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SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES Prof. Elizângelo Lopes, SEE/PE-237878-7, UPE-12531-8 Mestre em Matemática 7 de fevereiro de 2014 1 Introdução O estudo dos sistemas de equações lineares constituem o objetivo central do nosso estudo, e é justificado pela sua ampla gama de aplicações nas ciências exatas, naturais, e mesmo sociais, na descrição de fenômenos estatísticos, por exemplo. Nele daremos um sentido mais concreto à teoria das matrizes e principalmente dos determinantes, conforme veremos. 2 Equações e sistemas lineares no espaço bidi- mensional 2.1 Equações lineares a duas incógnitas O aluno deste curso já deve estar familiarizado com as equações do 1. o grau com uma incógnita, isto é, equações do tipo ax = b Em que a 6=0 e b R. Por outro lado, também já teve contato com os sistemas de equações do 1. o grau com duas incógnitas, isto é, expressões do tipo ax + by = c dx + ey = f (a, b, c, d são números reais) que têm por objetivo determinar um valor de x e outro de y que simultaneamente verifiquem as duas equações. 1

SISTEMAS LINEARES 2007-2011

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notas de aula de álgebra matricial referente aos sistemas lineares

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  • SISTEMAS DE EQUAESLINEARES

    Prof. Elizngelo Lopes, SEE/PE-237878-7, UPE-12531-8Mestre em Matemtica

    7 de fevereiro de 2014

    1 IntroduoO estudo dos sistemas de equaes lineares constituem o objetivo central donosso estudo, e justificado pela sua ampla gama de aplicaes nas cinciasexatas, naturais, e mesmo sociais, na descrio de fenmenos estatsticos,por exemplo. Nele daremos um sentido mais concreto teoria das matrizese principalmente dos determinantes, conforme veremos.

    2 Equaes e sistemas lineares no espao bidi-mensional

    2.1 Equaes lineares a duas incgnitas

    O aluno deste curso j deve estar familiarizado com as equaes do 1.o graucom uma incgnita, isto , equaes do tipo

    ax = b

    Em que a 6= 0 e b R.Por outro lado, tambm j teve contato com os sistemas de equaes do

    1.o grau com duas incgnitas, isto , expresses do tipo{ax+ by = cdx+ ey = f

    (a, b, c, d so nmeros reais) que tm por objetivo determinar um valor dex e outro de y que simultaneamente verifiquem as duas equaes.

    1

  • Esses dois exemplos de expresses matemticas constituem modelos deresoluo de problemas especficos, tanto na matemtica, quanto nas diversascincias e situaes in-meras em que podem ser aplicados. Tomando o casodo sistema, e considerando uma de suas equaes, por exemplo, ax+ by = c,temos um exemplar do objeto matemtico que passaremos a designar pelonome de Equao linear a duas incgnitas :

    Definio 1: Sejam a, b e c nmeros reais quaisquer. Damos o nomede Equao linear bidimensional ou Equao linear a duas incgnitas expresso

    ax+ by = c

    Em que x e y so as incgnitas da equao.

    Exemplo 1: So exemplos de equaes lineares bidimensionais:3x+ 2y = 3x+ y = 0

    3x y = 0, 510x1 +

    12x2 = 3, etc

    Para concluir esta primeira parte, perceba que numa equao linear ne-nhuma incgnita surge com expoente diferente de 1, e no h multiplica-o entre duas incgnitas. Desse modo, equaes do tipo

    3xy + x = 3,

    x + 2y = 0 e x2 + y = 0, entre outras, no constituem exemplos de equa-es lineares (Por qu?) e por isso no sero contempladas em nosso estudo.

    2.2 Solues e interpretao geomtrica de uma equa-o linear bidimensional

    Definio 2: Seja ax + by = c uma equao linear bidimensional.D-se o nome de Soluo particular desta equao a todo par (x0, y0) quea verifique quando fizermos x = x0 e y = y0.

    Exemplo 2: Verifique que os pares abaixo so solues particulares da equa-o x+ y = 2:a) (1,1) b) (0,2) c) (2,0) d) (-2,4)Soluo:

    2

  • .

    Percebamos que diversos outros pares poderiam ser pensados para verificar aequao dada no exemplo acima, e isto naturalmente nos leva a conjecturarque numa equao linear h infinitas solues. De fato, isto confirmado sepensarmos que os pares (x0, y0), ao mesmo tempo que verificam a equaoax + by = c, tambm podem ser vistos como coordenadas dos pontos noplano cartesiano ortogonal.Utilizando esse raciocnio, podemos isolar o y naequao acima e obteremos a lei de formao de uma funo que a cada xescolhido associar um y, formando os pares do conjunto-soluo. Vejamos:

    ax+ by = c by = ax+ c y = abx+

    c

    b

    Fazendoab

    = A ec

    b= B, temos a lei de associao

    y = Ax+B

    que sabemos, da 1.a srie do ensino mdio, ser representante de uma fun-o afim, cujo grfico uma reta, se fazemos o x variar continuamente noconjunto R. Desse modo, assim como uma reta possui infinitos pontos, umaequao linear possui infinitas solues particulares, e reta que grficodessa equao usamos chamar de sua representao geomtrica.

    Exemplo 3: Construa a representao geomtrica das equaes linearesa seguir:a) 6x+ 3y = 2 b) x 2y = 4Soluo:

    .

    3

  • Note que essa representao geomtrica justifica a nomenclatura que usa-mos. O termo "linear"refere-se a "linha"ou "reta", ao passo que o termo"bidimensional"traduz-se como "duas dimenses". Isto porque necessitamosto-somente de um espao de duas dimenses para representar geometri-camente tais equaes: De fato, o Plano cartesiano ortogonal possui duasdimenses: o comprimento, representado pelo eixo Ox, e a largura, represen-tada pelo eixo Oy.

    2.3 Sistemas lineares bidimensionais

    Quando temos a necessidade de considerar, num certo problema, duas equa-es lineares distintas, de modo a que necessitemos encontrar solues quesatisfaam a ambas ao mesmo tempo, passamos a tratar de sistemas de equa-es lineares de duas equaes e duas incgnitas, que nada mais so do queos objetos que aprendemos a chamar de Sistemas de equaes lineares do 1.ograu com duas incgnitas, conforme definimos a seguir:

    Definio 3: D-se o nome de Sistema linear bidimensional ou Sis-tema linear 2 2 ao conjunto de duas equaes e duas incgnitas queexpressamos pela notao {

    ax+ by = cdx+ ey = f

    em que a, b, d, e e so os coeficientes do sistema, x e y so as incgnitas,e c e f so os termos independentes, significando que o conjunto de suassolues formado pelos pares ordenados (x0, y0) que verificam ao mesmotempo as duas equaes.

    A respeito do conjunto das solues de um sistema linear, mencionado nadefinio, vale mencionar que ele nem sempre existe; na verdade, um sistemalinear pode ou no ter soluo, e no caso de ter, estas podem at ser infinitas.Para ilustrar, considere os sistemas a seguir:

    S1 :

    {x+ y = 10x y = 6 S2 :

    {x+ y = 1

    2x+ 2y = 2S3 :

    {x+ y = 1x+ y = 2

    Note, no caso de S1, que se o resolvermos pelo mtodo da adio, por exem-plo, que sua nica soluo dada por (x, y) = (8, 2) (verifique). No caso deS2, se multiplicarmos a 1.a equao por 2, percebemos que temos, na verdade,duas equaes lineares iguais, de maneira que todas as infinitas solues de

    4

  • uma verificam a outra. Logo, h infinitas solues. No caso de S3, se tentar-mos resolv-lo pelo mtodo da adio, ou outro qualquer, chegaremos a umabsurdo, o que fcil de se perceber, pois x + y = 1 e x + y = 2 significamque procuramos dois nmeros tais que sua soma seja igual a 1 e a 2 ao mesmotempo, o que impossvel.

