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2014
DEEC – Área Científica de Telecomunicações Instituto Superior Técnico
Propagação e Antenas Prof. Carlos R. Paiva
SOBRE O CONCEITO DE
SIMULTANEIDADE UMA INTRODUÇÃO À TEORIA DA RELATIVIDADE RESTRITA
Carlos R. Paiva, DEEC – IST, Agosto de 2014 Página 1
A essência da teoria da relatividade restrita, formulada pela primeira vez por Albert Einstein em
1905, radica na revisão do conceito de simultaneidade. De acordo com a transformação de Galileu,
o tempo é universal e absoluto, i.e., não depende do referencial de inércia em que é medido. A
teoria da relatividade restrita (special relativity) de Einstein, porém, parte de dois postulados que –
de acordo com a mecânica newtoniana – são, pura e simplesmente, irreconciliáveis (i.e.,
contraditórios entre si).
P1 – PRIMEIRO POSTULADO: As leis da física são as mesmas em todos os
referenciais de inércia.
[NOTA: Este postulado é conhecido como Princípio da Relatividade. Um referencial de
inércia é um sistema de coordenadas não acelerado.]
P2 – SEGUNDO POSTULADO: A velocidade da luz, no vácuo, é uma
constante universal: tem o valor 1299 792 458 m sc em todos os
referenciais de inércia.
[NOTA: O valor numérico de c é, desde 1983, um valor exacto – por definição. De acordo
com o SI (em francês: le Système International d’unités), o metro passou a ser definido como a
distância percorrida pela luz, no vácuo, numa fracção de 1 299 792 458 do segundo.]
Carlos R. Paiva, DEEC – IST, Agosto de 2014 Página 2
Sejam S e S dois referenciais de inércia (ou sistemas de coordenadas inerciais) em movimento
relativo. O sistema de coordenadas espaciais de S é constituído pelos três eixos , ,X Y Z . O
sistema de coordenadas espaciais de S é constituído, por sua vez, pelos três eixos , ,X Y Z . Os
eixos são, respectivamente, paralelos – i.e., X X , Y Y e Z Z .
Designemos por v a velocidade relativa entre esses dois referenciais S e S . Admitamos, ainda,
que o movimento relativo se processa, exclusivamente, ao longo dos respectivos eixos X e X . Ou
seja, de acordo com o boost de Galileu, deverá ter-se (veja-se a figura da página 36):
x x vt x x vt
y y y y
z z z z
t t t t
A última equação t t limita-se a exprimir matematicamente o preconceito newtoniano de que o
tempo é universal e absoluto – independente, portanto, do sistema de coordenadas inercial em que é
medido. Daqui decorre, imediatamente, a conhecida lei da adição de velocidades. Vejamos. Se uma
partícula tem uma velocidade u em relação a S , tal que x u t , então o boost de Galileu diz-nos
que a velocidade w dessa mesma partícula em relação a S será tal que
x wt x vt u t vt u v t u v t w u v .
Mas então, se a partícula for um fotão que tem velocidade u c em S , esta lei da adição de
velocidades implica que a velocidade do mesmo fotão, em S , deveria ser w c v c
para 0 ,v em contradição com P2 . A tarefa de conciliar, numa mesma teoria coerente, P1 com
P2 , parece condenada ao fracasso. Mas essa teoria existe: é a teoria da relatividade restrita de
Einstein. E o primeiro passo dessa teoria consiste em algo profundo e radical: há que rever o
conceito de simultaneidade. A equação t t do boost de Galileu parte de um princípio que tem de
ser questionado: será mesmo o tempo algo de absoluto, independente do referencial considerado? A
nova teoria não admite qualquer preconceito à partida – a saber: o conceito de simultaneidade
absoluta é incompatível com P2 . Por outras palavras: se P2 é verdadeiro (e a experiência diz-nos,
inequivocamente, que assim é), então a simultaneidade é necessariamente um conceito relativo –
depende do referencial de inércia em análise. É disso que este texto trata.
Carlos R. Paiva, DEEC – IST, Agosto de 2014 Página 3
Consideremos um vagão de um comboio que se desloca, em relação à estação, com velocidade v
(constante). O comprimento da carruagem é 0L do ponto de vista do observador O (no interior do
compartimento) mas L do ponto de vista do observador O (na estação de comboios). Somos
tentados a admitir que se tem 0L L mas essa admissão deve, também ela, ser questionada. O
referencial S da estação corresponde ao sistema de coordenadas do observador O . Por sua vez, o
referencial S corresponde ao sistema de coordenadas do observador O (que se desloca no
interior da carruagem).
O espaço planar ,x ct consiste num plano em que cada ponto é, fisicamente, um acontecimento
único que se localiza no ponto x e acontece no instante t . A trajectória, seja de um ponto material
seja de um sinal luminoso ou electromagnético, neste espaço-tempo bidimensional, é designada por
linha de universo. Duas linhas de universo rectilíneas (movimento uniforme) não paralelas
encontram-se sempre num único acontecimento (bem determinado). Esta propriedade é aqui
explorada na determinação das coordenadas (quer em S quer em S ) de um dado acontecimento.
Sejam 1e a linha de universo da extremidade esquerda da carruagem e
2e a linha de universo da sua
extremidade direita. Então, do ponto de vista de O , a linha de universo 1e é dada pela equação
1e x vt
enquanto que a linha de universo 2e é dada por
2e x vt L .
Sendo m a linha de universo do ponto médio da carruagem, a respectiva equação (também do
ponto de vista de O ) será
2
Lm x vt .
Um sinal electromagnético que se propaga no sentido positivo do eixo x é dado pelas equações
genéricas (representa-se, como é habitual, por c a velocidade da luz no vácuo – constante
universal, independente do sistema inercial de coordenadas considerado)
Carlos R. Paiva, DEEC – IST, Agosto de 2014 Página 4
S x ct a
S x ct a
enquanto que um sinal electromagnético que se propaga no sentido negativo do eixo x é dado pelas
equações genéricas
S x ct b
S x ct b
As equações anteriores incorporam, portanto, o postulado P2 (i.e., tem-se c c ).
Admite-se, para simplificar, que 0x x quando 0t t . Suponhamos, agora, que no instante
0t o observador O observa a emissão de um sinal electromagnético a partir de 1e . Como o
acontecimento A de emissão a partir de 1e tem coordenadas 0, 0x ct A A em S e
coordenadas 10, 0x ct ct A A em S , as respectivas equações de propagação serão
0
0
S x ct a
S x ct a
Porém, tanto o sinal electromagnético 1e m como o sinal electromagnético 2e m
chegam simultaneamente ao observador O situado em m (veja-se a figura da página 5). Com
efeito, a emissão proveniente de 2e é representada pelo acontecimento B cujas coordenadas em S
deverão ser 0 , 0x L ct B B . Todavia, no referencial S da estação, as coordenadas de B deverão
ser 2,x ct ct B B . Desconhecemos (ainda) os valores de e de 2t . Desconhecemos, também,
qual a relação entre os comprimentos L e 0L .
Nota – Naturalmente que, no caso (como iremos ver, errado) de se considerar que A e B são
(também) simultâneos em S , então deveria ser (mas não é) 2 1 0t t .
Seja M um terceiro acontecimento: a recepção, em m , do sinal proveniente de A . A questão
central é, portanto, a seguinte:
Quais são as coordenadas do acontecimento M não só do ponto de vista de S mas também de S ?
Carlos R. Paiva, DEEC – IST, Agosto de 2014 Página 5
Carlos R. Paiva, DEEC – IST, Agosto de 2014 Página 6
Uma coisa é absolutamente inequívoca: os acontecimentos A e B são simultâneos em S pois o
sinal electromagnético tem de percorrer o mesmo espaço 0 2L quer no sentido
1e m quer no
sentido 2e m (com a mesma velocidade c ). Ou seja: do ponto de vista de S as coordenadas do
acontecimento M deverão ser
0 0 0,2 2 2
L L Lx ct c x
c
M M M
.
