UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIACENTRO DE CIÊNCIAS NATURIAS E EXATAS

MATEMÁTICA LICENCIATURA

SISTEMAS MATRICIAIS DE SEGUNDAORDEM UTILIZANDO TRANSFORMADA DE

LAPLACE

TRABALHO DE GRADUAÇÃO

Diane Goulart Pronobi Correa

Santa Maria, RS, Brasil

2015

SISTEMAS MATRICIAIS DE SEGUNDA ORDEMUTILIZANDO TRANSFORMADA DE LAPLACE

Diane Goulart Pronobi Correa

Trabalho de Graduação apresentado ao Curso de Matemática Licenciatura daUniversidade Federal de Santa Maria (UFSM, RS), como requisito parcial para

a obtenção do grau deLicenciada em Matemática

Orientadora: Professor Dr. Antonio Carlos Lyrio Bidel

Santa Maria, RS, Brasil

2015

Universidade Federal de Santa MariaCentro de Ciências Naturias e Exatas

Matemática Licenciatura

A Comissão Examinadora, abaixo assinada,aprova o Trabalho de Graduação

SISTEMAS MATRICIAIS DE SEGUNDA ORDEM UTILIZANDOTRANSFORMADA DE LAPLACE

elaborado porDiane Goulart Pronobi Correa

como requisito parcial para obtenção do grau deLicenciada em Matemática

COMISSÃO EXAMINADORA:

Antonio Carlos Lyrio Bidel, Dr.(Presidente/Orientadora)

Rosemaira Dalcin Copetti, Dra. (CCNE-UFSM)

Sandra Eliza Vielmo, Dra. (CCNE-UFSM)

Santa Maria, 02 de Dezembro de 2015.

AGRADECIMENTOS

Ao término desta importante fase da vida, há a necessidade de reconhecer, em um âm-bito agradecimento, àquelas pessoas que auxiliaram a construção desta pesquisa, ou seja, aosque ajudaram de algum modo a realização deste Trabalho de Conclusão de Curso. Ao professororientador Dr. Antonio Carlos Lyrio Bidel, por sua compreensão, auxilio pedagógico, e prin-cipalmente por sua amizade, nos momentos em que pensava em não conseguir o seu apoio epalavras de incentivo. Aos meus familiares, principalmente aos meus pais que me deram forçapara continuar o meu projeto, em particular a minha mãe Marli Goulart Pronobi, que tanto meescutou em todos os momentos do desenvolvimento deste trabalho, me dando força através deseu colo aconchegante e incentivando com suas palavras para não desistir. Não esquecendo emmemoria de Zeni Goulart Pronobi, que mesmo estando com Deus, sabia do quanto isso foi im-portante em minha vida e quando ainda estava presente entre nós, tinha o seu amor e carinho, noqual aguardava a neta formada. E, finalmente à Deus que sempre me abençoou com o EspíritoSanto para a construção do meu conhecimento, sendo meu porto seguro nas horas mais dificeisem minha vida.

RESUMO

Trabalho de GraduaçãoMatemática Licenciatura

Universidade Federal de Santa Maria

SISTEMAS MATRICIAIS DE SEGUNDA ORDEM UTILIZANDO TRANSFORMADADE LAPLACE

AUTOR: DIANE GOULART PRONOBI CORREAORIENTADORA: ANTONIO CARLOS LYRIO BIDEL

Local da Defesa e Data: Santa Maria, 02 de Dezembro de 2015.

Este trabalho tem por objetivo realizar o estudo da Transformada de Laplace para poste-rior aplicação na obtenção de respostas forçadas de Sistemas Matricias de Segunda Ordem comcondições iniciais dadas. Para tal serão apresentados e provados alguns resultados relevantesque serão utilizados durante o trabalho. São obtidas as respostas para um sistema rotor comquatro graus de liberdade sob ação da força devida ao seu desbalanço considerando condiçõesiniciais e parâmetros físicos dados. São apresentados os gráficos das componentes da respostaforçada obtidas utilizando do software Maple.

Palavras-chave: Sistemas Matriciais. Transformada de Laplace. simulação.

ABSTRACT

Undergraduate Final WorkGraduate Program in MathematicsFederal University of Santa Maria

SECOND ORDER MATRICIAL SYSTEMS USING LAPLACE TRANSFORMSAUTHOR: DIANE GOULART PRONOBI CORREA

ADVISOR: ANTONIO CARLOS LYRIO BIDELDefense Place and Date: Santa Maria, December 02th, 2015.

This work has as objective to the study of Laplace Transform for future applicationin the obtaining of forced responses of Second Order Matricials with initial conditions. Inorder to get such responses, some relevant results utilized during the work development will bepresented and proved. The responses of a rotor system with 4 degrees of freedom are obtainedunder the action of the force due to it’s umbalance considering given initial conditions andphysical parameters. The graphics from the forced responses components obtained using theMaple Software.

