Sofismas Matematicos Com a Exatidao Posta Em Duvida

7/25/2019 Sofismas Matematicos Com a Exatidao Posta Em Duvida

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SOFISMAS MATEMTICOS: A EXATIDO POSTA EM DVIDA

DIEGO DE SOUSA MARQUES

Graduando do 5 perodo do curso de Licenciatura emFilosofia da Faculdade de Filosofia, Cincias e Letrasde Cajazeiras.

RESUMO

Este trabalho epor! uma refle"o sobre a e#idencia nas certezas ou aiomasda cincia matem!tica, apresentando desde lo$o os primeiros estudos sobre asece%&es as suas re$ras. 'ois, em al$uns casos, de#ido ( lin$ua$em com )ue* eposto um problema matem!tico, este ei$ir! uma resposta )ue com elaconcorde, caso contr!rio, poderamos at* encontrar uma resposta )ue fosse#!lida, mas, )ue nunca ser! #erdadeira ou justa, ou tamb*m proposi%&estotalmente contradit+rias. e#idente )ue estas s"o caractersticas da l+$ica, noentanto, passaremos a analisar casos matem!ticos em )ue a l+$ica le#ar-nos-ia a conclus&es diferentes, justas e #erdadeiras frente (s conclus&esmatem!ticas, posto )ue pela constru%"o defeituosa do problema, este se tornaamb$uo, mas diante da eatid"o da matem!tica, n"o se admite ambi$uidades,ou seja, uma das solu%&es * #alida e #erdadeira, en)uanto )ue as demais

podem at* serem #!lidas, mas nunca #erdadeiras. "o os sofismasmatem!ticos, concernente a d/#ida perante a eatid"o dessa cincia.

PALAVRAS-CHAVE: 0atem!tica1 L+$ica1 ofismas.

INTRODUO

2 l+$ica, de forma $eral, fundamenta-se em re$ras. E#identemente, n"ose pode determinar al$o, com certeza, sem submet-lo a ditames ou

pressupostos b!sicos de #erdade e #alidade. 3sso por)ue, n"o * suficiente)ue, um dado pressuposto seja, simplesmente, #erdadeiro para umdeterminado caso, cabe a l+$ica e#idenciar tamb*m sua #alidade para )ueesta, possa, naturalmente, ser aplicada ou tomada como referencia para osdemais casos. Esse tipo de situa%"o * tipicamente comum das cincias em$eral, e principalmente, da matem!tica, fsica ou )umica, ou seja, daschamadas cincias eatas, )ue estabelecem limites, aiomas, pressupostos oure$ras, em tese, inalter!#eis, )ue jamais admitiria )ual)uer ece%"o. 4iz-se emtese por)ue, correntes ousadas de estudos l+$icos, #m ao lon$o do tempodemonstrando )ue n"o eistem re$ras sem ece%&es. E baseada, eatamente,nessas linhas de pes)uisas )ue desen#ol#eremos nosso trabalho.

4essa forma, n"o podemos falar de l+$ica sem nos referirmos a ideia dere$ras l+$icas, mas o nosso estudo neste trabalho baseia-se, n"o nas re$ras,


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mas nas ece%&es, especificamente as ece%&es as re$ras da e#idenciamatem!tica.

2o nos referirmos a ideia de re$ras, n"o podemos deiar de e#idenciar amaior demonstra%"o de )ue uma re$ra n"o pode ser considerada absoluta, ese assim o for, cabe a l+$ica demonstrar )ue a ece%"o )ue possa admitir, n"o

* uma ideia de contradi%"o, mas uma reafirma%"o da re$ra. 2ssim, temos am!ima de )ue 67oda re$ra tem ece%"o. E se, uma re$ra n"o ti#er umaece%"o, essa * uma ece%"o de re$ra8. 9bser#amos )ue, inicialmente, comuma re$ra, posta, tnhamos a certeza, no entanto, a partir do momento em )uese co$itou uma ece%"o, passou-se a eistir a d/#ida )uanto a sua certeza, elo$icamente, torna-se obscura a e#idencia )ue at* ent"o tnhamos. 3ssopoderia ani)uilar a certeza do pressuposto, uma #ez )ue a ece%"orepresentaria um pressuposto totalmente contradit+rio. 0as, a l+$ica possuicaractersticas )ue as #ezes, de#ido a disposi%"o dos elementos, le#a-nos auma conclus"o totalmente contr!ria a )ue se ima$ina#a, a primeira #ista,che$ar. o )ue ocorre, )uando temos a certeza de )ue o termo 6n"o8, $era a

ideia de ne$a%"o, e )ue em )ual)uer caso )ue utilizarmos o 6n"o8 em dadoconteto, ne$aremos a ora%"o. :o entanto, atributos l+$icos, le#a-nos aentender )ue, se utilizamos o termo 6n"o8, em uma dada ora%"o, masposteriormente, nesse mesmo conteto, utilizarmos outro 6n"o8, estaramosne$ando a ne$a%"o, ou seja, estaramos afirmando. 'or isso, )ue a pr+priaece%"o encontrada para uma dada re$ra, pode n"o subtender suacontradi%"o, mas uma afirma%"o da re$ra, uma #ez )ue en$loba at* mesmo a/nica ece%"o a )ue se possa admitir.

0as, e )uando nos referimos a pressupostos de uma cincia eata,como a matem!tica; :esses casos s+ nos resta a se$uinte per$unta foramestabelecidos todos os pressupostos l+$icos dessa cincia, ou seja, forameploradas todas as possibilidades ima$in!#eis de refutabilidade dessespressupostos; aber isto * fundamental, para che$armos a conclus"o de )ueal$um pressuposto * uma re$ra ou n"o, e se essa re$ra n"o admite realmenteece%"o. 3sso s+ seria poss#el por)ue, inicialmente essas cincias tidas comoeatas utilizam-se, eatamente, de re$ras anteriormente positi#adas, ou seja,como ocorrem com os jo$os, todos ei$em suas pr+prias re$ras.

:o desen#ol#imento da cincia matem!tica, a parte mais interessante *a )ue indica a forma de raciocnio )ue nos conduz ( #erdade< =ma cole%"o defatos t"o lon$e est! de ser uma cincia, como um monte de pedras de ser umacasa. 'osso afirmar, i$ualmente, )ue as combina%&es s!bias de fatos ineatos

ou de fatos )ue n"o foram #erificados, ao menos em suas conse)uncias, seacham t"o lon$e de formar uma cincia )uanto a mira$em de substituir, nodeserto, a presen%a real do o!sis. 4e#e a cincia obser#ar fatos para delesdeduzir leis1 com aulio dessas leis, pre#er outros fatos e melhorar ascondi%&es materiais da #ida. Como, por*m, deduzir a #erdade; 2presenta-se,pois, a se$uinte d/#ida poss#el, em matem!tica, tirar-se uma re$ra falsa deuma propriedade #erdadeira;


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:esse sentido, ao tratar da l+$ica da lin$ua$em, o fil+sofo austracoLud>i$ ?itt$enstein@defende )ue a lin$ua$em n"o seria um todo homo$neo,mas, sim, um a$lomerado de Alin$ua$ensA. 'ara esclarecer esse ponto,?itt$enstein tra%a uma analo$ia entre a no%"o de lin$ua$em e a no%"o dejo$o. 9nde ar$umenta )ue h! di#ersos tipos de jo$os jo$os de tabuleiro, jo$os

de cartas, competi%&es esporti#as, etc. 0as n"o h! uma essnciados jo$os.=m jo$o de cartas apresenta semelhan%as com os jo$os de tabuleiros, mastamb*m muitas diferen%as1 se compararmos esses /ltimos com os jo$os debola, sur$ir"o outras semelhan%as e outras se perder"o.

