Sistemas lineares - .Sistemas lineares Aula 4 –Respostas de um SLIT. Cronograma Introdução Características

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Sistemas linearesAula 4 Respostas de um SLIT

Cronograma

Introduo

Caractersticas de um SLIT

Resposta ao degrau unitrio

Resposta a entrada nula

Resposta total

Introduo

A convoluo entre dois sinais de tempo contnuo () e () dada pela integral:

= =

()() ()

Introduo

Propriedades:

Comutativa:

= ()

Associativa: 1 2 = {1 2 }

Distributiva:

1 + 2 = 1 + 2()

Deslocamento:

= = ( )

Elemento Neutro:

= ()

Introduo

Causalidade:

Se () e () so sinais causais, ento () () tambm ser causal

Largura:

Caractersticas de um SLIT

Em relao memria:

Sem memria:

A sada () s depende da entrada () em tempo corrente:

= =

Com memria:

A sada () depende de entradas ou sadas em tempos diferentes do corrente:

0 0, 0 0

Causalidade

= , <

= =

Caractersticas de um SLIT

Estabilidade:

Um SLIT considerado estvel (BIBO) se sua resposta impulsiva

for integrvel em mdulo

= =

| || |

Considerando uma entrada limitada | | <

| |

. | | =

| |

Logo, para estabilidade BIBO

<

Resposta ao degrau unitrio

Resposta ao degrau unitrio: ()

Caracteriza como o sistema responde a mudanas repentinas

na entrada.

Expressada considerando = () e aplicando a convoluo:

= =

Analogamente, podemos expressar em funo de ():

=

()

Resposta ao degrau unitrio

Exemplo:

Encontre a resposta ao degrau unitrio do circuito RC que tem

a resposta ao impulso:

=1

/ . ()

Resoluo:

=

1

/ . =

0

1

/

= 0 , 0

1 / , > 0

Funo prpria de um sistema

Recordando:

() ser uma funo prpria (autofuno) de um sitemacaracterizado pela transformao linear se:

() = . ()

A transformao linear da funo resulta na prpria

funo

Neste caso, valor prprio (autovalor) associado funo prpria ()

Funo prpria de um SLIT

As sequncias Exponenciais Complexas so funes

prprias dos SLITs

. = . .

o valor prprio (autovalor) de associado funo prpria .

Equaes Diferenciais Lineares com

Coeficientes Constantes - EDLCC

Relembrando:

Equao diferencial geral que descreve um sistema:

()

+ 1

1()

1++ 1

+ ()

=

+ +1

1

1++ 1

+ ()

M e N podem assumir qualquer valor (na prtica deve-se ter M N)

Fazendo-se = /

+ 11 ++ 1 + =

+ +11 ++ 1 +

= ()

Resposta a entrada nula

() = 0

Logo,

= = 0

+ 11 ++ 1 + = 0

Soluo:

0 = .

Resposta a entrada nula

Substituindo () = 0():

0 =

20 = 2

30 = 3

0 =

Logo,

+ 11 ++ 1 + = 0

+ 11 ++ 1 +

= 0 + 1

1 ++ 1 + = 0

= 0Polinmio Caracterstico do SLIT

Resposta a entrada nula

Com N razes distintas:

= 0

1 2 = 0

Da,

0 = 1. 1 + 2.

2 ++ .

Resposta a entrada nula

chamado de polinmio caracterstico do sistema, e no depende da entrada ();

A equao = chamada de equao caracterstica;

As razes , , , so chamadas de razes caractersticas do sistema. Tambm chamados de valores caractersticos, autovalores

e frequncias naturais;

Resposta a entrada nula

As exponenciais , , , so chamadas de modos caractersticos. Tambm chamados de modos naturais;

Todo comportamento de um sistema ditado principalmente

pelos modos caractersticos;

Modos caractersticos so etapa determinante da resposta ao

estado nulo;

A resposta de entrada nula a combinao linear dos modos

caractersticos do sistema;

Resposta a entrada nula

Exemplo:

Seja um sistema linear invariante no tempo contnuo descrito

pela EDLCC abaixo. Determine o polinmio caracterstico, as

razes e os modos caractersticos do sistema. Determine tambm

a resposta de entrada nula quando 0 0 = 2 e 0 0

= 1.

2()

2+ 5

()

+ 6() =

+ ()

Resposta a entrada nula

Exemplo:

Soluo:

Considerando = /: 2 + 5 + 6 = + 1 =

Polinmio caracterstico: = 2 + 5 + 6

Solucionando a equao caracterstica = 0, encontram-se as razes caractersticas:

1 = 2 , 2 = 3

Desta forma, os modos caractersticos so: 2 e 3

A resposta a entrada nula : 0 = 12 + 2

3

Resposta a entrada nula

Exemplo:

Soluo:

A resposta a entrada nula : 0 = 12 + 2

3 e0()

= 21

2 323

Considerando os valores iniciais:

0 0 = 2 = 12.0 + 2

3.0

0(0)

= 1 = 21

2.0 323.0

Solucionando este sistema de equaes, temos: 1 = 5 e 2 = 3

Portanto,

0 = 52 33

Resposta Total

A resposta completa de um SLIT :

= +

=

=1

+ ()

Considerando razes distintas. Caso o sistema avaliado possua razes

repetidas, deve-se modificar a equao acima;

Resposta total

Para determinar a resposta ao impulso de um sistema descrito por uma

EDLCC, pode-se utilizar da relao:

= 0 + , 0 = 0 <

Onde () a combinao linear dos modos caractersticos e sujeitos s condies iniciais:

0 =(0)

=

2(0)

2= =

2 0

2= 0 e

1 0

1= 1

Resposta total

Exemplo:

Seja um SLIT descrito por sua EDLCC abaixo. Determine a resposta ao

impulso quando 0 0 = 0 e 0(0)

= 1.

2()

2+ 3

()

+ 2() =

Soluo:

2 + 3 + 2 = 01 = 1 , 2 = 2

= 1 + 2

2

()

= 1

222

Resposta total

Soluo:

Aplicando condies inicias nulas:

0 = 0 = 10 + 2

0

(0)

= 1 = 1

0 220

Logo, 1 = 1 , 2 = 1

Ento,

= 2

Para determinar a resposta ao impulso:

= 0 + = 0 + ( 2)

= 22 ()

Bibliografia

LATHI, B. P. Sinais e sistemas lineares. 2. Ed. Porto Alegre: Bookman, 2007.

856 p. ISBN 9788560031139

HAYKIN, Simon S. Sinais e sistemas. Porto Alegre: Bookman, 2001. 668 p.