Sistemas Lineares em Engenharia · Circuitos Elétricos Leis de Kirchhoff Segunda Lei de Kirchhoff Lei das Malhas A soma algébrica da d.d.p. (diferença de potencial el étrico)

Sistemas Lineares emEngenharia

Prof. Afonso Paiva

Departamento de Matematica Aplicada e EstatısticaInstituto de Ciencias Matematicas e de Computacao

USP – Sao Carlos

Metodos Numericos e Computacionais I – SME0305

Circuitos Eletricos Leis de Kirchhoff

Segunda Lei de KirchhoffLei das Malhas

A soma algebrica da d.d.p. (diferenca de potencial eletrico) emuma malha e nula:

N

∑k

Uk = 0 com U = R× i︸︷︷︸Lei de Ohm

Problema: como calcular a corrente eletrica ik em uma malha?

10 V

50 Ω

1 Ω

25 Ω

1 Ω

55 Ω

30 Ω

i

i

i

1

3

2

+-

Prof. Afonso Paiva (ICMC-USP) Sistemas Lineares em Engenharia SME0306 2 / 1



A soma algebrica da d.d.p. (diferenca de potencial eletrico) emuma malha e nula:

N

∑k

Uk = 0 com U = R× i︸︷︷︸Lei de Ohm

Problema: como calcular a corrente eletrica ik em uma malha?

10 V

50 Ω

1 Ω

25 Ω

1 Ω

55 Ω

30 Ω

i

i

i

1

3

2

+-




10 V

50 Ω

1 Ω

25 Ω

1 Ω

55 Ω

30 Ω

i

i

i

1

3

2

+- U < 0iU > 0i

76 −25 −50−25 56 −1−50 −1 106

i1i2i3

=

1000

Resolva o sistema acima no MATLAB usando o comando “\”.




10 V

50 Ω

1 Ω

25 Ω

1 Ω

55 Ω

30 Ω

i

i

i

1

3

2

+- U < 0iU > 0i

1 1× i1 + 25× (i1 − i2) + 50× (i1 − i3)− 10 = 0

2 30× i2 + 1× (i2 − i3) + 25× (i2 − i1) = 03 1× (i3 − i2) + 55× i3 + 50× (i3 − i1) = 0

76 −25 −50−25 56 −1−50 −1 106

i1i2i3

=

1000





10 V

50 Ω

1 Ω

25 Ω

1 Ω

55 Ω

30 Ω

i

i

i

1

3

2

+- U < 0iU > 0i

1 1× i1 + 25× (i1 − i2) + 50× (i1 − i3)− 10 = 02 30× i2 + 1× (i2 − i3) + 25× (i2 − i1) = 0

3 1× (i3 − i2) + 55× i3 + 50× (i3 − i1) = 0

76 −25 −50−25 56 −1−50 −1 106

i1i2i3

=

1000





10 V

50 Ω

1 Ω

25 Ω

1 Ω

55 Ω

30 Ω

i

i

i

1

3

2

+- U < 0iU > 0i

1 1× i1 + 25× (i1 − i2) + 50× (i1 − i3)− 10 = 02 30× i2 + 1× (i2 − i3) + 25× (i2 − i1) = 03 1× (i3 − i2) + 55× i3 + 50× (i3 − i1) = 0

76 −25 −50−25 56 −1−50 −1 106

i1i2i3

=

1000





10 V

50 Ω

1 Ω

25 Ω

1 Ω

55 Ω

30 Ω

i

i

i

1

3

2

+- U < 0iU > 0i

76 −25 −50−25 56 −1−50 −1 106

i1i2i3

=

1000




Primeira Lei de KirchhoffLei dos Nos

Em um no, a soma algebrica das correntes eletricas que saem deum no e nula:

N

∑k

ik = 0

Problema: como calcular a voltagem em cada no de uma malha?

100 V

5Ω 10Ω

10Ω30Ω 20Ω

N1 N3

N2




Em um no, a soma algebrica das correntes eletricas que saem deum no e nula:

N

∑k

ik = 0

Problema: como calcular a voltagem em cada no de uma malha?