:o Tractatus, todas as proposi%&es necessariamente #erdadeiras -a)uelas )ue n"o precisam ser confrontadas com a realidade para )ue se saibase s"o #erdadeiras - s"o tautolo$ias, isto *, s"o combina%&es de proposi%&eselementares cujo #alor de #erdade depende apenas das poss#eiscombina%&es de #alores de #erdade dessas mesmas proposi%&eselementaresB.

importante destacar a)ui, o fato de )ue, um silo$ismo, da mesma

forma )ue uma estrutura operacional matem!tica, podem ser formuladoseatamente com o objeti#o de confundir o raciocnio do indi#duo, para tanto,basta )ue utilize-se o )ue denominamos de falsa indu%"o matem!tica. 9u seja,a simples pr*-disposi%"o de n/meros podem le#ar o indi#duo a che$ar a umaconclus"o, tal )ue apesar de esperada, n"o * #erdadeira e nem tampouco#!lida. 3sso ocorre, por)ue al$uns mecanismos da nossa mente, n"o s"oa$u%ados ao ponto de encontrar, principalmente, em estruturas muitos simples,falhas ou erros $rotescos. Em certos casos, mesmo n"o apresentando erro,le#am-nos a concluirmos com um resultado totalmente ad#erso.

1Ludwi !"#$%& !"&'(( )i**$(#*$i(@DD@5@, fil+sofo austraco,

naturalizado britHnico, foi um dos principais atores da #irada lin$usticana filosofiados*culo II. uas principais contribui%&es foram feitas nos campos da l+$ica, filosofiada lin$ua$em, filosofia da matem!ticae filosofia da mente.0uitos o consideram ofil+sofo mais importante do s*culo passado. 9 /nico li#ro de filosofia )ue publicou em#ida, oTractatus Logico-Philosophicus, de @BB, eerceu profunda influncia nodesen#ol#imento do positi#ismo l+$ico.0ais tarde, as id*ias por ele formuladas apartir de @JK e difundidas em Cambrid$ee 9fordimpulsionaram ainda outromo#imento filos+fico, a chamada Afilosofia da lin$ua$em comumA.

2 2ssim, por eemplo, a proposi%"o disjunti#a Apou n"o-pA sempre ser! #erdadeira,

uma #ez )ue para ser falsa * necess!rio )ue as duas proposi%&es sejam falsas, mas )uandop* falsa, n"o-p* necessariamente #erdadeira, e #ice-#ersa. Essa proposi%"o, assim como * ocaso de todas as tautolo$ias, * construda de tal forma )ue independentemente dos #aloresassumidos pelas proposi%&es elementares a proposi%"o complea sempre ser! #erdadeira.Contudo, o custo da necessidade l+$ica * a #acuidade descriti#a, ou seja, uma proposi%"onecessariamente #erdadeira n"o diz nada sobre a realidade.:o )uadro $eral desenhado peloTractatus, temos, portanto, as se$uintes proposi%&es

@ 2s %+"%"#i,$# .'/*u'i# proposi%&es contin$entes )ue fi$uram os fatos1 seus#alores de #erdade #erdadeiro ou falso dependem de uma confronta%"o com a realidade1

B 2s *'u*"0"i'# proposi%&es compleas, necessariamente #erdadeiras, masdestitudas de conte/do descriti#o1

J 2s /"(*+'di,$# proposi%&es compleas, necessariamente falsas, e tamb*mdestitudas de )ual)uer conte/do descriti#o.
http://pt.wikipedia.org/wiki/Jogohttp://pt.wikipedia.org/wiki/Tautologia_(l%C3%B3gica)http://pt.wikipedia.org/wiki/1889http://pt.wikipedia.org/wiki/1951http://pt.wikipedia.org/wiki/%C3%81ustriahttp://pt.wikipedia.org/wiki/Reino_Unidohttp://pt.wikipedia.org/wiki/Virada_lingu%C3%ADsticahttp://pt.wikipedia.org/wiki/Filosofiahttp://pt.wikipedia.org/wiki/S%C3%A9culo_XXhttp://pt.wikipedia.org/wiki/L%C3%B3gicahttp://pt.wikipedia.org/wiki/Filosofia_da_linguagemhttp://pt.wikipedia.org/wiki/Filosofia_da_linguagemhttp://pt.wikipedia.org/wiki/Filosofia_da_matem%C3%A1ticahttp://pt.wikipedia.org/wiki/Filosofia_da_mentehttp://pt.wikipedia.org/wiki/Filosofia_da_mentehttp://pt.wikipedia.org/wiki/Tractatus_Logico-Philosophicushttp://pt.wikipedia.org/wiki/Tractatus_Logico-Philosophicushttp://pt.wikipedia.org/wiki/1922http://pt.wikipedia.org/wiki/Positivismo_l%C3%B3gicohttp://pt.wikipedia.org/wiki/Positivismo_l%C3%B3gicohttp://pt.wikipedia.org/wiki/Universidade_de_Cambridgehttp://pt.wikipedia.org/wiki/Universidade_de_Oxfordhttp://pt.wikipedia.org/wiki/Filosofia_da_linguagem_comumhttp://pt.wikipedia.org/wiki/1951http://pt.wikipedia.org/wiki/%C3%81ustriahttp://pt.wikipedia.org/wiki/Reino_Unidohttp://pt.wikipedia.org/wiki/Virada_lingu%C3%ADsticahttp://pt.wikipedia.org/wiki/Filosofiahttp://pt.wikipedia.org/wiki/S%C3%A9culo_XXhttp://pt.wikipedia.org/wiki/L%C3%B3gicahttp://pt.wikipedia.org/wiki/Filosofia_da_linguagemhttp://pt.wikipedia.org/wiki/Filosofia_da_linguagemhttp://pt.wikipedia.org/wiki/Filosofia_da_matem%C3%A1ticahttp://pt.wikipedia.org/wiki/Filosofia_da_mentehttp://pt.wikipedia.org/wiki/Tractatus_Logico-Philosophicushttp://pt.wikipedia.org/wiki/1922http://pt.wikipedia.org/wiki/Positivismo_l%C3%B3gicohttp://pt.wikipedia.org/wiki/Universidade_de_Cambridgehttp://pt.wikipedia.org/wiki/Universidade_de_Oxfordhttp://pt.wikipedia.org/wiki/Filosofia_da_linguagem_comumhttp://pt.wikipedia.org/wiki/Jogohttp://pt.wikipedia.org/wiki/Tautologia_(l%C3%B3gica)http://pt.wikipedia.org/wiki/1889


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'ortanto, nosso estudo apreciar! al$umas formula%&es da matematical+$ica, em especial as )ue confi$uram d/#idas (s e#idencias dessa cincia.0as, n"o estamos tentando demonstrar )ue a matem!tica seja uma cinciaineata, nem )ue seja, tampouco, uma cincia )ue le#anos a falsas certezas.Estaremos tentando dispor ar$umentos )ue pro#em ser manipula#es as

senten%as matematicos n"o s+ de#ido a certeza da sua cincia, mas tambemde#ido ao a$rupamento l+$ico de pressupostos capazes de confundir )ual)uerconclus"o )ue deles se ad)uiram, inclusi#e matem!ticas, denominados desofismas ou fal!cias.

