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Tópicos em Aritmética, Álgebra e Geometria para o Ensino Médio. Nome:- Carlos Alberto Spolaor e Almir Rogério Ferreira Pólo:- Votuporanga (SP) Grupo:- 08

Sistemas lineares 0109 (1)

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Trabalho que relaciona os sistemas lineares com software educativos (Geogebra, Winplot, Máxima)

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Tópicos em Aritmética, Álgebra e Geometria para o Ensino Médio.

Nome:- Carlos Alberto Spolaor e Almir Rogério Ferreira

Pólo:- Votuporanga (SP)Grupo:- 08

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IntroduçãoTrata-se de uma atividade a ser desenvolvida na 2ª série

do Ensino Médio, referente ao conteúdo Sistemas Lineares – Interpretação Gráfica.

As tarefas são organizadas para serem desenvolvidas em 6 aulas aproximadamente.

O foco principal da atividade é a utilização de softwares gráficos, em especial o Geogebra e o Winplot, onde o aluno poderá comparar a solução algébrica dos sistemas com a sua solução gráfica e verificar quais são as implicações de ambas na resolução de problemas.

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Tema Central:

Sistemas Lineares

Tópicos que deverão ser revisados

anteriormente:

• Plano Cartesiano;

• Equações lineares;

• Noções de sistemas.

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A História dos Sistemas Lineares

• Carl Gustav Jacobi (1804 – 1851)

• Pierre Simon Laplace (1749 – 1827)

• Joseph Louis Lagrange (1736 – 1813)

Sistema Linear • Definição e Resolução

• Escalonamento

• Classificação

• Utilização

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Organização da turma

A turma deverá ser organizada em duplas, de modo a facilitar o andamento do trabalho do professor, pois com os alunos trabalhando em equipe o ambiente fica mais interessante para o desenvolvimento das atividades, inclusive no laboratórioAs aulas serão ministradas em sala de aula e na sala de informática, dependendo da necessidade, conforme experiência profissional do professor.

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Recursos• Projeto Multimídia• Computador• Softwares Geogebra e Winplot devidamente

instalados• Caneta, • Régua, • Caderno, • Borracha, • Outros materiais que fazem parte do Kit do

aluno

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Tarefa - Aula 1

A história do desenvolvimento dos sistemas lineares

através das descobertas matemáticas.

Questões a serem discutidas com os alunos:-

•Como era a vida dos matemáticos que descobriram a

utilidade dos sistemas? Tinham computador? Como

eles anotavam as suas descobertas?

•Como eles faziam os seus cálculos?

•Faça uma pesquisa sobre o modo de vida destes

matemáticos e os apresente a classe.

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Tarefa - Aulas 2, 3 e 4•Revisão do Plano Cartesiano

•Apresentação do sistema Linear:-

Denomina-se sistema linear m x n o conjunto S de m equações

lineares em n incógnitas, que pode ser representado assim:

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Apresentação do Vídeo sobre escalonamento de sistemas lineareshttp://www.youtube.com/watch?v=LS4RYy4dp4oE o vídeo sobre classificação de um sistema linearhttp://www.youtube.com/watch?v=3ZGQAqBIxLY

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Sistemas Lineares: Introdução

Um terreno de 8000 m2 deve ser dividido em dois lotes. O lote maior deverá ter 1000 m2 a mais do que o lote menor. Vamos calcular a área que cada um deverá ter.

Sendo x e y, respectivamente, as áreas destinadas ao lote maior e ao lote menor;

1000

8000

yx

yx

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Resolvendo este sistema, encontramos:-Método da

Substituição

substituindo na 1ª equação, temos:-

Método Geométrico

4500

3500

70002

100080002

80001000

x

y

y

y

yy

1000

8000

yx

yx

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Classificação de um Sistema Linear 2 x 2

Sistema

Possível

Determinado

Indeterminado

Impossível

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Interpretação Geométrica de um sistema 2 x 2

As retas concorrentes indicam que existe um única número para ordenado que é solução do sistema (sistema possível e determinado).

As retas paralelas e distintas indicam que não existe par ordenado que seja solução do sistema (sistema impossível).

152

103

yx

yx

52

242

yx

yx

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As retas coincidentes indicam que existem infinitos pares ordenados que são soluções do sistema (sistema possível e indeterminado.

1293

862

yx

yx

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Tarefas - Aulas 5 e 6O professor deverá trabalhar no laboratório de

informática, utilizando o software Geogebra.

• Apresentação do Geogebra;

• Solução de sistemas lineares

• Classificação de um sistema linear

• Estudo geométrico dos sistemas lineares

• Atividades

Tutorial Geogebra:-

http://diadematematica.diadematematica.com.b

r/modules/mastop_publish/?

tac=10

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Atividade 1

Resolva o sistema através de escalonamento, classificando-o e interprete o mesmo

geometricamente através do winpot.

1 - O supermercado Comprebem em Uberaba gasta o dobro da energia elétrica do

que o de Araxá, e o depósito da rede em Uberaba gasta o triplo da energia elétrica do

que o de Araxá. Em tempos de racionamento de energia elétrica, o proprietário

negociou com a concessionária e conseguiu uma cota mensal de 13000 kWh para a

soma do consumo dos seus dois estabelecimentos de Uberaba e 5000 kWh para a

soma do consumo dos seus dois estabelecimentos de Araxá. Considerando que as

cotas foram utilizadas em sua totalidade, responda:-

a) Qual o consumo de cada loja?

b) Observe o gráfico e responda quanto a classificação do sistema.

c) Qual é o consumo das lojas da cidade de Uberaba?