O acontecimento M pertence à linha de universo m . Por outras palavras: em S as coordenadas xM
e ctM têm de obedecer à equação genérica da linha de universo (tal como visto anteriormente)
2
Lm x vt .
E, além disso, o acontecimento M também pertence à linha de universo do sinal luminoso
x ct .
Mas então, tem-se
2 2 2
L L Lx vt ct c v t t
c v
M M M M M .
Logo:
0
2
2
c LS x ct
c v
LS x ct
M M
M M
Por outro lado, o acontecimento M também pertence à linha de universo do sinal luminoso
2e m . Este sinal luminoso tem a equação genérica (como se viu anteriormente)
S x ct b
S x ct b
Logo, infere-se daqui que
Carlos R. Paiva, DEEC – IST, Agosto de 2014 Página 7
0
0 00 0
22 2
22 2
c L c L c LS b x b x
c v c v c v
L LS b x b L x
M
M
Podemos resumir a situação relativa ao acontecimento M , dizendo: este acontecimento pertence a
três linhas de universo. A saber:
0
0 0
2 2
LLm m x vt x
x ct x ct
c Lx ct x ct x ct b ct L
c v
M
M
M
Para determinar as coordenadas dos acontecimentos A e B já sabemos que
10, 0
0, 0
S x ct ct
S x ct
A A
A A
A
2
0
,
, 0
S x ct ct
S x L ct
B B
B B
B
Mas o acontecimento B , além de pertencer à linha de universo do sinal luminoso 2e m ,
também pertence à linha de universo da extremidade direita 2e . Recorda-se, aqui, esta situação:
1
0
S x vte
S x
2
0
S x vt Le
S x L
Logo, em particular, tem-se
1
0
0
S xe
S x
A
A
A
Carlos R. Paiva, DEEC – IST, Agosto de 2014 Página 8
2
0
S x vt Le
S x L
B B
B
B
Portanto, como não só 2eB mas também B , vem sucessivamente:
0
c Lx ct x ct
c v
B
c L c L v Lx ct vt L c v t L c v t
c v c v c v
B B B B
2 2 2
v Lt t
c v
B
Podemos, portanto, escrever que
2 1 2 2 2
v Lt t t t
c v
.
Este intervalo de tempo t é o que separa, no referencial S da estação, os acontecimentos A e B
que, como se viu, são simultâneos em S (i.e., para um observador no interior do comboio): em S
o acontecimento B ocorre passado o intervalo de tempo t depois de A , i.e., B é posterior a A
do ponto de vista de O .
Definições – Uma equitemp é a linha que une todos os acontecimentos simultâneos, na perspectiva
de um dado referencial (uma «equitemp» de S não coincide com uma «equitemp» de S ). Uma
equiloc é a linha que une todos os acontecimentos que ocorrem num mesmo local (ponto), na
perspectiva de um dado referencial (uma «equiloc» de S não coincide com uma «equiloc» de S ;
mas isso já acontecia, também, num boost de Galileu).
Carlos R. Paiva, DEEC – IST, Agosto de 2014 Página 9
Conclusão fundamental: Os acontecimentos A e B são simultâneos em S (i.e., para o
observador O ) mas não são simultâneos em S (i.e., para o observador O ). Por outras palavras:
as «equitemps» de S não são paralelas às «equitemps» de S .
Esta conclusão contém o que há de mais essencial em relação à teoria da relatividade restrita de
Einstein: o conceito de simultaneidade é um conceito relativo – ao contrário da crença (errada), da
mecânica de Newton, segundo a qual o tempo seria absoluto e, portanto, a simultaneidade seria
(também) um conceito absoluto (i.e., independente do referencial considerado).
A determinação de x B é trivial. Vem
2 2 2
2 2 2 2 2 21
v L v c Lx vt L L L
c v c v c v
B B .
Introduzamos, agora, as definições (usuais, em relatividade) dos coeficientes e :
2
1,
1
v
c
.
Então, podemos reescrever alguns dos resultados já obtidos de acordo com esta notação:
2
2 2 2 21
v L c Lt L t
c v cc
2 22
2 2 2 21
c L c LL
c v c
O eixo x é a «equitemp» em S correspondente a 0ct , i.e., é a linha que liga os acontecimentos
A e B . O eixo ct , por sua vez, é a «equiloc» em S correspondente a 0x ou a x vt , i.e., é a
Carlos R. Paiva, DEEC – IST, Agosto de 2014 Página 10
linha de universo 1e . Notem-se, ainda, as seguintes relações geométricas: sendo o ângulo
existente entre os eixos ct e ct , é
tanv
c
dado que a equação do eixo ct tanto pode ser escrita quer como 0x quer como
x vt c t ct uma vez que corresponde à linha de universo 1e .
Seja, agora, o ângulo existente entre os eixos x e x . Nestas condições, tem-se
2, cot tan2
x L c t c t
B .
Mas, como
2c t L ,
infere-se, ainda, que
2 2tan 1 tanL x L L B .
Logo, como é (também, como visto anteriormente) 2 L , obtém-se
2
2 2
2
11 tan tan tan
.
Conclusão: O ângulo existente entre os eixos x e x é o mesmo que o ângulo entre os eixos ct e
ct . Se se designar esse ângulo por , é tan . Ver as figuras das páginas 5 e 11.
Assim, de acordo com os diagramas das páginas 5 e 11, o máximo ângulo possível é
tan 14
.
Carlos R. Paiva, DEEC – IST, Agosto de 2014 Página 11
Carlos R. Paiva, DEEC – IST, Agosto de 2014 Página 12
Este ângulo máximo corresponde à linha de universo x ct (de um sinal electromagnético). Isto
significa que os eixos do referencial S correspondem a:
2
eixo «equiloc» 0
1eixo «equitemp» 0
ct x x ct vt
cx ct x ct t
v
A transformação (ou, com mais rigor, o «boost») de Lorentz deverá ter, assim, a seguinte forma:
1
2
ct ct x
x x ct
Com efeito, a transformação é linear (transforma linhas de universo rectilíneas em linhas de
universo, também, rectilíneas) e tem de ser tal que
Eixo : 0
Eixo : 0
x ct ct x
ct x x ct
Porém, o sinal tanto pode ser descrito (em S ) por x ct como pode ser descrito (em S ) por
x ct . Então, depois de substituir estas equações na transformação de Lorentz, obtém-se
1
1 2
2
11 1
1
ct ct t
ct ct t
pelo que deve ser, necessariamente,
1 2 1t
t
.
Assim, vem
1
1
ct ct
x x
.
A inversa desta transformação dá (invertendo a matriz anterior)
Carlos R. Paiva, DEEC – IST, Agosto de 2014 Página 13
2
11
11
ct ct
x x
.
Mas, de acordo com o princípio da relatividade, deveria obter-se (correspondendo a uma simples
troca de v por v , ou, a uma simples troca de por )
1
1
ct ct
x x
.
Isto implica que deverá ter-se
2
22 2
1 1 1
11 1
já que, para 0v , terá de ser 1 .
Portanto, em síntese, um «boost» de Lorentz – que corresponde a transformar os eixos x e ct em
novos eixos x e ct , tal como indicado (geometricamente) nas figuras das páginas 5 e 11 –
escreve-se analiticamente como segue:
2
1
1
ct ct x ct ct x
x x ct x x ct
Na forma matricial, tem-se:
1 1
1 1
ct ct ct ct
x x x x
.
A propósito: como se tem
2 2 2 2 2 2 21 1 1 cosh sinh 1
é possível fazer (pois 1 e 1 1 )
Carlos R. Paiva, DEEC – IST, Agosto de 2014 Página 14
1
cosh1 12
tanh tanh ln2 1
sinh2
e e
e e
e ee e
.
