Sistemas lineares, matrizes e determinantesprepapp.positivoon.com.br › assets › Modular › ... · 6 Sistemas lineares, matrizes e determinantes Qual é o tempo, em horas, de

APRESENTAÇÃO

Este módulo faz parte da coleção intitulada MATERIAL MODULAR, destinada às três

séries do Ensino Médio e produzida para atender às necessidades das diferentes rea-

lidades brasileiras. Por meio dessa coleção, o professor pode escolher a sequência que

melhor se encaixa à organização curricular de sua escola.

A metodologia de trabalho dos Modulares auxilia os alunos na construção de argumen-

tações; possibilita o diálogo com outras áreas de conhecimento; desenvolve as capaci-

dades de raciocínio, de resolução de problemas e de comunicação, bem como o espírito

crítico e a criatividade. Trabalha, também, com diferentes gêneros textuais (poemas,

histórias em quadrinhos, obras de arte, gráficos, tabelas, reportagens, etc.), a fim de

dinamizar o processo educativo, assim como aborda temas contemporâneos com o ob-

jetivo de subsidiar e ampliar a compreensão dos assuntos mais debatidos na atualidade.

As atividades propostas priorizam a análise, a avaliação e o posicionamento perante

situações sistematizadas, assim como aplicam conhecimentos relativos aos conteúdos

privilegiados nas unidades de trabalho. Além disso, é apresentada uma diversidade de

questões relacionadas ao ENEM e aos vestibulares das principais universidades de cada

região brasileira.

Desejamos a você, aluno, com a utilização deste material, a aquisição de autonomia

intelectual e a você, professor, sucesso nas escolhas pedagógicas para possibilitar o

aprofundamento do conhecimento de forma prazerosa e eficaz.

Gerente Editorial

Sistemas lineares, matrizes e determinantes

© Editora Positivo Ltda., 2010Proibida a reprodução total ou parcial desta obra, por qualquer meio, sem autorização da Editora.

DIRETOR-SUPERINTENDENTE: DIRETOR-GERAL:

DIRETOR EDITORIAL: GERENTE EDITORIAL:

GERENTE DE ARTE E ICONOGRAFIA: AUTORIA:

ORGANIZAÇÃO:EDIÇÃO DE CONTEÚDO:

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PESQUISA ICONOGRÁFICA:EDIÇÃO DE ARTE:

ILUSTRAÇÃO:PROJETO GRÁFICO:

EDITORAÇÃO:CRÉDITO DAS IMAGENS DE ABERTURA E CAPA:

PRODUÇÃO:

IMPRESSÃO E ACABAMENTO:

CONTATO:

Ruben FormighieriEmerson Walter dos SantosJoseph Razouk JuniorMaria Elenice Costa DantasCláudio Espósito GodoyJorge Luiz Farago / Lucio Nicolau dos Santos CarneiroÂngela Ferreira Pires da TrindadeÂngela Ferreira Pires da Trindade / Cintia Cristina Bagatin LapaRose Marie WünschGiselle Alice Pupo / Tatiane Esmanhotto KaminskiTassiane SauerbierAngela Giseli de SouzaDeko / Divo /Jack Art / LemesO2 ComunicaçãoDanielli Ferrari Cruz / Sérgio Reis© iStockphoto.com/Jorge Delgado; © iStockphoto.com/Dario Sabljak; LatinStock/Corbis/DK Limited; Mary Evans Picture Library; © 2001-2009 HAAP Media Ltd/Klaus Post; P.Images/PithEditora Positivo Ltda.Rua Major Heitor Guimarães, 17480440-120 Curitiba – PRTel.: (0xx41) 3312-3500 Fax: (0xx41) 3312-3599Gráfica Posigraf S.A.Rua Senador Accioly Filho, 50081300-000 Curitiba – PRFax: (0xx41) 3212-5452E-mail: [email protected]@positivo.com.br

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@MAT809Cubos

@MAT809@

Dados Internacionais para Catalogação na Publicação (CIP)

(Maria Teresa A. Gonzati / CRB 9-1584 / Curitiba, PR, Brasil)

F219 Farago, Jorge Luiz.Ensino médio : modular : matemática : sistemas lineares, matrizes e determinantes

/ Jorge Luiz Farago, Lucio Nicolau dos Santos Carneiro ; ilustrações Deko ... [et al.]. – Curitiba : Positivo, 2010.

: il.

ISBN 978-85-385-6176-7 (livro do aluno)ISBN 978-85-385-6177-4 (livro do professor)

1. Matemática. 2. Ensino médio – Currículos. I. Carneiro, Lucio Nicolau dos

Santos. II. Deko. III. Título. CDU 373.33

SUMÁRIO

Unidade 1: Sistemas lineares

Equação linear 7

Sistema de equações lineares 8

Interpretação geométrica 14

Classificação de um sistema linear 15

Discussão de um sistema linear 19

Unidade 2: Matrizes

Noção de matriz 23

Igualdade de matrizes 25

Adição de matrizes 27

Multiplicação de um número por uma matriz 29

Multiplicação de matrizes 29

Matriz transposta 31

Matriz inversa 32

Unidade 3: Determinantes

Definição de determinante 38

Teorema de Laplace 42

Teorema de Jacobi 44

Teorema de Binet 44

Propriedade dos determinantes 46

Regra de Cramer 48

Discussão de um sistema linear por meio da Regra de Cramer 50

4

Sistemas lineares, matrizes e determinantes4

Para Tales... a questão primordial não era o que sabemos,

mas como sabemos.

Aristóteles

In: BOYER, Carl B. História da Matemática. Tradução de Elza F. Go-mide. 2. ed. São Paulo: Edgard Blucher, 1996. p. 30.

Sistemas lineares1

Ensino Médio | Modular 5

MATEMÁTICA

Situação 1

Em um concurso, os candidatos realizaram uma prova com 25 questões. A organização do concurso estabeleceu que eles não poderiam deixar questões em branco e que a nota da prova seria composta da seguinte maneira:

cada questão correta valeria 3 pontos;

de cada questão incorreta seria diminuído um ponto da nota.

Se um candidato obteve nota 47, qual foi o número de questões que ele acertou?

Situação 2A soma das idades de três pessoas é 86 anos. Adicionando-se 22 anos à idade da primeira, 11 anos à idade

da segunda e subtraindo-se 5 anos da idade da terceira, obtêm-se três números iguais.Nessas condições, qual é a idade da pessoa mais velha?

Phot

odis

c/Ja

ck H

ollin

gsw

orth


Qual é o tempo, em horas, de utilização do computador, pelos três amigos, em cada noite?

P. Im

agen

s/Pi

th

Lem

es. 2

011.

Dig

ital.

Situação 4Uma loja de complementos alimentares fez a composição de três ingredientes

para granola. Misturou cereais (aveia, flocos de arroz e germe de trigo), frutas desidratadas (uva passa e banana passa), frutos oleaginosos (castanha-do-pará, castanha de caju e nozes). Pesquisou o preço dos três componentes e obteve os seguintes resultados:

Cereais: R$ 30,00/kg.

Frutas desidratadas: R$ 18,00/kg.

Frutos oleaginosos: R$ 34,00/kg.

Essa loja, ao compor com esses três ingredientes, produz pacotes contendo 780 g cada, com um preço de custo de R$ 20,80. Porém, a soma das quantidades de frutas desidratadas e de frutos oleaginosos deve ser igual à quantidade de cereais.

As equações e os sistemas obtidos nas situações serão estudados nesta unidade, bem como a resolução e a solução dos sistemas.

Situação 3Os estudantes João, Fábio e Juliano, que moram em um pensionato, utilizam

o computador todas as noites para ler e-mails. Quanto ao tempo em horas que cada um usa o computador, por noite, sabe-se que:

o tempo de João mais o tempo de Juliano excede o de Fábio em 2 horas;

o tempo de João com o quádruplo do tempo de Juliano corresponde a 3 horas a mais que o dobro do tempo de Fábio;

o tempo de João com 9 vezes o tempo de Juliano excede em 10 horas o tempo de Fábio.

Quais as quantidades, em cada pacote, de cereais, das frutas desidratadas e dos frutos ole-aginosos?

Resolvendo

problemas

que envolvem

sistemas de

equações

@MAT1016

Q

Lem

es. 2

011.

Dig

ital.

PIm

agen

s/Pi

th

1. O Campeonato Brasileiro de Futebol da série A é a elite do futebol brasileiro. Essa competição tem duração de aproximadamente sete meses e reúne as 20 melhores equipes do futebol nacional. Os quatro times que obtêm a menor pontuação são rebaixados para a série B do Campeonato Brasileiro. Em contrapartida, os quatro times da série B que têm as melhores pontuações preenchem as quatro vagas na série A. Em uma partida, o time que se sair vencedor receberá três pontos e o perdedor não realizará pontuação. No caso de um empate, ambos os times receberão um ponto cada. De acordo com os dados do último campeonato brasileiro da série A, de 2010, quando um time atinge aproximadamente 42 pontos nos jogos disputados, ele está fora da zona de rebaixamento.

a) Considere um time que tem 38 pontos e mais dois jogos para disputar no Campeonato, antes do seu término. Esse time pode ou não ser rebaixado?

b) Escreva uma equação que represente a situação em que o time obtém quatro pontos nos dois jogos e calcule as possibilidades de ele obter os quatro pontos:

A equação, utilizada na resposta da questão b, é denominada de equação linear.

Uma equação linear é toda igualdade escrita na forma a1x1 + a2x2 + a3x3 + ... + anxn = b

em que:

a1, a2, a3, ... , an são denominados de coeficientes.

x1, x2, x3, ... , xn são denominados de incógnitas.

b é denominado de termo independente.

a1, a2, a3, ... , an, b ∈ IR

2. Quanto aos exemplos de equações lineares a seguir, escreva os coeficientes, as incógnitas e o termo independente:

a) 4m + 3n = 2

Coeficientes:

Incógnitas:

Termo independente:

b) −p – 2q + 5r = 0

Coeficientes:

Incógnitas:

Termo independente:

c) 7x – 3y5

– 2z + w = 12

Coeficientes:

Incógnitas:

Lem

es. 2

011.

Dig

ital.

Termo independente:

Equação linear

Ensino Médio | Modular

FÍSICA

7

FÍSICAMATEMÁTICA

Equações

lineares

com duas

variáveis

@MAT864

Atividades

com sistemas

de equações

lineares

@MAT662

1. Assinale a seguir as soluções da equação li-near x + y − 3z = 8:

( ) x = 7, y = 4 e z = 1

( ) x = 5, y = 9 e z = –2

( ) x = –1, y = 3 e z = –2

( ) x = 0, y = 1 e z = 3

2. Verifique se os pares ordenados (1; −1) e (0; 2) são soluções da equação x − y = −2.

3. Se x = −k, y = 2k − 3, z = 3k e w = k − 1, é solução da equação 3x − y + 2z + 4w = 1, qual é o valor de k?

Solução de uma equação linear

3. Considerando o caso de um time que tenha 3 jogos para terminar o campeonato e precise de três pontos para não ser rebaixado, escreva a equação que representa essa situação e as possibilidades de resultados:

É solução de uma equação linear o conjunto de valores x1, x2, x3,... , xn que verificam a igualdade:a1x1 + a2x2 + a3x3 + ... + anxn = b

em que a1, a2, a3, ... , an, b ∈ IR.

Sistema de equações lineares

Um sistema de equações lineares ou sistema linear é formado por um conjunto de equações lineares.

Quando o sistema tem o número de equações n igual ao número de incógnitas m, ou seja, m = n, denomina-se sistema quadrado. Por exemplo:

2x − 3y + z = 0

x + y − 3z = −3

−x − y + 2z = 1

(Lê-se: sistema 3 por 3, pois são 3 equações e 3 incógnitas.)

8 Sistemas lineares, matrizes e determinantes

O conjunto-solução de um sistema com n equações e n incógnitas é o conjunto de valores x1, x2, x3,... , xn, que verificam todas as equações do sistema, escrito da seguinte forma:

S = {(x1; x2; x3; ...; xn)}em que x1, x2, x3, ... , xn, ∈ IR.

Quando o sistema tem o número de equações n diferente do número de incógnitas m, ou seja, m ≠ n, denomina-se sistema retangular. Por exemplo:

x − 3y + 2z – w = 8

x + 7y – z + 10w = −3


m + n = 1

3m – 2n = −1

−5m + 3n = 4


Resolução e solução de um sistema linear

Resolver um sistema linear é determinar valores (se existirem) que verificam todas as equações que formam o sistema. Observe o sistema:

3x + 5y − z = −2

3y + z = 0

2z = 6

a) O sistema possui 3 equações e 3 incógnitas (x, y e z). Como ele poderia ser resolvido?

b) Escreva o conjunto-solução desse sistema:

O sistema apresentado está escrito na forma escalonada, que consiste em um sistema no qual, em cada equação, existe pelo menos um coeficiente não nulo; e o número de coeficientes nulos, antes do primeiro coeficiente não nulo, aumenta de equação para equação.

