Slide - Mmc e Mdc Generalizados

SUMARIOIntroducao

PreliminaresMDC E MMC Generalizados

Bibliografia

Mınimo Multiplo Comum e Maximo DivisorComum Generalizados

Marcio Mauriti Cardoso Graca, Pablo Ricardo Moraes deSouza Valdinelson Europa Silva

UNIVERSIDADE FEDERAL DO AMAPA

MACAPA-AP2012

GRACA, Marcio M. , SOUZA, Pablo e SILVA, Valdinelson E. MMC e MDC Generalizados

SUMARIOIntroducao


Bibliografia

1 Introducao

2 PreliminaresTricotomia e Princıpio da Boa OrdemDefinicao M.D.C.Definicao M.M.C.Relacao - MDC e MMC

3 MDC E MMC GeneralizadosMınimo Multiplo Comum GeneralizadosMaximo Divisor Comum Generalizados3.2.1 Aplicacoes MMC - na MatematicaA.5 Aplicacoes MDC - na Fısica


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Bibliografia

SUMARIO

1 Introducao




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Bibliografia

Introducao

Neste trabalho estudamos o Artigo intitulado “O Maximo DivisorComum e Mınimo Multiplo Comum Generalizados”publicado naedicao de no 40 - junho/2006 da Revista Matematica Universitaria- SBM, dos autores Cydara C. Ripoll, Jaime C. Ripoll e Alveri A.Sant’Ana. O artigo trata de uma generalizacao do conceito deMDC e MMC voltado para os conjuntos numeros reais, uma vezque o universo de discursao para esses conceitos ensinados noensino dos nıveis fundamental, medio e superior, e no maximo oconjunto dos numeros inteiros.


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Tricotomia e Princıpio da Boa OrdemDefinicao M.D.C.Definicao M.M.C.Relacao - MDC e MMC

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1 Introducao




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Preliminares

Faremos inicialmente uma breve exposicao das definicoes eresultados sobre alguns conceitos basicos da teoria dos numerosvoltada para o conjunto dos numeros inteiros e que serviram debase para o estudo que agora apresentaremos.


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Tricotomia e Princıpio da Boa Ordem

TricotomiaDados dois inteiros quaisquer a e b tem-se que ou a < b oua = b ou b < a.

Princıpio da Boa OrdemTodo conjunto nao vazio de inteiros nao negativos contem umelemento mınimo.


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Tricotomia e Princıpio da Boa Ordem

TricotomiaDados dois inteiros quaisquer a e b tem-se que ou a < b oua = b ou b < a.

Princıpio da Boa OrdemTodo conjunto nao vazio de inteiros nao negativos contem umelemento mınimo.


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Preliminares

DefinicaoConsidere a e b numeros inteiros. Diz-se que b divide a, seexiste um inteiro c tal que

bc = a

Usaremos a notacao b|a para indicar que b divide a. Anegacao dessa afirmacao sera por b†a.


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Preliminares

ProposicaoSe b|a e a 6= 0, entao |b| ≤ |a|.Teorema (Algoritmo da Divisao)Considere a e b inteiros, com b 6= 0. Entao, existem inteiros qe r , unicos, tais que

a = bq + r e 0 ≤ r < |b|.


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Preliminares

ProposicaoSe b|a e a 6= 0, entao |b| ≤ |a|.Teorema (Algoritmo da Divisao)Considere a e b inteiros, com b 6= 0. Entao, existem inteiros qe r , unicos, tais que

a = bq + r e 0 ≤ r < |b|.


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Preliminares

Teorema (de Bezout)Considere a, b inteiros e d = mdc(a, b). Entao, existeminteiros r e s tais que

d = ra + sb.

Teorema de EuclidesConsidere a, b, c inteiros que a|bc. Se mdc (a, b) = 1, entaoa|c .


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Preliminares

Teorema (de Bezout)Considere a, b inteiros e d = mdc(a, b). Entao, existeminteiros r e s tais que

d = ra + sb.

Teorema de EuclidesConsidere a, b, c inteiros que a|bc. Se mdc (a, b) = 1, entaoa|c .