A FALSA INDUO MATEMTICA

Essa * sem d/#ida uma das mais interessantes possibilidades de semanipular um resultado ou uma conclus"o de um dado raciocnio matem!tico.:"o * pelo fato de se che$ar a confirma%"o do nosso raciocnio, )ue di$a-se

de passa$em, desejamos induzir, )ue estaremos diante da n"o eatid"o damatem!tica.

2)ui, nesse primeiro momento, apenas #amos eercitar o seu raciocniol+$ico matem!tico, com uma simples opera%"o de soma. 'ara tanto, *necess!rio )ue se tenha total concentra%"o, mas apenas mentalmente, seefetue a soma dos se$uintes #alores, em #oz alta, para )ue se possa ou#ir seupr+prio raciocnio

1222 34231222 35231222 36231222 312----------*"*'0 X5

:aturalmente, o raciocnio lhes le#ou a um falso resultado. 3sso *perfeitamente, normal, pois nos utilizamos de estruturas b!sicas de matem!tica)ue induzem o raciocnio a este resultado. 3sso pode ocorrer em muitassitua%&es, de#ido a simplicidade da constru%"o l+$ica.

4e i$ual forma, ocorreria se, por eemplo, admitssemos )ue umal$ebrista curioso desejasse determinar a raiz )uadrada de um n/mero de)uatro al$arismos. abemos )ue a raiz )uadrada de um n/mero * outron/mero )ue, multiplicado por si mesmo, d! um produto i$ual ao n/mero dado.

amos supor, ainda, )ue o al$ebrista, tomando, li#remente, trs n/merosa seu $osto, destacasse os se$uintes n/meros BKB5, JKB5 e DK@ 3niciemos a

3 0uito pro#a#elmente seu raciocnio l+$ico le#ou-o a concluir com um #alor totali$ual a 5KKK, no entanto, infelizmente, $ostaramos de e#idenciar )ue t"o simples

opera%"o de soma, de#er! resultar eatamente em um #alor total de M@KK. 'araconfirmar o resultado, indica-se )ue se fa%a o uso de um e)uipamento de calcular.


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resolu%"o do problema pelo n/mero BKB5 Feitos os c!lculos para esse n/mero,o pes)uisador acharia a raiz )uadrada i$ual a M5. Com efeito M5 #ezes M5 *i$ual a BKB5. 9ra, como se pode #erificar, M5 * obtido pela soma BK N B5, )ues"o partes do n/mero BKB5 )uando decomposto ao meio por um ponto, BK.B5.

2 mesma coisa o al$ebrista #erificaria em rela%"o ao n/mero JKB5, cuja

raiz )uadrada * 556. Con#*m notar )ue 55 * a soma de JK N B5, parte don/mero JK.B5. 3dntica propriedade * ainda #erificada relati#amente ao terceiron/mero, DK@, cuja raiz )uadrada * , isto *, D N K@. 4iante desses trscasos, o despre#enido al$ebrista seria le#ado a enunciar a se$uinte re$ra6'ara calcular-se a raiz )uadrada de um n/mero de )uatro al$arismos, di#ide-se esse n/mero, por um ponto, em duas classes, com dois al$arismos cadauma, somando-se as classes assim formadas. 2 soma obtida ser! a raiz)uadrada do n/mero dado8M.Essa re$ra, #isi#elmente errada, foi tirada de trs eemplos #erdadeiros. poss#el, em matem!tica, che$ar-se ( #erdade pela simples obser#a%"o,fazendo-se mister, entretanto, cuidados essenciais para e#itar a falsa indu%"o.

Lo$o, em se tratando de uma cincia eata como a matem!tica, n"opodemos, jamais concluir com se$uran%a absoluta, por meio de uma l+$icainduti#a, isso por)ue, apesar de um n/mero suficiente de possibilidades seremtestadas para determinados casos, eistir! sempre a iminncia de ha#er umatal )ue possa eceder a re$ra posta. =ma #ez acontecendo isso, a falha estar!estabelecida, a re$ra estar! )uebrada ou, simplesmente, reafirmada. 0as,mister se faz )ue tamb*m essa ece%"o de#er! passar pelo mesmo cri#o dare$ra, para )ue n"o sejamos #itima do mesmo erro duas #ezes, o da indu%"o.

DOUTRINA DOS SOFISMAS OU FALCIAS

2rist+teles foi um dos primeiros fil+sofos a tratar sobre os sofismas, oNON CAUSA PRO CAUSA, por eemplo, * um dos sofismas enunciados porEle5, )ue consistia em assumir como causa, ou seja, como premissa, a)uilo)ue n"o o *, donde resultam uma conse)uncia imposs#el e a aparenterefuta%"o do ad#ers!rio. e$undo ele, sofistica, era a sabedoria aparente, masn"o real, )ue utilizam-se de ar$umentos capciosos ou en$anosos. 0as, osofisma * o mesmo )ue fal!cia. uma esp*cie de raciocnio ca#iloso, muitobem formulado, )ue tem como finalidade le#ar a conclus&es paradoais oudesa$rad!#eis.

2 sofistica, em sentido hist+rico, * a corrente filos+fica preconizada pelossofistas, mestres de ret+rica e cultura $eral )ue eerceram forte influnciasobre o clima intelectual $re$o entre os s*culos e 3 a.C. 2 ofistica n"o *uma escola filos+fica, mas uma orienta%"o $en*rica )ue os sofistas acataramde#ido (s ei$ncias de sua profiss"o.

4 0alba 7ahan. O homem que Calculava. Ed. 3nte$ral.

5l. so!." 5, @OP b B@Q :iccola 2ba$nanno.