Essa forma facilita a resolução do sistema, mas nem todo sistema se apresenta na forma escalo-nada. Dessa maneira, será estudado como escalonar um sistema pelo método do escalonamento.

Dois (ou mais) sistemas que possuem o mesmo conjunto-solução são denominados sistemas equivalentes.

Sistemas de

equações

lineares

@MAT715

Resolvendo

sistemas de

equações

lineares

@MAT955

Sistemas de

equações

lineares

com duas

variáveis

@MAT819

Sistemas de

equações

lineares –

substituição

@MAT789

Sistemas de

equações

lineares –

eliminação

@MAT673


FÍSICA

9

FÍSICAMATEMÁTICA

Método do escalonamento

O método do escalonamento consiste em, por meio de operações de adição (subtração) e multiplica-ção (divisão), diminuir a quantidade de incógnitas nas equações. Observe como escalonar um sistema:

Considere o sistema formado pelas incógnitas x, y e z:

x – 2y + z = −1

−3x + 5y – z = −2

4x – 6y + 3z = 0

Para iniciar o método do escalonamento, transforme em zero os coeficientes dos termos em x nas 2.a e 3.a equações.

Isso pode ser feito multiplicando (mentalmente) a 1.a equação por 3 e somando à 2.a equação. Observe:

x – 2y + z = −1 · (3)

−3x + 5y – z = −2

4x – 6y + 3z = 0

Para obter a 2.a equação no sistema, realiza-se o seguinte cálculo:

3x − 6y + 3z = −3

−3x + 5y – z = −2

0 − y + 2z = −5 ⇒ 2.a equação

Procede-se da mesma maneira, multiplicando (mentalmente) a 1.a equação por −4 e somando à 3.a equação:

x – 2y + z = −1 · (−4)

−3x + 5y – z = −2

4x – 6y + 3z = 0

Para obter a 3.a equação no sistema, realiza-se o seguinte cálculo:

–4x + 8y − 4z = 4

4x – 6y + 3z = 0 0 + 2y – z = 4 ⇒ 3.a equação

Dessa forma, o sistema:

x – 2y + z = – 1 x – 2y + z = – 1

−3x + 5y – z = 6 ⇔ 0 – y + 2z = – 5

4x – 6y + 3z = 0 é equivalente a 0 + 2y – z = 4


Agora, no sistema x – 2y + z = – 1

0 – y + 2z = – 5

0 + 2y – z = 4

, ao multiplicar a 2.a equação por 2 e somar à 3.a, obtém-se o

coeficiente igual a zero para a incógnita y na 3.a equação. Observe:

x – 2y + z = −1

0 − y + 2z = −5 · (2)

0 + 2y – z = 4

Para obter a 3.a equação, realiza-se o seguinte cálculo:

−2y + 4z = −10

+2y – z = 4 0 + 3z = −6

Assim, tem-se o sistema escalonado:

x – 2y + z = −1

– y + 2z = −5

3z = −6

Dessa forma,

x – 2y + z = – 1 x – 2y + z = – 1 x – 2y + z = – 1

−3x + 5y – z = – 2 ⇔ – y + 2z = – 5 ⇔ – y + 2z = – 5

4x – 6y + 3z = 0 é equivalente a 2y – z = 4 é equivalente a 3z = – 6

Os três sistemas são equivalentes, logo possuem o mesmo conjunto-solução.Porém, pelo sistema escalonado, é mais fácil obter os valores das incógnitas x, y e z. Observe:Pela 3.a equação do sistema escalonado, tem-se:3z = − 6 ∴ z = −2Substituindo na 2.a equação, tem-se:−y + 2 · (−2) = −5−y − 4 = −5 ∴ y = 1Substituindo z = −2 e y = 1 na 1.a equação, tem-se:x – 2 · (1) + (−2) = −1 x − 2 − 2 = −1 ∴ x = 3A solução do sistema é: x = 3, y = 1 e z = −2

Pode-se escrever essa solução por meio da terna (tripla) ordenada (3; 1; −2) ou pelo conjunto- -solução S = {(3; 1; −2)}.

Eis alguns exemplos de sistemas escalonados:

x + y + 2z = 0 x + y + 2z = 0

3x + 4y + 3z = 9 ⇔ y − 3z = 9

x + 6y – 2z = 23 11z = −22

Sistema Sistema escalonado

3p − q + 2r = 7 ⇔

3p − q + 2r = 7

6p + 2q − r = 11 4q − 5r = −3

Sistema Sistema escalonado


FÍSICA

11

FÍSICAMATEMÁTICA

1. Em um posto de combustível, uma pes-soa, ao pagar uma conta, pediu ao atendente do caixa que trocasse uma nota de 50 reais por notas de menor va-lor. O atendente disse que tinha ape-nas notas de 20 e de 10 reais. Quais são as possibilidades de ela receber 50 reais em notas de 10 e de 20 reais?

2. (UFPR) Em um campeonato de futebol, cada equipe ganha 3 pontos por vitória, 1 ponto por empate e nenhum ponto por derrota. Em uma edição desse campeo-nato, o São Bento Futebol Clube ganhou pontos em apenas 12 jogos, atingindo 30 pontos, e foi derrotado em 6 jogos. Sobre a participação do São Bento Futebol Clube nesse campeonato, é correto afirmar:

( ) Disputou 18 jogos.

( ) Empatou mais jogos do que perdeu.

( ) Venceu 7 jogos.

( ) Não empatou em 15 jogos.

( ) Se cada vitória valesse apenas 2 pontos, teria atingido o total de 12 pontos.

3. Uma excursão com 42 pessoas foi realizar um city tour e alugaram 9 minivans. Porém, algumas tinham lugares para 4 pessoas e outras tinham lugares para 6 pessoas. Quan-tas minivans de 6 lugares foram alugadas, sabendo que, nas 9 minivans, todos os luga-res ficaram ocupados?

4. Em um teste de 16 questões, cada acerto adiciona 5 pontos e cada erro subtrai 1 pon-to. Se um estudante respondeu a todas as questões e obteve um total de 38 pontos, quantas questões ele errou?

5. (CEFET – SC) Foram realizadas duas pesa-gens, usando pesos de x quilogramas, y qui-logramas e 14 quilogramas, como indicadas na ilustração:

Considere as informações acima e analise as afirmativas:

I. As equações associadas a essa situação são: x – 3y = 0 e x + 4y = 14. ( )

II. O peso x tem 6 quilogramas. ( )

III. O peso y tem 3 quilogramas. ( )

IV. O par ordenado (x, y) = (1, 3) não é so-lução do sistema que representa as pe-sagens. ( )

V. O peso “3x” quilogramas equilibra-se com o peso “9y” quilogramas. ( )

Quais são as verdadeiras?

a) Apenas IV. b) Apenas I e II.

c) Apenas II e IV. d) Apenas I, II, III e IV

e) Apenas I, II, IV e V.

6. Resolva os sistemas a seguir:

a) x + 3y + 5z = 8 2x + 2y + 2z = 6 3x + y + z = 5

b) a + b + c = 75 2a – b – c = 0 30a + 20b + 16c = 1 570

c) x + 2y – z = – 4 –2x + y + 3z = 7 3x – 2y + z = 12

d) –x + y – z = – 3 3x + 11y + 2z = 11 2x + 3y + z = 8

e) x + y + z = 207 −x + y = 15 −y + z = 12

f) y + z = 50 x + y = 45 x + z = 35

g) 3x – y + z = 0 x – 2y + 5z = 0 –x + y – 2z = 0


h) x + y + z + t = 11 x – y – z – t = –9 –x + y – z – t = –7 –x – y + z – t = –5

7. (FUVEST − SP) Um caminhão transporta ma-çãs, peras e laranjas, num total de 10 000 frutas. As frutas estão condicionadas em caixas (cada caixa só contém um tipo de fruta), sendo que cada caixa de maçãs, pe-ras e laranjas tem, respectivamente, 50 ma-çãs, 60 peras e 100 laranjas e custam, res-pectivamente, 20, 40 e 10 reais. Se a carga do caminhão tem 140 caixas e custa 3 300 reais, calcule quantas maçãs, peras e laran-jas estão sendo transportadas.

8. Os quadrados mágicos foram descobertos pe-los chineses há mais de 3 mil anos a.C. O livro chinês Yih King conta que Yu, o imperador da China, meditando às margens do Rio Lo, viu emergir uma tartaruga, que era considerada um animal sagrado. Percebeu que ela tinha estranhas marcas no casco, na forma de nós feitos com um tipo de barbante. Essas marcas podiam ser transformadas em números e to-dos somavam quinze em todas as direções.

Os quadrados mágicos apresentam-se em forma de tabela quadrada: a soma dos ele-mentos de cada linha, de cada coluna e das duas diagonais principais são iguais e deno-minadas de constante mágica.

Por exemplo, o quadrado mágico 3 x 3 é uma tabela formada pelos nove dígitos: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9, dispostos em três li-nhas e três colunas:

4 3x z

x 5 7y

4z y 6

Determine o valor de x, y e z.

9. Três casais foram a uma lanchonete. O pri-meiro tomou 2 sucos, comeu 2 sanduíches e 1 doce e gastou R$ 24,50. O segundo to-mou 2 sucos, comeu 1 sanduíche e 2 doces e gastou R$ 22,00. O terceiro tomou 3 su-cos, comeu 2 sanduíches e 3 doces e gastou R$ 36,00.

Considerando-se que sucos, sanduíches e doces têm o mesmo preço, qual é o valor de um suco, um sanduíche e um doce?

10. O gráfico de uma função quadrática y = ax2 + bx + c passa pelos pontos (3, – 4), (1, 0) e (0, 5). Determine os valores a, b e c.

11. (UFCG − PB) Uma empresa produz latas de uma farinha composta por amendoim, cas-tanha de caju e castanha-do-pará. O quilo do amendoim custa R$ 5,00, o quilo da cas-tanha de caju custa R$ 20,00 e o quilo da castanha-do-pará custa R$ 16,00. A empresa deseja que cada lata contenha meio quilo da mistura, que o custo total dos ingredientes seja R$ 5,75 e que a quantidade de castanha de caju seja 1/3 da soma da quantidade de amendoim e de castanha-do-pará. De acor-do com esses dados, o peso, em gramas, de amendoim, castanha de caju e castanha-do- -pará, por lata, deve ser, respectivamente:

a) 300 g, 100 g e 100 g

b) 200 g, 100 g e 100 g

c) 250 g, 125 g e 125 g

d) 450 g, 125 g e 100 g

e) 150 g, 100 g e 150 g

12. (UFPE) Quatro amigos, A, B, C e D, compra-ram um presente que custou R$ 360,00. Se:

– A pagou metade do que pagaram juntos B, C e D,

– B pagou um terço do que pagaram juntos A, C e D

e– C pagou um quarto do que pagaram jun-

tos A, B e D, quanto pagou D, em reais?

13. (UFPR) Numa empresa de transportes, um encarregado recebe R$ 400,00 a mais que um carregador, porém cada encarregado re-cebe apenas 75% do salário de um supervi-sor de cargas. Sabendo que a empresa pos-sui 2 supervisores de cargas, 6 encarregados e 40 carregadores e que a soma dos salários de todos esses funcionários é R$ 57.000,00, qual é o salário de um encarregado?

a) R$ 2.000,00 b) R$ 1.800,00

c) R$ 1.500,00 d) R$ 1.250,00

e) R$ 1.100,00


FÍSICA

13

FÍSICAMATEMÁTICA

14. (UERN) Considere o sistema: x + y + z = 1 2x + 3y + 2z = 5 x − y + 2z = −5

O valor de x que torna verdadeira cada uma das igualdades que compõe esse sistema:

a) é um número maior do que −1.

b) pertence ao intervalo [−2, 0[.

c) pertence ao intervalo ]−2, 0[.

d) é um número menor do que −2.

15. (UCS – RS) Em uma caixa contendo 9 bolas, há bolas vermelhas, azuis e amarelas, que valem, respectivamente, 1 ponto, 5 pontos e 10 pontos cada uma, num total de 44 pontos. Classifique quanto à veracidade (V) ou falsidade (F) as proposições abaixo:

( ) O número de bolas vermelhas é o dobro do número de bolas azuis.

( ) O número de bolas amarelas é 34

do nú-mero de bolas vermelhas.

( ) A soma do número de bolas azuis e bo-las amarelas é 5.

Assinale a alternativa que preenche corre-tamente os parênteses, de cima para baixo:

a) V – V – F.

b) V – F – V.

c) F – F – F.

d) V – V – V.

e) F – F – V.

Desafio

16. O dono de uma pequena loja localizada em uma praia pretende aproveitar a tempora-da para aumentar as vendas. Para alcançar o seu objetivo, resolveu comprar, de uma fábrica, 30 pares de calçados, entre tênis, tamancos e chinelos. O preço do par de tê-nis, na fábrica, é R$ 40,00; o preço do par de tamancos é R$ 20,00; e o par de chine-los custa R$ 5,00. O dono da loja pretende gastar exatamente R$ 600,00 na compra desses três itens.