Logo, também
1 2
1 2 2
cosh ln 1
sinh ln 1
Note-se, assim, que
cosh sinh cosh sinhdet det det det 1
sinh cosh sinh cosh
.
O parâmetro designa-se por rapidez do «boost» de Lorentz.
Neste pequeno estudo foram analisados, em concreto, três acontecimentos: A , B e M . Façamos,
aqui, uma lista das coordenadas destes três acontecimentos (do ponto de vista de ambos os
referenciais S e S ).
0, 0
0, 0
x ct
x ct
A A
A A
A
0 0
1 1,
2 1 2 2 1 2
,2 2
c L L c L Lx ct
c v c v
L Lx ct
M M
M M
M
2
2 2 2 2 2 2
0
1,
1 1
, 0
c L vc Lx L ct L
c v c v
x L ct
B B
B B
B
Facilmente se prova que a teoria da relatividade desmonta o seguinte mito popular: na teoria da
relatividade «tudo é relativo». Com efeito, encontra-se aqui um invariante. Qual? Vejamos.
Carlos R. Paiva, DEEC – IST, Agosto de 2014 Página 15
A transformação (passiva) de coordenadas para um mesmo acontecimento é, como se viu, a
transformação de Lorentz. De acordo com esta transformação:
1
1
ct ct
x x
.
Consideremos, agora, dois acontecimentos quaisquer P e Q . Tem-se então:
1 1,
1 1
ct ctct ct
x xx x
Q QP P
Q QP P
.
Daqui resulta, sucessivamente, que
2 22 2
2 22 2
2 22 2 2 2 2
2 22
1 1
P Q P Q P Q P Q
P Q
P Q
c t t x x
c t t x x x x c t t
c t t x x
c t t x x
PQ P Q P Q
P Q
P Q
S
o que mostra a invariância da quantidade real (positiva, negativa ou nula) 2
PQS .
Apliquemos, então, esta invariância do intervalo de espaço-tempo aos dois acontecimentos B e
A . Vem, neste caso,
2 2
2 2 2 2
0 2 2
1
1 1L L L
BAS .
Logo, a partir desta equação, é possível relacionar os comprimentos L com 0L . Vem
sucessivamente
2 2
2 2 2
0 2 2
2
2 2
2
2
2
1
1 1
11
1
1
1
L L L
L
L
donde se tira, finalmente, que
Carlos R. Paiva, DEEC – IST, Agosto de 2014 Página 16
2 2 2 2 00 01 1
LL L L L
.
Note-se que, nesta última equação, se tem sempre
0L L .
Por essa razão este efeito é conhecido por contracção do espaço. Neste caso, isto significa que –
para o observador O – o comprimento L do vagão é menor do que o respectivo comprimento 0L
para o observador O . Sublinhe-se o seguinte: não se trata, aqui, de qualquer espécie de ilusão ou,
sequer, do facto de um observador estar «certo» e do outro estar «errado». Na verdade, ambos os
observadores estão a realizar medidas correctas. Simplesmente, em consequência da relatividade do
conceito de simultaneidade, o comprimento do vagão depende – efectivamente – do referencial em
que é medido. Da mesma forma é possível inferir-se, aqui, a dilatação do tempo. Vejamos como.
Seja 0T o intervalo de tempo que, do ponto de vista do observador O , decorre entre a emissão do
sinal electromagnético no acontecimento A e a sua recepção no acontecimento M . O objectivo
consiste, então, em determinar o correspondente intervalo de tempo T entre esses mesmos dois
acontecimentos – mas agora do ponto de vista do observador O .
Mais precisamente: tem-se
00
2
LT t t
c M A
.
Pretende-se, então, determinar a relação de 0T com o intervalo de tempo T , tal que
1
1 2
LT t t
c
M A
.
Para este efeito podemos usar a já determinada expressão da contracção do espaço, que determina
que se tem
2
01L L ,
e, assim, inserir esta última relação em
Carlos R. Paiva, DEEC – IST, Agosto de 2014 Página 17
2 00
1 1 1 11
1 2 1 2 1 2
LLT L
c c c
.
Mas então, como se viu atrás
00
2
LT
c ,
donde se infere que
0 0 0
1
1T T T T
onde se introduziu o chamado factor de Bondi. Sublinhe-se, contudo, que esta não é a expressão
da dilatação do tempo – tal como é denominada na teoria da relatividade.
O resultado anterior (do factor de Bondi) poderia ser directamente inferido da invariância do
intervalo:
2 2
2 2 2 2
0 2 2
1
1 1L L L
BAS .
Se se substituir, nesta última equação,
0 02 , 2 1L c T L c T ,
obtém-se, sucessivamente,
2 2 22 22 2 2
0 0 22 22
2
2 2
0 0 02
1 12 2 1
1 1 1
1 1 1
1 1 1
L c T L L c T
T T T T T T
De forma a estudar a (verdadeira) dilatação do tempo há que levar a cabo uma outra operação (ou
experiência conceptual) diferente: vamos admitir que, assim que o sinal emitido (no acontecimento
Carlos R. Paiva, DEEC – IST, Agosto de 2014 Página 18
A ) por 1e atinge a linha de universo m (acontecimento M ), ele é instantaneamente reflectido de
volta para a linha de universo 1e , aí chegando no (novo) acontecimento C (ver figuras das páginas
5 e 11).
Na chamada dilatação do tempo, é necessário comparar o tempo total xT , que decorre em S (entre
a emissão e a recepção do sinal luminoso na mesma linha de universo 1e ), com o correspondente
tempo yT (decorrido do ponto de vista de S ). Ou seja: trata-se de comparar o tempo decorrido entre
os acontecimentos A e C do ponto de vista dos dois referenciais. Sublinhe-se que, neste caso, o
tempo xT decorre em S sempre no mesmo ponto espacial x (i.e., na mesma «equilococ» – neste
caso em 0x correspondente ao eixo ct que coincide com a linha de universo 1e ). Obviamente
que o problema é trivial do ponto de vista de S , pois tem-se
002x
LT T
c .
A questão que se coloca é a seguinte: determinar o intervalo de tempo yT que decorre, em S , entre
os acontecimentos A e C . Este tempo é, no entanto, fácil de calcular. Basta ter em consideração
que o acontecimento C resulta da intersecção entre o sinal luminoso e a linha de universo 1e .
Recordando, aqui, que
1
0
e x vt
c Lx ct x ct
c v
vem então
2 2y y y y
c L c L cx vT cT c v T T L
c v c v c v
C .
2
2 2 2 2 2 2
0
,1 1
0,
y y
x
vc L L c L Lx vT ct cT
c v c v
x ct cT L
C C
C C
C
Logo, tendo em consideração que (pela contracção do espaço)
Carlos R. Paiva, DEEC – IST, Agosto de 2014 Página 19
2
01L L ,
vem
2 2 0
0 02 2 2 2 2 2 2
11 1
1 1y
x
Lc c cT L L L
c v c v cc
T
2
1
1y x x xT T T T
.
Esta última expressão é que traduz, de facto, o efeito conhecido – em teoria da relatividade – por
dilatação do tempo. Note-se que, usando sinais electromagnéticos, a determinação do factor (de
Bondi) é mais natural do que o factor (da dilatação do tempo). A relação entre eles é dada por
1
.
Tem-se 1 apenas para 0 . Para 1 0 vem . Para 1 0 vem .
Nota Final
De acordo com as equações de Maxwell, a velocidade da luz no vácuo é dada por
0 0
1c
.
