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SOLUCÃO DAS ATIVIDADES COM GEOPLANO QUADRANGULAR

Observações.

Os pinos do geoplano quadrangular são chamados de pontos.

A distância horizontal ou vertical entre dois pontos consecutivos é estabelecida como a

unidade de comprimento linear. Notação: 1 u, uma unidade de comprimento linear.

Uma unidade de área é a área de um quadrado da malha com lados medindo uma unidade de

comprimento. Notação: 1 𝑢2, uma unidade quadrada.

Uma figura plana chamada figura nxm é um paralelogramo com lados adjacentes medindo n

unidades, n u, e m unidades, m u, respectivamente.

Nos casos de indicação de desenvolvimento de uma Atividade em um geoplano de menor

tamanho dos disponíveis no Laboratório simplesmente delimitamos com ligas de borracha,

fios ou elástico a malha do tamanho requerido no geoplano maior.

Um segmento trivial é aquele que tem ambos extremos num segmento horizontal ou num

segmento vertical do geoplano.

Um segmento não trivial é aquele que tem as extremidades em diferentes fileiras do

goplano.

Teorema de Pitágoras: em todo triângulo retângulo, se os catetos medem a

e b unidades respectivamente, então a hipotenusa tem comprimento c e a

seguinte relação é sempre verdadeira 𝑐 = √𝑎2 + 𝑏2 .

Para calcular o comprimento de qualquer segmento não trivial c se aplica o Teorema de

Pitágoras para obter o comprimento de c conhecendo os comprimento de um par de

segmentos triviais a e b.

As figuras planas obtidas por rotação e translação ou por reflexão e translação de outra

figura plana são consideradas figuras iguais.

Por exemplo, os seis triângulos retângulos no geoplano em anexo

são considerados polígonos congruentes ou polígonos iguais.

Para representar uma reta no geoplano, unimos dois pontos do geoplano com uma liga de

borracha e imaginamos que esses pontos se deslocam indefinidamente, essa é a

representação de uma reta

2

1. i. As retas r e t concorrem no ponto P.

ii. 𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗ e 𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ são semirretas da reta r, 𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ e 𝑃𝐷⃗⃗⃗⃗ ⃗ são semirretas da

reta t.

2. Por um ponto do plano passam infinitas retas.

No geoplano 8x8 são representadas quinze retas

que passam por um ponto da malha.

3. Segmentos colineares: BC e CE.

Segmentos adjacentes: AB, BC; BC, CD; CD, CE; CE, EF; GH, HJ.

Segmentos paralelos: AB e GH; EF e HJ.

4.

I II III

i. AB // CD e EF // GH. Cada par de segmentos passa por quatorze pontos do geoplano (I).

ii. AB e CD concorrem em E, FH e HG concorrem em H; cada par de segmentos passa por quatorze

pontos do geoplano (II).

iii. AB e CD são segmentos congruentes e passam por 14 pontos do geoplano. AB e CD não têm

ponto de intersecção (III).

3

5. i. Construção de diferentes segmentos no geoplano 8x8.

- Exemplos de segmentos que somente tocam em dois pontos do geoplano.

- Exemplos de segmentos que passam por três pontos do geoplano.

ii. Exemplos de conjuntos de segmentos paralelos ordenados pelo comprimento.

4

6. Ângulos consecutivos: 𝐺𝑃�̂� e 𝐺𝑃�̂�.

Ângulos adjacentes: 𝐺𝑃�̂� e 𝐹𝑃�̂�.

Ângulos opostos pelo vértice: 𝐴𝑂�̂� e 𝐶𝑂�̂�; 𝐴𝑂�̂� e 𝐵𝑂�̂�.

7. As figuras representadas no geoplano são:

Ângulo agudo: 𝐴𝐵�̂�.

Ângulo reto: 𝐷𝐸�̂�.

Ângulo obtuso: 𝐻𝐽�̂�.

8. Classificação dos ângulos representados no geoplano.

i. Ângulos retos: β, η, 𝐴𝑂�̂�.

ii. Ângulos agudos: α, γ, λ, 𝐵𝑂�̂�, 𝐷𝐸�̂�, 𝐹𝐸�̂�.

iii. Ângulos obtusos: δ, θ, 𝐴𝑂�̂�.

iv. Ângulos consecutivos: 𝐴𝑂�̂� e 𝐵𝑂�̂�; 𝐷𝐸�̂� 𝑒 𝐷𝐸�̂�.

v. Ângulos adjacentes: 𝐴𝑂�̂� e 𝐵𝑂�̂�; 𝐷𝐸�̂� e 𝐹𝐸�̂�.

vi. Ângulos opostos pelo vértice: não existe.