    2.4 Interpretao geomtrica de um sistema linear

    Ao considerarmos a idia de conjunto-soluo de um sistema linear, natu-ral nos perguntarmos se existem apenas os trs casos tratados anteriormente:no existir, por exemplo, um sistema linear com apenas duas ou trs equa-es apenas? A resposta no e justificada pelo fato de que as equaeslineares bidimensionais, conforme vimos, representam retas no plano, e suassolues so os pontos que compem essas retas. Dessa forma, um sistemaque possui apenas uma soluo indica que as retas que os representam pos-suem um nico ponto em comum, isto , so retas concorrentes ; um sistemaque no possui soluo indica que as retas no tm ponto em comum, isto, so paralelas ; por outro lado, um sistema que possui infinitas soluesrepresenta retas que possuem infinitos pontos em comum, isto , so retascoincidentes. Desse modo, considerando o sistema linear{

    ax+ by = cdx+ ey = f

    e se chamarmos de reta r reta que representa ax + by = c, e de reta s reta que representa dx+ ey = f , temos as seguintes 3 possibilidades:

    I) r e s so concorrentes ( Indicamos por r s):

    Figura 1:Representao geomtrica de um sistema que possui uma nica soluo:

    S = r s = P = (x0, y0)

    II) r e s so paralelas ( Indicamos por r//s):

    5

  • Figura 2:Representao geomtrica de um sistema que no possui soluo: S = r s =

    III) r e s so coincidentes ( Indicamos por r s):

    Figura 3:Representao geomtrica de um sistema que possui infinitas solues: S = r = s

    Desse modo fica claro que s h trs possibilidades de classificao deum sistema li-near quanto ao nmero de solues, de modo que no se podeconceber um sistema linear de 2 ou 3 solues apenas, por exemplo. Se osistema possui mais de uma soluo, ento ter infinitas solues. A prximadefinio fornece uma classificao para todos os casos possveis de sistemas:

    Definio 4: D-se o nome de: Sistema incompatvel (ou impossvel) ao sistema que no possui solu-es; Sistema compatvel e determinado ou, simplesmente, Determinado aosistema que possui uma nica soluo; Sistema compatvel e indeterminado, ou,simplesmente, Indeterminadoao sistema que possui infinitas solues.

    Exemplo 4: Construa o grfico dos sistemas a seguir:

    S1 :

    {x+ y = 10x y = 6 S2 :

    {x+ y = 1

    2x+ 2y = 2S3 :

    {x+ y = 1x+ y = 2

    6

  • E classifique-os quanto ao seu nmero de solues:

    Soluo:

    .

    3 Resoluo de sistemas determinados 2 23.1 Notao matricial de um sistema bidimensional

    Tomemos uma vez mais o sistema linear 2 2:

    S :

    {ax+ by = cdx+ ey = f

    A partir de agora daremos nomes especiais a cada coeficiente e termo in-dependente de S, semelhantemente ao que fizemos anteriormente com asmatrizes:

    a: Coeficiente na 1.a equao da 1.a incgnita: a11b: Coeficiente na 1.a equao da 2.a incgnita: a12d: Coeficiente na 2.a equao da 1.a incgnita: a21e: Coeficiente na 2.a equao da 2.a incgnita: a22c: Termo independente da 1.a equao: b1f : Termo independente da 2.a equao: b2

    Utilizando essa nova notao, podemos reescrever{a11x+ a12y = b1a21x+ a22y = b2

    7

  • Utilizando a idia de igualdade entre matrizes, podemos reescrever:(a11x+ a12ya21x+ a22y

    )=

    (b1b2

    )Ou ainda, utilizando a idia de multiplicao entre matrizes:(

    a11 a12a21 a22

    )(xy

    )=

    (b1b2

    )Se definirmos:(a11 a12a21 a22

    )= A (Matriz dos coeficientes de S ou Matriz-coeficiente)(

    xy

    )= X (Matriz das incgnitas de S ou Matriz-incgnita)(

    b1b2

    )= B (Matriz dos termos independentes de S ou Matriz-independente)

    Temos ento que o sistema S ficou reduzido equao matricial

    AX = B

    que chamada de Forma Matricial do Sistema S :

    Definio 5: Seja S um sistema linear bidimensional; sendo A amatriz dos coeficientes de S, X a matriz das incgnitas, e B a matriz dostermos independentes, damos o nome de Forma Matricial de S equaomatricial

    AX = B

    Exemplo 5: Dar a forma matricial dos sistemas lineares

    a){

    2x+ y = 5x 3y = 0 b)

    {5x = 6

    x y = 4Soluo:

    8

  • .

    3.2 A Regra de Cramer para Sistemas 2 2De posse da forma matricial de um sistema linear, podemos resolv-lo ma-tricialmente ao invs de numericamente, desde que apliquemos nossos co-nhecimentos de produto entre matrizes, matriz inversa e determinante. Oresultado desse processo o famoso teorema da lgebra Linear conhecidocomo Regra de Cramer, que capaz de transformar um problema de re-soluo de um sistema linear determinado em um problema de clculo dedeterminantes. Para enunci-lo, considere, de incio, o sistema{

    a11x+ a12y = b1a21x+ a22y = b2

    (1)

    que supomos ser possvel e determinado, e sua forma matricial

    AX = B

    com o significado bvio de A, X e B.Suponha que exista A1. Nesse caso, podemos multiplicar os dois mem-

    bros da igualdade matricial por A1, obtendo:

    A1AX = A1B, Sendo AA1 = I2

    I2X = A1B, Sendo I2X = X

    E da,X = A1B (2)

    Assim, a matriz incgnita X equivale a multiplicar, nessa ordem, a inversada Matriz-coeficiente pela matriz independente.

    Entretanto, podemos ainda simplificar um pouco mais o processo deobteno de X, pois se existe A1, ento det A 6= 0, podemos usar oteorema que aprendemos no mdulo sobre determinantes. Segue da que

    A1 =1

    det A

    (a22 a12a21 a11

    ).

    A partir de agora, adotaremos a notao = det A, para simplificar.

    Substituindo na expresso X = A1B essa matriz e o que sabemos ser amatriz coeficiente, temos:

    X =1

    (a22 a12a21 a11

    )(b1b2

    )9

  • X =1

    (a22b1 a12b2a21b1 + a11b2

    )(3)

    Note agora que a22b1a12b2 = b1 a12b2 a22

    e que a21b1 +a11b2 = a11 b1a21 b2.

    Note que o primeiro determinante refere-se matriz(b1 a12b2 a22

    )que nada mais do que a matriz A original em que substitumos a colunados coeficientes de x pela matriz independente. Chamaremos essa matriz deAx (Matriz A com a coluna do x alterada pela matriz independente) e seudeterminante x. Analogamente, a matriz a que se refere o 2.o determinante,isto , (

    a11 b1a21 b2

    ) a matriz A em que substitumos a coluna dos coeficientes do y pela matrizindependente. Chamaremos essa matriz de Ay (Matriz A com a coluna do yalterada pela matriz independente e y) o seu determinante.