Assim, o conceito de éter (i.e., de um meio em relação ao qual a luz se propaga – no mesmo sentido
que dizemos que o som se propaga num meio material como é o caso do ar) é supérfluo (já que
nenhuma experiência física consegue detectar a existência de um «vento» de éter). Neste sentido,
esta equação implica, de facto, o postulado P2. Ou seja: as equações de Maxwell são a única teoria
física (denominada electrodinâmica clássica), anterior à teoria da relatividade restrita, a permanecer
incólume – ao contrário da mecânica newtoniana – a esta revisão conceptual. Com efeito, Einstein
apresentou a sua teoria (da relatividade restrita) como logicamente decorrente da electrodinâmica de
Maxwell, a saber: a electrodinâmica clássica é teoria física que compatibiliza P1 com P2. Hoje,
porém, sabemos mais: existem na natureza 4 interacções fundamentais (gravitacional,
Carlos R. Paiva, DEEC – IST, Agosto de 2014 Página 20
electromagnética, nuclear forte e nuclear fraca) e, à excepção da gravitação (que implica a
generalização da teoria da relatividade restrita na forma de teoria da relatividade geral), as outras
três interacções fundamentais obedecem à teoria da relatividade restrita. A chamada teoria quântica
do campo (quantum field theory) revela uma harmonia perfeita entre a mecânica quântica e a teoria
da relatividade restrita. Existe, contudo, um problema (ainda) em aberto: como conciliar a teoria da
relatividade geral com a mecânica quântica relativista numa TOE (theory of everything) – se é que
uma tal teoria existe e é possível? A chamada teoria das supercordas (superstring theory) não é,
actualmente, uma teoria física aceite – ela constitui, apenas, uma hipótese de trabalho (no âmbito de
outras teorias físico-matemáticas, igualmente possíveis, mas também problemáticas).
Comentário
A teoria da relatividade restrita é, hoje, totalmente pacífica e aceite por toda a comunidade científica
reconhecida (i.e., de mainstream). Nem sempre assim foi: veja-se o caso notável de Herbert Dingle
(1890 – 1978), alguém que chegou a ser presidente da Royal Astronomical Society (entre 1951 e
1953), que até publicou um livro de «divulgação», em 1922, sobre «relatividade» (intitulado
Relativity for All) e que – é hoje um facto pacífico –, nunca conseguiu entender do que tratava
realmente esta teoria: veja-se, e.g., o seguinte comentário:
http://www.mathpages.com/home/kmath024/kmath024.htm.
Mas isso não significa que a teoria da relatividade restrita não cause, nos estudantes – especialmente
nos mais atentos e inteligentes – muitas interrogações. É essa a marca da genialidade de Albert
Einstein (1879 – 1955) . Sublinhe-se que, ainda hoje, existem (muitas) pessoas (quiçá, até, cientistas
de outras áreas, que fazem pouco uso da física) que – embora (até) conheçam as equações da
transformação de Lorentz (aliás como o próprio Lorentz, quando as escreveu antes de Einstein) –
não conseguem entender o (verdadeiro) significado físico do que elas encerram. Por essa razão, é
fundamental que os primeiros passos de um neófito (da relatividade restrita) não sejam dados
através da simples dedução das fórmulas de Lorentz. No início, tem de se apelar à compreensão
física – nunca à manipulação (cega) de equações, de forma automática (i.e., seguindo simples regras
algébricas), sem se atender (primeiro) ao profundo significado físico que está por detrás da
matemática. A matemática fundamental – de resto – é (até) bastante básica e simples (acessível,
inclusivamente, a alunos do ensino secundário que dominem a álgebra linear mais elementar). Isto
Carlos R. Paiva, DEEC – IST, Agosto de 2014 Página 21
não significa que os alunos do ensino secundário tenham – todos eles – a maturidade intelectual
suficiente para entender o que está realmente em causa.
Sugestão
Sugere-se que se entenda, do ponto de vista estritamente geométrico (no sentido da geometria
sintética e não da geometria analítica), a afirmação contida na legenda da figura da página 11. Mais
concretamente: os comprimentos CM e MB são iguais. Porquê? Porque a linha de universo (ver
agora a figura da página 5) intersecta três linhas de universo 1 2, ,e m e que são paralelas entre si
e equidistantes, i.e., a distância entre 1e e m é a mesma que a distância entre m e
2e (em qualquer
dos dois referenciais considerados).
ADENDA: Para uma abordagem mais rápida e intuitiva
A relatividade do conceito de simultaneidade é, graficamente, muito simples de entender – se, ao
contrário do texto precedente, não for procurada uma quantificação precisa dessa relatividade. É
dessa forma gráfica (e qualitativa/intuitiva) de revelar a relatividade da simultaneidade que trata
esta adenda. Centremos, então, a nossa atenção sobre a figura da página 11. O acontecimento M
ocorre, do ponto de vista de S , a uma distância da linha de universo 1e (que liga os acontecimentos
A e C ) dada por 0 2L , i.e.,
0 2Mx L . Coloca-se, agora, a seguinte questão: sobre a «equiloc»
0x de S (i.e., sobre a linha de universo 1e ) onde é que se situa o acontecimento N que, em S ,
é simultâneo com M ? Por outras palavras: onde é que 1e intersecta a «equitemp» de S que passa
em M ? A resposta é imediata: o acontecimento N situa-se, sobre 1e , a meia distância entre os
acontecimentos A e C . Justificação: o tempo que o sinal electromagnético demora (em S ) a ir
do acontecimento A até ao acontecimento M é o mesmo que o tempo que o sinal electromagnético
demora (também em S ) a ir do acontecimento M ao acontecimento C e que é
01
2 2
Lt t t t t t
c M A C M C A .
Assim, N tem de ter, em S , as seguintes coordenadas:
Carlos R. Paiva, DEEC – IST, Agosto de 2014 Página 22
00,2
Lx ct N M .
Em conclusão: A «equitemp» de S , que passa por M , é uma linha recta paralela ao eixo x que
intersecta 1e em N a meia distância entre A e C . Mas, por outro lado, é evidente que – do ponto
de vista de S – os acontecimentos N e M não são simultâneos (já que a linha que liga estes dois
acontecimentos não é paralela ao eixo x ).
Carlos R. Paiva, DEEC – IST, Agosto de 2014 Página 23
Nesta adenda aos apontamentos anteriores discute-se, mais pormenorizadamente, a construção das
linhas «equiloc» e «equitemp» para uma dado observador inercial O . Para fixar ideias vamos
considerar que o observador em questão se desloca, em relação ao LAB (laboratório), com uma
velocidade normalizada 1 1 1 3v c . Se designarmos por y ct a linha de universo deste
observador (i.e., a sua «equiloc»), podemos escrever – no referencial do LAB – que esta linha de
universo corresponde à equação
1 1, 0y x ,
em que, portanto, se tem 1 11 3 . Vamos, ainda, considerar que existe um acontecimento
A que, no referencial do LAB, tem coordenadas ,x yA A com y ctA A . Admitamos que se tem
1x A e 3 2y A .
Começamos por perguntar: qual é a «equitemp» de O que contém o acontecimento A ? Por outras
palavras: qual é o acontecimento R que é – do ponto de vista de O – simultâneo com o
acontecimento A ? A resposta encontra-se nas Figs. 1 e 2 da página seguinte.
No instante t (acontecimento P ) é enviado um sinal electromagnético de O para A . Neste
acontecimento A o sinal é instantaneamente reflectido de volta para O aí chegando no instante t
(acontecimento Q ). Então, o acontecimento R simultâneo com A localiza-se sobre a linha de
universo O a meia distância dos acontecimentos P e Q (Fig. 2). Com efeito, o tempo gasto pelo
sinal electromagnético no percurso (de ida) P A é idêntico ao tempo gasto no percurso (de volta)
A Q . Por essa razão, o instante (para o observador O ) do acontecimento R é tR tal que
1
2c t ct ct R .