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Preliminares

DefinicaoUm inteiro p diz-se primo se tem extamenta dois divisorespositivos, 1 e |p|.DefinicaoDois inteiros a e b dizem-se relativamente primos semdc(a, b) = 1

ProposicaoConsidere p um numero primo, e sejam a e b inteiros.i) Se p † a, entao mdc(p, a) = 1.ii) Se p|ab, entao p|a ou p|b.


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Preliminares




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Preliminares




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Definicao - Maximo Divisor Comum

Chama-se maximo divisor comum de a e b o maior de seusdivisores comuns, isto e, mdc(a, b) = maxD(a, b).

Teorema:Considere a, b inteiros. Um inteiro positivo d e o maximodivisor comum de a e b se somente se verifica:i) d |a e d |b.ii) Se d ′|a e d ′|b, entao d ′|d .


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Definicao - Maximo Divisor Comum

Chama-se maximo divisor comum de a e b o maior de seusdivisores comuns, isto e, mdc(a, b) = maxD(a, b).

Teorema:Considere a, b inteiros. Um inteiro positivo d e o maximodivisor comum de a e b se somente se verifica:i) d |a e d |b.ii) Se d ′|a e d ′|b, entao d ′|d .


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Preliminares

ProposicaoConsidere a, b inteiros relativamente primos, e seja c umoutro inteiro tal que a|c e b|c. Entao, ab|c .

ProposicaoConsidere a, b inteiros, d = mdc(a, b) e c um inteiro naonulo. Entao:i) mdc(ac, bc) = d · |c |.ii) Se c |a e c |b, entao mdc(a/c, b/c) = d/|c|.


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Preliminares

ProposicaoConsidere a, b inteiros relativamente primos, e seja c umoutro inteiro tal que a|c e b|c. Entao, ab|c .

ProposicaoConsidere a, b inteiros, d = mdc(a, b) e c um inteiro naonulo. Entao:i) mdc(ac, bc) = d · |c |.ii) Se c |a e c |b, entao mdc(a/c, b/c) = d/|c|.


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Definicao - Mınimo Multiplo Comum

Chama-se mınimo multiplo comum de a e b o menor dos seusmultiplos positivos comuns, isto e,

mmc(a, b) = minM+(a, b)

TeoremaConsidere a, b ∈ Z e m um inteiro positivo. Entao,m = mmc(a, b) se e somente se m verifica:i) a|m, b|m.ii) Se a|m′ e b|m′, entao m|m′.


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Definicao - Mınimo Multiplo Comum

Chama-se mınimo multiplo comum de a e b o menor dos seusmultiplos positivos comuns, isto e,

mmc(a, b) = minM+(a, b)

TeoremaConsidere a, b ∈ Z e m um inteiro positivo. Entao,m = mmc(a, b) se e somente se m verifica:i) a|m, b|m.ii) Se a|m′ e b|m′, entao m|m′.


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Relacao - MDC e MMC

TeoremaSejam a, b ∈ Z, d = mdc(a, b) e m = mmc(a, b). Entao,

md = |a · b|.

O teorema acima da outro entao outro metodo de calculo parammc(a, b). Dados a, b ∈ Z, podemos calcular o mdc(a, b) peloAlgoritmo de Euclides e depois obter

mmc(a, b) =|a · b|

mdc(a, b).


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Mınimo Multiplo Comum GeneralizadosMaximo Divisor Comum Generalizados3.2.1 Aplicacoes MMC - na MatematicaA.5 Aplicacoes MDC - na Fısica

SUMARIO

1 Introducao




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Bibliografia


MDC E MMC Generalizados

O conceito de comensurabilidade, historicamente, foiintroduzida e utilizada como uma forma de comparar otamanho de dois segmentos de reta.Definicao 2.6.1Dizemos que um segmento de reta AB e dito comensuravelcom a unidade dada pelo segmento CD quando existi umasubunidade que cabe um numero inteiro de vezes em AB e emCD. Dizemos que AB = m.v , CD = n.v , onde m e n saonumeros inteiros positivos e que a razao entre estas medidas e

o numeron

m.

Definicao A.2.2Dois reais a e b sao comensuraveis se existem inteiros naonulos m, n tais que

m · r = m · sGRACA, Marcio M. , SOUZA, Pablo e SILVA, Valdinelson E. MMC e MDC Generalizados

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Bibliografia



O conceito de comensurabilidade, historicamente, foiintroduzida e utilizada como uma forma de comparar otamanho de dois segmentos de reta.Definicao 2.6.1Dizemos que um segmento de reta AB e dito comensuravelcom a unidade dada pelo segmento CD quando existi umasubunidade que cabe um numero inteiro de vezes em AB e emCD. Dizemos que AB = m.v , CD = n.v , onde m e n saonumeros inteiros positivos e que a razao entre estas medidas e

o numeron

m.