Em relação ao número de tênis, tamancos e chinelos que ele poderia adquirir, quantas soluções são possíveis para essa situação?

Interpretação geométrica

Um sistema linear, nas incógnitas x e y, pode ser relacionado às retas no plano cartesiano. Observe:Dado o sistema formado por duas equações e duas incógnitas, x e y:

2x + y = 4 ∴ y = −2x + 4 x − y = −1 ∴ y = x + 1

No plano cartesiano, essas equações representam retas. Observe o gráfico dessas retas:


Solução

gráfica de

um sistema

de equações

lineares – I

@MAT742

Solução

gráfica de

um sistema

de equações

lineares – II

@MAT698

Classificação de um sistema linear

A solução desse sistema é x = 1 e y = 2. Esses valores de x e y correspondem às coordenadas do ponto de intersecção das retas, representadas no plano cartesiano. Assim, quando se determina o conjunto-solução de um sistema linear com duas equações e duas incógnitas, determina-se o ponto de intersecção entre as retas (se elas forem concorrentes).

Quando o sistema tem as incógnitas x, y e z, pode ser relacionado a planos no espaço.

Quando se determina o conjunto-solução de um sistema composto por equações nas incógnitas x, y e z, determina---se o ponto de intersecção desses três planos no espaço. Observe:

x + y + z = 4 (plano vermelho)

−x + y + z = 2 (plano azul)

−x − y + z = 2 (plano verde)

Ao determinar a solução do sistema, obtém-se x = 1, y = 0 e z = 3, que são as coordenadas do ponto P de intersecção dos três planos. Observe, ao lado, o gráfico desses planos.

A solução de um sistema pode ser classificada como:

Possível Determinada (possui uma única solução).

Indeterminada (possui infinitas soluções).

Impossível (não tem solução):

1.ª situação:

Ao escalonar o sistema a seguir:

x + y + z = 4 x + y + z = 4

–x + y + z = 2 ⇔ 2y + 2z = 6

–x – y + z = 2 2z = 6

A solução é x = 1, y = 0 e z = 3 ou S = {(1, 0, 3)}

Esse sistema possui uma única solução (um único ponto), logo a sua solução é possível e determi-nada. É classificado como: sistema possível e determinado (SPD). Entretanto, nem sempre os sistemas são classificados dessa maneira. Observe:

2.ª situação:

Observe o escalonamento desse sistema:

x + y + 2z = 1 x + y + 2z = 1 x + y + 2z = 1

2x + 3y + z = –2 ⇔ y – 3z = –4 ⇔ y – 3z = –4

–x – 2y + z = 3 –y + 3z = 4 0 + 0 = 0

Classificação

de um

sistema

linear

@MAT947

Classificação

de um sistema

linear –

impossíveis e

indeterminados

@MAT813


FÍSICA

15

FÍSICAMATEMÁTICA

Assim, o sistema se reduz a:

x + y + 2z = 1

y − 3z = –4

Após o escalonamento, pode-se observar que o sistema tem um número de equações menor que o número de incógnitas. Esse sistema é classificado como sistema possível e indeterminado (SPI), pois ele tem infinitas soluções. As soluções do sistema são expressas em função de uma incógnita denominada variável livre ou variável arbitrária (que nesse caso é o z).

O valor de y é:y − 3z = –4y = 3z – 4Ao substituir na 1.a equação, o valor de x é:x + 3z – 4 + 2z = 1 x + 5z = 5x = 5 − 5zO conjunto-solução é S = {(5 − 5z, 3z –4, z)}.Dessa forma, para cada valor atribuído a z ∈ IR (variável livre ou variável arbitrária), obtêm-se

valores respectivos para x e y. Observe:para z = 0, tem-se x = 5 e y = –4para z = 1, tem-se x = 0 e y = –1 para z = 4, tem-se x = −15 e y = 8 . . . . . . . . .Dessa forma, o sistema possui infinitas soluções. Interpretando, geometricamente, um sistema possível e indeterminado (para o caso anterior),

conclui-se que a intersecção dos três planos é uma reta, ou seja, qualquer ponto pertencente a essa reta é solução do sistema. Observe:

–x + 2y + z = 3

2x + 3y + z = –2

x + y + 2z = 1


3.ª situação:

Na 3.a classificação, o sistema é impossível, isto é, não possui solução. Observe o sistema e seu escalonamen-to:

x + 2y + z = 1 x + 2y + z = 1 x + 2y + z = 1

2x + y – 3z = 4 ⇔ –3y – 5z = 2 ⇔ –3y – 5z = 2

3x + 3y – 2z = 0 –3y – 5z = –3 0 + 0 = –5

O sistema possui uma igualdade falsa

x + 2y + z = −1

–3y – 5z = 2

0 + 0 = –5 → impossível

Observe que a igualdade, consequência do escalona-mento, na 3.a linha, é impossível. Quando, durante o es-calonamento, ocorrer uma igualdade falsa, o sistema é impossível.

Logo, é um sistema impossível (SI), pois não possui solu-ção, ou seja, S = Ø.

Geometricamente, um sistema é impossível quando há planos paralelos ou os três planos não possuem um ponto em comum. No caso estudado, os planos estão representados ao lado.

Concorrentes, ou seja, têm um único ponto em comum (uma única solução) → siste-ma possível e determinado.

Paralelas, ou seja, não têm pontos em comum (não têm solução) → sistema impos-sível.

Coincidentes, ou seja, têm todos os pontos em comum (infinitas soluções) → siste-ma possível e indeterminado.

Para um sistema com duas equações e duas incógnitas, as retas podem ser:

x + 2y + z = 1

3x + 3y – 2z = 0

2x + y – 3z = 4

FÍSICAFÍSICAMATEMÁTICA

17Ensino Médio | Modular

1. Classifique os sistemas a seguir em SPD (sistema possível e determinado), SPI (sistema possível e indeterminado) ou SI (sistema impossível):

a) 2x + 6y = 10 3x + 9y = 15

c) x + 2y = 3 3x + 11y = 4

e) x + y + z = 3 2x + 3y + z = 1 2x + 2y + 2z = 6

g) –x + 3y – 2z = 0 11y – 10z = 0 2x + 16y – 16z = 0

b) x + 3y = 1 2x + 6y = 3

d) x + 2y + 3z = 13 2x + 3y – z = 8 –x – y + z = –1

f) x + 3y + 2z = 2 3x + 5y + 4z = 4 5x + 3y + 4z = –10

2. (UFAM) A equação linear ax + by + cz + d = 0 com a, b, c, d ∈ IR e a2 + b2 + c2 ≠ 0 é representada geometricamente por um plano. Considere o sistema de 3 equações e 3 incógnitas: a1x + b1y + c1z + d1 = 0 a2x + b2y + c2z + d2 = 0 a3x + b3y + c3z + d3 = 0

Sabendo que o sistema possui uma única solução, a representação geométrica do sistema é dada por:

π1 ∩ π2 ∩ π3 = π1

π1 ∩ π2 ∩ π3 = r

π1 ∩ π2 ∩ π3 = r

π1 ∩ π2 ∩ π3 = ∅

a)

c)

e)

b)

d)


Discussão de um sistema linear

Discutir um sistema linear significa determinar valores, denominados de parâmetros, de acordo com a classificação do sistema como possível (determinado ou indeterminado) ou impossível. Em alguns casos, uma condição pode ser imposta inicialmente, e esses parâmetros serão determinados em fun-ção dessa condição. Não há o objetivo de determinar as incóg-nitas, mas descobrir sob que condições elas existem ou não. Isso pode ser feito pelo método do escalonamento. Observe:

Discutir o sistema linear:

2x + y = b 4x + ay = 10

em que x e y são as incógnitas e a e b são os parâmetros, significa determinar o(s) valor(es) de a e b para que ele seja possível e determinado (SPD), possível e indeterminado (SPI) e impossível (SI).

Inicialmente, escalona-se o sistema, multiplicando a 1.a equação por −2 e soma-se à 2.a:

2x + y = b 0 + (−2 + a)y = −2b + 10

Dessa forma, o valor de y é:

y = –2b + 10– 2 + a

Para que y seja um número real, é necessário que o denominador seja diferente de zero, então:

− 2 + a ≠ 0 ∴ a ≠ 2Assim, para que o sistema seja possível e determinado

(SPD), basta que a ≠ 2. Mas, se o denominador da fração for igual a 0, então

têm-se duas possibilidades:

1.a) y não existe, ou seja, seu valor é impossível quando o numerador é diferente de 0 e o denominador é igual a 0.

−2b + 10 ≠ 0 ∴ b ≠ 5 −2 + a = 0 ∴ a = 2 Logo, o sistema é impossível (SI) quando a = 2 e b ≠ 5. 2.a) y é um valor indeterminado quando o numerador e o

denominador forem iguais a zero. −2b + 10 = 0 ∴ b = 5 −2 + a = 0 ∴ a = 2 Logo, o sistema é possível e indeterminado (SPI),

quando a = 2 e b = 5.

Escalonamento:Se, durante o escalonamento, aparecer uma equação do

tipo αx = β, tem-se:

αx = β

SPD ⇒ α ≠ 0SPI ⇒ α = 0 e β = 0SI ⇒ α = 0 e β ≠ 0

Agora, discuta o sistema a seguir, nos parâmetros a e b:

x + 10y = a

3x + by = 15

p

1. Discuta os sistemas a seguir:

a) x + my = n 2x – 4y = −6

b) 3kx + y = 5 x + y = 2

2. Em que condição(ões) do parâmetro m, o sis-

tema linear x + 2y = 1 3x + 6y = m é impossível?

3. Discuta os sistemas a seguir: x + y = 1 px + qy = pq

4. Em que condição(ões) o sistema ax – 2y = 1 bx + 4y = 5

tem uma única solução?

5. Quais os valores de m e n para que o sistema

de equações 2x – 4y = –6 x + my = n

seja impossível?

Sistema de

equações lineares

e suas soluções

@MAT728


FÍSICA

19

FÍSICAMATEMÁTICA

1. Dois irmãos, Rafael e Rodrigo, foram a uma lan-chonete. Rafael consumiu 3 empadas, 2 refrige-rantes e 1 brigadeiro e pagou R$ 16,00. Rodrigo consumiu 5 empadas, 3 refrigerantes e 1 briga-deiro e pagou R$ 24,50. Após cada um ter pago a sua conta, resolveram levar 1 empada, 1 refri-gerante e 1 brigadeiro para a irmã Giovana, que estava em casa, e pagaram mais R$ 10,00. Já em casa, eles se questionaram se realmente haviam pago o valor correto pela conta de uma empada, um refrigerante e um brigadeiro. Considerando--se que as contas pagas por Rafael e Rodrigo, referentes ao consumo de cada um deles, esti-vessem certas, é correto afirmar:

a) A lanchonete se enganou na conta e eles pa-garam R$ 1,00 a menos do que deveriam ter pago.

b) A lanchonete se enganou na conta e eles paga-ram R$ 2,50 a mais do que deveriam ter pago.

c) A lanchonete cobrou o preço certo pela em-pada, pelo refrigerante e pelo brigadeiro que eles levaram para casa.

d) Não é possível determinar se houve erro da lanchonete na cobrança da conta, porque fal-tam dados.

e) A lanchonete se enganou na conta, e eles pa-garam R$ 2,50 a menos do que deveriam ter pago.

2. Um casal tem filhos e filhas. Cada filho tem o nú-mero de irmãos igual ao número de irmãs. Cada filha tem o número de irmãos igual ao dobro do número de irmãs. Qual é o total de filhos e filhas do casal?

3. João Pedro retirou no caixa do banco a quantia de R$ 1.950,00 e pediu ao funcionário que desse em notas de R$ 10,00, R$ 50,00 e R$ 100,00. Quando o caixa separou uma quantidade de notas de R$ 100,00, João Pedro pediu o dobro

dessa quantidade em notas de R$ 10,00. O total de notas foi 45. Dessa forma, determine quantas notas de cada tipo foram recebidas.

4. Com o objetivo de emagrecer, Luís Fernando, Marcela e Marília realizaram um programa de exercícios físicos acompanhados de uma dieta alimentar. Após oito meses, constatou-se que Marília emagreceu 4 kg e tem 6 kg a menos que Marcela, que emagreceu 8 kg. Luís Fernando emagreceu 10 kg e tem 13 kg a mais que Marce-la. Após o programa, os três juntos estão pesan-do 193 kg. Assim, pode-se afirmar que:

a) antes do programa, Marcela tinha 10 kg a mais que Marília e 15 kg a menos que Luís Fernando.

b) antes do programa, os três juntos tinham exata-mente 200 kg.

c) Marcela tinha 60 kg e, após o programa, pas-sou a ter 52 kg.

d) Luís Fernando passou a ter 85 kg após o pro-grama.

e) Antes do programa, Luís Fernando tinha 19 kg a mais que Marília.