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2rist+teles di#idira os raciocnios sofsticos em duas $randes classes osatinentes ao modo de epressar-se, ou, como dizem os escol!sticos,in#ictione" e os independentes do modo de epressar-se, ou e$tra#ictionem.Os primeiros s"o seis, a saber equivoca%&o" an!i'ologia" composi%&o" #ivis&o"acentua%&o e !igura #ict(onis. 9s outros s"o sete aci#ente)" secun#um qui#*"

ignorantiaelenchit+

" peti%&o #e princ(pio,

" non causa procausa" conseqente einterroga%&o mltipla/0. 2 doutrina dos sofismas foi uma das partes maisculti#adas da l+$ica medie#al, mas perdeu )uase toda importHncia na l+$icamoderna. Cerca de metade das Summulae logicales 1s2c. I333 de 'edroRispano * dedicada ( refuta%"o dos sofismas. 0as j! na L+$ica de 'ort-SoTala ela * dedicado um /nico captulo o I3I da parte 333, )ue constitui cerca da#i$*sima parte do tratado. :a l+$ica contemporHnea esse assuntodesapareceu de todo, j! )ue n"o podem ser reduzidas a sofismas asantinomiasde )ue ela trata.

O SOFISMAS MATEMTICOS11

62 !al3cia #. j! * identificada por 2rist+teles 1l. so!" 5, @OO b como deri#ada daidentifica%"o de uma coisa com um seu acidente ou atributo acidental Ae Corisco *diferente de +crates, e +crates * homem, Corisco * diferente de um homemA. Cf.'E4S9 R3'2:9, Summ. log." P, MK ss. G. ' - Q :iccola 2ba$nanno.

7U! identificada por 2rist+teles 1l. so!." 5, @OP a, * a !al3cia #. )ue consiste em

passar de uma premissa, em )ue certo termo * tomado em sentido relati#o, para umaconclus"o em )ue o mesmo termo * tomado em sentido absoluto Ae o n"o-ser *objeto de opini"o, o n"o-ser *A. Cf. 'E4S9 R3'2:9, Sn mm. log." P. MO ss. Q:iccola 2ba$nanno

8=ma das fal!cias e$tra #ictionem enumeradas por 2rist+teles 1l. so!" O, @OD a @D, maisprecisamente a )ue consiste na i$norHncia da)uilo )ue se de#e pro#ar contra o ad#ers!rio cf.

tamb*m 'E4S9 R3'2:9, Summ. log." P. 5M1 e 2S:2=L4, Log." 333, @, 4.Q :iccola2ba$nanno.

9 a conhecidssima !al3cia" analisada por 2rist+teles Top." 333, @J, @OB b1 l.so4." 5,@OP b1An. pr.. 33, @O, OM b, )ue consiste em pressupor, na demonstra%"o, ume)ui#alente ou sinVnimo do )ue se )uer demonstrar cf. 'E4S9 R3'2:9, Smnm.log." PJQ :iccola 2ba$nanno

10l.so!." M. =ma das fal!cias e$tra #ictionem enumeradas por 2rist+teles, maisprecisamente a )ue consiste na redu%"o de #!rias per$untas a uma s+, apostandoassim na unicidade da resposta )ue o ad#ers!rio * tentado a dar 2S37W7ELE, l.So!" JK, @D@ a JK1 'E4S9 R3'2:9, Summ. log." P. OB-P. OM1U=:G3=, L5gica

ham'urgens(s" 3, @B, @O1 GE:9E3,Ars logico-critica" , @@, @B1 etc. Q :iccola2ba$nanno


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comum na l+$ica@B, a constru%"o de sofismas, a An!e'oiia/6, de2rist+teles@M, mais precisamente a fal!cia, $erada do fato de uma frasepossibilitar o entendimento amb$uo, de#ido a constru%"o $ramaticaldefeituosa, mas e )uando a constru%"o do silo$ismo@5* matem!tico;

2 l+$ica simb+lica@O

, inspirada na lin$ua$em matem!tica, basea#a-se no fato de)ue como a !l$ebra possui smbolos pr+prios, inconfund#eis, uni#ersais paratodos os matem!ticos, assim tamb*m a lo$ica de#eria ser uma lin$ua$emperfeita, totalmente purificada das ambi$uidades e contra-sensos da lin$ua$emcotidiana, nem para )ue o conte/do das afirma%&es n"o comprometesse a#alidade dos raciocnios. 'ara tanto, Leibniz propVs uma lin$ua$em simb+licaartificial, isto *, construda especialmente para $arantir ao pensamento plenaclareza nas demonstra%&es e nas pro#as.2 l+$ica tornou-se cada #ez mais uma cincia formal da lin$ua$em, mas deuma lin$ua$em muito especial, )ue nada tem a #er com a lin$ua$em cotidiana,pois trata-se de uma lin$ua$em inteiramente construda por ela mesma, com

base no modelo da matem!tica.11 Cf:2XX2G:2:9, :icola. 7ist5ria #a !iloso!ia.BYed. #ol. I333, Lisboa Editorial'resen%a, @P.

12 9 objeto da l+$ica * a %+"%"#i,7", )ue eprime, por meio da lin$ua$em, os8u9"#formulados pelo pensamento. 2 proposi%"o * a atribui%"o de um predicado aum sujeito S 2 P. 9 encadeamento dos juzos constitui o +'/i"/9(i"e este se eprimelo$icamente por meio da cone"o de proposi%&es1 essa cone"o chama-se#i0"i#;". 2 l+$ica estuda os elementos )ue constituem uma proposi%"o, os tipos de

proposi%&es e de silo$ismos e os princpios necess!rios a )ue toda proposi%"o e todosilo$ismo de#em obedecer para serem #erdadeiros. er elementos da l+$ica, CaptuloB, da =nidade M 2 l+$ica, de 0arilena Chau. C"(


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2 matem!tica * considerada uma cincia eata, e para tanto, por )ueaplicar um silo$ismo l+$ico para a#aliar as conclus&es eatas; :"o seria umatautolo$ia@P; \ual a rela%"o entre a matem!tica e a l+$ica;2 matem!tica, filosoficamente definida, comportaria por um lado o de#er deepressar orienta%&es diferentes da in#esti$a%"o filos+ficas e, por outro, conter

modos diferentes de justificar a #alidade e a fun%"o da l+$ica no conjunto dascincias. 2ssim, podem ser distin$uidas )uatro defini%&es fundamentais @Y amatem!tica como cincia da )uantidade1 BYa matem!tica como cincia dasrela%&es1 JY a matem!tica como cincia do poss#el, e1 MY a matem!tica comocincia das constru%&es poss#eis.

Como cincia da )uantidade foi ( primeira defini%"o filos+fica damatem!tica, formulada por 2rist+teles, mas )ue j! esta#a implcita nasconsidera%&es de 'lat"o sobre a aritm*tica e a $eometria, )ue tendiam,sobretudo a e#idncia da diferen%a entre as $randezas percebidas pelossentidos e as $randezas ideais. Esse conceito de matem!tica persistiu pormuito tempo e s+ na modernidade come%ou a parecer insuficiente para eprimir

todos os aspectos desse campo de estudos. 9 pr+prio ]ant@D traduzia-o para alin$ua$em de sua filosofia. 'ara ele, a matem!tica distin$uia-se da filosofiapor)ue, en)uanto a filosofia procede por meio de conceitos, a matem!ticaprocede por meio da constru%"o de conceitos. 0as, a constru%"o de conceitoss+ * poss#el na l+$ica, com base na intui%"o a priori deespa%o, )ue * a formada )uantidade em $eral. 2s lon$as e fant!sticas discuss&es de Re$el sobre osconceitos fundamentais da matem!tica, na $rande L5gica/," baseiam-se neleFil+sofos, mesmo muito mais tarde.