Definicao A.2.2Dois reais a e b sao comensuraveis se existem inteiros naonulos m, n tais que

m · r = m · sGRACA, Marcio M. , SOUZA, Pablo e SILVA, Valdinelson E. MMC e MDC Generalizados

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Definicao A.2.3Dizemos que um numero real r e um multiplo inteiro, de umreal s, ou que s e um divisor inteiro, se existe um inteiro atal que

r = a · s

Proposicao A.2.1Sejam r e s dois reias nao nulos. As seguintes afirmacoes saoequivalentes:a) r e s sao comensuraveis;

b) o quocienter

se um numero racional;

c) existe um real t que e multiplo inteiro comum de r e s;d) existe um real t que e divisor inteiro comum de r e s;


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Definicao A.2.3Dizemos que um numero real r e um multiplo inteiro, de umreal s, ou que s e um divisor inteiro, se existe um inteiro atal que

r = a · s

Proposicao A.2.1Sejam r e s dois reias nao nulos. As seguintes afirmacoes saoequivalentes:a) r e s sao comensuraveis;

b) o quocienter

se um numero racional;

c) existe um real t que e multiplo inteiro comum de r e s;d) existe um real t que e divisor inteiro comum de r e s;


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Prova A.2.1(a) =⇒ (b): Se r e s sao comensuraveis entao existemm, n ∈ Z∗ tais que m · r = n · s. Consequentemente,

r

s=

n

m∈ Q.

(b) =⇒ (c): Suponhamos que r/s ∈ Q, digamos,r

s=

n

mentao, multiplicando a igualdade acima por sm obtemos quet := m · r = n · s e um multiplo inteiro comum de r e de s:

(c) =⇒ (d): Seja t ∈ R um multiplo inteiro comum de r e des; digamos, t = m · r = n · s; com m, n ∈ Z∗. Entao o numero

u :=r

n=

s

m


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r

s=

n

m∈ Q.


s=

n



u :=r

n=

s

m


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Bibliografia




r

s=

n

m∈ Q.


s=

n



u :=r

n=

s

m


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Cont. Prova A.2.1

e um divisor inteiro comum de r e de s:

(d) =⇒ (a): Seja u um divisor inteiro comum de r e de s;digamos, r = u · n e s = u ·m;com m, n ∈ Z∗. Entao mr = ns:

�


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Mınimo Multiplo Comum Generalizados

Definicao A.2.4Sejam r e s dois reais comensuraveis nao nulos.Dizemos que t e o mınimo multiplo comum generalizadoentre r e s, e escrevemos

t = mmcg(r, s),

se:

a) t > 0,b) t e um multiplo inteiro comum de r e s,c) se t ′ e multiplo inteiro comum de r e s e t ′ > 0; entaot ≤ t ′.


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Maximo Divisor Comum Generalizados

Dizemos que u e o maximo divisor comum generalizadoentre r e s; e escrevemos

u = mdcg(r , s)

se:

a) u e um divisor inteiro comum de r e s.b) se u′ e divisor inteiro comum de r e de s entao u′ ≤ u.


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Teorema A.2.1Sejam r e s dois reais comensuraveis nao nulos. Entao

mmcg(r , s) = |v · r | = |u · s| e mdcg(r , s) =

∣∣∣∣ r

u

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣ s

v

∣∣∣∣,onde u/v e forma irredutıvel do racional r/s.

ProvaConsideraremos aqui apenas o caso r e s positivos.Observamos inicialmente que se a, b, c , d sao inteiros tais que

a · r = b · s e c · r = d · s

entaob

d=

d

c,


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Teorema A.2.1Sejam r e s dois reais comensuraveis nao nulos. Entao

mmcg(r , s) = |v · r | = |u · s| e mdcg(r , s) =

∣∣∣∣ r

u

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣ s

v

∣∣∣∣,onde u/v e forma irredutıvel do racional r/s.

