto apresentadas, de forma simplificada, nas

tabelas seguintes, considerando valores tpicos de espaamentos equivalentes

para alguns nveis de tenso e tipos de condutores.

As Tabelas 2.1 a 2.4 mostram alguns dados das caractersticas das linhas

e condutores, com os valores das resistncias das reatncias indutivas e

capacitivas para os espaamentos usuais.

Tabela 2.1 Tenses, condutores e espaamentos equivalentes

Tenses

(kV)

Condutores

(AWG, MCM)

Espaamento Equivalente

(m) (p)

13,8 1/0, 4/0 1,35 4,40

34,5 4/0, 336.4 1,58 5,18

69 4/0, 336.4 3,60 11,81

138 336.4, 636.0 5,10 16,73

230 636.0 10,10 33,13

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Tabela 2.2 - Caractersticas de condutores por unidade de comprimento (km)

Condutor (AWG, MCM)

Resistncia (r, /km - 500C)

Reatncia Indutiva (xa, /km, 60Hz)

(*)

Reatncia Capacitiva (xa,

M.km, 60Hz) (*)

1/0 0,696 0,408 0,196

4/0 0,368 0,361 0,179

336.4 0,190 0,280 0,167

636.0 0,100 0,256 0,152

(*) - Para espaamento de 1p

Tabela 2.4 - Tenses e reatncias para espaamentos usuais

(kV) xd (/km) xd (M.km)

34,5 0,124 0,078

69 0,187 0,118

138 0,135 0,135

230 0,264 0,168

Tabela 3.4 - Resistncias e reatncias totais

(kV) Condutor (r, /km) (x, /km) (x, M.km)

13,8 1/0 0,696 0,520 0,227

34,5 4/0 336.4

0,368 0,190

0,485 0,404

0,257 0,245

69 4/0

336.4 0,368 0,190

0,548 0,467

0,297 0,285

138 336.4 636.0

0,190 0,100

0,493 0,368

0,302 0,287

230 636.0 0,100 0,520 0,320

Obs: x = xa + xd x = xa + xd

Pode-se observar que reatncias indutivas e capacitivas totais no variam

muito com as tenses, com os condutores, nem com os espaamentos. Pode-se

verificar que a ordem de grandeza dessas reatncias a seguinte:

x 0,5 /km x 0,3 M.km

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Anlise das Linhas Curtas

Considera-se como linha curta, em geral, uma linha com uma tenso de

distribuio em 13,8 kV e 34,5 kV, ou em tenses maiores mas com o

comprimento pequeno, at cerca de 80 km.

Basicamente a linha curta representada pela resistncia e reatncia

indutiva do condutor. As equaes que envolvem as tenses e as correntes em

funo das potncias so aproximadas, mas compatveis com os resultados a

serem obtidos. A Figura 2.10 mostra uma representao de uma linha curta e o

diagrama fasorial correspondente.

Figura 2.10 - Representao de uma linha curta e diagrama fasorial

Normalmente so determinadas as quedas de tenso na linha e a

regulao na carga, utilizando-se os parmetros e variveis em valores normais

ou em por unidade (pu) e por cento (%).

Sendo a potncia na carga S = P+jQ, e a tendo a tenso na carga como

referncia, com ngulo =00, a equao da linha dada por:

A queda de tenso na linha :

Em termos aproximados, a queda de tenso na linha pode ser dada em

volt (V) por:

Utilizando as unidades em kW, kVAr, MW, MVAr e kV, tem-se em (kV):

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Por exemplo, para uma linha de 10 km de comprimento, em que r = 0,1

/km e x = 0,5 /km, tem-se: R = 1 e X = 5 . Alimentando uma carga de P = 2

MW e Q = 1 MVAr, na tenso V = 13,8 kV, resulta uma queda de tenso V

0,51 kV, ou seja, 3,7 % da tenso da linha.

A queda de tenso expressa em por unidade (pu) e por cento (%) da

tenso de referncia dada por:

Adotando uma determinada base de potncia, normalmente 100 MVA para

as linhas de transmisso e sistemas de potncia, tem-se que:

Utilizando todos os valores de impedncias e potncias em pu, tem-se uma

expresso muito simples:

Por exemplo, para a linha de R = 1 e X = 5 alimentando a carga de P =

2 MW e Q = 1 MVAr, na tenso V = 13,8 kV, tem-se R = 0,525 pu, X = 2,625 pu, P

= 0,02 pu e Q = 0,01 pu. Resulta uma queda de tenso V 0,037 pu, ou seja,

3,7 % da tenso da linha.

Em sistemas radiais representados por linhas curtas podem-se determinar,

aproximadamente, as quedas de tenses por trechos, utilizando as potncias que

fluem em cada trecho, assim como os valores das tenses nas barras, sendo

dada a tenso na barra inicial.

A Figura 2.11 mostra como exemplo um sistema radial simples de 4 barras

com indicaes das linhas e suas caractersticas, as cargas e os valores

aproximados das quedas de tenso por trechos e das tenses nas barras, todos

os valores em pu.

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Figura 2.11 Caso exemplo de um sistema radial

Exemplos como esse podem ser resolvidos com a devida preciso

calculando as quedas de tenso utilizando os valores das tenses nas cargas o

mais prximo possvel do real, atravs de um processo interativo. Mais

precisamente pode ser utilizado um programa de computador par clculo de fluxo

de potncia e tenses.

A regulao de tenso na barra de carga pode ser definida como a

diferena entre as tenses nessa barra em vazio V0 e em carga Vc, em relao

tenso em carga, isto :

No caso de variao somente de reativo, tem-se aproximadamente:

Isto , a regulao da tenso na carga no final da linha igual ao produto

da reatncia da linha pela variao da potncia reativa.

Como ser visto no item sobre curto circuito, a ocorrncia de curto circuito

em um ponto do sistema determina uma corrente de curto circuito e uma potncia

de curto circuito, que depende de impedncia de Thvenin Z vista do ponto e da

tenso de circuito aberto E antes do curto. A corrente de curto circuito Icc dada

por:

Usando valores em pu e desprezando as resistncias em relao ao

mdulo das reatncias, tem-se aproximadamente:

24

Verifica-se que em pu a potncia de curto circuito Pcc (ou Sk) igual

corrente de curto circuito, isto :

Dessa forma, a regulao no ponto devido variao de reativos, dada

por:

Anlise da Linha Mdia

Considera-se com linha mdia, em geral, uma linha com uma tenso de

subtransmisso em 69 kV e 138 kV, ou em tenses mais elevadas, mas com o

comprimento pequeno, at cerca de 240 km.

Basicamente a linha mdia representada pela resistncia, reatncia

indutiva srie e reatncia capacitiva derivao do condutor ou pela resistncia,

indutncia e capacitncia, conforme mostra a Figura 2.12.

Figura 2.12 - Representao de uma linha mdia

As equaes que envolvem as tenses e as correntes em funo das

potncias so tambm aproximadas, mas compatveis com os resultados a serem

obtidos. Normalmente so determinadas as quedas de tenso na linha e a

regulao na carga, utilizando os parmetros e variveis em valores normais ou

em por unidade (pu) e por cento (%), como nas linhas curtas, acrescentando-se

porem a influncia da carga capacitiva da linha, utilizando-se os modelos T ou .

importante no caso das linhas mdias a determinao da elevao da

tenso da linha em vazio (sem carga), decorrente da potncia capacitiva da linha.

25

Utilizando o modelo , e desprezando a resistncia em relao reatncia

indutiva, tem-se para a tenso em vazio na linha mdia, em pu:

Utilizando as reatncias em por unidade de km, isto , x (/km) e x (.km),

tem-se que:

Expressando o valor do comprimento l da linha como l em centenas de

km, Isto, l = l/100, tem-se:

Utilizando, por exemplo, valores tpicos para as reatncias indutivas x em

torno de 0,5 /km e capacitivas x entre (0,25 a 0,3) M.km, obtm-se:

Variando os condutores e, portanto, os valores de x e x, tem-se que V%

varia entre (0,8 e 1,0)l2. Pode-se, ento, considerar a seguinte regra prtica:

A elevao de tenso em linhas mdias em vazio, em %, da ordem

do quadrado do comprimento da linha expresso em centenas de km.