5. Um veículo utilitário transportou, em duas via-gens, 900 kg de cimento para uma construção. Durante a primeira viagem, parou em um posto de fiscalização onde foi pesado, e a balança in-dicou 1 370 kg. Na segunda viagem, parou no-vamente em um posto de fiscalização onde foi pesado, e a balança indicou 1 430 kg. Determine o peso do veículo utilitário vazio.

6. Para um jogo de futebol, Eduardo comprou uma camisa e uma bermuda e pagou R$ 215,00; Ga-briel comprou uma camisa e uma chuteira e pa-gou R$ 340,00; e Luís comprou uma bermuda e uma chuteira e pagou R$ 305,00. Esses três ami-gos compraram esses produtos na mesma loja e pagaram o mesmo preço por eles. Ao convidarem Ricardo para jogar no time, esse terá que com-

6. Determine a e b, para que o sistema x + y + 3z= –5 3x + ay + 4z= 0 2x – 3y + z = b

admita infinitas soluções.

7. Discuta, segundo os valores dos parâmetros a e b, o sistema: ax + y + 2z = b 2ax – y + 2z = 1 2x + y + 2z = 3


prar uma camisa, uma bermuda e uma chuteira. Quanto Ricardo pagará por esses três produtos?

7. (UFAL) Uma herança de R$ 165.000,00 deve ser dividida entre três herdeiros: Álvaro, Beatriz e Carmem. O valor que caberá a Beatriz correspon-de à metade da soma do que receberão Álvaro e Carmem. Além disso, a diferença entre o que receberá Carmem e o que receberá Álvaro é de R$ 20.000,00. Quanto receberá Carmem?

a) R$ 50.000,00 b) R$ 55.000,00

c) R$ 60.000,00 d) R$ 65.000,00

e) R$ 70.000,00

8. (UFSC) Pedro, Luiz, André e João possuem juntos 90 CDs. Se tirarmos a metade dos CDs de Pedro, dobrarmos o número de CDs de Luiz, tirarmos 2 CDs de André e aumentarmos em 2 o número de CDs de João, eles ficarão com a mesma quanti-dade de CDs. Determine o número inicial de CDs de André.

9. (UFF – RJ) João tem uma van com 10 lugares, para transporte de passageiros. Cada viagem é feita com a van lotada do início ao fim do trajeto e o custo da passagem, por passageiro, é de R$ 3,00 para o trajeto R, de R$ 2,50 para o trajeto S e de R$ 2,00 para o trajeto T. O faturamento mensal nos meses M1, M2 e M3 é dado na seguinte tabela:

MÊS

Subtotal mensal

arrecadado com o

transporte realizado

no trajeto R

Subtotal mensal

arrecadado com o


no trajeto S

Subtotal mensal

arrecadado com o


no trajeto T

Total geral

M1 x y z R$ 1.200,00

M2 R$ 600,00 y + R$ 100,00 R$ 800,00 R$ 1.600,00

M3 80% de x y/2 150% de z R$ 1.560,00

Determine:

a) os valores de x, y e z;

b) o número de passageiros que fizeram o trajeto T na van nos três meses destacados.

10. (UNIMONTES – MG) Os planos α1, α2 e α3 repre-sentam as três equações do sistema: x – 2y + 3z = 4 2x – 4y + 6z = 5 3x – 6y + 9z = 10

Das figuras abaixo, a que ilustra as posições dos planos α1, α2 e α3 do sistema, em relação uns aos outros, é:

a) b)

c) d)

11. (UFRN) A cada equação do tipo ax + by = c, com a, b e c reais, sendo a ou b não nulos, correspon-de uma única reta no plano xy.

Se o sistema a1x + b1y = c1 a2x + b2y = c2

, com ai, bi, e ci,

nas condições acima, tiver uma única solução, as respectivas retas:

a) se interceptarão em um só ponto.

b) se interceptarão em dois pontos.

c) não se interceptarão.

d) serão coincidentes.

12. (UPF – RS) No sistema linear x + y + az= 1 2x – 3y + z= 1 –x + y – z = –2

substituindo a pela menor raiz da equação x2 + 3x – 4 = 0, tem-se:

a) um sistema compatível e determinado.

b) um sistema incompatível.

c) um sistema possível e indeterminado.

d) um sistema com apenas duas soluções reais.

e) é impossível substituir, pois a equação qua-drática não admite raiz real.

13. (FGV – SP) O sistema linear abaixo, nas incógni-tas x e y:

x + 3y = m 2x − py = 2

será impossível quando:

a) nunca. b) p ≠ −6 e m = 1

c) p ≠ −6 e m ≠ 1 d) p = −6 e m = 1

e) p = −6 e m ≠ 1


FÍSICA

21

FÍSICAMATEMÁTICA


Matrizes2

As tabelas agrupam dados de uma forma prática e eficiente. A tabela a seguir apresenta informações rela-cionadas à dieta alimentícia. Os dados referem-se a 100 g de cada alimento.

UNICAMP. Disponível em: <http://www.unicamp.br/nepa/taco/contar/tabela1_pdf.pdf>. Acesso em: 15 maio 2011.

1. De acordo com a tabela, responda às questões:

a) Qual é o alimento que tem a maior porcentagem de umidade? E a menor?

b) Qual é o alimento que fornece a maior quantidade de energia? E a menor?

c) Quais são os alimentos que não possuem carboidratos?

d) Quais os alimentos que você evitaria devido à grande quantidade de colesterol que possuem?

M =

6 432 9 62 5 6 5 6

28 300 8 0 59 2 3

96 11 1 0 2 1 8

91 25 4 0 4 2 9

95 15 1 0 3 1 2

7

, ,

,

,

,

,

33 118 26 48 0 1 3

54 239 35 80 0 0

75 118 22 59 0 0

90 51 4 14 2 0

76 143 13 356 2 0

15

,

3331 21 0 60 21 8,

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

Observe a representação da matriz M referente à tabela:

Descrição do alimentoUmidade

(%)Energia (kcal)

Proteína (g)

Colesterol (mg)

Carboidrato (g)

Fibra ali-mentar (g)

Macarrão instantâneo 6 432 9 62 5,6 5,6

Pão, trigo, francês 28 300 8 0 59 2,3

Alface, crespa, crua 96 11 1 0 2 1,8

Brócolis, cru 91 25 4 0 4 2,9

Tomate, com semente, cru 95 15 1 0 3 1,2

Atum, fresco, cru 73 118 26 48 0 1,3

Carne, bovina, capa de contrafilé, sem gordura, grelhada

54 239 35 80 0 0,0

Carne, frango, peito sem pele, sem osso, crua

75 118 22 59 0 0,0

Iogurte, natural 90 51 4 14 2 0,0

Ovo, galinha, inteiro, cru 76 143 13 356 2 0,0

Feijão, preto, cru 15 331 21 0 60 21,8


MATEMÁTICA

A tabela foi expressa na forma de uma matriz, cujos dados (números) foram dispostos em 11 linhas ou filas horizontais e 6 colunas ou filas verticais. Assim, a matriz M é do tipo 11 × 6 (lê-se 11 por 6).

Noção de matriz

Uma matriz com m linhas e n colunas, ou seja, do tipo m × n com m, n IN*, é uma tabela formada por m ∙ n elementos. Representa-se uma matriz por uma letra maiúscula.

A representação de uma matriz é feita por letras maiúsculas, e os seus elementos por uma letra

minúscula acompanhada por dois índices, indicando, respectivamente, a linha e a coluna, que o ele-mento ocupa. As linhas são contadas de cima para baixo; e as colunas, da esquerda para a direita. Por exemplo, para a matriz A, os elementos são representados por aij, em que i indica a linha que o elemento aij ocupa; e j indica a coluna.

Alguns exemplos de matrizes:

A =

2 5

1

23

0 1

−

−

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥

matriz do tipo 3 × 2 D =

5 2 0

1 1 1

2 13 0 4 5, ,

matriz do tipo 3 × 3

L = 1 3

0 3 1

−⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟,

matriz do tipo 2 × 2

Como se pôde observar nos exemplos anteriores, as matrizes podem ser representadas pelos ele-mentos colocados entre parênteses, colchetes ou duas barras paralelas. Verifique em outros exemplos:

A = −⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

1 2

5 0 A =

−⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

1 2

5 0 A =

1 2

5 0

Representação de uma matrizUma matriz pode ser representada genericamente por

A = (aij)m x n, com 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ n ou escrevendo-a na forma:

A =

a a a a

a a a a

a a a a

a

n

n

n

11 12 13 1

21 22 23 2

31 32 33 3

...

...

...

... ... ... ...

mm m m mna a a1 2 3 ...

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

2. A tabela exibida no início da unidade foi representada por uma matriz M. Com base nessa matriz, escreva:

a) o elemento que pertence à 2.a linha e 3.a coluna:

b) o elemento que pertence à 6.a linha e 6.a coluna:

c) o elemento que pertence à 9.a linha e 3.a coluna:

Existem alguns tipos especiais de matrizes:

Matriz linha possui uma única linha.

L = [2 −3 0 5]

Matriz coluna possui uma única coluna.

C =

−⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥

1

7

0 1

5

,

Matriz quadrada possui o número de linhas igual ao número de colunas.

Q =

0 2 5 1

5 4 7 4

1 1 12 2

5 3 0 1

−−− −

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥

matriz quadrada de 4.a ordem ou de ordem 4.

Diagonal secundária Diagonal principal

Os termos diagonal principal e diagonal secundária são denominações das diagonais de matrizes quadradas.

R =

9 2 1

2 1 0

3 5 6

−−

−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

matriz quadrada de 3.a ordem ou de ordem 3.

Diagonal secundária Diagonal principal

Matriz diagonal é uma matriz quadrada cujos elementos que não pertencem à diagonal principal são iguais a zero.

D =

3 0 0

0 5 0

0 0 1

−⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

Matriz identidade é uma matriz quadrada e diagonal cujos elementos da diagonal principal são iguais a 1, e os demais elementos são iguais a zero, ou seja, em uma matriz A = (aij), tem-se que aij = 1 quando i = j; e aij = 0 quando i ≠ j.

I2 = 1 0

0 1

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ matriz identidade de 2.a ordem ou de ordem 2.

I3 =

1 0 0

0 1 0

0 0 1

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

matriz identidade de 3.a ordem ou de ordem 3.


Matriz oposta dada uma matriz A, a matriz oposta, representada por –A, possui todos os elementos com sinal oposto ao elemento correspondente da matriz A. Por exemplo:

A = 1

20

3 7−

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

A matriz oposta –A é: A = −

−

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

1

20

3 7

Igualdade de matrizes

Duas matrizes A e B de mesmo tipo m × n são iguais quando os elementos correspondentes, ou seja, os que possuem os mesmos índices são iguais. Representa-se a igualdade das matrizes A e B da seguinte maneira: A = B

3. Dadas as matrizes A = 2 2

1 1

x

y

+− −

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ e B =

2 3

1 4−⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ em que A = B, determine os valores de x e y:

1. Um quadrado mágico é uma matriz quadra-da com n linhas e n colunas, e os elementos são números naturais 1, 2, 3, ..., n2. O desafio do quadrado mágico é dispor esses elementos nas linhas e colunas de maneira que, em cada linha, coluna ou diagonal, a soma dos elemen-tos seja a mesma. A soma de uma linha (co-luna ou diagonal) é denominada de constan-te mágica. A seguir estão representados dois quadrados mágicos. Determine a constante mágica de cada um e complete com os ele-mentos que estão faltando:

Q3 x 3 =

y

x

z

9 2

3 7

8 1

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟ Q4 x 4 =

16 2 13

5 11 10

7 6 12

4 15 1

a

b

c

d

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

2. Quatro cidades indicadas pelos números 1, 2, 3 e 4 de um mapa estão representadas a seguir com as respectivas distâncias, em quilômetros, entre elas:

Escreva a matriz A4 x 4, cujos elementos são as distâncias entre as cidades. Por exemplo: o ele-mento a34 é a distância entre as cidades 3 e 4, que corresponde a 72.


FÍSICA

25

FÍSICAMATEMÁTICA

3. Em uma família, o pai e um dos filhos culti-vam três tipos de sementes oleaginosas: soja, girassol e amendoim. Eles compram três tipos de fertilizante, um para cada cultura. Nesta tabela, estão as áreas plantadas, em hectare, pelo pai e pelo filho, para cada cultura:

Soja Girassol Amendoim

Área plantada pelo pai 60 30 30

Área plantada pelo filho 50 20 40

A quantidade de fertilizante por hectare, em kg, para cada cultura, é dada por esta tabela:

Fertilizante tipo 1

Fertilizante tipo 2

Fertilizante tipo 3

Soja 15 25 20

Girassol 20 25 25

Amendoim 35 25 35

Sobre a situação, responda às seguintes questões, marcando V para verdadeiro e F para falso:

a) ( ) A área plantada pelo filho é menor do que a área plantada pelo pai

b) ( ) O pai precisa comprar 900 kg de fertili-zante tipo 1 para a cultura de girassol.

c) ( ) Para o filho, a quantidade de fertilizan-te tipo 2, para a cultura de girassol, é o dobro da quantidade necessária para a cultura de amendoim.

d) ( ) A quantidade de fertilizante tipo 1, que o pai deve comprar, para a cultura de soja, é maior do que a quantidade que ele deve comprar para a cultura de amendoim.

e) ( ) A quantidade de fertilizante tipo 3, comprada pelo filho, é menor do que a quantidade de fertilizante tipo 2 comprada pelo pai

4. Com relação a uma matriz A3×2 = (aij), tal que

aij = i j se i j

i se i jj

⋅ <

≥

⎧⎨⎩

, escreva a matriz A.