5

9. Representação no geoplano, do ângulo soma dos seguintes ângulos da Atividade 8:

i. �̂� + �̂�; ii. �̂� + 𝛾; iii. �̂� + 𝛾; iv. 𝛾 + �̂�; v. �̂� + �̂�.

10. Exemplo de representação de pares de retas

perpendiculares que passam por um mesmo ponto do

geoplano.

11. i. Construção dos pares de segmentos AB e BC perpendiculares

em O e dos segmentos DE e FG perpendiculares em O.

Cada um desses pares de segmentos perpendiculares passa por

quatorze pontos do geoplano.

ii. Construção dos pares de segmentos

AB e CD, EF e EG concorrentes em um

ponto e não perpendiculares, que

passem em total por quatorze pontos do

geoplano.

6

12. Classificação dos seguintes polígonos representados no geoplano, segundo a convexidade.

Polígonos convexos: B, C e D. Polígonos não convexos: A, E, F e G.

13. Classificação dos polígonos da Atividade 12 pelo número de lados: quadrilátero A, eneágono B,

hexágono C, octógono D, dodecágono E, heptágono F, pentágono G.

14. Representação das diagonais com um vértice comum e logo, de todas as diagonais do polígono.

I

II

O polígono (I) é um octógono convexo; o polígono (II) é um heptágono convexo.

7

15. Representação e identificação de triângulos no geoplano:

i. Retângulo, Q;

ii. Acutângulo, P e R.

iii. Obtusângulo, S e T.

iv. Equilátero, não existe no geoplano retilíneo.

v. Isóscele, Q, P e R.

vi. Escaleno, S e T.

16. Construção no geoplano 3x3 e identificação de triângulos diferentes dos seguintes tipos:

i. Triângulo isóscele: A, B, C, D, E, F, H.

ii. Triângulo escaleno: G, I, J, K, L.

iii. Triângulo retângulo: B, C, E, K.

iv. Triângulo acutângulo: A, D, F, H.

v. Triângulo obtusângulo: G, I, J, L.

17. Construção de um triângulo básico, triângulo retângulo isósceles, n = 1.

Construção com triângulos básicos de um triângulo retângulo

isóscele, n = 2.

Continuação desta construção até obter o maior triângulo

retângulo isóscele possível no geoplano.

O maior triângulo retângulo isóscele é n = 7. Este triângulo tem

catetos que medem 7u e a hipotenusa mede 7√2u.

8

18. i. Construção de uma tabela com o número de triângulos básicos que constituem cada um dos

triângulos retângulos isóscele construídos na Atividade 17.

Triângulo retângulo isóscele

n

Triângulos básicos no n-ésimo

triângulo retângulo isóscele

1 1

2 4

3 9

4 16

5 25

6 36

7 49

ii. O “n-ésimo” triângulo retângulo isóscele é formado por n² triângulos básicos.

iii. Cálculo do número de triângulos básicos que devem ser agregados ao (n-1)-ésimo triângulo

retângulo isóscele para construir o n-ésimo triângulo retângulo isóscele.

Triângulo retângulo isóscele

n

Triângulo básicos em: Triângulos básicos

agregados Triângulo (n – 1) Triângulo n

1 0 1 1

2 1 4 3

3 4 9 5

4 9 16 7

5 16 25 9

6 25 36 11

7 36 49 13

Portanto, ao (n-1)-ésimo triângulo retângulo isóscele devem ser agregados (2n-1) triângulos básicos

para obter o n-ésimo triângulo retângulo isóscele.

9

19. i. Classificação dos triângulos pelos lados (*):

- B, K e H são triângulos isóscele.

- A, C, D, E, F, G, H e J são triângulos escalenos.

ii. Classificação dos triângulos pelos ângulos:

- A e H são triângulos retângulos.

- B e K são triângulos acutângulos.

- C, D, E, F, G e J são triângulos

obtusângulos.

(*) Não existe triângulo equilátero no geoplano quadrangular.

20. Em um geoplano 4x4 podem ser representados nove triângulos retângulos não congruentes com

todos os vértices dos triângulos em pontos do geoplano e sem superposições; vide a seguinte

representação da solução.

21. Representação no geoplano: i. um triângulo retângulo isóscele (I);

ii. um triângulo obtusângulo escaleno (II).