Por exemplo, uma linha de 100 km de comprimento apresenta uma

elevao de tenso da ordem de 1 %; para 200 km a elevao de 4 %, e assim

por diante. Essas elevaes praticamente no dependem dos condutores e dos

nveis de tenso.

A carga ou carregamento da linha mdia SC, devido capacitncia, pode

ser determinada conforme segue:

Isto , a potncia capacitiva da linha em MVAr igual ao quadrado da

tenso de linha em kV dividido pela reatncia capacitiva por fase da linha XC.

Em por unidade ou centenas de km, tem-se:

26

Utilizando valores tpicos para x obtm-se para Sc, por exemplo para 69

kV, um valor da ordem de 1,5 MVAr/100 km. Para as demais tenses s

considerar que a potncia reativa da linha varia com o quadrado da tenso.

Assim, para cada 100 km de comprimento as linhas apresentam as potncias

capacitivas, ou carregamentos, indicados na Tabela 2.1.

Tabela 2.1 - Potncias capacitivas das linhas para 100 km de comprimento

Tenso (kV) 13,8 69 138 230 500

(MVAr/100km) 0,06 1,5 6,0 16,7 78,8

A susceptncia de uma linha de comprimento l pode ser expressa na base

de 100 MVA, em pu e %, da seguinte forma:

Deste resultado pode-se observar que:

A susceptncia da linha B em % igual sua potncia capacitiva Sc

em MVAr.

Potncia Transmitida Aproximada

A potncia transmitida numa linha de transmisso pode ser determinada,

de forma simplificada para o caso de uma linha curta, conforme segue.

A Figura 2.13 mostra a representao de uma linha mdia compreendida

entre duas barras a e b, com indicao da sua impedncia e das tenses,

correntes e fluxos das potncias envolvidas.

Figura 2.13 Fluxos de potncias em uma linha mdia

27

A potncia transmitida de a para b dada pela expresso:

Em termos das potncias ativas e reativas, tem-se:

De forma semelhante, a potncia transmitida de b para a dada por:


Tem-se a seguinte diferena de potncias:

A diferena Pab - Pba corresponde s perdas ativas e a diferena Qab - Qba

corresponde variao de reativos.

Considerando as resistncias desprezveis, isto R

28

Figura 2.14 Curva de Carga em uma linha de transmisso

Por exemplo, considerando um linha com uma reatncia X = 50 , tendo-

se as tenses terminais iguais e controladas em Va = Vb = 69 kV, a potncia

mxima transmitida de 95,2 MVA. Com metade dessa potncia o ngulo de

carga resultante = 300.

Este exemplo em pu indica Va = Vb = 1 pu e X = 1,050 pu. A potncia

mxima transmitida resulta em P = 0,952 pu, isto , 95,2 MVA.

Esse grfico simples ilustra, de forma aproximada, o comportamento de

linhas de transmisso mdias, com a indicao de como varia a potncia

transmitida em funo do ngulo de carga e a capacidade de transmisso,

servindo para dar uma ideia preliminar da avaliao do comportamento das linhas

de transmisso em geral.

29

3. REPRESENTAO E MODELAGEM DOS COMPONENTES

Nos estudos dos sistemas de potncia os componentes devem ter

representaes atravs de modelos adequados a cada tipo de estudo. Os

modelos mais usuais dos geradores, das linhas, dos transformadores e das

cargas sero vistos a seguir.

Representao dos Geradores

Os geradores dos sistemas eltricos so, na sua grande maioria, mquinas

sncronas. Elas convertem a energia mecnica das turbinas em energia eltrica

na parte de gerao, atravs de estruturas magnticas e circuitos eltricos no

rotor e no estator.

Num gerador sncrono a frequncia f da tenso gerada, normalmente f=60

Hz fica determinada pela velocidade da turbina n, em rotaes por minuto (rpm), e

pelo nmero de polos p, atravs da relao:

A tenso gerada no estator, ou armadura, alternada senoidal e trifsica.

O gerador fornece corrente alternada (CA) senoidal s cargas a ele ligadas. O

circuito do rotor, ou enrolamento de campo, alimentado por uma excitatriz, ou

seja, por uma fonte de corrente contnua (CC) proveniente de um gerador CC ou

de uma fonte CA com retificadores de estado slido.

A tenso gerada depende diretamente da corrente do campo. Decorre da

variao do fluxo resultante no entreferro da mquina, pela combinao dos

campos devido excitao e da corrente na armadura, e cria o torque

eletromagntico entre o estator e o rotor.

A variao de potncia reativa da carga do sistema implica diretamente na

variao da tenso gerada, tornando necessrio o controle dessa tenso atravs

da excitao e, consequentemente, controle da potncia reativa.

A variao de potncia ativa da carga do sistema implica diretamente na

variao da potncia mecnica da turbina, tornando necessrio o controle dessa

potncia atravs do controle da velocidade da turbina.

30

Figura 3.1 mostra o esquema de um gerador trifsico, com representao

dos circuitos equivalentes para a armadura, em condies de regime permanente.

Esto indicados a tenso gerada ou interna eg, a resistncia da armadura R, a

indutncia prpria Ls de cada fase, a indutncia mtua Ms entre as fases, a

corrente ia na armadura e a tenso terminal va.

Figura 3.1 - Circuitos equivalentes para a armadura de um gerador trifsico

Figura 3.2 mostra o circuito equivalente do gerador, atravs da

representao de uma fase. Esto indicados os fasores relativos s tenses e

corrente, em valores eficazes, assim como a reatncia sncrona Xs ou eixo direto

Xd.

Figura 3.2 - Circuito equivalente do gerador, atravs da representao da fase a

31

De outra forma, o circuito equivalente do gerador pode ser representado

conforme mostra a Figura 3.3. Esto indicadas a tenso interna Ei (ou Ef) gerada,

a tenso resultante Er, a tenso terminal Vt, a corrente de armadura Ia, as

reatncias de disperso Xl e de reao de armadura Xar, a reatncia sncrona Xs

= Xl +Xar, como tambm a tenso de reao de armadura Ear.

Figura 3.3 - Circuito equivalente e diagrama fasorial das tenses no gerador

A Figura 3.3 mostra tambm o diagrama fasorial das tenses gerada no

gerador Ef, tendo a tenso resultante Er como referncia. Tem-se o ngulo entre

Er e Ia e o ngulo entre Er e Ef .

.As equaes do gerador tomam as seguintes formas:

A tenso de reao de armadura Ear pode ser vista tambm como uma

queda de tenso devido corrente Ear, tendo-se, ento:

A tenso terminal resulta em:

Os diagramas fasoriais das tenses no gerador, incluindo a tenso

terminal, ficam como mostrado na Figura 3.4. Esto indicadas as tenses

envolvidas, a corrente da armadura, os ngulos entre as tenses e os ngulos

entre tenses e correntes.

32

Figura 3.4 - Diagramas fasoriais das tenses e corrente no gerador com a tenso terminal

A Figura 3.5 mostra o circuito equivalente do gerador com a tenso gerada

Eg (Ef), a impedncia do gerador de regime permanente Zd (Zs), composta da

resistncia da armadura a reatncia sncrona de eixo direto Xd (Xs), a corrente de

armadura Ia, ou corrente da carga, e tenso terminal Vt. Mostra tambm o

diagrama fasorial das tenses gerada e terminal, tendo a tenso terminal Vt como

referncia e os ngulos correspondentes.

Figura 3.5 - Circuito equivalente do gerador com carga

O ngulo entre Vt e Ia corresponde ao fator de potncia da carga e o

ngulo entre Eg e Vt o ngulo de carga (ou ngulo de potncia ou ngulo de

conjugado do gerador).

