Solução da Prova de Matemáticafiles.comunidades.net/professorjhonnes/...Logo temos a média aritmética X de A, B, C, D e E: X % + + + + = = = 45 5 0 10 20 80 16 5 5 Item 03 Trata-se

Temos uma típica questão de Conjuntos no parágrafo inicial, misturada em sequência por um tópico de média aritmética simples. Usaremos o diagrama de Venn para a solução da parte inicial.

De fato, há 5% que assistem aos três canais. E 10% assistem X e Y, logo, 5% � 10%� 5% são os que assistem só X e Y. Analogamente, subtraindo 5% obtemos os 0% que assistem apenas Y e Z e os 10% que assistem apenas X e Z. Agora veremos que 30% assistem X, mas pelos dados anteriores, já há 20% em X, logo faltam 10% e estes são os que assistem apenas X. Em Y já há 10%, logo há 20% que assistem só Y. E 5% com 15% completam os 20% em Z. Assim, somando os valores obtemos 55%, o que mostra que 45% não assiste a esses canais.

Solução da Prova de Matemática

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Solução elaborada pelo Professor Jhonnes para fins exclusivamente didáticos!

SOLUÇÃO DA PROVA DE MATEMÁTICA – UNEAL 2014

Da parte seguinte temos: ; ; ; ;A B C D E= = = = = 45 5 0 10 20 Logo temos a média aritmética X de A, B, C, D e E:

%X+ + + += = =45 5 0 10 20 80

16

5 5

Item 03

Trata-se de uma situação de contagem. Pode ser resolvida contando os termos de uma PA ou observando os múltiplos de 7 entre 42 e 2142. Vejamo-la. O primeiro telefone será instalado no quilômetro 42, o segundo no quilômetro 84 e assim por diante. Notemos que 2184 é divisível por 42, pois 42 52 2184.× = Como o último telefone será instalado quilômetro 2142 teremos ao todo 51 telefones instalados. Note que 2142 42 51.÷ = Sendo R$ 286,50 o preço de cada telefone, o custo com a compra será 286 50 51 14611 50, , .× = Item 04.

Trata-se um problema que envolve um raciocínio de multiplicação (ideia de triplo) e adição. A questão afirma que a produção foi triplicada a cada mês, a partir de setembro, logo entendemos que em setembro foram 90 camisetas, em outubro 270, em novembro 810 e em dezembro 2430. Assim teremos 8 meses de 30 e mais o total obtido no quadrimestre (setembro a dezembro). O total será: 240 90 270 810 2430 3840.+ + + + = Item 01




Trata-se de uma situação de aumento percentual, onde partimos de um valor inicial 0C e desejamos saber o tempo

necessário até obter um valor final 400% maior, tendo um aumento constante mensal de 30 0 3% , .= Situações desse tipo exigem sempre o uso de logaritmo para o cálculo do tempo. Vejamos:

O crescimento desejado é de 400

400 4100

% .= = Dessa forma, o número C de pessoas que estarão consumindo frutas e

seus derivados após n meses será 0 1 03( , ) .nC C= Mas 04 ,C C= de onde podemos escrever:

2 2 2 2 0 3 0 601 03 4 1 03 4 1 03 2 60 meses

1 03 0 01 0 01

log , ,( , ) log( , ) log . log( , ) log

log , , ,

n nn n

×= ⇒ = ⇒ = ⇒ = = = =

Item 04

Trata-se de uma questão de área entre duas funções do plano. Basta fazer um esboço do gráfico das funções no mesmo plano cartesiano e verificar a circunstância em que a função f é maior ou igual que a função g. O detalhe é que a função f é modular e a função g é constante. A dificuldade é esboçar o gráfico de f. Vejamos os pontos importantes na construção do gráfico:

{( ) ( )

4 6

0 4 6 4 6 2

Pontos em que a função f toca o eixo x:4 6

0 4 6 4 6 10 ou 24 6

10 0 e 2 0

Ponto máximo de f: 6 4 6

Pontos em que a função f intersecta a funçã

( )

( )

.

: , ,

( , ).

f x x

f

xx x x x

x

Pontos

y Ponto

= − − += − − + = − + =

− == − − + ⇒ − = ⇒ ⇒ = = −− = −−

= ⇒

{o g:

4 42 4 6 4 4 8 ou 0

4 4Pontos: (8,2) e (0,2)

.x

x x x xx

− == − − + ⇒ − = ⇒ ⇒ = =− = −

A área desejada será a do triângulo em destaque, pois são os pontos em que a função f está por cima da função g, isto é, ( ) ( ).f x g x≥ A área é portanto é:

8 416

2. .A u a

×= =

Item 05.