Na Fig. 2 indica-se, ainda, o acontecimento B que – tal como A e R – também pertence à mesma
«equitemp» O do observador O . A notação traduz o facto de que – por definição – a «equiloc»
O é ortogonal à «equitemp» O .
Carlos R. Paiva, DEEC – IST, Agosto de 2014 Página 24
Carlos R. Paiva, DEEC – IST, Agosto de 2014 Página 25
Podemos, agora, determinar – no referencial do LAB – as coordenadas dos acontecimentos P e Q
da Fig. 2. O acontecimento P pertence ao sinal electromagnético de equação
y x a
enquanto que o acontecimento Q pertence ao sinal electromagnético de equação
y x b .
Como o acontecimento A se encontra na intersecção destes dois sinais, vem
y x a a y x
y x b b y x
A A A A
A A A A
pelo que, como 1x A e 3 2y A , vem
1,
2
5.
2
a
b
Mas então, como os acontecimentos P e Q pertencem à «equiloc» O cuja equação é 1y x ,
infere-se que
1
1 1
1
1
1
ax
y x a
y x ay
P
P P
P PP
donde, como 1 3 ,
1,
8
3.
8
x
y
P
P
Analogamente, obtém-se
1
1 1
1
1
1
bx
y x b
y x by
Q
Q Q
Q QQ
Carlos R. Paiva, DEEC – IST, Agosto de 2014 Página 26
5,
4
15.
4
x
y
Q
Q
É agora possível determinar todas as coordenadas dos acontecimentos assinalados na Fig. 2 do
ponto de vista do observador O . Designemos essas coordenadas por ,x y para as distinguir das
coordenadas ,x y relativas ao referencial do LAB. Obviamente, a «equiloc» das Figs. 1 e 2,
correspondente a 1y x em relação ao LAB, escreve-se agora
0x .
Pelo acontecimento A passa a «equiloc» x x A enquanto que, pelo acontecimento B , deverá
passar a «equiloc» x x A (Fig. 2). Qual é o valor de xA ? Facilmente se responde a esta questão
se se tiver em consideração que o percurso do sinal electromagnético de 0x (acontecimento P )
até x x A (acontecimento A ) leva o mesmo tempo que o percurso inverso de x x A
(acontecimento A ) até 0x (acontecimento Q ). Logo
1
2x ct ct A .
Porém, como A e R pertencem à mesma «equitemp» de O , infere-se que
1
2y y y ct ct A B R .
Recorda-se, aqui, que 0x x x P Q R . Falta, portanto, determinar os valores de ct e ct para se
poder, finalmente, calcular as coordenadas ,x yA AA do ponto de vista de O .
Porém, a geometria do espaço-tempo de Minkowski não é euclidiana. Mais precisamente: a unidade
de comprimento ao longo da «equiloc» O não é idêntica à unidade de comprimento do LAB; o
comprimento unitário ao longo de O deverá valer um valor (desconhecido, por enquanto) em
termos da unidade do LAB.
Nestas condições, podemos calcular – em termos de – os valores de ct e de ct .
Assim, vem sucessivamente
Carlos R. Paiva, DEEC – IST, Agosto de 2014 Página 27
2 2
2 2
,
,
ct x y
ct x y
P P
Q Q
2 2 2 2
0,
1,
2 2
x
y c t ct ct x y x y
R
R R Q Q P P
2 2 2 2
2 2 2 2
1,
2 2
1.
2 2
x ct ct x y x y
y ct ct x y x y
A Q Q P P
A Q Q P P
Para os valores numéricos considerados, vem:
2 2
2 2
5 10,
4
10.
8
ctx y
ctx y
Q Q
P P
Para calcular o coeficiente há que ter em consideração a hipérbole de calibração que passa pelo
acontecimento A . A equação desta hipérbole, no referencial do LAB, é dada por
2 2 2 2 2 2 2 2
0 0c t x c y x y y c H .
Para calcular o valor de 0y basta substituir na equação anterior as coordenadas do acontecimento
A dadas para o referencial do LAB:
0
1 591
3 2 4 2
xy c
y
A
A
.
Esta hipérbole intersecta a linha de universo O , dada por 1y x , no acontecimento
,S x yS S
tal que (ver Fig. 3 na pág. 29)
Carlos R. Paiva, DEEC – IST, Agosto de 2014 Página 28
0
2
12 2 2 2
1 0
1 01
2
1
,1
.1
yx
x x yy
y x
S
S S
S S
Calculando numericamente, obtém-se:
22 2 1
0 2LAB LAB1
1 5
1 54 2
1 43 5
4 2
S S
x
x y y
y
S
S
OS OS .
Mas, por outro lado, tem-se – na verdadeira métrica de Minkowski – o valor
2 2
1 10 0 2 2LAB
1 1
1 1
1 1y c y
OS OS
que, numericamente, corresponde a
2
5 .
Assim, obtém-se:
9 25 2,
82
2 11 2.
4 8
xct
ct y
A
A
Note-se que, portanto, esta métrica depende exclusivamente do declive 1 . Este factor de
conversão só faz sentido, naturalmente, quando 1 1 . Para
1 1 (sinal electromagnético) vem
0 . No outro extremo, quando 1 (caso do LAB), obtém-se 1 .
De seguida vai-se analisar, geometricamente, o significado do acontecimento S sobre a linha de
universo O . Para isso, porém, há que considerar a Fig. 3.
Carlos R. Paiva, DEEC – IST, Agosto de 2014 Página 29
Em primeiro lugar considera-se um novo observador (inercial) P a que pertence o acontecimento
A das Figs. 1 e 2. O acontecimento O resulta da intersecção entre O e P . Faremos, doravante,
0,0O para todos os observadores incluindo o referencial do LAB. Note-se que a linha de
universo do observador P corresponde, no referencial do LAB, à equação
2y x .
Para os valores numéricos considerados, vem
2
3
2
y
x A
A
.
Há ainda a necessidade de introduzir um terceiro observador – o referee – que se designará por
R . Este terceiro observador árbitro está sempre colocado a «meio» caminho entre os dois
Carlos R. Paiva, DEEC – IST, Agosto de 2014 Página 30
observadores O e P no seguinte sentido: os sinais electromagnéticos emitidos pelo árbitro R ,
num certo instante (acontecimento U da Fig. 3), em direcção quer a O quer a P são reflectidos
(acontecimento S de O e acontecimento A de P ) e voltam simultaneamente ao observador
árbitro R (acontecimento V da Fig. 3).
Do ponto de vista do observador P o acontecimento A tem coordenadas 0, ct c AA .
Além disso, como se viu anteriormente, do ponto de vista do observador O tem-se, por outro lado,
0, c t ctPP , 0, ctRR , 0, xc t ctSS e 0, c t ctQQ . Então, introduzindo o
factor de Bondi, facilmente se verifica que
t tt t
t t
.
Note-se, também, que
2
1t t
tt
.
Analogamente, sendo o factor de Bondi entre O e P e o factor de Bondi entre O e R ,
vem ainda
2x
x x
x x
x
t t t t
t tt tt t t t t t t t
t t t t
t tt t
onde se considerou que, do ponto de vista de O , se tem 0, xc t ctSS e, do ponto de vista de
R , se tem 0, ct ct UU e 0, ct ct VV . Mas então, infere-se que
xt t t .
Note-se, também, que
4 2t
t
Carlos R. Paiva, DEEC – IST, Agosto de 2014 Página 31
e ainda
2
1x
x
t t t
tt t
.
Portanto
2
t t
t t
.
Além disso, vem
3 4 1 44
1 4 3 44
1
x
x
tt t t t t t t t
t
t t tt t t t t t
t
Para os valores numéricos considerados, confirma-se o valor de 0y c já obtido anteriormente:
0
5
2y c ct ct .