Geralmente a resistncia da armadura Ra muito pequena comparada com

a reatncia sncrona Xs (Xd) e em muitos estudos sobre os geradores ela pode ser

desprezada, resultando, portanto no circuito equivalente somente Xs.

Chama-se barra infinita a barra que mantm a tenso e a frequncia

constantes diante de variaes de carga ou de gerao. A barra terminal de um

gerador pode ser considerada barra infinita se a tenso puder ser mantida

controlada em valor constante, diante de variaes de carga de valor muito menor

que a potncia do gerador. Tambm pode ser considerada barra infinita uma

33

barra do sistema cuja tenso no varie com a conexo de um gerador sncrono de

pequeno porte.

Pode-se verificar que a impedncia equivalente numa barra infinita muito

menor que a impedncia acrescentada ao sistema, seja carga ou gerador

conforme mencionado, o que quer dizer que a impedncia equivalente numa

barra infinita praticamente nula.

Normalmente as cargas so indutivas; seu fator de potncia indutivo. No

entanto, h casos em que o fator de potncia pode ser capacitivo ou mesmo igual

a um. Em relao tenso terminal, a corrente est atrasada com a carga

indutiva e adiantada com a carga capacitiva. Em correspondncia, o gerador

superexcitado sob carga indutiva e subexcitado sob carga capacitiva. Com fator

de potncia unitrio a excitao normal. A Figura 3.6 ilustra essas situaes.

Figura 3.6 Diagramas fasoriais do gerador quanto excitao

A potncia transmitida do gerador para o sistema funo da tenso

gerada Eg, da tenso terminal Vt do ngulo de carga , sendo dada

aproximadamente pela expresso:

A anlise acima considera o sistema em condies de regime ou estado

permanente, resultando para o gerador uma reatncia permanente Xd (Xs). Diante

de variaes de carga e de ocorrncia de curto circuito no sistema, ou no terminal

do gerador, a corrente transitria, comportando-se, em geral, com valores

bastante elevados nos instantes iniciais e decrescendo tendendo a uma condio

de regime permanente.

O gerador pode ser representado, portanto, por um modelo de trs

reatncias, sendo a primeira a reatncia permanente Xd, conforme j visto.

34

Nos instantes iniciais do curto circuito prevalece uma reatncia de baixo

valor, resultante do paralelismo de uma reatncia dos enrolamentos

amortecedores com os demais enrolamentos, o que faz resultar numa corrente

elevada, mas de amortecimento rpido. Essa reatncia chamada de reatncia

subtransitria Xd , resultando numa corrente subtransitria Id. No gerador aparece

uma tenso subtransitria Ed.

Na fase intermediria prevalece uma reatncia equivalente chamada de

reatncia transitria Xd, resultando numa corrente transitria Id. No gerador

aparece uma tenso transitria Ed.

Observa-se que, na base da potncia do gerador, os valores de Xd situam-

se em torno de 1 pu, Xd em torno de 0,3 pu e Xd em torno de 0,2 pu. Geralmente

utilizam-se Xd nos estudos de fluxo de potncia, Xd nos estudos de estabilidade e

Xd nos estudos de curto circuito.

Observa-se ainda que geradores considerados so de rotor cilndrico. No

caso de rotores de polos salientes, alm das reatncias de eixo direto Xd, h

tambm as reatncias de eixo transverso Xq, que so analisadas nos estudos das

mquinas. No caso de rotor cilndrico tem-se que Xd = Xq,

Representao dos Transformadores

Os transformadores tm a funo de elevar ou baixar os nveis das tenses

e, em correspondncia, baixar ou elevar os nveis das correntes, relacionadas

com os nmeros de espiras dos enrolamentos. Nos transformadores ideais so

desprezadas as resistncias, as correntes Foucault e a histerese, assim como a

disperso do fluxo magntico.

A Figura 3.7 mostra uma representao esquemtica de um transformador

ideal de dois enrolamentos.

Figura 3.7 - Representao de um transformador de dois enrolamentos

35

As relaes entre as tenses do primrio V1 e secundrio V2, as correntes

do primrio I1 e secundrio I2 e os nmeros de espiras do primrio N1 e

secundrio N2 so as seguintes:

Uma impedncia Z colocada no secundrio do transformador pode ser vista

ou refletida no primrio como multiplicada pelo quadrado da relao de espiras.

Com a impedncia ligada na tenso V2 tem-se uma corrente I2, tal que:

Tem-se no primrio:

Em vrios aspectos da anlise dos sistemas eltricos, consideram-se os

transformadores reais com sua reatncia de disperso, desprezando-se as

correntes de Foucault e a histerese, e muitas vezes a resistncia dos

enrolamentos.

Sendo x1 a reatncia do primrio e x2 a reatncia do secundrio, a

reatncia vista do primrio ser ento:

Por outro lado, a reatncia vista do secundrio ser:

Pode-se verificar, ento, que na mesma base da potncia do transformador

e nas bases de tenso V1 para o primrio e V2 para o secundrio, tem-se que as

duas reatncias so iguais sendo, portanto, a reatncia de disperso do

transformador, isto :

36

Os resultados para as resistncias so semelhantes, isto :

O circuito equivalente para o transformador pode ser representado

conforme mostra a Figura 3.8, com os valores das tenses em pu.

Figura 3.8 - Circuito equivalente para o transformador

O diagrama fasorial correspondente semelhante aos dos casos de linha

curta e do gerador, conforme mostra a Figura 3.9.

Figura 3.9 Diagrama fasorial para o transformador

Um autotransformador apresenta o primrio e o secundrio em um mesmo

enrolamento, mas pode ser analisado como um transformador de dois

enrolamentos, conforme mostra a Figura 3.10.

Figura 3.10 Representao de um autotransformador

37

Os transformadores trifsicos podem apresentar os tipos de conexes

conforme mostra a Figura 3.11, onde a relao de espira. Em cada tipo a

reatncia do transformador X dada por fase, normalmente em pu, na base da

potncia do transformador.

Figura 3.11 - Conexes dos transformadores

Normalmente so consideradas na anlise dos sistemas as tenses de

linha VL = V e as correntes de linha IL = I. Se o equivalente monofsico for

representado dessa forma, a potncia trifsica ser:

Se o equivalente monofsico for representado tenso de fase, isto, entre

fase e neutro, e corrente fase, a potncia trifsica ser:

Os transformadores de trs enrolamentos apresentam trs valores de

impedncias: entre o primrio e o secundrio XPS, entre o primrio e o tercirio

XPT e entre o secundrio e o tercirio XST. Essas impedncias so obtidas nos

testes de curto circuito com as duas fases correspondentes, ficando o terceiro

enrolamento em aberto.

38

A Figura 3.12 ilustra a representao de um transformador de trs

enrolamentos.

Figura 3.12 - Representao de um transformador de trs enrolamentos

A partir das impedncias entre os enrolamentos podem ser determinadas

as impedncias dos enrolamentos primrio XP, do secundrio XS, e do tercirio

XT. Usando-se uma mesma base, tem-se que:

Da resulta:

Desprezando-se as resistncias obtm-se relaes semelhantes para as

reatncias.

Representao das Linhas

A representao das linhas para a anlise dos sistemas so basicamente

as consideradas no capitulo 2. A linha curta representada atravs de sua

resistncia R e indutncia L ou reatncia X sries. A Figura 3.13 mostra um

esquema de uma linha curta interligando um gerador e uma carga.

39

Figura 3.13 - Esquema de uma linha curta interligando um gerador e uma carga

A linha mdia representada atravs de sua impedncia srie Z,

constituda da resistncia R e indutncia L ou reatncia XL sries, e da admitncia

derivao (ou shunt) Y, ou reatncia capacitiva XC. Utiliza-se normalmente o

modelo , com metade da capacitncia em cada uma das barras. A Figura 3.14

mostra um esquema de uma linha mdia interligando um gerador e uma carga.

