Sistemas Lineares Final

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Sistemas Lineares1. Equao LinearToda equao da forma b x a ... x a x an n + + +2 2 1 1 denominada equao linear, em que:na ,.., a , a2 1 so coeficientesnx ,..., x , x2 1 so as incgnitasb um termo independenteExemplos:a) 5 3 23 2 1 + x x x uma equao linear de trs incgnitas.b) 1 + + t z y x uma equao linear de quatro incgnitas.Observaes:1) Quando o termo independente b for igual a zero, a equao linear denomina-se equao linear homognea. Por exemplo: 0 5 +y x.2) Uma equao linear no apresenta termos da forma 2 121x . x , xetc., isto , cada termo da equao tem uma nica incgnita, cujo expoente sempre 1.As equaes3 2 3221 + x xe2 4 +z y . xno so lineares.3) A soluo de uma equao linear a n incgnitas a seqncia de nmeros reais ou nupla ( )n,..., , 2 1, que, colocados respectivamente no lugar de nx ,..., x , x2 1, tornam verdadeira a igualdade dada.4) Uma soluo evidente da equao linear homognea 0 3 +y x a dupla ( ) 0 0,. Vejamos alguns exemplos:1 exemplo: Dada a equao linear 2 4 + z y x, encontrar uma de suas solues.Resoluo: Vamos atribuir valores arbitrrios a x e y e obter o valor de z.02yx62 0 4 2 + zz .Resposta: Uma das solues a tripla ordenada (2, 0, -6).2 exemplo: Dada a equao 5 2 3 y x, determinar para que a dupla (-1, ) seja soluo da equao.Resoluo: ( ) , 1 yx 1( )4 8 25 2 35 2 1 . 3 Resposta: = 4Exerccios Propostos:1. Determine m para que ( ) 2 , 1 , 1 seja soluo da equao 6 2 + z y mx.1Resp: -12. Dada a equao 13 2 + y x, ache para que ( ) 1 , + torne a sentena verdadeira.Resp: -8/52. Sistema linear.Denomina-se sistema linear de m equaes nas n incgnitas nx x x ,..., ,2 1 todo sistema da forma:' + + + + + + + + +n n m n m mn nn nb x a x a x ab x a x a x ab x a x a x a. ... . .. . ... .. . .2 2 1 12 2 2 2 2 1 211 1 2 1 2 1 1 1n nb b b a a a' 2 ' 1 ' 1 12 11,..., , , ,..., , so nmeros reais.Se o conjunto ordenado de nmeros reais ( )n ' 2 ' 1 ',..., , satisfizer a todas as equaes do sistema, ser denominado soluo do sistema linear.Observaes:1) Se o termo independente de todas as equaes do sistema for nulo, isto , 02 1 n ' 'b ... b b, o sistema linear ser dito homogneo. Veja o exemplo:' + + + +0 3 2 50 40 2z y xz y xz y xUma soluo evidente do sistema linear homogneo x = y = z = 0.Esta soluo chama-se soluo trivial do sistema homogneo. Se o sistema homogneo admitir outra soluo em que as incgnitas no so todas nulas, a soluo ser chamada soluo no-trivial.2) Se dois sistemas lineares, S1 e S2, admitem a mesma soluo, eles so ditos sistemas equivalentes. Veja o exemplo:2( ) { 2 14 25 31 ' +, Sy xy x: S( ) { 2 1132232 ' + +, Sy xyx: SComo os sistemas admitem a mesma soluo {(1, -2)}, S1 e S2 so equivalentes.Exerccios Popostos:1. Seja o sistema ' + + + +25 20 3 23 2 13 2 13 2 11x x xx x xx x x: S .a) Verifique se (2, -1, 1) soluo de S.b) Verifique se (0,0,0) soluo de S.Resp: a) b) no 2. Seja o sistema: '+ +3 29 32k y xk y x. Calcule k para que o sistema seja homogneo.3Resp: k = -33. Calcular m e n de modo que sejam equivalentes os sistemas: ' + 5 21y xy x e ' + 21m y nxny m xResp: m = 0 e n = 13. Expresso matricial de um sistema de equaes lineares.Dentre suas variadas aplicaes, as matrizes so utilizadas na resoluo de um sistema de equaes lineares.Seja o sistema linear:' + + + + + + + + +n n m n m mn nn nb x a ... x a x a......b x a ... x a x ab x a ... x a x a2 2 1 12 2 2 2 2 1 211 1 2 12 1 11Utilizando matrizes, podemos representar este sistema da seguinte forma:

]]]]]]]]

mn m mnna a aa a aa a a...... ... ... ...... ... ... .........2 12 22 211 12 11.]]]]]]]]

nxxx......21=]]]]]]]]

nbbb......21 matriz constitudamatriz colunamatriz coluna pelos coeficientesconstituda pelas dos termosdas incgnitasincgnitasindependentesObserve que se voc efetuar a multiplicao das matrizes indicadas ir obter o sistema dado.4Se a matriz constituda pelos coeficientes das incgnitas for quadrada, o seu determinante dito determinante do sistema.Exemplo:Seja o sistema: ' + + +8 2 71 6 3 40 5 23 2 13 2 13 2 1x x xx x xx x x.Ele pode ser representado por meio de matrizes, da seguinte forma:]]]]]

]]]]]

]]]]]

810.2 1 76 3 41 5 2321xxxExerccios Propostos:1. Expresse matricialmente os sistemas:a) ' +0 35 2y xy xb) ' + + + +2 5 301 2c b ac ac b a2. A expresso matricial de um sistema S :]]]

]]]

]]]

741 35 2ba.. Determine as equaes de S.54. Classificao dos sistemas linearesOs sistemas lineares so classificados, quanto ao nmero de solues, da seguinte forma:5. Regra de CramerA regra de Cramer consiste num mtodo para se resolver um sistema linear.' + + + + + + + + +n n m n m mn nn nb x a . . x a x a. . .. . .b x a . . x a x ab x a . . x a x a2 2 1 12 2 2 2 2 1 2 11 1 2 1 2 1 1 1: s i s t e m a o S e j aVamos determinar a matriz A dos coeficientes das incgnitas:]]]]]]]]]]

mn m mnna ... a a.........a ... a aa ... a aA2 12 22 211 12 11 Vamos determinar agora a matriz Ax1, que se obtm a partir da matriz A, substituindo-se a coluna dos coeficientes de x1 pela coluna dos termos independentes.6]]]]]]]]]]

mn m nnnxa ... a b.........a ... a ba ... a bA22 22 21 12 11Pela regra de Cramer: A detA detxx11 De maneira anloga podemos determinar os valores das demais incgnitas:]]]]]]]]]]

mn n mnnxa ... b a.........a ... b aa ... b aA12 2 211 1 112 A detA detxx22 ]]]]]]]]]]

n m mxnb ... a a.........b ... a ab ... a aA2 12 22 211 12 11 A detA detxxnn Generalizando, num sistema linear o valor da incgnita x1 dado pela expresso:A det A detxii 't e s . i n d e p e n d e n t e r m o s d o s c o l u n a p e l ax d e e s c o e f i c i e n t d o s c o l u n a s a ss e - d o s u b s t i t u i n A d e o b t i d a m a t r i z a As i s t e m a . d o i n c o m p l e t a m a t r i z a AiiVejamos alguns exemplos.1 Exemplo: Resolver o sistema ' + 2 57 2y xy x.Resoluo: 115 11 2 ]]]

A det A335 21 71 1 ]]]

A det A112 17 22 2 ]]]

A det A7311331 A detA detx 111112 A detA detyResposta: ( ) { 1 3 , S2 Exemplo: Resolver o sistema ' +25y x y x.Resoluo: 01 11 1 ]]]

A det A71 21 5 ]]]

x xA det A72 15 1 ]]]

y yA det A07 A detA detxx impossvel07 A detA detyy impossvelResposta: S3 Exemplo: Resolver o sistema' + + + +11 0 5 4 30 23 2 13 2 13 2 1x x xx x xx x x.Resoluo: 1) Clculo do determinante da matriz incompleta.12 6 5 4 3 10 41 1 15 4 31 2 1 + ]]]]]

A det A2) Clculo do determinante das incgnitas.24 20 0 4 10 10 01 1 15 4 101 2 01 1 + + ]]]]]

A det A12 0 5 10 3 0 101 1 15 10 31 0 12 2 + + + ]]]]]

A det A0 6 10 0 0 20 41 1 110 4 30 2 13 3 + + + ]]]]]