Trata-se de uma situação envolvendo sistemas lineares de duas incógnitas seguida por uma questão de porcentagem. Vamos usar um sistema linear para calcular o preço x de cada boné e o preço y de cada camiseta. Assim:

{2 3 1503 4 210y x

y x

+ =+ =

Subtraindo as equações percebemos que 60.y x+ = Logo, o preço de uma camiseta e de um boné juntos deveria ser R$ 60,00, e se o turista paga R$ 100,00 seu troco deve ser de R$ 40,00 e não de R$ 47,50, o que significa que ele teve um desconto de R$ 7,50. Temos assim um desconto de R$ 7,50 em R$ 60,00 ou seja:

7 50 75 0100

60

,.(%)Desc = × =

6 012 5, %=

Item 03

Temos aqui um problema típico de análise combinatória, de modo particular, uma situação de combinação simples. Nesse caso as comissões devem ter exatamente 5 vereadores, escolhidos entre os nove que constituem a câmara, lembrando que o presidente e o vice-presidente da câmara não podem fazer parte da mesma comissão. Assim temos: 1º Caso: O presidente faz parte – restam então quatro outros membros a serem escolhidos dentre os 7 disponíveis.

7 4

7 7 6

4 3,

!

! !C

⋅= = 5 4!⋅ ⋅4! 3 2 1⋅ ⋅ ⋅

35=

2º Caso: O vice-presidente faz parte – então restam quatro outros membros a serem escolhidos dentre os 7 disponíveis.

7 4

7 7 6

4 3,

!

! !C

⋅= = 5 4!⋅ ⋅4! 3 2 1⋅ ⋅ ⋅

35=

3º Caso: Nem o presidente e nem o vice-presidente fazem parte da comissão. Aí teremos 5 membros a serem escolhidos dentre os sete disponíveis.

7 5

7 7 6 5

5 2,

! !

! !C

⋅ ⋅= =5!

4221

22 1= =

⋅ ⋅

Assim temos um total de 35 35 21 91+ + = comissões possíveis. Item 01




Temos aqui uma questão de probabilidade com uma linguagem não muito comum. Em seguida, o valor da probabilidade obtida deve ser identificado em um intervalo. 01. A primeira pergunta a ser feita é: havendo seis times, qual a probabilidade de Alfa não ser campeão? De fato, há 6 720!= maneiras de arranjar os seis times na tabela. Dessas 720, há 5 120!= arranjos em que o time alfa é campeão e portanto 600 em que o time Alfa não é campeão.

A probabilidade de Alfa não ser campeão é, portanto: 600 60 5

720 72 6P = = =

02. Vamos ver agora a probabilidade de Beta não ser o último colocado. Na verdade, das 6 720!= maneiras de distribuir os times na tabela, há 5 120!= maneiras em que o time beta aparece na última colocação e 600 em que ele não aparece. Portanto a probabilidade buscada a mesma calculada anteriormente,

isto é, 5

6.

Segue daí que a probabilidade de se ganhar as duas apostas é a de ganhar a primeira e a segunda aposta, isto é:

5 5 250 69444

6 6 36, ...P = ⋅ = =

A probabilidade se encaixa no intervalo mostrado no item 03.

Temos aqui uma situação de geometria espacial, associando conceitos de volume e densidade. A peça tem a forma de um prisma de base trapezoidal, logo sua base terá área dada por:

10 7 5 5 17 5 5 87 543 75 cm²

2 2 2 2

( ) ( , ) , ,,

B

B b hA

+ ⋅ + ⋅ ×= = = = =

O volume da peça é calculado pela fórmula do volume do prisma: P B

V A h= ⋅

43 75 32 1400cm³,V = × =

A densidade da peça é de 10 5 g/cm³., Daqui podemos proceder pela fórmulamassa

densidadevolume

= ou usando regra

de três.

Pelo primeiro método teremos: 10 5 14700 g.1400

,m

m= ⇒ = Item 05




Temos outra situação de geometria espacial. Esta não é muito comum, pois trata-se de “partes” pouco comuns da esfera.

De fato, o volume da esfera é dado por 34

3V R= π e a área da superfície esférica dada por 24 .A R= π Essas medidas

de área e volume são equivalentes a uma esfera de raio R e ângulo 2 360 .π = ° A área do fuso e o volume da cunha serão relativos aos ângulos neles medidos. Assim, para um ângulo α em radianos podemos escrever:

2 244 4 6 144 18 cm² 182 2 8Fuso

A R x

πα π= ⋅ π = ⋅ π = ⋅ π = π ⇒ =π π π

3 34 4 1 44 6 216 36 cm³ 362 3 2 3 8 3Cunha

V R y

πα= ⋅ ⋅ π = ⋅ ⋅ π = ⋅ ⋅ π = π ⇒ =π π

Portanto o valor y é o dobro de x, ou seja, 2 .y x= Item 04.

