Solução Listas 1 a 7 - Fisica I

217 Notas de Aula de Física, Mecânica

Solução das Listas

218 Neemias Alves de Lima

Lista 1

1. Suponha que a equação descreva o

movimento de um objeto em particular, com tendo a

dimensão de comprimento e , a dimensão de tempo. (a)

Determine as dimensões das constantes e .

Solução:

Como o lado esquerdo da equação, “ ” tem dimensão de

comprimento, então o lado direito “ ” deve ter.

Assim

Logo tem dimensão de comprimento por tempo ao cubo.

No SI seria .

Fazendo do mesmo modo para o outro termo

Logo tem dimensão de comprimento por tempo, ou

velocidade. No SI seria .

2. A unidade SI da força, o quilograma-metro por segundo a

quadrado ( ), é chamada de Newton ( ). A

magnitude da força ( ) que uma mola exerce quando


distendida de uma distância a partir de seu comprimento

quando frouxa é governada pela lei de Hooke, . Quais

são as dimensões da constante de força, ?

Solução:

Portanto a constante de força tem dimensão de massa

sobre tempo ao quadrado, o que no SI corresponde a .

3. Uma peça maciça de chumbo tem massa de 23,94 g e volume

de . Com base nesses dados, calcule a densidade do

chumbo em unidades no SI (quilogramas por metro cúbico).

Solução:

A resposta final nesta operação de dividir tem três algarismos

significativos porque “2,10” o número com menor número de

algarismos tem três algarismos significativos.

4. Qual é a área de uma sala retangular de 2,52 m por 3,0 m?

Solução:


A resposta deve ter dois algarismos significativos, pois na

multiplicação o número “3,0” é o que tem menos algarismos

significativos, e são dois.

Lista 2

1. Um carro de montanha-russa move-se 10 m horizontalmente

e sobe 7,0 m em um ângulo de acima da horizontal.

Depois, move-se 7,0 m a um ângulo de para baixo.

Qual é a distância final a partir do ponto de partida?

Solução:

Escolhendo o sistema cartesiano de coordenadas com o eixo

para a direita e o eixo para cima, se o carro parte da

origem do sistema de coordenadas os vetores deslocamentos

são os seguintes:

A distância final é dada pelo módulo do vetor resultante:

Logo, a distância final do ponto de partida é

O resultado final tem apenas dois dígitos porque os

deslocamentos dados têm dois algarismos significativos. Nos


cálculos intermediários mantemos um algarismo a mais para

evitar erros de arredondamento.

2. Uma força de módulo 8,00 unidades age sobre um corpo

na origem em uma direção acima do eixo

positivo. Uma segunda força de módulo unidades

age sobre o mesmo corpo na direção do eixo negativo.

Encontre o módulo e a direção da força resultante .

Solução:

Escolhendo o sistema cartesiano de coordenadas com o eixo

para a esquerda e o eixo para cima, as representações

vetoriais dos vetores força são:

A força resultante é:

O módulo desta força resultante é

A direção é dada pelo ângulo que esta força faz com o eixo

. Usando a função tangente para calcular este ângulo

temos:


Portanto, as respostas considerando os algarismos

significativos são que a força resultante tem módulo igual a

e a direção é de abaixo do eixo

positivo, porque a componente da força resultante é

positiva (vale ) e a componente é negativa

(vale ). Note que embora o ângulo seja

fornecido com três algarismos significativos, a precisão dele é

de uma casa decimal!

3. Considere três vetores deslocamento ,

, e . Use o método das

componentes para determinar (a) o módulo e a direção do

vetor e (b) o módulo e a direção do vetor

.

Solução:

(a) A soma é

Logo, o módulo do deslocamento resultante é

A direção é o ângulo que faz com o eixo :

Portanto o deslocamento final é de 4 m e o ângulo para

baixo do eixo positivo, pois e .

(b) A soma:


Logo, o módulo é

A direção é o ângulo que faz com o eixo :

Portanto o módulo de é de 13 m e o ângulo para cima

do eixo negativo, pois e .

4. Que ângulo, em radianos e em graus, os vetores

e fazem entre si?

Solução:

Podemos determinar usando a definição de produto escalar

.

Os módulos dos vetores são:

Assim


Portanto, o ângulo que os vetores fazem entre si é de

ou .