Keywords: System ,Laplace Transform, simulations.

LISTA DE FIGURAS

2.1 Função contínua por partes Fonte: Zill 2005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.2 Função de ordem exponencial Fonte: Zill 2005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124.1 Rotor Fonte: BIDEL, 2003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244.2 Componentes da Resposta do Rotor para Deslocamento e Velocidade Nulos

Fonte: Autora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274.3 Componentes da Resposta do Rotor para Deslocamento Não Nulo e Velo-

cidade Nula Fonte: Autora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284.4 Componentes da Resposta do Rotor para Deslocamento Nulo e Velocidade

Não Nula Fonte: Autora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294.5 Componentes da Resposta do Rotor para Deslocamento e Velocidade não

nulos Fonte: Autora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

SUMÁRIO

1 INTRODUÇÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 A TRANSFORMADA DE LAPLACE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.1 A Transformada Inversa de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.2 Alguns Resultados Relevantes sobre a Transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 UMA APLICAÇÃO DA TRANSFORMADA DE LAPLACE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224 SIMULAÇÕES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245 CONSIDERAÇÕES FINAIS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316 REFERÊNCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

9

1 INTRODUÇÃO

Este Trabalho tem como objetivo utilizar a Transformada de Laplace, definição e re-

sultados releventes, para obter a resposta de Sistemas Matriciais de 2a ordem considerando-se

diferentes condições iniciais dadas. Tais Sistemas Matriciais modelam fenômemos tratados em

diversas áreas conhecimento tais como engenharias e na matemática aplicada, mais especifi-

camente, no estudo de vibrações mecânicas posto que todo corpo vibra, como exemplo, car-

ros, motos, pontes, aviões, dentre outros (ZILL, 2005),(BOYCE e DIPRIMA 2010),(INMAN,

1994), (BIDEL, 2003).

Neste contexto,o problema principal a ser tratado, utilizando a Transformada de La-

place, também conhecido na literatura como método operacional, será obter a resposta para um

Sistema Matricial de 2a ordem que modela um sistema rotor sujeito a ação da força ocasionada

pelo desbalanço e considerando condições iniciais dadas. Suas equações de movimento, obtidas

da Segunda Lei de Newton, da Lei de Hooke e com amortecimento viscoso são dadas por

MX(t) + (C + G) X(t) + KX(t) = f(t)X(t0) = X0

X(t0) = X0

(1.1)

onde as matrizes M, C, G e K são quadradas de ordem n, conhecidas na literatura como ma-

trizes massa, amortecimento, giroscópica e rigidez, respectivamente. Além disso tem-se que

MT = M > 0, CT = C, KT = K e GT = −G, ou seja, a matriz M é simétrica e positiva defi-

nida, C e K são simétricas e G é anti simétrica. E, tem-se que f(t) a força aplicada no sistema

matricial, no qual X(t) são vetores bem como condições iniciais descritas por X(t0), X(t0),

(ZILL, 2005),(BOYCE e DIPRIMA 2010).

Na equação (1.1), o termo MX(t) representa as forças inerciais, (C + G) X(t) contem-

pla a ação das forças giroscópicas e de amortecimento viscoso e KX(t) as forças restauradoras.

Nos Capítulos 1 e 2 são apresentadas definições, propriedades e resultados relevantes

sobre a Transformada de Laplace, as quais servirão de base para a resolução do problema pro-

posto. Serão apresentadas as provas para alguns resultados.

Já no Capítulo 3 será obtida, utilizando alguns resultados da Transformada de Laplace,

a resposta para uma Sistema Matricial de 2a ordem sob ação de uma força externa e com con-

dições inicias dadas.

No decorrer do Capítulo 4, serão apresentados os resultados gráficos das simulações

para o problema definido pela equação (1.1). Tais simulações serão realizadas com o auxílio do

10

software Maple.

E, por fim no Capítulo 5, serão apresentadas as Considerações Finais.

11

2 A TRANSFORMADA DE LAPLACE

Neste capítulo serão apresentadas as definições, as principais propriedades bem como

os Teoremas relevantes acerca da Transformada de Laplace. Para os teoremas mais relevantes

serão apresentadas suas demonstrações. (ZILL, 2005),(BOYCE e DIPRIMA 2010)

A Transformada Integral de uma função f(t) é uma transformada do tipo

L {f (t)} =β∫α

k(s, t)f(t)dt (2.1)

onde k(s, t) é denominada núcleo da transformação. Para k(s, t) = e−st tem-se a Transformada

de Laplace.

