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PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE SÃO PAULO
PUC/SP
RODRIGO SANCHEZ MACEDO
UM ESTUDO DA TEORIA DOS CONJUNTOS NO
MOVIMENTO DA MATEMÁTICA MODERNA
MESTRADO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA
São Paulo
2008
id5371640 pdfMachine by Broadgun Software - a great PDF writer! - a great PDF creator! - http://www.pdfmachine.com http://www.broadgun.com
PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE SÃO PAULO
PUC/SP
RODRIGO SANCHEZ MACEDO
UM ESTUDO DA TEORIA DOS CONJUNTOS NO
MOVIMENTO DA MATEMÁTICA MODERNA
Dissertação apresentada à Banca Examinadora da
Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, como
exigência parcial para obtenção do título de MESTRE EM
EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, sob a orientação da Profa.
Dra. Cileda de Queiroz e Silva Coutinho.
São Paulo
2008
ERRATA
Página Linha Onde se lê Leia-se
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2005)...
30 16 ...1955 ocorrei... ...1955 ocorreu...
32 3 ...Stanford... ...Stanford, nos EUA...
35 1 ...no Brasil nas incluiu... ...no Brasil incluiu...
45 10 n - n2 n - n2 ...
52 17 ...que tratavam dos... ...que tratam dos...
58 12 ...de �slogan� do... ...de slogan do...
73 1 ... �Matemática: Curso Moderno�,
volume 2, 3ª edição de 1966 e
�Matemática: Curso Moderno�,
volume 4, de 1967, cuja edição não
é citada.
... e �Matemática: Curso Moderno�,
volume 4, de 1967, cuja edição
não é citada.
77 15 ...Diagramas de Venn... ...Diagramas de Euler/Venn...
89 15 ...funções, ele aparecem... ...funções, eles aparecem...
92 12 ...figura 21... ...figura 22...
id5612156 pdfMachine by Broadgun Software - a great PDF writer! - a great PDF creator! - http://www.pdfmachine.com http://www.broadgun.com
Banca Examinadora
________________________________________
________________________________________
________________________________________
Autorizo, exclusivamente para fins acadêmicos e científicos, a reprodução total ou parcial desta
Dissertação por processos de fotocopiadoras ou eletrônicos.
Assinatura: _______________________________________ Local e Data: ______________
DEDICATÓRIA
À Roberta,
Companheira em todos os momentos e
razão do meu viver.
AGRADECIMENTO
À Deus que me deu a vida e me dá força todos os
dias.
À minha esposa, Roberta, que sempre me apoiou
em todos os momentos, mesmo nos mais difíceis e
sem a qual esse trabalho não existiria.
Aos meus pais, que me proporcionaram uma visão
do mundo e me fizeram ser quem sou hoje.
À Rafael e Heloísa, irmãos que são, sobretudo
amigos.
Aos colegas da PUC-SP, especialmente os
participantes do GHEMAT.
Ao professor Dr. Wagner Rodrigues Valente, que
contribuiu de grande forma como orientador desse
trabalho.
À professora Dra. Cileda de Queiroz e Silva
Coutinho, que me aceitou como orientando e
contribuiu excelentemente na concretização dessa
pesquisa.
Aos professores Dr. Saddo Ag Almouloud, Dra.
Cileda de Queiroz e Silva Coutinho, Dr. Wagner
Rodrigues Valente, Dra. Ana Paula Jahn, Dra.
Lulu Healy, Dra. Sônia Camargo Igliori e Dra.
Silvia Dias Alcântara Machado, que ministraram
disciplinas que formaram a base concreta do
conhecimento que hoje tenho em Educação
Matemática.
Ao professores Dra. Maria Inez Rodrigues Miguel
e Dr. Antonio Carlos Brolezzi pelas preciosas
contribuições na qualificação.
Aos meus familiares que me apoiaram em minhas
idéias e convicções.
À todos os que torceram para que esse projeto se
tornasse realidade.
RESUMO
Essa pesquisa apresenta uma análise de livros didáticos que Osvaldo
Sangiorgi publicou no período do Movimento da Matemática Moderna. Essa análise
foi centralizada na Teoria dos Conjuntos, que antes do Movimento fazia parte
apenas do Ensino Superior e durante o Movimento foi inserida nos livros didáticos,
especialmente nos de Sangiorgi, protagonista do Movimento no Brasil. Para esta
análise são utilizados os fundamentos teóricos comuns à História da Educação. O
estudo de Le Goff (1992) sobre Monumento/Documento e o estudo de
Juliá (2001) fundamentam respectivamente o tratamento que deve ser dado às
fontes de pesquisa e a História das Práticas. Chartier e Hébrard (1981) tratam das
estratégias, táticas e apropriação e Chervel (1990) contribui com o conceito de
disciplinarização, que são utilizados na análise de como o autor inseriu os
conteúdos em seus livros didáticos. Precedendo essa análise, é apresentado o
Movimento da Matemática Moderna no Brasil e a Teoria dos Conjuntos inserida
nesse Movimento, apresentação esta baseada em dissertações, teses e artigos que
tratam do tema. Também precedendo a análise, são apresentados um panorama
histórico do desenvolvimento da Teoria dos Conjuntos e livros sobre a Teoria dos
Conjuntos publicados durante o período do Movimento da Matemática Moderna no
Brasil. Os resultados obtidos na análise mostram como alguns elementos inseridos
nos livros didáticos de Osvaldo Sangiorgi surgiram a partir das tensões existentes
na cultura escolar, não se limitando apenas a uma adequação dos conteúdos antes
abordados apenas no Ensino Superior.
Palavras-Chave: Livros didáticos, Teoria dos Conjuntos, Movimento da Matemática Moderna,
Osvaldo Sangiorgi, cultura escolar.
ABSTRACT
This research provides an analysis of textbooks that Osvaldo Sangiorgi
published in the period of the Movement of Modern Mathematics. This analysis was
centered in the Theory of Sets, which before the move was part only of Higher
Education, and during the Movement was inserted in textbooks, especially in the
Sangiorgi, protagonist of the Movement in Brazil. For this analysis are used to the
common theoretical foundation of History of Education. The study by Le Goff (1992)
on Monument/Document and the study of Juliá (2001) respectively based treatment
that should be given to sources of research and the History of Practice. Chartier and
Hébrard (1981) deal with the strategies, tactics and ownership and Chervel (1990)
contributes with the concept of disciplinarization, which are used in the analysis of
how the author entered the contents of their textbooks. Preceding this analysis, it
presented the Movement of Modern Mathematics in Brazil and the Theory of Sets
included within this movement, this presentation based on dissertations, theses and
articles dealing with the issue. Also preceding the analysis, are given an overview of
the historical development of the theory of sets, and books on the Theory of Sets
published during the period of the Movement of Modern Mathematics in Brazil. The
results obtained in the analysis shows how some elements included in textbooks of
Osvaldo Sangiorgi emerged from the tensions in the school culture, not limited only
to a adequacy of the contents before addressed only in Higher Education.
Keywords: Text Books, Theory of Sets, Movement of Modern Mathematics, Osvaldo Sangiorgi,
school culture.
LISTA DE FIGURAS
Esquema 1: Organograma de teorias que fundamentam a pesquisa. ..................... 28
Figura 2: Exemplo de união e intersecção de conjuntos. ......................................... 43
Figura 3: Seqüência de números Racionais proposta por Cantor. ........................... 45
Figura 4: União de conjuntos representada pelos diagramas. ................................. 55
Figura 5: Diferença de conjuntos representada pelos diagramas. ........................... 55
Figura 6: Complementar de conjuntos representado pelos diagramas. ................... 56
Figura 7: Reunião de conjuntos representada por diagramas no livro de Castrucci
(1967). ................................................................................................................ 63
Figura 8: Intersecção de conjuntos representada por diagramas no livro de Castrucci
(1967). ................................................................................................................ 64
Figura 9: Exercícios sobre operações com conjuntos no livro de Castrucci (1967). 65
Figura 10: Exercícios sobre operações com conjuntos no livro de Castrucci (1967).
........................................................................................................................... 65
Figura 11: Diferença de conjuntos representada por diagramas no livro de Castrucci
(1967). ................................................................................................................ 66
Figura 12: Conjunto complementar representado pelos diagramas no livro de
Castrucci (1967). ................................................................................................ 67
Figura 13: Introdução aos conjuntos com utilização de diagramas no livro de
Sangiorgi (1963). ................................................................................................ 76
Figura 14: Diagramas com formato irregular no livro de Castrucci (1967). .............. 76
Figura 15: Números e numerais no livro de Sangiorgi (1963). ................................. 78
Figura 16: Símbolos das relações no livro de Sangiorgi (1968). .............................. 80
Figura 17: Exercícios sobre sistema de numeração no livro de Sangiorgi (1963).... 81
Figura 18: Adição e subtração representadas por conjuntos no livro de Sangiorgi
(1963). ................................................................................................................ 83
Figura 19: Multiplicação e divisão no livro de Sangiorgi (1963)................................ 84
Figura 20: Diagramas representando função na contracapa do livro de Sangiorgi
(1967). ................................................................................................................ 90
Figura 21: Diagramas representando função no início do capítulo 2 do livro de
Sangiorgi (1967). ................................................................................................ 90
Figura 22: Diagramas representando função no capítulo 2 do livro de Sangiorgi
(1967). ................................................................................................................ 91
11
Figura 23: Diagramas associados à geometria no livro de Sangiorgi (1967). .......... 94
SUMÁRIO
INTRODUÇÃO......................................................................................................... 14
CAPÍTULO 1 CONSIDERAÇÕES TEÓRICO-METODOLÓGICAS ......................... 19
CAPÍTULO 2 O MOVIMENTO DA MATEMÁTICA MODERNA NO BRASIL .......... 29
2.1. A TEORIA DOS CONJUNTOS NO MMM OCORRIDO NO BRASIL .............. 35
CAPÍTULO 3 TEORIA DOS CONJUNTOS: UM PANORAMA HISTÓRICO........... 41
3.1. ANÁLISE DOS LIVROS SOBRE TEORIA DOS CONJUNTOS...................... 47
3.1.1. TEORIA INGÊNUA DOS CONJUNTOS � PAUL R. HALMOS ............... 48
3.1.2. TEORIA DOS CONJUNTOS � EDISON FARAH..................................... 53
3.1.3. ELEMENTOS DE TEORIA DOS CONJUNTOS � BENEDITO
CASTRUCCI ...................................................................................................... 58
CAPÍTULO 4 ANÁLISE DOS LIVROS DIDÁTICOS................................................ 70
4.1. MATEMÁTICA: CURSO MODERNO � VOLUME 1........................................ 74
4.2. MATEMÁTICA: CURSO MODERNO � VOLUME 4........................................ 88
CONSIDERAÇÕES FINAIS ..................................................................................... 95
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS........................................................................ 99
ANEXOS ................................................................................................................ 104
ANEXO I CAPA DO LIVRO �TEORIA INGÊNUA DOS CONJUNTOS� DE PAUL R. HALMOS.
............................................................................................................................ 105
ANEXO II CONTRACAPA DO LIVRO �TEORIA INGÊNUA DOS CONJUNTOS� DE PAUL R.
HALMOS. .............................................................................................................. 106
ANEXO III CAPA DO LIVRO �TEORIA DOS CONJUNTOS� DE EDISON FARAH. ............ 107
ANEXO IV CAPA DO LIVRO �ELEMENTOS DE TEORIA DOS CONJUNTOS� DE BENEDITO
CASTRUCCI. .......................................................................................................... 108
ANEXO V CONTRACAPA DO LIVRO �ELEMENTOS DE TEORIA DOS CONJUNTOS� DE
BENEDITO CASTRUCCI. .......................................................................................... 109
13
ANEXO VI EXERCÍCIOS SOBRE OPERAÇÕES COM CONJUNTOS DO LIVRO �ELEMENTOS
DE TEORIA DOS CONJUNTOS� DE BENEDITO CASTRUCCI. ......................................... 110
ANEXO VII EXERCÍCIOS SOBRE OPERAÇÕES COM CONJUNTOS DO LIVRO �ELEMENTOS
DE TEORIA DOS CONJUNTOS� DE BENEDITO CASTRUCCI. ......................................... 111
ANEXO VIII EXERCÍCIOS SOBRE OPERAÇÕES COM CONJUNTOS DO LIVRO �ELEMENTOS
DE TEORIA DOS CONJUNTOS� DE BENEDITO CASTRUCCI. ......................................... 112
ANEXO IX INTRODUÇÃO À COMPARAÇÃO DE NÚMEROS DO LIVRO �MATEMÁTICA:
CURSO MODERNO PARA OS CURSOS GINASIAIS � VOLUME 1� DE OSVALDO SANGIORGI.
............................................................................................................................ 113
ANEXO X INTRODUÇÃO À COMPARAÇÃO DE NÚMEROS DO LIVRO �MATEMÁTICA:
CURSO MODERNO PARA OS CURSOS GINASIAIS � VOLUME 1� DE OSVALDO SANGIORGI.
............................................................................................................................ 114
14
INTRODUÇÃO
15
No presente trabalho apresentamos uma pesquisa desenvolvida no campo do
estudo de Educação Matemática. Apresentamos os fatores que favoreceram a
escolha do problema de pesquisa e o próprio problema, as considerações teórico-
metodológicas em que a investigação se fundamenta, uma caracterização de um
movimento ocorrido no Brasil sobre o ensino de Matemática e um estudo de como a
Teoria dos Conjuntos era apresentada em uma coleção de livros didáticos de
Matemática na época.
O tema de nossa pesquisa está relacionado ao desenvolvimento histórico de
diversas áreas do conhecimento, que nos motivou a pesquisar sobre a História do
Ensino da Matemática. Durante a escolha do tema, levávamos em consideração
uma idéia que é tida pelo senso comum de que a História da Matemática é apenas
uma ferramenta, onde o uso de fatos históricos serve como um recurso didático no
Ensino de Matemática, gerando um maior interesse e compreensão por parte dos
alunos. Nossa idéia não era diferente com História do Ensino da Matemática, onde
entendíamos que esse estudo levava a comunidade científica a compreender de
maneira mais clara a forma como a Matemática é ensinada hoje e quais fatores
favoreceram a sua organização, ou seja, procurar entender os erros e acertos
realizados no passado e suas conseqüências.
Um fator que influenciou a escolha do estudo em História do Ensino da
Matemática foi um curso do qual participamos durante a graduação sobre História
da Matemática, que nos levou a utilizá-la como recurso em variados temas em sala
de aula no Ensino Fundamental e Médio, onde percebemos um maior interesse e
compreensão por parte dos alunos como citado anteriormente.
Algumas leituras que serviram de base para o desenvolvimento inicial da
pesquisa foram: Latour (2000), que deu uma ampla visão sobre pesquisa científica,
modificando a idéia do senso comum que acredita que a ciência é feita de
descoberta da verdade absoluta, sendo que é influenciada por diversos fatores
�humanos�. Pelo fato das influências serem de ordem �humana�, Geertz (1989) nos
proporcionou uma visão antropológica sobre o estudo das culturas, pois ao estudar
a Teoria dos Conjuntos nos livros didáticos fazemos uma análise de como essa
teoria foi apresentada. Esses livros eram divulgados e utilizados no contexto escolar
(que representa uma cultura) do período do Movimento da Matemática Moderna no
Brasil.
16
O tema central do nosso projeto está especificado na investigação sobre a
inserção da Teoria dos Conjuntos nos livros didáticos no Ensino Secundário1 no
período do Movimento da Matemática Moderna no Brasil, compreendido
principalmente nas décadas de 1960 e 1970, com o objetivo de entender como esse
saber matemático passou a fazer parte dos livros didáticos, considerando
especificamente as obras que veicularam a Teoria dos Conjuntos no Brasil. A
coleção �Matemática: Curso moderno para os cursos ginasiais� de Osvaldo
Sangiorgi2, que teve seu primeiro volume lançado em 1963, pela Companhia Editora
Nacional de São Paulo, é a coleção que teremos como foco de análise, já que foi
uma das principais, nas quais se apresentaram os conteúdos da Matemática
Moderna, incluindo a Teoria dos Conjuntos.
Para o desenvolvimento dessa pesquisa, apresentamos as nossas
considerações teórico-metodológicas no capítulo 1, que nos dão subsídios para o
desenvolvimento da pesquisa do ponto de vista histórico e também nos subsidia
para a análise dos livros didáticos que realizamos no capítulo 4.
A apresentação desse movimento, denominado: Movimento da Matemática
Moderna (MMM) se baseou em dissertações, teses e artigos que tratam do tema e
que podemos ver no capítulo 2. Nessa apresentação mostramos a falta de ênfase
que os autores dessas dissertações, teses e artigos deram ao assunto que
abordamos: a Teoria dos Conjuntos.
Os poucos relatos que os autores trazem sobre a Teoria dos Conjuntos, que
podemos ver ainda no capítulo 2, apresentam a idéia de que essa Teoria era
utilizada como linguagem para o ensino de todo o conteúdo Matemático do Ensino
Secundário. Nosso estudo intenta mostrar como se deu a apresentação desse
conteúdo nos livros da coleção �Matemática: Curso moderno para os cursos
ginasiais�, e se realmente a Teoria era utilizada como linguagem ou se era utilizada
como um capítulo isolado, pressuposto de críticas do Movimento.
No capítulo 3 apresentamos um panorama histórico sobre a Teoria dos
Conjuntos, tema que foi enfatizado no MMM, e como essa teoria se apresentava em
1 O Ensino Secundário na época do Movimento da Matemática Moderna se refere às sete séries escolares de
crianças na faixa etária de 11 a 17 anos, atualmente denominados Ensino Fundamental II e Ensino Médio. 2 Osvaldo Sangiorgi era autor de livros didáticos de Matemática anteriores ao MMM e lançou, durante o
movimento, uma coleção que trazia os assuntos do ideário do MMM. Também foi o presidente do GEEM
(Grupo de Estudos do Ensino de Matemática) que divulgou o MMM no Brasil.
17
alguns dos livros dedicados ao Ensino Superior e à formação de professores na
época do Movimento da Matemática Moderna no Brasil.
Por fim, no capítulo 4, com base nas teorias e metodologias apresentadas no
capítulo 1, analisamos dois volumes dos livros didáticos �Matemática: Curso
Moderno� de autoria de Osvaldo Sangiorgi. Os volumes escolhidos são o primeiro e
o quarto.