ProvaConsideraremos aqui apenas o caso r e s positivos.Observamos inicialmente que se a, b, c , d sao inteiros tais que

a · r = b · s e c · r = d · s

entaob

d=

d

c,


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Cont. da prova

e este numero nada mais e do que o numero r/s: Assim, osmenores naturais a, b que satisfazem a · r = b · s sao claramenteobtidos quando tomamos o numerador e o denominador da fracaoirredutıvel que representa o racional r/s. Daı, pela DefinicaoA.2.4, se u/v e tal fracao irredutıvel,

mmcg(r , s) = v · r = u · s e mdcg(r , s) =r

u=

s

v

o que completa prova do teorema.

�


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Corolario A.2.1Sejam r , s racionais nao nulos e sejam a, b, c , d inteiros taisque a/b e c/d sao as representacoes para r e s,respectivamente, na forma de fracao irredutıvel. Entao

mmcg(r , s) =mmc(a, c)

mdc(b, d)e mdcg(r , s) =

mdc(a, c)

mmc(b, d)

ProvaNovamente aqui provamos apenas para o caso r e s positivos.Como mdc(a, b) = 1 = mdc(b, d); temos

r

s=

a/b

c/d=

ad

bc=

a′d ′

b′c ′,

onde


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Corolario A.2.1Sejam r , s racionais nao nulos e sejam a, b, c , d inteiros taisque a/b e c/d sao as representacoes para r e s,respectivamente, na forma de fracao irredutıvel. Entao

mmcg(r , s) =mmc(a, c)

mdc(b, d)e mdcg(r , s) =

mdc(a, c)

mmc(b, d)

ProvaNovamente aqui provamos apenas para o caso r e s positivos.Como mdc(a, b) = 1 = mdc(b, d); temos

r

s=

a/b

c/d=

ad

bc=

a′d ′

b′c ′,

onde


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Cont. da prova

a′ =a

mdc(a, c)b′ =

b

mdc(b, d)c ′ =

c

mdc(a, c)

d ′ =d

mdc(b, d).

E claro entao que a fracao a′d ′/b′c ′ e irredutıvel, e portanto, peloTeorema 2.6, temos

mmcg(r , s) = rb′c ′ =a

b

b

mdc(b, d)

c

mdc(a, c)

(A.3)=

mmc(a, c)

mdc(b, d)

e


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Cont. da prova

mdcg(r , s) =r

a′d ′=

a

b

mdc(a, c)

a

mdc(b, d)

d(A.3)=

mdc(a, c)

mmc(b, d),

o que completa a prova

�


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Observacao A.2.1

A hipotese “na forma de fracao irredutıvel” no Corolario 2.7 eimprescindıvel, isto e, a formula (9) quando aplicada a fracoes naoirredutıveis nao proporciona necessariamente o mmcg(r , s) e omdcg(r , s); como nos mostra o exemplo a seguir. Seja r = 10/6 es = 1/7 entao

mmc(10, 1)

mdc(6, 7)= 10 6= 5 =

mmc(5, 1)

mdc(3, 7)= mmcg(r , s)

e

mdc(6, 7))

mmc(10, 1)=

1

426= 1

21=

mdc(5, 1)

mmc(3, 7)= mdcg(r , s)


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Decorre da observacao acima

Exemplo:

i) Obtemos mmcg

(10

6,

1

7

)= mmcg

(5

3,

1

7

)= 5 e

mdcg

(10

6,

1

7

)= mdcg

(5

3,

1

7

)=

mdc(5, 1)

mmc(3, 7)=

1

21

ii) mmcg

(1

2, 1

)=

mmc(1, 1)

mdc(2, 1)= 1 e mdcg

(1

2, 1

)=

mdc(1, 1)

mmc(2, 1)=

1

2.

iii) mmcg(16√

3, 5√

3) = 5× 16√

3 = 80√

3.


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Corolario A.2.2Sejam r e s dois reais nao nulos comensuraveis. Entao:i) r · s = mdcg(r , s)×mmcg(r , s);ii) dado qualquer real nao nulo c ; temos ainda c · r e c · scomensuraveis e

mmcg(c · r , c · s) = |c | ×mmcg(r , s)mdcg(c · r , c · s) = |c | ×mdcg(r , s)

ProvaConsideraremos aqui apenas o caso c , r e s positivos.Suponhamos que m, n sao naturais nao nulos tais que

r

s=

n

me mdc(n,m) = 1.