Definição 2.1 Uma função f(t) é dita continua por partes em (0,∞) se, em qualquer intervalo

0 ≤ a ≤ t ≤ b, há apenas um número finito de descontinuidades e toda a descontinuidade é de

primeira espécie, ou seja, existem os limites laterais.

Um exemplo de função contínua por partes é apresentado na figura abaixo

Figura 2.1: Função contínua por partesFonte: Zill 2005

Definição 2.2 Dizemos que uma função é de ordem exponencial se existem números c > 0,

M > 0 e T > 0 tais que |f (t) | ≤Mect para todo t > T .

A figura (2.2) a seguir mostra geometricamente a ideia de uma função de ordem exponencial.

12

Figura 2.2: Função de ordem exponencialFonte: Zill 2005

Definição 2.3 Seja f(t) uma função definida por t ≥ 0 . Então a integral

L {f (t)} =∞∫0

e−stf(t)dt = limb−→∞

b∫0

e−stf(t)dt (2.2)

é denominada Transformada de Laplace de f(t) desde que a integral imprópria convirja, ou

seja, desde que exista o limite do lado direito da igualdade (2.2).

É usual denotar a Transformada de Laplace de uma função do tempo t com letras maiúscu-

las, como por exemplo, L {f (t)} = F (s), L {g (t)} = G (s) e L {y (t)} = Y (s) (ZILL,

2005),(BOYCE e DIPRIMA 2010).

O Teorema que segue fornece condições suficientes para garantir a existência da Trans-

formada de Laplace de uma função f(t) definida para todo t > 0.

Teorema 2.1 Seja f(t) uma função contínua por partes no intervalo [0,∞) e de ordem expo-

nencial para t > T então, sua transformada de Laplace existe ∀ s > c, onde c representa a

taxa do crescimento exponencial.

Prova:

L {f (t)} =∞∫0

e−stf (t) dt =

T∫0

e−stf (t) dt+

∞∫T

e−stf (t) dt = I1 + I2. (2.3)

A integral I1 existe pois e−stf (t) é um produto de funções contínua por partes sendo, portanto

contínua por partes. Usando o fato de f(t) ser de ordem exponencial e contínua por partes, a

13

integral

I2 =

∞∫T

e−stf (t) dt = limA−→∞

A∫T

e−stf (t) dt

em (2.3) pode ser majorada como segue

|I2| =∣∣∣∣ limA−→∞

A∫T

e−stf (t) dt

∣∣∣∣ = limA−→∞

∣∣∣∣A∫T

e−stf (t) dt

∣∣∣∣≤ lim

A−→∞

A∫T

|e−stf (t) |dt ≤ limA−→∞

A∫T

|e−st||f (t) |dt

≤M limA−→∞

A∫T

e−stectdt ≤M limA−→∞

∞∫A

e−(s−c)tdt =M limA−→∞

A∫T

e−(s−c)t

=−Ms− c

limA−→∞

[e−(s−c)A − e−(s−c)T

]=

M

s− ce−(s−c)T , s > c. (2.4)

Pois

limA−→∞

e−(s−c)A = 0

Para mais detalhes ver (ZILL, 2005),(BOYCE e DIPRIMA 2010).

A seguir é apresentado um exemplo do cálculo da Transformada de Laplace.

Exemplo 2.1

L {t} =∞∫0

e−sttdt (2.5)

Realizar a integração por partes e assumir o fato de que o limite da função quando t

tende a infinito, este limite é zero, quando. Daí segue que

L {t} = limt−→∞

−te−st

s+ lim

T−→∞

1

s

T∫0

e−stdt =1

sL {1} = 1

s

(1

s

)=

1

s2, s > 0 (2.6)

Observa-se que a Transformada de Laplace L {f(t)}, é uma Transformação Linear.

De fato: Sejam f(t) e g(t) funções definidas ∀ t > 0, contínuas por partes e de ordem exponen-

cial. Considere também α e β números reais.

14

Então

L {αf(t) + βg(t)} =∞∫0

e−st [αf (t) + βg (t)] dt

= α

∞∫0

e−stf (t) dt+ β

∞∫0

e−stg (t) dt = αL {f(t)}+ βL {g(t)} (2.7)

quando ambas as integrais convergem. Segue então que a Transformada de Laplace da combi-

nação linear de duas funções é a combinação linear das Transformadas de Laplace das funções.

A Transformada de Laplace de algumas funções básicas, obtidas pela definição, podem

ser encontradas em (ZILL, 2005),(BOYCE e DIPRIMA 2010).