    Desse modo, a expresso (3) pode ser reescrita como

    X =1

    (xy

    )ou ainda, (

    xy

    )=

    x

    y

    e da, pela igualdade matricial, temos que, se o sistema (1) admite umasoluo nica, esta ser dada pelo par (x, y) tal que

    x =x

    e y =y

    Note que, para que tais razes existam, basta que tenhamos 6= 0, eisto torna o sistema possvel e determinado, pois restringe o x e y s razesindicadas.

    Com tais consideraes, podemos enfim, enunciar o teorema central destemdulo:

    10

  • Teorema 1 (Regra de Cramer para Sistemas bidimensionais): SejaAX = B um sistema S bidimensional em que A, X e B so, respecti-vamente, as matrizes coeficiente, incgnita e independente. Se S um

    sistema determinado e X =(xy

    ), ento

    x =x

    e y =y

    onde:

    x = det Ax e y = det Ay,com os significados estabelecidos de Ax e Ay

    Esse teorema reduz drasticamente o trabalho de resoluo de um sistemalinear bidimensional, poupando um tempo considervel e reduzindo signifi-cativamente a possibilidade de erros de clculo, devido ao nmero reduzidode operaes que requer:

    Exemplo 6: Dar o conjunto-soluo de{

    2x y = 7x+ 5y = 2

    Soluo:

    .

    Exemplo 7: Resolva os sistemas lineares a seguir usando a Regra de Cramer:

    a){

    3x 2y = 12x+ 5y = 12

    b){

    x+ y = 122x+ 3y = 29

    c){

    5x 7y = 33x 4y = 2

    11

  • d)

    x

    3+y

    4= 1

    3

    x y8

    =5

    2

    e){

    3x 2y = 3x y = 1 f)

    {5x 3y = 134x+ 6y = 2

    Soluo:

    4 Equaes e Sistemas Lineares no Espao tri-dimensional

    4.1 Equaes lineares a trs incgnitas

    Da mesma forma que definimos uma equao linear a duas incgnitas, po-demos definir o caso tridimensional, assim denominado devido sua repre-sentao geomtrica,que se faz com recorrncia geometria espacial, isto, geometria de trs dimenses, ao invs da geometria plana bidimensional.Para iniciar, estendemos a definio de equao linear a esse universo:

    Definio 6: D-se no nome de Equao linear a trs incgnitas ouEquao linear tridimensional, expresso

    ax+ by + cz = d

    em que a, b, c e d so nmeros reais e x, y e z so as incgnitas daequao.

    De maneira anloga ao caso de duas incgnitas, no se admitem expoen-tes (diferentes de 1) ou multiplicao/diviso entre elas. Desse modo, umaequao do tipo

    3x+ 1

    2y 0, 5z = 0, por exemplo, uma equao linear a

    12

  • trs incgnitas, ao passo que x + 2xy y + z = 3 ou x2 + 3y 4z2 = 1 noso (por qu?).

    Estendendo o conceito de soluo a este universo, em razo dan intro-duo da 3.a varivel, necessrio mais um elemento para expressarmos osvalores que satisfazem equao. Desse modo, no se fala mais em parordenado, mas em terna , trio, ou tripla ordenada:

    Definio 7: D-se o nome de Soluo particular da equao lineartridimensional

    ax+ by + cz = d

    a qualquer terna ordenada (x0, y0, z0) tal que, se fizermos x = x0, y = y0e z = z0 a equao se verifica.

    Exemplo 8: Verifique que a terna (2, 1, 3) soluo da equao linear2x 4y + 3z = 9:Soluo:

    .

    Exemplo 9: Determine uma soluo particular da equao linear x+yz =0:Soluo:

    .

    Exemplo 10: Escreva uma equao linear que tenha como soluo a terna(1, 3,1):Soluo:

    13

  • .

    4.2 Representao geomtrica de uma equao lineartridimensional

    A interpretao geomtrica de uma equao linear a trs incgnitas, conformedissemos linhas atrs, pertence geometria analtica de trs dimenses; aquij no se fala de plano cartesiano ortogonal, mas de Espao cartesiano or-togonal, sistema cartesiano obtido por meio da insero de um terceiro eixo,perpendicular aos outros dois, chamado algumas vezes de Eixo das cotas, oude Eixo Oz, a exemplo dos eixos das abscissas (Ox) e das ordenadas (Oy).

    A ttulo apenas de ilustrao apresentaremos ingenuamente um pouco dateoria necessria compreenso da representao geomtrica de uma equa-o linear. Um estudo completo desse tema se faz em cursos de geometriaanaltica em nvel superior.

    Uma soluo particular P = (x0, y0, z0) de uma equao linear tridimen-sional representa um ponto no espao, no mais no plano, e o conjunto detodas as ternas ordenadas que representam os pontos que compem o espao chamado, algumas vezes, de Espao R3:

    Figura 4:Vista do Espao R3 (ou Espao cartesiano ortogonal) e a marcao do

    ponto genrico P = (x0, y0, z0)

    14

  • Fica fcil de se perceber a justificativa para o adjetivo "tridimensional"nadefinio anterior: no plano R3 o x, o y e o z representam, respectivamente,o comprimento, a largura e a altura, as trs dimenses de nosso mundo fsico.

    Considere, agora, a equao x+ y + z = 4. Uma soluo particular sua a terna (1, 1, 2). Isto quer dizer que o ponto que representa essa terna est a1 unidade de comprimento, 1 unidade de largura, e 2 unidades de altura doespao R3. Veja:

    Figura 5:Representao geomtrica do ponto P = (1, 1, 2)

    Evidentemente, h outros pontos cujas coordenadas verificam essa equa-o linear. Num estudo mais avanado, prova-se que esses diversos pontosso infinitos, pois assim como em R2 uma equao linear representa umalinha reta no plano, em R3 ela representa uma superfcie plana no espao.Podemos visualizar parte dessa superfcie se utilizarmos uma ampliao datcnica que aprendemos na primeira srie deste curso para construir uma retaa partir dos interceptos (ou pontos notveis) com os eixos coordenados. Pararelembrar, considere a equao de duas variveis 3x + 2y = 6, por exemplo.A idia obtermos os pontos de interseco da reta com os eixos Ox e Oy:

    Se fizermos x = 0, obtemos 3(0) + 2y = 6 y = 3 P1 = (0, 3)Se fizermos y = 0, obtemos 3x+ 2(0) = 6 y = 3 P2 = (2, 0).

    claro que isto tambm pode ser feito pondo a equao na forma de funoafim para calcularmos o zero da funo (intercepto x) e o termo independente

    15

  • (intercepto y).

    Construindo o grfico a partir desses dois pontos, temos a Figura 6:

    Figura 6:Representao geomtrica do ponto da equao 3x+ 2y = 6

    Note que apenas parte da reta visualizada, pois ela infinita em ambasas direes.