5. Matriz nula é uma matriz cujos elementos são todos iguais a zero. Considere que a

matriz A = a

b c

+−

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

1 0

22 é uma matriz nula.

Determine a + b + c.

6. As matrizes A = x y2 1 1

0 2

+ −⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ e

B = 2 3

3 1z x+ +⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ são iguais.

Determine o valor de x, y e z.

7. A matriz M =

3 2 0

3 5

0 0 1

a

c b

+−

−

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

é diagonal.

Determine a . c + b.

8. Considere a matriz A = (aij)2 × 3 com

aij = ( ) ,

,

i j se i j

i j se i j

− ≠

− =

⎧⎨⎪

⎩⎪

3

3 3

Determine os valores de a, b, e c, para que

A = a b b a

c

− − − +

+ −

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

21

21

1

20 1

2

9. (EAFA − ES) Chama-se traço de uma ma-triz quadrada a soma dos elementos de sua diagonal principal. Assim, podemos afirmar

que os traços das matrizes A =⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

1 2 3

3 2 1

2 1 3

e

B = − −⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

4 5 6

6 5 4

4 6 8

, são respectivamente:

a) 6 e –160 b) –160 e 6

c) 6 e 7 d) 7 e 6


Adição de matrizes

João Pedro é dono de duas lojas de eletrônicos: Cobol e Fortran, que vendem mensalmente três tipos de computadores: notebook, netbook e tablet. Cada computador tem um uso mais específico para uma determinada atividade profissional.

Notebook (ou laptop): é uma versão portátil de um computador normal. Possui sistemas para uso portátil geral, com tela maior, alto poder de processamento, drive óptico, placas de vídeo poderosas e hardware em geral mais potente, para então ter uma maior capacidade multimídia e de trabalho. Embora, em alguns casos, seja voltado para os jogos, uma coisa é certa: é capaz de realizar muitas tarefas.

Netbook : é um aparelho menor do que o notebook, portátil, de baixo custo e limitado à realização de uma tarefa simples por vez. Possui tela de até 12 polegadas, e não dispõe de drive óptico, como o de CD/DVD. Os processadores são mais lentos e as placas de vídeo, mais simples.

Tablet : é um computador portátil com tela touchscreen, e movimento pinçado para operar o zoom, ou seja, não possuem teclado, nem mouse. Seu tamanho é reduzido e possui bom tempo de duração da bateria, além da facilidade de uso e da portabilidade. Entretanto, não permite upgrades de hardware, mudança de sistema operacional e instalação de programas para PCs. É indicado para jogos ou consultas rápidas na internet, mas apresenta dificuldades para trabalhar em textos.

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4. As vendas, em quantidades, nos meses de janeiro e fe-vereiro de determinado ano, estão indicadas a seguir:

Notebook Netbook Tablet

Janeiro 145 110 220

Fevereiro 130 95 190

Loja Cobol


Janeiro 120 90 215

Fevereiro 105 85 180

Loja Fortran

a) Escreva as tabelas em forma de matriz:

b) Qual é o tipo de matriz representada anteriormente?

c) Qual é a quantidade de computadores vendidos pelas duas lojas? Represente, por meio de uma matriz, e complete a tabela com as quantidades de notebooks, netbooks e tablets vendidos nos meses de janeiro e fevereiro:

5. Responda às questões a seguir:

a) Quantas unidades de netbooks foram vendidas em janeiro?

b) Quantas unidades de notebooks foram vendidas em fevereiro?

c) Quantas unidades de tablets foram vendidas nesses dois meses?


Janeiro

Fevereiro

Adição de

matrizes

@MAT1234


FÍSICA

27

FÍSICAMATEMÁTICA

Dadas duas matrizes A e B, do mesmo tipo, a matriz soma, representada por A + B, é obtida realizando-se a soma dos elementos correspondentes a A com B.

Por exemplo:

A =

5 7

1 0

4 2

−−

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

e B =

− −

−

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

3 1

5 9

7 2

A + B =

5 7

1 0

4 2

−−

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

+

− −

−

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

3 1

5 9

7 2

=

5 3 7 1

1 5 0 9

4 7 2 2

+ − + −− + +

+ − − +

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

( ) ( )

( )

=

2 6

4 9

3 0−

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

Dadas duas matrizes A e B, do mesmo tipo, a matriz diferença, representada por A − B, é definida como a soma da matriz A com a matriz oposta de B, e é obtida realizando-se a subtração dos elementos correspondentes a A com B.

Por exemplo:

A + (−B) = A − B =

5 7

1 0

4 2

−−

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

−

− −

−

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

3 1

5 9

7 2

=

5 3 7 1

1 5 0 9

4 7 2 2

− − − −− − −

− − − −

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

( ) ( )

( )

=

8 8

6 9

11 4

− −−

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

6. Determine o número de unidade vendidas a mais pela loja Cobol em relação à loja Fortran e complete a tabela com as quantidades obtidas:


Janeiro

Fevereiro


Programador de computadorTambém conhecido como engenheiro de software, esse é o profissional cujas atribuições

são escrever, testar, desenvolver e manter programas de computador.As suas principais tarefas envolvem discutir as necessidades dos clientes, elaborando

projetos, planejando de que forma os programas funcionarão em conjunto, além de testar e identificar erros, corrigindo-os e atualizando-os.

Para ser um bom programador, é necessário conhecer linguagens de programação, como hardware e software básico, que são sistemas operacionais.

Na programação, o uso de matrizes é constante, por exemplo, nas planilhas eletrônicas. Estas, com base nas matrizes, tornaram-se instrumentos indispensáveis, pois, entre outras funções, armazenam tabelas, elaboram gráficos e fazem cálculos matemáticos.

Subtração de

matrizes

@MAT1456

Dada uma matriz A e um número real k, o produto do número k pela matriz A é a matriz k . A, do mesmo tipo da matriz A, e é formada pelos elementos de A multiplicados pelo número k.

Por exemplo:

A = 1 2 4

0 1 5

−−

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ e k = 5, 5 . A = 5 .

1 2 4

0 1 5

−−

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥=

5 1 5 2 5 4

5 0 5 1 5 5

. . . ( ). . ( ) .

−−

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ =

5 10 20

0 5 25

−−

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

Matriz nula é uma matriz cujos elementos são iguais a zero. A matriz nula pode ser obtida pela soma de uma matriz A com a sua respectiva matriz oposta. A matriz oposta de A, representada por (−A), pode ser obtida multiplicando-se todos os elementos da matriz A por (−1), por exemplo:

A + (−A) = 1

20

3 7−

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

+ −

−

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

1

20

3 7

= 0 0

0 0

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

Multiplicação de matrizes

João Pedro estabeleceu um preço de venda para cada computador. Os preços médios são:

Notebook : R$ 1.800,00 Netbook : R$ 1.200,00 Tablet : R$ 2.500,00

7. Apresentando as tabelas em forma de matriz, escreva as matrizes que representam as quantidades de computadores para o próximo ano:

Multiplicação de um

número por uma matriz

No próximo ano, João Pedro vai aumentar a compra de computadores (notebook, netbook, tablet) para as suas lojas, pois acredita que haverá um aumento nas vendas desses produtos. Para a Loja Fortran, ele resolveu dobrar o pedido. Entretanto, para a Loja Cobol, cuja localização é privilegiada do ponto de vista das vendas, ele resolveu triplicar o pedido.


FÍSICA

29

FÍSICAMATEMÁTICA

Multiplicação

de matrizes

@MAT1654

10. Represente o faturamento da Loja Cobol pelo produto das matrizes C e P:

11. Utilizando as matrizes F e P, determine o faturamento da Loja Fortran pelo produto F . P:

A multiplicação entre duas matrizes só poderá ser realizada quando o número de colunas da 1.a matriz for igual ao número de linhas da 2.a matriz, e a matriz produto tiver o mesmo número de linhas da 1.a matriz e de colunas da 2.a matriz.

A é uma matriz do tipo m × n e B é uma matriz do tipo n × p.

iguais

m × p

Am × n . Bn × p = Cm × p

O produto A . B é uma matriz C do tipo m × p.

R é uma matriz do tipo 4 × 3 e S é uma matriz do tipo 3 × 2.

R4 × 3 . S3 × 2 = (R . S)4 × 2

iguais

4 × 2

O produto R . S é uma matriz do tipo 4 × 2.

12. Escreva de que tipo são as matrizes produto:

a) M3 × 1 . N1 × 3 b) C5 × 2 . D2 × 7

c) P5 × 1 . Q1 × 6 d) K3 × 2 . L3 × 5

Dependendo da ordem dos fatores, a multiplicação entre matrizes nem sempre poderá ser realizada.

8. Represente os preços de venda por meio de uma matriz coluna P do tipo 3 × 1:

9. Determine o faturamento da Loja Cobol nos me-ses de janeiro e fevereiro:


13. Dadas as matrizes A2 × 3 e B3 × 4, escreva o tipo da matriz produto A . B e B . A

Dadas duas matrizes A = (aij)m × p e B = (bij)p × n cujo produto é representado por C = A . B,

cada elemento c ij da matriz C é obtido multiplicando-se ordenadamente os elementos da linha i

de A com os elementos da coluna j de B e adicionando-se os produtos obtidos, ou seja:

cij = ai1 . b1j + ai2 . b2j + ... + aip . bpj

14. Dadas as matrizes A = 2 3

1 4

−⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ e B =

1 2

1 5−⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ , determine as matrizes A . B e B . A:

15. O que você observou quanto ao produto A . B em relação a B . A?

Quando se multiplicam as matrizes A e B, em que os produtos A . B e B . A são possíveis, geralmente A . B é diferente de B . A.

Matriz transposta

Dada uma matriz A cujos elementos são representados por aij, a matriz transposta, representada por At, é a matriz formada pelos elementos aji.

Exemplos:Matriz Matriz transposta

R =

2 1 0

1 1 1

0 0 3

1 2 0

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥

Rt = 2 1 0 1

1 1 0 2

0 1 3 0

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

P =

3

1

0

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

Pt = [3 1 0]


FÍSICA

31

FÍSICAMATEMÁTICA

16. Considerando a matriz C = 145 110 220

130 95 190

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ , que representa a quantidade de computadores

vendidos pela Loja Cobol nos meses de janeiro e fevereiro e a matriz P =

1 800

1 200

2 500

.

.

.

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

, que represen-

ta o preço de venda dos computadores, como é possível realizar o produto dessas duas matrizes, utilizando o conceito da matriz transposta?

Matriz inversa

Um número x real é denominado inverso de um número y se, e somente se, x . y = y . x = 1.Dessa forma, todo número real y ≠ 0 é invertível em relação à multiplicação desde que exista um

número 1

y, tal que y .

1

y =

1

y . y = 1

17. O conceito de número inverso é utilizado para determinar a solução de uma equação. Resolva a equação, 5x = 12, utilizando o conceito de número inverso:

Nas equações matriciais, pode-se aplicar um raciocínio análogo à inversão dos números reais. Para isso, é necessário que se conheça o conceito de Matriz inversa.

Como obter a

matriz inversa

de uma matriz

2 x 2

@MAT785


Dada uma matriz A, quadrada e de ordem n, denomina-se matriz inversa de A, representada

por A−1, a matriz, tal que A . A−1 = In , onde In é denominada de matriz identidade de ordem n.

18. Verifique se estas matrizes são inversas:

a) A = 7 3

5 2

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ e B =

−−

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

2 3

5 7

b) A = 1 2

2 3−⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ e B =

−−

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

3 2

2 1

19. Determine a matriz inversa da matriz G = 3 1

5 2

−−

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ :


FÍSICA

33

FÍSICAMATEMÁTICA

1. Para fazer 1 000 panfletos de promoção de um supermercado, o gerente pediu um or-çamento, em uma gráfica, de quatro possi-bilidades diferentes. Todos seriam feitos em impressoras que utilizam o sistema CMYK, isto é, as cores ciano, magenta, amarela e preta e suas combinações. A gráfica entre-gou ao gerente do supermercado um orça-mento em que, entre outros custos, havia o número de cartuchos de tinta usados pela impressora em cada 1 000 panfletos e o pre-ço de cada cartucho. Nestas tabelas, estão os preços de cada cartucho de tinta e o nú-mero de cartuchos usados para cada 1 000 panfletos:

Número de cartuchos usados para1 000 panfletos

Ciano Magenta Amarelo Preto

Panfleto 1 2 1 2 1

Panfleto 2 1 1 2 1

Panfleto 3 2 2 2 1

Panfleto 4 1 1 3 2

Cartucho Preço (em R$)

Ciano 23,00

Magenta 24,00

Amarelo 25,00

Preto 22,00

Determine o custo da tinta para produção de 1 000 panfletos 1, 2, 3 e 4.