2.1 A Transformada Inversa de Laplace

Até aqui o problema tratado foi o de encontrar a Transformada de Laplace de uma fun-

ção, isto é, transformar uma função f (t) definida no domínio tempo em outra função F (s) no

domínio s, por meio da integral dada pela equação (2.2), fato este, descrito simbolicamente por

L {f (t)} = F (s) .

De modo inverso, dada uma função F (s), é possível encontrar uma função f (t) cuja a

Transformada de Laplace seja F (s), desde que a Transformação Linear que caracteriza a Trans-

formada de Laplace seja inversível. Neste caso f (t) é a Transformada Inversa de Laplace de

F (s) e denota-se isto por

f (t) = L −1{F (s)} (2.8)

Algumas Transformadas inversas de Laplace são mostradas em (ZILL, 2003),(BOYCE

e DIPRIMA 2010).

A Transformada Inversa de Laplace é uma transformação linear, isto é, para constantes

α e β

L −1{αF (s) + βG (s)} = αL −1{F (s)}+ βL −1{G (s)}. (2.9)

De fato,

αf(t) + βg(t) = L −1{L {αf(t) + βg(t)}} =

= L −1{αL {f(t)}+ βL {g(t)}} = L −1{αF (s) + βG(s)} (2.10)

15

Por outro lado obtem-se,

αf(t) + βg(t) = αL −1{L {f(t)}}+ βL −1{L {g(t)}} = αL −1{F (s)}+ βL −1{G(s)}

Por comparação de (2.10) e (2.11) vem que,

L −1{αF (s) + βG (s)} = αL −1{F (s)}+ βL −1{G (s)} (2.11)

onde F (s) e G (s) são as Transformadas de Laplace de f (t) e g (t), respectivamente.

A Transformada Inversa de Laplace de uma função F (s) é única pois o PVI, Problema

de Valor Inicial, tem solção única. Segundo (ZILL, 2003), se f1 e f2 são contínuas por partes

em [0,∞) e de ordem exponencial então L {f1 (t)} = L {f2 (t)}.

Transformada Inversa de Laplace permite reescrever, no domínio tempo t, a solução do

problema algébrico no domínio s obtido pela aplicação da Transformada de Laplace.

2.2 Alguns Resultados Relevantes sobre a Transformada de Laplace

Nesta sessão serão apresentados uma sequência de resultados referentes a Transformada

de Laplace sendo que alguns deles serão utilizados na obtenção de respostas livres e forçadas

para o Problema de Valor Inicial de segunda ordem dado pela equação (3.1).

O primeiro deles apresenta o comportamento de F (s) quando s −→∞ (ZILL, 2005).

Teorema 2.2 Seja f (t) continua por partes em [0,∞) e de ordem exponencial para t > T

então

lims→∞

L −1{f (t)} = 0 (2.12)

Prova: Como f(t) é contínua por partes em 0 ≤ t ≤ T , ela é necessariamente limitada

neste intervalo. Assim|f(t)| ≤M1 =M1e

0t

|f(t)| ≤M2eγt (2.13)

para t > T . Se M = max {M1,M2} e c = max {0, γ}, então

|L {f(t)}| ≤∞∫0

e−st|f(t)|dt ≤M

∞∫0

e−stectdt = −Me−(s−c)t

s− c

∣∣∣∣∣∞

0

(2.14)

Como s > c, tem-se que s − c > 0 e, consequentemente, −(s − c) < 0, e−(s−c)t → 0 quando

t→∞, |L {f(t)}| ≤ M

s− ce |L {f(t)}| → 0 quando t→∞

16

O Teorema a seguir, conhecido na literatura como Primeiro Teorema da Translação

(ZILL, 2003), afirma que a multiplicação de uma função f(t) por uma exponencial no tempo

ocasiona uma translação na sua Transformada de Laplace.

Teorema 2.3 Se a é um número real , então

L {eatf(t)} = F (s− a) (2.15)

onde F (s) = L f(t)

Prova Segundo o teorema (2.3) temos:

L {eatf(t)} =∞∫0

e−steatf(t)dt =

∞∫0

e−(s−a)tf(t)dt = F (s− a) (2.16)

Definição 2.4 A Função de Grau unitário υ(t− a) é definida por

υ(t− a) ={

0 , 0 ≤ t < a1 , t ≥ a

Segundo (ZILL, 2005, define-se υ(t− a) somente t ≥ 0. Isso é suficiente para o estudo

da Transformada de Laplace. Em um sentido mais amplo, toma-se υ(t− a) = 0 para t < a.

Verifica-se que, quando F (s) é multiplicada por uma função exponencial apropriada, a

Transformada Inversa de Laplace desse produto é uma translação de função f(t). Esse resultado

é conhecido como Segundo Teorema de Translação e é apresentado a seguir.