Este último resultado expressa o chamado teorema de Minkowski: o comprimento OA é, na
métrica não euclidiana do espaço-tempo de Minkowski, idêntico ao comprimento OS . Na Fig. 3 da
pág. 29 tem-se, de acordo com este teorema, c OA OS .
c ct ct EOREMA DE INKOWSKIT M OA OS
Carlos R. Paiva, DEEC – IST, Agosto de 2014 Página 32
Seja v c a velocidade normalizada relativa do observador P em relação ao observador O .
Logo, como
v
x y c tc
A A A ,
vem
2
2
11
11
t
x ct ct t
ty ct ct
t
A
A
.
Daqui infere-se que, inversamente,
1
1
.
Para os valores numéricos considerados, vem
910 ,
11
ct
ct
.
Também se tem
2
4
2
10 11 110 ,
1 1 10 1
,
em que v c tanto representa a velocidade relativa (normalizada) do árbitro R em relação
ao observador O como a velocidade relativa (normalizada) do observador P em relação ao
árbitro R .
Na pág. 35 representam-se na Fig. 4: os vários observadores, o LAB, a hipérbole de calibração e os
acontecimentos S e A . Note-se que, no LAB, o acontecimento ,x yU UU tem coordenadas
1
2
1
2
x y y x x
y y y x x
U S P S P
U S P S P
Carlos R. Paiva, DEEC – IST, Agosto de 2014 Página 33
de modo que a equação da trajectória, no LAB, do referee será
3 3,y
y xx
U
U
.
Para os valores numéricos considerados, vem:
3
1 51
4 2 5 2
5 21 51
4 2
xy
xy
U
U
U
U
.
Em síntese: no referencial do LAB, o observador O é descrito pela equação 1y ct x , o
observador P é descrito pela equação 2y ct x e, finalmente, o referee R é descrito pela
equação 3y ct x . Numericamente, tem-se:
1 2 3
1 2 3
5 21 1 3 13, ,
2 5 2
.
Ou seja:
31 21 2 3
1 2 3
5 21 1 1 2 1, ,
3 3 5 2
vv v
c c c
.
Note-se, a propósito, o seguinte: usando a composição de velocidades de Einstein, é possível
confirmar os valores obtidos para 1 , e
2 . De acordo com o esquema
tem-se
LAB
Carlos R. Paiva, DEEC – IST, Agosto de 2014 Página 34
12
11
.
Como, no exemplo numérico considerado, 9 11 e 1 1 3 , resulta efectivamente
2
2
3 .
Na mesma linha de raciocínio, obtém-se
2
2
1
.
Para
10 1
10 1
vem então, como não podia deixar de ser,
9
11 .
Obviamente que, de forma análoga, se tem
3 12 3
3 1
,1 1
.
Carlos R. Paiva, DEEC – IST, Agosto de 2014 Página 35
Carlos R. Paiva, DEEC – IST, Agosto de 2014 Página 36
Vai-se, agora, apresentar uma primeira dedução da transformação de Lorentz. Tal como se disse
atrás, a transformação de Lorentz só deve ser apresentada e deduzida depois de uma primeira parte
exclusivamente dedicada ao estudo da relatividade do conceito de simultaneidade (sem artifícios
matemáticos desnecessários, que apenas podem desviar a atenção da essência física do problema).
Como sempre considera-se, aqui, a chamada configuração «standard» dos eixos dos dois
referenciais de inércia ,S S que se encontram em movimento relativo com velocidade v c .
A origem O do sistema de eixos , ,S X Y Z coincide com a origem O do sistema de eixos
, ,S X Y Z quando 0t t . Um dado acontecimento A é descrito em S através das
coordenadas , , ,ct x y z . Esse mesmo acontecimento A é descrito em S através das coordenadas
, , ,ct x y z . A transformação de Lorentz relaciona, entre si, as coordenadas de S com as de S .
Usam-se, nesta primeira dedução, os dois postulados explicitados (logo) na página 1.
Uma vez que o movimento relativo apenas deve relacionar os eixos espaciais X com X , deverá
ter-se (tal como na transformação de Galileu):
,
.
y y
z z
Carlos R. Paiva, DEEC – IST, Agosto de 2014 Página 37
A configuração «standard» dos eixos implica, desde logo, que tem de ser
0
0
x x vt
x x vt
.
Isto significa que se deverá procurar uma transformação da forma
x x vt x ct
x x vt x ct
onde os coeficientes , são desconhecidos (por enquanto).
NOTA – Poder-se-ia admitir uma transformação mais complicada. Porém, se for possível chegar a
uma solução em coerência com esta hipótese, o problema pode considerar-se resolvido.
Comecemos por aplicar o postulado P1 (princípio da relatividade). De acordo com este postulado
deverá ter-se pois, no espaço livre e ilimitado (homogéneo e isotrópico), nada distingue os
dois sistemas de coordenadas – a não ser o facto das duas velocidades relativas serem
diametralmente opostas (enquanto que O vê O afastar-se para a direita, O vê O afastar-se para a
esquerda).
NOTA – A transformação de Galileu corresponde ao caso particular em que se tem, simplesmente,
1 . Como se verá adiante 1 corresponde, para 0 , a considerar-se c .
Assim, tem-se
,x x ct x x ct .
Vai-se aplicar, agora, o postulado P2 (invariância da velocidade da luz no vácuo). Se um laser
emitir um feixe luminoso descrito, em relação a S , pela equação
x ct ,
o mesmo feixe luminoso terá de ser descrito, em relação a S , pela equação
x ct .
Logo, após substituir estas duas últimas equações de propagação nas equações de transformação,
obtém-se, respectivamente,
Carlos R. Paiva, DEEC – IST, Agosto de 2014 Página 38
1 , 1ct ct ct ct .
Multipliquemos (ordenadamente) estas duas últimas equações:
2 2 2 21c t t c t t .
Daqui se infere – porque deverá ser 1 quando 0v – a seguinte conclusão:
2
1
1
.
Falta, então, determinar de que forma o tempo se transforma. Comecemos pela equação
x x ct x ct ct x x .
Logo, de pois de substituir na última equação x x ct , vem ainda
2 2 2 1ct x x x x ct ct x
2 1
ct ct x
.
Porém, atendendo a que
22 2 2
2 22
1 11 1
1 11
infere-se, ainda, que
2 1
.
Logo, é também possível escrever
ct ct x ct ct x .
Deixa-se como exercício para o leitor demonstrar, de forma análoga, que se obteria (também)
ct ct x .
Por simetria, esta última equação obtém-se da anterior substituindo . Em síntese:
Carlos R. Paiva, DEEC – IST, Agosto de 2014 Página 39
2
1,
1
ct ct x ct ct x
x x ct x x ct v
cy y y y
z z z z
.
Note-se que a uma onda electromagnética esférica em S da forma
2 2 2 2 2x y z c t
corresponde, em S , a onda electromagnética (também esférica)
2 2 2 22x y z c t .
A validade simultânea destas duas equações revela que tal é, de facto, incompatível com a
transformação de Galileu (verifique porquê).
A transformação de Lorentz permite, desde já, demonstrar – como corolário – a seguinte
invariância:
2 2 2 22 2 2 2 2 2c t x y z c t x y z
.
Como y y e z z , basta provar que (invariância do intervalo de espaço-tempo ou, mais
simplesmente, invariância do intervalo)
2 22 2 2 2c t x c t x .
Vejamos. Atendendo a que 2 21 1 , vem sucessivamente
2 2 2 22 2
22 2 2 2 2
2 2
1 1
ct x ct x x ct
ct x
ct x
como se pretendia demonstrar.
Nas páginas 13 e 14 introduziu-se o parâmetro da rapidez. Aqui vai-se elaborar um pouco mais
sobre este conceito.
Carlos R. Paiva, DEEC – IST, Agosto de 2014 Página 40
Comecemos por reescrever a transformação de Lorentz na forma matricial:
2 2 2 1ct ct
x x
.