    Faamos agora o mesmo com uma equao tridimensional. Para tanto,considere a equao linear 3x+2y+z = 6. Iremos anular, em cada vez, duasdas suas incgnitas, afim de obter os pontos de interseco do plano com oseixos coordenados:

    Se fizermos y = 0 e z = 0, obtemos 3x = 6 x = 2 P1 = (2, 0, 0)Se fizermos x = 0 e z = 0, obtemos 2y = 6 y = 3 P2 = (0, 3, 0)Se fizermos x = 0 e y = 0, obtemos z = 6 P2 = (0, 0, 6)

    Basta agora que localizemos esses pontos nos eixos e os liguemos, formandoum tringulo. Ele expressa uma poro da superfcie representada pela equa-o linear:

    16

  • Figura 7:Parte do plano que representa a equao 3x+ 2y + z = 6

    Assim como no caso de duas dimenses, s podemos visualizar parte dasuperfcie, pois ela se expande infinitamente nos sentidos das bordas que vi-sualizamos.

    Exemplo 11: Faa um esboo do grfico da equao linear x+ y + 2z = 2:Soluo:

    .

    4.3 Sistemas lineares 3 3Definio 8: D-se o nome de Sistema linear tridimensional ou Sistemalinear 3 3 ao conjunto de trs equaes lineares tridimensionais dispostasna forma

    a11x + a12y + a13z = b1a21x + a22y + a23z = b2a31x + a32y + a33z = b3

    em que cada aij um nmero real chamado coeficiente, cada bi um nmeroreal chamado de termo independente, e x, y e z so as incgnitas do sistema.

    17

  • Exemplo 12: So exemplos de sistemas lineares 3 3:x + y + z = 3x y + 3z = 42x+ 3y z = 1

    ,

    x + y z = 0

    2x + 3y z = 1x 10y 2z = 1

    ,

    3x + y = 5x + z = 4

    x+ y + z = 1

    Assim como no caso 22, uma terna (x0, y0, z0) s soluo de um sistemase verificar as trs equaes lineares ao mesmo tempo. Como antes,tambmno caso 3 3 podemos classificar os sistemas lineares de acordo com o seunmero de solues, de maneira que um sistema S dito:I) Determinado se possuir uma nica soluo (x0, y0, z0);II) Indeterminado se possuir infinitas solues particulares (x0, y0, z0);III) Impossvel se no possuir solues.

    Essa classificao viabilizada pela interpretao geomtrica de um sis-tema 3 3, baseada na observao das diversas posies relativas entre trsplanos no espao. Relembrando o caso 22 e levando em considerao o quesabemos at agora do espao R3, possvel se ter uma idia do que ocorregeometricamente com cada um dos tipos de sistemas:I) Se o sistema determinado, ento os planos representativos das suas equa-es possuem um nico ponto P = (x0, y0, z0) em comum;II) Se o sistema indeterminado, ento os planos representativos das suasequaes possuem infinitos pontos em comum;III) Se o sistema impossvel, ento os planos representativos das suas equa-es no possuem pontos em comum, isto , so paralelos.

    Para concluir, vale destacar que o estudo dos sistemas indeterminados emR3 bem mais amplo do que ocorre em R2, devido multiplicidade notvelde posies relativas entre dois planos com coincidncia infinita de pontos,de maneira que no caso II acima no fizemos mais do que uma ingnua edespretensiosa explanao do que acontece. Uma anlise de caso completa objeto de estudo de cursos avanados de geometria analtica espacial, emrazo do que no o faremos aqui.

    18

  • 4.4 Forma matricial e Regra de Cramer para Sistematridimensionais

    Considere o sistema a11x + a12y + a13z = b1a21x + a22y + a23z = b2a31x + a32y + a33z = b3

    Podemos estender a idia de representao matricial ao caso 3 3 de modoanlogo ao que fizemos no caso bidimensional. Desse modo, o Sistema Sacima poderia ser reescrito na forma de uma igualdade entre matrizes 3 1: a11x + a12y + a13za21x + a22y + a23z

    a31x + a32y + a33z

    = b1b2b3

    ou ainda, de acordo com o produto de matrizes: a11 a12 a13a21 a22 a23

    a31 a32 a33

    xyz

    = b1b2b3

    Desse modo, definindo como antes:

    A =

    a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

    (Matriz-coeficiente)X =

    xyz

    (Matriz-incgnita)B =

    b1b2b3

    (Matriz- independente),Temos

    A X = BExemplo 13: Escrever a forma matricial dos sistemas:

    a)

    3x 2y + z = 3x + y 4z = 1

    5x+ 2y 3z = 0, b)

    x + z = 1y + 2z = 0

    x 3y + z = 1:

    Soluo:

    19

  • . A forma matricial do sistema 33 nos fornece a linguagem adequada para

    estendermos tambm a validade da Regra de Cramer ao caso tridimensional,fato de grande importncia para ns, pois possibilita-nos, finalmente, a reso-luo desse tipo de sistema, uma vez que estivemos restritos, durante todoesse tempo, aos sistemas elementares de duas equaes e duas incgnitas.

    A demonstrao desse caso apia-se em conceitos como o de Matriz ad-junta e ser omitida, por escapar aos objetivos de nosso curso; a nomenclaturaque utilizaremos, no entanto, similar que usamos no caso 2 2. Dessemodo, sendo S o sistema AX = B em que

    A =

    a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

    eB =

    b1b2b3

    , temos:Ax =

    b1 a12 a13b2 a22 a23b3 a32 a33

    (Matriz A com a 1.a coluna modificada pela matriz B)Ay =

    a11 b1 a13a21 b2 a23a31 b3 a33

    (Matriz A com a 2.a coluna modificada pela matriz B)Ay =

    a11 a12 b1a21 a22 b3a31 a32 b3

    (Matriz A com a 3.a coluna modificada pela matriz B)Com esta notao enunciamos:

    Teorema 2 (Regra de Cramer para Sistemas tridimensionais): SejaS um Sistema linear 33 de forma matricial AX = B. Se S compatvele determinado e

    X =

    xyz

    , entox =

    x, y =

    y, e z =

    z

    Com os significados usuais de , x, y e z.

    A respeito desse teorema, vale ainda ressaltar que sua validade restringe-

    20

  • se aos casos em que o sistema determinado, isto aos sistemas em que amatriz-incgnita inversvel. Desse modo, s podemos us-lo nos casos emque 6= 0. Os casos em que = 0 no representam sistemas determinados,mas sistemas 3 3 indeterminados ou impossveis, e no podem ser analisa-dos ou resolvidos pela Regra de Cramer.

    Exemplo 14: Resolver os sistemas lineares a seguir recorrendo Regrade Cramer:

    a)

    x+ 2y z = 0

    3x 4y + 5z = 10x+ y + z = 1

    b)

    x+ y + z = 10

    x+ y = 4y + z = 3

    c)

    x+ 2y + z = 6

    4x z = 10y + 2z = 1

    d)

    2x+ y z = 1

    2x+ y = 0x+ z = 4

    Soluo:

    21

  • 5 Apndice I: Equaes e Sistemas lineares noespao n-dimensional

    De posse do que vimos at agora, podemos generalizar, toda a teoria desen-volvida a uma quantidade n de incgnitas qualquer. Desse modo, temos queuma Equao linear n-dimensional (ou equao linear a n incgnitas) umaequao do tipo

    a1x1 + a2x2 + a3x3 + a4x4 + ...+ anxn = b

    em que os ai so coeficientes, os xi so incgnitas, e o b o termo indepen-dente. Suas solues so as n-uplas ordenadas

    (1, 2, ..., n)

    tais que se fizermos x1 = 1, x2 = 2,..., xn = n a equao se verifica, isto, torna-se verdadeira a sentena

    a11 + a22 + a33 + a44 + ...+ ann = b

    Exemplo 15: 3x + 2y + 4z + t = 3 (Equao linear quadridimensional);x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 = 0 (Equao linear a seis incgnitas).