Lista 3

1. A posição de uma partícula é dada por , onde

está em metros e em segundos. Determine (a) a posição,

(b) a velocidade e (c) a aceleração dela em . (d) Qual

é a coordenada positiva máxima que ela consegue ir e (e) em

que instante de tempo isto ocorre? (f) Qual é a velocidade

positiva máxima que ela atingida e (g) em que tempo

acontece? (h) Qual é a aceleração da partícula no instante

em que ela não está se movendo (além do instante

)? (i) Determine a sua velocidade média entre 0,0 e 3,0

s.

Solução:

(a) A equação horária da partícula é ,

quando temos:

(b) A velocidade é:

Quando , segue:


(c) A aceleração:

Quando :

(d) A coordenada positiva máxima pode ser obtida

calculando o ponto máximo da função:

De acordo com os estudos de Cálculo o máximo ou

mínimo de acontece quando a sua derivada

primeira é igual a zero e sua derivada segunda é

negativa. Ora, a derivada primeira é justamente a

velocidade da partícula, então se vê que quando a

partícula fica em repouso, momentaneamente, é quando

é máximo (ou mínimo). Como a potência maior do

polinômio tem coeficiente negativo, isso implica que a

derivada segunda, que é a aceleração, é negativa e

portanto vamos obter um ponto de máximo.

Calculemos então este ponto:

As raízes são:

Em :

a partícula está na origem.

Em :


Portanto coordenada positiva máxima que a partícula

alcança é de .

(e) O tempo em que a partícula chega em é .

(f) A velocidade positiva máxima atingida pela partícula

acontece quando a sua derivada é igual a zero e sua

derivada segunda é negativa. Como a derivada da

velocidade é a aceleração, temos que encontrar os

tempos em que a aceleração se torna nula:

Para este tempo a velocidade ( ) é

Note que a derivada segunda da velocidade (ou derivada

da aceleração) é negativa, tal que realmente estamos

tratando de uma velocidade positiva máxima e não

mínima. Isso também pode ser visto que para um tempo

maior que 4,0 s a velocidade é sempre negativa, e cada

vez maior.

(g) A velocidade positiva máxima acontece em 2,0 s.

(h) Em (d) determinamos os tempos em que a partícula está

em repouso, ou velocidade nula, isso ocorre nos tempos

0,0 s e 4,0 s. Em 4,0 s a aceleração é


(i) A velocidade média é calculada pela razão do

deslocamento pelo respectivo intervalo de tempo

2. No instante em que um sinal de trânsito fica verde, um

automóvel começa a se mover com uma aceleração

constante de 2,3 . No mesmo instante, um caminhão,

que se move com uma velocidade constante de 40 km/h,

ultrapassa o automóvel. (a) A que distância do sinal o

automóvel alcança o caminhão? (b) Em que instante isso

acontece, contado a partir da abertura do sinal. (c) Qual é a

velocidade do automóvel, em km/h, nesse instante?

Solução:

Temos aqui dois objetos em movimento, vamos chamar de

a posição do caminhão e de a posição do automóvel

em função do tempo. O automóvel se movimenta com

aceleração constante, e o caminhão com velocidade

constante, e o tempo é computado a partir do momento em

que eles estão na mesma posição na primeira vez, que é o

sinal (ou semáforo). Esta posição será a origem do nosso

sistema de coordenadas. As equações horárias do

movimento do caminhão e do automóvel são

respectivamente:

onde


A posição de reencontro entre os dois móveis implica que:

A posição em que eles estão neste instante é

Então respondendo, (a) o automóvel encontra de novo o

caminhão a 110 m do sinal, e isso ocorre (b) em 9,7 s.

(a) A velocidade do automóvel durante a ultrapassagem é

3. Uma bola de argila úmida cai 15,0 m até o chão e

permanece em contato com o solo por antes de

parar completamente. (a) Qual é o módulo de aceleração

média da bola durante o tempo de contato com o solo?

(Trate a bola como uma partícula.) (b) A aceleração média é

para cima ou para baixo?


Solução:

(a) A aceleração média é a razão da variação de velocidade

pelo respectivo intervalo de tempo em que ocorre esta

variação. Como temos o intervalo de tempo e a

velocidade final, que é zero, falta apenas a velocidade da

bola quando ela entra em contato com o chão. Vamos

calcular esta velocidade.