Outra questão um tanto inovadora. Equação polinomial associada à Geometria Espacial. Aqui é preciso usar a pesquisa das raízes racionais ou contar com a sorte e achar uma das raízes da equação por tentativas. Pelo método de pesquisa das raízes teríamos:

{ }{ }

{ }

P Divisores de 6 P 1 2 3 6

Q Divisores de 1 Q 1P P

Possíveis raízes racionais 1 2 3 6Q Q

; ; ;

; ; ; .

→ → = ± ± ± ±→ → = ±

→ → = ± ± ± ±

Mas não basta tudo isso. Uma breve olhada ou uma tentativa rápida te leva a perceber que 1 é raiz da equação polinomial dada. Vejamos:

3 21 7 1 12 1 6 1 7 12 6 6 6 0 1 é raiz.− ⋅ + ⋅ − = − + − = − + = ⇒ Usando o dispositivo de Briot-Ruffini para a raiz 1 teremos:

Fuso e Cunha Esféricos:




Daí fica a equação quociente 2 6 6 0.x x− + = Resolvendo temos 26 4 1 6 12( )∆ = − − ⋅ ⋅ =

6 12 6 2 33 3 ou 3 3

2 2' ''x x x

± ±= = ⇒ = + = −

Assim, as raízes são 1 3 3 e 3 3, .+ −

A diagonal do paralelepípedo costuma ser escrita pela fórmula 2 2 2,d a b c= + + onde ,a b e c são os lados do

paralelepípedo, nesse caso, as raízes obtidas.

Logo ( ) ( )2 221 3 3 3 3 1 9 6 3d = + + + − = + + 3 9 6 3+ + − 3 25 5+ = =

Então a diagonal mede 5 unidades de comprimento. Item 02.

Aqui temos uma bonita questão relacionando operações algébricas e números complexos. Do enunciado escrito na parede do quarto podemos dizer:

1. Se Z a bi= + é um número complexo, Z a bi= − é o seu conjugado, a é sua parte real, b sua parte imaginária e ( , )a b é o seu afixo. Daí então vem duas equações: I. A soma do número com seu conjugado é igual ao quádruplo da sua parte imaginária.

a bi+ a bi+ − 42 4 2

2

b

a b

a b

== ÷

= ¨

II. O produto do número pelo seu conjugado é igual a 25.

2

25( )( )a bi a bi

a abi

+ − =− abi+ 2 2 2

2 2

25 125

E como sabemos que 2 , segue daí:

( )b i i

a b

a b

− = = −+ =

=




2 2 2 2 2 2(2b) 25 4 25 5 25 5

5 Mas deve ser positivo, pois é um valor no primeiro quadrante.

5

Logo 2 5.

b b b b b

b b

b

a

+ = ⇒ + = ⇒ = ⇒ =∴ = ± →

=

=

A senha será obtida ao substituirmos a e b na expressão 1 2 3( )( )(ab )ab ab ab+ + + e calcularmos o seu valor.

Notemos que ( )2 5 5 2 5 10.ab = ⋅ = ⋅ = Assim teremos:

1 2 3 10 11 12 13 17160( )( )(ab ) ( )( )( )ab ab ab+ + + = = que será a senha. Item 04.

Essa questão cobra conceitos de trigonometria, em particular exige o uso de uma das propriedades da função cosseno.

De fato, para que o valor h seja mínimo, a segunda parcela na soma 2 0 5 t3

, cosπ + ⋅ ⋅

deverá ser mínimo, pois 2 é

um valor constante. Isso ocorrerá em particular quando o fator t3

cosπ ⋅

for mínimo.

Pois bem, a função cosseno que aí aparece tem sua imagem variando no intervalo [ ]1 1, ,− o que nos leva a garantir que

o valor mínimo dessa expressão é 1.− É importante lembrar aqui que o cosseno de um arco só vale 1− quando este arco é um múltiplo ímpar de ,π ou seja, a cada vez que passamos pelo ponto vermelho na circunferência abaixo. Assim:

Se t 13

cosπ π ⋅ = − ⇒

t 2 13

( )k⋅ = + ⋅ π , k∈ℤ

Logo t 6 3k= +

Fazendo k variar em { }0 1 2 3 4, , , , ,... obtemos todos os instantes em que a maré apresentou altura mínima.

Em particular, para 0k = temos 6 0 3 3t h= ⋅ + = que foi o primeiro instante. Item 01.