Daı temos

mmcg(r , s) = m · r = n · s e mdcg(r , s) =r

n=

s

m,


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Corolario A.2.2Sejam r e s dois reais nao nulos comensuraveis. Entao:i) r · s = mdcg(r , s)×mmcg(r , s);ii) dado qualquer real nao nulo c ; temos ainda c · r e c · scomensuraveis e

mmcg(c · r , c · s) = |c | ×mmcg(r , s)mdcg(c · r , c · s) = |c | ×mdcg(r , s)

ProvaConsideraremos aqui apenas o caso c , r e s positivos.Suponhamos que m, n sao naturais nao nulos tais que

r

s=

n

me mdc(n,m) = 1.

Daı temos

mmcg(r , s) = m · r = n · s e mdcg(r , s) =r

n=

s

m,


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Cont. da prova

de onde segue

mdcg(r , s)×mmcg(r , s) =r

n× n · s = r · s,

o que prova (i)

Alem disso, comoc · rc · s

=n

m,

temos

mmcg(c · r , c · s) = mcr = c ×mmcg(r , s)

mdcg(c · r , c · s) =cr

n= c ×mdcg(r , s),

o que prova (ii).

�GRACA, Marcio M. , SOUZA, Pablo e SILVA, Valdinelson E. MMC e MDC Generalizados

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Corolario A.2.3Se r e s sao dois numeros racionais que podem serrepresentados por uma fracao decimal, digamos,

r =u

10ke s =

v

10l

e se t ≥ k e t ≥ l entao

mmcg(r , s) =mmcg(10tr , 10ts)

10t

e

mdcg(r , s) =mdcg(10tr , 10ts)

10t


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Decorre da prova acima

Exemplo: Poderıamos ter calculado o mmcg da seguinte forma:

mmcg

(1

2,

3

4

)= mmcg(0.5, 0.75) = mmc

(100× 0.5, 100× 0.75)

100

= mmc(50, 75)

100=

150

100=

3

2


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Aplicacoes MMC - na Matematica

Definicao A.5.1Uma funcao f : R −→ R e dita periodica quando existe umnumero real p 6= 0 tal que

f (x + p) = f (x), para todo x ∈ R

Teorema A.5.1Sejam f : R −→ R e g : R −→ R funcoes periodicas deperıodos pf e pg respectivamente. Se pf e pg sao numeroscomensuraveis entao as funcoes:f + g e f · g sao perıodicasmmcg(pf , pg ).


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Aplicacoes MMC - na Matematica

Definicao A.5.1Uma funcao f : R −→ R e dita periodica quando existe umnumero real p 6= 0 tal que

f (x + p) = f (x), para todo x ∈ R

Teorema A.5.1Sejam f : R −→ R e g : R −→ R funcoes periodicas deperıodos pf e pg respectivamente. Se pf e pg sao numeroscomensuraveis entao as funcoes:f + g e f · g sao perıodicasmmcg(pf , pg ).


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ProvaFaremos aqui apenas a demonstracao para o caso f + g . Sendo pf

e pg por hipotese comensuraveis, esta bem definidoM = mmcg(pf , pg ). Existem entao m, n ∈ Z\{0} tais que

m · pf = n · pg = M.

Obviamente, como m, n, pf , pg sao todos nao nulos, temos que Me tambem nao nulo. Agora, dado x ∈ R, temos:

(f + g)(x + M) = f (x + M) + g(x + M)

= f (x + npf ) + g(x + mpg )

= f (x) + g(x) = (f + g)(x),

o que prova que f + g e periodica de perıodo mmcg(pf , pg ).

�GRACA, Marcio M. , SOUZA, Pablo e SILVA, Valdinelson E. MMC e MDC Generalizados

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Exemplo

f (x) = sen3x e g(x) = cos7x sao funcoes periodicas de perıodos

fundamentais pf =2π

3e pg =

2π

7, respectivamente. Como pf e

pg sao comensuraveis, temos que a funcao h dada por

h(x) = sen3x + cos7x

e periodica, admitindo 2π para perıodo, pois

mmcg

(2π

3,

2π

7

)= 3× 2π

3= 2π,

ja que

2π/3

2π/7=

7

3.