2. Em 2010, foi realizada a 19.a Copa do Mundo de Futebol, em que a Espanha sagrou-se campeã. Na 1.a fase, o Brasil estava na chave G, represen-tada nesta tabela com o número de vitórias, empates e derrotas das seleções dos países que dela fizeram parte. Nessa fase, classificam-se os dois países com maior pontuação.

Vitórias Empates Derrotas

Brasil 2 1 0

Costa do Marfim 1 1 1

Coreia do Norte 0 0 3

Portugal 1 2 0

De acordo com o regulamento, a pontuação é observada na tabela a seguir:

Pontuação

Vitória 3

Empate 1

Derrota 0

a) Escreva a matriz M cujos elementos são o número de vitórias, empates e derrotas; e a matriz N, que representa a pontuação.

b) Determine a matriz cujos elementos são o número de pontos das seleções que esta-vam no grupo do Brasil.

3. Uma tabela com m linhas e n colunas pode ser expressa em forma de uma matriz do tipo m × n. Dada uma matriz A, do tipo m × n, a sua transposta At é do tipo n × m. Esta tabela mostra o lucro de uma loja, proveniente da venda de calculadoras padrão e científica:

Lucro (R$)

Padrão 12,00

Científica 30,00

A tabela, a seguir, apresenta as vendas de calculadoras padrão e científica, no primei-ro trimestre de determinado ano, por uma loja de produtos eletrônicos:

Padrão Cientfífica

Janeiro 36 21

Fevereiro 32 12

Março 45 26


a) Escreva as tabelas em forma de matrizes (L e V).

b) Analise as afirmativas e marque V (verda-deira) ou F (falsa) para o produto que ex-pressa o lucro total, nos meses de janeiro, fevereiro e março, proveniente das vendas das calculadoras padrão e científica:

( ) L . V

( ) Lt . V

( ) L . Vt

( ) Lt . Vt

( ) Não é possível calcular o lucro total utili-zando matrizes.

4. As matrizes A e B são do tipo 5 × 7 e m × n, respectivamente, e a matriz produto A . B é do tipo 5 × 1. Dessa forma, determine m e n.

5. As matrizes P, Q e R são do tipo 4 × p, 4 × q e 7 × r, respectivamente. A matriz (P − Q) . R é do tipo 4 × 3. Determine os valores de m, n e p.

6. (UFAM) Para criptografar uma palavra de quatro letras um aluno de Matemática a representou como uma matriz 4 × 1 subs-tituindo cada letra da palavra por números, conforme o quadro a seguir:

A 1 B 2 C 3 Ç 4 D 5 E 16

F 7 G 8 H 9 I 10 J 11 K 12

L 13 M 14 N 15 O 16 P 17 Q 18

R 19 S 20 T 21 U 22 V 23 W 24

X 25 Y 26 Z 27 Ã 28 Õ 29 É 30

Em seguida, multiplicou essa matriz pela ma-triz:

A =

1

210 0 0

01

110 0

0 03

50

0 0 01

4

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

, obtendo como

resultado a matriz B =

1

2

3

4

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

Para descriptografar a palavra, deve-se fazer o produto da matriz B pela matriz inversa de A. Então, a palavra, originalmente, era:

a) UFAM.

c) HEXA.

b) MAÇÃ.

d) TUDO.

e) AMOR.

7. (UNCISAL) Sejam as matrizes A = −⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

1 2

3

a

b

e B = a

a

2 1

0

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ . Se A + B =

8 7

3 8

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ , então

At (matriz transposta de A) é:

a) 0 3

2 1

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

b) 1 5

6 3

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

c) 6 3

1 5

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

d) −⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

6 3

1 5

e) −⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

1 3

6 5

8. (UFRN) A Tabela 1, a seguir, apresenta, em miligramas (mg), a quantidade de cálcio presente em uma porção de alimento.

Tabela 1 – Quantidade de cálcio, por porção de

Brócolis cozido

Queijo ricota

Gema de ovo

Porção do alimento (g) 150 250 100

Quantidade de cálcio (mg) 62 670 130


FÍSICA

35

FÍSICAMATEMÁTICA

1. Determine o valor de a e b, para que a matriz

K =

1 2 1

2 0

0 1 1

2a b

a b c

b

+ −− −

+

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

seja igual à matriz

identidade de ordem 3.

2. Uma fábrica de bebidas produz dois tipos suco de uva: light e normal. A produção do suco de uva é vendida a duas empresas que a engarra-fam e comercializam. A fábrica tem um lucro de R$ 0,40 em cada litro de suco de uva light e R$ 0,50 em cada litro de suco de uva normal. A tabela a seguir indica a quantidade de litros de suco light e normal vendidos a cada uma das empresas em determinado mês:

Suco light Suco normal

Empresa A 200 350

Empresa B 150 400

Com base nas informações dadas, marque a al-ternativa correta:

a) A fábrica tem lucro igual a R$ 140,00 com a venda do suco normal.

b) A fábrica tem lucro igual a R$ 375,00 com a venda do suco light.

c) A fábrica tem lucro igual a R$ 255,00 com a venda de suco para a empresa A.

d) A fábrica tem lucro igual a R$ 235,00 com a venda de suco para a empresa B.

e) A fábrica tem lucro igual a R$ 475,00 com a venda de suco.

3. Um posto, nos meses de janeiro, fevereiro e março, vendeu gasolina, álcool e óleo diesel nas quantidades, em litros, de acordo com a tabela a seguir:

Gasolina Álcool Óleo diesel

Janeiro 30 000 40 000 60 000

Fevereiro 27 000 43 000 63 000

Março 26 000 47 000 73 000

Com base nos dados da tabela, é correto afirmar que:

Suponha que, para se elaborarem três receitas envolvendo brócolis, ricota e gema de ovo, te-nham sido usadas as quantidades de porções mencionadas na Tabela 2, a seguir:

Tabela 2 – Receitas, por porções de alimentos

Porção deReceita

1Receita

2Receita

3

Brócolis 2 1 3

Ricota 1 2 1

Gema de ovo 3 2 1

Com base apenas nos dados numéricos das tabelas, percebe-se que há duas matrizes: 2 × 3 e 3 × 3, respectivamente.

Considerando-se o elemento da segunda linha e da segunda coluna do produto das matrizes, é correto afirmar que existem:

a) 1 532 mg de cálcio nas porções de ricota.

b) 1 662 mg de cálcio na receita 2.

c) 850 g de alimento na receita 2.

d) 750 g de alimento nas porções de ricota.


a) Em janeiro, o posto faturou mais com a venda de álcool do que com a venda de gasolina.

b) Como a quantidade de álcool e gasolina ven-dida em cada um dos meses de janeiro e fe-vereiro foi igual, então o faturamento com a venda desses combustíveis foi igual.

c) A venda de óleo diesel supera a venda de álcool e gasolina juntos.

d) O posto fatura mais com a venda de óleo diesel do que com a venda de gasolina ou ál-cool.

e) A venda de combustível aumentou de janeiro a março.

4. (UFLA − MG) Em relação à solução da equação matricial:

2 3

3 x

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ . 5 3

3

−−

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥y

= 1 0

0 1

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

é correto afirmar:

a) x = y b) x + y = 0 c) x . y = 10

d) x = –3

5. Escreva a matriz A3 × 3 cujos elementos aij são definidos por:

aij =

i j se i j

se i j

i se i jj

+ <=

>

⎧

⎨⎪

⎩⎪

0

6. (UFG − GO) Para transmitir dados via satélite, en-tre outros processos da área de telecomunicações, utiliza-se atualmente o Código de Hamming. Ele pode garantir que, por meio de um canal de co-municação, uma mensagem chegue ao seu des-tinatário sem erros, sem ruídos, ou com possibili-dade de correção. Ao transmitir uma mensagem, usa-se um Código de Hamming de redundância r = n − k, sendo k um parâmetro. Para detectar um erro na transmissão, efetua-se a operação matricial H . vt, na qual H é uma matriz de ordem r × n, o comprimento do código é n = 2r − 1

e, neste caso, vt é uma matriz coluna, transpos-ta da matriz v, que representa a mensagem en-viada. A transmissão será bem-sucedida se essa multiplicação resultar em uma matriz nula. Com base nessas informações, um código de redun-dância r = 3 pode detectar erros de transmissão de mensagens cuja matriz v é, necessariamente, uma matriz:

a) linha, de ordem 1 × 7.

b) coluna, de ordem 3 × 1.

c) linha, de ordem 1 × 3.

d) identidade, de ordem 3 × 3.

e) nula, de ordem 3 × 7.

7. (UEMA) Uma fábrica produz os tipos de bom-bons: diamante, prata e cereja, com os seguintes ingredientes: licor, fruta e chocolate.

A composição de 20 kg de cada tipo de bombom é a indicada no quadro a seguir:

Licor Fruta Chocolate

Diamante 4 6 10

Prata 2 4 14

Cereja 0 8 12

O custo dos ingredientes desses bombons, em reais por quilograma, nos meses de julho, agosto e setembro do ano corrente, variou de acordo com os dados apontados a seguir:

Julho Agosto Setembro

Licor 45 55 60

Fruta 15 25 20

Chocolate 35 50 70

Nessas condições, calcule o valor gasto para pro-duzir 20 kg de cada um desses bombons no mês de agosto.


FÍSICA

37

FÍSICAMATEMÁTICA

Determinantes de

1.a, 2.a e 3.a ordem

@MAT730


Definição de determinante

Determinante é um número relacionado a uma matriz quadrada de ordem n. O determinante de uma matriz A, representado por det A, é o número obtido quando se opera com os elementos dessa matriz.

Representação de um determinantePara representar um determinante, utilizam-se duas linhas paralelas. Observe:

Matriz N = 1 4

2 0−⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ → det N =

1 4

2 0

Matriz B =

−− −

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

1 5 0

3 2 5

4 0 9

→ det B =

1 5 0

3 2 5

4 0 9

Matriz P =

3 1 2 0

9 2 3 4

1 6 2 0

1 2 9 5

→ det P =

3 1 2 0

9 2 3 4

1 6 2 0

1 2 9 5

Cálculo de um determinante Quando uma matriz A tem apenas uma linha e uma coluna (matriz de ordem 1 ou 1.a ordem), ou

seja, um elemento, o determinante é o único elemento da matriz A.Matriz A = [ a11 ] → det A = | a11| = a11

Por exemplo:Matriz A = [–12 ] → det A = |–12 | = –12

Quando uma matriz A tem duas linhas e duas colunas (matriz de ordem 2 ou 2.a ordem), ou seja, quatro elementos, o determinante é a diferença entre o produto dos elementos da diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal secundária.

Determinantes3

Determinantes

de 1.a, 2.a e 3.a ordem

@MAT730


MATEMÁTICA

Matriz A = a a

a a11 12

21 22

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ → det A=

a a

a a11 12

21 22

= a11 . a22 – a12 . a21

Por exemplo:

Matriz A = 4 2

1 1−⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ → det A =

4 2

1 1= 4 . 1 – 2 . (–1) = 6

Quando uma matriz A tem três linhas e três colunas (matriz de ordem 3 ou 3.a ordem), ou seja, nove elementos, o determinante fica definido por:

Matriz A =

a a a

a a a

a a a

11 12 13

21 22 23

31 32 33

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

→ det A =

a a a

a a a

a a a

11 12 13

21 22 23

31 32 33

det A = a11 . a22 . a33 + a12 . a23 . a31 + a21 . a32 . a13 – a13 . a22 . a31 – a12 . a21 . a33 – a11 . a23 . a32

Essa definição tem um dispositivo prático, denominado Regra de Sarrus, idealizado pelo mate-mático Pierre Frédéric Sarrus (1798-1861).

Por exemplo:

A =

2 7 4

3 1 2

5 2 3

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

, tem-se o determinante det A =

2 7 4

3 1 2

5 2 3

1.o) Repetem-se as duas primeiras colunas ao lado da matriz.

2.o) Realizam-se os produtos dos três fatores em direção à diagonal principal (flechas vermelhas) e em direção à diagonal secundária (flechas verdes).

3.o) Obtêm-se seis produtos.

4.o) Para os produtos das flechas vermelhas, mantém-se o sinal e, para os produtos das flechas verdes, invertem-se os sinais.

2 7 4

3 1 2

5 2 3

2 7

3 1

5 2

−20 –8 –63 6 70 24 det A = –20 – 8 – 63 + 6 + 70 + 24det A = 9


3. Dados os pontos A(0, 3), B(2, 7) e C(–1, 1), determine a área do triângulo formado por esses pontos:

No conteúdo de funções, a função afim foi assim de-finida:

Uma função f:IR IR é denominada função afim quando estiver escrita na forma f(x) = ax + b, com a, b

IR e a 0, ou seja, para cada x IR, existe um único elemento (ax + b) IR.