100 V

5Ω 10Ω

10Ω30Ω 20Ω

N1 N3

N2




i

N1

N2

r Ωi

N1

N2

r Ω

V

iN1

N2

r Ω

Vi1

i2 i3N

i1 + i2 + i3 = 0 i =V1 −V2

r

i =V1 −V2 + V

ri =

V1 −V2 −Vr




100 V

5Ω 10Ω

10Ω30Ω 20Ω

N1 N3

N2

[1/3 −1/10

−1/10 1/4

] [V1V3

]=

[200

]




100 V

5Ω 10Ω

10Ω30Ω 20Ω

N1 N3

N2

1 Vamos assumir que V2 = 0 em N2;

2 Em N1 :V1

30+

V1 − 1005

+V1 −V3

10= 0;

3 Em N3 :V3 −V1

10+

V3

10+

V3

20= 0;

[1/3 −1/10

−1/10 1/4

] [V1V3

]=

[200

]




100 V

5Ω 10Ω

10Ω30Ω 20Ω

N1 N3

N2


2 Em N1 :V1

30+

V1 − 1005

+V1 −V3

10= 0;

3 Em N3 :V3 −V1

10+

V3

10+

V3

20= 0;

[1/3 −1/10

−1/10 1/4

] [V1V3

]=

[200

]




100 V

5Ω 10Ω

10Ω30Ω 20Ω

N1 N3

N2


2 Em N1 :V1

30+

V1 − 1005

+V1 −V3

10= 0;

3 Em N3 :V3 −V1

10+

V3

10+

V3

20= 0;

[1/3 −1/10

−1/10 1/4

] [V1V3

]=

[200

]




100 V

5Ω 10Ω

10Ω30Ω 20Ω

N1 N3

N2

[1/3 −1/10

−1/10 1/4

] [V1V3

]=

[200

]


Trelicas

Trelicas

Problema: como calcular as forcas exercidas pelas vigas em cada no(junta) de uma trelica?

A

B

C

D

F

E

H

G

45

45N1

R13

42

5

N6

R6

a trelica e estavel (rıgida) ⇐⇒∑i

Fxi = 0 e ∑

iFy

i = 0


Trelicas

Trelicas

Problema: como calcular as forcas exercidas pelas vigas em cada no(junta) de uma trelica?

A

B

C

D

F

E

H

G

45

45N1

R13

42

5

N6

R6

a trelica e estavel (rıgida) ⇐⇒∑i

Fxi = 0 e ∑

iFy

i = 0


Trelicas

Trelicas

CB

A

θ

φ

Fext

A, B, C e Fext : magnitudede uma forca ao longo deuma viga

Horizontal

−A + C× sen(θ) + Fext × cos(φ) = 0

Vertical

B + C× cos(θ)− Fext × sen(φ) = 0

# de incognitas = # forcas nas vigas + # forcas de reacao


Trelicas

Trelicas

CB

A

θ

φ

Fext


Horizontal


Vertical




Trelicas

Trelicas

CB

A

θ

φ

Fext


Horizontal


Vertical




Trelicas

Trelicas

CB

A

θ

φ

Fext


Horizontal


Vertical




Trelicas

TrelicasAssumindo cargas hipoteticas Fi nos nos da trelica, a trelica abaixo eestavel?

A

B

C

D

F

E

H

G

45

45N1

R13

42

5

N6

R6


Trelicas


A

B

C

D

F

E

H

G

45

45N1

R13

42

5

N6

R6

No 1: →: R1 −√

22

A− B = Fx1 ↑: N1 −

√2

2A = Fy

1


Trelicas


A

B

C

D

F

E

H

G

45

45N1

R13

42

5

N6

R6

No 2:

→:

√2

2A− E = Fx

2 ↑:√

22

A + C = Fy2


Trelicas


A

B

C

D

F

E

H

G

45

45N1

R13

42

5

N6

R6

No 3:→: B−D = Fx

3 ↑: −C = Fy3


Trelicas


A

B

C

D

F

E

H

G

45

45N1

R13

42

5

N6

R6

No 4:→: E−G = Fx

4 ↑: F = Fy4


Trelicas


A

B

C

D

F

E

H

G

45

45N1

R13

42

5

N6

R6

No 5:

→: D−√

22

H = Fx5 ↑: −F−

√2

2H = Fy

5


Trelicas


A

B

C

D

F

E

H

G

45

45N1

R13

42

5

N6

R6

No 6:

→: N6 + G +

√2

2H = Fx

6 ↑: R6 +

√2

2H = Fy

6


Trelicas

Trelicas

1 0 −√

2/2 −1 0 0 0 0 0 0 0 00 1 −

√2/2 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0√

2/2 0 0 0 −1 0 0 0 0 00 0

√2/2 0 1 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 1 0 −1 0 0 0 0 0 00 0 0 0 −1 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 1 0 −1 0 0 00 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 00 0 0 0 0 1 0 0 0 −

√2/2 0 0

0 0 0 0 0 0 0 −1 0 −√

2/2 0 00 0 0 0 0 0 0 0 1

√2/2 1 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0√

2/2 0 1

R1N1ABCDEFGHN6R6

=

Fx1

Fy1

Fx2

Fy2

Fx3

Fy3

Fx4

Fy4

Fx5

Fy5

Fx6

Fy6

matriz esparsa = grande quantidade de zerostrelica estavel⇐⇒ o sistema tem solucao unica

(matriz depende apenas da geometria da trelica)


Trelicas

Trelicas

1 0 −√

2/2 −1 0 0 0 0 0 0 0 00 1 −

√2/2 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0√

2/2 0 0 0 −1 0 0 0 0 00 0

√2/2 0 1 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 1 0 −1 0 0 0 0 0 00 0 0 0 −1 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 1 0 −1 0 0 00 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 00 0 0 0 0 1 0 0 0 −

√2/2 0 0

0 0 0 0 0 0 0 −1 0 −√

2/2 0 00 0 0 0 0 0 0 0 1

√2/2 1 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0√

2/2 0 1

R1N1ABCDEFGHN6R6

=

Fx1

Fy1

Fx2

Fy2

Fx3

Fy3

Fx4

Fy4

Fx5

Fy5

Fx6

Fy6

matriz esparsa = grande quantidade de zeros

trelica estavel⇐⇒ o sistema tem solucao unica(matriz depende apenas da geometria da trelica)


Trelicas

Trelicas

1 0 −√

2/2 −1 0 0 0 0 0 0 0 00 1 −

√2/2 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0√

2/2 0 0 0 −1 0 0 0 0 00 0

√2/2 0 1 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 1 0 −1 0 0 0 0 0 00 0 0 0 −1 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 1 0 −1 0 0 00 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 00 0 0 0 0 1 0 0 0 −

√2/2 0 0

0 0 0 0 0 0 0 −1 0 −√

2/2 0 00 0 0 0 0 0 0 0 1

√2/2 1 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0√

2/2 0 1

R1N1ABCDEFGHN6R6

=

Fx1

Fy1

Fx2

Fy2

Fx3

Fy3

Fx4

Fy4

Fx5

Fy5

Fx6

Fy6


trelica estavel⇐⇒ o sistema tem solucao unica

(matriz depende apenas da geometria da trelica)


Trelicas

Trelicas

1 0 −√

2/2 −1 0 0 0 0 0 0 0 00 1 −

√2/2 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0√

2/2 0 0 0 −1 0 0 0 0 00 0

√2/2 0 1 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 1 0 −1 0 0 0 0 0 00 0 0 0 −1 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 1 0 −1 0 0 00 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 00 0 0 0 0 1 0 0 0 −

√2/2 0 0

0 0 0 0 0 0 0 −1 0 −√

2/2 0 00 0 0 0 0 0 0 0 1

√2/2 1 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0√

2/2 0 1

R1N1ABCDEFGHN6R6

=

Fx1

Fy1

Fx2

Fy2

Fx3

Fy3

Fx4

Fy4

Fx5

Fy5

Fx6

Fy6


trelica estavel⇐⇒ o sistema tem solucao unica(matriz depende apenas da geometria da trelica)


Trelicas

Trelicas

Cai ou nao cai?