4e acordo com a se$unda concep%"o fundamental, a matem!tica seriaa cincia das rela%&es, portanto, estreitamente li$ada ( l+$ica ou parte desta.9ri$inalmente fundada por 4escartesBK. 0as o conceito de Leibniz sem d/#idapode ser considerado o incio do conceito da matem!tica como l+$ica, mas n"o

172 tautolo$ia n"o tem condi%"o de #erdade por)ue * incondicionalmente #erdadeira, e acontradi%"o ( nenhuma condi%"o * #erdadeira, * a)uela )ue es$ota todas aspossi'ili#a#es, ouseja, * um refor%o desnecess!rio, j! )ue se repete o )ue j! se sabe com certeza e eatid"o

18]ant diz A\uem pensou distin$uir a filosofia da matem!tica, dizendo )ue esta temcomo objeto apenas a )uantidade tomou o efeito pela causa. 2 forma do conhecimentoda matem!tica * a causa de ela poder referir-se unicamente a )uantidades. :a#erdade, s+ o conceito de )uantidade pode ser constru(#o"ou seja, eposto a priori naintui%"o do espa%oA 1Cr(tica #a Ra;&o Pura< 4out. do m*t., cap. 3, se%. @.

19Re$el A2s matem!ticas fornecem conceitos abstratos )ue possibilitam o juzonum*rico1 constr+em os instrumentos para contar e calcular e para realizar a)uelaesp*cie de falsa sntese a priori" )ue * a numera%"o dos objetos indi#iduaisA 1L3022^, R.C. de. 4a Cincia da L+$ica ( Filosofia da :atureza estrutura do sistema he$eliano,

>+i*$+i"(, n.5, Xelo Rorizonte F2F3CR_=F0G,@P, pp.JJ-MD. arti$o.

204escartes j! afirma#a AEmbora as cincias comumente chamadas de matem!ticas

tenham objetos diferentes, est"o de acordo )uanto a considerarem apenas as di#ersasrela%&es ou propor%&es neles encontradasA =iscours" 33.


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impedia )ue o pr+prio Leibniz aderisse ainda ao conceito tradicional dematem!tica como arte da )uantidade. 9b#iamente, a estreita cone"o damatem!tica com a l+$ica come%ou a e#idenciasse como caracterstica damatem!tica s+ )uando a l+$ica assumiu a forma de c!lculo matem!tico. 9ra as/ltimas leis da l+$ica tm forma matem!tica, por isso a apresenta%"o da l+$ica

em forma de c!lculo n"o * arbitr!ria, mas representa al$o )ue decorre daspr+prias leis do pensamento. :o entanto, )uem mais contribuiu para inscre#era matem!tica no domnio da l+$ica foi Fre$e e sua polmica contra opsicolo$ismo. Em um ensaio de @DDM, Fre$e mostra#a a importHncia doconceito de rela%"o para a defini%"o do n/mero natural, dizia

9 conceito de rela%"o pertence tanto )uantoo conceito simples ao campo da l+$ica pura. 2)uin"o interessa o conte/do especial da rela%"o, maseclusi#amente sua forma l+$ica. e al$o pode serafirmado sobre ela, a #erdade desse al$o * analtica ereconhecida a priori.>/

2 partir da. pode-se considerar consolidada a cone"o da matem!ticacom a l+$ica atra#*s da teoria das rela%&es1 essa cone"o foi constantementepressuposta nas defini%&es de matem!tica. 7oda#ia mesmo as defini%&es )uetm esse fundamento em comum foram formuladas de modos diferentes. 2formula%"o mais +b#ia de uma defini%"o deste tipo * a )ue considera amatem!tica como Ateoria das rela%&esA. Esse conceito foi adotado por Sussell,)ue #ia a coincidncia entre matem!tica e l+$ica justamente no Hmbito dateoria das rela%&es e jul$a#a )ue o tema comum das duas cincias era a formados enunciados, definida como Aa)uilo )ue permanece in#ari!#el )uando todosos componentes do enunciado s"o substitudos por outrosA, ou seja, )uando oenunciado se transforma em pura rela%"o.

Contrariamente, 'eirce, mesmo admitindo a cone"o entre matem!tica el+$ica, procurara distin$uir ambas, afirmando )ue, en)uanto a matem!tica * acincia )ue infere conclus&es necess!rias, a l+$ica * a cincia do mo#o #ein!erir conclus&es necess!rias. 4izia

9 l+$ico n"o est! muito preocupado com estaou a)uela hip+tese ou com suas conse)`ncias eceto)uando isso pode lan%ar luzes sobre a natureza doraciocnio. 9 matem!tico interessa-se muito pelosm*todos eficientes de raciocinar, #isando ( sua

poss#el etens"o para no#os problemas, mas,en)uanto matem!tico, n"o se preocupa em analisar aspartes de seu m*todo cuja corre%"o * dada como +b#ia1Coll. Pap." M.BJ.

Essa distin%"o, por*m, basea#a-se na no%"o de l+$ica como cinciacate$+rica e normati#a, o )ue n"o fez carreira na l+$ica contemporHnea, cujocar!ter con#encional se acentuou cada #ez maisBB, at* mesmo por)ue, tem se

21 Cf: 7ine logis mathematische lintersuchung 'er#en ?egri!! #er @a'l" @DDM, PK,trad. it., emAritm2tica e l5gica" p. @J. Q :icola 2ba$nano

22 cf Con#encionalismo l+$ica


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tornado muito comum, relati#izar re$ras l+$icas, eatamente, pela capacidadedo raciocnio humano de manipular aiomas, estruturando )ual)uer silo$ismo,inclusi#e de modo falacioso ou sofistico.

'ortanto, a melhor defini%"o de matem!tica, desse ponto de #ista, *dada por ?itt$enstein

2 matem!tica * um m*todo l+$ico. 2sproposi%&es da matem!tica s"o e)ua%&es, portantopseudoproposi%&es. 2 proposi%"o matem!tica n"oeprime pensamento al$um. 4e fato, nunca precisamosde proposi%&es matem!ticas na #ida, mas asempre$amos apenas com o fim de, a partir deproposi%&es )ue n"o pertencem ! matem!tica tirarconclus&es )ue se epressam em proposi%&es )uetampouco lhe pertencem Tractatus l5gicus-philosophicus" @BB. O.B1 O.B@1 O.B@@.