Como a bola cai de uma altura de 15,0 m, se

aproximarmos este movimento pelo movimento de

queda livre, podemos usar a fórmula de Torricelli para

obter a velocidade quando ela chega ao solo. A fórmula

de Torricelli diz:

Aqui consideramos o chão como o zero do eixo de

coordenadas , cujo eixo positivo aponta para cima em

direção ao céu. Assim, supondo a velocidade inicial da

bola igual a zero quando solta em , temos:

Logo, o módulo da velocidade ao tocar no solo vale:

e como ela está caindo no sentido negativo do eixo de

coordenadas, então

Esta será a velocidade inicial nesta segunda etapa do

movimento em que o solo interage com a bola.

Agora calcularemos a sua aceleração média da bola

durante o contato com o chão:


(b) Como o sinal da aceleração média é positiva, isso implica

que e ela é para cima, como é o esperado.

Lista 4

1. A posição de uma partícula que se move em um plano é

dada por , com

em metros e t em segundos. (a) Obtenha , e para

. (b) Desenhe o vetor posição no instante

, e então os vetores e neste mesmo instante

com suas origens na extremidade do vetor . (c) Que ângulo

fazem estes vetores entre si? Em que direção aponta a

aceleração? (d) Que trajetória está fazendo a partícula?

Solução:

(a) A posição em é

A velocidade em qualquer instante é:

No instante :


A aceleração em qualquer instante é:

No instante :

(b) O desenho dos vetores posição, velocidade e aceleração

no instante é:

(c) Enquanto a aceleração aponta na direção contrária do

vetor posição, a velocidade é perpendicular à aceleração.

(d) A trajetória realizada pela partícula é dada pela função

. Então temos que expressar a coordenada em

função da coordenada .

Sendo:

vemos que

ou seja:


Esta equação é igual à de um círculo de raio com

centro no ponto :

portanto, a partícula descreve uma trajetória circular de

raio igual a 2 com centro na origem do sistema de

coordenadas.

2. Uma pedra, atirada horizontalmente do alto de uma torre

de 24 m de altura, atinge o chão em um ponto que dista 18

m da base da torre. (a) Encontre a velocidade com que a

pedra foi atirada. (b) Encontre a velocidade da pedra justo

antes de atingir o chão.

Solução:

(a) Neste problema queremos saber a velocidade de

lançamento da pedra, e sabemos que o lançamento é

horizontal, o que implica que o ângulo de lançamento é

zero. Além desta informação temos que o alcance

horizontal da pedra são 18 m e a altura do lançamento

são 24 m. Com estes dados podemos determinar a

velocidade de lançamento com a equação da

trajetória de um projétil:

Escolhendo um sistema de coordenadas com a origem na

base da torre, temos que a posição inicial da pedra é

e a posição final,


Mais a informação de que o lançamento é horizontal

( ), da equação da trajetória temos:

(b) Para determinar a velocidade da pedra ao impactar com

o solo resta apenas calcular a componente desta

velocidade, pois a componente já conhecemos:

A componente podemos obter usando a fórmula de

Torricelli já que conhecemos a aceleração (de queda

livre), o deslocamento (diferença entre as alturas final e

inicial) e a componente da velocidade inicial, que é

nula. Assim,

A velocidade da pedra justo antes de atingir o solo é


3. O cano de um canhão está elevado de acima da

horizontal. Ele dispara uma bala com uma rapidez de 300

m/s. (a) Que altura a bala atinge? (b) Quanto tempo a bala

fica no ar? (c) Qual o alcance horizontal da bala de canhão?

(Ignore a resistência do ar.)

Solução:

Em todos os cálculos a seguir estamos ignorando a

resistência do ar de modo que as equações de movimento de

um projétil podem ser usadas.

(a) Queremos saber a altura que a bala de canhão atinge, e

sabemos o ângulo de lançamento, a velocidade inicial e a

velocidade final (porque no ponto mais alto a velocidade

é igual à componente da velocidade inicial). Se

conhecêssemos a distância final da boca do canhão

poderíamos usar a fórmula da trajetória:

Como não podemos usar a equação da trajetória para

responder a pergunta, vejamos outra abordagem. O

interesse da questão se resume ao eixo vertical .

Conhecendo-se as componentes das velocidades final e

inicial, e a aceleração nesta direção, podemos usar a

fórmula de Torricelli para calcular o deslocamento em ,

e portanto a altura que a bala atinge!


Escolhendo um sistema de coordenadas com a origem na

boca do cano do canhão, temos que a posição inicial da

pedra é

e a posição final

mais a informação de que o lançamento ocorre em um

ângulo , temos:

e sendo:

na altura máxima, segue pela fórmula de Torricelli,

que:

Portanto, a altura que a bala atinge é de .