    Exemplo 16 (Um caso interessante): Se admitirmos n = 1 na definioacima, obtemos a equao linear unidimensional

    ax = b

    que nada mais do que a nossa velha conhecida Equao do 1.o grau (Desdeque a 6= 0). Sua soluo, por conseguinte, apenas um nmero real, isto ,x =

    b

    a.

    Exemplo 17: Descubra uma soluo particular da equao x+yz+tw =0:Soluo:

    .

    22

  • J vimos as interpretaes geomtricas de equaes lineares de 2 e de3 incgnitas, que requeriam, para sua representao, respectivamente, umuniverso de 2 dimenses (o plano), e de 3 dimenses (o espao). Quandofazemos n = 1 em nossa definio, isto , quando consideramos uma equaodo 1.o grau, precisamos no mais do que uma dimenso para representar suasoluo: basta-nos a reta real, ou conjunto R, e tal soluo se configurarcomo um ponto sobre essa reta, fato que j tivemos a oportunidade de estudarna 1.a srie deste curso.

    Quando tratamos de uma equao de 4 incgnitas, entretanto, sabemosapenas que suas solues so qudruplas ordenadas, isto , objetos do tipo(x0, y0, z0, t0), mas no os podemos representar geometricamente, pois ne-cessitaramos ter conhecimento de um universo quadridimensional, que estalm da plena compreenso humana. Esse universo costuma ser chamado deHiperespao cartesiano ortogonal quadridimensional, ou, simplesmente, es-pao R4. Trata-se de um ente largamente utilizado em matemtica e fsicamoderna, embora no se tenha uma compreenso ttil ou visual de suas pro-priedades. Alguns conjecturam que assim como as trs primeiras dimensesso o comprimento, a largura, e a altura, a 4.a dimenso seria o tempo, poisum ser, para existir de fato no mundo fsico, necessita de um comprimento,uma largura, uma altura e um tempo de existncia. Entretanto, tais con-jecturas encontram mais popularidade no campo da fico do propriamenteda cincia (Ver, por exemplo, o livro "A mquina do tempo"de H.G. Wells),de maneira que no nos alongaremos nesta discusso, por no a julgarmosfrutfera no momento.

    De modo anlogo, uma equao linear de 5 incgnitas possui solues emR5, uma de seis incgnitas em R6, e assim por diante. Assim como no casotridimensional, no entanto, no podemos sequer imaginar uma interpretaogeomtrica para tais solues. De maneira geral, dizemos que uma equaon-dimensional possui suas razes no espao Rn.

    Passemos agora a generalizar o conceito de sistema. Um Sistema linearn-dimensional um sistema formado por n equaes de n incgnitas cadauma, dispostas da forma seguinte:

    a11x1 + a12x2 + a13x3 + a14x4 + ...+ a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + a23x3 + a24x4 + ...+ a2nxn = b2a31x1 + a32x2 + a33x3 + a34x4 + ...+ a3nxn = b3a41x1 + a42x2 + a43x3 + a44x4 + ...+ a4nxn = b4

    ..........................................................................an1x1 + an2x2 + an3x3 + an4x4 + ... + annxn = bn

    23

  • Com os significados usuais dos smbolos aij, xj, e bi. Isto, como antes, signi-fica que a n-upla ordenada (1, 2, ..., n) ser soluo do sistema se verificar,ao mesmo tempo, todas as equaes do sistema.

    A forma matricial do sistema dado pela igualdade AX = B, que significa

    (aij)nn(xij)n1(bij)n1

    Exemplo 18: Dar a forma matricial do sistema seguinte:

    x+ y + z t = 2

    2x y + t = 0y z + 3t = 1

    x+ 2y z + 4t = 5Soluo:

    .

    Exemplo 19: Se considerarmos um sistema 1 1, obtemos a expresso

    {ax = b

    que , mais uma vez, uma equao do 1.o grau. A sua forma matricial [a][x] = [b]

    A demonstrao geral da Regra de Cramer, como dissemos antes, envolveconceitos que esto muito alm dos nossos objetivos; entretanto, assumiremosa sua validade sem demonstrao:

    24

  • Teorema 3 (Regra de Cramer generalizada): Seja AX = B umsistema linear n-dimensional em que A = (aij)nn, X = (xij)n1 e B =(bij)n1. Se detA 6= 0 e cada Ai a matriz-coeficiente com a i-simacoluna trocada pela matriz B,ento cada xi determinado pela expresso

    xi =i

    Exemplo 20: D a soluo do Sistema linearx+ y = 3y + z = 5z + t = 4x+ t = 2

    Soluo:

    .

    25

  • Exemplo 21: Recordando os conceitos de determinante de uma matrizquadrada de ordem 1, resolva a equao 3x = 5 considerando-a como umsistema linear unidimensional e usando a Regra de Cramer:Soluo:

    .

    Para concluir, cabe fazermos duas observaes: Inicialmente, perceba a difi-culdade acentuada de se resolver manualmente um sistema de ordem 4 4pela regra de Cramer. Isto j percebemos no caso do exemplo 20 que deum sistema at muito simples. Imagine ento um sistema, digamos, 10 10com equaes completas: uma tarefa extremamente penosa. Para casoscomo este, existem programas de computador que utilizam-se da teoria quedesenvolvemos para determinar a soluo numa frao de segundos. Para aresoluo manual de sistemas como esse, existe a tcnica do escalonamento,que reduz consideravelmente o trabalho. No abordaremos tal mtodo aqui,uma vez que a Regra de Cramer suficiente para as nossas pretenses.

    possvel generalizarmos ainda mais a definio de sistemas lineares seadmitirmos a possibilidade de sistemas com nmero desigual de incgnitase de equaes, como por exemplo, um sistema do tipo 3 2, ou 4 5, porexemplo. Entretanto, quando se fala de Regra de Cramer tal generalizao relativamente desnecessria, uma vez que todo sistema com tais caractersti-cas pode ser transformado num sistema n n mediante o acrscimo de umanova equao com coeficientes e termos independentes nulos, ou uma incg-nita com coeficiente nulo em cada linha. Para ilustrar, seja, por exemplo, o

    sistema{x + y z = 1x y + z = 0 de 2 equaes e 3 incgnitas . Podemos adi-

    cionar uma nova equao com coeficientes zerados 0x+ 0y+ 0z = 0, obtendo

    ento o sistema

    x + y z = 1x y + z = 00x+ 0y + 0z = 0

    de 3 equaes e 3 incgnitas.

    26

  • Perceba, no entanto, que um sistema desse tipo nunca determinado,uma vez que a sua matriz-coeficiente A sempre possuir uma linha ou colunanula, de modo que detA = 0, sendo, portanto, invariavelmente no-inversvel.Esse sistema indeterminado ou impossvel, de maneira que esse caso torna-se desinteressante para ns, em razo do que no nos aprofundaremos em seuestudo.