Os volumes que não analisamos, como o segundo e o terceiro possuem
elementos da Teoria dos Conjuntos de forma muito semelhante ao primeiro, e nosso
objetivo não era simplesmente apresentar o conteúdo que cada volume possuía,
mas apresentar alguns elementos da Teoria dos Conjuntos que são característicos
da cultura escolar. Sendo assim mostramos que a Teoria não é simplesmente
absorvida do Ensino Superior ao Ensino Secundário, mas também desenvolvida em
sua própria cultura, a escola.
Nessa análise, também mostramos que o desenvolvimento de alguns
elementos da Teoria dos Conjuntos nos livros didáticos do Ensino Secundário
influenciou um livro destinado à formação de professores, onde podemos ver que a
Teoria não vem somente do Ensino Superior para o Secundário, mas também pode
�percorrer� o caminho oposto.
Na intenção de apresentar como um estudo de História pode ser absorvido
pelos leitores, fazemos uma analogia, utilizando uma idéia que Brolezzi (2000) traz
em seu estudo. Esse autor ressalta o uso didático da História da Matemática e
entendemos que exista uma relação análoga com a História da Educação
Matemática.
O caminho pedagógico que defendemos parece advir da consideração
da Matemática em sua fase de construção científica, e não da
Matemática pronta e sistematizada de acordo com a lógica formal. A
visão da Matemática em construção é, precisamente, a que obtemos
pelo estudo da História da Matemática, a qual surge, assim, como a
grande fonte para apreensão da organização lógica mais adequada ao
ensino da Matemática, principalmente no nível elementar, em que os
padrões lógico-formais estão ainda mais distantes dos alunos. A forte
relação da lógica com o ensino constitui, portanto, um componente
decisivo para a avaliação do uso da história da Matemática como recurso pedagógico, revelando com muita profundidade seu valor
didático. (BROLEZZI, 2000, p. 44-45)
Brolezzi (2000) trata do uso da História da Matemática no Ensino, mas
também vemos o valor da História da Educação Matemática, que se situa na
compreensão da construção das teorias sobre Educação Matemática e que o
18
professor de Matemática pode ter contato. Essas teorias poderiam, de uma forma
simplista, ter analisado apenas seu curso cronológico com levantamento de
biografias, porém, acreditamos que assim como no uso didático da História da
Matemática, na História da Educação Matemática �é necessária uma abordagem na
qual o próprio conteúdo seja influenciado.� (BROLEZZI, 2000, p. 47)
Nesse sentido abordaremos o Movimento da Matemática Moderna,
realizando uma construção de fatos históricos, no que diz respeito à forma que se
inseriu um conteúdo nos livros didáticos do Movimento, a Teoria dos Conjuntos.
Essa construção partirá dos traços deixados pelo passado (VALENTE, 2005,
p.4), sem assumirmos uma postura onde julgaremos as ações, dizendo que essas
foram fracassadas ou sucedidas, mas levantaremos as informações e as
analisaremos, procurando construir a História dos acontecimentos e suas
conseqüências.
19
CAPÍTULO 1
CONSIDERAÇÕES TEÓRICO-METODOLÓGICAS
20
O presente trabalho tem como temática ampla a História da Educação
Matemática, que é campo de estudo do GHEMAT (Grupo de Pesquisa de História
da Educação Matemática). Durante nossa participação em suas atividades, tivemos
contato com as teorias que apresentaremos e que nos subsidiarão nessa pesquisa.
Em nosso trabalho, analisamos a coleção de livros didáticos �Matemática:
Curso moderno para os cursos ginasiais� de Osvaldo Sangiorgi, que era utilizada no
período do Movimento da Matemática Moderna no Brasil. Temos, com essa análise,
a intenção de verificar como foi inserida, por Osvaldo Sangiorgi, a Teoria dos
Conjuntos.
Com esse objetivo delineado, entendemos que o estudo da obra de Jacques
Le Goff será fundamental para nossa análise. Le Goff (1992) estuda os conceitos de
Monumento e Documento. Esses conceitos são os representantes dos materiais
que se aplicam à forma científica da memória coletiva: a História.
Le Goff (1992) retoma, em uma citação que faz de Febvre (1949), o que é
possível considerar como elemento nuclear do trabalho do historiador:
Toda uma parte, e sem dúvida a mais apaixonante do nosso trabalho de
historiadores, não consistirá em um esforço constante para fazer falar as
coisas mudas, para fazê-las dizer o que elas por si próprias não dizem
sobre os homens, sobre as sociedades que as produziram, e para constituir, finalmente, entre elas, aquela vasta rede de solidariedade e de entreajuda que supre a ausência do documento escrito? (FEBVRE apud LE GOFF, 1992, p. 530).
Essa citação nos mostra o que, efetivamente, um historiador deve buscar em
sua pesquisa, ou seja, os materiais que utilizamos na pesquisa em história não
�falam� por si só, devemos, portanto, �fazer falar as coisas mudas� com o olhar
analítico que teremos no contato com esses materiais.
Quanto ao ofício de historiador, Valente (2005) salienta que o trabalho
histórico está entre dois grupos de profissionais: os professores e os pesquisadores
(ou historiadores), onde os professores utilizam os fatos históricos construídos pelos
historiadores. Portanto, não realizaremos uma pesquisa visando uma contribuição
imediata para a sala de aula, mas �estaremos construindo fatos históricos a partir de
traços, de rastros deixados no presente pelo passado�, afirma Valente (2005, p. 4).
Nosso trabalho será construir esses fatos históricos por meio da análise de alguns
livros didáticos do período do MMM, com enfoque nas condições em que foi inserida
21
a Teoria dos Conjuntos, para que posteriormente o segundo grupo descrito por
Valente (2005), o dos professores, utilizem esses fatos históricos.
Entendemos que os rastros deixados pelo passado ao presente são tomados
como documentos, mas a partir do momento em que o historiador os toma para
análise e construção de questionamentos e hipóteses, deve tê-los como
monumentos, pois os documentos são fabricados com uma �roupagem� que o
historiador deve desmontar. Os materiais que utilizaremos para análise, como os
livros didáticos, são reconhecidos pelo senso comum como documentos à priori,
mas Le Goff (1992) alerta para que os tomemos como monumentos:
[...] O documento não é qualquer coisa que fica por conta do passado, é um
produto da sociedade que o fabricou segundo as relações de forças que aí
detinham o poder. Só a análise do documento enquanto monumento
permite à memória coletiva recuperá-lo e ao historiador usá-lo cientificamente [...] (LE GOFF, 1992, p. 536).
Portanto esses materiais de nossa pesquisa, que são os livros didáticos,
serão tomados como monumentos, e a partir de nossos questionamentos e
investigações se tornarão fontes de pesquisa e procurando respondê-las estaremos
construindo os documentos, que é a própria análise dos livros didáticos. Esses
documentos que construiremos a partir de questionamentos e da busca por
respondê-los serão os materiais que, após a aceitação pela comunidade científica,
constituirão os fatos históricos estabelecidos em nossa pesquisa.
A análise dos livros didáticos se realizará com a crítica aos documentos, e
Valente (2005) fala sobre os procedimentos de trabalho com as fontes de pesquisa,
que são os vestígios ou traços acompanhados dos questionamentos que
levantaremos. Esse autor descreve os tipos de crítica se baseando em um curso de
História do professor e historiador Antoine Proust, que foi transformado em livro em
1996, denominado Douze leçons sur l�histoire. Segundo Valente (2005), a crítica
que um historiador deve fazer às suas fontes se resume em dois tipos: a crítica
externa e a crítica interna.
A crítica externa incide sobre as características materiais do documento: seu papel, sua tinta, sua escrita, os selos que o acompanham; a crítica
interna está ligada a coerência do texto, por exemplo sobre a compatibilidade entre a data que ele porta e os fatos a que ele faz referência. (VALENTE, 2005, p.6, grifo nosso)
22
A crítica é uma busca de respostas aos questionamentos como: a
identificação do autor, a origem do documento, a conservação e como foi a
divulgação do documento, a existência da possibilidade de ter ocorrido distorções
nos testemunhos e sua confiabilidade. Para isso analisaremos as características
materiais e a coerência do texto dos livros didáticos em relação aos outros materiais
com os quais iremos confrontá-lo, como os livros sobre a Teoria dos Conjuntos.
A análise de livros didáticos será realizada partindo-se também dos conceitos
de estratégias, táticas e apropriação que estão presentes nos estudos do historiador
Michel De Certeau (1994). Anne-Marie Chartier e Jean Hébrard (1981) fazem uma
leitura/análise do trabalho de De Certeau (1994) em seu artigo: �A invenção do
Cotidiano: uma leitura, usos.� A análise realizada por Chartier e Hébrard (1981) é
uma maneira de nos aproximar da obra complexa de De Certeau (1994), onde os
próprios autores a definem como �não-conclusiva e não definida em um gênero�.
Os conceitos de estratégia e tática têm como referência as práticas.
Estratégia é uma prática que tem um lugar próprio, definido e é estabelecida pelos
poderosos3, se enquadrando em um espaço social simbólico como: textos oficiais,
livros, cursos, etc. A tática é a especificidade de práticas cotidianas como: falar, ler,
cozinhar, comprar, etc., onde o indivíduo não-poderoso faz uso da estratégia pré-
estabelecida.
A apropriação é um conceito definido pelo consumo cultural que o indivíduo
faz de uma estratégia para desenvolver sua tática. Segundo Chartier e Hébrard
existem apropriações materiais e intelectuais:
Essa multiplicação dos objetos para ler tem como conseqüência a multiplicidade de formas de apropriação incontroladas, incontroláveis.
Primeiramente apropriações materiais: empréstimos ou compras,
organizações e conservação, apresentação e uso colocadas no quadro de
sociabilidades restritas ao foro privado. Em seguida, apropriação intelectual
por meio desses processos de leitura, em que coexistem e interferem-se mútua e constantemente as leituras normatizadas pelos guardiões da
ortodoxia e as leituras pessoais, sejam as trocadas entre grupos restritos, mas socialmente definidos, ou leituras solitárias. (CHARTIER e HÉBRARD,
1981, p. 36)
Essas apropriações que os autores destacam serão percebidas no tipo de
crítica que faremos aos livros didáticos em nosso estudo. A crítica externa, que
3 Os termos �poderosos� e �não-poderosos� são utilizados por Chartier e Hébrard para diferenciar, em um nível
hierárquico, os autores que realizam as práticas culturais.
23
incide sobre as propriedades materiais do documento, avalia a apropriação material
que o autor do livro didático realizou, onde também é verificada a existência do
fenômeno da vulgata4, pois um determinado autor, por exemplo, pode começar a
utilizar cores e figuras em um livro e levará assim (caso ocorra a vulgata) outros
autores a utilizá-la, tornando-se um padrão.
A crítica interna nos mostrará a apropriação intelectual que o autor realizou,
sendo essa a de maior interesse em nossa pesquisa, já que estamos investigando a
inserção da Teoria dos Conjuntos em livros didáticos. Isso deverá permitir que se
realize uma crítica aos livros visando entender como se deu a apropriação
intelectual do ideário do Movimento da Matemática Moderna nos livros didáticos.
A crítica é um olhar do pesquisador para a fonte de pesquisa, e as
apropriações são as realizações do consumidor cultural, como exemplo o autor de
livros didáticos. Temos a crítica como um auxiliador na compreensão das
apropriações.
Podemos ilustrar os conceitos de tática, estratégia e apropriação com o
exemplo da escrita de um livro didático: o autor do livro didático, que descrevemos
anteriormente como �não-poderoso�, se envolve com diversos fatores como a
legislação e/ou parâmetros curriculares e até mesmo com cursos em que participou.
O autor faz uma �leitura� dessas determinações curriculares, que foram escritas por
�poderosos� (nesse caso os autores dessas determinações) e, portanto, são
estratégias, possuindo assim um lugar próprio. Essa leitura é descrita por Chartier e
Hébrard (1981) como um consumo cultural:
Em primeiro lugar, a leitura, esse símbolo privilegiado do consumo cultural contemporâneo. Para Michel de Certeau ela não é recepção imposta de um
conteúdo objetivo, sujeição ao texto, passividade. Fazendo da leitura uma
arte da caça ilegal, ele a designa como uma ação que quase não deixa
traços visíveis, nem garantias contra a usura do tempo, mas ação produtora
que em cada um de seus encaminhamentos e de fazeres, ao mesmo tempo alteram e conferem existência ao texto: formas singulares de habitar o
escrito. A leitura é uma apropriação. (CHARTIER e HÉBRARD, 1981, p. 32)
Na escrita do livro didático, o autor desenvolve sua tática, fazendo uma
apropriação dessas determinações curriculares, pois escreverá seu livro baseado na
leitura que ele realizou, que depende de sua interpretação. Quando nos referimos à
4 O fenômeno da vulgata é um conceito do trabalho de André Chervel (1990), onde o autor o descreve como
uma padronização dos livros didáticos a partir de um �manual inovador� em uma dada época.
24
leitura, não falamos da simples decodificação do escrito, mas de uma adequação
que o autor faz daquelas determinações curriculares para a escrita de seu livro
didático.
O texto escrito pelo autor do livro didático pode se tornar uma estratégia se o
tomarmos como base para o preparo da aula de um professor. Nesse caso, o autor
do livro didático passa a ser o �poderoso� e o professor, que desenvolverá sua
tática, utilizando esse livro para o preparo de sua aula será o �não-poderoso�. Mas
nosso objetivo é analisar os livros didáticos como tática baseada na estratégia do
ideário do Movimento de Matemática Moderna.
Com relação à análise de livro didático teremos também como base teórica o
trabalho de Alain Choppin (2000 apud Marques, 2005) do qual encontramos pontos
principais na dissertação de Marques (2005) e que fala sobre a importância do
manual didático5 como fonte de pesquisa:
[...] O manual didático se apresenta como suporte, o depositário dos
conhecimentos e das técnicas que a juventude deve adquirir para
perpetuação de seus valores. Os programas oficiais, quando existem,
constituem a estrutura sobre a qual os manuais devem conformar-se estritamente. São vetores, meios de comunicação muito potentes cuja
eficácia repousa sobre a importância de sua difusão e sobre a
uniformidade do discurso que transmitem. (CHOPPIN, 2000 apud MARQUES, 2005, p. 15)
Outro estudo fundamental para nossa pesquisa é o artigo �História das
disciplinas escolares: reflexões sobre um campo de pesquisa� de André Chervel6
(1990). Nele, o autor fala sobre a definição e como se constitui uma disciplina
escolar e define a importância do livro didático como fonte de pesquisa histórica.
O conceito de disciplinarização que Chervel (1990) apresenta, se refere à
estruturação que é dada aos conteúdos para que possam ser ensinados, ou seja, os
conteúdos científicos, em outro momento ensinados apenas no Ensino Superior,
precisam passar por modificações e adequações para que sejam ensinados no
Ensino Secundário. Essas modificações não surgem apenas da iniciativa dos
organizadores curriculares, mas também das resistências aos novos conteúdos, que
surgem por parte dos professores, alunos e outros elementos da cultura escolar.
5 No estudo de Allain Choppin a terminologia utilizada para se referir a livro didático é manual didático, não
havendo assim diferença. 6 André Chervel era pesquisador do Service d�histoire de l�education � Institut National de Recherche
Pédagogique, Paris, França.
25
Chervel (1990) se contrapõe à afirmação de que o saber produzido
cientificamente sofre pequenas alterações por parte de grupos de pessoas
interessadas em adequar esses conteúdos, para que possam ser ensinados e
aceitos no Ensino Secundário. Chervel (1990) afirma a importância da cultura
escolar nas alterações sofridas pelos conteúdos do saber científico7.
Um conteúdo só é disciplinarizado quando tem um núcleo curricular, ou seja,
há um consenso geral, que pode ser regulado por normas como parâmetros
curriculares, onde quase que a totalidade das instituições ministra esse conteúdo de
uma mesma forma. Essa mesma forma constitui o que Chervel (1990) denomina
núcleo curricular.
O saber científico precisou ser disciplinarizado para que pudesse ser
ensinado no âmbito da cultura geral pois, para Chervel (1990), o Ensino Secundário
possui uma cultura geral, enquanto o Ensino Primário e o Ensino Superior possuem
culturas específicas.
Chervel (1990) explicita que as funções do Ensino Primário8 e do Ensino
Superior têm uma definição mais clara que a função do Ensino Secundário. No
Ensino Primário existem objetivos, dentre outros, em que o aluno aprenda a ler,
escrever e contar. No Ensino Superior, o estudante aprenderá uma profissão, mas
no Ensino Secundário há uma obscuridade quanto à definição de seu objetivo.
Segundo Chervel (1990), os livros didáticos de uma determinada época
retratam o que era esperado do ensino naquela época. O estudo histórico que
faremos com a análise dos livros didáticos é uma busca pela compreensão das
práticas escolares da época que pretendemos estudar, tendo em vista os conteúdos
que faziam parte dessas práticas. Dentro desse foco investigamos como esses
conteúdos, ora ministrados apenas no Ensino Superior, sofreram modificações,
influências e inserção de novos elementos próprios da cultura escolar, para que
pudessem ser ensinados no Ensino Secundário. Sendo assim, analisamos como se
deu o processo de disciplinarização de conteúdos como a Teoria dos Conjuntos.
7 Conteúdos da Matemática desenvolvidos no âmbito da pesquisa e no Ensino Superior. 8 O Ensino Primário na época do Movimento da Matemática Moderna no Brasil se refere às quatro séries
escolares das crianças com idades entre sete e dez anos. Atualmente esse nível de escolaridade é denominado
Ensino Fundamental I.
26
Outro importante teórico que nos dá base para o estudo da história das
práticas escolares é Dominique Juliá9 (2001) em seu artigo �A Cultura Escolar como
Objeto Histórico� 10.
Para Juliá (2001), a cultura escolar é um conjunto de normas, que são regras,
conhecimentos e condutas a ensinar e práticas escolares, que permitem a
incorporação e transmissão dessas normas. As normas e práticas mudam no passar
do tempo e, portanto, a cultura escolar também muda com o tempo. Existem
tentativas de coordenar as normas e práticas, para que as condutas e
conhecimentos que se pretende ensinar ocorram efetivamente. As finalidades
dessas tentativas de coordenação, segundo Juliá (2001), podem ser de ordem
religiosa, sócio-política ou de socialização.
Outro conceito importante a destacar no estudo desse autor é a diferenciação
que ele faz da História das Práticas e da História das Idéias. Na História das
Práticas há uma preocupação com as resistências e tensões, com a prática na sala
de aula e também existe uma limitação quanto às fontes de pesquisa. Já na História
da Idéias, a pesquisa é realizada sobre textos normativos, onde há um poder
absoluto sobre os projetos e a cultura escolar é tida como um isolamento, não
havendo assim, uma preocupação com as resistências e tensões que um conteúdo
pode sofrer para que seja inserido no currículo.