I II

10

22. Representação das alturas e das medianas dos triângulos dados.

Alturas Medianas

11

23. Representação no geoplano dos seguintes polígonos:

i. Um quadrilátero que não é um paralelogramo (A).

ii. Um quadrilátero que é um paralelogramo e não é um retângulo (B).

24. Representação de quadrados diferentes no geoplano, com todos os vértices dos quadriláteros em

pontos do geoplano e sem superposições.

25. Representação de retângulos diferentes, com todos os vértices dos quadriláteros em pontos do

geoplano e sem superposições.

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26. Exemplo de representação de paralelogramos diferentes, com todos os vértices dos quadriláteros

em pontos do geoplano 5x5.

27. Quadriláteros no geoplano:

Trapézio isóscele: A.

Trapézio retângulo escaleno: B.

28. Representação no geoplano dos seguintes polígonos:

i. Pentágono (A).

ii. Hexágono (B).

iii. Heptágono (C).

iv. Octógono (D).

29. Representação no geoplano dos seguintes polígonos:

i. Eneágono (E).

ii. Decágono (F).

iii. Undecágono (G).

iv. Dodecágono (H).

13

30. O quadrado é o único polígono regular convexo com representação no geoplano retilíneo.

31. Comparação dos comprimentos de três segmentos que tocam em três pontos do geoplano.

Comprimentos dos três segmentos

𝐴𝐵̅̅ ̅̅ = 2 u

𝐶𝐷̅̅ ̅̅ = (√20 ) u

𝐸𝐹̅̅ ̅̅ = (2√13 ) u

32. Os segmentos mais curtos e mais longo no geoplano:

i. Segmento mais curto do geoplano: 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ = 1 u

ii. Segmento mais curto do geoplano: 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ = (√2 ) u

iii. Segmento mais longo do geoplano: 𝐸𝐹̅̅ ̅̅ = (7√2 ) u

33. Construção de um segmento diagonal de cada uma dos seguintes polígonos e cálculo dos

comprimentos desses segmentos:

i. 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ = (√2 ) u

ii. 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ = (√10 ) u

iii. 𝐸𝐹̅̅ ̅̅ = (√13 ) u

iv. 𝐺𝐻̅̅ ̅̅ = (√20 ) u

14

34. Cálculo do perímetro P dos seguintes triângulos retângulos.

P(∆A) = (5+√13 ) u P(∆B) = (4 + 4√2 ) u

P(∆C) = (2√5 + √13 ) 𝑢 P(∆D) = (10 + √82 ) u

P(∆E) = (2√13 + √26 ) u P(∆F) = (2√10 + √20 ) u

P(∆G) = (6 + 3√2 ) u P(∆H) = (2 + 2√2 ) u

P(∆J) = (4√2 + √20) u P(∆K) = (2 + √2 ) u

35. Cálculo do perímetro P dos seguintes polígonos representados no geoplano.

P(A) = (2 + 2√2 + √5 + √13 ) u

P(B) = (7 + √5 ) u

P(C) = (10 + 2√5 ) u

P(D) = (9 + √5 + √10 ) u

P(E) = (7 + √2 + √5 +√20 ) u

P(F) = (10 + √2 ) u

P(G) = (6 + 4√2 ) u

P(H) = (5 + 3√2 + √5 ) u

36. Representação de polígonos no geoplano com os seguintes perímetros P:

i. P = (3 + √5) u (Polígono A).

ii. P = (9 + √13 ) u (Polígono B).

15

37. i. Construção de regiões poligonais com perímetro P = 12 u e cálculo da área A das regiões (I).

ii. Representação de um retângulo com área A = 20𝑢2 e cálculo do perímetro P do quadrilátero (II).

I II

Em (I): Área(A) = 6 u². Área(B) = 5 u². Em (II): P(C) = 20 u.

38. Representação de um retângulo com

perímetro P = 16 u e área A = 7𝑢2.

39. Construção de diferentes triângulos com área A = 1

2𝑢2 no geoplano.