Teorema 2.4 Se a for uma constante positiva, então

L {f(t− a)υ(t− a)} = e−asF (s)

em que, F (s) = L {f(t)} .

Prova: Das condições suficientes de existência dadas pelo Teorema (2.1), por definição tem-se

que

L {f(t−a)υ(t−a)} =∞∫0

e−stf(t−a)υ(t−a)dt =a∫

0

f(t−a)υ(t−a)dt+∞∫a

e−stf(t−a)υ(t−a)dt

Fazendo, w = t− a , dw = dt , tem-se que

L {f(t− a)υ(t− a)} =∞∫0

e−s(w+a)f(w)dw = e−as∞∫0

e−stf(w)dw = e−asL {f(t)} (2.17)

17

Aplicando-se a Transformada de Laplace Inversa a equação (2.17) obtém-se a forma inversa do

Segundo Teorema de Translação dada por

f(t− a)υ(t− a) = L −1{e−asF (s)} (2.18)

onde a > 0 e f(t) = L −1{F (s)}

O resultado que segue fornece uma maneira de calcular a Transformada de Laplace de

derivadas, bastante importante na obtenção das soluções de equações diferenciais escalares ou

matriciais para condições iniciais dadas.

Teorema 2.5 Para n = 1, 2, 3 · · ·

L {tnf(t)} = (−1)ndnF (s)

dsn(2.19)

em que, F (s) = L {f(t)} .

De fato, por indução matemática tem-se para n = 1

dF (s)

ds=

d

ds

∞∫0

e−stf(t)dt

=

∞∫0

d

ds

∞∫0

e−stf(t)dt

=

(2.20)

=

∞∫0

(−se−stf(t)

)dt =

∞∫0

e−st [−tf(t)dt] = L {−tf(t)dt} (2.21)

Para n = 2

d2

ds2=

d

ds

[dF (s)

ds

]=

d

ds

∞∫0

e−st[−tf(t)]

dt = ∞∫0

[−t dds

[e−stf(t)]]dt =

=

∞∫0

[−t(−t)e−stf(t)]dt∞∫0

[e−st[t2f(t)]]dt = L {t2f(t)}

(2.22)

Para n par, n = 2k, k = 1, 2, 3, · · ·

Assim temos que:

d2k

ds2k=

d

ds

∞∫0

e−st[(−t)2k−1f(t)]

dt ==

∞∫0

[(−t)2k−1 dds

[e−stf(t)]]dt =

∞∫0

[(−t)2k−1(−t)e−stf(t)]dt =

=

∞∫0

[e−st[t2kf(t)]]dt = L {t2kf(t)}

(2.23)

18

Para n ímpar, n = 2k + 1, k = 1, 2, 3, · · ·

Assim temos que:

d2k+1

ds2k+1=

d

ds

∞∫0

e−st[(−t)2kf(t)]

dt

=

∞∫0

[(−t)2k d

ds

[e−stf(t)

]]dt =

∞∫0

[(−t)2k(−t)e−stf(t)]dt =

=

∞∫0

[e−st[t2k+1f(t)]]dt = L {t2k+1f(t)}

(2.24)

De (2.23) e (2.24) tem-se que

L {tnf(t)} = (−t)ndnF (s)

dsn(2.25)

Tem-se como objetivo neste trabalho utilizar a Transformada de Laplace para resolver

um sistema matricias de 2a ordem. Para tal, precisamos calcular L {dydt} , L {d

2y

dt2} para t ≤ 0.

Supondo f ′(t) contínua por partes e de ordem exponencial, utilizando integração por

partes tem-se que

L {f ′(t)} =∞∫0

e−stf ′(t)dt = limt−→∞

e−stf(t)+s

∞∫0

e−stf(t)dt = −f(0)+sL {f(t)} = sF (s)−f(0)

(2.26)

Aqui está se supondo que e−stf(t) −→ 0 no qual o limite tende ao infinito, t −→ ∞,

quando a função for contínua por partes e de ordem exponencial em um intervalo de [0,∞).

Analogamente, supondo f”(t) contínua por partes e de ordem exponencial segue que

L {f”(t)} =∞∫0

e−stf”(t)dt = e−stf ′(t)|∞0 + s

∞∫0

e−stf ′(t)dt =

= −f ′(0) + sL {f ′(t)}dt = s[sF (s)− f(0)]− f ′(0) = s2F (s)− sf(0)− f ′(0)

L {f”(t)} = s2F (s)− sf(0)− f ′(0) s > 0.

(2.27)

19

Os resultados em (2.26 )e (2.27) são casos especiais do próximo Teorema, que fornece

a Transformada de Laplace da n-ésima derivada de f(t) (ZILL, 2005). Uma demonstração para

o referido Teorema pode ser encontrada em (BOYCE e DIPRIMA, 2010).