Nossa pesquisa busca se enquadrar, dentro do possível, na História das
Práticas, que apesar de realizarmos um trabalho com livros e livros didáticos (que a
princípio parecem mais normas do que práticas), procuraremos encontrar vestígios
que nos levem a entender como se deu a prática do ensino da Teoria dos Conjuntos
no Ensino Secundário durante o Movimento da Matemática Moderna no Brasil. Os
livros didáticos analisados de maneira comparativa com os livros sobre Teoria dos
Conjuntos nos mostrarão quais foram as resistências e tensões que esse conteúdo
sofreu para ser disciplinarizado no currículo de Matemática durante o MMM.
Segundo Juliá (2001), a principal dificuldade da pesquisa no âmbito da
História das Práticas e, mais precisamente na pesquisa histórica da cultura escolar,
é a obtenção de fontes de pesquisa. As fontes são escassas, muitas vezes por falta
9 Dominique Juliá era diretor de pesquisas do CNRS (Centre National de la Recherche Scientifique), e foi professor do Instituto Universitário Europeu (Florença), e especialista em história religiosa e história da
educação na época moderna.
27
de espaço físico, destruição dos materiais ou mesmo sua ausência, pois o que é
evidente em um dado momento, nem sempre necessita que seja dito ou escrito.
O estudo das práticas não tem base só nas ações visíveis, mas também em
quais concepções estão em oculto, ou seja, se as normas não se aproximam das
práticas, é preciso utilizar a capacidade de relacionar as ligações entre os dados
que foram obtidos com as fontes, mesmo que elas se refiram às normas.
Sem dúvida, não devemos exagerar o silêncio dos arquivos escolares.
O historiador sabe fazer flechas com qualquer madeira: quanto ao século XIX, por pouco que procure e que se esforce em reuni-los, os cadernos de notas tomadas pelos alunos (mesmo sendo grande o risco de se verem conservados apenas os mais bonitos deles) e os cadernos de preparações dos educadores não são escassos e, na falta destes, pode-se tentar reconstituir, indiretamente, as práticas escolares a partir
das normas ditadas nos programas oficiais ou nos artigos das revistas pedagógicas. (JULIA, 2001, p.17, grifo nosso).
Entendemos que em nossa pesquisa, as práticas escolares são
reconstituídas indiretamente, analisando os livros didáticos.
A teoria desenvolvida por Le Goff (1992) sobre os conceitos
Monumento/Documento e a teoria desenvolvida por Juliá (2001) sobre as Práticas
escolares fundamentam o tipo de pesquisa que realizamos: a pesquisa histórica.
Os conceitos de estratégia, tática e apropriação absorvidos do texto de
Chartier e Hébrard (1981) fundamentam tanto a apresentação dos livros sobre a
Teoria dos Conjuntos, do ponto de vista das estratégias, quanto a análise da
inserção da Teoria dos Conjuntos nos livros didáticos, do ponto de vista das táticas.
O conceito de disciplinarização de Chervel (1990) é utilizado em nossa
pesquisa a partir da análise de elementos que surgiram na cultura escolar e foram
inseridos nos livros didáticos de Sangiorgi. O esquema 1 apresenta um
organograma de como as teorias apresentadas nesse capítulo fundamentam a
pesquisa.
10 O texto referido é uma tradução do artigo de Julia: �Lá culture scolaire comme objet historique�, feita por
Gizele de Souza, professora do setor de Educação da Universidade Federal do Paraná e doutoranda no Programa
de Pós-graduação em Educação: História, Política e Sociedade.
28
Esquema 1: Organograma de teorias que fundamentam a pesquisa.
29
CAPÍTULO 2
O MOVIMENTO DA MATEMÁTICA MODERNA NO BRASIL
30
Apresentaremos uma caracterização do Movimento da Matemática Moderna
(MMM) no Brasil a partir da leitura e análise de dissertações, teses e artigos que
têm como tema o Movimento.
O Movimento da Matemática Moderna no Brasil foi um movimento de grandes
mudanças curriculares e metodológicas no ensino de matemática entre os anos 60
e 70. Durante esse movimento foi fundado o GEEM (Grupo de Estudos do Ensino
da Matemática) em 31 de outubro de 1961 em São Paulo, que divulgou, com seus
cursos, o ensino da chamada �Matemática Moderna�. O término das atividades do
Grupo foi marcado em 1976 com um último curso, quando surgiram algumas
publicações de críticas ao Movimento e após a divisão de opiniões dos próprios
integrantes do GEEM (BÚRIGO, 1989, p. 201-203).
As considerações de fundação e término do GEEM têm apenas a finalidade
de nos situar sobre quais décadas realizaremos nosso estudo, não querendo limitar
o Movimento ao período mencionado.
Nos anos antecedentes às décadas de vigência do Movimento aconteceram
os primeiros Congressos Nacionais de Ensino de Matemática. Em 1955 ocorreu o
primeiro deles, em Salvador, Bahia, tendo a participação de 94 congressistas e
entre eles Osvaldo Sangiorgi, Omar Catunda, Manoel Jairo Bezerra e Ana
Averbuch. Segundo Silva (2006), nesse congresso não há evidências da introdução
de tópicos da Matemática Moderna, mas tratava dos conteúdos programáticos do
Ensino Secundário e da necessidade de reorganizá-lo para que ocorresse uma
melhora na aprendizagem.
A dissertação de Marques (2005) traz uma perspectiva desse período que
antecedeu o Movimento, fazendo menção às Reformas Campos e Capanema, 1931
e 1942 respectivamente, e apresenta o período intitulado de pré-moderno, que
aconteceu nos anos 1950 e uma breve análise de livros didáticos do período.
Marques conclui que no período referente aos anos 1950 não existiam
discussões acaloradas sobre mudanças curriculares de grande relevância e que os
professores �não clamavam� por mudanças que hipoteticamente teriam suscitado o
Movimento da Matemática Moderna que se sucederia:
[...] começamos a perceber que a matemática escolar dos tempos pré-modernos não estava passando por momentos de turbulência, o que se
confirma pela análise dos livros didáticos desse período: seus
programas eram praticamente iguais aos oficiais, com pequenas variações, e a forma com que os mesmos eram abordados também,
31
com a idéia de exemplos e aplicações dominando a organização desses
manuais. (MARQUES, 2005, p. 101)
Com isso, somos levados a acreditar que as influências para a inserção do
Movimento de Matemática Moderna no Brasil foi motivada por fatores externos, dos
quais apresentaremos indícios a seguir.
Em 4 de outubro de 1957, no Cosmódromo de Baikonur (base de lançamento
de foguetes da então URSS), em Tyuratam, Cazaquistão, foi lançado o foguete
soviético SPUTNIK, que mostrava aos EUA a potência espacial soviética e iniciava
a corrida espacial que levou a uma preocupação com a formação de cientistas e
engenheiros.
Segundo Guimarães (2007, p. 21), a idéia de que o Movimento de
Matemática Moderna tenha surgido nos EUA, em tentativa de competir com a URRS
na corrida espacial, é muito simplista e não pode se sustentar por fatos. Guimarães
relata que em 1959 a OECE (Organização Européia de Cooperação Econômica),
interessada na modernização do currículo de Matemática decidiu realizar uma
investigação de como estava se realizando o ensino de Matemática e, então,
promoveu o Cercle Culturel de Royaumont, que ficou conhecido como Sessão de
Royaumont. Segundo Guimarães, é a realização mais emblemática de todo o
movimento reformador.
Entretanto, levando-se em consideração que a Sessão de Royaumont na
Europa aconteceu em 1959 e que em 1958 foi fundado um grupo de estudos de
Matemática nos EUA, tudo leva a crer que o Movimento não surgiu simplesmente
em um país e foi levado aos outros, mas acreditamos que as dinâmicas próprias de
desenvolvimento de cada país, cada um sofrendo influências dos mais variados
tipos, os levou a se engajarem no Movimento renovador com muitas características
próprias, específicas a cada grupo ou país, e outras comuns.
Segundo Búrigo (1989, p.70), no ano de 1958 foi fundado nos EUA o SMSG
(School Mathematics Study Group), grupo que tinha o objetivo de desenvolver um
melhor ensino de Matemática, dado que a baixa qualidade do Ensino Secundário
promovia uma escassez de pesquisadores e cientistas matemáticos.
O grupo teve assistência do National Council of Teachers of Mathematics
(NCTM), da Mathematical Association of America e da American Mathematical
Society (BÚRIGO, 1989, p.70).
32
Além do SMSG, que produziu diversos textos sobre novos conteúdos para o
ensino elementar e secundário, textos para professores e alunos �mais bem
dotados�, houve outro programa de destaque na Universidade de Stanford, nos
EUA, em 1958, que foi o pioneiro na introdução de Teoria dos Conjuntos no ensino
de matemática para crianças. O programa, coordenado pelo professor Suppes, era
baseado na premissa de que as crianças podiam aprender muito mais Matemática
do que o que se considerava possível até então (BÚRIGO, 1989, p. 70).
Em 1957, aconteceu o II Congresso Nacional de Ensino de Matemática que
se realizou em Porto Alegre, Rio Grande do Sul com a presença de 400
congressistas. Segundo Búrigo, esse Congresso teve seu temário ampliado e surgiu
o tema, em algumas teses, sobre a Matemática Moderna.
A tese do professor Sangiorgi, iniciando com a questão �Matemática
clássica ou matemática moderna na elaboração dos programas do
ensino secundário?� era cautelosa e defendia a necessidade de que
�ambas� fossem levadas em conta, de que a �modelação aos tempos
novos� fosse gradativa, a �fim de serem evitados os malefícios
decorrentes de transformações radicais�. (BÚRIGO, 1989, p. 46)
Osvaldo Sangiorgi, que seria posteriormente o principal protagonista do
Movimento, ainda não defendia de maneira acentuada o ensino da Matemática
Moderna, foi cauteloso em sua tese nesse Congresso. Já o Major Professor Jorge
Emanuel Barbosa foi o mais ousado defendendo uma �modernização� do ensino da
Matemática. Entre seus argumentos estavam a necessidade de atualizar o ensino
para a formação de cientistas, principalmente matemáticos, destacando um
argumento que se apoiava na psicologia da aprendizagem:
[...] O segundo argumento era o de que a matemática moderna, pela
ênfase nas generalizações e na explicitação das conexões entre as
diversas partes da matemática, favorecia o que se denominava em psicologia da aprendizagem. [...] (BÚRIGO, 1989, p. 47).
Apenas no III Congresso Nacional do Ensino da Matemática, que se realizou
em 1959 no Rio de Janeiro, foi notável uma acentuação da discussão sobre o
ensino da Matemática Moderna. Com a presença de cerca de 500 professores,
entre os quais podemos citar Osvaldo Sangiorgi, Omar Catunda, Ary Quintela, entre
outros, o Congresso começou uma discussão sobre a �aceleração da aprendizagem
33
científica�, sendo aprovadas três resoluções de relevância sobre a Matemática
Moderna:
[...] uma, recomendando cursos de aperfeiçoamento para professores
registrados do ensino médio, de �preparação à Matemática Moderna�, a
segunda, recomendando a introdução do �espírito� da MM nas
Faculdades de Filosofia, e, finalmente, uma resolução que propunha a
realização de experiências no secundário com introdução de �noções de
MM, a serem relatadas no IV Congresso�. (SILVA, 2006, p. 54-55)
As influências para o desenvolvimento do Movimento de Matemática
Moderna no Brasil foram variadas, porém é de importante destaque um curso
realizado nos EUA, no qual professores do Brasil e da América Latina foram
convidados a participar.
Esse seminário de verão aconteceu na Universidade do Kansas, em 1960,
onde, entre professores brasileiros e latino-americanos, participou o professor
Osvaldo Sanigiorgi, que ficou nos EUA por quatro meses. Segundo Búrigo (1989,
p.104), Sangiorgi, em depoimento oral, destaca que percebeu a preocupação do
governo norte-americano em �reciclar� os professores.
Temos esse fato como um forte indício de que o Movimento norte-americano
influenciou o Movimento no Brasil, pois Sangiorgi, em 31 de outubro de 1961, um
ano após voltar dos EUA, fundou o GEEM (Grupo de Estudos do Ensino de
Matemática), que realizava cursos de formação de professores de maneira muito
semelhante ao SMSG, divulgando assim o Movimento renovador no Brasil.
O GEEM foi um grupo pioneiro e influenciou outros grupos como o NEDEM
(Núcleo de Estudos e Difusão do Ensino da Matemática), criado em 1962 e
coordenado pelo professor Osny Antônio Dacól e o GEEMPA (Grupo de Estudos
sobre o Ensino da Matemática em Porto Alegre), criado em 1971, e coordenado por
Esther Pillar Grosi. Ambos tiveram objetivos muito semelhantes aos do GEEM, ou
seja, desenvolver e divulgar o MMM no Brasil.
Muitos integrantes do GEEM, como o seu próprio presidente, Osvaldo
Sangiorgi, e outros como Benedito Castrucci, tiveram fundamental importância na
difusão do MMM no Brasil devido à autoria de livros didáticos. Vale destacar o livro
didático inovador editado em 1963 para a primeira série ginasial denominado:
�Matemática Moderna� de Osvaldo Sangiorgi.
34
Segundo Choppin (2000, p.109), os manuais didáticos são meios de
comunicação muito potentes cuja eficácia repousa sobre a importância de sua
difusão e sobre a uniformidade do discurso que transmitem. E realmente
percebemos essa potência de difusão que um livro didático pode possuir no
desenvolvimento de um Movimento, pois o grande número de exemplares vendidos,
desse livro didático de Sangiorgi, demonstra a maneira poderosa de como um livro
pôde influenciar e engajar professores de um país tão grande como o Brasil em um
Movimento Renovador como o da Matemática Moderna.
Em relação à potência dos livros didáticos como meio de difusão, Valente
destaca:
A dependência de um curso de matemática aos livros didáticos,
portanto, é algo que ocorreu desde as primeiras aulas que deram
origem à matemática hoje ensinada na escola básica. Fica assim, para a
matemática escolar, desde os seus primórdios, caracterizada a ligação
direta entre os compêndios didáticos e desenvolvimento de seu ensino
no Brasil. Talvez seja possível dizer que a matemática constitui-se na disciplina que mais tenha a sua trajetória histórica atrelada aos livros didáticos. (VALENTE, 2005, p.14).
Valente apresenta um forte argumento de que o estudo da história do ensino
da matemática no Brasil pode se aproximar daquilo que Juliá descreve como
práticas escolares, a partir da análise de livros didáticos, que atrelam em si a
trajetória da disciplina matemática.
35
2.1. A TEORIA DOS CONJUNTOS NO MMM OCORRIDO NO BRASIL
O Movimento de Matemática Moderna no Brasil incluiu novos conteúdos no
ensino de Matemática da escola secundária.
Esses conteúdos são: Teoria dos Conjuntos; conceitos de Grupo, Anel e
Corpo; Matrizes, Determinantes e Espaços Vetoriais; Álgebra de Boole, noções de
Cálculo Diferencial e Integral. Esses conteúdos até então apenas faziam parte do
currículo do Ensino Superior.
Investigamos principalmente a inserção da Teoria dos Conjuntos, pois esse
era um tema central do Movimento. Era pretendido que a Teoria dos Conjuntos
fosse linguagem para toda a Matemática e em todos os níveis de escolaridade
visando unificar a disciplina:
A ênfase nos conjuntos era fundamentada no fato de ser um conceito básico da Matemática, além de uma poderosa ferramenta para a
unificação da disciplina, que no século XIX era considerada como �as
Matemáticas�. (SOARES, 2001, p.48, itálicos do autor)
A Teoria dos Conjuntos foi um dos conteúdos novos inseridos nos livros
didáticos do Movimento da Matemática Moderna e é nosso objeto de estudo. Para
realizarmos uma análise das condições da inserção desse conteúdo nos livros
faremos um breve panorama das principais intenções dos movimentos renovadores
do ensino de Matemática, que nos propiciará a uma maior compreensão da
motivação para a análise da Teoria dos Conjuntos.
As principais buscas de mudanças no ensino de Matemática giravam em
torno de uma tentativa de aproximar a Matemática do Ensino Secundário à
Matemática do Ensino Superior, ou seja, as mudanças visavam um preparo dos
alunos para dar prosseguimento nos seus estudos.
[...] reclama-se para a Matemática, em termos das finalidades do seu
ensino, um triplo papel. Um papel formativo que, apesar de ser enunciado de um modo genérico, podemos dizer que é visto como um
meio de desenvolver as capacidades mentais e intelectuais do aluno, um papel de preparação dos alunos tendo em vista o prosseguimento
dos seus estudos, e um papel instrumental no que se refere à sua
inserção na vida quotidiana e profissional. No entanto, a encerrar as
conclusões do relatório, quando é enunciado o propósito com que os
trabalhos de reforma são encarados, a primeira das finalidades
anteriormente apresentadas não aparece, mantendo-se apenas as
outras duas que visavam a preparação dos alunos para a vida
36
quotidiana e para a continuação dos seus estudos. (GUIMARÃES,
2006, p.29, grifo nosso)
Essas tentativas de aproximação não se verificaram apenas no período do
Movimento da Matemática Moderna, mas também nas Reformas que o precederam:
Reforma Francisco Campos em 1931 e Reforma Gustavo Capanema em 1942 no
Brasil.
Essas Reformas ocorridas no Brasil foram fundamentais para a unificação
das �Matemáticas�, que antes desse período constituíam três áreas distintas:
Geometria, Álgebra e Aritmética. A unificação deveria se realizar, segundo Braga
(2003), com o conceito de função. Braga realiza uma análise de livros didáticos do
período das Reformas e constata que fora realizada uma introdução do Cálculo no
Ensino Secundário, que utilizava o conceito de função, também abordado pela
Teoria dos Conjuntos, unificaria as �Matemáticas�.
Um dos autores que Braga (2003) analisa foi Euclides Roxo, que lançou uma
coleção inovadora intitulada �Curso de Matemática Elementar�, onde interpretou as
concepções do movimento modernizador internacional, norteado por Felix Klein.
Segundo Braga (2006), o movimento internacional de renovação do Ensino
Secundário ocorrido no início do século XX em países como Alemanha, Inglaterra,
França e Estados Unidos teve como nome de destaque o matemático prussiano-
alemão Christian Felix Klein (1849-1925), que exerceu uma liderança no que diz
respeito à autoridade nas concepções inovadoras.