Figura 3.14 - Esquema de uma linha mdia interligando um gerador e uma carga

Tem-se, ento, para a impedncia srie Z e admitncia derivao Y (B a

susceptncia):

A representao das linhas longas vista em detalhes nos estudos de

linhas de transmisso longas. Pode de representada aproximadamente atravs de

trechos de algumas linhas mdias, como tambm atravs de um modelo

equivalente da linha longa, utilizando-se das equaes generalizadas da linha.

Representao das Cargas

As cargas so representadas como funes da tenso, expressas atravs

de funes potncia utilizando, portanto, o modelo exponencial, em que a tenso

elevada a um determinado expoente. Assim, a potncia aparente assume a

seguinte forma:

40

Expresses semelhantes podem ser apresentadas para potncia ativa e

potncia reativa:

Os valores de ks, kp e kq definem as caractersticas das cargas,

respectivamente em relao s potncias aparente, ativa e reativa.

Tm-se as seguintes situaes particulares bsicas, para potncia

aparente:

Potncia constante (ks=0):

Corrente constante (ks=1):

Impedncia constante (ks=2):

O colapso de tenso ocorre no sistema quando a potncia transmitida

tender a ultrapassar o limite de capacidade de transmisso e no houver medidas

para solucionar sobrecargas, resultando numa reduo de tenso, tendendo a

zero.

Para cargas tipo potncia constante essa situao mais grave, pois o

valor nominal das cargas permanece o mesmo com a reduo da tenso. uma

situao mais conservativa, usada principalmente em planejamento, que

estabelece folgas para o sistema, desde que haja disponibilidade de recursos

suficientes para isso. Em operao essa modelagem pode apresentar resultados

que se afastam dos valores reais.

No caso de corrente constante a potncia resultante reduzida

proporcionalmente com a tenso e a possibilidade de ocorrncia de colapso se d

para um valor nominal de potncia muito maior, mantendo uma situao mais

estvel para o sistema. Para cargas tipo impedncia constante a potncia

resultante muito mais reduzida, variando com o quadrado da tenso, e no h

fenmeno de colapso e instabilidade de tenso, pois a tenso tenderia a zero

caso a carga crescesse indefinidamente.

Sistemas com cargas de caractersticas compostas podem ser analisados

como situaes intermedirias a partir dos casos bsicos. Uma anlise

41

quantitativa do problema de colapso de tenso e a influncia das caractersticas

das cargas podem ser feitas utilizando as equaes da linha de transmisso na

forma complexa. Para o caso geral, em que S = So.(V/Vo)ks e Ir = Sr/Vr resulta a

seguinte equao:

A soluo indicaria o valor da tenso na carga em funo da potncia

aparente e do fator de potncia, bem como das constantes da linha e da tenso

de referncia.

A Figura 1.15 mostra alguns tipos de cargas usuais nas indstrias.

Figura 1.15 - Alguns tipos de cargas usuais nas indstrias

Diagrama Unifilar do Sistema

Os componentes, geradores, transformadores, linhas e cargas so

representados de forma interligada, constituindo-se um sistema a ser analisado. A

representao feita, normamente, sob a forma de diagrama unifilar.

A Figura 1.16 mostra um diagrama unifilar de um sistema simples,

constitudo de uma fonte com dois geradores e uma carga em uma barra, um

gerador e uma carga em outra barra e uma linha de transmisso com

transformadores nos extremidades, interligando as duas barras.

42

Figura 1.16 - Diagrama unifilar de um sistema simples

A Figura 1.17 mostra um diagrama unifilar de um sistema em malha,

constitudo de trs fontes interligadas atravs de trs linhas com transformadores.

Figura 1.17 - Diagrama unifilar de um sistema em malha

AAllmm ddoo ddiiaaggrraammaa uunniiffiillaarr ddoo ssiisstteemmaa rreepprreesseennttaaddoo ttaammbbmm oo ddiiaaggrraammaa ddee iimmppeeddnncciiaass,, nneecceessssrriioo rreeaalliizzaaoo ddooss eessttuuddooss ssoobbrree oo ssiisstteemmaa.. A Figura

1.18 mostra um diagrama ddee iimmppeeddnncciiaass do sistema mostrado na Figura 1.16.

Figura 1.18 Exemplo de diagrama ddee iimmppeeddnncciiaass

A Figura 1.19 mostra o diagrama equivalente ddaass iimmppeeddnncciiaass do sistema

mostrado na Figura 1.18.

43

Figura 1.19 - Diagrama equivalente ddaass iimmppeeddnncciiaass

Figura 1.20 mostra um exemplo de sistema eltrico com diagrama unifilar e

diagrama de reatncias.

Figura 1.20 - Exemplo de sistema eltrico

44

4. ANLISE DE REDES ELTRICAS

As leis gerais dos circuitos eltricos podem ser aplicadas na anlise dos

sistemas de potncia. So elas as Leis de Kirchhoff, das malhas e dos ns, e a de

superposio. Tambm so aplicveis os teoremas de Thvenin e de Norton. As

variveis consideradas so as correntes de malhas, as correntes de ramos, as

tenses de ns e as tenses de ramos.

Leis de Kirchhoff

A lei das malhas ou Lei de Kirchhoff para tenso indica que a tenso

aplicada a um circuito fechado igual soma das quedas de tenso nesse

circuito, isto : Tenso aplicada soma das quedas de tenso = 0

Por exemplo, para duas fontes alimentando trs componentes em duas

malhas, conforme a Figura 4.1, tem-se:

Va = V1+ V2 ou Va (V1+ V2) = 0

Vb = V3+ V2 ou Vb (V3+ V2) = 0

Figura 4.1 Ilustrao da lei das malhas

As correntes Ia e Ib so de malha e as correntes I1, I2 e Ib so de ns..

A lei de Kirchhoff para corrente ou lei dos ns, define que: A soma das

correntes que entram numa juno, ou n, igual soma das correntes que

saem dessa juno.

A Figura 4.2 ilustra a lei dos ns.

45

Figura 4.2 Ilustrao da lei dos ns

Teoremas de Redes Eltricas

So muito importantes na anlise das redes eltricas os Teoremas de

Thvenin, de Norton e da Superposio. Eles so utilizados para simplificar a

anlise de circuitos ou sistemas com vrias fontes e vrias impedncias.

O teorema de Thvenin estabelece que qualquer estrutura linear ativa com

terminais de sada pode ser substituda por uma nica fonte de tenso, com valor

igual tenso nos terminais em circuito aberto, em srie com uma impedncia

equivalente vista dos terminais, com as fontes zeradas

Uma ilustrao do teorema de Thvenin pode ser vista na Figura 4.3 em

que mostra um circuito original com duas fontes de tenso E1 e E2 e quatro

resistncias Z1, Z2, Z3 e Z4 e os terminais P e Q que apresenta uma tenso E, de

circuito aberto. Mostra tambm o circuito equivalente com a fonte de tenso E (ou

Eeq ou Eth), e a impedncia equivalente Z (Zeq ou Z th), em srie com a fonte.

Figura 4.3 Ilustrao do teorema de Thvenin

O teorema de Norton estabelece que qualquer estrutura linear ativa com

terminais de sada pode ser substituda por uma nica fonte de corrente, com

46

valor igual corrente nos terminais em curto circuito, em paralelo com uma

impedncia equivalente vista dos terminais, com as fontes zeradas

A Figura 4.3 ilustra o teorema de Norton aplicado ao mesmo circuito visto

para o Teorema de Thvenin.

Figura 4.3 Ilustrao do teorema de Norton

O teorema da superposio estabelece que a corrente que circula por um

ramo de um circuito, produzida por vrias fontes, igual soma algbrica das

componentes tomadas separadamente, considerando-se apenas uma das fontes

de cada vez.