(b) O tempo que bala fica no ar é o tempo que ela leva para

atingir a altura máxima e voltar de novo à altura de onde

foi lançada. Aqui estamos desprezando o tempo que ela

leva para ir da altura da boca do canhão até o solo.

Este tempo podemos calcular usando a equação horária

da altura ou da velocidade,


A componente da velocidade quando a bala retorna à

altura de seu lançamento é

Então, a equação horária da velocidade nos dá o tempo

que a bala permanece no ar:

Portanto, a bola permanece no ar durante 31 segundos.

(c) O alcance horizontal da bala é a distância horizontal

percorrida pela bala durante sua permanência no ar.

Como a velocidade horizontal é constante e igual a

e conhecemos o tempo em que a bala permanece no ar,

então:

Assim, o alcance horizontal da bala é uns 8000 m, ou 8,0

km.


Lista 5

1. Uma partícula se move em um plano . Suas coordenadas

são dadas em função do tempo por:

onde e são constantes. (a) Faça um esboço da trajetória

da partícula. (Essa curva é a trajetória de um ponto que se

desloca na periferia de uma roda que rola com velocidade

constante numa superfície horizontal. A curva traçada por

esse ponto enquanto ele se move no espaço denomina-se

ciclóide.) (b) Determine os componentes e os módulos da

velocidade e da aceleração da partícula em qualquer tempo

. (c) Para que instantes a partícula está momentaneamente

em repouso? (d) Quais são as coordenadas e da

partícula nesses instantes? (e) Compare este movimento com

o movimento circular uniforme.

Solução:

(a) A trajetória é dada pela função , para este caso não é

tão fácil chegar a tal função, mas mesmo assim podemos

conhecer a trajetória fazendo a seguinte manipulação

matemática:

Elevando ao quadrado ambos lados das equações (1) e (2) e

somando as equações resultantes temos:


como a soma do seno ao quadrado com o cosseno ao

quadrado é 1, então:

Esta é a equação de um círculo com centro nas posições:

Enquanto a altura do centro do círculo está fixa em a

posição de aumenta linearmente com o tempo. Ou seja, a

partícula realiza um movimento circular combinado com um

movimento de translação com velocidade constante na

direção do eixo positivo igual a

A trajetória desta soma de movimentos se chama ciclóide, e

é a trajetória realizada por um ponto em uma roda que gira

com velocidade angular constante sem deslizar.

(b) Cálculo das componentes da velocidade:


então o módulo da velocidade é:

Ou seja:

Cálculo da aceleração:

assim o módulo da aceleração é:

Ou seja:

(c) A partícula está momentaneamente em repouso nos

instantes que são soluções da equação:

Ou seja:

que implica nos instantes:


Em termos do período do movimento, isso é, do tempo em

que o ponto realiza uma volta completa, estes instantes são:

Ou seja, são múltiplos inteiros do período, isso é, a cada volta

completa há um ponto que fica momentaneamente em

repouso.

(d) Neste item do problema calcularemos as coordenadas

deste ponto especial que fica em repouso a cada volta.

Substituindo

nas coordenadas

temos:

Portanto, sempre que a partícula passar pela altura o

deslocamento de sua coordenada será um múltiplo do

perímetro do círculo de raio e sua velocidade será zero.

(e) A semelhança com o movimento circular uniforme é a

aceleração que são iguais.

2. A Terra possui um raio de 6380 km e faz um giro completo

em 24 horas. (a) Qual é a aceleração radial de um objeto no

equador da Terra? Dê sua resposta em e como uma

fração de (a aceleração da gravidade). (b) Se no


equador fosse maior do que , os objetos seriam ejetados da

Terra e voariam para o espaço. (Veremos a razão disso

quando estudarmos as leis de Newton do movimento.) Qual

deveria ser o período mínimo de rotação da Terra para que

isso ocorresse?

Solução:

(a) A aceleração radial de um objeto no equador da Terra é

dado pela equação

onde é a velocidade do ponto onde está o objeto e é o

raio da Terra. Como a Terra gira com velocidade de módulo

constante, um ponto no equador tem velocidade igual a

Assim:

Como uma fração da aceleração gravitacional temos que:

(b) Para que a aceleração radial seja no mínimo igual à

aceleração da gravidade, o período de rotação da Terra é

calculado assim:


que em horas equivale a

Lista 6

1. Um bloco em forma de cunha (Figura) tem uma aceleração

para a direita que mantém o carrinho parado na face

inclinada. As rodas do carrinho, e da cunha, são pequenas e

os mancais estão bem lubrificados. (a) Mostre que .