16

40. Construção de diferentes triângulos com área A = 1𝑢2 no geoplano.

41. Construção de diferentes triângulos no geoplano com área A = 11

2𝑢2

42. Construção de diferentes triângulos no geoplano com área A = 2𝑢2.

17

43. Cálculo da área de cada um dos seguintes polígonos

Área(A) = 41

2 u² Área(J) = 4 u²

Área(B) = 1

2 u² Área(K) = 2

1

2 u²

Área(C) = 41

2 u² Área(L) = 1 u²

Área(D) = 21

2 u² Área(M) = 10 u²

Área(E) = 11

2 u²

Área(F) = 1 u²

Área(G) = 11

2 u²

Área(H) = 31

2 u²

Área(J) = 4 u²

Área(K) = 21

2 u²

Área(L) = 1 u²

Área(M) = 10 u²

18

44. i. Construção de polígonos sem pontos no interior (i = 0), contagem dos pontos no bordo (b) e

calcule a área A de cada polígono.

Polígono Pontos interior

i

Pontos fronteira

b

Área A

u²

A 0 4 1

B 0 8 3

C 0 6 2

D 0 10 4

E 0 6 2

F 0 10 4

ii. Construção de polígonos com um único ponto no interior (i = 1), contagem dos pontos no bordo

(b) e cálculo da área A de cada polígono.

Polígono

Pontos interior

i

Pontos fronteira

b

Área A

u²

G 1 8 4

H 1 10 5

J 1 18 9

K 1 6 3

L 1 7 31

2

iii. Construção de polígonos que contenham exatamente dois pontos no seu interior (i = 2),

contagem dos pontos no bordo (b) e cálculo da área (A).

Polígono Pontos interior

i

Pontos fronteira

b

Área A

u²

M 2 10 6

N 2 4 3

O 2 18 10

P 2 8 5

19

45. Lei que relaciona a área (A) de um polígono representado no geoplano com o número de pontos

interiores (i) e o número de pontos no seu bordo (b).

Teorema de Pick. A área A de um polígono com vértices em pontos de um geoplano é igual ao

número de pontos do geoplano interiores ao polígono (i) mais a metade de pontos do geoplano

pertences ao bordo do polígono (b) menos uma unidade (1).

A = 𝑏

2 + i - 1 Fórmula de Pick

46. Determinação da área A de cada um dos seguintes polígonos aplicando o teorema de Pick.

Área(A) = 9

2 + 1 – 1 = 4

1

2 u² Área(B) =

3

2 + 0 – 1 =

1

2 u²

Área(C) = 11

2 + 0 – 1 = 4

1

2 u² Área(D) =

7

2 + 0 – 1 = 2

1

2 u²

Área(E) = 5

2 + 0 – 1 = 1

1

2 u² Área(F) = 2 + 0 – 1 = 1 u²

Área(G) = 5

2 + 0 – 1 = 1

1

2 u² Área(H) =

9

2 + 0 – 1 = 3

1

2 u²

Área(J) = 3 + 2 – 1 = 4 u² Área(K) = 5

2 + 0 – 1 = 2

1

2 u²

Área(L) = 2 + 0 – 1 = 1 u² Área(M) = 5 + 6 – 1 = 10 u²

Os valores das áreas dos polígonos obtidos aplicando a fórmula de Pick coincidem com os

resultados obtidos na Atividade 43.

20

47. Cálculo da área de cada uma das seguintes regiões poligonais aplicando a formula de Pick,

Área(A) = 3+ 6 – 1 = 8 u²

Área(B) = 3 + 2 – 1 = 5 u²

Área (C) = 11

2 + 1 – 1 = 5

1

2 u²

Área(D) = 9

2 + 1 – 1 = 4

1

2 u²

Área(E) = 9

2 + 1 – 1 = 4

1

2 u²

Área(F) = 5 + 3 – 1 = 7 u²

Área(G) = 11

2 + 3 – 1 = 7

1

2 u²

Área(H) = 6 + 2 – 1 = 7

48. Construção de um polígono com perímetro

P = (3 + 3√2 + √13 + 4√5) u e cálculo da área A

do polígono.

A = ( 11

2 + 15 – 1) u² = 19

1

2 u²

21

49. Representação no geoplano do octógono com os lados l congruentes e medindo l = √5u.

Cálculo da área A desse polígono.

A = (4 + 21 – 1) u² = 24 u²

Este octógono é equilátero e não é equiângulo,

logo, ele não é polígono regular.

50. Representação no geoplano de octógono com lados medindo alternadamente 2 u e (2√2) u de

comprimento. Cálculo da área A desse polígono.

A = (15 + 21 – 1) u² = 35 u²

51. Construção de uma região poligonal não convexa em forma de estrela de quatro pontas com

lados l congruentes, medindo l = √5u de comprimento. Cálculo da área A dessa superfície.