O ideário do movimento internacional de renovação tem como uma de suas
bases a preocupação já mencionada, com o Ensino Superior:
Aliás, Klein, em diversos momentos da referida obra, deixa claro a sua
grande preocupação com o ensino superior, chegando a afirmar que se preocupam muito pouco no ensino secundário de como pode o ensino
superior seguir construindo sobre a base que ele proporciona, e que no mais das vezes se conformam com definições que no momento bastam,
porém que nada significa frente ao acúmulo de necessidades do ensino superior. (BRAGA, 2006, p. 43 - 44)
Observamos esse mesmo foco no Ensino Superior no Movimento da
Matemática Moderna, pois a preocupação em preparar os estudantes norteou as
reformas e a introdução dos tópicos da Matemática Moderna, como relata Soares:
37
Um dos principais motivos que levaram a uma preocupação com o
ensino da Matemática foi o baixo conhecimento matemático dos
estudantes ao entrar na universidade. (SOARES, 2001, p.45)
Os protagonistas do Movimento se apoiaram nos trabalhos do grupo dos
Bourbaki para desenvolver uma �modernização curricular� e inserir em livros
didáticos, entre outros conteúdos, a Teoria dos Conjuntos.
Nicholas Bourbaki era um pseudônimo utilizado por integrantes de um grupo
de matemáticos que desenvolveram trabalhos voltados a revolucionar a Matemática
por meio do estudo das estruturas. O método utilizado pelo grupo era axiomático e
de uma linguagem extremamente formal e rigorosa. O grupo Bourbaki desenvolveu
seu trabalho baseado em três tipos de estruturas que fundamentam a matemática:
estruturas algébricas, estruturas de ordem e estruturas topológicas. Qualquer outro
tipo de estrutura na Matemática, segundo o grupo, pode ser gerida por meio dessas
três estruturas fundamentais.
Os protagonistas do Movimento utilizaram um ideário que acreditamos que
tendia para as idéias �Bourbakistas�, justamente enfatizar o ensino da Teoria dos
Conjuntos em todas as séries do Secundário, porém, não utilizando todo o trabalho
dos Bourbaki, dado que era focado no desenvolvimento da Matemática Superior, e
não no Ensino Elementar e Secundário.
É notável perceber em estudos de dissertações e teses a tática utilizada
pelos participantes do Movimento onde justificam a inserção curricular da
Matemática Moderna apoiados na teoria psicogenética de Piaget. Segundo
Pavanello (2002) essas justificativas surgiram de uma interpretação que os
participantes do Movimento fizeram da Teoria Piagetiana.
Assim é que, nos anos 60, o forte interesse demonstrado em várias
oportunidades por Piaget pela teoria bourbakiana das estruturas matemáticas como paradigma explicativo das estruturas operacionais da
inteligência em desenvolvimento, acabou sendo utilizados pelos
matemáticos para dar sustentação psicológica a um movimento que
ficou conhecido como �matemática moderna�. Cumpre observar que
esse movimento foi iniciado no âmbito da matemática e visava a
introduzir no ensino os resultados mais recentes da pesquisa nessa área do conhecimento, a conexão com a teoria genética sendo feita
posteriormente. (PAVANELLO, 2002, p.50)
Piaget estudou as estruturas lógico-matemáticas pois acreditava que essas
estruturas pudessem modelar a organização dos processos cognitivos do estudante.
38
Partindo dessas teorias entendemos que a base da Matemática Moderna se situava
nos trabalhos dos Bourbaki, priorizando a inserção da Teoria dos Conjuntos nos
programas e se apoiava em Piaget, com o objetivo de entrelaçar a matemática
rigorosa e baseada em estruturas matemáticas com a teoria psicológica, também
fundamentada em estruturas, nesse caso, estruturas mentais. (SOARES, 2001,
p.11)
Jean Piaget descreve os estágios do desenvolvimento em quatro grandes
categorias:
Sensório motor (de 0 a 24 meses) � onde o conhecimento começa a se
desenvolver a partir do contato físico tendo o objeto como principal fonte.
Pré-operacional (de 2 a 6 anos) � o ato de pensar baseia-se em ações
concretas e na visualização e a criança não tem a capacidade de realizar
comparações baseadas na imaginação.
Concreto (de 7 a 12 anos) � se iniciam as operações denominadas lógico-
concretas, onde as respostas estão em função da observação do mundo e
no conhecimento adquirido, sendo esta a fase da �escolarização� onde os
primeiros textos e as primeiras operações matemáticas são aprendidas.
Operações formais (acima de 12 anos) � nessa fase desenvolvem-se as
operações formais e proposicionais com raciocínio sustentado no
conhecimento físico e em hipóteses lógicas.
Há um comparativo feito desde a época do Movimento da Matemática
Moderna e ainda constatamos hoje em dissertações como SOARES (2001),
relacionando a Teoria de Jean Piaget com a Teoria de Bourbaki.
No estágio das operações concretas, que se inicia na faixa dos 7 anos
de idade, Piaget constata que as primeiras operações das quais se
serve a criança em seu desenvolvimento, e que derivam diretamente das coordenações gerais de suas ações sobre os objetos, podem se
repartir em três categorias gerais que equivalem às estruturas-mãe de
Bourbaki: as estruturas algébricas, as estruturas de ordem e as
estruturas topológicas. (SOARES, 2001, p.51)
Pavanello (2002) apresenta um embate que existiu entre o ensino da
matemática tradicional e a moderna, ressaltando alguns argumentos que
posteriormente foram utilizados para classificar a matemática moderna como
fracassada.
39
O mesmo aconteceu com suas advertências sobre a possibilidade de
fracasso em tentativas de �ensinar matemática �moderna� a crianças
pequenas usando métodos arcaicos, baseados na transmissão verbal
do professor para o aluno e com uso prematuro do formalismo�. Considerando que, se o problema com a matemática tradicional era
levar a criança a resolver uma enorme quantidade de problemas,
�muitos deles absurdos�, Piaget (1973, p.84 � 85) assinalava que, com a �moderna� o problema poderia estar num outro nível: o professor poderia ser � muitas vezes tentado a apresentar noções e operações
cedo demais, num quadro que já é muito formal�[...] (PAVANELLO,
2002, p. 52)
A teoria de Piaget pode ter sido mal interpretada durante a vigência do
Movimento da Matemática Moderna, pois acreditamos que seu uso teve muito mais
importância como propaganda do que como base teórica, afinal é uma teoria
bastante densa e o próprio Piaget alertou sobre os exageros de interpretação de
sua teoria:
[...] pode-se confundir a iniciação à Matemática com o entrar de cheio
em sua axiomática. Contudo, a única coisa que se pode axiomatizar são
os dados intuitivos prévios e, de um ponto de vista psicológico, uma
axiomática só tem sentido quando supõe uma tomada de consciência ou
reflexão retroativa, o que implica toda uma construção proativa anterior.
A criança � desde os 7 anos � e o adolescente manipulam continuamente operações de conjuntos, de grupo, de espaço vetorial,
etc., mas sem estarem absolutamente conscientes disso, posto que se trata de esquemas fundamentais de comportamento � e, depois de raciocínio � antes de poderem chegar a converterem-se em objetos de reflexão. Torna-se, pois indispensável toda uma graduação para poder
passar da ação ao pensamento representativo, e uma série não menor de transições para passar do pensamento operatório à reflexão sobre
esse pensamento; o último escalão é então a passagem desta reflexão
à axiomática (PIAGET, 1978, p.185,186 apud SOARES, 2001, p.52)
O ano do texto,1978, próximo do declínio do Movimento, leva-nos a crer que
Piaget parece fazer um balanço do Movimento. Piaget faz esse alerta pois a
Matemática Moderna procurou axiomatizar todo o ensino, entendendo que assim
aproximaria a Matemática ensinada no Ensino Secundário à Matemática do Ensino
Superior, preparando melhor os alunos que ingressariam nas Universidades.
Partindo desses fatos, procuramos investigar de que maneira foi inserida a
Teoria dos Conjuntos nos livros didáticos durante o MMM no Brasil, pois como os
livros exercem influência tão forte na difusão de um movimento, nos aproximamos
muito da compreensão da prática escolar durante a vigência do Movimento. Temos
como foco a análise da inserção desse conteúdo nos livros e se o saber científico
40
sofreu intervenções do cotidiano escolar na elaboração, inserção e desenvolvimento
do conteúdo para se tornar um elemento da disciplina escolar.
Para tal análise, faremos um breve panorama histórico do desenvolvimento
da idéia de Conjunto e sua constituição como teoria Matemática, estudaremos quais
matemáticos foram mais influentes em seu desenvolvimento e como essa Teoria
chegou aos Bourbaki no século XX. Por fim, retornaremos à análise do MMM no
Brasil, visando apresentar as características de conteúdo do Movimento, assim
como a ênfase dada à Teoria dos Conjuntos.
41
CAPÍTULO 3
TEORIA DOS CONJUNTOS: UM PANORAMA HISTÓRICO
42
Neste Capítulo temos como objetivo apresentar um panorama do
desenvolvimento da Teoria dos Conjuntos de acordo com textos de História da
Matemática.
É notável a presença da Teoria dos Conjuntos em diversos momentos do
desenvolvimento da Matemática em sua história. Destacamos como uma possível
primeira �aparição� da idéia de conjunto, ou coleção, no escrito matemático
encontrado no cetro real do Rei Menés. Boyer (1974, p. 8) relata que o cetro se
encontra em um museu em Oxford, e possui mais de 5000 anos.
O registro encontrado no cetro indica a captura de 120 000 prisioneiros e
1 422 000 cabras, números que podem, por um lado revelar um exagero e talvez
certa desconfiança pela quantidade, por outro lado nos mostra a idéia, ainda que
informalmente, de conjunto. Essa idéia informal se dá a partir do fato de que foi
relacionada uma quantidade de prisioneiros e cabras que estão separadas em
conjuntos distintos.
A idéia de Conjunto como toda Matemática, se desenvolveu passando por
diversos momentos. Descreveremos as contribuições de Boole e de Cantor, como
um marco importante no desenvolvimento desse conceito.
O estudo da Álgebra sofreu fundamentais mudanças em meados do século
XIX, quando o matemático inglês George Boole (1815 � 1864) realizou a �liberação
da Álgebra� (GARBI, 2006). Até então, a Álgebra era vista como uma área da
Matemática que relacionava regras aplicáveis às operações aritméticas, quando
Boole mostrou que a Álgebra também pode trabalhar com diversos outros entes,
como Conjuntos e proposições de Lógica.
George Boole, nascido na Inglaterra, estudava Matemática e exercia
docência desde os 16 anos no ensino primário. Durante seus estudos de
Matemática percebeu que as regras e manipulações algébricas não precisavam ser
tratadas apenas no âmbito numérico, mas também com os Conjuntos.
As manipulações ou regras estudadas por Boole e relacionadas aos
conjuntos, podem ser observadas a seguir. Suponhamos que a e b são dois
números reais que associaremos de duas maneiras, adição e multiplicação:
i. a + b (adição)
ii. ab (multiplicação)
Podemos apresentar também algumas regras e propriedades:
i. a + b = b + a
43
ii. a + (b + c) = (a + b) + c = (a + c) + b
iii. ab = ba
iv. a(bc) = (ab)c = (ac)b
v. a(b + c) = ab + ac
entre outras.
Boole desenvolveu um tipo de raciocínio similar, porém aplicado aos
conjuntos, representados por letras maiúsculas, onde definiu duas formas de
associação, uma que pode ser denominada adição, porém é popularmente mais
conhecida como União (A + B ou A B) e outra forma denominada produto ou
Intersecção (AB ou A B).
Uma forma bastante simples e de fácil compreensão das operações com
Conjuntos são os conhecidos diagramas de Venn, que não foram inventados pelo
matemático inglês John Venn (1834 � 1923), mas foram inventados um século antes
por Leonhard Euler (1707 � 1783). Podemos observar as operações com Conjuntos
ilustradas com os diagramas 1 e 2 da figura 2:
A B A B
Diagrama 1 Diagrama 2
Figura 2: Exemplo de união e intersecção de conjuntos.
A primeira forma de associação, a União, se refere a tomarmos todos os
elementos contidos no primeiro conjunto ou no segundo. Já a Intersecção se refere
a tomarmos apenas os elementos contidos em ambos os conjuntos
simultaneamente.
Utilizando a definição formal temos:
i. x A B x A ou x B
ii. x A B x A e x B
A partir dessas definições podemos verificar propriedades análogas àquelas
definidas para a adição e multiplicação de números reais:
44
i. A B = B A (comutativa)
ii. A (B C) = (A B) C = (A C) B (associativa)
iii. A B = B A (comutativa)
iv. A (B C) = (A B) C = (A C) B (associativa)
Porém, muitas propriedades de operações definidas na álgebra não são
análogas aos conjuntos, como:
i. A A = A
ii. A A = A
Sendo que na Álgebra:
i. a + a = 2a
ii. aa = a2
Boole, com essas considerações e percepções, contribuiu de forma
substancial para a Teoria dos Conjuntos, pois outros matemáticos utilizaram seu
raciocínio algébrico dos conjuntos para desenvolvimento de suas teorias.
O matemático que podemos denominar como uma figura maior no
desenvolvimento da Teoria dos Conjuntos foi Georg Cantor (1845 � 1918) nascido
em S. Petersburgo na Rússia, de pais emigrados da Dinamarca, mas passou a
maior parte da sua vida na Alemanha, pois sua família se mudara para Frankfurt
quando tinha onze anos de idade. Cantor se interessou por questões de infinito e
continuidade por influências de teólogos medievais, já que descendia de pais
cristãos, mãe católica de nascimento e pai protestante. Tais influências fizeram com
que Cantor não seguisse na �mundana� carreira de Engenheiro, como sugeria seu
pai, e se concentrasse em Física, Filosofia e Matemática.
Cantor defendeu sua tese de doutoramento em Berlim no ano de 1867, com
apenas 22 anos, onde mostrou uma atração pela análise de Weierstrass, já que sua
tese tinha como tema a Teoria dos Números. As maiores contribuições de Cantor
centram-se nas problemáticas questões de infinito.
Dedekind (1831 � 1916), amigo de Cantor e aluno de Weierstrass definiu que
�um sistema S é infinito quando é semelhante a uma parte própria dele mesmo;
caso contrário S se diz um sistema finito.� (DEDEKIND apud BOYER, 1974, p. 413).
Essa definição nos leva a compreensão da questão do infinito baseado na
correspondência biunívoca, ou seja, um conjunto se diz infinito se os elementos de
um subconjunto próprio podem ser postos em correspondência biunívoca com o
45
conjunto. Como exemplo, podemos citar o conjunto IN* e seu subconjunto A dos
quadrados perfeitos, onde cada elemento de IN* possui um único correspondente
em A:
IN* � A
1 � 1
2 � 4
3 � 9
4 � 16
...
n � n2
...
Cantor, em 1874, publicou um de seus principais artigos onde reconhece a
propriedade dos Conjuntos Infinitos, mas observou que eles não são todos iguais.
Cantor desenvolveu uma hierarquia de conjuntos infinitos onde diz que alguns deles
têm a mesma potência11 e outros têm potência maior.
Relacionado à potência dos conjuntos, pareciam os números Racionais
serem muito mais �numerosos� que os inteiros, mas Cantor também demonstrou,
por correspondência biunívoca, que o conjunto dos números Racionais também
pode ser posto em cardinalidade, ou seja, pode ter seus elementos postos em
correspondência com os Naturais. Na figura a seguir fica clara a idéia da seqüência
proposta por Cantor:
1 2 3 4 5 ........
1 1 1 1 1
1 2 3 4 .......
2 2 2 2
1 2 3 ........
3 3 3
1 2 ........
4 4
1 ........
5 Figura 3: Seqüência de números Racionais proposta por Cantor.
11 O termo potência refere-se a cardinalidade, ou à �quantidade� de elementos do conjunto.
46
Essa seqüência de números racionais pode ser colocada em
correspondência biunívoca com os números Naturais, portanto, podemos dizer que
existe a cardinalidade, ou que os números Racionais são enumeráveis.
Quanto aos números Reais, Cantor em 1874 respondeu que esses não
podem ser colocados em correspondência biunívuca com os Números Naturais, ou
seja, não podem ser enumerados. Sua demonstração se fundamentou em um
raciocínio por absurdo.
Esse panorama explicita uma parcela do desenvolvimento da Teoria dos
Conjuntos na História da Matemática. Os conceitos elucidados nessa apresentação
histórica têm o objetivo de nos aproximar do assunto abordado na análise dos livros
sobre a Teoria dos Conjuntos, dado que esses livros também são representantes de
uma parte do desenvolvimento histórico da Teoria, mostrando como ela se
apresentava nas décadas de vigência do Movimento de Matemática Moderna.
47
3.1. ANÁLISE DOS LIVROS SOBRE TEORIA DOS CONJUNTOS
Dado que os conceitos da Teoria dos Conjuntos estão entre as principais
novidades do Movimento da Matemática Moderna (MMM), também objetivamos
nesse capítulo mostrar de que maneira essa Teoria era apresentada em alguns dos
livros destinados ao Ensino Superior, para que de uma forma comparativa,
possamos estudar a teoria apresentada nos livros didáticos de Sangiorgi. Essa
comparação se insere no objetivo de mostrar como alguns elementos surgem a
partir da cultura escolar.
Para tanto, estudaremos os livros: Teoria Ingênua dos Conjuntos de Paul R.
Halmos, traduzido em português pelo Professor Irineu Bicudo e Teoria dos
Conjuntos de autoria de Edison Farah.
Também utilizaremos o livro Elementos de Teoria dos Conjuntos, publicado
pelo Grupo de Estudos do Ensino da Matemática (G.E.E.M.) e de autoria de
Benedito Castrucci. Escolhemos esse livro para análise, devido o seu uso na
preparação dos professores para a Matemática Moderna ocorrida nos cursos
promovidos pelo G.E.E.M., onde Benedito Castrucci ministrava cursos sobre Teoria
dos Conjuntos, que supomos serem baseados nesse livro.
48
3.1.1. TEORIA INGÊNUA DOS CONJUNTOS � PAUL R. HALMOS
O livro Teoria Ingênua dos Conjuntos de Paul R. Halmos, que tem como
nome original Naive Set Theory, foi traduzido pelo professor Irineu Bicudo, um dos
integrantes do G.E.E.M. e participante do Movimento da Matemática Moderna no
Brasil. Na nota do tradutor, Irineu Bicudo relata que em 1963, ao cursar a cadeira de
Análise Superior, ministrada pelo professor Dr. Edison Farah, na Faculdade de
Filosofia, Ciências e Letras da USP, veio a conhecer livros que tratavam sobre
Teoria dos Conjuntos, tema que, acompanhado de Topologia Geral, era ministrado
por Farah.