O gráfico dessa função é uma reta no plano cartesiano. Toda função afim é representada por uma reta no plano car-tesiano, porém nem toda reta no plano é uma função afim.

Uma forma de determinar a equação de uma reta que passa pelos pontos A(xA, yA) e B(xB, yB) é por meio do de-terminante:

x y

x y

x yA A

B B

1

1

1

= 0

4. Dados estes pontos, determine a equação da reta e verifique se essa reta é uma função afim:

a) A(1, 1) e B(0, –2)

b) A(–1, 3) e B(2, –3)

Estas são duas aplicações importantes dos determinantes:

1.a) Cálculo da medida da área de

um triângulo

1. Dado um triângulo ABC, representado a seguir, em que as medidas são dadas em cm, determine a medida da área desse triângulo:

Quando são conhecidas as coordenadas dos vértices de um triângulo, é possível determinar a medida de sua área por meio de um determinante. A medida da área do triângulo, cujos vér-tices são A(xA, yA), B(xB, yB) e C(xC, yC), pode ser calculada por:

Área = 1

2D ,

em que D é o determinante da matriz

x y

x y

x y

A A

B B

C C

1

1

1

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

A seguir, está o triângulo ABC representado no plano cartesiano:

2. Determine a área do triângulo ABC, utilizando o conceito de determinantes:

1. Calcule estes determinantes:

a) 3 2

1 4

b) 0 9

1 3

c) 1 2 1 8

2 2

, ,

d)

2 1 1

0 3 4

4 1 0

e)

2 0 3

1 4 6

1 1 2

f)

2 5 15

15 0 0

30 0 5

g)

3 7 4

2 3 5

2 1 4

2. Para os triângulos representados, determine a medida da área:

a)

b)

3. Determine a área do triângulo cujos vértices são A(2, 3), B(0, –1) e C(–3, 1).

4. Considere dois pontos A(2, 3) e B(0, –1), de-termine a equação da reta que passa por esses dois pontos.

5. Determine o valor de x na equação:

x

x

x2

2 4

2 1

1 3

1 1 1

= −

6. Determine o valor da soma

n m

m n +

n m

n m

7. (UEPA) Considere as matrizes A =

x − −

−

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

1 2

8 7

5 4

,

B =

1 4

2 1

3 2−

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

e C = At . B

Para que o determinante da matriz C seja nulo, x deve ter um valor igual a:

a) 50

b) 30

c) –30

d) –50


FÍSICA

41

FÍSICAMATEMÁTICA

8. (UFAC) Uma indiscutível verdade é que a Álgebra está relacionada com a maioria dos assuntos em Matemática. O rigor, a organização das ideias e o raciocínio lógico são o que melhor a definem. Um “tira-gosto” de uma aplicação à Geometria, particularmente ao cálculo de área de figuras planas, está ligado à teoria dos determinantes e inclui a Regra de Sarrus para o cálculo do de-terminante de uma matriz quadrada de ordem 3. Mesmo não considerando esses comentários, analisando as afirmações abaixo com respeito aos pontos P = (301, 7), S = (5, –7) e Q = (400, 28) do plano, a que está correta é:

a) P, S e Q estão alinhados.

b) a área do triângulo PSQ é 70 u.a.

c) a área do triângulo PSQ é 2 130 u.a.

d) a área do triângulo PSQ é 2 415 u.a.

e) a área do triângulo PSQ é 4 830 u.a.

Desafio

9. (UNIFEI – MG) Considere a matriz:

A =

2 2 2

3 9 243

5 25 31253 3 3

5 5 5

log log log

log log log

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

e as proposi-ções:

I. det A = 0;

II. A =

2 2 2

1 2 5

1 2 5

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

;

III. a soma dos aij elementos da matriz vale 22.

Pode-se afirmar que:

a) somente as proposições I e II são verdadeiras.

b) todas as proposições são verdadeiras.

c) somente as proposições II e III são verdadeiras.

d) somente as proposições I e III são verdadeiras.

A seguir, é apresentado o cálculo do determinante de uma matriz quadrada de ordem n (n ≥ 2), utilizando o Teorema de Laplace. Esse teorema é bastante usado para determinantes de 4.a ordem ou de ordens maiores. Para determinantes de 2.a ou 3.a ordens, já foram apresentados alguns métodos mais práticos.

Teorema de Laplace

Para calcular o determinante de uma matriz quadrada, em que a ordem seja maior ou igual a 2, o Teorema de Laplace é bastante eficiente. Porém, antes é necessário que se conheça o cofator ou complemento algébrico.

Dada uma matriz A de 3.a ordem, representada a seguir:

3 2 1

2 1 0

1 4 2

−

−

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

cujo determinante é

3 2 1

2 1 0

1 4 2

Observe o cofator de alguns elementos a seguir:

– Cofator do elemento a22: A22 = (–1)2+ 2 . 3 1

1 2

– Cofator do elemento a13: A13 = (–1)1 + 3 . 2 1

1 4

– Cofator do elemento a31: A31 = (–1)3 + 1 . 2 1

1 0

O cofator de um elemento aij representado por Aij é o produto de (–1)i + j pelo determinante da matriz obtida, quando são suprimidas a linha e a coluna do elemento aij., denominada menor complementar do elemento aij.


Para calcular o determinante de uma matriz pelo Teorema de Laplace, inicialmente, escolhe-se uma linha (ou coluna) da matriz e realiza-se a soma dos produtos dos elementos dessa linha (ou coluna) com os respectivos cofatores.

5. Calcule o determinante da matriz A pelo Teorema de Laplace:

O determinante de uma matriz quadrada de ordem n, com n ≥ 2, calculado pelo Teorema de Laplace, corresponde à soma dos produtos dos elementos de uma linha (ou coluna) com os respectivos cofatores.

6. O que poderia simplificar o cálculo do determinante de uma matriz quando for usado o Teorema de Laplace?

7. Na matriz a seguir, calcule o determinante:

A =

1 2 1 0

3 1 0 1

2 0 2 4

0 5 1 1

−

−−

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥

FÍSICAFÍSICAMATEMÁTICA

43Ensino Médio | Modular

Teorema de Jacobi

O determinante de uma matriz não se altera quando se adiciona uma fila qualquer a outra fila paralela a ela, multiplicada por um número.

8. Pelo Teorema de Jacobi, transforme os elementos a21, a31 e a41 da 1.a coluna em zero e calcule o determinante

da matriz

1 2 0 1

1 3 1 4

1 1 1 2

2 2 1 3

−−

−

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥

Teorema de Binet

9. Dadas as matrizes A e B a seguir:

A = 5 1

4 2

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ e B =

4 1

2 3

−−

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

a) calcule det A e det B, ou seja, o determinante de A e B:

b) multiplique a matriz A pela matriz B e calcule det (A . B), ou seja, o determinante da matriz do produto A . B:

10. O que se pode afirmar quanto ao det A, det B e det (A . B)?

Sejam A e B duas matrizes quadradas de mesma ordem e det (A) e det (B) seus determinantes, respec-tivamente, o determinante do produto de A por B é igual ao produto dos determinantes de A e B, ou seja:det (A . B) = det A . det B

Matriz inversa Como já foi estudado na unidade de matrizes, a matriz

inversa de uma matriz A, de ordem n, representada por A–1,

é a matriz na qual A . A–1 = A–1 . A = In, em que In é a matriz

identidade de ordem n.

11. Pelo Teorema de Binet, escreva a condição para que uma matriz quadrada seja invertível, ou seja, admita inversa:

1. Qual é o valor do determinante

1 2 3 4

0 1 2 2

2 1 3 1

2 0 1 3

? 2. Considere a matriz M =

1 2 3

2 3 2

3 2 x

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

e determine

as raízes da equação det (M2) = 25.


3. (UERN) Considerando-se as matrizes

M =

a b c

b a b

a c a

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

, N = a b a c

b c a b

+ −− +

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ ,

P = 1 2

3 1

−⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ e N + P =

0 0

0 0

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ , pode-se afirmar

que o determinante de M é igual a:

a) 2 b) 8 c) 9 d) 18

4. (UNESP – SP) Seja A uma matriz. Se

A3

1 0 0

0 6 14

0 14 34

=⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

, o determinante de A é:

a) 8 b) 2 2 c) 2 d) 23 e) 1

5. (UFMT) Sejam A e B matrizes quadradas de or-dem 2 cujos determinantes são, respectivamen-te, k e k2, k real positivo. Nessas condições, é cor-reto afirmar:

a) É possível B ser igual a kA.

b) B é sempre igual a kA.

c) B é sempre igual a A2 .

d) É impossível A ser igual a 2B.

e) É impossível A ser igual a B.

6. (UDESC) Dada a matriz A = 1 2

1 1−⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ , seja a ma-

triz B tal que A–1BA = D onde D= 2 1

1 2−⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ , então

o determinante de B é igual a:

a) 3 b) –5 c) 2 d) 5 e) –3

7. (FURG – RS) Se o determinante da matriz A é

igual a 16 e sua matriz inversa é

A–1 =

3 1 1

0 1

0 0 1

−⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

x , o valor de x é:

a) 18 b) 1

18 c) –1

18

d) –2 e) 2

8. (UNIT – SE) O determinante

1 1 1 1

1 1 10 1 1

1 1 1 10 1

1 1 1 1 10

x

x

x

, x ∈ IR, é igual a:

a) 3 . 10x b) 1 000x c) (1 + 10x)3

d) 1 e) 0

9. (UNIR – RO) Para codificar palavras de quatro letras, por meio de matrizes, pode-se utilizar o seguinte método:

I. Associa-se cada letra da palavra a um nú-mero da tabela:

A B C D E F G H I J K L

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

M N O P Q R S T U V X Z

13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

II. Escreve-se, com os números obtidos, uma matriz M de ordem 2 × 2.

Exemplo: A matriz correspondente à palavra

BOTA é 2 15

20 1

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ .

III. Multiplica-se M pela matriz-codificadora (C), inversível de ordem 2, obtendo-se, as-sim, a matriz codificada N = C . M.

IV. Para obter a matriz M, calcula-se o produto C–1 . N.

Uma palavra com quatro letras foi codifica-da pelo método acima, obtendo-se a matriz

N = 27 42

9 6

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ . Sabendo-se que a matriz codifi-

cadora utilizada foi C = 2 1

1 1−⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ , pode-se afir-

mar que essa palavra é:

a) AMOR. b) VIDA. c) UNIR.

d) ROSA. e) FLOR.


FÍSICA

45

FÍSICAMATEMÁTICA

Propriedade dos determinantes

Algumas matrizes têm propriedades que simplificam o cálculo do determinante.

12. Dada a matriz A =

4 3 4

2 1 5

3 3 2

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

, escreva a matriz

At (transposta da matriz A) e calcule o determinante da A e At. O que se pode afirmar quanto a essas matrizes e seus respectivos determinantes?

13. Dada a matriz B =

−

−

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

1 3 0

2 1 5

3 2 7

, escreva a matriz C em que foram trocadas de posição duas filas paralelas e calcule o determinante da B e C. O que se pode afirmar quanto a essas matrizes e seus respectivos determinantes?

14. Dada a matriz D =

−−

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

4 3 4

2 1 5

0 0 0

, calcule o seu

determinante. O que se pode afirmar quanto a essa matriz e se determinante?

15. Dada a matriz E =

1 3 2

7 5 11

1 3 2

−−

−

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

, calcule o seu determinante. O que se pode afirmar quanto a essa matriz e seu determinante?

16. Observe as matrizes:

G =

1 1 2

2 2 1

1 0 3

− −−

−

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

H =

3 3 6

2 2 1

1 0 3

− −−

−

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

I =

3 3 6

6 6 3

1 0 3

− −−

−

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

J =

3 3 6

6 6 3

3 0 9

− −−

−

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

O que se pode afirmar quanto às matrizes G, H, I e J?


17. Calcule o determinante de cada matriz e responda: o que se pode afirmar quanto a essas matrizes e seus determinantes?

18. Dada a matriz K =

2 3 1

0 4 4

0 0 3

−−

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

, calcule o seu determinante. O que se pode afirmar quanto ao deter-minante?

1. Calcule o determinante destas matrizes, aplican-do as propriedades, quando possível:

a)

2 1 3

2 1 3

1 5 1

b)

2 2 2

0 0 0

1 3 1

c)

1 2 3

2 4 6

1 5 1

d)

1 7 11

0 3 24

0 0 2

e)

11 7 1

24 3 0

2 0 0

2. Dada a matriz A =

1 1 2

4 3 6

4 9 3

,

a) escreva a matriz At (matriz transposta de A);

b) calcule det A e det At.

3. Um paralelepípedo retângulo está representado no espaço de acordo com este desenho:

O volume de um paralelepípedo retângulo pode ser obtido por meio de uma matriz de 3.a ordem


FÍSICA

47

FÍSICAMATEMÁTICA

Regra de Cramer

Uma das aplicações de determinantes pode ser observada na resolução de um sistema com n equações e n incógnitas. O matemático Gabriel Cramer, em 1750, criou uma regra, que, por meio de determinantes, permitia obter o conjunto-solução de um sistema quadrado.