A = 4 + 9 – 1 = 12 u²

22

52. Cálculo do perímetro P e da área A dos seguintes polígonos.

P(A) = (5√2 + √26) u A(A) = 61

2 u²

P(B) = (2 + 2√10 )u A(B) = 3 u²

P(C) = (3 + 2√2 + √29 ) u A(C) = 3 u²

P(D) = (2 + √13 + √29 ) u A(D) = 2 u²

P(E) = (1 + √10 + √13 ) u A(E) = 11

2 u²

P(F) = (5 + 2√2 + √13 ) u A(F) = 5 u²

P(G) = (6 + 2√5 ) u A(G) = 2 u²

P(H) = (6 + 3√2 ) u A(H) = 41

2 u²

P(J) = (3 + 2√2 + √29 ) u A(J) = 3 u²

P(K) = (2 + 2√10 ) u A(K) = 3 u²

Determinação da congruência dos triângulos na representação acima.

São figuras congruentes os seguintes polígonos:

- Triângulos acutângulos isóscele B e K.

- Triângulos obtusângulos escaleno C e J.

23

53. Determinação das simetrias de cada um dos seguintes polígonos.

- Simetria axial. A figura tem quatro eixos de simetria.

-Simetria rotacional.

O centro de simetria é o ponto de intersecção das diagonais.

O octógono tem simetria rotacional de ordem quatro em volta

do centro e de ângulo medindo 90º.

- Simetria axial. A figura tem oito eixos de simetria.

-Simetria rotacional.

O centro de simetria é o ponto de intersecção das diagonais.

O octógono tem simetria rotacional de ordem oito em volta do

centro e de ângulo medindo 45º.

- Simetria axial. A figura tem quatro eixos de simetria.

-Simetria rotacional.

O centro de simetria é o ponto de intersecção dos eixos de

simetrias.

A figura tem simetria rotacional de ordem quatro em volta do

centro e de ângulo medindo 90º.

24

54. Análise do efeito da duplicação do perímetro P de uma região poligonal sobre a área A dessa

superfície e verificação se existe dependência do tipo de superfície em consideração.

Comparação dos polígonos A, E e F.

Perímetros: P(A) = 6 u P(E) = 12 u P(F) = 12 u

Áreas: A(A) = 2 u² A(E) = 6 u² A(F) = 5 u²

Os polígonos E e F têm o dobro do perímetro de A e eles têm áreas diferentes.

Comparação dos polígonos C e D.

Perímetros: P(C) = 8 u P(D) = 16 u

Áreas: A(C) = 3 u² A(D) = 12 u²

Os polígonos C e D são polígonos semelhantes com razão de semelhança k = 2, logo

P(D) = 16 u = (2 x 8) u = k 8 u = k P(C)

A(D) = 12 u² = (4 x 3) u² = 4 (3 u²) = 4 A(C) = k² A(C)

25

55. Representação de quadrados sobre os três lados de um triângulo retângulo isóscele com catetos

medindo: i. 3 u (I); ii. 1u e 4u (II).

Cálculo da área dos três quadrados em cada caso e verificação do teorema de Pitágoras.

i. Os quadrados construídos sobre os catetos têm

área A = 9 u².

O quadrado formado sobre a hipotenusa tem área

A = 18 u².

I

ii. Os catetos medem 1u e 4 u.

Os quadrados formados sobre os catetos têm área

A = 1 u² e A = 16 u², respectivamente.

O quadrado construído sobre a hipotenusa tem área

A = 17 u².

Em ambos casos (i) e (ii) verifica-se que a área do quadrado sobre a hipotenusa é igual a soma das

áreas dos quadrados construídos sobre os catetos.

26

56. Cálculo das áreas dos retângulos A, B e C representados sobre os dois catetos e sobre a

hipotenusa, respectivamente, de um triângulo retângulo.

Os catetos medem 2 u e 4 u de comprimento.

A(A) = 2 u²

A(B) = 8 u²

A(C) = 10 u²

Os retângulos construídos sobre os catetos são semelhantes.

Também neste caso se verifica o teorema de Pitágoras.

57. Cálculo das áreas dos triângulos retângulos A, B e C representados respectivamente, sobre os

dois catetos e sobre a hipotenusa de um triângulo retângulo.

Os catetos medem 2u e 3u.

A(A) = 2 u²

A(B) = 41

2 u²

A(C) = 61

2 u²

58. Representação de uma partição de um retângulo 6 x 5 em seis polígonos equivalentes e não

congruentes.