Dessa maneira, o professor Bicudo tomou conhecimento do livro Naive Set
Theory de Halmos, e iniciou sua tradução em 1964, sendo essa sua primeira
experiência como tradutor. (HALMOS, 1970, Nota do Tradutor).
A denominação �ingênua� para essa obra não se remete ao sentido de
simples ou banal, pois o próprio autor, no Prefácio, deixa claro que se trata de uma
�teoria axiomática dos conjuntos do ponto de vista ingênuo�, ou seja, é axiomática,
pois alguns axiomas são enunciados e usados como base, e é ingênua na
linguagem e notação, que Halmos descreve como uma linguagem da �Matemática
Ordinária Informal�, mas ele mesmo admite, entre parênteses, que seria
formalizável.
No Prefácio do livro fica muito clara a preocupação do autor em prevenir o
leitor de que o livro foi escrito de maneira informal e chegando até o ponto de ser
coloquial. Porém, ele admite que ainda assim os leitores podem ter uma dificuldade
na leitura em função da complexidade do assunto.
No primeiro capítulo do livro, Halmos mostra o quão axiomática é sua obra,
enunciando o Axioma da Extensão. Para chegar ao enunciado do axioma, Halmos
descreve, de maneira pragmática, os conjuntos, como conceito primitivo e
comparando-o com coleções de frutas/animais:
Uma matilha de lôbos, um cacho de uvas ou um bando de pombos são
todos exemplos de conjuntos de coisas. O conceito matemático de
conjunto pode ser usado como fundamento para toda a matemática
conhecida. (HALMOS, 1970, p.1)
Nessa frase de Halmos, percebemos a essência do uso da Teoria dos
Conjuntos no MMM, que é admiti-la como base ou �fundamento� para toda a
Matemática, ou seja, Halmos afirma que a Matemática pode ser estruturada pela
49
Teoria dos Conjuntos e no MMM os protagonistas se apropriam dessa idéia.
Ainda precedendo o enunciado do Axioma da Extensão, o conceito de
pertinência é citado como o principal conceito da Teoria dos Conjuntos. Relativo a
esse conceito, Halmos apresenta o símbolo �� e afirma que �essa versão da letra
grega épsilon é tão freqüentemente usada para denotar pertinência que seu uso
para denotar tudo o mais é quase proibido.� (HALMOS, 1970, p. 2). Essa frase de
Halmos salienta rigor na linguagem, característico da Teoria dos Conjuntos e, que
parece ter sido absorvido pelo MMM.
Outra relação citada é a igualdade entre conjuntos. Essa relação é dada pelo
Axioma da Extensão que diz que dois conjuntos são iguais se, e somente se, têm os
mesmos elementos e, por fim, a relação de inclusão e seu símbolo �� são
apresentados ainda no primeiro capítulo do livro.
No capítulo 2, Halmos enuncia o Axioma da Especificação que diz que toda
afirmação feita sobre os elementos de um conjunto especifica um subconjunto.
Também apresenta uma pequena lista com sete operadores lógicos:
e, ou (no sentido de �_ ou _ ou ambos�), não, se _ então _ (ou implica), se e somente se, para alguns (ou existe), para todo. (HALMOS, 1970, p. 6)
No desenvolvimento do Axioma da Especificação, o autor apresenta uma
prova12 mostrando que não há um conjunto universo ou, em outras palavras, que
nada contém tudo.
Segue que, qualquer que o conjunto A possa ser, se B = {x A: x x}, então, para todo y, (*) y B se e somente se (y A e y y). Pode acontecer B A? Vamos proceder à prova de que a resposta é
não. De fato, se B A, então ou B B também (improvável, mas não
obviamente impossível), ou B B. Se B B, então, por (*), a hipótese B
A dá B B � uma contradição. Se B B então, por (*) outra vez a
hipótese B A dá B B � uma contradição de novo. Isto completa a
prova de que B A é impossível e então devemos ter B A. A parte mais interessante desta conclusão é que existe algo (a saber, B) que
não pertence a A. O conjunto A neste argumento era inteiramente
12 O conceito de prova no âmbito do ensino e aprendizagem tem uma amplitude maior, levando-se em consideração provas que vão do mais pragmático ao mais formal, até que se atinja o nível formal de uma
demonstração. Nesse contexto, o conceito de prova utilizado pelo autor deve ser compreendido como demonstração formal.
50
arbitrário. Nós provamos, em outras palavras, que nada contém tudo, ou, mais espetacularmente, não há universo. (HALMOS, 1970, p.7 � 8)
O quarto capítulo trata das reuniões e intersecções de conjuntos. Halmos
apresenta uma analogia entre estas operações e os operadores lógicos ou e e
respectivamente:
i. A B = { x ; x A ou x B }
ii. A B = { x ; x A e x B }
Também são apresentadas nesse capítulo algumas operações de reunião e
intersecção de pares de conjuntos, onde se observa muita proximidade com as
propriedades da Álgebra Booleana apresentadas no 3º Capítulo:
i. A = A
ii. A B = B A (comutatividade)
iii. A (B C) = (A B) C (associatividade)
iv. A A = A (idempotência)
v. A B se e somente se A B = B
vi. A =
vii. A B = B A (comutatividade)
viii. A (B C) = (A B) C (associatividade)
ix. A A = A (idempotência)
x. A B se e somente se A B = A
No quinto capítulo são apresentados o complemento e a potência de
conjuntos. Complemento, também chamado de diferença, é uma operação que,
assim como reunião e intersecção, foi utilizada no ensino de Matemática no
Ensino Secundário da época do MMM. O Complemento é definido por
A � B = { x A ; x B }.
O Axioma das Potências é enunciado no 5º capítulo e diz: �para cada
conjunto existe uma coleção de conjuntos que contém entre seus elementos todos
os subconjuntos do conjunto dado.� (HALMOS, 1970, p.20). Nesse axioma, o autor
utiliza o termo coleção em substituição à palavra conjunto, pois já havia mencionado
no primeiro capítulo que em determinados momentos ele utilizaria coleção ou classe
51
para evitar uma �monotonia terminológica�. Essa terminologia também se observa
nos livros didáticos do MMM de autoria de Sangiorgi.
Na definição do conjunto potência, Halmos utiliza uma letra maiúscula P em
um estilo diferente de fonte: , certamente para diferenciar um �conjunto comum�
de um conjunto de conjuntos. Ele apresenta a notação: = {X : X E} e afirma que
se E é um conjunto, então existe um conjunto tal que se X E, então X .
Como exemplo, temos o conjunto E = {a, b} e (E) = {, {a}, {b}, {a, b}}. Esse
conjunto é também conhecido por outros autores como �conjunto das partes�.
O sexto capítulo, que trata dos pares ordenados, inicia com uma noção
básica sobre arranjo dos elementos de um conjunto em uma determinada ordem. O
autor considera o conceito de ordem como ainda indefinido. Em seguida é dado um
exemplo utilizando um conjunto A = {a, b, c, d} e é considerado um conjunto
C = {{a, b, c, d}, {b, c}, {b, c, d}, {c}} e então Halmos define ordem como um novo
arranjo dos subconjuntos que são elementos de C. Esse novo arranjo é feito do
menor para o maior, ou seja, o subconjunto que está contido em todos os outros é o
{c}, portanto será o primeiro, e assim por diante, formando: C = {{c}, {b, c}, {b, c, d},
{a, b, c, d}}. O autor define como �menor� o conjunto que está contido em todos os
outros, no caso {c}.
Halmos prossegue com as definições de par ordenado e, em seguida, a
definição de produto cartesiano:
O produto cartesiano de dois conjuntos é um conjunto de pares
ordenados (isto é, um conjunto cujos elementos são, cada um, um par
ordenado), e o mesmo é verdade para todo subconjunto de um produto
cartesiano. É de importância técnica saber que podemos caminhar
também na direção oposta: todo conjunto de pares ordenados é um
subconjunto do produto cartesiano de dois conjuntos. Em outras palavras: se R é um conjunto tal que todo elemento de R é um par
ordenado, então existem dois conjuntos A e B tais que R A X B. (HALMOS, 1970, p. 25).
O sétimo capítulo, que trata das relações, tem em seu início uma noção geral
de relação, trazendo exemplos cotidianos como casamento entre homens e
mulheres e exemplos na Teoria dos Conjuntos como a pertinência entre elementos
e conjuntos. Em seguida, Halmos define relação como um conjunto de pares
ordenados e, por meio de exemplos, mostra que relação é um subconjunto do
produto cartesiano entre dois conjuntos.
52
Ainda neste capítulo são apresentadas as definições de domínio e
contradomínio de uma relação, fazendo um preparo para o capítulo seguinte que
trata das funções.
No início do oitavo capítulo, que apresenta o conceito de função, aparece a
definição: �Se X e Y são conjuntos, uma função de X em Y é uma relação tal que
dom = X e para cada x X há um único elemento y em Y com (x, y) .�
(HALMOS, 1970, p. 32). Nessa definição está clara a necessidade das definições
anteriores sobre pertinência, pares ordenados, relação e domínio, conceitos
necessários para que se estruturasse o conceito de função.
A simbologia também é apresentada: : X Y e Halmos cita um exemplo
de função como um catálogo telefônico de uma cidade onde o que ele chama de
�argumentos� da função são os habitantes da cidade e seus �valores� são seus
endereços. (HALMOS, 1970, p. 33). Os argumentos citados são os elementos do
conjunto domínio da função e os valores são os elementos do conjunto imagem, que
ainda não havia sido definido, mas em seguida Halmos dá sua definição como um
subconjunto do contradomínio.
Esses foram os capítulos que tratam dos conteúdos relativos à Teoria dos
Conjuntos que objetivamos analisar. Não tivemos a pretensão de uma análise total
da obra de Halmos, uma vez que só nos serão necessários os conteúdos
compatíveis com os conteúdos que eram pretendidos no Ensino Secundário da
época do MMM.
53
3.1.2. TEORIA DOS CONJUNTOS � EDISON FARAH
O livro Teoria dos Conjuntos escrito pelo professor Edison Farah (1961),
então catedrático da cadeira de Análise Superior da Faculdade de Filosofia,
Ciências e Letras da Universidade de São Paulo, é mais um objeto de análise de
como se apresentou a Teoria dos Conjuntos nos livros destinados ao Ensino
Superior e que podem ter influenciado na constituição do ideário do Movimento da
Matemática Moderna no Brasil.
Assim como na obra de Halmos, começamos nossa análise do livro de
Edison Farah, observando suas considerações no Prefácio.
Farah começa o Prefácio com justificativas da produção do livro, afirmando
que atendeu à sugestão de alunos, colegas e amigos e iniciou com Teoria dos
Conjuntos uma série de publicações para interessados no assunto. Ainda no
Prefácio, esse autor diz que não foi sua intenção desenvolver uma Teoria
Axiomática dos Conjuntos. Assim como observamos no livro de Halmos, os autores
se preocupam em alertar o leitor para a �informalidade� de suas obras, apesar de
não serem tão informais em seu desenvolvimento.
O livro de Farah é composto de três capítulos, onde o primeiro trata de uma
�Parte Geral da Teoria dos Conjuntos�, o segundo trata dos �Conjuntos Ordenados�
e o terceiro dos �Números Transfinitos�.
Desses capítulos, ao primeiro será dada uma maior atenção na análise, pois
trata justamente de noções gerais da Teoria dos Conjuntos e, são essas noções que
encontraremos nos livros didáticos que estudaremos. O primeiro capítulo está
dividido em nove partes que o autor classificou como parágrafos e inclusive utiliza o
símbolo § para denotá-los.
O primeiro parágrafo trata das noções primitivas como: objeto (ou elemento),
conjunto (ou classe), pertinência e igualdade. Farah afirma que adotou as
definições, notações e terminologia do livro Théorie des Énsembles de Nicolas
Bourbaki. (FARAH, 1961, p.1)
As noções primitivas são apresentadas de uma forma intuitiva e utilizando
exemplos desde concretos aos mais abstratos. Conjunto é considerado como uma
coleção de objetos e os elementos são os �objetos� que constituem os conjuntos. Os
exemplos dados por Farah para conjuntos são: �o conjunto das páginas de um livro,
54
o conjunto dos pontos de uma reta, o conjunto das funções contínuas num
intervalo.� (FARAH, 1961, p. 2)
Após a definição intuitiva de conjunto e elemento, Farah trata dos conceitos
de pertinência e de igualdade, inclusive estabelecendo que as letras minúsculas são
utilizadas preferencialmente para denotar elementos e as maiúsculas para
conjuntos, pois os conceitos de pertinência e igualdade introduziriam a simbologia.
O símbolo �� é estabelecido como representante da pertinência e o símbolo �=�
como representante da igualdade.
O conceito de igualdade é interpretado por Farah como a expressão de que
por exemplo, se x = y, então x e y designam o mesmo elemento. A esse conceito
são apresentadas três características: a reflexão, a simetria e a transitividade. Assim
como foram apresentados os símbolos �� para pertinência e �=� para igualdade,
também foram apresentados �� para a não pertinência e �� para desigualdade.
A pertinência, igualdade, negação, conjunção e quantificador existencial com
seus símbolos �, =, ~, , � respectivamente, são utilizados nas �frases� da Teoria
dos Conjuntos. Segundo Farah: �As chamadas frases da Teoria dos Conjuntos (da
teoria a ser desenvolvida aqui) são certas asserções sobre os elementos, feitas
através de símbolos que os representam.� (FARAH, 1961, p. 2, grifo do autor).
Essa primeira parte (ou parágrafo) do primeiro capítulo se destina a definir
alguns conceitos iniciais da Teoria dos Conjuntos e atribuir símbolos a esses
conceitos.
A segunda parte tem como título: �Noções básicas sobre conjuntos� e trata de
conceitos como relação de inclusão, igualdade de conjuntos, conjunto vazio,
conjuntos binários e unitários e conjunto das partes de um conjunto dado.
A exposição desses conceitos acontece de maneira similar à primeira parte,
onde Farah desenvolve o conceito introduzindo sua simbologia. A relação de
inclusão é definida primeiro e, em seguida, é utilizada para que seja definida a
igualdade entre conjuntos.
Dados os conjuntos A e B, diremos que A está contido em B (ou que B contém A) e escrevemos A B (ou B A) se todo elemento de A fôr
também elemento de B. Em outras palavras, �A B� significa: ( x) (x A x B). (FARAH, 1961, p.13, grifos do autor).
55
A noção de conjunto vazio é introduzida com uma demonstração de que só
existe um conjunto sem elementos, ou seja, o conjunto vazio é único.
Figura 4: União de conjuntos representada pelos diagramas.
Figura 5: Diferença de conjuntos representada pelos diagramas.
Ainda no § 2º, do item 10 ao 16 são apresentadas as operações Reunião,
Intersecção e Complementar (conforme figuras 4, 5 e 6) seguidas de suas
características simbólicas e propriedades operacionais como comutatividade,
associatividade e distributividade.
56
Neste item observamos a primeira aparição dos Diagramas de Euler/Venn
com o objetivo de exemplificar as operações, porém, Farah não os introduz com a
denominação de diagrama.
A figura 4 mostra a primeira aparição dos diagramas para elucidar a reunião
de conjuntos, porém o termo diagrama ainda não é empregado, sendo utilizada a
palavra círculo em seu lugar.
Nas figuras 5 na página 55 e 6 é notável a preocupação de Farah em não
utilizar a terminologia de diagrama. Ele usa o termo disco no lugar de diagrama,
quando realiza a apresentação dos conceitos de diferença de conjuntos e
complementar. Esse é um indício da preocupação com a formalidade de não utilizar
um conceito, ou termo sem antes defini-lo, o que fortalece a caracterização de que
seu livro traz uma apresentação focada na formalidade da Teoria dos Conjuntos.
Figura 6: Complementar de conjuntos representado pelos diagramas.
O § 3º tem como foco, introduzir os números naturais apresentando suas
características com proposições, demonstrações, definições e teoremas de uma
maneira abstrata e rigorosamente formal. Nas páginas 39 e 40 ele propõe alguns
exercícios utilizando a mesma formalidade anterior.
O § 4º trata das relações, funções e conjuntos equipotentes, finitos, infinitos e
enumeráveis. Para que esses conceitos fossem definidos, Farah inicia com a
definição de Par Ordenado e em seguida define o conceito de relação determinada
por frases, uma maneira diferente de apresentar esse conceito, que em outras obras
57
é apresentado após a definição de produto cartesiano sendo introduzido como
subconjunto do produto cartesiano.
O conceito de função é apresentado em seguida:
Seja f uma classe de pares ordenados cujos primeiros elementos formem um conjunto não vazio E. Se, então, para cada x E existir um e somente um y verificando {{x}, {x, y}} f, diremos que f é uma função
definida em E. O elemento y para o qual {{x}, {x, y}} f é o valor da função f para o elemento x E, e se designa por f(x). O elemento f(x) se diz também o correspondente ou a imagem de x pela função f, a qual
associa ao elemento x o elemento f(x). O conjunto E é o campo de definição de f, enquanto que o conjunto dos valores de f é a classe dos
f(x) com x E, isto é, precisamente o conjunto dos segundos elementos
dos pares pertencentes a f. (FARAH, 1961, p.44, grifos do autor).
Produto Cartesiano só é definido no § 5º após o desenvolvimento de famílias
e seqüências.
58
3.1.3. ELEMENTOS DE TEORIA DOS CONJUNTOS � BENEDITO
CASTRUCCI
O livro Elementos de Teoria dos Conjuntos de Benedito Castrucci, editado
pelo GEEM em 1967, foi um livro de grande importância na preparação dos
professores para a introdução dos tópicos da Matemática Moderna. Esse livro foi
utilizado nos cursos promovidos pelo GEEM.
Na introdução de seu livro, Castrucci justifica a ênfase dada à Teoria dos
Conjuntos utilizando argumentos históricos, comparando a importância de conjunto
com a importância do número: �A noção intuitiva de conjunto é provavelmente tão
primitiva quanto à de número.� (CASTRUCCI, 1967, introdução).
Entre os argumentos utilizados por Castrucci para dar justificativa e força ao
uso da Teoria dos Conjuntos é o de que a Teoria seria como uma base, abrangendo
todos os ramos da Matemática. Esse argumento também foi utilizado por Halmos.