Equivalncia de Fontes

O uso dos teoremas de Thvenin e de Norton permite estabelecer uma

equivalncia entre fontes de tenso e de corrente. A Figura 4.4 mostra dois

circuitos que ilustram essa equivalncia.

Figura 4.4 Equivalncia entre fontes de tenso e corrente

47

O circuito com a fonte de tenso mostra uma tenso gerada Eg e uma

impedncia Zg em srie alimentando uma carga ZL. A tenso aplicada na carga

VL, resultando uma corrente IL, que igual corrente na fonte Ig.

O circuito com a fonte de corrente mostra uma corrente gerada Ig e uma

impedncia Zp em paralelo alimentando a carga ZL. A tenso aplicada na carga

VL, resultando a corrente IL, que igual diferena entre as correntes Is e Ip , que

circula em Zp.

Tem-se que:

Da resulta:

Equaes do Sistema

O sistema eltrico pode ser analisado utilizando-se de equaes dos ns,

ou equaes das barras, assim como equaes de malhas. A seguir so

consideradas as equaes dos ns. As fontes de tenso so transformadas em

fontes de corrente equivalentes e as impedncias dos ramos so transformadas

em admitncias.

Desta forma, em cada n a soma das correntes igual a zero, ou seja, a

soma das correntes que entram no n igual soma das correntes que saem

desse n. Os geradores injetam correntes ns, saindo correntes pelos ramos

derivados; as cargas absorvem correntes nos ns e as correntes entram nesses

ns atravs dos ramos a eles ligados.

A Figura 4.5, como exemplo, um sistema simples constitudo de duas

fontes, com os geradores G1 e G2 e transformadores T1 e T2, conectados nas

barras 1 e 2, respectivamente, um motor sncrono M3, como carga conectada nas

barra 3, e cinco linhas L13, L14, L23, L24 e L34, para a transferncias de potncia,

ou corrente, da fonte para a carga. O sistema fica constitudo de quatro ns, ou

barras 1, 2, 3 e 4.

48

Um n adicional, barra 0, tambm considerado, porem como referncia

de tenso para os demais. Resulta, ento, que o nmero de equaes de ns

para o sistema igual ao nmero de ns, sem contar o n 0.

Figura 4.5 Exemplo de um sistema simples

Admitindo-se conhecidos os dados das potncias e reatncias dos

geradores, do motor e dos transformadores e as impedncias das linhas, pode-se

obter um diagrama de impedncias, indicando-se os valores em pu, numa mesma

base de potncia. Pode-se obter tambm um diagrama de admitncias

correspondente, considerando as correntes, inclusive das fontes equivalentes de

correntes.

A Figura 4.6 mostra os diagramas de impedncias e de admitncias

correspondentes ao sistema da Figura 4.5.

Figura 4.6 - Diagramas de impedncias e de admitncias

As equaes para este sistema, aplicando a lei dos ns s barras 1, 2, 3 e

4, resultam em:

49

Essas equaes podem ser modificadas, agrupando as tenses dos

segundos membros. Observa-se que no ligao direta entre as barras 1 e 2 e

que no h injeo de corrente na barra 4, resultando y12 = 0 e y4 = 0,

respectivamente. As equaes tomam a forma seguinte:

Sob a forma matricial tem-se:

Essa equao matricial da forma:

A expresso relaciona um vetor corrente I, um vetor tenso V e uma matriz

admitncia Y, isto :

Desses resultados pode-se observar o seguinte:

a) A matriz Y simtrica em relao diagonal principal tendo-se,

portanto:

50

b) Os elementos fora da diagonal principal so admitncias mtuas, e so

iguais s admitncias entre as barras correspondentes, com os sinais trocados,

isto :

c) Cada elemento da diagonal principal uma admitncia prpria, e igual

soma da admitncia da barra considerada com os elementos da mesma linha

fora da diagonal com os sinais trocados, Isto :

Exemplificando, a Figura 3.7 mostra os diagramas de impedncias e

admitncias relativos ao sistema apresentada na Figura 3.4. Esto indicados os

valores em pu das reatncias dos geradores e dos transformadores e as

reatncias das linhas, considerando as resistncias iguais a zero, assim como os

valores das admitncias, respectivamente.

Figura 3.7 - Diagramas de impedncias e admitncias do caso exemplo

A matriz admitncia da barra Y, ou YB, (ou ainda Ybarrra) resulta em:

Sendo dadas as tenses nos geradores e no motor sncrono, em pu,

podem-se determinar os valores das tenses nas barras. Por exemplo, sejam

dados:

51

As correntes nas fontes equivalentes so em pu:

Utilizando os valores das correntes e das admitncias os valores das

tenso e das barras podem ser obtidos resolvendo a equao:

Os valores encontrados em pu so:

Matrizes de Barra

A matriz admitncia Y est associada s barras do sistema, e chamada

de matriz admitncia de barra YB, (ou ainda Ybarrra). Tem-se, ento, para a relao

entre correntes e tenses:

ou

De outra forma, as tenses podem ser expressas por:

A matriz ZB chamada de matriz impedncia de barra (ou Zbarrra).

No exemplo acima o valor da impedncia de barra :

52

Observa-se que, como YB, tambm ZB uma matriz simtrica em relao

diagonal principal. Os elementos fora dessa diagonal so impedncias mtuas e

os elementos da diagonal so impedncias prprias.

O nmero equaes do sistema igual ao nmero de barras. Atravs de

manipulaes matriciais, parcionadas, o nmero equaoes pode ser reduzido com

a eliminao adequada de determinadas barras.

Um sistema pode dado por uma equao em que sejam agrupadas as

barras com injeo de correntes IA e as barras em que no h injeo de corrente

IX. As tenses correnpondentes so VA e VX e as relaes entres essas variveis

so estabelecidas pela matriz admitncia YB, de ordem A+X, composta das

submatrizes K e L, de ordem A, e de M e N, de ordem X, assumindo a seguinte

forma:

No havendo correntes nas barra X, tem-se IX=0. Tem-se dessa sequaes

que:

A matriz admitncia de barra resultante YB de ordem A, permitindo um

conjunto de equaes mais simples para o sistema. Tem-se, portanto :

Esse procedimento pode ser visto de maneira simples eliminando uma

barra de cada vez. Utilizando, como exemplo, o caso apresentado acima para

eliminar a barra 4 da matriz YB, tem-se:

53

A matriz YB resulta em:

Pode-se verificar que cada elemento Ykj da matriz resultante YB pode ser

obtido a partir do elemento Ykj correspondente da matriz original YB atravs da

relao:

Ou seja, cada elemento Ykj da nova matriz YB igual ao elemento

correspondente Ykj da matriz original YB subtraido do quociente entre o produto

dos elementos Ykn, elemento n da linha k, e Ynj, elemento n da coluna j, pelo

elemento Ynn piv da barra eliminada.

Para o caso de uma matriz 4x4, como acima, tem-se:

54

Os elementos da matriz resultante podem ser determinadom, portanto,

efetuando as operaes matriciais ou calculando diretamente cada elemento,

como acima.

Interpretao sobre os Elementos das Matrizes

Os elementos das matrizes admitncia e impedncia podem ter

interpretaes teis para a anlise do sistema, em problemas como fluxo de

potncia e curto circuito.

As interpretaes para as admitncias sero feitas a partir de uma matriz

3x3, conforme segue:

A expresso da corrente, por exemplo, para I3 :

Fazendo V2 = V3 = 0, tem-se que:

Isto significa que a admitncia de transferncia Y31, da barra 3 para a barra

1, igual ao quociente da corrente I3, injetada na barra 3, pela tenso resultante

V1, na barra 1, curtocircuitando as barras 2 e 3, isto , conectando essas barras

barra de referncia. A interpretao semelhante com relao ao elemento Y32.