    6 Apndice II: Discusso algbrico-geomtricade um sistema linear 2 2

    Se voltarmos nosso olhar para a Regra de Cramer, por um instante, ao mesmotempo em que levamos em considerao os trs tipos possveis de posiesrelativas entre duas retas, podemos estabelecer uma analogia que nos permiteidentificar os trs tipos de sistemas, de acordo com os tipos possveis dematrizes incgnitas.

    De incio, recordemos a condio fundamental para a validade da Regrade Cramer: ela poder ser aplicada num sistema AX = B se, e somente se,o determinante da matriz incgnita for no-nulo, isto , se 6= 0. Vimosque esse caso ocorre se o sistema possvel e determinado, e a soluo Xassim determinada representa as coordenadas do ponto de encontro entre asretas que so representantes geomtricas das duas equaes que compem osistema.

    Considerando este caso uma pergunta surge, s vezes, com certa natu-ralidade: o que ocorre nos casos em que se tem = 0? Para responder aessa pergunta, perceba, inicialmente, que cada soluo dada pela Regra de

    Cramer tem a forma xi =i

    , que expressa a diviso entre dois nmerosreais o i e o .

    Estudando as possibilidades de anulamento do divisor dessa expresso,temos:

    i) i 6= 0 e = 0: temos uma expresso do tipo 0, que sabemos ser

    impossvel: No poder haver soluo nesse sistema, pois no possvel secalcular um resultado para essa diviso.

    ii) i = 0 e = 0: Temos a expresso0

    0, que sabemos, da 1.a srie de

    nosso curso, ser uma expresso sem sentido claro na matemtica, costumaser chamada de Expresso indeterminada, pois teoricamente qualquer n-mero pode ser resultado dessa diviso, se levarmos em considerao a prova

    27

  • real da diviso (Considere, por exemplo, 0 0 = 5. Pela prova real, temos5 0 = 0 (V). Mas observe que o 5 pode ser substitudo por qualquer outronmero, e a expresso permanece verdadeira).

    Provaremos a seguir que os dois casos geomtricos no contemplados pelaRegra de Cramer correspondem, cada um, a uma dessas formas de divisornulo. Para comear, considere duas retas paralelas no plano, conforme aFigura 8:

    Figura 8

    Pelo que estudamos, sabemos que cada uma dessas retas representa umaequao li-near bidimensional. Pelo que vimos na 1.a srie do Ensino mdio,essas retas representam tambm funes afins, por exemplo, cujas leis de as-sociao s diferem entre si no termo independente, de maneira que podemosdizer que:

    y = Ax + C, para certo valor de C a equao da reta r, pois ela corta oeixo Oy no ponto (0, C); y = Ax+D a equao da reta s, por razes anlogas.

    Desse modo, as duas retas paralelas acima representam o sistema (impos-svel){y = Ax+ Cy = Ax+D

    (*)

    Pelo que vimos na seo 2.3, existem nmeros reais a, b, c, d, tais que:

    A =ab, C =

    c

    b, D =

    d

    b,

    de maneira que temos:

    y = Ax+C y = abx+

    c

    b y = ax+ c

    b by = ax+ c ax+ by = c

    28

  • ey = Ax+D ax+ by = d

    pelas mesmas razes.Assim, o sistema (*) equivalente a{ax+ by = cax+ by = d

    Nele temos:

    =

    a ba b = 0, x = c bd b

    = bc bd = b(c d), que diferentede zero, pois c e d no so ambos nulos e c 6= d. Desse modo, detAx 6= 0.

    Alm disso, y = a ca d

    = adac = a(d c) 6= 0 pelas mesmas razes.Isto nos ilustra que um sistema 22 impossvel apresenta = 0, x 6= 0,

    y 6= 0, valores que nos conduzem s expresses impossveis

    x =x0

    e y =y0

    Consideremos agora o caso dos sistemas indeterminados. Neles, sabemos,h infinitas solues. Geometricamente, conforme vimos, essa situao representativa de um par de retas coincidentes (veja Figura 3, pgina 5).Desse modo as duas so representativas de uma mesma equao linear

    ax+ by = c

    Algebricamente, se queremos considerar duas equaes distintas, pode-mos atribuir reta r a equao

    ax+ by = c

    e reta s, essa mesma equao multiplicada por uma constante k 6= 0:

    kax+ kby = kc

    De maneira que a coincidncia entre duas retas representativa do sistema{ax + by = c

    (ka)x+ (kb)y = kc

    Cujos determinantes so

    29

  • detA =

    a bka kb = 0, x = c bkc kb

    = 0, e y = a bka kc = 0.

    Isto nos ilustra que um sistema indeterminado possui todos os determi-nantes nulos. Seu nome motivado pelo fato de que, ao tentarmos calcularas solues pela Regra de Cramer, somos levados s indeterminaes

    x =0

    0e y =

    0

    0

    Juntando a essas concluses a Regra de Cramer, temos o teorema se-guinte:

    Teorema 4 (Discusso de um Sistema linear 22): Seja S : AX = Bum sistema linear 2 2. Ento:Se detA 6= 0 ento S determinado;Se detA = detx = detAy = 0, ento S indeterminado;Se detA = 0, detAx 6= 0 e detAy 6= 0, ento S impossvel.

    fcil, a partir desse teorema, adivinharmos, enfim, o porque de se usara palavra determinante. Trata-se do nmero capaz de determinar se umsistema ter soluo, e se tiver, no caso 2 2, se ser nica ou infinitas.

    Antes de passarmos aos exemplos, reorganizemos nossas concluses, parafacilitar nossa anlise:

    6= 0 : Sistema determinado = 0

    {x 6= 0, y 6= 0 : Sistema impossvelx = y = 0 : Sistema indeterminado

    Exemplo 22: Classifique os sistemas a seguir:

    a){

    3x+ 4y = 16x+ 8y = 0

    b){

    x 2y = 25x+ 10y = 0 c)

    {3x 4y = 5

    8x y = 9Soluo:

    30

  • .

    Exemplo 23: Calcule o valor de k de maneira que o sistema{kx 3y = 43x+ 2y = 8

    seja:a) Determinado; b) Indeterminado; c) Impossvel:Soluo:

    .

    Para concluir, importante que se diga que a classificao que aqui ex-ploramos s possvel de ser feita dessa forma com sistemas bidimensionais.Quando ampliamos as dimenses a um nmero superior a dois essa anlisefalha catastroficamente. De fato, considere o sistema 3 3 a seguir:

    x+ y + z = 12x+ 2y + 2z = 23x+ 3y + 3z = 0

    Note que esse sistema impossvel: De fato, observe que a 2.a equao igual 1.a multiplicada por 2. At a, nenhum absurdo. Mas ao considerar-mos a 3.a equao, vemos que o seu 1.o membro 3x+3y+3z = 3(x+y+z),e da, usando a 1.a equao, obtemos 3(x + y + z) = 3 1 = 3 6= 0, isto, no possvel que 3x + 3y + 3z seja igual a zero! O sistema, portanto, impossvel. Apesar disso, se utilizarmos uma forma ampliada do teoremaanterior, teramos:

    31

  • =

    1 1 12 2 23 3 3

    = 0,x =

    1 1 12 2 20 3 3

    = 0, y =

    1 1 12 2 23 0 3

    = 0, z =

    1 1 12 2 23 3 0

    = 0e seramos levados a classificar erradamente o sistema como indeterminado.Esse problema se deve ao fato de que sistemas indeterminados e imposs-veis possuem diversas representaes geomtricas diferentes em dimensessuperiores a duas.

