Sistemas linearesAula 4 – Respostas de um SLIT

Cronograma

Introdução

Características de um SLIT

Resposta ao degrau unitário

Resposta a entrada nula

Resposta total

Introdução

A convolução entre dois sinais de tempo contínuo 𝑥(𝑡) e ℎ(𝑡) é

dada pela integral:

𝑦 𝑡 = 𝑥 𝑡 ∗ ℎ 𝑡 = −∞

∞

𝑥 𝜏 ℎ 𝑡 − 𝜏 𝑑𝜏

ℎ(𝑡)𝑥(𝑡) 𝑦(𝑡)

Introdução

Propriedades:

Comutativa:

ℎ 𝑡 ∗ 𝑥 𝑡 = 𝑥 𝑡 ∗ ℎ(𝑡)

Associativa:𝑥 𝑡 ∗ ℎ1 𝑡 ∗ ℎ2 𝑡 = 𝑥 𝑡 ∗ {ℎ1 𝑡 ∗ ℎ2 𝑡 }

Distributiva:

𝑥 𝑡 ∗ ℎ1 𝑡 + ℎ2 𝑡 = 𝑥 𝑡 ∗ ℎ1 𝑡 + 𝑥 𝑡 ∗ ℎ2(𝑡)

Deslocamento:

𝑦 𝑡 = 𝑥 𝑡 ∗ ℎ 𝑡𝑥 𝑡 ∗ ℎ 𝑡 − 𝑇 = 𝑦(𝑡 − 𝑇)

Elemento Neutro:

𝑥 𝑡 ∗ 𝛿 𝑡 = 𝑥(𝑡)

Introdução

Causalidade:

Se 𝑥(𝑡) e ℎ(𝑡) são sinais causais, então 𝑥(𝑡) ∗ ℎ(𝑡) também será

causal

Largura:

Características de um SLIT

Em relação à memória:

Sem memória:

A saída 𝑦(𝑡) só depende da entrada 𝑥(𝑡) em tempo corrente:

𝑦 𝑡 = 𝐾𝑥 𝑡ℎ 𝑡 = 𝐾𝛿 𝑡

Com memória:

A saída 𝑦(𝑡) depende de entradas ou saídas em tempos diferentes

do corrente:

ℎ 𝑡0 ≠ 0, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡0 ≠ 0

Causalidade

𝒉 𝒕 = 𝟎, 𝒕 < 𝟎

𝑦 𝑡 = ℎ 𝑡 ∗ 𝑥 𝑡 = 𝟎

∞

ℎ 𝜏 𝑥 𝑡 − 𝜏 𝑑𝜏

Características de um SLIT

Estabilidade:

Um SLIT é considerado estável (BIBO) se sua resposta impulsiva

for integrável em módulo

𝑦 𝑡 = ℎ 𝑡 ∗ 𝑥 𝑡 = −∞

∞

ℎ 𝜏 𝑥 𝑡 − 𝜏 𝑑𝜏

𝑦 𝑡 ≤ −∞

∞

|ℎ 𝜏 ||𝑥 𝑡 − 𝜏 |𝑑𝜏

Considerando uma entrada limitada |𝑥 𝑡 − 𝜏 | ≤ 𝐾 < ∞

|𝑦 𝑡 | ≤ −∞

∞

𝐾. |ℎ 𝜏 |𝑑𝜏 = 𝐾 −∞

∞

|ℎ 𝜏 |𝑑𝜏

Logo, para estabilidade BIBO

−∞

∞

ℎ 𝜏 𝑑𝜏 < ∞

Resposta ao degrau unitário

Resposta ao degrau unitário: 𝒔(𝒕)

Caracteriza como o sistema responde a mudanças repentinas

na entrada.