Teorema 2.6 Se f(t), f ′(t), · · · , f (n−1)(t) forem contínuas em [0,∞), de ordem exponencial,

e se fn(t) for continua por partes em [0,∞), então

L {fn(t)} = snF (s)− s(n−1)f(0)− s(n−2)f ′(0)− · · · − f (n−1)(0). (2.28)

onde, F (s) = L {f(t)} .

O Teorema apresentado a seguir, conhecido na literatura como Teorema da Convolução

(ZILL, 2005), é bastante utilizado para a inversão de um produto de transformadas as quais

aparecem na resolução de equações diferenciais escalares ou matriciais não homogêneos, ou

seja, que estão sob ação de uma força externa.

Teorema 2.7 Sejam f(t) e g(t) funções contínuas por partes em [0,∞) e de ordem exponencial

então

L {f(t) ∗ g(t)} = L {f(t)}L {g(t)} = F (s)G(s) (2.29)

Prova: Sejam

F (s) = L {f(t)} =∞∫0

e(−sτ)f(τ)dτ (2.30)

e

G(s) = L {g(t)} =∞∫0

e(−sβ)g(β)dβ (2.31)

procedendo formalmente, temos

F (s)G(s) =

(∞∫0

e(−sτ)f(τ)dτ

)(∞∫0

e(−sβ)f(β)dβ

)=∞∫0

f (τ)

[∞∫0

e−s(τ+β)g (β) dβ

]dτ

(2.32)

Fixando τ , fazendo t = τ + β , dt = dβ na (2.32) tem-se que

F (s)G(s) =

∞∫0

f(τ)dτ

∞∫t

e(−st)g(t− τ)dt. (2.33)

Como f e g são contínuas por partes em [0,∞) e de ordem exponencial, podemos in-

verter a ordem de integração.

20

F (s)G(s) =

∞∫0

e−stf(t)dt

∞∫0

f(τ)g(t−τ)dτ =

∞∫0

e(−st)

t∫

0

f(τ)g(t− τ)dτ

dt = L {f∗g}

(2.34)

ou seja,

L −1{F (s)G(s)} = f ∗ g =t∫

0

f(τ)g(t− τ)dτ (2.35)

Decorre do Teorema (2.7) e de (2.35) que a Transformada de Laplace da integral de uma

função f(t) é

L

t∫

0

f(τ)dτ

=F (s)

s(2.36)

Definição 2.5 Uma função f : < −→ < é dita periódica de período T se existir um número

real tal que f(x+ T ) = f(x).

O Teorema (2.8) a seguir apresenta a forma de calcular a Transformada de Laplace para

uma função periódica (ZILL, 2005).

Teorema 2.8 Seja f(t) continua por partes em [0,∞] e de ordem exponencial. Se f(t) for

periódica de período T com T > 0 , então

L {f(t)} = 1

1− e−sTf(t). (2.37)

Prova: Tem-se que:

L {f(t)} =T∫

0

e−stf(t)dt+

∞∫T

e−stf(t)dt (2.38)

fazendo t = u+ T e substituindo na segunda integral de (2.38) obtém-se que∞∫T

e−stf(t)dt =

∞∫0

e−s(u+T )f (u+ T ) du = e−sT∞∫0

e−suf (u) du = e−stL {f (t)}. (2.39)

Através da equação (2.39) obtém-se

L {f (t)} =T∫

0

e−stf(t)dt+ e−sTL {f (t)}. (2.40)

Explicitando L {f (t)} na equação acima, tem-se o resultado:

L {f (t)} = 1

1− e−sT

T∫0

e−stf(t)dt. (2.41)

21

De acordo com o Teorema (2.8), a Transformada de Laplace de uma função f periódica de

período T , T > 0 pode ser obtida pela simples integração sobre o intervalo [0, T ].

No próximo capítulo, a Transformada de Laplace será aplicada a uma equação matricial

de 2a ordem com coeficientes constantes sujeita a uma força externa, que pode ser utilizada

para simular, por exemplo, as respostas livres e forçadas para diferentes condições iniciais de

um sistema rotor sob a ação de uma força externa devido ao desbalanço do mesmo.

22

3 UMA APLICAÇÃO DA TRANSFORMADA DE LAPLACE

Neste capítulo a Transformada de Lapace será aplicada a uma equação matricial de 2a

ordem com coeficientes constantes sujeita a uma força externa e com condições iniciais dadas

descrito pelo Problema de Valor Inicial a seguir.

MX(t) + (C + G) X(t) + KX(t) = f(t)X(t0) = X0

X(t0) = X0

(3.1)

onde M é a matriz da massa, G é a matriz giroscópica, C matriz de amortecimento e K é a

matriz de rigidez.