9u seja, as e)ua%&es da matem!tica correspondem (s tautolo$ias dal+$ica e, por isso, nada dizem. 'onto de #ista an!lo$o foi epresso por CamapA9s c!lculos constituem um $nero particular de c!lculos l+$icos, distin$uindo-se deles pela maior compleidade. 9s c!lculos $eom*tricos s"o um $neroparticular de c!lculos fsicosABJ. Esta * a melhor formula%"o da tese dologicismo. e$undo esse ponto de #ista, em primeiro lu$ar de#e-se construiruma l+$ica eata, para em se$uida dela etrair a matem!tica, do se$uintemododefinindo todos os conceitos da matem!ticaBM em termos de conceitosde l+$ica1 deduzindo todos os teoremas da matem!tica a partir dessasdefini%&es e por meio dos princpios da pr+pria l+$icaB5.

2 terceira concep%"o fundamental de matem!tica pertence ( corrente!ormalista e pode ser assim epressa a matem!tica * Aa cincia do poss#elA,

onde por poss#el se entende a)uilo )ue n"o implica contradi%"o. 4esse pontode #ista, a matem!tica n"o * parte da l+$ica e n"o a pressup&e BO. 9nde amatem!tica pode ser construda como simples c3lculo" sem ei$ir interpreta%"oal$uma. 7orna-se, ent"o, um sistema aiom!tico, no )ual

todos os conceitos b!sicos e todas as rela%&es b!sicas de#emser completamente enumerados, inte$rando-se neles, por meiode defini%"o, )uais)uer conceitos ulteriores1

os aiomas de#em ser completamente enumerados e destesdeduzidos todos os outros enunciados em conformidade com asrela%&es b!sicas.

23 oun#atioriso! Logic an# Bathematics" @J, @J

24 ale dizer, da aritm*tica, da !l$ebra e da an!lise.

25 3nclusi#e os aiomas de infinidade e de escolha. cf. C. G. RE0'EL, A9n the:ature of 0athematical 7ruthA, @B5, em Rea#(ngs in the Ph(losoph8 o! Science" @5J,p. 5.

26 4o modo como foi concebida por Rilbert e XernaTs 1run#lagen #er Bat'ematiD"3, @JM1 33, @J.


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:esse sistema, a demonstra%"o matem!tica * um proce#imentopuramente mecEnico F inferncia de f+rmulas, mas ao mesmo tempoacrescenta-se ( matem!tica formal uma matem!ticaconstituda por raciocniosn"o formais em torno da matem!tica A4esse modoA. 2 matem!tica constitui,ent"o, um sistema perfeitamente autVnomo, ou seja, n"o pressup&e um limite

ou um $uia fora de si mesma e desen#ol#e-se em todas as dire%&es poss#eis,entendendo-se por dire%&esposs(veis as )ue n"o le#em a contradi%&es.'ortanto, * essencial para esse conceito da matem!tica a possibilidade

e determinar a n"o-contradi%"o dos sistemas aiom!ticos. 0as foi justamenteessa possibilidade )ue o teorema descoberto por Gdel em @J@ pVs emd/#ida se$undo ele, n"o * poss#el demonstrar a n"o-contradi%"o de umsistema S com os meios aiomas, defini%&es, re$ras de dedu%"o, etc.pertencentes ao mesmo sistema S. 'ara efetuar tal demonstra%"o, *necess!rio recorrer a um sistema maior, mais rico em meios l+$icos. Esseteorema de Gdel te#e $rande importHncia na matem!tica moderna. 2t* a$orafoi poss#el demonstrar a n"o-contradi%"o de al$umas partes da matem!tica,

como por eemplo, da aritm*tica, mas n"o se a#an%ou muito nessa dire%"o.'or isso, a Acincia do poss#elA hoje acredita )ue sua miss"o mais difcil *mostrar a ApossibilidadeA de suas partes. \uanto ( possibilidade da matem!ticacomo sistema /nico e total, ob#iamente foi ecluda pela formula%"o doteorema de Gdel, )ue tamb*m mostrou os limites da aiom!tica aodemonstrar )ue nenhum sistema aiom!tico cont*m AtodosA os aiomasposs#eis e )ue, portanto, no#os princpios de pro#a podem ser continuamentedescobertos. 9utra conse)uncia do teorema de Gdel * uma limita%"o dascapacidades das m!)uinas calculadoras, cuja constru%"o foi enormementefacilitada pelo conceito formalista da matem!tica. 4e fato, pode-se construiruma m!)uina para resol#er determinado problema, mas n"o uma m!)uina )ueseja capaz de resol#er todos osproblemas.

U! a )uarta concep%"o fundamental, demonstra )ue a matem!tica * acincia )ue tem por objeto a %"##i?i0id'd$ d$ /"(#*+u,7". 7rata-se, como se#er da no%"o antiana da matem!tica como Aconstru%"o de conceitosA. 'orisso, essa corrente comumente * chamada de intuicionismo>*.

e$undo Xrou>er, )ue * um dos principais representantes dointuicionismo, a matem!tica identifica-se com a parte eata do pensamentohumano e por isso n"o pressup&e cincia al$uma, nem a l+$ica, mas ei$euma intui%"o )ue permita apreender a e#idncia dos conceitos e dasconclus&es.

:"o se de#e che$ar (s conclus&es a partir de re$ras fias contidas numsistema formalizado, mas cada conclus"o de#e ser diretamente #erificada combase em sua pr+pria e#idncia. 4esse ponto de #ista, o procedimento dedemonstra%"o matem!tica n"o tem em #ista a dedu%"o l+$ica, mas aconstru%"o de um sistema matem!tico. Xrou>er insiste no fato de )ue, mesmono caso de uma demonstra%"o de impossibilidade atra#*s da e#idncia de umacontradi%"o, o erro do princpio de contradi%"o * apenas aparente narealidade, trata-se da afirma%"o de )ue uma constru%"o matem!tica, )ue

27 9 intuicionismo, apesar de definir a matem!tica como a cincia das constru%&esposs#eis, n"o recorre, como ]ant, ! intui%"o a priorido espa%o, nem a forma al$uma

de intui%"o emprica ou mstica. 2 constru%"o de )ue o intuicionismo fala * conceitual en"o se refere a fatos empricos.


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de#eria satisfazer a certas condi%&es, n"o foi realizada. 2ssim )ue a distin%"oentre formalismo e intuicionismoBDn"o * t"o radical )uanto poderia parecer.

'ortanto, em primeiro lu$ar, a constru%"o )ue os intuicionistas #eem )ueobjeto do procedimento matem!tico * formal e sua possibilidade * determinadapor re$ras formais. 'or outro lado, os limites do formalismo e#idenciados pelo

teorema de Gdel ressaltam o #alor de al$umas ei$ncias apresentadas peloconceito intuicionista da matem!tica. E j! )ue * difcil i$norar a importHncia doaspecto lingu(stico da l+$ica, )ue ser#iu de base para o logicismo" opensamento matem!tico contemporHneo * dominado por di#ersas correntes,#!lidas.