O crescimento da ciência matemática de 1900 até nossos dias deu à
teoria um papel proeminente. É ela hoje base para todos os ramos da
Matemática; êstes são sempre em última análise estudos de um
conjunto de entes de alguma espécie, (CASTRUCCI, 1967, introdução).
Uma frase que se torna uma espécie de slogan do Movimento é: �É uma
teoria unificadora, na linguagem e na Matemática.� (CASTRUCCI, 1967,
Introdução). Em seguida, Castrucci se alicerça em autoridade utilizando o nome do
grupo Bourbaki como um aliado às tendências modernistas.
Castrucci ressalta que seu livro propõe um estudo elementar e intuitivo, e que
somente após um estudo intuitivo é que deve-se realizar um estudo rigoroso,
utilizando-se de outras obras que o apresentam.
O primeiro capítulo trata de noções de lógica e funciona como um capítulo
�extra� do livro, pois é denominado § 0 e intitulado de �Noções Sucintas de Lógica
Matemática�. Na Introdução, Castrucci informa que o GEEM publicaria uma obra
com noções detalhadas de lógica, denominada: Introdução à Lógica Matemática, de
sua própria autoria e com a primeira edição em 1973.
Neste parágrafo inicial, Castrucci apresenta as proposições ou sentenças de
lógica e define o princípio do terceiro excluído:
Por outro lado, as proposições consideradas são somente as bem
definidas, isto é, aquelas que podem ser decididas se falsas ou verdadeiras. Toda proposição tem um dos dois valores �falso� ou
59
�verdadeiro�, excluindo-se qualquer outro. (CASTRUCCI, 1967, p. 1, grifo nosso)
Os conectivos lógicos que Castrucci define são: e, ou, se...então..., se e
somente se e não, com seus respectivos símbolos , , , , ~. São
apresentadas proposições utilizando-se dos conectivos e em seguida são definidas
as propriedades e utilizadas tabelas-verdade para quantificar os casos de
verdadeiro e falso dos conectivos.
Nas tabelas-verdade, Castrucci utiliza os valores V para indicar que uma
proposição é verdadeira e F para falsa como se seguem alguns exemplos:
a) É claro que para o modificador, temos a tabela abaixo para p e ~p,
indicando-se �falso� e �verdade� respectivamente por F e V: p ~p V F F V
b) Admitindo-se que �p q� é verdade se e somente se p e q são
verdadeiros, vem a tabela: p q Pq V V V V F F F V F F F F
c) � p q� (�ou� inclusivo) é falso se e somente se p e q são falsos,
donde a tabela: p q Pq V V V V F V F V V F F F
d) p q é falso se e somente se p é verdade e q é falso, donde a
tabela: p q Pq V V V V F F F V V F F V
Observe-se que a tabela acima é a mesma que a de ~ p q. e) Como p q é o mesmo que (p q) (q p) então a tabela de p q é a que se segue, utilizando-se os casos d) e b):
p q pq qp (pq) (qp) V V V V V V F F V F F V V F F F F V V V
(CASTRUCCI, 1967, p. 3 � 4)
60
Ainda no § 0 são definidos os quantificadores, sendo o quantificador universal
com significado de �qualquer que seja� ou �para todo� e com símbolo e o
quantificador existencial, que significa �existe� e é indicado pelo símbolo .
Nessa breve apresentação de noções de lógica, podemos observar uma
ênfase na utilização e aplicabilidade da simbologia, procurando universalizar a
linguagem:
Nota: Outras maneiras de ler <<p q>> são: <<p é condição suficiente
para q>> e <<q é condição necessária proveniente de p>>. Deste modo
<<p q>> pode ser lido: <<p é condição necessária e suficiente para
q>> ou <<q é condição necessária e suficiente para q>>. (CASTRUCCI, 1967, p. 2).
Só após essa introdução das noções sucintas de lógica é que Castrucci traz o
título da obra e começa o § 1º que é denominado �Primeiros Conceitos�. De uma
forma similar à apresentação de Halmos (1970), Castrucci enuncia os conceitos
primitivos que são: conjunto, elemento e relação de pertinência. Ainda semelhante
ao livro de Halmos, ele define conjunto de forma intuitiva e ressalta que para o
significado de conjunto também são utilizados os termos coleção, classe ou sistema.
Não diferente do § 0 do livro, Castrucci novamente apresenta a simbologia
para esses conceitos, determinando que para conjunto seriam utilizadas letras
maiúsculas do alfabeto latino, para elemento, letras minúsculas do mesmo alfabeto
e a relação de pertinência seria simbolicamente representada por e sua negação
por .
Duas formas de escrita de conjuntos são expostas: conjunto determinado
pela designação de seus elementos e conjunto determinado pela propriedade de
seus elementos. Ambas as maneiras foram seguidas por exemplos desde abstratos
como �{x | x é real e x > 2}� até concretos �{x | x é aluna desta classe e x tem blusa
vermelha}�.
Na apresentação dos conjuntos unitário, vazio e universo podemos observar
a forma intuitiva que Castrucci utilizou em seu livro:
Para evitar o aparecimento de paradoxos, admitimos a existência de um
conjunto ao qual pertencem todos os elementos com os quais estamos trabalhando. Êste conjunto é denominado conjunto-universo e, salvo casos específicos, será indicado por U. Êste conjunto aparece
espontaneamente quando estamos num ramo de Matemática. Assim, se
estudamos Geometria Plana, o conjunto-universo é o conjunto dos
61
pontos de um plano; se pesquisamos máximo divisor comum ou mínimo
múltiplo comum, o conjunto é, em geral, o dos números naturais.
(CASTRUCCI, 1967, p. 24).
A ausência de demonstrações formais em definições como essa mostram
uma falta de preocupação com a formalidade, que pode ter se dado em função do
público para o qual Castrucci destinava seu livro, tanto na preocupação de não
causar um impacto forte, quanto ao nível de conhecimento, pois ele mesmo alertou
na introdução que seu livro traz um estudo elementar e intuitivo.
Diferente do livro de Halmos, que realiza uma demonstração de que não
existe um conjunto-universo, ou em outras palavras, algo que contenha tudo,
admite-se aqui a existência desse conjunto com o objetivo de �evitar o aparecimento
de paradoxos�. (CASTRUCCI, 1967, p.24)
Outro ponto que chama a atenção é que Castrucci utiliza a relação de
inclusão antes de defini-la. Essa utilização da relação de inclusão acontece na
definição de conjunto-universo, que também se dá de forma pragmática, com
exemplos e sem demonstrações.
A relação de inclusão é definida em seguida, de uma forma muito semelhante
à forma que Halmos e Farah definiram em seus livros.
Ainda no § 1º, Castrucci define a igualdade de conjuntos, conjuntos das
partes de um conjunto e os conjuntos numéricos, ou como ele denomina: �alguns
conjuntos importantes�.
Indicaremos como usuais conjuntos de números como se segue: a)
Conjunto dos números inteiros não negativos, N. b) Conjunto dos
números naturais, isto é, inteiros maiores que zero, N*. c) Conjunto dos
números inteiros, Z. d) Conjunto dos números racionais, Q. e) Conjunto dos números reais, R. f) Conjunto dos números complexos, C.
(CASTRUCCI, 1967, p. 28).
No final do § 1º são propostos exercícios e são apresentadas as notas
complementares com definições e provas relacionadas ao conjunto vazio e ao
conjunto das partes de um conjunto, e P(A), respectivamente.
As operações entre conjuntos, denominadas reunião e intersecção, são
introduzidas no 2º capítulo. Na definição dessas operações, Castrucci utiliza
conjuntos de forma abstrata, apenas denominando-os A e B e preocupando-se em
inseri-los em um conjunto maior denominado universo.
62
Os exemplos iniciais das duas operações contêm diagramas semelhantes
aos de Euler/Venn, porém ainda não introduzidos. Ainda na introdução das
operações, Castrucci dá exemplos utilizando conjuntos numéricos finitos, unindo em
um mesmo texto a linguagem formal e rigorosa e os exemplos concretos.
As figuras 7 e 8, nas páginas 63 e 64, apresentam a preocupação de
Castrucci em utilizar diagramas nas operações com conjuntos. Esses diagramas
são apresentados sem que tenham sido definidos e com forma irregular,
diferenciando-os dos diagramas utilizados no livro de Farah (1961). Castrucci não
utiliza a terminologia diagrama, em seu lugar usa a palavra figura.
Como sugestão para a utilização das operações, Castrucci utiliza a
determinação do M.D.C., M.M.C., resolução de sistemas de equações ou de
inequações e aplicação à linguagem geométrica. Essas sugestões têm uma grande
importância em nossa análise, dado que investigaremos as apropriações
intelectuais, definidas por Chartier e Hébrard (1981) como �processos de leitura�,
onde a partir de uma estratégia definida Osvaldo Sangiorgi desenvolverá sua tática.
Estamos analisando esses livros do ponto de vista das estratégias e a coleção
didática de Sangiorgi será analisada do ponto de vista das táticas.
As figuras 9 e 10, na página 65, apresentam alguns dos exercícios que
Castrucci propõe para utilização das operações. Os demais exercícios podem ser
encontrados nos anexos.
Da mesma maneira que foram apresentadas a reunião e intersecção,
Castrucci introduz as operações: diferença e complementar. A utilização de figuras
semelhantes aos diagramas é novamente percebida e ele também utiliza a mescla
entre linguagem rigorosa e exemplos numéricos que podem ser observadas nas
figuras 11 e 12, nas páginas 66 e 67.
O capítulo 2 apresenta em suas notas complementares uma contextualização
histórica dos Diagramas de Euler/Venn. Nessas notas também aparece a
enumeração de elementos de conjuntos finitos, onde pela primeira vez no livro
observamos exemplos e exercícios com situações reais, diferente dos anteriores,
onde os exemplos se limitavam a conteúdos matemáticos em suas diferentes áreas,
como Geometria, Álgebra e Aritmética. Esses exemplos e exercícios envolvendo as
diferentes áreas mostram indício de uma busca pela unificação da disciplina
Matemática, que era proposta no ideário do MMM, onde a Teoria dos Conjuntos
deveria ser a linguagem unificadora dessas áreas.
63
Figura 7: Reunião de conjuntos representada por diagramas no livro de Castrucci (1967).
64
Figura 8: Intersecção de conjuntos representada por diagramas no livro de Castrucci (1967).
65
Figura 9: Exercícios sobre operações com conjuntos no livro de Castrucci (1967).
Figura 10: Exercícios sobre operações com conjuntos no livro de Castrucci (1967).
66
Figura 11: Diferença de conjuntos representada por diagramas no livro de Castrucci (1967).
67
Figura 12: Conjunto complementar representado pelos diagramas no livro de Castrucci (1967).
O 3º capítulo, intitulado �Propriedades das operações� define, de maneira
intuitiva, as propriedades das operações definidas no 2º capítulo. No final do
capítulo, Castrucci demonstra �algumas das propriedades já verificadas
intuitivamente� (CASTRUCCI, 1967, p.56), e também propõe exercícios, ainda que
em pouca quantidade, relacionados às demonstrações de propriedades.
68
No 4º capítulo são expostos os conceitos de par ordenado e produto
cartesiano. O enfoque inicial remete à Geometria Analítica, com o uso da
representação gráfica. Como nos capítulos anteriores, Castrucci inseriu nas notas
complementares, uma definição mais rigorosa de par ordenado, semelhante à
maneira que Halmos apresentou e simbolizou o conceito em seu livro.
Em lugar de introduzir par ordenado como um conceito não definido,
pode-se usar a seguinte DEFINIÇÃO: Chama-se par ordenado (a, b) ao conjunto {{a}, {a, b}}. Prova-se que (a, b) = (c, d) a = c e b = d. Com efeito, se a = c, então {a} = {c} e se a = c e b = d, então, {a, b} =
{c, d}. Daí, {{a}, {a, b}} = {{c}, {c, d}}, donde (a, b) = (c, d). (CASTRUCCI, 1967, p.64)
Em seguida, Castrucci utiliza exemplos para apresentar a noção de relação.
A definição de relação é exposta com a expressão x < y, onde x são elementos de
um conjunto A e y elementos de um conjunto B e ainda, os pares (x, y) são
elementos do produto cartesiano A X B. Sendo assim, Castrucci denomina A X B de
universo e R (relação de A em B) como um subconjunto de A X B.
Utilizando a linguagem dos conjuntos, representação gráfica e simbologia
algébrica, Castrucci ainda apresenta a definição de Domínio, Imagem e Contra-
Domínio.
Os capítulos 5 e 6, que tratam respectivamente das relações e das funções,
são apresentados de maneira semelhante aos anteriores, mas um ponto que
devemos destacar são os exercícios propostos, onde, utilizando a linguagem da
Teoria dos Conjuntos, Castrucci procura reunir os ramos da Matemática, permeando
por tabelas, gráficos, geometria, álgebra, etc.
Ainda restando os capítulos 7 e 8, notamos a apresentação de conceitos
como Semigrupo e Monóide, Grupo, Corpo, Espaço Vetorial, Anéis, suas
propriedades e homomorfismos e isomorfismos entre grupos e entre anéis.
Em uma visão geral, o livro de Castrucci é o que mais se aproxima de uma
orientação ou proposta para o Movimento de Matemática Moderna. A análise que
faremos da coleção didática de Sangiorgi nos mostrará como se deu a apropriação
dos conteúdos apresentados por Castrucci, ou seja, a �leitura� que Sangiorgi fez
desses conteúdos e como se deu a disciplinarização desses conteúdos inseridos
em sua coleção didática.
69
Devido ao ano da publicação do livro de Castrucci (1967), pode parecer
equivocada a idéia de que Sangiorgi seria influenciado ou influenciaria o livro de
Castrucci, porém, segundo Lima (2006), Castrucci ministrava cursos sobre a Teoria
dos Conjuntos no início do MMM, concomitante com o lançamento da coleção
didática de Sangiorgi.
70
CAPÍTULO 4
ANÁLISE DOS LIVROS DIDÁTICOS
71
A escolha da coleção de livros didáticos que analisaremos neste capítulo se
deu pela importância de seu autor no Movimento de Matemática Moderna e pelo
seu sucesso em vendas. Osvaldo Sangiorgi, como já citado, foi um dos principais
precursores do MMM no Brasil, senão o maior. Escreveu a coleção intitulada
�Matemática: Curso Moderno para os Cursos Ginasiais� com quatro volumes para
as primeiras séries do Ensino Secundário, sendo o lançamento dos volumes feito de
modo gradativo, de forma a acompanhar o avanço dos alunos na seriação.
O sucesso que a coleção didática de Osvaldo Sangiorgi fez nos remete ao
fato de que houve uma grande divulgação do Movimento modernizador:
Desde o início, o GEEM procurou divulgar as idéias da Matemática
Moderna. Osvaldo Sangiorgi era o presidente e porta-voz do grupo e dava inúmeros depoimentos à imprensa e escrevia artigos nos principais
jornais de São Paulo. A imprensa paulista acompanhou de perto todas
as atividades do grupo noticiando a realização de cursos, palestras,
publicações, eventos e reuniões, além de publicar vários artigos de
divulgação sobre o ensino da Matemática. (SOARES, 2001, p. 81 � 82)
As mídias impressas e televisivas tiveram um papel extremamente importante
para que a coleção didática inovadora de Osvaldo Sangiorgi não sofresse os efeitos
da vulgata percebidos no movimento anterior à Matemática Moderna. Esse
movimento anterior ao MMM, denominado Reforma Francisco Campos, teve como
inovação a coleção de livros de Euclides Roxo, coleção que não teve muita
aceitação por parte do público, especialmente dos professores, o que a levou a um
insucesso de vendas.
Os didáticos de Euclides Roxo lançados para atender aos programas da
nova disciplina matemática haviam se tornado alvo de muitas críticas.
Esta ocorrência fez com que algumas editoras procurassem colocar no
mercado livros que se apresentassem como alternativa aos redigidos pelo principal mentor da reforma. Esses novos manuais deveriam abdicar de uma metodologia revolucionária e procurar conciliar os novos
programas com as práticas e concepções dominantes no meio docente
da época. Foi nesse quadro que emergiu a coleção de Stávale.
(BRAGA, 2006, p.119)
Como principal crítico de Euclides Roxo, citamos o professor do Instituto
Caetano de Campos de São Paulo, Jacomo Stávale. Sem dúvida alguma, é bela e útil a nova orientação dada ao ensino da
Matemática pela douta Congregação do Colégio Pedro II. Os quatro
ramos da Matemática Elementar, convém que sejam ensinados
paralelamente, desde o primeiro ano do curso ginasial. Mas o ensino simultâneo desses quatro ramos não pode ser feito atabalhoadamente,
como pretendem alguns autores. (STÁVALE, 1942 apud BRAGA, 2006, p.119)
72
A vulgata é um conceito do trabalho de Chervel (1990), que se refere à
padronização que ocorre no livros didáticos de uma dada época. Essa padronização
ocorre a partir de um manual inovador, que em geral não é bem sucedido em
vendas, e em seguida, os outros livros seguem uma padronização baseada no
manual inovador. A coleção de Sangiorgi não sofreu o efeito do insucesso em
vendas, devido às diversas formas de divulgação de suas características
�modernas�, dentre essas formas, a imprensa.
A coleção didática de Osvaldo Sangiorgi, e de forma mais abrangente, o
Movimento de Matemática Moderna, tiveram como alguns dos processos de
divulgação, cursos promovidos aos professores do ensino secundário e primário e
reportagens jornalísticas, que promoveu uma aceitação inicial e um sucesso de
vendas.
A primeira forma foi realizada com aulas presenciais. Ocorreram a partir do ano de 1960, antes mesmo do GEEM ser fundado. A partir de 1961, os cursos foram promovidos pelo Grupo de Estudos do Ensino de Matemática (GEEM) em convênio com o Ministério da Educação e
Cultura (MEC), a Secretaria de Educação do Estado de São Paulo
(SEESP) e o Instituto Brasileiro de Educação e Cultura (IBECC). Esses cursos, em geral, foram realizados em período de férias
escolares e, por isso, tinham a denominação de cursos de férias.