Fazendo V1 = V2 = 0, tem-se que:

Isto significa que a admitncia prpria Y33, da barra 3, igual ao quociente

da corrente I3, injetada na barra 3, pela tenso resultante V3, na prpria barra 3,

curtocircuitando as barras 1 e 2.

As interpretaes para as impedncias sero feitas tambm a partir de uma

matriz 3x3, conforme segue:

55

A expresso da tenso, por exemplo, para V3 :

Fazendo I2=I3 =0, tem-se que:

Isto significa que a impedncia de transferncia Z31, da barra 3 para a barra

1, igual ao quociente da tenso V3 na barra 3 pela corrente injetada I1, na barra

1, com as barras 2 e 3 em aberto, isto , essas barras no sendo fontes de

corrente. A interpretao semelhante com relao ao elemento Z32.

Fazendo I1 = I2 = 0, tem-se que:

Isto significa que a impedncia prpria Z33, da barra 3, igual ao quociente

da tenso V3 pela corrente I3, injetada na prpria barra 3, resultante V3, na prpria

barra 3, mantendo abertas as fontes das barras 1 e 2. Isto significa tambm que

essa impedncia prpria a impedncia de Thvenin nessa barra, isto :

Com base nessas interpretaes pode-se, em princpio, medir

experimentalmente os valores das admitncias e impedncias prprias em todas

as barras e de transferncia entras as barras. Esses valores podem ser tambm

obtidos a partir de simulaes.

56

5. FLUXO DE POTNCIA

O objetivo dos estudos de fluxo de potncia a determinao dos valores

das potncias ativas e reativas que fluem, ou circulam, nos componentes do

sistema e dos valores das tenses, em mdulo e fase, nas barras ou ns da rede.

Esse fluxo de potncia tambm chamado de fluxo de carga.

Os resultados da anlise do fluxo de potncia so utilizados na verificao

da adequacidade da capacidade dos componentes, como geradores,

transformadores e linhas de transmisso, e a conformidade dos nveis de tenso

com os critrios adotados.

Os estudos de fluxo de potncia so utilizados tambm em outros estudos,

como estabilidade e controle, e tem aplicaes nas atividades de planejamento e

operao do sistema de potncia.

Tornam-se necessrios para a realizao dos estudos a disponibilidade

dos dados dos componentes do sistema, o equacionamento do problema de fluxo

de potncia e a seleo dos mtodos de soluo.

O Problema de Fluxo de Potncia

Os dados do sistema de potncia necessrios aos estudos so

basicamente:

a) Configurao ou topologia da rede;

b) Parmetros ou constantes dos componentes;

c) Cargas nas barras;

d) Tenses nos geradores;

e) Barras de referncia

f) Diagrama unifilar do sistema

g) Diagrama de impedncias do sistema

Como resultados so determinados:

a) Fluxos das potncias nos componentes;

b) Tenses nas barras;

c) Perdas.

Os dados da configurao referem-se a:

57

a) Indicao das barras;

b) Conexo ou ligao entre barras atravs dos componentes;

c) Chaves para transferncia de cargas ou estudos alternativos.

Os parmetros dos componentes usuais so os seguintes:

a) Linhas de distribuio e transmisso (condutor)

Resistncia: r, em /km;

Reatncia indutiva: xL, em /km;

Reatncia capacitiva: xC , em -1.km;

Comprimento da linha: L, em km;

Valores totais da linha: R = r.L, X = xL.L, Xc = xc .L.

b) Transformadores

Reatncia X, em % (na base de sua potncia).

Tipos de Barras:

Os tipos das barras podem ser definidos em funo dos tipos das cargas

que alimenta, em termos de potncias ativa P e reativa Q, e das tenses, em

termos de mdulo V e fase .

a) Barra de gerao (referncia, swing)

Dados: V e

Resultados: P e Q;

b) Barra de carga

Dados: P e Q

Resultados: V e ;

c) Barra de tenso controlada

Dados: P e V

Resultados: e Q;

d) Barra de Controle

Dados: P e

Resultados: V e Q.

Ordenao das Barras:

As barras do sistema a ser estudado precisam ser numeradas, de forma

ordenada, tendo em vista que:

58

a) particularmente til na simulao por computador;

b) Todas as barras so numeradas em qualquer ordem, sem repetio;

c) A numerao ordenada, sequencialmente, preferencialmente de 1 a n

(barras).

Resultados das simulaes do fluxo de potncia:

a) Tenses nas barras, para verificao do atendimento aos critrios de

tenso;

b) Potncias ativas e reativas que fluem nos componentes, para verificao

dos limites de carregamento;

c) Perdas, em termos de potncia, permitindo avaliar as perdas de energia e

condies tcnico-econmicas;

d) Valores das correntes nos componentes, quando necessrio.

Modelo das Cargas

a) Utilizam-se, em geral, cargas representadas como potncia constante;

b) Os modelos de corrente constante, impedncia constante ou a composio

dos 3 modelos bsicos podem ser utilizados para estudos mais precisos,

porm so necessrias as caractersticas das cargas em cada barra,

determinadas experimentalmente ou estimadas em funo dos tipos das

cargas mais significativas atendidas pela barra;

c) Utilizam-se cargas mximas ou outros patamares de carga (mdia, mnima

etc.), com ou sem fator de coincidncia.

Equacionamento bsico

A Figura 2.5 mostra a representao de uma linha mdia compreendida

entre duas barras a e b, com indicao da sua impedncia e das tenses,

correntes e fluxos das potncias envolvidas.

Figura 5.1 Fluxos de potncias em uma linha mdia

A potncia transmitida de a para b dada pela expresso:

59

De forma semelhante, a potncia transmitida de b para a dada por:


Desenvolvendo as expresses de Sab e Sba, e fazendo = a- b, tem-se:

Essas equaes bsicas de fluxo de potncia so estabelecidas para todas

as barras do sistema sob as quais so aplicados os mtodos de soluo,

usualmente os Mtodos de Gauss-Seidel e de Newton-Raphson.

Tem-se a seguinte diferena de potncias, em se destacam as perdas de

potncia ativa e as variaes de potncia reativa:

Considerando que, em geral, R

60

Essas expresses simplificadas para um sistema simples ajuda o

entendimento sobre os fluxos de potncias no sistema complexo.

Mtodo de Gauss-Seidel

Preliminarmente o mtodo de Gauss-Seidel ser aplicado a um sistema de

3 barras, utilizando-se do diagrama da Figura 5.2.

Figura 5.2 - Sistema a 3 barrras

So conhecidas as cargas P2 e Q2 na barras 2 e P3 e Q3 na barra 3, a

tenso V1 na barra 1, considerada como referncia, e as admitncias nas linhas e

nas barras Y12 , Y13 ,Y12 , Y22 e Y33.

Tem-se as seguintes equaes para as barras 2 e 3:

Considerando as admitncias as expresses das correntes so:

Tem-se como resultado para as expresses das tenses V2 e V3:

Pelo mtodo de Gauss-Seidel essas equaes so resolvidas de forma

iterativa. No processo iterativo, assumem-se valores para as tenses nas barras

61

e determinam-se as correntes. Calculam-se as tenses e verificam-se os desvios

em relao aos valores anteriores. O processo prossegue at se alcanar a

preciso desejada.

Para um sistema de N barras, considerando a barra 1 como referncia,

tem-se para a barra k:

Neste mtodo podem-se empregar duas formas de procedimento. A

primeira consiste em determinar em cada iterao todas as tenses e us-las na

iterao seguinte, sendo chamado simplesmente de mtodo de Gauss. A

segunda consiste em determinar progressivamente as tenses e medida que

esses valores calculados, corrigidos, vo sendo utilizados logo em seguida no

clculo das tenses seguintes, sendo chamado propriamente de mtodo de

Gauss-Seidel, e mais eficiente.

Observa-se que o uso da expresso para o clculo das tenses Vk pode

sofrer algumas modificaes em funo das particularidades do problema de fluxo

de potncia, quais sejam a definio dos dados especificados e dos resultados a

serem obtidos.