Este problema exige a aplicação e um certo domínio de conceitos de Geometria Analítica. De forma especial, equação de reta, quando dados dois pontos, e distância entre ponto e reta, nesta ordem. Primeiro, a equação da reta que representa a estrada entre as cidades A e B é:

5 3 11 9 1 0

1x y

−=

Há várias formas de resolver o determinante, mas o mais comum é a regra de Sarrus:

5 3 1 5 31 9 1 1 9 0

1

45 3 9 5 3 03 9 5 45 3 012 4 48 0 Dividindo por 4 fica:

3 12 0 equação geral da reta que passa por A e B

( )

( , )

( )

x y x y

x y x y

x x y y

x y

x y

− −=

− + − + − =− − + − + + =− − + = −

+ − =

A equação geral da reta costuma ser escrita na forma 0ax by c+ + = e dessa forma temos 3 1 12; ; .a b c= = = −

Queremos a distância entre o ponto P e essa reta que representa a estrada. Sendo 0 0( , )P x y a distância entre um ponto

e uma reta costuma ser escrita assim:

0 0

2 2

ax by cd

a b

+ +=

+

Logo 2 2

3 8 1 3 12 24 3 12 15 15

9 1 10 103 1

( )d

⋅ + ⋅ + − + −= = = =

++

Racionalizando o denominador teremos:

15 10 15 10 3 10

10 210 10. .d u c= ⋅ = = Item 02.




Aqui temos mais uma questão de Geometria Analítica. Essa, em especial, trata dos conceito de circunferência.

A equação reduzida de uma circunferência costuma ser representada pela equação 2 2 2( ) ( ) ,x a y b r− + − = onde o

ponto ( , )a b representa o centro da circunferência e r o raio dela.

Desenvolvendo esta equação anterior e agrupando termos obtemos 2 2 2 2 22 2 0x y ax by a b r+ − − + + − = que

chamamos que equação geral da circunferência, para os mesmos e ,a b r já ditos.

Da circunferência ( ) ( )2 2

1 5 1 16: x yλ − + − = segue, pela comparação com a equação reduzida que:

25 1 16 4Centro: (5,1) e raio: 4

; ;a b r r= = = ⇒ =

Da circunferência 2 22 2 8 8 0: x y x yλ + − − + = segue, pela comparação com a equação geral que:

Centro: (1,4) e raio: 3 A partir disso, fazendo um rápido esboço da situação no plano cartesiano é possível concluir qual o item correto. Mas é possível ver também algebricamente.

A distância entre dois pontos ( ),A m n e ( , )B u v costuma ser representada pela fórmula: 2 2( ) ( )d m u n v= − + −

Assim, a distância entre os centros será: 2 25 1 1 4 16 9 5( ) ( )d = − + − = + =

Esse valor é maior que o maior dos dois raios, o que garante que uma circunferências não é interna da outra. Basta ver agora se elas tem um ponto de tangência, ou seja, se existe um ponto de intersecção entre elas ou não. Para isso resolvemos o sistema formado pelas duas equações:

( ) ( )2 2 2 2

2 22 2

10 2 10 05 1 162 8 8 02 8 8 0

x y x yx y

x y x yx y x y

+ − − + =− + − =⇒ + − − + =+ − − + =

Subtraindo membro as equações obtemos a equação: 4 1

8 6 2 0 (já simplificada)3

xx y y

−− + + = ⇒ =

Substituindo esta equação na equação de baixo, fica:

22

22

2 2

2

4 1 4 12 8 8 0

3 316 8 1 32 8

2 8 09 3 3

9 16 8 1 18 96 24 72 025 122 97 0

x xx x

x x xx x

x x x x x

x x

− − + − − + =

− ++ − − + + =

+ − + − − + + =− + =

Daqui temos:

5184∆ = e 97

1 3 8825

,x ou x= = =

Assim teremos dois valores de y, 1y = ou 121

4 8425

,y = =

Logo as circunferências se intersectam em dois pontos ( )1 1,P e ( )Q 3 88 4 84, ; , e, portanto, são secantes. Item 05.

2 22 2

1

ax x

a

a

− = −− = −

=

2 82 8

4

by y

b

b

− = −− = −

=

2 2 2

2 2 2

2

2

81 4 817 8

17 8 93

a b r

r

r

r

r

+ − =+ − =− == − =

=




Mais uma questão de geometria analítica. Como na prova do vestibular anterior esta questão cobra conceitos de cônicas.

Observando a equação nota-se que se trata da equação de uma elipse cuja forma reduzida é 2 2

2 21

x y

a b+ = e cuja

representação é mostrada a seguir:

Da equação dada temos que 2 16 4a a= ⇒ = e 2 7 7b b= ⇒ =

Da figura segue ( )22 2 2 2 2 24 7 16 7 9 3a b c c c c= + ⇒ = − ⇒ = − = ⇒ =

A distância focal do corpo percorrendo a trajetória elíptica mostrada é a medida 2c entre os pontos 1 2,F e F portanto

a distância é 6. Item 01. Solução elaborada e compartilhada pelo Professor Jhonnes, exclusivamente para fins didáticos. Possíveis incorreções são meras formalidades do acaso!




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