Expressada considerando 𝑥 𝑡 = 𝑢(𝑡) e aplicando a convolução:

𝑦 𝑡 = ℎ 𝑡 ∗ 𝑢 𝑡 = −∞

𝑡

ℎ 𝜏 𝑑𝜏

Analogamente, podemos expressar 𝒉 𝒕 em função de 𝒔(𝒕):

𝒉 𝒕 =𝒅

𝒅𝒕𝒔(𝒕)

Resposta ao degrau unitário

Exemplo:

Encontre a resposta ao degrau unitário do circuito RC que tem

a resposta ao impulso:

ℎ 𝑡 =1

𝑅𝐶𝑒−𝑡/𝑅𝐶 . 𝑢(𝑡)

Resolução:

𝑠 𝑡 = −∞

𝑡 1

𝑅𝐶𝑒−𝜏/𝑅𝐶 . 𝑢 𝜏 𝑑𝜏 =

0

𝑡 1

𝑅𝐶𝑒−𝜏/𝑅𝐶𝑑𝜏

𝑠 𝑡 = 0 , 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡 ≤ 0

1 − 𝑒−𝑡/𝑅𝐶 , 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡 > 0

Função própria de um sistema

Recordando:

𝒑(𝒕) será uma função própria (autofunção) de um sitema

caracterizado pela transformação linear 𝐓 ∙ se:

𝐓 𝒑(𝒕) = 𝑷. 𝒑(𝒕)

A transformação linear da função resulta na própria

função

Neste caso, 𝑷 é valor próprio (autovalor) associado à

função própria 𝒑(𝒕)

Função própria de um SLIT

As sequências Exponenciais Complexas são funções

próprias dos SLIT’s

𝐓 𝒆𝒔.𝒕 = 𝝀. 𝒆𝒔.𝒕

𝝀 é o valor próprio (autovalor) de 𝐓 associado à função

própria 𝒆𝒔.𝒕

Equações Diferenciais Lineares com

Coeficientes Constantes - EDLCC

Relembrando:

Equação diferencial geral que descreve um sistema:

𝑑𝑁𝑦(𝑡)

𝑑𝑡𝑁+ 𝑎1

𝑑𝑁−1𝑦(𝑡)

𝑑𝑡𝑁−1+⋯+ 𝑎𝑁−1

𝑑𝑦 𝑡

𝑑𝑡+ 𝑎𝑁𝑦(𝑡)

= 𝑏𝑁−𝑀

𝑑𝑀𝑥 𝑡

𝑑𝑡𝑀+ 𝑏𝑁−𝑀+1

𝑑𝑀−1𝑥 𝑡

𝑑𝑡𝑀−1+⋯+ 𝑏𝑁−1

𝑑𝑥 𝑡

𝑑𝑡+ 𝑏𝑁𝑥(𝑡)

M e N podem assumir qualquer valor (na prática deve-se ter M ≤ N)

Fazendo-se 𝐷 = 𝑑/𝑑𝑡

𝐷𝑁 + 𝑎1𝐷𝑁−1 +⋯+ 𝑎𝑁−1𝐷 + 𝑎𝑁 𝑦 𝑡 = 𝑏𝑁−𝑀𝐷

𝑀 + 𝑏𝑁−𝑀+1𝐷𝑀−1 +⋯+ 𝑏𝑁−1𝐷 + 𝑏𝑁 𝑥 𝑡

𝑄 𝐷 𝑦 𝑡 = 𝑃 𝐷 𝑥(𝑡)

Resposta a entrada nula

𝑥(𝑡) = 0

Logo,

𝑄 𝐷 𝑦 𝑡 = 𝑃 𝐷 𝑥 𝑡 = 0

𝐷𝑁 + 𝑎1𝐷𝑁−1 +⋯+ 𝑎𝑁−1𝐷 + 𝑎𝑁 𝑦 𝑡 = 0

Solução:

𝑦0 𝑡 = 𝑐. 𝑒𝜆𝑡

Resposta a entrada nula

Substituindo 𝑦(𝑡) = 𝑦0(𝑡):

