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7/24/2019 SOLUO NUMRICA DE UM SISTEMA MASSA-MOLA-AMORTECEDOR COM DESLOCAMENTO DE BASE
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Aluno: Said Morais Sirio Rocha
Prof. Jos Adilson
TRABALHO DE METODOS NUMRICO
SOLUO NUMRICA DE UM SISTEMAMASSA-MOLA-AMORTECEDOR COMDESLOCAMENTO DE BASE
VOLTA REDONDA - RJMaio, 2013
UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSEESCOLA DE ENGENHARIA INDUSTRIAL E METALRGICA DE VOLTA REDONDAPS- GRADUAO EM ENGENHARIA MECNICA
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RESUMO
Este trabalho consiste no estudo da soluo numrica (pelo mtodo de Rune
!utta de "# ordem$ da E%& 'ue descree o comportamento de um sistema massa)mola)
amortecedor (com riide* e amortecimento constante$+ submetido a uma e,citao de base.
Para alidao do modelo+ foi definido um deslocamento de base harm-nico
(tipo senoidal$ e analisado o erro da soluo numrica com relao a soluo analtica.
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SUMRIO
1 INTRODUO!2 OBJETIVO"
3 #ORMULAO MATEMTICA$
! DESCRIO DO MTODO RUN%E-&UTTA DE 'UARTA ORDEM(
" IM)LEMENTAO DO MTODO*
/.0 PR&1RAMA23& 4& MA56A7...........................................................................08$ RESULTADOS12
9.0 E;4
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1 INTRODUO
& modelo massa)mola)amortecedor com e,citao de base+ pode representar
diersos sistemas mecCnicos+ descreendo seus comportamentos ao lono do tempo para umadeterminada e,citao de base.
Mtodos numricos podem ser aplicados para a soluo de modelos com
e,citaDes de base comple,as+ onde a soluo analtica no sea possel.
Este trabalho consiste na soluo numrica deste modelo pelo mtodo de
Rune)!utta de 'uarta ordem+ fornecendo soluDes para casos de e,citaDes de base onde o
modelo no solucionado analiticamente.
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2 OBJETIVO
& obetio deste trabalho definir uma soluo numrica pelo mtodo de
Rune)!utta de 'uarta ordem+ para a soluo da e'uao de moimento (E%& linear desuunda orde com foramento$ 'ue descree o comportamento de um sistema massa)mola)
amortecedor com e,citao de base (deslocamento da base$+ de forma 'ue a soluo possa ser
obtida para 'ual'uer tipo de e,citao de base (deslocamento da base$.
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( )tup
( )tu
c k
m
m
( )puuk ( )puuc
( )tu
6
3 #ORMULAO MATEMTICA
Fm sistema massa)mola)amortecedor com deslocamento de base consiste no
acoplamento de um corpo de massa m a e,tremidade de uma mola com fator restaurador @ e ae,tremidade de um amortecedor com fator de absoro c+ en'uanto a outra e,tremidade da
mola e do amortecedor so acopladas a uma base mGel. ;onforme pode ser obserado na
fiura 0.
Figura 1 Modelo do sistema massa-mola-amortecedor com deslocamento de base (up( t)) .
Reali*ando um diarama de corpo lire na massa m e aplicando a seunda lei
de 4eHton+ tem)se a e'uao de moimento da massa m para o deslocamento de base
up(t) .
Figura 2 Diagrama de corpo livre.
I Seunda lei de 4eHton:
m. u=k . ( uup )+c . (uup )
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! DESCRIO DO MTODO RUN%E-&UTTA DE 'UARTA ORDEM
& Mtodo de Rune)!utta determinado a partir da Srie de 5alor e sua
e,presso de recorrKncia dada por:
( t)i+1= (t)i+ (ti ,i , t) . t
onde (ti, i , t) chamada de funo incremento e pode ser interpretada com a uma
inclinao mdia sobre o interalo.
1enericamente:
( t , , t)=a1
. K1+a
2. K
2++an . Kn
K1=f'(ti ,i )
K2=
f
'
(ti+
p1. t ,i+
q11 . K1. t)K3=f
'(ti+p2. t ,i+q21 . K1 . t+q22 . K2 . t)
Kn=f'( ti+pn1 . t , i+q( n1)1. K1 . t+q (n1 )2 . K2 . t++q (n1) (n1 ) . Kn1. t)
Para o mtodo de Rune)!utta de "# ordem+ tem)se:
(ti , i , t)=1
6
. (K1+2.K2+2.K3+K4 )
K1=f'(ti ,i )
K2=f
'(ti+ 12 t ,i+ 12 K1. t)K
3=f
'(ti+ 12 t ,i+1
2K
2. t)
K4=f' (ti+ t ,i+K3 . t)
& mtodo de Rune)!utta aplicado apenas em E%& de 0L ordem. Porem+
com manipulaDes matemticas+ possel transformar uma E%& de ordem n em um sistema
com n E%&Ns de 0L ordem+ possibilitando a utili*ao do mtodo para E%& de 'ual'uer
ordem.