A det A83) Clculo das incgnitas.2122411 A detA detx1121222 A detA detx012033 A detA detxResposta: ( ) { 0 1 2 , , S Sistema Possvel e Determinado.Exerccios Propostos:1. Solucione os sistemas a seguir, utilizando a regra de Cramer.a)' +4 3 25 2y xy xResp: {(1,2)}b)' + 9 31 4 3y xy xResp: {(3,2)}2. Calcule os valores de x, y e z nos sistemas:9a)' + + +3 2 3 39 3 22 2z y xz y xz y xResp: {(1,2,3)}b)' +0 30 50 1 0z yz xy xResp: {(6,4,1)}3. Resolva as equaes matriciais:a)

,`

.|

,`

.|

,`

.| 1393 11 2yx.10Resp:

,`

.|52b)

,`

.|

,`

.|

,`

.| 8221 1 56 3 27 4 1zyx.Resp:

,`

.|1216. Discusso de um sistema linearSeja o sistema linear de n equaes a n incgnitas.' + + + + + + + + +n n n n n nn nn nb x a . . . x a x a. . .. . .b x a . . . x a x ab x a . . . x a x a2 2 1 12 2 2 2 2 1 2 11 1 2 1 2 1 1 1Discutir o sistema saber se ele possvel, impossvel ou determinado.Utilizando a regra de Cramer, temos:A detA detx ,...,A detA detx ,A detA detxnn 2211Possvel e Determinado 0 A det11Possvel e Indeterminado' 002 1 nA d e t . . . A d e t A d e teA d e tImpossvel'0 u m m e n o s p e l o0nA d e teA d e tVejamos alguns exemplos:1) Exemplo: Discutir o sistema ' +12 3y xm y x.Resoluo: Vamos calcular o valor dos determinantes:m A detmA ]]]

31 13m A detmA ]]]

21 121 111 12 32 2 ]]]

A det AFazendo:3 0 3 0 m m A det

2 0 2 01 m m A detResposta: SPD3 m(sistema possvel e determinado) SPIm / (sistema possvel e indeterminado), pois det A2 = 1 para qualquer valor de m SI3 m(sistema impossvel)2) Exemplo: Determinar m, de modo que o sistema ' + + + 402z y xz my xy x seja incompatvel.Resoluo: 11 1 11 10 1 1 ]]]]]

m A det m A126 21 1 41 00 1 2 ]]]]]

m A det m Ax x41 4 11 0 10 2 1 ]]]]]

y yA det A6 64 1 10 12 1 1+ ]]]]]

m A det m Az zFazendo:1 0 1 0 m m A det 3 0 6 2 0 m m A detx

1 0 6 6 0 + m m A detzPara m = 1, teremos: 04 x (impossvel)04 y(impossvel)

00 z (indeterminado).Resposta: SI 1 m3) Exemplo: Verificar se o sistema ' + 00 2 3y xy x determinado ou indeterminado.Resoluo: Vamos calcular o valor dos determinantes:5 det1 12 3]]]

A A 0 det1 02 0]]]

x xA A 0 det0 10 3]]]

y yA AComo0 5 det A , o sistema determinado.Vamos achar a soluo:050detdet AAxxe050detdet AAyy( ) { 0 , 0 SResposta: O sistema determinado e ( ) { 0 , 0 S .Observao:Todo sistema homogneo sempre possvel, pois admite a soluo (0, 0,.., 0) chamada soluo trivial.Observe que para um sistema homogneo teremos sempre 0 det ,..., 0 det , 0 det2 1 nA A APortanto, para a discusso de um sistema linear homogneo, suficiente o estudo do determinante dos coeficientes das incgnitas.13Determinado0 det AIndeterminado0 det A4)Exemplo: Calcular o valor de a para que o sistema ' + +00a y a xy a x tenha solues diferentes da trivial.Resoluo: Neste caso, o sistema deve ser indeterminado, e teremos0 det A .( ) 1 ou 0 0 1 . 0 det1 ]]]

a a a a a a Aa aaAResposta: { 1 , 0Exerccios Propostos:1. Discuta os sistemas:a)' +m y xy m x 2b)' + +21y xy kxc)' + + + + +q p z y xz y xz y x461 0 3 7142. Classifiq