DEMONSTRAO DA FALSEA@ILIDADE MATEMTICA

2 matem!tica, apesar de eata, pode ser manipulada de forma )uepossamos demonstrar )ue ela pode, em determinados casos, demonstrar-se#erdadeira, mas n"o #!lida, ou nem #erdadeira e nem #!lida. 4esta forma,podemos encontrar al$uns absurdos da matem!tica )ue nos pro#a tal teoria, ademonstra%"o de )ue a #alidade da matem!tica n"o poder! ser considerada,como a de nenhuma outra cincia, absoluta.

OS SOFISMAS DA IGUALDADE APARENTE

o caso por eemplo do crit*rio de i$ualdade matem!tica, onde teremos)ue s"o i$uais os #alores cujas partes di#idam-se em tantas )uantos poss#eis

de forma )ue proporcional at* )ue se che$ue ao )uociente comum de restoi$ual a zero. 0as, #ejamos al$uns eemplosBpara saber se tal afirma%"o seconfirma ou n"o

E. @ 5 iu'0 ' 4B

Come%amos com a se$uinte i$ualdade

0 = 0

'odemos escre#er a i$ualdade da se$uinte maneiraJ-J M-M

Colocamos o J e o M em e#idncia

J @-@ M @-@

Cortamos os termos comuns entre parnteses e che$amos ( i$ualdade

28 Entre a terceira e a )uarta concep%"o da matem!tica.

29 'ara a constru%"o desses silo$ismos utilizaremos al$umas propriedadesmatem!ticas, )ue n"o s"o b!sicas e#identemente, mas )ue s"o de f!cil compreens"o.


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J M

E. B4 iu'0 ' B

Come%amos com a se$uinte i$ualdade-BM -BMEscre#emos o n/mero -BM em duas formas diferentes

@O - MK JO - OK9s n/meros @O, MK , JO e OK podem ser escritos da se$uinte forma

MM - BM5 OO - BO5'odemos somar B5 nos dois lados da e)ua%"o sem a alterar

MM - BM5 N 55 OO - BO5 N 552$ora #emos )ue tanto no lado es)uerdo como no lado direito temos umbinVmio ao )uadrado o primeiro termo ao )uadrado, menos duas #ezes oproduto dos dois termos mais o )uadrado do se$undo

M - 5B O - 5BEliminando o )uadrado nos dois lados da e)ua%"o temos

M - 5 O - 5Finalmente, somando 5 nos dois lados, obtemos o resultado

M O

E 5:

6 iu'0 ' 1B

amos #erificar

ejam a e b pertencentes ao reais, sendo a e b diferentes de zero.uponhamos )ue ab.

Ent"o, se ab, multiplicando os dois lados da i$ualdade por atemos

aBab

ubtraindo '>dos dois lados da i$ualdade temos

aB-bBab-bB

abemos fatora%"o, )ue a>-'>G1aH'91a-'9. Lo$o

aNba-bab-bB

Colocando 'em e#idncia do lado direito temos

aNba-bba-b

4i#idindo ambos os lados por 1a-'9temos


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aNbb

Como no incio dissemos )ue aG', ent"o no lu$ar de aeu posso colocar '

bNbb

'ortanto >'G'. 4i#idindo ambos os lados por 'finalmente che$amos aconclus"o

61

l+$ico )ue essas, e muitas outras poss#eis i$ualdades desse tipo n"opodem, em nenhum dos casos estarem corretas, mas n"o podemos, tamb*m,defender a teoria de )ue esse erro seja e#idente, pois a primeira #ista, fica aimpress"o de )ue s"o todos muito bem elaborados e )ue est"o corretos, masisso destruiria todos os aiomas de i$ualdade da matem!tica cl!ssica. Ent"o,sem uma analise pormenorizada da disposi%"o dessa estruturas matem!ticasfacilmente, somos conduzidos a conclus"o de )ue essas i$ualdades s"o#erdadeiras.

OS SOFISMAS DA IGUALDADE APARENTE RESULTANTE DE UMA SOMA

Setirar de uma opera%"o matem!tica, mesmo sendo ela a mais simplesposs#el, uma conclus"o ou resultado totalmente inesperado, $era n"o s+desconfian%a, mas, principalmente, d/#ida )uanto as certezas dessa cinciatida como eata. 2final a soma de dois n/meros i$uais, n"o de#eriam,necessariamente, resultar em um numero tal )ual sua di#is"o por em partesi$uais coincidissem com os n/meros )ue lhe deram ori$em; 'ois #ejamosal$umas demonstra%&es l+$icas

E. @

636 iu'0 ' B

amos #erificar

Come%amos com a se$uinte i$ualdade, )ue * #erdadeira

@O-JO B5-M5


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omamos D@_M nos dois lados, o )ue n"o altera a i$ualdade

@O-JOND@_M B5-M5ND@_M

3sso pode ser escrito da se$uinte forma trinVmio )uadrado perfeito

M-_BB 5-_BB

7irando a raiz )uadrada em ambos os lados temos

M-_B 5-_B

omando _B nos dois lados da i$ualdade temos

M 5

Como MBNB che$amos a se$uinte conclus"o

636

SOFISMAS CONTRA A CERTEA OU A EXATIDO DA MATEMTICA

e$uindo esse mesmo raciocnio che$ou-se a co$itar a possibilidade damanipula%"o das certezas matem!ticas, em prol da constru%"o de ar$umentos

l+$icos capazes de colocarem em d/#ida todo o absolutismo da eatid"o dacincia matem!tica.

importante destacar )ue essas estruturas s"o criadas eatamente como intuito de confundir. 4e modo )ue n"o estamos e#idenciando as #erdades oufalsidades da matem!tica, mas demonstrando )ue ela pode, em certos casos,tornassem muito obscuras e confusas, le#ando-nos a tirarmos conclus&es nadacoerentes, porem totalmente l+$icas.

:esse sentido, podemos, at* mesmo du#idar da eatid"o damatem!tica, para tanto basta-nos dispor de ar$umentos estruturados de formamuito l+$ica )ue n"o demonstre )ual)uer erro e#idente, e )ue possibilitem umaf!cil condu%"o ao resultado desejado, o )ue pode ser ou n"o um #alor

#erdadeiro para problema, mas )ue pode tamb*m, em outros casos ser, noentanto, nunca ser"o #!lidos. 'ois, #ejamos

EI. @JKuponhamos )ue J trs irm"os recebessem como heran%a J5

camelos. e$undo a #ontade epressa de seu pai, o mais #elho dos filhos de#areceber a metade, o seu irm"o mais pr+imo uma ter%a parte, e, ao mais mo%o,de#a tocar apenas a nona parte. :"o * e#idente, por*m, como se de#e di#idir

30 7odos os eemplos apresentados nesse t+pico baseiam-se em E. FourreT,R2cr2ations math2matiques, 'aris, @M, p!$. @5. Gaston XouchenT, Curiosit2s et

recreationsmath2matiques. 'aris, @J, p!$. @MD. 'roblemas famosos e curiosos damatem!tica Q cf 72R2:, 0alba.