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)(1300032

)(5000

Uberabayx

Araxáyx

Resolução:-

a)

x = gasto com energia do supermercado Araxá

y = gasto com energia do depósito em Araxá

Resolvendo o sistema, encontramos x=2000 e y = 3000, assim temos que a

Loja Comprebem e o depósito de Uberaba gastam 4000 kWh e 9000 kWh,

respectivamente e a loja e o depósito de Araxá gastam 2000 e 3000 kWh,

respectivamente.

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b) Resolução geométrica através do Geogebra

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c) Supermercado Comprebem – 4000 kWh;Depósito 9000 kWh (Uberaba)

Supermercado Comprebem – 2000 kWh – Depósito 3000 kWh (Araxá)

2) Uma empresa deve entalar uma mistura de amendoim, castanha de caju e

castanha-do-pará. Sabendo-se que o quilo de amendoim custa R$ 5,00, o quilo

de castanha de caju, R$ 20,00, e o quilo de castanha-do-pará, R$ 16,00. Cada

lata deve conter meio quilo da mistura e o custo total dos ingredientes de cada

lata deve ser R$ 5,75. Além disso, a quantidade de castanha de caju em cada

lata dever igual a um terço da soma das outras duas.

a) escreva o sistema linear que representa a situação descrita acima;

b) resolva o referido sistema, determinando as quantidades, em gramas, de

cada ingrediente por lata;

c) Mostre geometricamente.

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ResoluçãoSendo:-a = amendoim, c= castanha de caju; p=castanha do pará, temos: 03

3

pca

apc

Temos um sistema linear:- 03

5.0

75,516205

pca

pca

pcaque transformada em matriz, temos:

D=5,0020

5,0111

75,516205

01431

5.0111

75,516205

13

LL Podemos encontrar o valor de c,

)tanh(125,04

5,05,04 cajúdeacasgramasc Continuando o escalonamento, encontramos:-

5,0040

25,311150

75,516205

5

5,0040

5,0111

75,516205

12 LLfazendo as substituições necessárias em

parádoacasdegramasp tanh125,0 .250 amendoimdegramasa

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Resolução através do Winplot 3D

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Atividades Propostas

1. Numa danceteria, o convite para homens custava R$ 15,00 e para mulheres, R$

10,00. Sabendo que o número de mulheres que foram à danceteria excede 5 o

número de homens e que, ao todo, foram arrecadados R$ 550,00, pergunta-se: qual

é o número de homens que foram dançar lá?

2. Em um restaurante há 12 meses todas ocupadas. Algumas, por 4 pessoas; outras

por apenas 2, num total de 38 fregueses. Qual é o número de mesas ocupadas por

apenas 2 pessoas?

3. Rapazes e moças dançavam animadamente em uma festa. Com a saída de 8

rapazes, percebeu-se que as moças estavam para os rapazes numa proporção de 3

para 2. Mas tarde, porém, 10 moças deixaram a festa e a proporção passou a ser de

5 moças para cada 4 rapazes. Quantos rapazes e moças havia na festa?

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4. Resolva cada sistema linear 2 x 2 usando o método da adição e geométrico através do Winplot ou Geogebra; classifique-os quanto ao número de soluções.

52

424

yx

yx

865

1223

yx

yx

642

15105

yx

yx

5. Classifique e resolva os sistemas lineares através de escalonamento e faça sua representação geométrica.

014

032

042

yx

zyx

zyx

02

833

132

zy

zyx

zyx

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Avaliação• Habilidades para usar os softwares Geogebra e/ou Winplot;

• Observar o envolvimento e a participação de cada integrante.

• A socialização dos temas propostos;

• Avaliação final do projeto através de um seminário com exposição

dos estudados realizados;

• Criação de um blog para que os alunos relatem suas experiências.

• Verificar se os alunos conseguem resolver as situações propostas de

maneira satisfatória;

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Conclusão• Recursos tecnológicos pode tornar a aprendizagem dos conteúdos

mais atrativa e satisfatória;

• A utilização dos softwares, como no caso de construção gráfica, não

apresenta dificuldade, pois requer apenas razoável treinamento e pode

inclusive ser um desafio e um estimulo tanto para professor como para

o aluno.

• No caso do conteúdo específico, Sistemas Lineares, a vantagem de

desenvolvê-lo com auxílio do computador é que a análise gráfica se

torna mais fácil, com melhor visual, o que possibilita abranger um

maior número de situações, possibilitando assim uma aprendizagem

mais plena.

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Bibliografia

Dante, Luiz Roberto, Matemática, Volume Único,

2008, 1ª Edição, Editora Ática;

IEZZE, Gelson, Fundamentos de Matemática

Elementar, 2ª Edição 1977, Editora Atual;

IEZZE, Gelson e outros, Matemática Ciência e

Tecnologia, 2ª Edição, 2005, Editora Atual;

SPIEGEL, Murray R., MOYER, Robert E., Coleção

Schaum, Álgebra, 2ª Edição, 2004, Editora Bookman.