A transformação inversa corresponde, então, a
ct ct
x x
.
Como
cosh , sinh , tanh ,
vem sucessivamente
cosh sinh
sinh cosh
ct ct x ct ct x
x x ct x ct x
cosh sinh
sinh cosh
ct ct
x x
pelo que
cosh sinh
cosh sinh
ct x ct x ct x e ct x
ct x e ct xct x ct x
2 22 2 2 2ct x ct x ct x ct x c t x c t x .
Ou seja: a introdução da rapidez permite uma demonstração mais elegante da invariância do
intervalo. Esta invariância desempenha, em relatividade restrita, um papel fundamental. Com base
nela pode afirmar-se que a geometria do espaço-tempo de Minkowski não é euclidiana. O plano
,x ct tem uma métrica hiperbólica.
NOTA – O plano euclidiano ,x y tem uma métrica euclidiana: a distância D , tal que
2 2 2D x y , é invariante numa rotação. O plano hiperbólico ,x ct tem uma métrica hiperbólica:
o intervalo , tal que 22 2ct x , é invariante num «boost» de Lorentz. A forma quadrática
2 ,Q D x y é definida positiva. Porém, a forma quadrática 2 ,Q x ct não é definida positiva
– mas também não é definida negativa. Com efeito, tem-se: (i) 2 0Q , se ct x ; (ii)
2 0Q , se ct x ; (iii) 2 0Q , se ct x .
Carlos R. Paiva, DEEC – IST, Agosto de 2014 Página 41
Vai-se, agora, apresentar uma segunda dedução da transformação de Lorentz. Esta dedução deve-se
ao matemático e cosmólogo Sir Hermann Bondi (1919 — 2005); tem a vantagem de fazer intervir o
factor de Bondi, de que se falou anteriormente (primeiro na página 17 e, mais extensamente, no
segmento sobre «equilocs» e «equitemps»). Trata-se, portanto, de uma dedução com um maior
conteúdo físico-geométrico do que a anterior (essencialmente analítica).
Consideremos, em primeiro lugar, a Fig. 3 da página 29. Ao observador O associamos o sistema
de coordenadas S . Como y y e z z , apenas iremos considerar as coordenadas ,S x ct .
Por sua vez, ao observador O associa-se o novo sistema de coordenadas ,S x ct .
Comecemos por, em relação à Fig. 3 da página 29, determinar as coordenadas – em S – do
acontecimento A . Tal como se viu anteriormente, tem-se
1 1
,2 2
ct ct ct x ct ct A A .
Daqui resulta
,ct x ct ct x ct A A A A .
Mas, introduzindo o factor de Bondi, deverá ter-se
,t t t t A A ,
donde
2t t .
NOTA – A utilização do mesmo factor nas duas equações anteriores deve-se ao postulado P1
(princípio da relatividade).
Carlos R. Paiva, DEEC – IST, Agosto de 2014 Página 42
Portanto, infere-se que
2 ct ct x
ct ct x
A A
A A
.
Seja v c a velocidade relativa de S O em relação a S O . Obtém-se então
x v t ct A A A .
Sublinhe-se o seguinte: aqui v c representa a velocidade relativa do observador O em relação
a O . Logo, conclui-se que
2 1 1
1 1
ct x
ct x
A A
A A
.
Note-se que, para 1 1 , é sempre 0 . Para 1 vem 0 e, para 1 , vem
.
Carlos R. Paiva, DEEC – IST, Agosto de 2014 Página 43
Consideremos, agora, a nova figura anexa (no início da página 42).
Trata-se de determinar, nesta nova figura, as coordenadas do (novo) acontecimento A , aí
representado, quer em relação a S O quer em relação a S O . Será ,x ctA no
referencial S (observador O ) e ,x ct A no referencial S (observador O ). De acordo,
então, com esta nova figura, vem
1 1
2 2
1 1
2 2
ct ct ct ct ct ct
S S
x ct ct x ct ct
Daqui infere-se, portanto, que
ct x ct ct x ctS S
ct x ct ct x ct
Notemos, no entanto, que – sendo v c a velocidade relativa de S em relação a S – vem:
1 1, ,
1t t t t
.
Mas então
1 1ct x ct ct ct x
ct x ct ct ct x
donde se tira, finalmente,
1 1 1 1
2 2
1 1 1 1
2 2
ct ct x
x x ct
Para terminar a nossa dedução falta, apenas, fazer alguns cálculos simples:
2 2
1 2 1 22 , 2
1 1
.
Assim, vem
ct ct x
x x ct
Carlos R. Paiva, DEEC – IST, Agosto de 2014 Página 44
o que termina a nossa demonstração. Na figura seguinte apresenta-se o correspondente diagrama de
Minkowski.
Note-se que se tem
1 12 2 cosh , 2 2 sinh
1 2
1 2
1tanh
1
.
Deste modo, a relação entre a rapidez e o factor de Bondi é a seguinte:
1 1 1tanh ln ln ,
2 1e
.
Para 1 vem e 0 . Para 1 0 vem 0 e 0 1 . Para 0 vem 0
e 1 . Para 0 1 vem 0 e 1 . Para 1 vem e .
Carlos R. Paiva, DEEC – IST, Agosto de 2014 Página 45
Nesta secção vai-se deduzir a lei de composição (ou adição) de velocidades em relatividade restrita.
Considera-se, em primeiro lugar, a simples composição de velocidades na mesma direcção. E, neste
caso, usa-se o conceito de rapidez (ver páginas 13, 14, 40 e 44).
Tal como se viu na página 40 tem-se
ct x e ct x
ct x e ct x
em que
1 1 1
ln ln1 2 1
.
Nestas expressões apenas se considera o movimento relativo entre S e S caracterizado pela
velocidade relativa v c .
Vamos, agora, considerar uma situação (ligeiramente) mais complexa – tal como se indica no
diagrama seguinte.
v uS S S
Esta situação pode, também, ser analisada na seguinte perspectiva alternativa.
wS S
Em termos da transformação de Galileu a relação entre as duas situações é bastante simples. Vem,
como se viu na página 2,
w u v .
Porém, como – também – se viu, este resultado é incompatível com o postulado P2 [sobre a
invariância da velocidade da luz (no vácuo)].
Carlos R. Paiva, DEEC – IST, Agosto de 2014 Página 46
Vejamos, então, qual a (nova) perspectiva da transformação de Lorentz sobre esta simples
composição de velocidades.
Façamos, por definição,
1 2
1 2
1
2 &
v cct x e ct x ct x e ct x
u cct x e ct x ct x e ct x
w c
e, ainda,
ct x e ct x
ct x e ct x
tendo-se considerado, portanto,
1 21 2
1 2
1 11 1 1 1ln , ln , ln
2 1 2 1 2 1
.
Inversamente, tem-se (página 44)
1 1 2 2tanh , tanh , tanh .
Mas então, como facilmente se verifica, deverá também escrever-se
1 22 1
2 1 1 2
ct x e ct x e e ct x e ct x
ct x e ct x e e ct x e ct x
ou seja, esta composição de velocidades corresponde, simplesmente, à seguinte soma:
1 2 .
Daqui resulta, portanto, que
1 2tanh tanh .
Infere-se, então, que
1 2 1 2
1 2
1 21 2
tanh tanhtanh
11 tanh tanh
,
ou seja
Carlos R. Paiva, DEEC – IST, Agosto de 2014 Página 47
21
u vw
u v
c
.
Esta última expressão corresponde, portanto, à lei da composição de Einstein de velocidades (no
caso mais simples, em que u e v são colineares). Por vezes, escreve-se (simbolicamente):
21
u vw u v
u v
c
.
Note-se, desde já, que
limc
u v u v
.