(b) Que ocorre se .

Solução:

(a) O diagrama de corpo livre para o carrinho no plano

inclinado é:


Escolhemos o eixo na direção da aceleração (o que é

extremamente recomendado). Aplicando a segunda lei de

Newton a este diagrama temos as seguintes componentes da

força resultante:

A componente é zero porque o carrinho não desce o plano

inclinado para ter aceleração neste eixo.

Das duas equações acima vêm que:

Pelo diagrama temos que


logo

(b) Se não podemos dizer que a força resultante

em é nula, assim:

A componente é:

Substituindo o valor (2) em (1):

Como segue que , e portanto o carrinho vai

subir o face inclinada da cunha.

2. A massa do bloco suspenso na Figura é 50 kg. Determine a

tensão em cada corda.


Solução:

O diagrama de corpo livre para o bloco é:

Como ele está em equilíbrio estático segue pela primeira lei

de Newton que:

Expressando estas equações em termos dos módulos das

tensões e dos ângulos temos:


De (1) temos:

que substituímos em (2) para resolver o sistema de

equações:

Então

Portanto, as tensões são e


Lista 7

1. O bloco B da figura pesa 700 N. O coeficiente de atrito

estático entre o bloco e a mesa é 0,25, o ângulo é de ,

suponha que o trecho da corda entre o bloco B e o nó é

horizontal. Determine o peso máximo do bloco A para o qual

o sistema permanece em repouso.

Solução:

Quando peso do bloco A for máximo, a força de atrito de B com a

superfície será máxima.

Do diagrama de corpo livre do bloco B temos:

Do diagrama de corpo livre do nó:


Do diagrama de corpo livre do bloco A temos:

De (5) temos que o peso de A é igual a tração

temos que obter esta tensão, portanto. De (4):

e de (3):

logo

De (1):

onde o valor da normal, por (2), é igual ao peso do bloco B:


Portanto:

2. Na Figura abaixo, é o mesmo entre cada bloco e a

superfície, e . O sistema está em movimento

conforme apresentado na figura e e

. Determine (a) a aceleração do sistema e (b) a tensão

no fio. Despreze o atrito e os efeitos rotacionais na polia.

Solução:

Do diagrama de corpo livre do bloco A temos:

Do diagrama de corpo livre do bloco B temos:


De (2) e (4) obtemos as forças normais em cada bloco, que

substituímos em (1) e (2):

Somando (5) e (6) obtemos a aceleração:

A tensão no fio é dada por:


3. Mr. Bean passa com seu carro com velocidade constante por

uma elevação circular e por uma depressão circular de

mesmo raio. No alto da elevação a força normal exercida

sobre ele pelo assento do carro é zero. A massa de Mr. Bean

é de 70,0 kg. Qual é o módulo da força normal exercida pelo

assento sobre ele quando o carro passa pelo fundo do vale?

Solução:

Do diagrama de corpo livre no alto da colina temos:

Do diagrama de corpo livre na baixada da colina temos

(velocidade igual ao do alto da colina):

Substituindo (1) em (2):


4. Um disco de metal de massa descreve uma

circunferência de raio sobre uma mesa sem

atrito, enquanto permanece ligado a um cilindro de massa

que está pendurado por um fio que passa por

um furo no centro da mesa. Que velocidade do disco

mantém o cilindro em repouso?

Solução:

Do diagrama de corpo livre do disco temos:

Do diagrama de corpo livre do cilindro:

assim

Logo:


5. Terra possui um raio de 6380 km e faz um giro completo em

24 horas. Prove que se a aceleração radial no equador fosse

maior do que os objetos seriam ejetados da Terra e

voariam para o espaço. Qual deveria ser o período mínimo de

rotação da Terra para que isso ocorresse?

Solução:

Do diagrama de corpo livre de um objeto no equador temos:

então:

Um objeto perde contato com a superfície da Terra quando a

força normal se torna nula, então pela equação acima temos

que a aceleração radial não pode ser maior que a aceleração

da gravidade, porque se isso acontece o corpo é lançado para

o espaço.

Quando a normal é nula temos a condição mínima para isso

acontecer, então:

Isolando o período temos:


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