Quando eram realizados em período letivo, os professores da rede
estadual de ensino eram dispensados oficialmente pela SEESP de suas atividades, em seus respectivos estabelecimentos. (NAKASHIMA, 2007, p. 45)
Esses indícios nos levam a crer que a coleção didática de Sangiorgi teve os
�privilégios� do Movimento da Matemática Moderna no que tange à divulgação. Os
cursos e reportagens, que atribuímos o título de divulgadores do Movimento,
ocorreram a partir do ano de 1960, antes até da fundação do GEEM (outubro de
1961). Entre 1960 e 1963 já eram editadas 13 reportagens sobre a Matemática
Moderna (NAKASHIMA, 2007, p.58) e divulgados por 41 vezes os cursos da
Matemática Moderna (NAKASHIMA, 2007, p.48). Os jornais investigados por
Nakashima foram de uma grande diversidade, e em especial a Folha de São Paulo,
jornal com maior incidência de notas sobre a Matemática Moderna.
Os livros que analisaremos na coleção de Osvaldo Sangiorgi são:
�Matemática: Curso Moderno� volume 1 em duas edições: a primeira de 1963 e a
11ª de 1968 onde já ocorreram modificações, principalmente na Teoria dos
73
Conjuntos; �Matemática: Curso Moderno� volume 2, 3ª edição de 1966 e
�Matemática: Curso Moderno� volume 4, de 1967, cuja edição não é citada.
Os volumes 2 e 3 que não analisaremos trazem a Teoria dos Conjuntos de
forma muito semelhante ao primeiro volume, sendo desnecessária uma
apresentação repetitiva, apenas mostrando os conteúdos.
74
4.1. MATEMÁTICA: CURSO MODERNO � VOLUME 1
O primeiro volume do livro �Matemática: Curso Moderno� tem em suas
primeiras páginas, como muitos livros, um espaço para agradecimentos, onde
encontramos os agradecimentos de Osvaldo Sangiorgi, com ênfase especial ao
GEEM que segundo ele, prestaram �magníficas sugestões e discussões de certos
tópicos aqui presentes�. Esses agradecimentos já não aparecem na 11ª edição
desse mesmo volume.
O livro foi publicado pela Companhia Editora Nacional13, que era situada na
Rua dos Gusmões, 639 em São Paulo, capital.
Nas páginas iniciais também encontramos uma indicação ilustrando a
obtenção do �Prêmio Jabuti � 1963 em Ciências Exatas, outorgado pela Câmara
Brasileira do Livro�. Esse prêmio consta nos arquivos eletrônicos históricos14 da
Câmara Brasileira do Livro, porém a data que referencia o prêmio é de 1964.
Sangiorgi referencia também o que regulamentou a edição de seu livro,
enunciando que atendeu as especificações dos �vinte e quatro itens que compõem
os Assuntos Mínimos para um Moderno Programa de Matemática para os Ginásios�.
Ele também cita a aprovação no IV Congresso Brasileiro do Ensino da Matemática e
a readaptação feita no Curso de Treinamento Básico para Professores Secundários,
que se realizou em Brasília de 25 a 30 de novembro de 1963. Esses indícios nos
mostram que o livro foi editado no final do ano de 1963 e, portanto, só foi realmente
utilizado nos cursos secundários em 1964.
O prefácio dos livros traz uma orientação/propaganda aos estudantes, onde
entre outras, informa que a Matemática �na maioria das vezes, era um �exagero de
cálculos�, �problemas complicados, trabalhosos e fora da realidade� que a tornavam,
quase sempre, um fantasma!� (SANGIORGI, 1963, p. xiii).
Sangiorgi procurava apresentar a Matemática Moderna como uma matéria
menos traumática e mais prazerosa, onde se assemelharia às outras matérias do
currículo do Ensino Secundário no que tange ao modo de raciocinar.
O livro é dividido em quatro capítulos onde o primeiro trata das noções
básicas sobre conjuntos, número, numeral, sistemas de numeração e bases. No
13 Hoje a Companhia Editora Nacional é denominada IBEP � Instituto Brasileiro de Edições Pedagógicas. 14 As informações sobre o prêmio jabuti do livro de Osvaldo Sangiorgi se encontram no endereço eletrônico:
<http://www.cbl.org.br/modules/jabuti.php?ano=1964>
75
segundo são apresentadas as quatro operações básicas da aritmética, a
potenciação e a radiciação. No terceiro, são introduzidos os números fracionários,
bem como as operações relativas a esses números e, finalmente, no quarto
capítulo, Sangiorgi apresenta os sistemas de medidas, as figuras geométricas
planas, o cálculo de áreas, os principais sólidos e o cálculo do volume destes.
O primeiro capítulo é dividido em duas partes. A primeira parte contém os
assuntos: número, numeral, sucessão de números, estrutura de ordem e
comparação de números. A segunda apresenta os sistemas de numeração e bases,
o sistema de numeração decimal, os sistemas de numeração antigos e modernos e
experimentos sobre contagens em diversas bases.
Essa divisão mostra claramente a intenção de destinar uma parte
exclusivamente para a introdução da Teoria dos Conjuntos. Mais claro ainda fica
quando, na 11ª edição, Sangiorgi divide o capítulo em três partes, onde a primeira
trata exclusivamente dos Conjuntos, desde noções básicas até operações e
aplicações.
O título �número� traz em seu primeiro subtítulo: �Noção de conjunto�, onde
Sangiorgi apresenta diagramas semelhantes aos de Euler/Venn, porém, com
ilustrações, desenhos de crianças como elementos de um conjunto.
Esses diagramas utilizados por Sangiorgi têm uma característica peculiar,
como podemos observar na figura 13 na página 76, pois os desenhos conhecidos
como diagramas de Euler/Venn não têm um formato circular como nos mesmos
desenhos observados no livro de Farah (1961). Os desenhos utilizados no livro
didático de Sangiorgi têm um formato irregular, se assemelhando a uma mancha de
tinta.
Ao realizarmos uma crítica externa, notamos que essa característica de
desenhar diagramas de forma irregular surge na cultura escolar. Os livros sobre
Teoria dos Conjuntos de Farah (1961) e Halmos (1966) não possuem desenhos
como os do livro de Sangiorgi. Farah (1961) até utiliza os diagramas, porém, como
já citado, sem utilizar a denominação de diagrama, e utilizando círculos de mesmo
tamanho ao representar as operações com conjuntos.
76
Figura 13: Introdução aos conjuntos com utilização de diagramas no livro de Sangiorgi (1963).
Essa forma irregular dos diagramas é um elemento que surge na cultura
escolar e, em seguida, passa a se tornar matéria de formação de professores, pois
no livro de Castrucci (1967), destinado a formação de professores, também
aparecem esses diagramas de forma irregular, como na figura 14.
Figura 14: Diagramas com formato irregular no livro de Castrucci (1967).
A partir desses indícios, podemos observar que houve um processo de
disciplinarização da Teoria dos Conjuntos como parte da disciplina Matemática. A
Teoria não foi simplesmente alterada e adequada para que se ensinasse na escola
77
Secundária, mas também observamos que nos livros didáticos, essa Teoria possui
elementos próprios da cultura escolar.
A definição que Sangiorgi traz para o conceito primitivo que é o conjunto é a
seguinte: �Toda coleção de objetos constitui um conjunto.� (SANGIORGI, 1963, p.5).
Em seguida Sangiorgi define sutilmente o conceito de pertinência, apresenta com
ilustrações de estrelas, flores e pássaros os conjuntos unitário, vazio e infinitos.
Esses indícios levam a crer que Sangiorgi tenha se inspirado em alguns
elementos das obras de Halmos (1970), Farah (1961), analisadas anteriormente,
quando define conjunto, elemento, bem como a relação de pertinência, que apesar
do rigor na apresentação da Teoria, utilizam exemplos concretos. Mas Sangiorgi ao
se inspirar nessas obras, realizou uma apropriação, onde a cultura escolar foi
observada, não impondo o conteúdo vindo do Ensino Superior, mas se apropriando
dele e incluindo as características de seu próprio âmbito cultural.
Ainda na primeira parte desse capítulo inicial, Sangiorgi apresenta as
operações com conjuntos iniciando com a explicação dos Diagramas de Euler/Venn
e a partir de então, passa a utilizar círculos em substituição às formas irregulares de
diagramas citadas anteriormente. Essas operações com conjuntos só aparecem na
11ª edição, que possui a primeira parte do capítulo 1 destinada aos conjuntos.
Em ambas as edições analisadas, o autor utiliza a comparação entre
conjuntos, definindo número como uma idéia e preparando o leitor para o título
seguinte: �numeral�, onde distingue os dois conceitos, enfatizando que �número é
uma idéia, numeral é qualquer símbolo ou nome que usamos para exprimir o
número, e portanto, a idéia que ele representa.� (SANGIORGI, 1963, p.15, grifos do
autor).
O rigor começa a surgir em uma nota onde o autor destaca: �Você pode
escrever, apagar, pintar, desenhar ou falar alto somente os numerais e nunca os
números!� (SANGIORGI, 1963, p.16). E para institucionalizar essa advertência, que
inclusive é feita em um quadro destacado do texto, Sangiorgi apresenta
�curiosidades� sobre os numerais onde coloca situações das quais
matematicamente são equívocos, mas artisticamente seriam corretas.
Exemplificando, podemos citar uma delas, onde é pedido que o aluno mostre que a
metade de 8 é 3. Ele segue dizendo que é muito fácil e mostra o desenho do
algarismo indu-arábico 8, que em seguida é dividido com uma linha vertical, fazendo
78
assim com que o símbolo resultante se pareça com o algarismo 3, conforme a figura
15.
Figura 15: Números e numerais no livro de Sangiorgi (1963).
Na 11ª edição, o rigor matemático fica muito mais evidente que na 1ª edição,
pois Sangiorgi, ao apresentar o Conjunto dos Números Naturais, realiza uma
introdução utilizando o conceito de função. O título �Correspondência biunívoca,
conjuntos equipotentes� apresenta o conceito de função e volta a utilizar diagramas
irregulares, porém agora com as flechas, sendo este mais um elemento
característico da cultura escolar.
Esses �Diagramas de flechas� aparentam ser utilizados para que o leitor
tenha uma melhor visualização da correspondência biunívoca, idéia esta que
permeia o conceito de função.
Ainda nessa edição, na 2ª parte do capítulo 1, são apresentadas proriedades
estruturais dos conjuntos equipotentes, sendo elas: reflexiva, simétrica e transitiva.
Essas propriedades aproximam o livro didático de Sangiorgi aos livros sobre a
Teoria dos Conjuntos analisados anteriormente, onde notamos que, no processo de
79
disciplinarização dessa Teoria, muitos de seus elementos não foram inseridos na
primeira edição do livro didático, entretanto em edições posteriores, como na 11ª, já
surgem esses conceitos e propriedades.
No título �Sucessão de números e estrutura de ordem� da 1ª edição,
Sangiorgi apresenta a sucessão de números naturais, tomando sempre o cuidado
de atribuir aos símbolos a denominação de numeral, sendo essa sucessão
denominada primeira estrutura. Para estabelecer essa estrutura, o autor utiliza o
símbolo de menor ( ) separando os números da seguinte forma:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 .....
Em seguida explica o significado do símbolo de menor ( ) e de seu
simétrico, o símbolo de maior ( ).
Ainda constando desse título, é apresentada a sucessão dos números
inteiros, onde simplesmente é acrescido à sucessão dos números naturais, o
número zero, definido pelo autor como a representação da idéia de vazio.
Finalizando a primeira parte do capítulo 1, são definidas as relações de
igualdade, desigualdade e de ordem geral, com seus respectivos símbolos. Essas
definições se encontram no título �comparação de números�. Nessas relações,
Sangiorgi utiliza exemplos com �numerais� representados pelos símbolos numéricos
e por letras, introduzindo a idéia de incógnita: �Indicando pelo numeral a (que pode
ser qualquer dos símbolos já conhecidos) o número de elementos do primeiro
conjunto e por b o número de elementos do segundo conjunto [...] (SANGIORGI,
1963, p.19, grifo nosso).
A figura 16, na página 80, apresenta os símbolos das relações, utilizados por
Sangiorgi.
O primeiro capítulo ainda contém uma segunda parte que apresenta os
Sistemas de Numeração com suas respectivas bases e os sistemas, pelo autor
denominados antigos e modernos.
Na introdução do Sistema de Numeração Decimal, Sangiorgi se preocupa
principalmente em estabelecer que o sistema assim é chamado por ter a base dez e
também enfatiza o fato de que os algarismos utilizados são os numerais hindu-
arábicos. Somente em seguida ele apresenta as classes e as ordens que organizam
esse sistema.
80
Figura 16: Símbolos das relações no livro de Sangiorgi (1968).
Para apresentar o �Princípio da Posição Decimal�, o autor destaca: �Todo
algarismo escrito à esquerda de outro representa unidades dez vezes maiores que
as desse outro.� (SANGIORGI, 1963, p.26). Procurando assim, ao que tudo indica,
preparar os alunos para a compreensão da escrita dos numerais, que obedece esse
sistema posicional.
Vale destacar que os exercícios de fixação dessa parte do Sistema de
Numeração Decimal voltam a relacionar os Conjuntos com a teoria que está sendo
apresentada, porém, apenas no primeiro exercício. Essa utilização dos conjuntos,
que pode ser observada na figura 17 na página 81, parece uma questão de
obrigatoriedade da inserção de problemas contendo a idéia de Conjunto, mesmo
que ficando fora de contexto e propósito.
81
Figura 17: Exercícios sobre sistema de numeração no livro de Sangiorgi (1963).
Na continuação dessa parte do primeiro capítulo, Sangiorgi apresenta os
sistemas de numeração egípcio, babilônio e romano como antigos e os sistemas
82
quinário (base cinco) e o binário (base dois) enfatizando neste o seu emprego
moderno dos computadores eletrônicos. (SANGIORGI, 1963, p.32).
Essa parte final do capítulo 1 já nos dá uma amostra de que a ênfase
pregada pelo Movimento de Matemática Moderna pelo uso da Teoria dos Conjuntos
como linguagem para todo o Ensino Secundário não acontece fielmente. Os
sistemas de numeração antigos e modernos apresentados por Sangiorgi
mencionam a Teoria dos Conjuntos modestamente nos exercícios de fixação com
poucos problemas envolvendo conjuntos de pontos para que sejam estabelecidas
bases para suas contagens, sem utilizar a Teoria dos Conjuntos como linguagem,
mas como inserção artificial.
O segundo capítulo retorna à utilização enfática da Teoria dos Conjuntos.
Esse capítulo tem como objetivo apresentar as operações aritméticas, desde Adição
até Radiciação. Paralelamente à operação Adição, o autor estabelece a operação
de conjuntos União. Já na multiplicação, Sangiorgi não tenta fazer a mesma
analogia feita com a adição, pois a multiplicação, que poderia ser comparada com a
intersecção, não tem sua analogia estabelecida.
A figura 18 na página 83 apresenta a analogia entre as operações União de
conjuntos e Adição, referidas anteriormente, e a figura 19 na página 84 apresenta a
introdução à multiplicação, onde não aparece analogia com operações entre
conjuntos.
As operações também trazem as estruturas algébricas em sua apresentação,
definindo suas propriedades comutativas, associativas, distributivas, o elemento
neutro e o inverso operacional, características do MMM.
83
Figura 18: Adição e subtração representadas por conjuntos no livro de Sangiorgi (1963).
84
Figura 19: Multiplicação e divisão no livro de Sangiorgi (1963).
85
A parte final desse capítulo inicia em questões de divisibilidade e finaliza no
desenvolvimento dos algoritmos do m.d.c. e m.m.c. onde são apresentados os
símbolos �, , . e � para que fossem utilizados na definição de divisibilidade.
Na parte final, sobre m.m.c. e m.d.c. a operação intersecção é sutilmente
apresentada, juntamente com seu símbolo para a fundamentação dessas
operações. Somente no final do capítulo, são apresentadas as técnicas de
resolução, ou algoritmos do m.m.c. e m.d.c. procurando assim dar pouca
importância ao, já citado na introdução do livro, �exagero de cálculos�.
O terceiro capítulo dedica-se exclusivamente ao tratamento dos números
fracionários e decimais. Para que não sejamos radicais em dizer que não há Teoria
dos Conjuntos em momento algum deste capítulo, observamos que Sangiorgi utiliza
uma terminologia própria da Teoria para definir número fracionário: �Número
fracionário é um par ordenado de números inteiros, com o segundo diferente de
zero� (SANGIORGI, 1963, p.168).
Também é notável a diferenciação entre número e numeral, que o autor
mantém desde o primeiro capítulo e novamente a faz quando fala das frações
equivalentes e das diferentes formas de representação de um número fracionário ou
de uma divisão entre dois números inteiros.
As operações com frações são apresentadas seguidas de suas propriedades
estruturais, com ênfase na linguagem formal e somente depois ele apresenta a
técnica de cálculo da adição e subtração. A multiplicação e divisão de frações
seguem o mesmo padrão da adição e subtração, ênfase nas propriedades
estruturais e finalizando com técnicas de resolução.
Em um lembrete nesse capítulo, Sangiorgi volta a utilizar a terminologia de
conjunto para falar sobre a divisão:
Enquanto que a divisão com os números inteiros só era possível quando o dividendo fosse múltiplo do divisor, agora, com os números
fracionários, a divisão é sempre possível (desde que o divisor seja diferente de zero). Então o conjunto dos números fracionários é �mais amplo� que o
conjunto dos números inteiros (recorde-se que o número inteiro é um
número fracionário de denominador 1) e como tal possibilita �ampliar� as
operações. O conjunto de todos os números inteiros e fracionários recebe uma
única denominação de CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS, que você estudará mais tarde. (SANGIORGI, 1963, p.199, itálicos do autor,
negritos nossos)
86
Ainda nesse mesmo capítulo, o autor apresenta alguns conceitos sobre
números decimais, como as operações com essa representação de números e
também traz a maneira de converter uma dízima periódica em fração.
Essa parte do capítulo não tem, em nenhum momento, conceitos ou
linguagem da Teoria dos Conjuntos, tendo apenas a apresentação de frações
decimais como números decimais, propriedades e operações com números
decimais, enfatizando sempre a conexão entre número decimal e fração decimal.
Novamente Sangiorgi apresenta um �Lembrete amigo� que demonstra essa ênfase:
Os �números decimais� não constituem uma nova categoria de números;
eles são as frações decimais escritas de outra maneira. Portanto: 25/100; 0,25; ¼ são numerais diferentes do MESMO NÚMERO
FRACIONÁRIO!! (SANGIORGI, 1963, p.216)
Essa parte final do capítulo 3 enfatiza as técnicas e algoritmos de resolução
das operações com números decimais e da conversão de dízimas periódicas em
frações geratrizes, contrastando fortemente com o prefácio do próprio livro, onde
Sangiorgi rechaça o �exagêro de cálculos� que deveriam ser exclusividade da
realização dos �fabulosos computadores electrônicos de que tanto falam os jornais�
(SANGIORGI, 1963, p. xiii).