Ou seja: quando se faz c na lei de Einstein recupera-se a lei da composição de velocidades de
Galileu-Newton.
Além disso, esta nova lei – como não poderia deixar de ser – é compatível com o postulado P2.
Com efeito, se u c , então
1
c v c vw c v c c
v c v
c
,
mesmo no caso em que (também) v c (i.e., tem-se c c c ).
NOTA – Deve, porém, salientar-se que, quando u c , se obtém
1
c v c vw c v c c
v c v
c
desde que se considere v c . Por exemplo, para v c , obtém-se (também)
w c c c . Mas os casos w c c e w c c conduzem a indeterminações.
Com efeito, estes dois últimos casos poderão ser interpretados como pertencentes à mesma onda
electromagnética – caso em que 0c c c c .
Vai-se, agora, deduzir um caso mais geral.
Vamos admitir que , ,x y zu u uu em S , com
Carlos R. Paiva, DEEC – IST, Agosto de 2014 Página 48
, ,x y zx u t y u t z u t .
As correspondentes componentes, em S , serão , ,x y zu u u u . Mais uma vez admite-se uma
configuração «standard» (como se ilustra na figura da página 36). A situação física é a seguinte:
uma partícula tem uma velocidade (vectorial) 3u , em relação ao sistema inercial S , e pretende-
se conhecer a velocidade (vectorial) 3u , dessa partícula, em relação ao sistema inercial S que
se move em relação a S (tal como se indica na figura da página 36). Os dois diagramas seguintes
ilustram esta situação.
= , , , ,partículax y z x y zu u u u u u
S S S
u u
vS S
Notemos, desde já, a relação entre esta (nova) nomenclatura e a dos diagramas da página 45: nos
diagramas desta página u e u correspondem, respectivamente, a w e u nos diagramas da página
45; mais precisamente xu w e
xu u .
Comecemos, então, por definir
, ,x y zx u t y u t z u t .
Vamos, neste caso, utilizar as seguintes expressões para a transformação de Lorentz:
2
2
2 2
2
1
1
11
xx xx
y
xy yz
x
xz z
u vu t u v tx u v tx x vt
cy u ty y
u vu t u tz u tz z
cu vv
t t x t t u vu t u tc c
c
Comecemos por verificar que, da primeira equação, resulta:
2
2
1
1
x xx x x
x
u v u vu v u u
u vc
c
.
Porém, antes de prosseguir, sublinhe-se a seguinte equivalência que faz uso da equação anterior:
Carlos R. Paiva, DEEC – IST, Agosto de 2014 Página 49
2
2
2 2 22
2 2 2
11
1 1 1
1 1 1
x x x
x x x
vu v u v u vv c
u v u v u vc c c
c c c
.
Esta última equação permite, agora, obter – com facilidade – as restantes duas equações de
transformação. Vem então:
2 2
2 2
1 , 1
1 1
yx x zy y z z
x x
uu v u v uu u u u
u v u vc c
c c
.
Assim, em síntese, obtém-se:
2 2 2
, ,
1 1 1
yx zx y z
x x x
uu v uu u u
u v u v u v
c c c
.
Estas fórmulas podem facilmente reduzir-se ao caso elementar anteriormente já deduzido. Com
efeito, façamos (ver a correspondência entre os diagramas das paginas 45 e 48): 0y zu u , xu u
e xw u . Infere-se, assim, que
21
u vw
u v
c
.
Este resultado coincide, de facto, com o resultado obtido anteriormente por intermédio do conceito
de rapidez e aplica-se – como se referiu então – ao caso particular das velocidades colineares.
Carlos R. Paiva, DEEC – IST, Agosto de 2014 Página 50
A lista bibliográfica que, aqui, se apresenta encontra-se agrupada em três secções distintas. A
separação entre cada um destes grupos baseia-se, essencialmente, no respectivo grau de sofisticação
matemática. O primeiro grupo (elementar) tem como público-alvo os alunos universitários do
primeiro ciclo (fase inicial da licenciatura ou, até mesmo, os melhores alunos do ensino
secundário). O segundo grupo (intermédio) destina-se a alunos universitários do segundo ciclo
(alunos de mestrado ou na fase terminal do primeiro ciclo). Finalmente, o terceiro grupo (avançado)
destina-se a alunos do terceiro ciclo universitário – correspondente, portanto, a alunos de
doutoramento ou, nalguns casos até, de pós-doutoramento. Note-se, porém, que apenas se incluem –
nesta lista – os livros dedicados, exclusivamente, à teoria da relatividade restrita. Excluem-se,
portanto, os livros sobre relatividade geral que (apenas) abordam, nos primeiros capítulos, a
relatividade restrita. Termina-se esta lista com uma colectânea de artigos originais (incluindo os de
Albert Einstein).
Nível Elementar
Andrew M. Steane, The Wonderful World of Relativity – A Precise Guide for the General
Reader. Oxford: Oxford University Press, 2011.
Hermann Bondi, Relativity and Common Sense – A New Approach to Einstein. New York:
Dover Publications, 1980 – republication of the original (1964) edition.
N. David Mermin, It’s About Time – Understanding Einstein’s Relativity. Princeton, NJ:
Princeton University Press, 2005.
Edwin F. Taylor and John Archibald Wheeler, Spacetime Physics – Introduction to Special
Relativity, Second Edition. New York: W. H. Freeman and Company, 1992.
Tevian Dray, The Geometry of Special Relativity. Boca Raton, FL: CRC Press, 2012.
Domenico Giulini, Special Relativity – A First Encounter 100 Years Since Einstein. Oxford:
Oxford University Press, 2005.
David Bohm, The Special Theory of Relativity. London: Routledge, 1996.
Carlos R. Paiva, DEEC – IST, Agosto de 2014 Página 51
Nível Intermédio
Wolfgang Rindler, Introduction to Special Relativity, Second Edition. Oxford: Oxford
University Press, 1991.
Norbert Dragon, The Geometry of Special Relativity – A Concise Course. Heidelberg: Springer,
2012.
Dierck-Ekkehard Liebscher, The Geometry of Time. Berlin: Wiley-VCH, 2005.
A. P. French, Special Relativity. New York: W. W. Norton & Company, 1968 (MIT).
N. M. J. Woodhouse, Special Relativity. London: Springer, 2003.
Andrew M. Steane, Relativity Made Relatively Easy. Oxford: Oxford University Press, 2012.
Moses Fayngold, Special Relativity and How it Works. Weinheim: Wiley-VCH, 2008.
Nível Avançado
Éric Gourgoulhon, Special Relativity in General Frames – From Particles to Astrophysics.
Berlin: Springer, 2013.
Gregory L. Naber, The Geometry of Minkowski Spacetime – An Introduction to the
Mathematics of the Special Theory of Relativity. Mineola, NY: Dover, 2003 (unabridged
republication of the 1992 edition).
Roman U. Sexl and Helmuth K. Urbantke, Relativity, Groups, Particles – Special Relativity and
Relativistic Symmetry in Field and Particle Physics. Wien: Springer, 2001.
J. Ehlers and C. Lämmerzahl, Eds., Special Relativity – Will it Survive the Next 101 Years?
Berlin: Springer, 2006.
John W. Schutz, Independent Axioms for Minkowski Space-Time. Essex, England: Longman,
1997.
Carlos R. Paiva, DEEC – IST, Agosto de 2014 Página 52
Apresenta-se, por fim, uma colectânea de artigos originais – incluindo traduções dos primeiros
artigos de Einstein – sobre as teorias da relatividade restrita e geral.
Artigos Originais
A. Einstein, H. A. Lorentz, H. Weyl and H. Minkowski, The Principle of Relativity – A
Collection of Original Papers on the Special and General Theory of Relativity (Notes by A.
Sommerfeld). New York: Dover, 1952 (unaltered, unabridged reprint of the 1923 translation).