Observe, a seguir, um sistema genérico com duas equa-ções e duas incógnitas e sua resolução:

ax + by = cdx + ey = f

No sistema, a, b, c e d são os coeficientes das incógni-tas e c e f são os termos independentes. Para determinar o valor de y, multiplica-se a 1.a equação por d e a 2.a por a, adicionando-se, membro a membro. Observe:

− − −

− −

adx bdy cd

adx aey af

ae bd y af cd

==

⎧⎨⎩

+ =0 ( )

Assim, yaf cd

ae bd=

−−

Substituindo o valor y, em alguma das equações do sis-

tema, o valor de x é:

xce bf

ae bd=

−−

A esse sistema podem-se relacionar três matrizes D, Dx e Dy.

19. A seguir, apresenta-se a descrição de cada uma dessas matrizes. Leia as descrições e escreva cada uma delas e seus respectivos determinantes:

Matriz D matriz composta pelos coeficientes das in-cógnitas:

Matriz Dx matriz inicialmente composta pelos coeficien-

tes das incógnitas, mas a coluna dos coeficientes de x

são substituídos pelos termos independentes:

Matriz Dy matriz inicialmente composta pelos coefi-

cientes das incógnitas, mas a coluna dos coeficientes de

y são substituídos pelos termos independentes:

x y z

x y z

x y z

A A A

B B B

C C C

, em que o módulo do determinan-

te dessa matriz é o volume desse paralelepípe-do retângulo. Os pontos no espaço são ternas expressas por (x, y, z).Qual é o volume do paralelepípedo retângulo?

4. (FAFIRE – PE) Citar a afirmativa errada:a) O determinante de uma matriz que tem duas

linhas (ou colunas) proporcionais é igual a zero.

b) O determinante de uma matriz que tem duas linhas (ou colunas) iguais é igual a zero.

c) O determinante de uma matriz não se altera

quando se trocam, na matriz, duas linhas (ou colunas) entre si.

d) O determinante de uma matriz fica multi-plicado por M quando se multiplica uma linha (ou uma coluna) da matriz por M.

e) A adição de uma linha de uma combinação linear das demais não altera o valor de seu determinante.

5. Uma matriz quadrada A de ordem 3 tem o determinante igual a 2. Determine:a) det (A2) = b) det (A3) = c) det (3A) = d) det (–5A) =


20. Agora, compare os determinantes das matrizes D, Dx e

Dy com os numeradores e denominadores das incógnitas

x e y. O que se pode concluir?

Se um sistema S quadrado é possível e deter-

minado, ou seja, tenha uma única solução, o deter-

minante D é diferente de 0 e o conjunto-solução

S = {x1, x2, ..., xn} é obtido por:

xD

Dii

1. Determine o conjunto-solução dos sistemas a seguir:

a) x – y + z = 72x + y + 2z = 11–x + 3y + 2z = 3

b) 3x – y – z = –1x – 2y – 5z = –10x – z = 0

c) x + 2y + 3z = 0x – y = 0x + y – z = 0

2. (UPE) Uma dieta deve ser elaborada com os alimen-tos A, B e C que custam respectivamente R$ 5,00, R$ 20,00 e R$ 16,00 o quilo. Cada refeição deve ser uma mistura dos três alimentos cujo peso será de 0,5 kg. Neste processo, a quantidade do alimento C deve ser um terço da soma das quantidades dos ali-mentos A e B, e o preço de cada refeição deve ser de R$ 5,75. Nessas condições, podemos afirmar que a quantidade do alimento A, na mistura, é de:

a) 125 gramas. b) 250 gramas.

c) 150 gramas. d) 110 gramas.

e) 95 gramas.

3. O médico veterinário de uma fazenda cria mais de mil cabeças de gado. Além do pasto, acrescenta uma ração formada por três tipos de alimentos (A, B e C) de forma a combiná-los, resultando em uma mistura que contém 280 unidades de prote-ínas, 260 unidades de vitaminas e 500 unidades de sais minerais. Esta tabela apresenta a com-posição dos alimentos A, B e C por unidades em gramas de proteínas, vitaminas e sais minerais:

Proteínas Vitaminas Sais minerais

A 2 10 2

B 4 3 8

C 10 5 12

Nessas condições, quantos gramas do alimento C essa mistura deve conter?

Desafio

4. (UEMS) Um automóvel foi abastecido com 10 litros de álcool, 15 litros de gasolina e 3 metros cúbicos de gás, por R$ 61,60. Três dias depois, o


FÍSICA

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FÍSICAMATEMÁTICA

Gabriel Cramer nasceu em Genebra, Suíça, em 31 de julho de 1704. Com 18 anos, obteve o grau de doutor na Universidade de Genebra e, em 1724, tornou-se professor de Matemática dessa universidade.

Em 1750, publicou a sua principal obra, Introduction à l’analyse des lignes courbes algébraique, em que estudou os sistemas de equações lineares e formulou o seu famoso teorema, que originou a Regra de Cramer, segundo a qual “o valor de cada incógnita se obtém dividindo o determinante da incógnita pelo determinante do sistema”.

a

LatinStock/Photoresearchers

Discussão de um sistema linear

por meio da Regra de Cramer

1. (UFRGS – RS) Para p e q constantes reais, conside-re as seguintes afirmações a respeito do sistema

x + y = 1 px + qy = pq

I. Se p q, o sistema tem solução única.

II. Se p = q = 1, o sistema não tem solução.

III. Se p = q = 0, o sistema tem uma infinidade de soluções.

Quais são verdadeiras?

a) Apenas I. b) Apenas I e II.

c) Apenas I e III. d) Apenas II e III.

e) I, II e III

2. O valor de h para que o sistema

2x – y + 3z = 0x + 2y – z = 0x + hy – 6z = 0

tenha a solução não nula é:

a) 5 b) 6 c) 7 d) 8

3. (UFRR) O sistema de equações lineares

x + y + z = 0kx + 2y + 2z = 02x + 3y + kz = 0

será:

Na unidade anterior, foi trabalhada a discussão de um sistema linear por meio do escalonamento. Agora, essa discussão será abordada pela Regra de Cramer.

21. Quais são as classificações para um sistema linear? Explique cada uma delas:

Discutir um sistema linear é classificá-lo como sendo SPD, SPI e SI, de acordo com alguns parâmetros. Na dis-

cussão de um sistema, não há preocupação em determinar o conjunto-solução (quando existir), mas descobrir sob que condições as incógnitas são válidas ou não.

Como já foi observado, pela Regra de Cramer, para um sistema nas incógnitas x e y, tem-se que:

xD

De y

D

Dx y

22. Escreva qual a condição de existência de x e y:

23. Agora, discuta este sistema linear:

2x + 1y = a6x + by = 9

mesmo automóvel foi abastecido com 15 litros de álcool, 10 litros de gasolina e 2 metros cúbicos de gás, por R$ 55,65. Uma semana depois, o au-tomóvel foi abastecido com 12 litros de álcool, 13 litros de gasolina e 3 metros cúbicos de gás, por R$ 59,90. Considerando que o preço dos combustíveis não aumentou nesse período, é correto afirmar que o litro do álcool, o litro da

gasolina e o metro cúbico do gás custaram, res-pectivamente:

a) R$ 1,75, R$ 2,60 e R$ 1,70.

b) R$ 1,70, R$ 2,80 e R$ 1,75.

c) R$ 1,85, R$ 2,80 e R$ 1,87.

d) R$ 1,85, R$ 2,80 e R$ 1,20.

e) R$ 1,84, R$ 2,65 e R$ 1,15.


1. Qual é o valor do determinante da matriz:

1 1 1

2 3 -4

4 9 16

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

2. (CEFET – PI) Dada uma matriz A = a b

c d

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ , cujos

números a, b, c, d, nessa ordem, estão em pro-gressão geométrica, podemos corretamente afir-mar:

a) A matriz tem determinante nulo apenas quan-do a razão da progressão está entre zero e um.

b) A matriz tem determinante nulo para qual-quer valor da razão da progressão.

c) A matriz tem determinante nulo apenas se a razão da progressão é maior que 1.

d) A matriz tem determinante sempre positivo.

e) A matriz tem determinante sempre negativo.

3. A senha de um cartão eletrônico é formado por quatro algarismos (a, b, c, d), podendo corres-ponder a qualquer valor de 0 a 9. Com esses números, forma-se, ordenadamente, a matriz

A = a b

c d

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ . Uma pessoa resolve criar uma se-

nha em que os números (a, b, c, d) formam, nes-sa ordem, uma P.A. de razão 2. O determinante de A é:

4. (FFFCMPA – RS) Dadas as matrizes

A =

-1 0 3

0 9 1

3 0 -9

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

e B =

5

2

0

−⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟,

considere as seguintes afirmativas:

I. Det A 0.

II. A matriz A é invertível.

III. Existe o produto AB.

IV. Não existe a soma A + 3B.

Assinale a alternativa correta:

a) Apenas I é verdadeira.

b) Apenas III é verdadeira.

c) Apenas II e III são verdadeiras.

d) Apenas III e IV são verdadeiras.

e) Apenas I e IV são verdadeiras

5. (UFS – SE) Considere as matrizes A = −⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

1 2

0 1,

B = 1 0

2 1−⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ e C =

a b

c d

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ , com a, b, c, d reais,

para analisar as afirmações a seguir:

(0)A + B = 0 2

2 0

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

a) possível e indeterminado somente para k = 3.

b) impossível para k 2 ou k 3.

c) possível e indeterminado somente para k = 2.

d) possível e indeterminado para k = 2 ou k = 3.

e) impossível para k = 2 ou k = 3.

4. Discuta o sistema a seguir

ax + 3y = 42x + y = 0

em que a e b são números reais:

5. (UNIR – RO) Considere o sistema de equações lineares a seguir:

4x – 6y – 2z = 0 –3x + 2y + z = 0 –2x + 3y – az = 0

Qual deve ser o valor de “a” para que o sistema tenha infinitas soluções?

a) –2 b) 0 c) 1 d) –1 e) 2


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FÍSICAMATEMÁTICA

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(1) Se A – B

2 = C, então ba = 2

(2) Se At é a matriz transposta de A, então

det At = –1

(3) Se C é a matriz inversa de B, então a . d = 1

(4) Se A . C = B, então C = 3 2

2 1

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

6. (UFSC) Assinale a(s) proposição(ões) correta(s): (01) O elemento a64 da matriz A = (aij) de ordem

8, onde aij = (–1)i + j. 2i

j, é 3.

(02) O triângulo ABC, cujas coordenadas dos vértices são A (0, 0), B (0, 2) e C (10, 20), tem 20 unidades de área.

(04) Para duas matrizes A e B de mesma ordem, vale sempre: (A . B)t = At . Bt

(08) A matriz inversa da matriz A = 1 2

5 1

é a matriz A–1 = 1

1

21

51

(16) O elemento b23 da matriz B = At, onde A = (aij)3x2, e aij = 2i + j, é 8

7. (UDESC) Sendo x1 e x2 raízes da equação

det2 1

7 4

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ x2 + det

4 1

12 0

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ x + det

4 1

5 10

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ = 0

f(x) = det

x

x

x

0 1

1 1

1 1

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

, o valor numérico de

f (x1) – f (x2 ) é:

a) 2 b) 4

c) 7 d) 6

e) 5

8. (UFPE) O sistema:x – y – z = 12x + y + 3z = 6mx + y + 5z = 13

é possível e determinado quando:

a) m = 3 b) m 2

c) m = 4 d) m 5

e) m = 5

9. (UFGD – MS) Um sistema de equações lineares dado por

x + y = 0x – z = 0y + mz = 0

será indeterminado, isto é, apresentará mais de uma solução, além da solução nula, para:

a) qualquer valor de m.

b) m = 1.c) m = –1.

d) m = 0.

e) nenhum valor de m.

10. (UFMG) Dado um sistema linear de três equa-ções nas três variáveis x, y, z,

a1x + b1y + c1z = d1

a2x + b2y + c2z = d2

a3x + b3y + c3z = d3

associam-se a ele os seguintes determinantes:

Δ =⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

a b c

a b c

a b c

1 1 1

2 2 2

3 3 3

Δ =⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

x

d b c

d b c

d b c

1 1 1

2 2 2

3 3 3

Δ =⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

y

a d c

a d c

a d c

1 1 1

2 2 2

3 3 3

Δ =⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

z

a b d

a b d

a b d

1 1 1

2 2 2

3 3 3

Considere o sistema linear de três equações nas três variáveis x, y, z em que m e n são números reais:

x + y X z = 12x + my + 2z = 24x + ny + (m+2)z = 3

a) Responda quais são todos os possíveis valores de m e n que anulam o determinante asso-ciado a este sistema. Verifique que, para esses valores, os outros três determinantes associados são nulos, ou seja,

x = 0, y = 0 e z = 0.

b) Entre todos os possíveis valores de m e n para os quais = 0, x = 0, y = 0 e z = 0, deter-mine aqueles que tornam o sistema impossí-vel.



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