O quarto capítulo, que é o último, se dedica às medidas, tanto no sistema
métrico decimal, quanto em sistemas não decimais. Novamente é notável a
ausência da linguagem da Teoria dos Conjuntos em praticamente todo o capítulo.
O início do capítulo apresenta como título: �Sistemas de medidas usuais�,
onde explora muito sutilmente a linguagem dos conjuntos ao destacar a diferença
entre medidas de quantidades discretas e de quantidades contínuas. Também,
nesse início há alguns indícios de estruturas algébricas, quando o autor explicita
�Operação: medir; resultado: medida (número)� em um subtítulo.
Na segunda parte desse capítulo, o autor apresenta o sistema métrico
decimal, e explora o cálculo de perímetro e área de figuras planas como os
polígonos e circunferência. Também apresenta as medidas de volume no sistema
métrico e de capacidade como o litro, estabelecendo a relação existente entre
ambos. Em seguida apresenta-se o cálculo de volume de prismas, pirâmides,
cones, cilindros e esferas.
A parte final desse capítulo se destina aos sistemas de medidas não-
decimais, como o S. I. M. (Sistema Inglês de Medidas) com suas medidas em
87
jardas, pés, entre outros e os sistemas para medição de tempo e ângulos. As
operações com essas medidas não-decimais são apresentadas ainda nessa parte
do capítulo com a mesma ênfase algorítmica do capítulo anterior e finaliza com uma
tabela de �Prefixos dos múltiplos e submúltiplos decimais das unidades
internacionais de medida� (SANGIORGI, 1963, p.327).
88
4.2. MATEMÁTICA: CURSO MODERNO � VOLUME 4
O exemplar do quarto volume da coleção �Matemática: Curso Moderno� data
de 1967 e não apresenta número de edição, o que nos leva a crer que deve ter sido
uma das primeiras edições desse volume, senão a primeira, pois o lançamento das
obras foi gradativo, e como o primeiro volume foi editado em 1963 para utilização
em 1964, entendemos que 1967 foi o quarto ano de uso dessa coleção e portanto
seria conveniente o lançamento do quarto volume.
Outro indício de que essa obra seja a primeira edição é a �Palavra ao
estudante�, onde Osvaldo Sangiorgi parabeniza os estudantes que eram os
primeiros a completarem o curso ginasial:
Ao final deste volume, você ficará de posse dos assuntos de Matemática
relativos aos quatro anos de estudos do Ginásio. E não se esqueça:
você estará incluído no primeiro grupo de jovens brasileiros que
completa seu curso ginasial conhecendo as belas estruturas da Matemática Moderna, a exemplo do que vem ocorrendo nos grandes países civilizados de nossa época. (SANGIORGI, 1967, grifos nosso e
itálicos do autor)
Ainda nesse prefácio, Sangiorgi novamente enfatiza o objetivo da unificação
das diferentes áreas da Matemática através da Matemática Moderna com a
introdução da Geometria Analítica no Ensino Secundário:
Haverá um �introito� à Geometria Analítica, principal responsável pela
primeira tentativa da unidade da Matemática, desde o tempo de Descartes. [...] (SANGIORGI, 1967, grifo nosso)
A escolha de análise deste volume se deu em função de alguns elementos da
Teorias dos Conjuntos que encontramos apresentados para os alunos da 4ª série
do ginásio15 que reforçam a hipótese de que alguns elementos apresentados na
Teoria dos Conjuntos nos livros didáticos do MMM não são provenientes
exclusivamente do desenvolvimento científico do saber e do Ensino Superior, mas
surgem da própria cultura escolar.
O conteúdo que consta nesse volume inicia com um primeiro capítulo
tratando dos números reais, dividido em três partes:
1ª Parte - Técnicas operatórias com números irracionais (radicais); 2ª
Parte � Equações do segundo grau; relações entre os coeficientes e as
raízes; 3ª Parte � Equações biquadradas; equações irracionais. � Sistemas simples do segundo grau. � Problemas do segundo grau (SANGIORGI, 1967, p. 2).
15 Equivalente à atual 8ª série do Ensino Fundamental.
89
A primeira parte objetiva capacitar o aluno a realizar operações com números
irracionais, trazendo propriedades e operações com radicais. Na segunda e terceira
partes, Sangiorgi apresenta o estudo das equações segundo grau. Esse estudo é
apresentado de uma forma que consideramos tradicional, no sentido de que
apresenta definições e em seguida, técnicas de resolução das equações, contendo
também a demonstração da fórmula resolutiva, porém não dando ênfase na prática
dessa demonstração. Em seguida são apresentados exercícios e problemas
envolvendo as equações.
O segundo capítulo, cujo título é: �Funções� é aquele que possui os
elementos da Teoria dos Conjuntos citados anteriormente.
Assim como no primeiro volume da coleção de Osvaldo Sangiorgi, aparecem
os diagramas semelhantes aos de Euler/Venn, porém, com a mesma característica
observada anteriormente, os diagramas, que nem são chamados de diagramas pelo
autor, são desenhados de maneira irregular e, agora com a introdução do assunto
que trata das funções, eles aparecem com algumas flechas desenhadas,
representando, assim, a função.
Existe uma ênfase tão grande nesses diagramas, que eles aparecem na
primeira página do livro, na primeira página que referencia o início do capítulo de
funções e até mesmo sobre o texto que inicia o capítulo como mostram as figuras
20, 21 e 22.
90
Figura 20: Diagramas representando função na contracapa do livro de Sangiorgi (1967).
Figura 21: Diagramas representando função no início do capítulo 2 do livro de Sangiorgi (1967).
91
Figura 22: Diagramas representando função no capítulo 2 do livro de Sangiorgi (1967).
92
Esse segundo capítulo do livro dedica-se exclusivamente às funções, desde
seus conceitos gerais como domínio e imagem, sistemas de coordenadas e
gráficos, até casos específicos como funções lineares e funções do trinômio do
segundo grau.
Sangiorgi utiliza uma abordagem no início do estudo que o seu livro propõe
sobre função e, como ele mesmo ressalta também chamada de aplicação ou
transformação. Essa abordagem mostra a função como a designação de �uma
relação especial entre dois conjuntos, mediante certa correspondência entre os seus
elementos.� (SANGIORGI, 1967, p. 67).
O primeiro exemplo de função que é apresentado é o da relação onde os
elementos do primeiro conjunto são denominados x e os elementos do segundo
conjunto 2x, que também podem ser observados na figura 22.
O segundo exemplo já traz uma idéia que se assemelha ao livro de Halmos
(1970), que utiliza um exemplo para função onde a relação estabelecida é entre os
habitantes de uma cidade e seus endereços. Sangiorgi exemplifica de uma forma
também pragmática, denominando o primeiro conjunto (A) da função como de
crianças e o segundo conjunto (B) como de homens e a relação que ele propõe
entre esses conjuntos é a de que cada criança deve ser associada ao seu pai.
Seguindo novamente com os diagramas irregulares, o autor mostra e em seguida
conclui que a relação proposta também é uma função, pois �a cada elemento
(criança) do conjunto A está associado um único elemento (pai) do conjunto B�
(SANGIORGI, 1967, p. 68, grifos do autor).
Essa primeira parte do capítulo 2, que se dedica a introduzir os conceitos
sobre funções, dá uma forte ênfase nos desenhos semelhantes aos diagramas com
as flechas, que ele inicia na página 64 e termina na página 84 e dessas 21 páginas,
apenas quatro não possuem desenhos de diagramas irregulares com flechas. Ainda
dessas quatro páginas que não contém esses diagramas, duas contém exercícios
que, por sua vez, solicitam que se desenhem diagramas para representar a função
dada.
Segundo Chervel (1990), os conteúdos ora ensinados apenas no Ensino
Superior, sofrem resistências e tensões para que possam ser ensinados no âmbito
da cultura escolar. Essas resistências podem gerar elementos dentro dos
conteúdos, que não fazem parte desses e, portanto, surgiram na cultura escolar, no
93
processo de disciplinarização desses conteúdos para a constituição da disciplina
escolar: Matemática.
Podemos observar que, nos livros de autoria de Osvaldo Sangiorgi,
presidente do GEEM e principal precursor do MMM no Brasil, surgem novos
elementos na Teoria dos Conjuntos, como podemos observar nesse segundo
capítulo que contém esses desenhos semelhantes aos diagramas de Euler/Venn,
porém da mesma forma irregular que encontramos no primeiro volume e agora, para
representar funções, utilizando flechas. Esses diagramas não aparecem nos livros
analisados, que tratam da Teoria dos Conjuntos e destinados ao Ensino Superior.
O único livro sobre Teoria dos Conjuntos, que analisamos e contém
diagramas semelhantes aos dos livros de Sangiorgi (1963) é o livro de Castrucci
(1967), porém por fazer parte do GEEM, Castrucci (1967) pode ter sido influenciado
por esses elementos que surgiram na cultura escolar.
Caracteriza-se, portanto, uma dinâmica onde os conteúdos não somente
partem do Ensino Superior e são inseridos na cultura escolar, mas também torna
possível o caminho inverso. Esses elementos que surgem na cultura escolar, que
podem ter sido uma forma que professores, e até mesmo o autor do livro didático
encontrou para facilitar a compreensão por parte dos alunos sobre o conteúdo,
podem aparecer posteriormente em livros sobre o conteúdo, mostrando assim que o
conteúdo não se desenvolve apenas no meio do saber científico, mas também, na
cultura escolar.
O terceiro e último capítulo do quarto volume do livro de Osvaldo Sangiorgi
dedica-se a um estudo sobre Geometria. Esse estudo inicia com a razão e
proporção de segmentos, que introduz o Teorema de Tales no feixe de paralelas.
Na segunda parte há um estudo de semelhança de triângulos e polígonos, seguidos
das razões trigonométricas de ângulos agudos. A terceira parte é dedicada ao
estudo das relações métricas nos triângulos retângulos e em triângulos quaisquer,
introduzindo assim, o Teorema de Pitágoras. A quarta parte trata dos polígonos
regulares e das relações métricas nestes, bem como a medida da circunferência e o
cálculo do .
A expectativa de que o MMM tivesse elementos através da Teoria dos
Conjuntos, que unificassem a disciplina Matemática não se observa nesse volume.
A Teoria dos Conjuntos é reservada ao capítulo destinado às funções, que só são
lembradas no último capítulo num pequeno trecho que intenta associar função ao
94
estudo das relações métricas nos triângulos, especialmente na parte que trata das
projeções ortogonais.
Figura 23: Diagramas associados à geometria no livro de Sangiorgi (1967).
95
CONSIDERAÇÕES FINAIS
96
A partir da análise dos livros didáticos realizada no capítulo 4,
apresentaremos algumas considerações a respeito do estudo abordado em nossa
pesquisa.
No capítulo 2, onde foi apresentada uma caracterização do Movimento da
Matemática Moderna no Brasil e também a Teoria dos Conjuntos nesse movimento,
observamos uma falta de ênfase no conteúdo Teoria dos Conjuntos. Nos poucos
trechos que encontramos relatos sobre a Teoria, ela é apresentada como um
conteúdo que deveria ter sido utilizado como a linguagem que unificaria a disciplina
Matemática para todo o ensino Secundário.
A falta de ênfase dos estudos anteriores sobre a Teoria dos Conjuntos no
MMM nos levou a procurar entender como esse conteúdo, que anteriormente não
era tema do Ensino Secundário, se tornou parte do currículo de Matemática sendo
inserido nos livros didáticos. Para que tivéssemos essa compreensão,
apresentamos, no capítulo 3, três livros que tratavam da Teoria dos Conjuntos e
eram, na época do MMM, livros destinados à formação superior em Matemática e
na formação e aperfeiçoamento de professores atuantes no Ensino Secundário.
O primeiro ponto que destacamos em nossa análise dos livros didáticos de
Osvaldo Sangiorgi é a inserção da Teoria dos Conjuntos de uma forma diferente da
que se propunha no ideário do MMM, onde a mesma seria utilizada como
linguagem. Nos livros de Osvaldo Sangiorgi, essa Teoria aparece mais como um
capítulo isolado do que como uma linguagem unificadora dos ramos da Matemática.
No primeiro volume da coleção de Sangiorgi, observamos que houve
modificações entre a primeira e a 11ª edições, publicadas respectivamente em 1963
e 1968, porém, essas modificações não alteraram a essência do que consideramos
como um isolamento da Teoria dos Conjuntos. Em ambas as edições, a Teoria se
concentra no primeiro capítulo, sendo mais explorada na 11ª edição, porém nos
capítulos seguintes ela aparece de maneira tímida, sem ênfase, ou nem aparece.
O mesmo acontece no quarto volume dessa mesma coleção didática. O
volume analisado é dividido em três capítulos. Um destinado ao estudo das
equações dos segundo grau, outro destinado à uma introdução do estudo de
funções e alguns tipos de funções e o último destinado ao estudo da geometria
através da semelhança de figuras e terminando com uma ênfase na trigonometria.
Quando dizemos que o mesmo acontece nesse volume, nos referimos ao
isolamento da Teoria os Conjuntos em apenas um capítulo, que é o que trata das
97
funções. A ênfase dada à Teoria dos Conjuntos é tanta que destoa dos outros dois
capítulos, parecendo que se inicia a leitura de outro livro, diferente daquele que se
estava lendo inicialmente. Ao chegar ao final da leitura do livro, parece que voltamos
a ler o livro anterior, o do primeiro capítulo.
Essas considerações fortalecem a idéia de que a Teoria dos Conjuntos não
foi utilizada como linguagem para o Ensino Secundário, como era proposto, mas foi
utilizada como capítulo isolado nos livros didáticos dessa coleção de Sangiorgi.
A inserção da Teoria dos Conjuntos nos livros didáticos não se deu apenas
com uma absorção que o autor fez da Teoria como era apresentada no Ensino
Superior, a adequando ao Ensino Secundário, mas a própria cultura escolar
influenciou nessa inserção. Essa influência da cultura escolar é observada em
nossa pesquisa em dois tópicos: o uso de diagramas irregulares e diferentes dos
diagramas de Euler/Venn e o uso de uma representação figural para a apresentação
do conceito de função, onde Sangiorgi (1963) utiliza diagramas semelhantes aos de
Euler/Venn, porém, com algumas flechas que servem para representar a função.
A primeira situação foi observada no primeiro volume da coleção didática de
Sangiorgi, onde ele utiliza figuras semelhantes aos diagramas de Euler/Venn, porém
sem assim nomeá-los. Esses diagramas irregulares usados por Sangiorgi (1963)
são elementos que não encontramos nos livros sobre a Teoria dos Conjuntos para o
Ensino Superior. Esse indício nos leva a crer que esses elementos, como os
diagramas irregulares, são �criação� da cultura escolar. Essa �criação� da cultura
escolar até mesmo influenciou autores de livros destinados a professores, como
observamos o livro de Castrucci (1967) que contém esses mesmos diagramas
utilizados por Sangiorgi (1963).
Outros elementos também encontrados na coleção de Sangiorgi (1967), no
quarto volume, foram os diagramas que exemplificavam o conceito de função.
Esses diagramas eram desenhados com flechas que representavam a relação entre
os elementos dos conjuntos, esses, por sua vez, representados por diagramas. Os
diagramas com flechas também não foram encontrados nos livros sobre a Teoria
dos Conjuntos para o Ensino Superior e para a formação dos professores, sendo
este outro indício de que existem elementos que não são provenientes do Ensino
Superior, mas têm sua origem na própria cultura escolar.
Nossa pesquisa tinha como foco uma análise de como foi inserida a Teoria
dos Conjuntos nos livros didáticos de Osvaldo Sangiorgi no Movimento da
98
Matemática moderna no Brasil. Nessa análise concluímos que nem todos os
conteúdos dessa teoria que fazem parte dos livros didáticos e, portanto do currículo
escolar, são provenientes de uma absorção e adequação de conteúdos ora
ensinados no Ensino Superior, mas também têm sua criação própria da cultura
escolar.
Em nossa investigação existem algumas questões que suscitam novas
pesquisas, como: Porquê determinados conteúdos são rechaçados e praticamente
banidos do currículo? Que influências um Movimento internacional pode ter sobre
uma renovação curricular? Como os livros didáticos podem influenciar na
propagação de um ideário e de que maneira são absorvidas essas idéias pelos
autores dos livros? Estas questões são formuladas a partir de nossa reflexão sobre
o que aconteceu com os conteúdos relativos à Teoria dos Conjuntos: alguns pontos
aqui levantados nos provocam novos questionamentos ainda sobre a Teoria dos
Conjuntos e, de forma mais abrangente, com outros conteúdos da Matemática.
O objetivo de uma pesquisa em História da Educação Matemática deve ser,
como foi o nosso, de construir fatos históricos a partir das heranças deixadas pelo
passado, sem nos colocarmos na postura de juízes de valores, dizendo que
determinada atitude tomada foi fracassada ou sucedida, mas levantando
informações, procurando, da forma mais fiel possível, construir a História dos
acontecimentos e suas conseqüências.
99
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104
ANEXOS
105
ANEXO I
Capa do livro �Teoria Ingênua dos Conjuntos� de Paul R. Halmos.
106
ANEXO II
Contracapa do livro �Teoria Ingênua dos Conjuntos� de Paul R. Halmos.
107
ANEXO III
Capa do livro �Teoria dos Conjuntos� de Edison Farah.
108
ANEXO IV
Capa do livro �Elementos de Teoria dos Conjuntos� de Benedito Castrucci.
109
ANEXO V
Contracapa do livro �Elementos de Teoria dos Conjuntos� de Benedito
Castrucci.
110
ANEXO VI
Exercícios sobre operações com conjuntos do livro �Elementos de Teoria dos
Conjuntos� de Benedito Castrucci.
111
ANEXO VII
Exercícios sobre operações com conjuntos do livro �Elementos de Teoria dos
Conjuntos� de Benedito Castrucci.
112
ANEXO VIII
Exercícios sobre operações com conjuntos do livro �Elementos de Teoria dos
Conjuntos� de Benedito Castrucci.
113
ANEXO IX
Introdução à comparação de números do livro �Matemática: Curso Moderno
para os Cursos Ginasiais � Volume 1� de Osvaldo Sangiorgi.
114
ANEXO X
Introdução à comparação de números do livro �Matemática: Curso Moderno
para os Cursos Ginasiais � Volume 1� de Osvaldo Sangiorgi.