𝐷𝑦0 𝑡 = 𝑐𝜆𝑒𝜆𝑡

𝐷2𝑦0 𝑡 = 𝑐𝜆2𝑒𝜆𝑡

𝐷3𝑦0 𝑡 = 𝑐𝜆3𝑒𝜆𝑡

⋮

𝐷𝑁𝑦0 𝑡 = 𝑐𝜆𝑁𝑒𝜆𝑡

Logo,

𝐷𝑁 + 𝑎1𝐷𝑁−1 +⋯+ 𝑎𝑁−1𝐷 + 𝑎𝑁 𝑦 𝑡 = 0

𝑐 𝜆𝑁 + 𝑎1𝜆𝑁−1 +⋯+ 𝑎𝑁−1𝜆 + 𝑎𝑁 𝑒𝜆𝑡 = 0

𝜆𝑁 + 𝑎1𝜆𝑁−1 +⋯+ 𝑎𝑁−1𝜆 + 𝑎𝑁 = 0

𝑄 𝜆 = 0Polinômio Característico do SLIT

Resposta a entrada nula

Com N raízes distintas:

𝑄 𝜆 = 0

𝜆 − 𝜆1 𝜆 − 𝜆2 … 𝜆 − 𝜆𝑁 = 0

Daí,

𝑦0 𝑡 = 𝑐1. 𝑒𝜆1𝑡 + 𝑐2. 𝑒

𝜆2𝑡 +⋯+ 𝑐𝑁. 𝑒𝜆𝑁𝑡

Resposta a entrada nula

𝑸 𝝀 é chamado de polinômio característico do sistema, e não

depende da entrada 𝒙(𝒕);

A equação 𝑸 𝝀 = 𝟎 é chamada de equação característica;

As raízes 𝝀𝟏, 𝝀𝟐, … , 𝝀𝑵 são chamadas de raízes características do

sistema. Também chamados de valores característicos, autovalores

e frequências naturais;

Resposta a entrada nula

As exponenciais 𝒆𝝀𝟏𝒕, 𝒆𝝀𝟐𝒕, … , 𝒆𝝀𝑵𝒕 são chamadas de modos

característicos. Também chamados de modos naturais;

Todo comportamento de um sistema é ditado principalmente

pelos modos característicos;

Modos característicos são etapa determinante da resposta ao

estado nulo;

A resposta de entrada nula é a combinação linear dos modos

característicos do sistema;

Resposta a entrada nula

Exemplo:

Seja um sistema linear invariante no tempo contínuo descrito

pela EDLCC abaixo. Determine o polinômio característico, as

raízes e os modos característicos do sistema. Determine também

a resposta de entrada nula quando 𝑦0 0 = 2 e 𝑑𝑦0 0

𝑑𝑡= −1.

𝑑2𝑦(𝑡)

𝑑𝑡2+ 5

𝑑𝑦(𝑡)

𝑑𝑡+ 6𝑦(𝑡) =

𝑑𝑥 𝑡

𝑑𝑡+ 𝑥(𝑡)

Resposta a entrada nula

Exemplo:

Solução:

Considerando 𝐷 = 𝑑/𝑑𝑡: 𝐷2 + 5𝐷 + 6 𝑦 𝑡 = 𝐷 + 1 𝑥 𝑡𝑄 𝐷 𝑦 𝑡 = 𝑃 𝐷 𝑥 𝑡

Polinômio característico: 𝑄 𝜆 = 𝜆2 + 5𝜆 + 6

Solucionando a equação característica 𝑄 𝜆 = 0, encontram-se as raízes

características:

𝜆1 = −2 , 𝜆2 = −3

Desta forma, os modos característicos são: 𝑒−2𝑡 e 𝑒−3𝑡

A resposta a entrada nula é: 𝑦0 𝑡 = 𝑐1𝑒−2𝑡 + 𝑐2𝑒

−3𝑡

Resposta a entrada nula

Exemplo:

Solução:

A resposta a entrada nula é: 𝑦0 𝑡 = 𝑐1𝑒−2𝑡 + 𝑐2𝑒

−3𝑡 e𝑑𝑦0(𝑡)

𝑑𝑡= −2𝑐1𝑒

−2𝑡 − 3𝑐2𝑒−3𝑡

Considerando os valores iniciais:

𝑦0 0 = 2 = 𝑐1𝑒−2.0 + 𝑐2𝑒

−3.0

𝑑𝑦0(0)