Aplicando a Transformada de Laplace a equação

MX(t) + (C + G) X(t) + KX(t) = f(t) (3.2)

vem que

L {MX(t) + (C + G) X(t) + KX(t)} = L {f(t)} (3.3)

Utilizando a linearidade da Transformada de Laplace, a expressão (3.3) pode ser rees-

crita como

ML {X(t)}+ (C + G)L {X(t)}+ KL {X(t)} = L {f (t)} (3.4)

Dos Teoremas (2.4) e (2.5) decorre que

M[s2L {X(t)} − sX(t0)− X(t0)

]+(C + G) [sL {X(t)} −X(t0)]+KL {X(t)} = L {f(t)}

(3.5)

Reagrupando os termos e usando as condições iniciais dadas em (3.1), a expressão (3.5)

pode se reescrita como

[Ms2 + (C + G) s+ K

]L {X (t)} = MsX0 + MX0 + (C + G)X0 + L {f (t)} (3.6)

como L {X (t)} = X(s) a expressão (3.6) toma a forma

23

[Ms2 + (C + G ) s+ K

]X(s) = F (s) + MsX0 + MX0 + (C + G)X0 (3.7)

Fazendo

G(s) = F (s) + MsX0 + MX0 + (C + G)X0 (3.8)

tem-se [Ms2 + (C + G) s+ K

]X(s) = G(s) (3.9)

Supondo [Ms2 + (C + G) s+ K] inversível, onde MT = M > 0, K T = K, CT = C,

G T = − G, tem-se que

X(s) =[Ms2 + (C + G) s+ K

]−1G(s) (3.10)

ou

X(s) = H(s)G(s) (3.11)

onde

H(s) =[Ms2 + (C + G) s+ K

]−1 (3.12)

Aplicando Transformada Inversa de Laplace em (3.11) obtém-se

X(t) = L −1{H (s)G (s)} (3.13)

Do Teorema da Convolução (ver Teorema (2.7)) e (2.37) vem que

X(t) =

t∫0

h(τ)g(t− τ)dτ (3.14)

A metodologia apresentada neste capítulo e alguns resultados apresentados no Capítulo

2 serão utilizados para as simulações realizadas no Capítulo 4.

24

4 SIMULAÇÕES

Neste Capítulo serão apresentados os resultados das simulações, realizados com o auxí-

lio do Software Maple, para um modelo da dinâmica de rotores sob ação de uma força externa

ocasionada pelo desbalanço do rotor e modelado pelo Problema de Valor Inicial Matricial (PVI)

dados por (3.1) (BIDEL, 2003).

Figura 4.1: RotorFonte: BIDEL, 2003

Serão realizadas simulações para diferentes condições iniciais e apresentados os gráficos

para cada uma das componentes da resposta considerando diferentes condições iniciais.

Os coeficientes matriciais adotados no modelo descrito por (3.1) são:

M =

m 0 0 00 m 0 00 0 Iyy 00 0 0 Iyy

onde m é a massa do rotor e Iyy o momento de inércia de massa do rotor em torno do eixo y. A

matriz giroscópica G é dada por

G =

0 0 0 00 0 0 00 0 0 2Ixxw0 0 −2Ixxw 0

25

onde Ixx é o momento de inercia de massa do rotor em torno do eixo que tem a origem G

paralelo ao eixo x e w é a velocidade de rotação do rotor. A matriz de amortecimento C é dada

por

C =

cw 0 0 00 cw 0 00 0 cβ 00 0 0 cβ

onde cw e cβ são coeficientes de amortecimento. A matriz de rigidez K é

K =

kww 0 0 kwβ0 kww −kwβ 00 −kwβ kββ 0kwβ 0 0 kββ

onde kww, kwβ, kββ são coeficientes de rigidez. O vetor das incógnitas X(t) é dado por

X(t) = [Yc Zc βy βz]T (4.1)

onde Yc e o Zc indicam o deslocamento do centro geométrico nas direções Y e Z, βy o ângulo

formado entre o eixo X e a projeção deste eixo sobre o plano XZ. O ângulo formado entre o

eixo X e sua projeção sobre o plano XY é dado por βz.

A força devido ao desbalanço do rotor considerada é f(t) = mεw2 [coswt sinwt 0 0]T

, onde m a massa do rotor, e a excentricidade do rotor e w a velocidade referente a rotação do

rotor dada por w. Considera-se nas simulações os seguintes parâmetros físicos (BIDEL, 2003 ).

e(m) m(kg) ω(rad�s) kww(N�m) kwβ0, 0014 20 523, 5 0, 125 ∗ 109 0, 25 ∗ 108

kββ(N�m) cw(Ns�m) cβ(Ns�m) Ixx(Kg.m2) Iyy −Kg.m2

0, 15 ∗ 108 10, 47 8, 48 0, 045 0, 045

Os gráficos apresentados a seguir mostram as componentes, da resposta livre do sistema

e da resposta sob ação da força f(t) devida ao desbalanço do rotor.