Mtodo de Rune)!utta de "# ordem para um sistema de E%&Ns com n
e'uaDes:
(t)ni+1= ( t)n
i+
n (t
i,
1
i,
2
i, ,
n
i, t
). t
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n(ti,1
i,2
i, , n
i, t)=1
2(K1,n+2.K2,n+2.K3, n+K4,n )
K1,n=fn
' (ti , 1i
,2
i, ,n
i )
K2,n=fn
' (ti+ 12 t ,1i +1
2K
1,1,
2
i+1
2K
1,2, ,n
i+1
2K
1,n)K
3,n=fn' (ti+12 t ,1i +
1
2K
2,1,
2
i+1
2K
2,2, ,n
i+1
2K
2,n)K
4,n=fn' (ti+ t , 1
i+K
3,1,
2
i+K
3,2, ,n
i+K
3,n )
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" IM)LEMENTAO DO MTODO
A e'uao de moimento da massa m+ obtida anteriormente+ uma E%& de
seunda ordem+ portanto+ necessria a transformao desta em um sistema com duas E%&Os
de primeira ordem.
m. u=k . ( uup )+c . (uup )
u=v
v=(cm up+k
mup
c
mv
k
mu)
Aplicando)se o mtodo de Rune)!utta de 'uarta ordem ao sistema acima+
tem)se:
ui+1=ui+ t
6 (K11+2.K21+2.K31+K41 )
v i+1=v i+ t
6 (K12+2.K22+2.K32+K42)
K11=v i
K12=(cm )vi(km)ui+(cm) upi+(km)upi
K21=v i+
t
2K
12
K22=(cm ) .(vi+ 12 t .K12)(
k
m ) .(ui+12 t .K11)+(c
m) up(i+12 )+(k
m)up(i+12 )K
31=v i+ t
2K
22
K32=(cm ) .(vi+ 12 t .K22)(
k
m ) .(ui+ 12 t .K21)+(c
m )up(i+12 )+(k
m )up(i+12 )K
41=v i+ t . K 32
K42=(cm ) .( v i+ t . K 32 )(
k
m ). (ui+ t . K 31)+(c
m )up(i+1 )+(k
m )up( i+1)
;om o obetio de enerali*ar a aplicao do modelo implementado+ apenas o
histGrico de deslocamento da base ( up $ foi definido como dado de entrada+ isto 'ue a
elocidade da base pode no ser obtida analiticamente para alumas aplicaDes.
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A elocidade da base ( up $ no instante t + foi obtida pela diferena entre o
deslocamento no instante (t+ t) e o instante ( t t) + diidida por 2t . %esta
forma+ o histGrico de deslocamento dee conter dois pontos a mais (o primeiro e o ultimo
ponto$para obteno da elocidade.
upi=upi+1upi1
2. t
%e posse do histGrico do deslocamento e da elocidade+ os termosup(i+12 ) e
up(i+12 ) + foram calculados atras da mdia na posio i com a posio i0+ como podem ser
obserados abai,o.
up(i+ 12 )=
upi+1+upi
2
up(i+ 12 )=
upi+1+upi
2
/.0 PR&1RAMA23& 4& MA56A7
Proramao do mtodo no Matlab+ para um deslocamento harm-nico do tipo
senoidal+ descrito pela funo:
up(t)=a.sen ( wb .t) .
%Mtodos Nmericos: Trabalho Final
%Said Morais Sirio Rocha
%Sol. EDO (Sist. Massa-Mola-mort. c! Desl. de "ase# $elo mtodo R&
%%
%EDO: m.')c.'*)+',c.'$*)+.'$
m, +,/01/ c,&./2&
%3nter4alo e $asso:
tem$o,2 dt,5.55/
%6ist7rio do desl. da base ('$,.sen(8b.t##:
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a,5.5 8b,02.192
ori,:((tem$o!dt#)9# hist;t(i#,dt
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'(A)#,'(A#)(dt!0#
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& lado es'uerdo da iualdade da e'uao anterior representa o comportamento
da soluo homoKnea e o lado direito o foramento.
%eido a E%& ser linear+ a soluo eral pode ser diidida em duas soluDes:
homoKnea e a particular.
) Soluo =omoKnea:
A soluo homoKnea foi obtida para o caso sub)amortecido ( 0
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Analisando o rfico 0+ obsera)se 'ue com o aumento da relao R ocorre
uma reduo do erro absoluto m,imo. Porem essa ariao do erro redu* e,ponencialmente+
de forma 'ue o efeito do aumento do R tenha menos influencia na preciso da soluo. %esta
forma+ a deciso pelo R+ a ser adotado na anlise+ pode ser definido entre 0/ e ?8+ isto 'ue a
partir do R iual a 0/ a ariao do erro absoluto m,imo pe'ueno.
5 10 15 20 25 300
2
4
6
8
10
12
14Erro Relativo Mdio do Deslocamento X R
R
ErroRelativo
Mdio[%]
Grfico 2 Erro relativo m#dio do deslocamento ! ".
%efinindo um erro relatio mdio aceitel de 0T+ o R utili*ado na anlise
dee ser maior ou iual a 0B+/ (erro relatio mdio de 8+U9T$. Portanto o R definido foi de
?8+ conse'uentemente um passo de 8+88/.
t= #
10.wb
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0 0.5 1 1.5 2-0.05
0
0.05Deslocamento
Tempo [s]
Deslocamento[m
]
Desl. da Base
Desl. da Massa
Grfico $ %olu&'o num#rica do deslocamento da massa m para " igual a 2(.
0 0.5 1 1.5 2-4
-2
0
2
4Velocidade
Tempo [s]
V
elicidade[m/s]
Veloc. da Base
Veloc. da Massa
Grfico ) %olu&'o num#rica da velocidade da massa m para " igual a 2(.
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9.? E;
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( CONCLUSO
Atras dos resultados obtidos+ erifica)se 'ue o mtodo de Rune)!utta de
'uarta ordem apresenta bons resultados para a soluo do modelo analisado.
Para uma e,citao de base harm-nica (senoidal$+ o mtodo numrico
apresentou um erro relatio mdio menor 'ue 0T+ com uma relao R de 0B+/.