10 equacoes (5 nos) > 9 incognitas (3 forcas de reacao + 6 vigas)(sistema sobredeterminados⇒ nao possui solucao!)


Trelicas

Trelicas

Cai ou nao cai?



Trelicas

Trelicas

Cai ou nao cai?

10 equacoes (5 nos) > 9 incognitas (3 forcas de reacao + 6 vigas)

(sistema sobredeterminados⇒ nao possui solucao!)


Trelicas

Trelicas

Cai ou nao cai?



Distribuicao de Temperatura


Problema: dada uma placaR sujeita a 3 temperaturas (em Celsius) dis-tintas na fronteira ∂R, como calcular a temperatura de equilıbrio nointerior da placa?

25

20

20

30

Propriedade do Valor Medio: a temperatura de equilıbrio em um pontoP e o valor medio da temperatura de sua vizinhanca.




Problema: dada uma placaR sujeita a 3 temperaturas (em Celsius) dis-tintas na fronteira ∂R, como calcular a temperatura de equilıbrio nointerior da placa?

25

20

20

30

Propriedade do Valor Medio: a temperatura de equilıbrio em um pontoP e o valor medio da temperatura de sua vizinhanca.




Suponha queR ja alcancou a temperatura de equilıbrio. Vamos discre-tizarR por uma grade (grid):

25

20

20

30

x1

2x

3x

4x

Propriedade do Valor Medio: a temperatura em um ponto P /∈ ∂R e ovalor medio da temperatura dos seus 4 pontos mais proximos.




Suponha queR ja alcancou a temperatura de equilıbrio. Vamos discre-tizarR por uma grade (grid):

25

20

20

30

x1

2x

3x

4x

Propriedade do Valor Medio: a temperatura em um ponto P /∈ ∂R e ovalor medio da temperatura dos seus 4 pontos mais proximos.




Qual o valor da temperatura em x1, x2, x3 e x4?

25

20

20

30

x1

2x

3x

4x

x1 =20 + 25 + x2 + x3

4

x2 =x1 + 25 + 30 + x4

4

x3 =20 + x1 + x4 + 20

4

x4 =x3 + x2 + 30 + 20

44 −1 −1 0−1 4 0 −1−1 0 4 −1

0 −1 −1 4

x1x2x3x4

=

45554050





25

20

20

30

x1

2x

3x

4x

x1 =20 + 25 + x2 + x3

4

x2 =x1 + 25 + 30 + x4

4

x3 =20 + x1 + x4 + 20

4

x4 =x3 + x2 + 30 + 20

4

4 −1 −1 0−1 4 0 −1−1 0 4 −1

0 −1 −1 4

x1x2x3x4

=

45554050





25

20

20

30

x1

2x

3x

4x

x1 =20 + 25 + x2 + x3

4

x2 =x1 + 25 + 30 + x4

4

x3 =20 + x1 + x4 + 20

4

x4 =x3 + x2 + 30 + 20

44 −1 −1 0−1 4 0 −1−1 0 4 −1

0 −1 −1 4

x1x2x3x4

=

45554050




Exercıcio 1Dada uma placa de tamanho x metros de largura e y metros de altura,ja com os valores de temperatura prescritos na fronteira. Faca umafuncao em MATLAB que calcule e visualize a distribuicao detemperaturas nesta placa usando um grid de resolucao n× n.





25

20

20

30

x1

2x

3x

4x

[X,Y] = meshgrid(x,y): cria um grid x× y;



Resolvendo

Codigo



Matrizes Esparsas no MATLAB

S = sparse(A): converte uma matriz cheia para esparsa;A = full(S): converte uma matriz esparsa para cheia;

S = sparse(m,n): cria uma esparsa m× n;S = sparse(i,j,val): cria uma esparsa com S(i(k), j(k)) = val(k);[i,j,val] = find(S): encontra ındices e coeficientes nao-nulos;


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