A figura (4.2) apresenta o gráfico de cada umas das componentes da resposta forçada

do sistema rotor para condições iniciais nulas, isto é, velocidade e delocamento nulos, X(0) =

[0 0 0 0]T e X(0) = [0 0 0 0]T .

26

A figura (4.3) mostra o gráfico das componentes do sistema rotor para velocidade nula

e deslocamento não nulo. Utiliza-se as condições iniciais, X(0) = [1 1 1 1]T e X(0) =

[0 0 0 0]T .

A figura (4.4) mostra as componentes da resposta para deslocamento nulo e velocidade

inicial não nula, ou seja, X(0) = [0 0 0 0]T e X(0) = [1 1 1 1]T .

A figura (4.5) mostra as componentes da resposta do sistema rotor sob a ação da força

devido ao desbalanço para deslocamento e velocidade iniciais não nulos.

Observa-se, através dos gráficos a seguir referentes as componentes da resposta do sis-

tema rotor sob ação da força oscilatória devido ao seu desbalanço, que as mesmas mantém a

característica oscilatória de pequena amplitude, considerando diferentes condições iniciais de

deslocamento e velocidade. Esta é uma característica de sistemas lineares, mais especifica-

mente, de sistema matriciais de 2a ordem.

27

Figura 4.2: Componentes da Resposta do Rotor para Deslocamento e Velocidade NulosFonte: Autora

28

Figura 4.3: Componentes da Resposta do Rotor para Deslocamento Não Nulo e Velocidade NulaFonte: Autora

29

Figura 4.4: Componentes da Resposta do Rotor para Deslocamento Nulo e Velocidade Não NulaFonte: Autora

30

Figura 4.5: Componentes da Resposta do Rotor para Deslocamento e Velocidade não nulosFonte: Autora

31

5 CONSIDERAÇÕES FINAIS

Este trabalho teve como objetivo realizar um estudo sobre a Transformada de Laplace

para, posteriormente, ser utilizada na obtenção da resposta de um sistema rotor sob a ação da

força devido ao seu desbalanço considerando diferentes condições iniciais. Para tal, foram ini-

cialmente revisadas, no Capítulo 2, a definição, principais propriedades e resultados relevantes

acerca da Transformada de Laplace e da Transformada Inversa de Laplace. Os resultados apre-

sentados foram utilizados para obter a resposta de de um Sistema Matricial de 2a ordem.

Foi possível constatar que a Transformada de Laplace permite transformar o Problema

de Valor Inicial Matricial, formado pela equação diferencial matricial e as condições iniciais,

em um problema algébrico onde as condições iniciais são incorporadas. Além disso, evita a uti-

lização de métodos específicos, tais como coeficientes à determinar e variação de parâmetros,

no calculo da solução particular do sistema. Resolvido o problema algébrico, através da Trans-

formada Inversa de Laplace, obtém-se, com auxílio do Teorema da Convolução, a resposta do

Sistema Matricial de 2a ordem.

Foram obtidos e apresentados os gráficos para as componentes da resposta do sistema

rotor obtidos com o auxílio do software Maple para diferentes condições iniciais. Observou-se

que a característica oscilatória da força externa devido ao desbalanço do rotor é mantida pela

resposta considerando diferentes condições iniciais e parâmetros físicos dados.

Este trabalho possibilitou, além de um estudo aprofundado da Transformada de Laplace,

uma aplicação do de um problema aplicado de Sistemas Matriciais de 2a a ordem à dinãmica

de rotres, tópicos estes normalmente não tratados em disciplinas da grade curricular do Curso

de Licenciatura Plena em Matemática.

32

6 REFERÊNCIAS

BOYCE; E.W., DIPRIMA, C.R. Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores

de Contorno. Rio de Janeiro: LCT, 2010.

ZILL, G.D.; CULLEN, R.M. Equações Diferenciais. São Paulo: Pearson , 2005.

BIDEL; A.C. Respostas Periódicas em Sistemas Lineares e Francamente Não Ressonantes

e Comportamento Dinâmico de Sistemas Rotativos Com o Uso da Base Dinâmica: Tese de

Doutorado UFMG. Porto Alegre, 2003.

INMAN; D.J.: Engineering Vibration. Englewood, New Jersey,1994.

SANTOS, R. J. Introdução as Equações Diferenciais Ordinárias. Belo Horizonte: Imprensa

Universitária da UFMG, 2011.