    7 Apndice III: Sistemas lineares homogneosUm Sistema linear dito homogneo quando todas as suas equaes possuemtermos independentes nulos; caracteriza-se um sistema desse tipo por sempreadmitir soluo, no sendo impossvel jamais, portanto. De fato, o sistema

    a11x1 + a12x2 + a13x3 + a14x4 + ...+ a1nxn = 0a21x1 + a22x2 + a23x3 + a24x4 + ...+ a2nxn = 0a31x1 + a32x2 + a33x3 + a34x4 + ...+ a3nxn = 0a41x1 + a42x2 + a43x3 + a44x4 + ...+ a4nxn = 0

    ..........................................................................an1x1 + an2x2 + an3x3 + an4x4 + ... + annxn = 0

    admite a soluo (x1, x2, x3, ..., xn) = (0, 0, 0, ..., 0) sempre, o que pode fa-cilmente ser verificado: para isto, tome qualquer uma das equaes e faaa substituio. Essa soluo, a n-upla ordenada nula, chamada de Solu-o trivial do sistema, que pode ou no ter outras solues, chamadas, casoexistam, de Solues no-triviais.

    Como no h a possibilidade de um sistema homogneo ser impossvel,restam-nos apenas duas situaes a serem consideradas: ou o sistema de-terminado ou indeterminado, fato que pode ser associado determinao ou

    indeterminao dos quocientes xi =i

    . De fato: perceba que um sistemahomogneo possui a forma matricial AX = O. Desse modo, a substituioda i-sima coluna de A pela Matriz independente O acarreta que cada Aipossuir uma coluna nula, de maneira que teremos sempre i = 0 para cadaum dos xi, isto , teremos 1 = 0, 2 = 0,..., n = 0. Desse modo, resta-nosanalisar o para sabermos se o sistema ser determinado ou no. De fato,a expresso que define cada incgnita xi num sistema homogneo

    xi =0

    32

  • Assim, se 6= 0, o sistema ser determinado, e portanto admitir apenasa soluo trivial; caso contrrio, se = 0, o sistema ser indeterminado,admitindo, pois infinitas solues, estando entre elas a soluo trivial.

    Com isto, temos provado o teorema a seguir:

    Teorema 5 (Discusso de sistemas lineares homogneos): Seja S osistema linear homogneo de forma matricial AX = O. Nessas condies,temos que:1) Se 6= 0, ento S determinado e X = (0, 0, ..., 0);2) Se = 0, ento S indeterminado.

    Exemplo 24: Classifique os sistemas homogneos:

    a)

    3x+ 2y + z = 0x y 4z = 08x 5y + 8z = 0

    b)

    x

    2+ y = 0

    x5 y

    8= 0

    Soluo:

    .

    Exemplo 25:Calcule o valor de m para que o sistema

    x+ y z = 0x y +mz = 0x+ y z = 0

    admita apenas a soluo trivial:

    33

  • Soluo:

    .

    8 Exerccios

    8.1 Equaes e sistemas lineares no espao bidimensio-nal

    1. Ache duas solues da equao x1 + 12x2 = 0:

    2. Determinem para que (-1,1,0) seja soluo da equaomx+y2z = 6:

    3. Dada a equaox

    2+y

    3= 1, ache para que (, + 1) torne a sen-

    tena verdadeira:

    4. Calcule a, de modo que (1, a+1) no seja soluo da equao 2x+4y =0:

    34

  • 5. Construa no plano R2 o grfico das equaes a seguir:a) x 5y = 15 b) 2x 3y = 12 c) 5x 2y = 4 d) 3x y = 4

    6. Resolva o Sistemas Lineares a seguir usando a Regra de Cramer:

    a){

    x+ 2y = 52x 3y = 4 b)

    {3x+ 5y = 94x+ 3y = 1 c)

    {2x+ y = 5x 3y = 0

    d){

    5x+ 3y = 343x+ 4y = 27

    e)

    {x 2y = 4x

    2 y

    5= 2

    f)

    {5x+ 3y = 102x

    5 y

    3= 6

    g){

    3x 4y = 1x+ 3y = 9

    h){

    x+ y = 52x+ 2y = 10

    7. Encontre a e b na equao matricial[

    2 53 1

    ] [xy

    ]=

    [ 47

    ]

    8. Encontre as coordenadas do ponto de interseco entre os grficos dasfunes afim f(x) = 2x+ 1 e g(x) = 5x+ 2:

    9. Resolva o sistema{

    x cos a+ y sen a = sen ax (sen a) + y cos a = cos a

    8.2 Equaes e sistemas lineares no espao tridi-mensional

    10. Ache m, de modo que (1, 2,3) seja soluo da equao linear 2a4b+mc = 0:

    11. Determine duas solues da equao linear x+ 2y z = 5:

    35

  • 12. Esboce o grfico das equaes lineares a seguir no 1.o octante do sis-tema cartesiano tridimensional:(Nota: O 1.o octante a parte do espao cartesiano em que as trscoordenadas so positivas. o correspondente tridimensional do 1.oquadrante):a) x 2y + 3z = 6 b) 2x 2y + z = 8 c) 3x 5y + 3z = 15

    13. Resolva os Sistema Lineares a seguir usando a Regra de Cramer:

    a)

    3x+ 2y + z = 12x+ 3y z = 0x+ y 2z = 4

    b)

    x+ y z = 0x+ y + z = 0x y z = 0

    c)

    2x+ y 2z = 2

    y + z = 23x 2z = 1

    d)

    2x1 + 3x2 x3 = 0x1 2x2 + x3 = 5x1 x2 + x3 = 2

    e)

    2a+ b+ c = 2a + c = 0

    3a+ 5b c = 2f)

    x+ 2y z = 2

    2x y + 3z = 93x+ 3y 2z = 3

    g)

    2a b+ c = 2a b+ 2c = 3a+ b+ c = 6

    h)

    2x y 4z = 3x+ 3y + z = 103x+ 2y 2z = 2

    i)

    x y 10 = 0x z 5 = 0y z 3 = 0

    j)

    2x+ y + z = 1x 2y + 3z = 83x y + z = 0

    14. Resolva a equao matricial

    1 4 72 3 65 1 1

    xyz

    = 22

    8

    :8.3 Equaes e sistemas lineares no espao n-dimensional

    15. Ache o conjunto soluo dos sistemas:

    a)

    x+ y + z + t = 02x + 5t = 43z 2t = 14y + 3t = 5

    b)

    x+ y + z t = 2x y + 2z + t = 4x+ 2y 3z + t = 1

    5x y + 2z 3t = 3c)

    x+ y + z + t = 0

    2x y + t = 1y + z 2t = 0

    4y + 3z = 7

    36

  • 8.4 Discusso algbrico-geomtrica de um sistemalinear 2 2

    16. Calcule o valor de k de modo que o sistema{x+ ky = 2x+ 3y = 1

    seja com-

    patvel e determinado:

    17. Classifique os sistemas, resolvendo-os quando possvel:

    a){

    2x+ y = 43x 2y = 1 b)

    {x+ y = 3

    2x+ 2y = 1c){

    2x+ 2y = 8x+ y = 4

    18. Calcule a para que o sistema{

    ax 2y + 2a = 12x+ ay 2a = 1 seja determinado:

    19. Calcule os valores de a para que o sistema{

    3x+ 2y = 1ax 4y = 0 seja com-

    patvel e determinado:

    20. Determine a e b para que o sistema{

    6x+ ay = 124x+ 4y = b

    seja indetermi-

    nado:

    8.5 Sistemas lineares homogneos

    21. Classifique, quanto ao nmero de solues, os seguintes sistemas homo-gneos:

    a){

    3x1 4x2 = 06x1 + 8x2 = 0 b)

    x+ y + 2z = 0x y 3z = 0

    x+ 4y = 0

    22. Calcule o valor de a para que o sistema{

    ax+ y = 0ax+ ay = 0

    tenha solues

    diferentes da trivial:

    37

  • 23. Determine m para que o sistema

    2x y + 3z = 0x+ 4y 5z = 0

    3x+my + 2z = 0possua infini-

    tas solues:

    24. (Fuvest-SP) SejaM a matriz dos coeficientes do sistema linear

    x1 + x2 + x3 + 2x4 = 0x1 + x2 + 2x3 + x4 = 0x1 + 2x2 + x3 + x4 = 02x1 + x2 + x3 + x4 = 0

    .

    a) Calcule detM :b) Prove que o sistema admite uma nica soluo:

    9 Testes de vestibulares e concursos pblicos1. (UPE 2000)- Certa quantia ser repartida entre Jnior, Daniela e Edu-

    arda. Sabendo-se que Jnior e Daniela recebero juntos R$ 5000,00,Jnior e Eduarda dividiro R$ 4500,00 e Daniela e Eduarda juntas re-cebero R$ 3500,00, podemos afirmar que Eduarda receber:a)R$ 3000,00 b)R$ 2000,00 c)R$ 1500,00 d)R$ 2500,00 e)R$ 3500,00

    2. (UFRN)- A soluo do sistema

    x+ y + z = 6

    4x+ 2y z = 5x+ 3y + 2z = 13

    :

    a) (-2,7,1) b) (4,-3,5) c)(0,1,5) d) (2,3,1) e) (1,2,3)

    3. (FGV-SP)- O sistema

    2x+ 3y z = 0x+ 2y + 4z = 0

    x 14z = 0:

    a) Determinado b) Impossvel c) Determinado com soluo (1,1,1)d)Indeterminado e) NDA

    4. (ECT-2000)- Em um estacionamento existem apenas carros e motos.Sabe-se que o nmero total de rodas existentes no estacionamento 140e que o nmero de carros igual ao triplo do nmero de motos. qual

    38

  • o total de veculos existentes no estacionamento? Obs.: considere quecada carro possui quatro rodas e cada moto possui 2 rodas.a) 10 b) 20 c) 30 d) 40 e) NDA

    5. Em uma chcara existem vacas e galinhas, num total de 10 cabeas e26 ps. quantas vacas e quantas galinhas, respectivamente, existem nagranja?a) 3 e 7 b) 2 e 8 c) 7 e 3 d) 8 e 2 e) NDA

    6. (FMU-SP)- O valor de a para que o sistema{

    x+ 2y = 183x ay = 54 seja pos-

    svel e indeterminado :a) -6 b)6 c)2 e) 32

    7. (UFPR)- Para que o sistema

    2x+ 5y z = 0x+ 10y 2z = 0

    6x 15y +mz = 0admita soluo

    nica, deve-se ter:a)m 6= 1 b)m 6= 2 c)m 6= 2 d)m 6= 3 e)m 6= 3

    8. (FCC-BA)- O sistema linear{

    x+ y = aa2x+ y = 1

    impossvel se, e somentese:

    a)a 6= 1 e a 6= 1 b)a = 1 ou a = 1 c)a = 1 d)a = 1 e)a / R

    9. (EFOA-MG) O sistema de equaes{ax+ 5y = 5bx+ y = 0

    ter uma nica

    soluo se:a) a = 5b b) a + 5b = 0 c) a 5b 6= 0 d) 5ab = 0 e)5ab 6= 0

    39

  • 10. (FAAP-SP) Para que o sistema linear{ax by = 72x+ 5y = 1

    admita uma

    nica soluo, necessrio que:

    a) a 6= 2b5

    b) a =2b

    5c) a 6= 5b

    2d) a 6= 2b

    5e)

    a =5b

    2

    11. (FGV-SP) O sistema linear{kx+ 2y = 1

    2x y = m impossvel se, e so-mente se:a) k = 4 e m 6= 1

    2b) k 6= 4 e m = 1

    2c) k 6= 4 e m 6= 1

    2d)

    k = 4e) a = 4 e m = 1

    2

    12. (UFPA) O sistema linear{

    x+ y = 1x+ a2y = a

    admite soluo se, e somentese:a) a = 0 b) a = 1 c) a = 1 d) a 6= 1 e) a 6= 1

    13. (FMU-SP) O sistema linear{

    x+ 2y = 1ax+ by = 5

    tem soluo nica para:

    a) todo a 6= 0 e b 6= 0 b) b 6= 2a c) b 6= a d) todo a R e b Re) todo a > 0 e b > 0.

    14. (FGV-SP) Determine os valores de a e b afim de que o sistema{

    2x+ 2y = b2x+ ay = 6

    seja indeterminado. Ento, o produto ab :a) 12 b) 24 c) 18 d) 6 e) 36

    15. (FCC-BA) O sistema{k2x y = 0x+ ky = 0

    nas incgnitas x e y:

    a) impossvel se k 6= 1. b) admite apenas a soluo trivial se k = 1.c) possvel e indeterminado se k = 1. d) impossvel para todo k

    40

  • real.e) admite apenas a soluo trivial para todo k real.

    16. (UFSC) Para qual valor de m o sistema

    mx 2y z = 0xmy 2z = 03x 2y = 0

    admite

    infinitas solues?a) m = 0 b) m 6= 0 c) m = 2 d) m = 10 e) m = 1

    41

  • Gabarito

    01. c 02. e 03. d 04. d 05. a 06. b 07. d 08. d09. c 10. a 11. a 12. e 13. c 14. a 15. c 16. c

    Referncias[1] Leithold, L. O clculo com geometria analtica vol. 2 .2.a edio. So

    Paulo, Harbra: 1982.

    [2] Giovanni, J. R. & Bonjorno, J. R. Matemtica 2 2.o Grau: Tri-gonometria, Matrizes, Anlise combinatria, Geometria. So Paulo,FTD:1992.

    [3] Lima, E.L. et al. A matemtica do Ensino Mdio volume 3. Coleo doProfessor de Matemtica , Rio de Janeiro, SBM: 2001.

    [4] Iezzi, G. et al. Matemtica 2.a srie 2.o grau. 7.a edio. So Paulo,Atual: 1974.

    [5] Machado, A.S. lgebra linear e Geometria analtica , So Paulo, Atual:1980.

    [6] Boldrini, J. L. et al. lgebra linear . So Paulo: Harbra, 1980.

    [7] Luna, J.E.L. Programa de qualificao do Ensino de Matemtica emNvel Mdio: uma proposta para a Escola Francisco Pereira da Costa.Monografia. Garanhuns, (No publicado): 2007.

    [8] Callioli, Carlos Alberto et al. lgebra Linear e aplicaes. 6.a edio.So Paulo: Atual, 1990.

    42