Observa-se que processo iterativo mtodo de Gauss-Seidel geralmente

requer um nmero de iteraes relativamente elevado, da ordem de algumas

dezenas de iteraes, geralmente necessitando nas programaes o uso de

fatores de acelerao. O nmero de iteraes cresce com o nmero de barras. s

vezes o mtodo iterativo pode no convergir.

Mtodo de Newton-Raphson

O emprego do mtodo de Newton-Raphson pode usar as equaes tanto

na forma polar como retangular. Na forma polar as tenses em duas barras k e n

e a admitncia entre elas so indicadas pelo mdulo e fase, conforme segue:

As expresses para as potncias ativas e reativas resultam em:

62

Expandindo as componentes de potncias ativa e reativa, tem-se:

Pelo mtodo de Newton-Raphson essas equaes so resolvidas de forma

iterativa. No processo, assumem-se valores para as tenses nas barras e

determinam-se as potncias em todas as barras. Verificam-se os desvios em

relao aos valores das potncias especificadas. O processo prossegue at se

alcanar a preciso desejada.

As variaes das potncias ativas e reativas so expressas em funo dos

mdulos e fases das tenses, tendo-se ento para cada barra:

Na forma matricial, tem-se:

A matriz designada como J o Jacobiano da transformao dos ngulos e

mdulos das tenses nas potncias ativas e reativas e cujas componentes so as

derivadas parciais das potncias em relao s tenses, que so os

subjacobianos. O clculo dessas derivadas resulta em:

63

De forma semelhante so calculadas as derivadas em relao aos mdulos

das tenses.

No processo iterativo tm-se os desvios de potncias ativas e reativas:

As relaes entre os desvios para todo o sistema resultam numa equao

de forma, atravs do Jacobiano do sistema na transformao dos desvios das

tenses, em fase e mdulo, nos desvios das potncias, ativas e reativas:

Aplicando para um sistema de 3 barras, tem-se:

Os vetores e matrizes esto organizados na sequncia de potncias ativas

e depois de potncias reativas por barras, e na sequncia de fases e depois de

ngulos das tenses. Como alternativa essa organizao das variveis poderia

ser na sequncia por barras, com as potncias ativas e reativas e com as fases e

mdulos das tenses.

Observa-se que processo iterativo mtodo de Newton-Raphson geralmente

requer um nmero de iteraes relativamente baixo, da ordem de algumas

64

unidades de iteraes, s vezes necessitando nas programaes o uso de fatores

de acelerao. O nmero de iteraes praticamente no depende do nmero de

barras. Geralmente o mtodo iterativo converge.

O uso dos desvios das potncias e do Jacobiano para o clculo dos

desvios das tenses deste mtodo de Newton-Raphson conduz a resultados nas

iteraes, cujas correes em mdulo e direo que levam rapidamente soluo

do fluxo de potncia. Este mtodo bsico para os problemas mais complexos

que envolvem a otimizao dos fluxos de potncia.

Sensibilidade e Controle de Fluxo de Carga

Nos estudos de fluxo de potncia, ou fluxo de carga, podem-se usar os

conceitos de sensibilidade e de controle, definindo-se adequadamente as

variveis de estado, de controle e de perturbao.

Sendo x um vetor de estado, u um vetor de controle e p um vetor de

perturbao, a equao do fluxo toma a forma:

Em cada barra tem-se uma equao da forma:

Definindo-se as fases e mdulos das tenses como variveis de estado xi,

as potncias ativas e reativas geradas como variveis de controle ui e as

potncias ativas e reativas das cargas como variveis de perturbao pi, tem-se

para os vetores correspondentes x, u e p:

A equao de estado da forma:

No ponto de operao x0, u0, p0 tem-se que:

65

Num ponto prximo com as variaes x, u, p tem-se:

Desenvolvendo esta equao na forma linearizada, utilizando dos

Jacobianos Jx, Ju e Jp, da funo f em relao a x, u e p, respectivamente, tem-

se:

=

=

=

O ngulo da barra 1 est sendo considerada como referncia dos ngulos

para as demais barras, fazendo-se 1 = 0, e portanto x1 = 0, resultando em 2n-1

equaes.

Essas equaes gerais podem ser apresentadas na forma expandida,

mostrando todos os vetores dos desvios e os jacobianos com as derivadas

parciais, mas so apresentadas aqui apenas na forma compacta.

Expressando os desvios x em funo dos desvios u e p, tem-se:

As matrizes de sensibilidades do sistema, ou seja, das variveis de estado,

em relao s variveis de controle e perturbao so definidas, respectivamente,

atravs das expresses:

Por exemplo, para o sistema a 2 barras apresentado no incio deste

captulo, em que so conhecidos, num ponto de operao, as potncias das

66

cargas (perturbaes), as potncias geradas (controles) e as tenses (estados),

tem-se em termos das variveis de estado, de controle e de perturbao:

A essas equaes sero aplicadas os valores numricos seguintes, em pu

ou rad:

Os Jacobianos podem ser determinados, encontrando-se os seguintes

resultados, considerando X = 0,1:

As matrizes de sensibilidade resultantes so:

As equaes com as variaes das variveis so, portanto:

Estes resultados permitem a interpretao sobre as influncias das

variveis de controle e perturbao nas variveis de estado.

67

Outros Tipos de Estudos de Fluxo de Potncia

Alm dos estudos bsicos de fluxo de potncia podem ser realizados

diversos outros tipos, a saber:

a) Fluxo de potncia trifsico Quando h desequilbrio de potncia entre

as fases;

b) Fluxo de potncia harmnico Realizado para verificao da distoro

harmnica no sistema, originada da injeo de harmnicos em determinadas

barras;

c) Fluxo de potncia probabilstico - Considera as cargas mais provveis e

os desvios padres correspondentes;

d) Fluxo de potncia timo Fluxo resultante de um processo de

otimizao de uma determinada funo objetivo associada ao sistema (por

exemplo, perdas, custos etc);

e) Fluxo de potncia para confiabilidade Sequncia de fluxos com vrios

patamares de cargas e processos de otimizao visando o mnimo corte de carga

e melhoria da confiabilidade do sistema.

f) Mtodo Simplificado - Verificam-se as potncias que fluem em cada

trecho, sem considerar perdas. Calculam-se as quedas de tenso por trechos.

Partindo da barra de referncia, calculam-se as tenses nas barras.

Programas de Computadores

Os clculos envolvidos nos estudos de sistemas potncia so muito

elevados, mesmo para sistemas de pequeno porte. A utilizao de programas

computacionais , portanto, essencial.

A elaborao de um programa para esse fim pode ser feita com base nas

equaes apresentadas, porem uma tarefa bastante difcil, principalmente

porque deve considerar diversas alternativas de solues.

H disponibilidade programas comerciais alguns com verso acadmica

livre, a exemplo do Programa Anarede e do Programa Powerworld.

A Figura 5.3 mostra uma tela do programa Anarede.

68

Figura 5.3 Exemplo de uma tela do programa Anarede

As Figuras 5.3 a 5.6 mostram exemplos de algumas telas do programa

Powerworld.

Figura 5.4 Tela de abertura do Programa Powerworld

69

Figura 5.5 Exemplo de fluxo de potncia no Powerworld


70


Bus 3

slack

Total Cost

0,00 R$/MWh

123 MW

123 MW

99 MW

99 MW

0,00 R$/MWh

0,00 R$/MWh

A

MVA

A

MVA

5476,5 R$/h

0 MW

370 MW

148,0 MW

74,0 MW

148,0 MW

99%A

MVA

99%A

MVA

124%A

MVA

124%A

MVA

71

6. CURTO CIRCUITO SIMTRICO

No sistema de potncia podem ocorrer faltas, como curtos circuitos,

podendo ser faltas simtricas, que envolvem as trs fases simultaneamente, e

faltas assimtricas, quando envolvem uma ou duas fases e a terra.