𝑑𝑡= −1 = −2𝑐1𝑒

−2.0 − 3𝑐2𝑒−3.0

Solucionando este sistema de equações, temos: 𝑐1 = 5 e 𝑐2 = −3

Portanto,

𝑦0 𝑡 = 5𝑒−2𝑡 − 3𝑒−3𝑡

Resposta Total

A resposta completa de um SLIT é:

𝑅𝑒𝑠𝑝𝑜𝑠𝑡𝑎 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑜𝑠𝑡𝑎 𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑑𝑜 𝑛𝑢𝑙𝑜 + 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑜𝑠𝑡𝑎 𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 𝑛𝑢𝑙𝑎

𝑅𝑒𝑠𝑝𝑜𝑠𝑡𝑎 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 =

𝑘=1

𝑁

𝑐𝑘𝑒𝜆𝑘𝑡

𝑐𝑜𝑚𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 𝑛𝑢𝑙𝑎

+ 𝑥 𝑡 ∗ ℎ(𝑡)𝑐𝑜𝑚𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑑𝑜 𝑛𝑢𝑙𝑜

Considerando raízes distintas. Caso o sistema avaliado possua raízes

repetidas, deve-se modificar a equação acima;

Resposta total

Para determinar a resposta ao impulso de um sistema descrito por uma

EDLCC, pode-se utilizar da relação:

ℎ 𝑡 = 𝑏0𝛿 𝑡 + 𝑃 𝐷 𝑦𝑁 𝑡 𝑢 𝑡 , 𝑏0 = 0 𝑠𝑒 𝑀 < 𝑁

Onde 𝑦𝑁(𝑡) é a combinação linear dos modos característicos e sujeitos às

condições iniciais:

𝑦 0 =𝑑𝑦(0)

𝑑𝑡=

𝑑2𝑦(0)

𝑑𝑡2= ⋯ =

𝑑𝑁−2𝑦 0

𝑑𝑡𝑁−2 = 0 e 𝑑𝑁−1𝑦 0

𝑑𝑡𝑁−1 = 1

Resposta total

Exemplo:

Seja um SLIT descrito por sua EDLCC abaixo. Determine a resposta ao

impulso quando 𝑦0 0 = 0 e 𝑑𝑦0(0)

𝑑𝑡= 1.

𝑑2𝑦(𝑡)

𝑑𝑡2+ 3

𝑑𝑦(𝑡)

𝑑𝑡+ 2𝑦(𝑡) =

𝑑𝑥 𝑡

𝑑𝑡

Solução:

𝜆2 + 3𝜆 + 2 = 0𝜆1 = −1 , 𝜆2 = −2

𝑦𝑁 𝑡 = 𝑐1𝑒−𝑡 + 𝑐2𝑒

−2𝑡

𝑑𝑦𝑁(𝑡)

𝑑𝑡= −𝑐1𝑒

−𝑡 − 2𝑐2𝑒−2𝑡

Resposta total

Solução:

Aplicando condições inicias nulas:

𝑦𝑁 0 = 0 = 𝑐1𝑒0 + 𝑐2𝑒

0

𝑑𝑦𝑁(0)

𝑑𝑡= 1 = −𝑐1𝑒

0 − 2𝑐2𝑒0

Logo, 𝑐1 = 1 , 𝑐2 = −1

Então,

𝑦𝑁 𝑡 = 𝑒−𝑡 − 𝑒−2𝑡

Para determinar a resposta ao impulso:

ℎ 𝑡 = 𝑏0𝛿 𝑡 + 𝑃 𝐷 𝑦𝑁 𝑡 𝑢 𝑡ℎ 𝑡 = 0𝛿 𝑡 + 𝐷(𝑒−𝑡 − 𝑒−2𝑡) 𝑢 𝑡

ℎ 𝑡 = 2𝑒−2𝑡 − 𝑒−𝑡 𝑢(𝑡)

Bibliografia

LATHI, B. P. Sinais e sistemas lineares. 2. Ed. Porto Alegre: Bookman, 2007.

856 p. ISBN 9788560031139

HAYKIN, Simon S. Sinais e sistemas. Porto Alegre: Bookman, 2001. 668 p.