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dessa forma J5 camelos, pois, a cada partilha proposta por um se$ue-se arecusa dos outros dois, uma #ez )ue, a metade de J5 * @P e meio. Como fazera partilha se a ter%a e a nona parte de J5 tamb*m n"o s"o eatas;

E isto seria muito simples de se fazer, n"o s+ com justi%a essa di#is"o,mas com #anta$ens para ambos respeitando toda a #ontade do seu pai e ainda

restaria ao fim da di#is"o @ um camelo, para tanto basta )ue se junte aos J5camelos um outro, emprestado apenas para facilitar a di#is"o, formando umtotal de JO camelos.

'ara se fazer a di#is"o justa e eata dos camelos )ue s"o a$ora, como#em em n/mero de JO, procedamos assim

9 mais #elho dos J trs filhos de#erias receber, a metade de J5, isto *,@P e meio, no entanto, receber!s a metade de JO, portanto, @D. :ada tens areclamar, pois * claro )ue saste lucrando com esta di#is"o.

9 se$undo herdeiro, por sua #ez, de#erias receber um ter%o de J5, isto *@@ e pouco, mas #ais receber um ter%o de JO, isto * @B. :"o poder!s protestar,pois tamb*m saste com #is#el lucro na transa%"o.

E por fim o mais mo%o, )ue se$undo a #ontade do seu pai, de#eriasreceber uma nona parte de J5, isto * J e tanto. ais receber, portanto, umanona parte de JO, isto *, M,sendo o seu lucro i$ualmente not!#el. 9u seja,todos s+ tens a a$radecer pelo resultado da #antajosa di#is"o feita entre osirm"os, partilha em )ue todos trs saram lucrando, onde couberam @Dcamelos ao primeiro, @B ao se$undo e M ao terceiro, o )ue d! um resultado@DN@BNM de JM camelos. 4os JO camelos, sobram, portanto, dois. =m )ueha#ia sido emprestado para a di#is"o e outro restou de sobra. 0as, como seriaposs#el, numa di#is"o )ue se efetuada eata as partes receberiam #aloresabaio do alcan%ado, e )ue, no entanto, mesmo com #is#el lucro das partesainda sorou um camelo ao final da di#is"o. 4ai resta-nos a per$unta amatem!tica n"o seria eata;

E. Buponhamos )ue Jtrs rapazes tenham ido a um restaurante para

almo%ar. 2o fim da refei%"o, chamado o $ar%om para trazer-lhes a conta, esseapresenta-lhes um total de JK,KK reais.

e a conta resultou em um #alor de JK,KK reais, podemos di#idir este empartes i$uais para os trs rapazes, alcan%ando um total de @K,KK reais paracada um deles. E assim procederam, cada rapaz pa$ou @K,KK reais.

9 $ar%om, ao che$ar no caia, foi informado de )ue, na #erdade os

rapazes teriam um desconto de 5,KK reais, ou seja, a conta deles seria apenasB5,KK reais e n"o mais JK,KK reais. 4essa forma, o $ar%om preocupado emcomo poderia dar o troco i$ualmente para os trs rapazes, pediu )ue o caialhe entre$asse 5 moedas de @,KK real, para o troco.

:o caminho, pensando bem em como dar o troco aos rapazes, o$ar%om, imediatamente, escondeu em seu bolso B duas moedas de @,KK realdas 5cinco )ue o caia tinha lhe entre$ue, de#ol#endo aos rapazes apenasuma moeda de @,KK real para cada um, ou seja, Jtrs moedas de @,KK real.

4essa forma, se cada rapaz tinha dado, inicialmente, um total de @K,KK,resultando em uma soma de JK,KK reais, mas receberam @,KK real de trococada um, ent"o conclui-se )ue cada um contribuiu com apenas ,KK

reais@K,KK-@,KK,KK. Lo$o, temos )ue ,KK reais )ue cada um contribuiu#ezes J trs )ue * o numero de rapazes, resultamos num total pa$o de BP,KK


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reais ,KK I J BP,KK, mais os B,KK reais )ue o $ar%om ha#ia pe$o para si,teremos um #alor final de B,KK reais BP,KK N B,KK B,KK.

9ra, mas o primeiro #alor com )ue os J trs rapazes ha#iamcontribudo, era de JK,KK reais, ent"o como pode essa conta resultar num #alorfinal de B,KK reais; Ent"o, onde est! o outro real; Estaria a)ui faltando um

real, realmente; Como seria poss#el, se a matem!tica * uma cincia eata;

E. Juponhamos )ue irm"os encarre$aram-se de #ender no mercado duas

car$as de mel&es. 9 mais #elho dos irm"os entre$ou ao empre$ado JKmel&es, para )ue este os #endesse ( raz"o de J mel&es por @,KK real1 9 maisno#o, por sua #ez, entre$ou ao mesmo empre$ado, tamb*m, JK mel&es paraos )uais estipulou pre%o mais caro, isto *, ( raz"o de B mel&es por @,KK reais.

Era l+$ico )ue, efetuada a #enda, o mais #elho de#ia receber @K,KK reaise seu irm"o @5,KK reais. 9 total de #enda seria, portanto de B5,KK reais.

2o che$ar, por*m, ( feira, uma d/#ida sur$iu no esprito do empre$ado,

bom #endedor )ue era e ele come%asse a #enda pelos mel&es mais caros,pensou, perderei a fre$uesia1 se iniciasse o ne$+cio pelos mel&es maisbaratos, encontraria, depois, dificuldade em #ender os outros trinta. Ent"o, omelhor )ue encontrou a fazer a /nica solu%"o para o caso foi #ender as duascar$as ao mesmo tempo.

7endo che$ado a essa conclus"o reuniu os OK mel&es e come%ou a#end-los aos $rupos de 5 mel&es por B reais. 9 ne$+cio era justificado por umraciocnio l+$ico muito simples e ele de#ia #ender J mel&es por @,KK real edepois B mel&es tamb*m por @ real, seria mais simples #ender lo$o 5 mel&espor B reais.

endidos os OK mel&es, em @B lotes de cinco cada um, conse$uiu BMreais ao todo OK_5 @B, )ue esses @BIB,KKBM,KK.

0as, e a$ora, como pa$ar aos dois irm"os, se o primeiro de#ia receber@K,KK e o se$undo @5,KK reais;

Ra#ia uma diferen%a de @,KK real, mas como eplicar; 'ois, o ne$+ciofoi feito, como disse, com o m!imo cuidado. ender J mel&es por @,KK real, e,depois, #ender B por @,KK real n"o * a mesma coisa )ue #ender lo$o 5 por Breais; Ent"o, por)ue faltou eatamente @,KK real a essa conta; 2 eatid"o dacincia matem!tica n"o poderia admitir essa falha.

:"o deiam de ser interessantes esses problemas, apresentados sob

forma de hist+ria. U! sendo muito comum, #isto muitas #ezes eatamente ocontr!rio, simples hist+rias mascaradas sob o disfarce de #erdadeirosproblemas de l+$ica ou de matem!tica

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Sofismas Matematicos Com a Exatidao Posta Em Duvida