As correntes de faltas ficam bastante elevadas, requerendo uma adequada

proteo do sistema. Os estudos das faltas so necessrios na definio da

suportabilidade dos componentes e dos dispositivos de proteo como tambm

nos estudos de estabilidade.

Alm das sobrecorrentes no sistema podem ocorrer tambm sobretenses,

que exercem influncia na definio dos equipamentos ou dispositivos

necessrios s protees contra sobretenses.

Faltas Trifsicas Simtricas

A base para os estudos das faltas trifsicas simtricas pode ser vista na

anlise dos transitrios em um circuito RL, considerando as impedncias das

linhas, reatncias dos transformadores e as reatncias das mquinas sncronas.

No sistema o estudo dos curtos circuitos utilizam as matrizes de impedncia de

barra.

A Figura 6.1 mostra um circuito RL bsico para a anlise dos transitrios,

que podem ser, por exemplo, a energizao de uma linha de transmisso ou

ocorrncia de um curto circuito nos terminais de um gerador:

Figura 6.1 - Circuitos RL bsicos

A fonte de tenso pode ser dada por uma expresso da forma:

72

A equao para os circuitos :

A soluo dessa equao :

A Figura 6.2 mostra a representao grfica da corrente i(t) para duas

situaes particulares do instante da energizao ou da ocorrncia do curto:

Figura 6.2 - Representao grfica da corrente i(t)

Para o caso da mquina sncrona, no entanto, a reatncia X varivel,

assumindo um valor bastante baixo no instante do curto, aumentando em seguida

para um valor ligeiramente maior, at assumir um valor constante no estado

permanente.

Na fase inicial tem-se uma reatncia chamada de reatncia subtransitria

X'd, da ordem de 0,2 pu, com durao de algumas unidades de ciclos. Em

seguida tem-se uma reatncia chamada de reatncia transitria Xd, da ordem de

0,3 pu, com durao de algumas dezenas de ciclos. No estado permanente tem-

se a reatncia sncrona permanente Xd. da ordem de 1,0 pu.

73

A Figura 6.3 mostra a representao grfica simplificada da corrente i(t)

para o caso de um curto circuito nos terminais de um gerador sem carga, em que

no est includa a componente unidirecional (a componente com a exponencial).

Figura 6.3 - Representao grfica da corrente de curto circuito no gerador sem carga

Pode-se observar no grfico como a corrente inicialmente elevada e

decresce ao longo do tempo at assumir o estado permanente, em

correspondncia variao crescente da reatncia.

Utilizando do grfico da corrente em funo do tempo da tenso do gerador

Eg e das reatncias, so definidas as correntes subtransitria I'd, transitria Id e

permanente Id, em valores eficazes, da seguinte forma:

No caso do gerador estar fornecendo uma corrente IL a uma carga ZL com

uma tenso VL, sendo Vt a tenso terminal da mquina, e ocorre um curto nos

terminais da carga, aparecem no gerador tenses internas. Essas tenses so

chamadas tambm nessas condies transitrias de tenses subtransitria E'g,

transitria Eg e permanente Eg, que so determinadas atravs das seguintes

expresses:

As tenses E'g e Eg so determinadas por IL. Ambas so iguais a Eg

apenas quando IL=0, em que se tem Eg = Vt .

74

A Figura 6.4 mostra o circuito equivalente para um gerador fornecendo uma

corrente para uma carga atravs de uma impedncia externa Ze ,

Figura 6.4 - Circuito equivalente para um gerador com carga

A Figura 6.5 mostra os circuitos equivalentes correspondentes com as

tenses e reatncias subtransitrias e transitrias, respectivamente.

Figura 6.4 - Circuitos equivalentes para condies transitrias com carga

A corrente subtransitria tambm pode ser calculada utilizando-se do

equivalente de Thvenin, conforme a Figura 6.5:

Figura 6.5 - Equivalente de Thvenin

O valor da corrente :

75

Matriz Impedncia de Barra para Clculo de Faltas

No clculo das correntes de curto circuito no sistema para uma falta numa

determinada barra as correntes pr-falta, isto , as correntes devido s cargas,

so em geral desprezadas. As correntes de curto circuito podem ser

determinadas utilizando-se do equivalente de Thvenin e da matriz impedncia de

barra.

Para se determinar a corrente de curto circuito na barra k determina-se

inicialmente a tenso pr-falta Vf nessa barra. Desconsiderando as correntes de

carga as tenses pr-falta so aproximadamente iguais a 1,0 pu, isto , Vf = 1 pu.

A impedncia de Thvenin Zth obtida curtocircuitando as fontes e achando-se a

impedncia equivalente vista desta barra, tendo-se Zkk = Zth, que o elemento da

matriz impedncia de barra correspondente barra k .

A corrente de falta If na barra k ser, portanto:

As correntes ao longo do sistema so determinadas considerando a

distribuio dessa corrente pelos diversos ramos. As tenses no ponto de curto

zero. Nas demais barras n as tenses Vn podem ser determinadas a partir da

tenso pr-falta na barra k e utilizando-se das impedncias de transferncia Znk da

matriz impedncia de barra, da seguinte forma:

Esses clculos sero aplicados ao caso de um de sistema simples como o

da Figura 6.6, utilizando reatncias subtransitrias das mquinas.

Figura 6.6. Exemplo de sistema simples para caulo de curto circuito

76

Os diagramas de impedncias e admitncias resultam, conforme mostra a

Figura 6.7.

Figura 6.7 - Diagramas de impedncias e admitncias

A anlise de uma falta trifsica, por exemplo, na barra 4 conduz aos

seguintes resultados:

Tem-se para as correntes e tenses de curto circuito, em pu:

Potncia e Corrente de Curto Circuito

Define-se como potncia de curto circuito Pcc (ou Sk) na barra como o

produto da tenso nominal pela corrente de curto circuito na barra. Essa potncia

77

necessria para a definio da capacidade dos disjuntores usados na proteo

do sistema. No sistema trifsico, tem-se:

Normalmente os clculos so feito em pu. Quando a tenso nominal

expressa em kV e a corrente de curto circuito em kA, resulta a potncia de curto

circuito em MVA.

Por exemplo, se num sistema uma barra de Vn = 69 kV apresenta uma

corrente de curto circuito trifsico de Icc = 2000 A, tem-se que a potncia de curto

circuito Pcc = Sk = 239 MVA.

No equivalente monofsico, tendo-se a tenso nominal de linha em V a

corrente de curto circuito em A e potncia de curto circuito em VA, a reatncia

resulta em por fase, dada pela expresso:

Em termos de tenso em kV e potncia de curto circuito em MVA, tem-se

em :

Por exemplo, no sistema acima em que a barra de Vn = 69 kV apresenta

uma potncia de curto circuito Pcc = Sk = 239 MVA tem-se que a reatncia

equivalente na barra Xth = 19,92 .

Se, noutro exemplo, uma barra de Vn=13,8 kV apresenta uma reatncia

Xth=25 , tem-se que Pcc = Sk=7,62 MVA e Icc = 318 A.

Em pu na base SB = 100 MVA, tem-se:

Isto : a potncia de curto circuito em pu igual ao inverso da reatncia

em pu.

78

Por outro lado, tem-se:

Isto : a corrente de curto circuito em pu igual ao inverso da reatncia

em pu e, portanto igual potncia de curto circuito em pu.

Por exemplo, se uma barra de Vn = 69 kV apresente X = 0,5 pu, base 100

MVA, tem-se Pcc = Icc = 2,0 pu, ou Pcc = 200 MVA e Icc = 1673 A.

79

7. CURTOS CIRCUITOS ASSMTRICOS

A anlise das faltas assimtricas, ou curtos circuitos assimtricos,

envolvem as componentes simtricas, os clculos das tenses e correntes, a

potncia em termos de componentes simtricas, as impedncias d

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Sistemas Elétricos de Potência