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Aplicacoes MDC - na Fısica

Geometricamente, se dois segmentos AB e CD tem medidascomensuraveis r e s, respectivamente, entao o mdcg(r , s) e amedida do maior segmento OU que, quando escolhido paranova unidade de medida para medir segmentos de reta,proporciona medidas inteiras para AB e CD.

Podemos aplicar esta ideia ao ajuste de engrenagens:suponhamos que queiramos ajustar duas rodas num sistemade engrenagens, frezando dentes nas mesmas, todos demesmo tamanho. Ora, cada roda deve ter um numero inteirode dentes para que o desgaste sobre as rodas seja mınimo. Eisto ocorre quando os comprimentos das circunferencias (ouequivalentemente, seus raios) sao comensuraveis.


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Geometricamente, se dois segmentos AB e CD tem medidascomensuraveis r e s, respectivamente, entao o mdcg(r , s) e amedida do maior segmento OU que, quando escolhido paranova unidade de medida para medir segmentos de reta,proporciona medidas inteiras para AB e CD.

Podemos aplicar esta ideia ao ajuste de engrenagens:suponhamos que queiramos ajustar duas rodas num sistemade engrenagens, frezando dentes nas mesmas, todos demesmo tamanho. Ora, cada roda deve ter um numero inteirode dentes para que o desgaste sobre as rodas seja mınimo. Eisto ocorre quando os comprimentos das circunferencias (ouequivalentemente, seus raios) sao comensuraveis.


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De fato, denotando por δ o arco compreendido por um dente e umespaco entre dentes (veja figura), e denotando por r1 e r2 os raiosdas rodas, temos que existem m, n naturais tais que 2πr1 = mδ e2πr2 = nδ se e so se

Figura - 01

2πr12πr2

=mδ

nδ,


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ou ainda, se e so se r1 e r2 forem comensuraveis:

nr1 = mr2.

Portanto, o maior valor de δ e precisamente

mdcg(2πr1, 2πr2)Cor. A.2.3

= 2π ×mdcg(r1, r2),

e se, na pratica, este comprimento se revelar inviavel (por ser, porexemplo, muito “curvo” um arco de comprimento δ), entao, paraminimizar o desgaste, teremos que tomar comprimentos iguais aδ/k com k natural.


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Bibliografia

ALENCAR FILHO, Edgard de. Elementos de AvilaAbstrata/Edgard de Alencar Filho. Sao Paulo: Nobel. 1978.

AVILA, Geraldo. Analise Matematica para Licenciatura. 3a ed.,revisada e ampliada. Edgard Blucher, Sao Paulo, 2006.

DOMINGUES, Hygino H. Algebra Moderna: volumeunico/Hygino H. Domingues, Gelson Iezzi. 4a ed. reform., SaoPaulo: Atual, 2003.

EVARISTO,J.; PERDIGAO,E. Introducao a Algebra Abstrata.2a ed., Maceio: Formato Digital, 2010.

FERREIRA, Jamil. A Construcao dos Numeros.1a ed., Rio deJaneiro: SBM (Colecao Textos Univesitarios), 2010.


SUMARIOIntroducao


Bibliografia

GARCIA, A.; Lequain, Y. Elementos de Algebra, ProjetoEuclides, 2002.

HEFEZ, A. Curso de Algebra. Vol. I, Serie MatematicaUniversitaria da Sociedade de Matematica, 1993.

Jornal do Professor de Matematica.Laboratorio do Ensino daMatematica. Maio, 2006. Disponıvel emhttp://www.ime.unicamp.br/lem (20/11/2010).

LIMA, E.L. Analise Real. vol.1. 9a ed., Colecao MatematicaUniversitaria, IMPA, Rio de Janeiro, 2007.

LIMA, E.L. e outros. A Matematica do Ensino Medio. vol.1. 9a

ed., Rio de Janeiro: SBM (Colecao do Professor deMatematica,2006.


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Bibliografia

MAIER, R.R., Algebra I. (Algebra Abstrata). Textos de Aula.1995.

MILIES,C.P.; COELHO,S.P. Numeros - Uma Introducao aMatematica. 3a ed., Sao Paulo: Edusp - Editora daUniversidade de Sao Paulo, 2001.

RIPOLL, Cydara C.; e Outros. Artigo da Revista MatematicaUniversitaria no 40. 2006.


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